Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости
Изучены течения непрерывно стратифицированной жидкости, которые характеризуются широким диапазоном значений внутренних масштабов, отсутствующих в однородной жидкости. Задача решена численными методами в двумерной нестационарной постановке для покоящейся и равномерно движущейся жидкости. Для математи...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2018
|
| Назва видання: | Гідродинаміка і акустика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174296 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости / Н.Ф. Димитриева // Гідродинаміка і акустика. — 2018. — Т. 1, № 3. — С. 316-333. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174296 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1742962021-01-12T01:26:23Z Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости Димитриева, Н.Ф. Изучены течения непрерывно стратифицированной жидкости, которые характеризуются широким диапазоном значений внутренних масштабов, отсутствующих в однородной жидкости. Задача решена численными методами в двумерной нестационарной постановке для покоящейся и равномерно движущейся жидкости. Для математического описания проблемы выбрана система дифференциальных уравнений механики неоднородных многокомпонентных жидкостей в приближении Буссинеска, когда малые изменения плотности учитываются только в членах, описывающих действие силы тяжести. Поставленная задача решена методом конечных объемов в открытом пакете OpenFOAM. Досліджено течії безперервно стратифікованої рідини, які характеризуються широким діапазоном значень внутрішніх масштабів, відсутніх в однорідній рідині. Задачу розв'язано чисельними методами у двовимірній нестаціонарній постановці для рідини, яка перебуває в станах спокою чи рівномірного руху. Для математичного опису досліджуваної проблеми обрано систему диференціальних рівнянь механіки неоднорідних багатокомпонентних рідин у наближенні Буссінеска, коли малі зміни густини враховуються лише в членах, які описують силу тяжіння. Поставлена задача розв'язувалась методом скінченних об'ємів у відкритому пакеті OpenFOAM. The paper deals with studying of the flows of continuously stratified fluid characterized by a wide range of values of internal scales that are absent in a homogeneous fluid. The problem is solved by numerical methods in a 2D unsteady formulation for a fluid at rest and uniform motion. For the mathematical description of the problem, a system of differential equations of mechanics of inhomogeneous multicomponent fluids was chosen in the Boussinesq approximation with considering the small density variations only in terms describing the gravity force. The problem is solved by the method of finite volumes in a free software package OpenFOAM. 2018 Article Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости / Н.Ф. Димитриева // Гідродинаміка і акустика. — 2018. — Т. 1, № 3. — С. 316-333. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 2616-6135 DOI: doi.org/10.15407/jha2018.03.316 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174296 532.529.2+551.465.41 ru Гідродинаміка і акустика Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучены течения непрерывно стратифицированной жидкости, которые характеризуются широким диапазоном значений внутренних масштабов, отсутствующих в однородной жидкости. Задача решена численными методами в двумерной нестационарной постановке для покоящейся и равномерно движущейся жидкости. Для математического описания проблемы выбрана система дифференциальных уравнений механики неоднородных многокомпонентных жидкостей в приближении Буссинеска, когда малые изменения плотности учитываются только в членах, описывающих действие силы тяжести. Поставленная задача решена методом конечных объемов в открытом пакете OpenFOAM. |
| format |
Article |
| author |
Димитриева, Н.Ф. |
| spellingShingle |
Димитриева, Н.Ф. Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости Гідродинаміка і акустика |
| author_facet |
Димитриева, Н.Ф. |
| author_sort |
Димитриева, Н.Ф. |
| title |
Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости |
| title_short |
Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости |
| title_full |
Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости |
| title_fullStr |
Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости |
| title_full_unstemmed |
Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости |
| title_sort |
течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174296 |
| citation_txt |
Течения около двумерного горизонтального клина в устойчиво стратифицированной жидкости / Н.Ф. Димитриева // Гідродинаміка і акустика. — 2018. — Т. 1, № 3. — С. 316-333. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Гідродинаміка і акустика |
| work_keys_str_mv |
AT dimitrievanf tečeniâokolodvumernogogorizontalʹnogoklinavustojčivostratificirovannojžidkosti |
| first_indexed |
2025-07-15T11:14:09Z |
| last_indexed |
2025-07-15T11:14:09Z |
| _version_ |
1837711282164203520 |
| fulltext |
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
УДК 532.529.2+551.465.41
ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО ДВУМЕРНОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО
КЛИНА В УСТОЙЧИВО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ
ЖИДКОСТИ
Н. Ф. Димитриева1,2†
1Институт гидромеханики НАН Украины
ул. Желябова, 8/4, 03057, Киев, Украина
2 Национальный технический университет Украины
“Киевский политехнический институт имени Игоря Сикорского”
пр. Победы, 37, 03056, Киев, Украина
†E-mail: dimitrievanf@gmail.com
Получено 11.09.2017
Изучены течения непрерывно стратифицированной жидкости, которые характе-
ризуются широким диапазоном значений внутренних масштабов, отсутствующих
в однородной жидкости. Задача решена численными методами в двумерной неста-
ционарной постановке для покоящейся и равномерно движущейся жидкости. Для
математического описания проблемы выбрана система дифференциальных уравне-
ний механики неоднородных многокомпонентных жидкостей в приближении Бус-
синеска, когда малые изменения плотности учитываются только в членах, описы-
вающих действие силы тяжести. Поставленная задача решена методом конечных
объемов в открытом пакете OpenFOAM. При этом особое внимание уделялось со-
зданию качественной высокоразрешающей расчетной сетки, которая учитывала
бы многомасштабность течений, индуцированных диффузией. Обсуждены вопро-
сы использования стандартных и расширенных утилит пакета OpenFOAM с целью
реализации сложных граничных условий и разработки собственных численных мо-
делей. В качестве начальных условий задачи обтекания клина внешним потоком
стратифицированной среды использовались ранее рассчитанные поля течений, ин-
дуцированных прерыванием диффузионного переноса неподвижным клином, кото-
рые качественно согласуются с данными лабораторных опытов. Показано влияние
краевых эффектов и кривизны боковой поверхности на структуру течения. Ре-
зультаты расчетов обнаружили у острой вершины протяженную область дефици-
та давления, которая формирует интегральную силу, вызывающую самодвижение
свободного клина в направлении вершины вдоль горизонта нейтральной плавуче-
сти в покоящейся устойчиво стратифицированной среде. Продемонстрирована эво-
люция картины обтекания клина стратифицированным потоком, который начал
равномерно двигаться из состояния покоя со скоростью 10−4 м/с. Во всех режи-
мах течение характеризуется сложной внутренней структурой, в которой вначале
выражены диссипативно-гравитационные волны, а затем — группа присоединен-
ных волн, образующихся в противофазе у кромок клина. С увеличением скорости
316
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
внешнего потока основным компонентом течения становятся вихри, доминирую-
щие в следе.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: численное моделирование, открытые вычислительные па-
кеты, стратификация, течения жидкостей, диффузия, самодвижение
1. ВВЕДЕНИЕ
Растворенные в жидкости вещества и взвешенные частицы под действием гравита-
ционных сил распределяются неравномерно и формируют устойчивую стратификацию,
поле плотности в которой определяется профилями температуры, концентрации при-
меси и давления в соответствии с видом уравнения состояния [11]. Неравновесная среда
может находиться в состоянии покоя только тогда, когда градиент плотности паралле-
лен линии действия силы тяжести. Любые возмущающие факторы, как динамические,
обусловленные внешними силами, так и геометрические, связанные с влиянием гранич-
ных условий на величину и направление потоков, нарушают условия гидростатического
равновесия и приводят к формированию течений [22,33].
