Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних
By using a transformation matrix, we reduce a system of differential equations with a small parameter at partial derivatives and a turning point to an integrable system of equations.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174635 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних / I.Г. Ключник // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 30-38. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174635 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1746352021-01-27T01:26:29Z Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних Ключник, I.Г. By using a transformation matrix, we reduce a system of differential equations with a small parameter at partial derivatives and a turning point to an integrable system of equations. С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных с точкой поворота асимптотически сводится к интегрируемой системе уравнений. 2010 Article Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних / I.Г. Ключник // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 30-38. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174635 517.928 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
By using a transformation matrix, we reduce a system of differential equations with a small parameter at partial derivatives and a turning point to an integrable system of equations. |
| format |
Article |
| author |
Ключник, I.Г. |
| spellingShingle |
Ключник, I.Г. Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних Нелінійні коливання |
| author_facet |
Ключник, I.Г. |
| author_sort |
Ключник, I.Г. |
| title |
Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних |
| title_short |
Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних |
| title_full |
Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних |
| title_fullStr |
Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних |
| title_sort |
асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174635 |
| citation_txt |
Асимптотичнi розв’язки лiнiйної системи з малим параметром при частинi похiдних / I.Г. Ключник // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 30-38. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT klûčnikig asimptotičnirozvâzkilinijnoísistemizmalimparametrompričastinipohidnih |
| first_indexed |
2025-07-15T11:39:57Z |
| last_indexed |
2025-07-15T11:39:57Z |
| _version_ |
1837712904278769664 |
| fulltext |
УДК 517 . 928
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ
З МАЛИМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ЧАСТИНI ПОХIДНИХ
I. Г. Ключник
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail: Klyuchnyk.I@mail.ru
By using a transformation matrix, we reduce a system of differential equations with a small parameter at
partial derivatives and a turning point to an integrable system of equations.
С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым парамет-
ром при части производных с точкой поворота асимптотически сводится к интегрируемой
системе уравнений.
У роботах [1 – 4] наведено огляд лiтератури з основних методiв побудови асимптотичних
розв’язкiв сингулярно збурених лiнiйних диференцiальних рiвнянь з точками звороту. За
допомогою примежових функцiй в [4] запропоновано метод для асимптотичного iнтегру-
вання системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних, але
цей метод не можна застосувати при наявностi точки звороту. В статтi [5] уперше розгля-
нуто лiнiйну систему диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних
вигляду
y′ = A(x)y + A1(x)y1,
(1)
εy′1 = (B(x) + εB1(x))y1 + εB2(x)y,
у якiй y ∈ RP , y1 ∈ R2, A(x), A1(x), B1(x) i B2(x) — голоморфнi при
|x| ≤ x0 (2)
матрицi, B(x) — матриця рiвняння Ейрi [1] вигляду B(x) =
(
0 1
x 0
)
, ε — малий дiйсний
параметр. У данiй статтi одержано асимптотичний метод iнтегрування лiнiйної системи
диференцiальних рiвнянь вигляду (1), в якiй y ∈ RP , y1 ∈ Rm, m — парне додатне число,
а B(x) — (m×m)-матриця рiвняння з [6] вигляду
B(x) = xI1 + N, (3)
де N — нiльпотентна матриця, I1 — матриця з єдиним ненульовим елементом {I1}m1 = 1.
Будемо вважати, що
trB1(x) = trA(x) ≡ 0. (4)
c© I. Г. Ключник, 2010
30 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ З МАЛИМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ЧАСТИНI ПОХIДНИХ 31
За допомогою перетворення
(
y
y1
)
= Φ(x, ε)
(
u
v
)
систему (1) зведемо до вигляду
u′ = C(ε)v, (5)
εv′ = B(x)v + εD(ε)u, (6)
де Φ(x, ε) — блочна матриця,
Φ(x, ε) =
U(x) +
∞∑
n=1
εnUn(x)
∞∑
n=1
εnVn1(x)
∞∑
n=1
εnUn1(x) V (x) +
∞∑
n=1
εnVn(x)
; (7)
матрицi C(ε), D(ε) мають формальнi розвинення
C(ε) =
∞∑
n=0
εnCn, D(ε) =
∞∑
n=0
εnDn, (8)
Cn, Dn — сталi матрицi вiдповiдно розмiрностей p × m, m × p, до того ж елементи пер-
шого стовпця дорiвнюють {Cn}i1 = cin, елементи m-го рядка матрицi Dn дорiвнюють
{Dn}mi = dni, i = 1, p, а всi iншi елементи матриць Cn, Dn дорiвнюють нулю.