Внутренние волны являются важным элементом динамики морской среды и атмо-
сферы: они переносят энергию и импульс на большие расстояния [44–66]. В обычных
условиях подобные возмущения сосредоточены в тонких слоях у непроницаемых по-
верхностей и достигают штормовых значений при формировании больших градиентов
температуры в атмосфере и гидросфере на крутых склонах горных систем, вблизи лед-
ников [77–1010].
Формирование тонкой структуры течений влияет на перенос вещества, процессы
разделения компонент потока и повышения локальной концентрации примесей. Одно-
временный расчет всех макро- и микрокомпонент течений в полной нелинейной поста-
новке представляет собой сложную и актуальную задачу, не решенную на сегодняшний
день с практически необходимой степенью точности. Получение таких результатов с
применением методов высокопроизводительного численного моделирования важно для
фундаментальной и прикладной аэро- и гидродинамики, поскольку это дает ключ к
более глубокому пониманию физических процессов в стратифицированных средах.
Интегральное силовое воздействие стратифицированных течений, отсутствующее на
симметричных телах — сфере, цилиндре, горизонтальной пластине, — наблюдается при
потере симметрии относительно вертикальной оси или плоскости [1111, 1212]. Как показы-
вают эксперименты [1313–1515], такие силы вызывают самодвижение свободных тел клино-
видной формы, уравновешенных на горизонте нейтральной плавучести.
В данной работе изучаются механизмы формирования, развития, распада компонент
течений в стратифицированной среде, где волны и вихри существуют одновременно и
активно взаимодействуют между собой.
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рассмотрим нестационарное течение около двумерного горизонтального клина, по-
груженного в устойчиво стратифицированную по вертикальной координате 𝑦 жид-
кость, которая представляет собой раствор соли и характеризуется длиной плавучести
317
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
Λ = |𝑑 ln 𝜌/𝑑𝑦|−1. Математическая модель изучаемых физических процессов базирует-
ся на системе дифференциальных балансных уравнений механики неоднородных мно-
гокомпонентных жидкостей в приближении Буссинеска и пренебрежении эффектами
сжимаемости. Считаем, что плотность раствора определяется исключительно концен-
трацией примеси. В качестве уравнения состояния стратифицированной среды выберем
невозмущенный профиль плотности 𝜌(𝑆), который задается линейным распределением
солености 𝑆0(𝑦):
𝜌 = 𝜌0(1 − 𝑦
Λ
+ 𝑠), (1)
где 𝑆 = 𝑆0(𝑦) + 𝑠 — полная соленость, включающая коэффициент солевого сжатия; 𝑠 —
ее возмущенная составляющая; 𝜌0 — плотность на нулевой линии (горизонте нейтраль-
ной плавучести). Ось 𝑦 направлена вертикально вверх.
Таким образом, система уравнений нестационарных течений в стратифицированной
жидкости включает уравнение Навье—Стокса, неразрывности и диффузии:
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ (𝑣∇)𝑣 = − 1
𝜌0
∇𝑃 + 𝜈∆𝑣 − 𝑠𝑔, (2)
∇𝑣 = 0, (3)
𝜕𝑠
𝜕𝑡
+ 𝑣∇𝑠 = 𝜅𝑠∆𝑠 +
𝑣𝑦
Λ
, (4)
где 𝑣 — вектор скорости жидкости; 𝑃 — давление, за вычетом гидростатического; 𝜈 —
коэффициент кинематической вязкости; 𝜅𝑠 — коэффициент диффузии соли; 𝑡 — время;
𝑔 — ускорение свободного падения; ∇ и ∆ — операторы Гамильтона и Лапласа.
В начальный момент времени 𝑡 = 0 в покоящуюся непрерывно стратифицированную
жидкость горизонтально помещается непроницаемый клин. На поверхности тела зада-
но условие прилипания для скорости и непротекания для вещества, а на бесконечном
удалении — затухание всех возмущений:
𝑣, 𝑠|𝑡=0 = 0, 𝑣Σ = 0, 𝑣, 𝑠|𝑥,𝑦→∞ = 0, (5)
⃒⃒⃒⃒
𝜕𝑆
𝜕𝑛
⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒
Σ
= − 1
Λ
𝜕𝑦
𝜕𝑛
+
⃒⃒⃒⃒
𝜕𝑠
𝜕𝑛
⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒
Σ
= 0, (6)
где 𝑛 — внешняя нормаль к поверхности клина Σ.
Решение системы уравнений (2)(2)–(4)(4) с граничными условиями (5)(5), (6)(6) описывает те-
чения, индуцированные диффузией на неподвижном препятствии [1616,1717]. Рассчитанные
поля физических величин принимаются в качестве начальных условий в задаче обтека-
ния препятствия (тела) потоком непрерывно стратифицированной жидкости, имеющем
скорость набегания 𝑈 :
𝜈𝑥|𝑥,𝑧→∞ = 𝑈, 𝜈𝑧|𝑥,𝑧→∞ = 0. (7)
Адекватность выбранной математической модели подтверждается соответствием ос-
новополагающим принципам механики и согласованностью независимых аналитиче-
ских, численных и экспериментальных исследований стратифицированных течений [1818–
2020].
318
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
Табл. 1. Значения входных параметров
Символ Определение Значение
𝜌0 Плотность на горизонте нейтральной плавучести, кг/м3 1020
𝑔 Ускорение свободного падения, м/с2 9.8
𝜈 Коэффициент кинематической вязкости, м2/с 10−6
𝜅𝑠 Коэффициент диффузии соли, м 2/с 1.41 · 10−9
𝑇𝑏 Период плавучести, с 6.28
𝐿 Длина клина, м 0.1
ℎ Высота основания клина, м 0.02
Задача, размерные параметры которой приведены в Табл. 1Табл. 1, характеризуется набо-
ром временных масштабов, включающим период плавучести 𝑇𝑏 = 2𝜋/𝑁 и собственное
время 𝑡𝑝 = 𝐿/𝑈 . Здесь 𝑁 =
√︀
𝑔/Λ — частота плавучести. Размеры тела 𝐿, ℎ и длина
присоединенной внутренней волны 𝜆𝑖 = 𝑈𝑇𝑏 — суть линейные масштабы, характери-
зующие невозмущенную стратификацию Λ. Микромасштабы диссипативной природы
(вязкий 𝛿𝜈𝑁 =
√︀
𝜈/𝑁 и диффузионный 𝛿𝜅𝑠
𝑁 =
√︀
𝜅𝑠/𝑁 характеризуют поперечные раз-
меры тонкоструктурных компонентов. Компоненты структур с масштабами Прандтля
𝛿𝜈𝑈 = 𝜈/𝑈 и 𝛿𝜅𝑠
𝑈 = 𝜅𝑠/𝑈 выражены в струях и следах.
Широкий диапазон значений линейных масштабов задачи указывает на сложность
внутренней структуры стратифицированного течения, которую необходимо учитывать
при разработке программ. Анализ решений линеаризованных фундаментальных урав-
нений и результаты лабораторного моделирования показали, что крупномасштабные
элементы течений (волны и вихри) характеризуются регулярно возмущенными компо-
нентами полного решения с масштабами 𝐿 и 𝜆𝑖 [1919]. Геометрия тонкоструктурных эле-
ментов течений, которые проявляются во всем диапазоне параметров изучаемых про-
цессов, описывается элементами обширного семейства сингулярно возмущенных ком-
понент с масштабами 𝛿𝜈𝑁 , 𝛿𝜅𝑠
𝑁 , 𝛿𝜈𝑈 , 𝛿𝜅𝑠
𝑈 . Тонкоструктурные компоненты влияют на пере-
нос вещества и повышение локальных концентраций в отдельных областях потока [2020].
Вследствие нелинейности процессов отдельные компоненты активно взаимодействуют
между собой. При больших скоростях обтекания препятствия взаимодействие разно-
масштабных компонент преобразует течение в нестационарное.
3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В силу сложности и многомасштабности системы в качестве одного из основных ин-
струментов исследования эволюционирующих процессов целесообразно применять чис-
ленное моделирование. Анализ распространенных коммерческих пакетов прикладных
программ с закрытым исходным кодом показал, что на сегодняшний день нет готовых
решений системы фундаментальных уравнений многокомпонентных жидкостей. Замет-
ный прогресс в решении сложных задач механики сплошных сред в последнее время
обусловлен развитием открытых вычислительных технологий, которые позволили реа-
лизовать более точные методы построения решений и высокоразрешающие численные
модели.
Одним из наиболее перспективных и быстро развивающихся свободно распростра-
319
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
няемых пакетов является OpenFOAM (Open Field Operation and Manipulation). Откры-
тость исходного кода пакета OpenFOAM позволила построить оригинальный решатель,
реализующий систему уравнений (2)(2)—(5)(5) методом конечных объемов. Для учета эффек-
тов стратификации и диффузии стандартный решатель пакета icoFOAM был дополнен
новыми переменными (𝜌 и 𝑠) и соответствующими уравнениями, а также новыми вспо-
могательными параметрами (𝑁,Λ, 𝜅𝑠, 𝑔 и др.) [1818,2121].
Особое внимание уделялось созданию качественной расчетной сетки, учитывающей
многомасштабность поставленной задачи. Дискретизация расчетной области осуществ-
лялась в открытой интегрируемой платформе SALOME. Расчетная область представ-
ляла собой прямоугольник, в котором горизонтально расположен симметричный гори-
зонтальный клин с длиной 𝐿 и высотой основания ℎ. С учетом формы тела построена
блочно-структурированная гексаэдральная расчетная сетка с совмещением линий на
границах блоков. Алгоритм разбиения расчетной области предполагал сгущение ячеек
в направлении препятствия для разрешения тонких компонент течения в областях с
большими значениями градиентов [1616].
Пакет OpenFOAM, использующий для дискретизации системы уравнений метод ко-
нечных объемов, работает только с трехмерными расчетными сетками. Исходя из это-
го, одна ячейка пространственного разбиения задавалась в третьем измерении. Длина
ячейки в третьем измерении выбиралась соизмеримой с минимальными размерами в
продольном и поперечном направлениях. Таким образом, вблизи обтекаемого тела со-
отношение размеров гексаэдров была близка к единице, что положительно влияет на
сходимость решения. Для плоской задачи расчет поля в третьем измерении исключа-
ется за счет задания специального граничного условия empty.
Проверка расчетной сетки показала ее соответствие набору ограничений, связанных
с топологией внешних границ и геометрическими характеристиками ячеек (соотноше-
нием размеров, закрученностью, неортогональностью).
Расчеты поставленных задач проводились в параллельном режиме с использованием
ресурсов виртуальной вычислительной лаборатории UniHUB. Декомпозиция расчетной
области осуществлялась методом simple. Такой подход позволяет использовать высо-
кую пространственную дискретизацию и проводить анализ поставленных задач в более
широком диапазоне параметров, что делает возможным детальное исследование фун-
даментальной проблемы.
Визуализация результатов расчетов выполнена с использованием графических па-
кетов ParaView и Origin.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
4.1. Неподвижный клин
В качестве начального состояния стратифицированной среды рассматривается устано-
вившееся течение, индуцированное прерыванием диффузионного переноса неподвиж-
ным клином (Рис. 1Рис. 1). Дело в том, что, блокируя фоновый диффузионный перенос,
непроницаемое препятствие формирует сложную систему течений, включающую тон-
кие главные струи вдоль наклонных сторон с примыкающими компенсационных проти-
вотечениями. При этом наблюдается картина, характеризуемая ячеистой структурой и
наличием высокоградиентных областей, которые визуализируются в виде протяжен-
320
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
Рис. 1. Поле завихренности течения, индуцированного диффузией на неподвижном клине
при 𝑡 = 20𝑇𝑏 (красный — положительные значения, синий — отрицательные)
a
б
Рис. 2. Течение, индуцированное диффузией на неподвижном клине:
a — результаты расчета горизонтальной компоненты градиента возмущения солености
(красный положительные значения, синий — отрицательные); б — экспериментальный снимок
поля горизонтальной компоненты градиента показателя преломления (плотности)
321
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
ных горизонтальных прослоек (Рис. 2Рис. 2). Обычно тонкоструктурные эффекты вносят
сравнительно небольшие поправки в значения гидродинамических характеристик, но
их действие усиливается наличием сильных градиентов солености, поля которых отра-
жают сложную периодическую структуру течений, индуцированных диффузией (см.
Рис. 2Рис. 2) [1616]. Так, около угловых точек неподвижного клина сформировались допол-
нительные тонкоструктурные компоненты — диссипативно-гравитационные волны, в
которых максимумы продольной компоненты градиента возмущения солености дости-
гают |𝜕𝑠/𝜕𝑥|max = 4 ·10−2. С удалением от препятствия градиент возмущения солености
резко падает — на расстоянии 5 см по горизонтали и 0.5 см по вертикали от угловой
точки он составляет уже порядка 10−6.
Общая структура изображения типична для стратифицированных течений, в кото-
рых силы плавучести подавляют вертикальное движение. Неоднородности вертикаль-
ного молекулярного потока вещества, вызванные непроницаемыми препятствиями в
толще жидкости или наклоном ее границ, создают горизонтальные градиенты плотно-
сти, инициирующие течения даже при отсутствии дополнительных силовых факторов
и вызывающие самодвижение тел свободных тел с нейтральной плавучестью.
Наличие горизонтальных полосчатых структур, полученных при численном моде-
лировании, в целом согласуется с картиной визуализации распределения градиента ко-
эффициента преломления, определяемого плотностью среды (см. Рис. 2Рис. 2б). В экспери-
ментах поле течений визуализировалось при помощи теневого прибора ИАБ-458 с вер-
тикальной осветительной щелью и ножом Фуко или вертикальной нитью в фокальной
плоскости приемной части инструмента [1515, 2222]. На фотографии видно, что равномер-
ные высокоградиентные прослойки располагаются вдоль наклонных боковых сторон
клина. Наблюдаемая картина течения существенно отличается от течений вблизи сим-
метричного тела — сферы, цилиндра или горизонтальной пластины [1818,2020].
Несмотря на качественное соответствие расчетным данным, экспериментальная струк-
тура поля возмущений градиента плотности около клина оказывается более простой.
Причина такого различия может заключаться в относительно низкой чувствительно-
сти метода визуализации, поскольку разрешаемый динамический диапазон вариаций
параметров при численном моделировании на суперкомпьютерах заметно шире, чем
у лабораторных инструментов. Однако согласованность рассчитанных и наблюдаемых
картин течения в целом свидетельствует о сопоставимости возможностей вычислитель-
ного и лабораторного эксперимента, по сути, дополняющих друг друга.
У острой вершины клиновидного препятствия, а также в тонком слое вдоль боковых
сторон наблюдается дефицит давления (Рис. 3Рис. 3а), где его величина монотонно убыва-
ет в направлении от вершины к основанию. Здесь хорошо выражена тонкая структура
стратифицированных течений — значения давления резко меняются. Кроме того, около
угловых точек клина формируются диссипативно-гравитационные волны. Область де-
фицита давления простирается далеко вперед вдоль горизонта нейтральной плавучести.
Именно разность давлений, действующих на боковые поверхности и основание тела, и
создает интегральную силу, толкающую горизонтальный клин в направлении вершины,
что согласуется с наблюдениями [1313–1515]. Дефицит давления возникает вследствие затя-
гивания жидкости в восходящее на верхней стороне и нисходящее на нижней стороне
структурированные компенсационные течения, что говорит о стагнации в донной части
следа.
322
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
Рис. 3. Поле давления течения, индуцированного диффузией на неподвижном клине
при 𝑡 = 20𝑇𝑏 (красный — положительные значения, синий — отрицательные)
Табл. 2. Геометрия клина с искривленными гранями
№ Координаты Радиус Отклонение
центра (𝑥, 𝑦), см кривизны, см от грани хорды ∆𝑅, см
1 (−7.6, 126.7) 126.9 −0.1
2 (9.2, 41.4) 43.2 0.3
3 (5.8, 126.7) 10.0 1.4
С целью изучения влияния формы препятствия на структуру индуцированных диф-
фузией течений рассматривались клинья с гранями, искривленными симметрично от-
носительно продольной оси 𝑥 [2323]. В этом случае боковые стороны клина представляют
собой дуги окружностей, радиусы и положения центров которых в декартовой системе
координат с центром на вершине клина приведены в Табл. 2Табл. 2.
Из Рис. 4Рис. 4 явствует, что вблизи угловых точек клина формируются дополнительные
тонкоструктурные компоненты. Чем острее экстремальная вершина, тем ярче выра-
жены визуализируемые пучки знакопеременных полос (см. Рис. 4Рис. 4а). Для выпуклого
клина, у которого угол между основанием и боковой гранью приближается к 90∘, пу-
чок тонкоструктурных элементов расплывается от вершины вдоль грани (см. Рис. 4Рис. 4б).
Если сторону клина изогнуть таким образом, чтобы экстремальная точка сместилась
от вершины к точке на грани, картина течения принципиально меняется (см. Рис. 4Рис. 4в).
В этом случае визуализируемые структуры становятся подобными теневым картинам
течений, индуцированных диффузией на цилиндре [2020].
4.2. Обтекание клина
Полученные результаты расчетов индуцированного диффузией течения на неподвиж-
ном клине служат начальными условиями задачи обтекания тел внешним потоком.
На Рис. 5Рис. 5 продемонстрирована эволюция картины обтекания клина стратифицирован-
ным потоком, который начал равномерное движение из состояния покоя со скоростью
𝑈 = 10−4 м/с в стратифицированной жидкости с периодом плавучести 𝑇𝑏 = 6.28 c.
Начальная структура течения, индуцированного диффузией на непроницаемом клине,
кардинально меняется с началом движения препятствия. В толще непрерывно страти-
фицированной жидкости начинают формироваться опережающие возмущения, розетки
323
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
а
б
в
Рис. 4. Поле продольной компоненты градиента возмущения солености 𝜕𝑠/𝜕𝑥
на клине с искривленными гранями при (𝑡 = 20𝑇𝑏):
а — Δ𝑅 = −0.1 см, б — Δ𝑅 = 0.3 см, в — Δ𝑅 = 1.4 см
нестационарных и системы присоединенных внутренних волн, а также протяжённый
след за экстремальными точками.
Необходимо отметить, что заданные ненулевые начальные условия задачи обтекания
клина сохраняют свое влияние на структуру течения только на начальном этапе — око-
ло 1.5𝑇𝑏. Число наблюдаемых присоединенных волн, не проникающих в спутный след
позади тела, растет со временем (Рис. 5Рис. 5). Сформировавшаяся в результате картина об-
текания клина (Рис. 5Рис. 5д) по своей структуре согласуется с результатами эксперименталь-
ных и численных исследований обтекания тел с другими геометрическими формами
потоком стратифицированной жидкости [1818, 2020]. Источником внутренних волн служат
краевые сингулярности, генерирующие интенсивное вертикальное вытеснение жидко-
сти, что приводит к отклонению от изначального положения нейтральной плавучести
и, как следствие, формированию периодических затухающих колебаний жидкости.
В рамках данного исследования были проведены расчеты обтекания клина потоком
324
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
а
б
в
г
д
Р
ис
.5
.Э
во
лю
ци
я
по
ля
гр
ад
ие
нт
а
во
зм
ущ
ен
ия
со
ле
но
ст
и
пр
и
дв
иж
ен
ии
кл
ин
а
со
ск
ор
ос
ть
ю
𝑈
=
10
−
4
м
/с
:
а
—
𝜏
=
𝑡/
𝑇
𝑏
=
0.
3,
б
—
𝜏
=
𝑡/
𝑇
𝑏
=
1.
1,
в
—
𝜏
=
𝑡/
𝑇
𝑏
=
3.
5,
г
—
𝜏
=
𝑡/
𝑇
𝑏
=
8.
0
,д
—
𝜏
=
𝑡/
𝑇
𝑏
=
1
6.
0
325
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
стратифицированной жидкости в диапазоне скоростей 𝑈 от 10−5 до 10−1 м/с (Рис. 6Рис. 6).
Отметим, что принципиальное различие картины обтекания тела стратифицированной
жидкостью от однородной проявляется вблизи экстремальных точек обтекаемого тела.
Когда скорость внешнего потока сравнима по порядку величины с характерной скоро-
стью диффузии индуцированных потоков 𝑈𝜅𝑠
𝑁 , на протяжении длительного временного
интервала в структуре течения сохраняются элементы исходного поля (см. Рис. 6Рис. 6а).
Возле острых углов проявляются системы периодических образований, соответствую-
щие внутренним волнам, источниками которых внутренних волн служат краевые син-
гулярности. Механизм формирования таких внутренних волн описан выще.
Увеличение скорости движения приводит к пропорциональному увеличению дли-
ны присоединенной внутренней волны в соответствии с формулой линейной теории
𝜆 = 𝑈𝑇𝑏. Фазовые поверхности, разделяющие волновые возмущения с противоположны-
ми знаками, загибаются в сторону движения пластины. При значительных скоростях
движения (𝑈 > 10−2 м/с) в следе за клином возникают вихревые возмущения (см.
Рис. 5Рис. 5г, д). На границах раздела внутренних присоединенных волн и вихревого сле-
да формируются высокоградиентные области. Рассчитанные картины обтекания клина
по своей структуре согласуются с результатами экспериментальных и численных ис-
следований обтекания тел с другой геометрией потоком стратифицированной жидко-
сти [1818,2020].
На Рис. 7Рис. 7 представлены профили компонент скорости обтекания клина в широком
диапазоне скоростей. Как видно из графиков, наиболее существенные отличия при об-
текании препятствия стратифицированной жидкостью от случая однородной среды
наблюдается в поле опережающих возмущений (см. Рис. 7Рис. 7а—г). При больших скоро-
стях потока, превышающих характерные скорости индуцированных диффузией тече-
ний (𝑈 ≫ 𝑈𝜅𝑠
𝑁 ), эффекты стратификации ослабевают. С увеличением скорости обте-
кания в следе за клином (Рис. 7Рис. 7 д—з) нарушается симметрия относительно горизонта
нейтральной плавучести в связи с формирующейся вихревой структурой.
5. ВЫВОДЫ
Предложена методика численного расчета нестационарных течений устойчиво стра-
тифицированной жидкости около двумерного горизонтального клина в открытом па-
кете OpenFOAM. Результаты расчетов течений, индуцированных диффузией, на непо-
движном клине по своей структуре согласуются с данными лабораторных опытов. Та-
кие течения характеризуются ячеистой структурой и наличием высокоградиентных об-
ластей, визуализируемых в виде протяженных горизонтальных прослоек.
Физическим механизмом самодвижения клина в покоящейся устойчиво стратифи-
цированной жидкости служит дефицит давления в окрестности его вершины, возника-
ющий вследствие затягивания жидкости в восходящее на верхней стороне и нисходящее
на нижней стороне тела компенсационные течения. Результаты численных исследова-
ний показали, что проявление феномена самодвижения клина зависит от характера
искривления его сторон. Важную роль играют краевые эффекты в вершинах углов у
основания клина. Тонкие струйные течения жидкости, формирующиеся вдоль каждой
из сторон клина, порождают в областях схождения с угловых точек внутренние волны.
Полученные результаты расчета индуцированных диффузией двумерных течений
326
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
а б
в г
д
Рис. 6. Горизонтальная компонента градиента возмущения солености 𝜕𝑠/𝜕𝑥
при обтекании клина со скоростью 𝑈 (𝐿 = 10 см, ℎ = 2 см, 𝑇𝑏 = 6.28 с,
красный — положительные значения, синий — отрицательные):
а — 𝑈 = 10−5 м/с, б — 𝑈 = 10−4 м/с, в — 𝑈 = 10−3 м/с, г — 𝑈 = 10−2 м/с, д — 𝑈 = 10−1 м/с
327
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
а б
в г
д е
ж з
Рис. 7. Продольная и вертикальная компоненты скорости
обтекания клина (левая и правая колонки соответственно):
а, б — сечение 𝑥 = −5 см, в, г — сечение 𝑥 = 0 см, д, е — сечение 𝑥 = 10 см, ж, з — сечение 𝑥 = 15 см;
1 — 𝑈 = 10−5 м/с, 2 — 𝑈 = 10−4 м/с, 3 — 𝑈 = 10−3 м/с, 4 — 𝑈 = 10−2 м/с, 5 — 𝑈 = 10−1 м/с
328
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
около неподвижного клина являются начальными условиями нестационарной задачи
обтекания тела внешним потоком стратифицированной жидкости. При малом числе
Рейнольдса выделены опережающие возмущения и присоединенные внутренние волны.
С увеличением скорости внешнего потока основным компонентом течения становятся
вихри, выраженные в следе.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Phillips O. M. On flows induced by diffusion in a stably stratified fluid // Deep Sea
Research and Oceanographic Abstracts. –– 1970. –– Vol. 17, no. 3. –– P. 435–443.
[2] Мадерич В. С., Никишов В. И., Стеценко А. Г. Динамика внутреннего перемеши-
вания в стратифицированной среде. — Киев : Наукова думка, 1988. — 238 с.
[3] Булатов В. В., Владимиров Ю. В. Волны в стратифицированных средах. — Москва :
Наука, 2015. — 736 с.
[4] Gargett A. E. Differential diffusion: An oceanographic primer // Progress in Oceanog-
raphy. –– 2003. –– Vol. 56, no. 3-4. –– P. 559–570.
[5] Internal wave attractors examined using laboratory experiments and 3D numerical sim-
ulations / C. Brouzet, I. N. Sibgatullin, H. Scolan et al. // Journal of Fluid Mechanics. ––
2016. –– Vol. 793. –– P. 109–131.
[6] Shapiro A., Fedorovich E. A boundary-layer scaling for turbulent katabatic flow //
Boundary-Layer Meteorology. –– 2014. –– Vol. 153, no. 1. –– P. 1–17.
[7] Oerlemans J., van Pelt W. J. J. A model study of Abrahamsenbreen, a surging glacier
in northern Spitsbergen // The Cryosphere. –– 2015. –– Vol. 9, no. 2. –– P. 767–779.
[8] Зырянов В. Н., Лапина Л. Э. Склоновые течения в морях, озерах и водохрани-
лищах, обусловленные диффузионными эффектами // Водые ресурсы. — 2012. —
Т. 39, № 3. — С. 292–303.
[9] Linden P. F., Weber J. E. The formation of layers in a double-diffusive system with a
sloping boundary // Journal of Fluid Mechanics. –– 1977. –– Vol. 81, no. 4. –– P. 757–773.
[10] Hocut C. M., Liberzon D., Fernando H. J. S. Separation of upslope flow over a uniform
slope // Journal of Fluid Mechanics. –– 2015. –– Vol. 775. –– P. 266–287.
[11] Fluid dynamics of self-propelled microorganisms, from individuals to concentrated pop-
ulations / L. H. Cisneros, R. Cortez, C. Dombrowski et al. // Experiments in Fluids. ––
2007. –– Vol. 43, no. 5. –– P. 737–753.
[12] Self-propulsion of immersed object via natural convection / M. J. Mercier,
F. M. Ardekani, M. R. Allshouse et al. // Physical Review Letters. –– 2014. –– Vol.
112, no. 20. –– P. 204501(1–5).
[13] Allshouse M. R., Barad M. F., Peacock T. Propulsion generated by diffusion-driven
flow // Nature Physics. –– 2010. –– Vol. 6. –– P. 516–519.
329
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
[14] Page M. A. Propelled by diffusion // Nature Physics. –– 2010. –– Vol. 6. –– P. 486–487.
[15] Димитриева Н. Ф., Левицкий В. В., Чашечкин Ю. Д. Теневая визуализация само-
движения свободного клина в стратифицированной жидкости // Тезисы докладов
7-й междунар. науч. школы молодых ученых “Волны и вихри в сложных средах”. —
Москва : ИПМех РАН, 2016. — С. 66–68.
[16] Димитриева Н. Ф. Расчет стратифицированных течений около клина с использо-
ванием открытых вычислительных пакетов // Прикладна гiдромеханiка. — 2015. —
Т. 17, № 2. — С. 26–35.
[17] Zagumennyi I. V., Dimitrieva N. F. Diffusion induced flow on a wedge-shaped obstacle //
Physica Scripta. –– 2016. –– Vol. 91, no. 8. –– P. 084002(1–8).
[18] Chashechkin Y. D., Zagumennyi Y. V., Dimitrieva N. F. Dynamics of formation and
fine structure of flow pattern around obstacles in laboratory and computational experi-
ment // Supercomputing. RuSCDays 2016 / Ed. by V. Voevodin, S. Sobolev. –– Vol. 687
of Communications in Computer and Information Science. –– Cham : Springer, 2016. ––
P. 41–56.
[19] Байдулов В. Г., Чашечкин Ю. Д. Инвариантные свойства систем уравнений меха-
ники неоднородных жидкостей // Прикладная математика и механика. — 2011. —
Т. 75, № 4. — С. 551–562.
[20] Chashechkin Y. D., Mitkin V. V. A visual study on flow pattern around the strip moving
uniformly in a continuously stratified fluid // Journal of Visualization. –– 2004. –– Vol. 7,
no. 2. –– P. 127–134.
[21] Димитриева Н. Ф. Численное решение задачи обтекания клина потоком стратифи-
цированной жидкости с использованием OpenFOAM // Труды Института систем-
ного программирования РАН. — 2017. — Т. 29, № 1. — С. 7–20.
[22] Chashechkin Y. D., Dimitrieva N. F. The evolution of the stratified flow structure around
a wedge with increasing velocity of motion // Topical Problems of Fluid Mechanics
2017 / Ed. by D. Šimurda, T. Bodnár. –– Prague, 2017. –– P. 79–86.
[23] Димитриева Н. Ф., Чашечкин Ю. Д. Структура индуцированных диффузией тече-
ний на клине с искривленными гранями // Морской гидрофизический журнал. —
2016. — № 3. — С. 77–86.
REFERENCES
[1] O. M. Phillips, “On flows induced by diffusion in a stably stratified fluid,” Deep Sea
Research and Oceanographic Abstracts, vol. 17, no. 3, pp. 435–443, 1970.
[2] V. S. Maderich, V. I. Nikishov, and A. G. Stecenko, The dynamics of internal mixing
in stratified medium. Kyiv: Naukova Dumka, 1988.
[3] V. V. Bulatov and Y. V. Vladimirov, Waves in stratified media. Moscow: Nauka, 2015.
330
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
[4] A. E. Gargett, “Differential diffusion: An oceanographic primer,” Progress in
Oceanography, vol. 56, no. 3-4, pp. 559–570, 2003.
[5] C. Brouzet, I. N. Sibgatullin, H. Scolan, E. V. Ermanyuk, and T. Dauxois, “Internal
wave attractors examined using laboratory experiments and 3D numerical simulations,”
Journal of Fluid Mechanics, vol. 793, pp. 109–131, 2016.
[6] A. Shapiro and E. Fedorovich, “A boundary-layer scaling for turbulent katabatic flow,”
Boundary-Layer Meteorology, vol. 153, no. 1, pp. 1–17, 2014.
[7] J. Oerlemans and W. J. J. van Pelt, “A model study of Abrahamsenbreen, a surging
glacier in northern Spitsbergen,” The Cryosphere, vol. 9, no. 2, pp. 767–779, 2015.
[8] V. N. Zyryanov and L. E. Lapina, “Slope flows governed by diffusion effects in seas,
lakes, and reservoirs,” Water Resources, vol. 39, no. 3, pp. 294–304, 2012.
[9] P. F. Linden and J. E. Weber, “The formation of layers in a double-diffusive system with
a sloping boundary,” Journal of Fluid Mechanics, vol. 81, no. 4, pp. 757–773, 1977.
[10] C. M. Hocut, D. Liberzon, and H. J. S. Fernando, “Separation of upslope flow over a
uniform slope,” Journal of Fluid Mechanics, vol. 775, pp. 266–287, 2015.
[11] L. H. Cisneros, R. Cortez, C. Dombrowski, R. E. Goldstein, and J. O. Kessler,
“Fluid dynamics of self-propelled microorganisms, from individuals to concentrated
populations,” Experiments in Fluids, vol. 43, no. 5, pp. 737–753, 2007.
[12] M. J. Mercier, F. M. Ardekani, M. R. Allshouse, B. Doyle, and T. Peacock, “Self-
propulsion of immersed object via natural convection,” Physical Review Letters, vol. 112,
no. 20, pp. 204501(1–5), 2014.
[13] M. R. Allshouse, M. F. Barad, and T. Peacock, “Propulsion generated by diffusion-driven
flow,” Nature Physics, vol. 6, pp. 516–519, 2010.
[14] M. A. Page, “Propelled by diffusion,” Nature Physics, vol. 6, pp. 486–487, 2010.
[15] N. F. Dimitrieva, V. V. Levitskii, and Y. D. Chashechkin, “Shadow visualization of the
self-movement of a free wedge in a stratified fluid,” in Abstracts of the 7th International
Scientific Workshop of Young Researchers “Waves and Vortices in Complex Media”,
(Moscow), pp. 66–68, Institute of Applied Mechanics, RAS, 2016.
[16] N. F. Dymytriieva, “Calculation of stratified flows around a wedge using open software
packages,” Applied Hydromechanics, vol. 17, no. 2, pp. 26–35, 2015.
[17] I. V. Zagumennyi and N. F. Dimitrieva, “Diffusion induced flow on a wedge-shaped
obstacle,” Physica Scripta, vol. 91, no. 8, pp. 084002(1–8), 2016.
[18] Y. D. Chashechkin, Y. V. Zagumennyi, and N. F. Dimitrieva, “Dynamics of formation
and fine structure of flow pattern around obstacles in laboratory and computational
experiment,” in Supercomputing. RuSCDays 2016 (V. Voevodin and S. Sobolev, eds.),
vol. 687 of Communications in Computer and Information Science, (Cham), pp. 41–56,
Springer, 2016.
331
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
[19] V. G. Baidulov and Y. D. Chashechkin, “Invariant properties of systems of equations
of the mechanics of inhomogeneous fluids,” Journal of Applied Mathematics and
Mechanics, vol. 75, no. 4, pp. 390–397, 2011.
[20] Y. D. Chashechkin and V. V. Mitkin, “A visual study on flow pattern around the strip
moving uniformly in a continuously stratified fluid,” Journal of Visualization, vol. 7,
no. 2, pp. 127–134, 2004.
[21] N. F. Dimitrieva, “The numerical solution of the problem of stratified fluid flow around
a wedge using OpenFOAM,” Proceedings of the Institute for System Programming of
the RAS, vol. 29, no. 1, pp. 7–20, 2017.
[22] Y. D. Chashechkin and N. F. Dimitrieva, “The evolution of the stratified flow structure
around a wedge with increasing velocity of motion,” in Topical Problems of Fluid
Mechanics 2017 (D. Šimurda and T. Bodnár, eds.), (Prague), pp. 79–86, 2017.
[23] N. F. Dimitrieva and Y. D. Chashechkin, “The structure of induced diffusion flows on a
wedge with curved edges,” Physical Oceanography, no. 3, pp. 77–86, 2016.
Н. Ф. Димитрiєва
Течiї бiля двовимiрного горизонтального клина у стiйко
стратифiкованiй рiдинi
Дослiджено течiї безперервно стратифiкованої рiдини, якi характеризуються ши-
роким дiапазоном значень внутрiшнiх масштабiв, вiдсутнiх в однорiднiй рiдинi.
Задачу розв’язано чисельними методами у двовимiрнiй нестацiонарнiй постановцi
для рiдини, яка перебуває в станах спокою чи рiвномiрного руху. Для матема-
тичного опису дослiджуваної проблеми обрано систему диференцiальних рiвнянь
механiки неоднорiдних багатокомпонентних рiдин у наближеннi Буссiнеска, ко-
ли малi змiни густини враховуються лише в членах, якi описують силу тяжiння.
Поставлена задача розв’язувалась методом скiнченних об’ємiв у вiдкритому па-
кетi Особливу увагу придiлено створенню якiсної розрахункової сiтки з високим
роздiленням, яка враховувала б багатомасштабнiсть течiй, iндукованих дифузi-
єю. Обговорено питання використання стандартних i розширених утилiт пакету
OpenFOAM з метою реалiзацiї складних граничних умов i розробки власних чи-
слових моделей. У якостi вихiдних умов задачi обтiкання клина зовнiшнiм потоком
стратифiкованого середовища використовувались ранiше розрахованi поля течiй,
iндукованих перериванням дифузiйного переносу нерухомим клином, якi якiсно
узгоджуються з даними лабораторних дослiдiв. Показано вплив крайових ефектiв
i кривизни бiчної поверхнi на структуру течiї. Результати розрахунку виявили бi-
ля гострої вершини протяжну область дефiциту тиску, яка формує iнтегральну
силу, що викликає саморух вiльного клина в напрямку вершини вздовж горизонту
нейтральної плавучостi в нерухомому стiйко стратифiкованому середовищi. Проде-
монстровано еволюцiю картини обтiкання клину стратифiкованим потоком, який
почав рiвномiрно рухатися зi стану спокою зi швидкiстю 10−4 м/с. У всiх режи-
мах течiя характеризується складною внутрiшньою структурою, в якiй на початку
вираженi дисипативно-гравiтацiйнi хвилi, а потiм — група приєднаних хвиль, якi
утворюються в протифазi бiля граней клина. Зi збiльшенням швидкостi зовнiшньо-
го потоку основним компонентом течiї стають вихори, якi домiнують у слiдi.
332
ISSN 2616-6135. ГIДРОДИНАМIКА I АКУСТИКА. 2018. Том 1(91), № 2. С. 316316–333333.
КЛЮЧОВI СЛОВА: чисельне моделювання, вiдкритi обчислювальнi пакети, стра-
тифiкацiя, течiї рiдини, дифузiя, саморух
N. F. Dimitrieva
Flows around a 2D horizontal wedge in a steadily stratified liquid
The paper deals with studying of the flows of continuously stratified fluid characterized
by a wide range of values of internal scales that are absent in a homogeneous fluid. The
problem is solved by numerical methods in a 2D unsteady formulation for a fluid at
rest and uniform motion. For the mathematical description of the problem, a system of
differential equations of mechanics of inhomogeneous multicomponent fluids was chosen
in the Boussinesq approximation with considering the small density variations only in
terms describing the gravity force. The problem is solved by the method of finite
volumes in a free software package OpenFOAM. The particular attention was paid to
creation of a high-quality high-resolution computational grid taking into account the
multi-scale diffusion-induced flows. The use of standard and advanced utilities of the
OpenFOAM package to implement the complex boundary conditions and develop new
numerical models is discussed. The fields of diffusion-induced flows on a fixed wedge
being in qualitative agreement with experimental data are used for initial conditions in
the problem of external flow of a stratified medium around the wedge. The influence
of edge effects and curvature of edge lateral surface on the flow structure is shown.
The results of calculation reveal the extended region of pressure deficit at the acute
top forming the integral force that is the reason for self-motion of free wedge in apex
direction along the neutral buoyancy horizon in stably stratified medium. In stratified
fluid, the evolution of flow pattern of the wedge starting the uniform motion from the
rest at the velocity of 10−4 m/s is demonstrated. In all regimes, the flow is characterized
by complex internal structure with the initially expressed dissipative-gravity waves and
further emerging group of attached waves forming in antiphase at wedge’s edges. With
the increase of external flow velocity vortices dominating in the wake become the main
component of the flow.
KEY WORDS: numerical simulation, open computing packages, stratification, fluid
flow, diffusion, self-motion
333
ВВЕДЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Неподвижный клин
Обтекание клина
ВЫВОДЫ
|