Згiдно з виглядом рiвнянь (1), (5), (6) матриця Φ(x, ε) задовольняє матричне диферен-
цiальне рiвняння
εΦ′ + Φ
(
0 εC(ε)
εD(ε) B(x)
)
=
(
εA(x) εA1(x)
εB2(x) B(x) + εB1(x)
)
Φ. (9)
Пiдставляючи (7), (8) в (9) i зрiвнюючи коефiцiєнти при нульовому степенi ε, одержуємо
рiвняння
U ′(x) = A(x)U(x), (10)
U(x)C0 − V11(x)B(x) = A1(x)V (x), (11)
V (x)D0 = B2(x)U(x) + B(x)U11(x), (12)
V (x)B(x) = B(x)V (x). (13)
З (10), (13) знаходимо
U(x) = Ωx
0(A(x)), V (x) = q0m(x)I +
m−1∑
r=1
q0r(x)Bm−r(x), (14)
де Ωx
0(A(x)) — матрицант першого з рiвнянь (14), q0i(x), i = 1,m, — довiльнi голоморфнi
функцiї в областi (2), I — одинична матриця. Для визначення q0i(x), i = 1,m, використає-
мо рiвняння, якi одержують, зрiвнюючи в (9), з урахуванням (7), (8), коефiцiєнти при
першому степенi параметра ε :
U ′
1(x) + V11(x)D0 = A(x)U1(x) + A1(x)U11(x), (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
32 I. Г. КЛЮЧНИК
V ′
11(x) + U(x)C1 + U1(x)C0 + V21(x)B(x) = A(x)V11(x) + A1(x)V1(x), (16)
U ′
11(x) + V (x)D1 + V1(x)D0 = B2(x)U1(x) + B1(x)U11(x) + B(x)U21(x), (17)
V ′(x) + V1(x)B(x) = B(x)V1(x) + B1(x)V (x). (18)
За лемами з [7] для iснування розв’язку рiвняння (18) необхiдно i достатньо виконання
умов
tr ((V ′(x)−B1(x)V (x))Bk(x)) = 0, k = 0,m− 1. (19)
Далi, можна довести спiввiдношення
tr (Bj(x)) =
0, 1 ≤ j ≤ m− 1,
0, j > m,
mx, j = m,
tr (Bj(x)B′(x)) =
0, 1 ≤ j < m− 1,
0, j ≥ m,
1, j = m− 1, j = 1, 2m− 2.
(20)
Пiдставляючи (14) у рiвняння (18) i використовуючи умови iснування (19) для одержаних
рiвнянь, а також враховуючи спiввiдношення
tr (B1(x)Bm+i(x)) = x tr (B1(x)Bi(x)), i = 0,m− 2, (21)
i (20), отримуємо рiвняння для знаходження функцiй q0i(x), i = 1,m :
mq′0m(x) =
m−1∑
r=0
bm−r−1(x)q0,r+1(x),
mxq′0,j−1(x) =
j−2∑
r=1
xbj−r−1(x)q0r(x) +
m−j∑
r=0
bm−r−1(x)q0,j+r(x)+
+ xb0(x)q0,j−1(x)− (m− j + 1)q0,j−1(x), j = 2,m, (22)
де b0(x) = trB1(x), bi(x) = tr (B1(x)Bi(x)), i = 1,m− 1. Записавши (22) в матричному
виглядi i помноживши одержане рiвняння злiва на матрицю B(x), будемо мати
xq′0(x) = H(x)q0(x). (23)
Тут H(x) = T1 +
1
m
B(x)T2(x), T1 — стала дiагональна матриця з дiагональними елемен-
тами {T1}rr = −m− r
m
, r = 1,m, а матриця T2(x) визначається таким чином: {T2(x)}kr =
= tr (B1(x)Bm−1+k−r(x)), k = 1,m, r = 1,m. Згiдно з явним виглядом матрицi H(x) i
(21) матриця H(0) має власнi значення λi = −m− i
m
, i = 1,m, тому з теорiї регулярних
особливих точок лiнiйних диференцiальних рiвнянь iз [1] випливає, що система (23) має
ненульовий голоморфний в областi (2) розв’язок, який залежить вiд значень q0m(0). По-
клавши q0m(0) = 1, однозначно визначимо розв’язок q0(x) рiвняння (23). Пiдставивши
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ З МАЛИМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ЧАСТИНI ПОХIДНИХ 33
знайденi функцiї U(x), V (x) у виглядi (14) у рiвняння (11), (12), одержимо рiвняння для
визначення C0, D0, U11(x), V11(x). Помноживши (11) справа на матрицю Bm−1(x), а (12)
злiва на Bm−1(x), отримаємо
U(x)C0B
m−1(x) + xV11(x) = A1(x)V (x)Bm−1(x),
(24)
Bm−1(x)V (x)D0 = Bm−1(x)B2(x)U(x) + xU11(x).
При x = 0 iз (24) одержимо рiвняння для визначення матриць C0, D0 :
U(0)C0B
m−1(0) = A1(0)V (0)Bm−1(0), Bm−1(0)V (0)D0 = Bm−1(0)B2(0)U(0). (25)
З рiвнянь (25) знайдемо {C0}i1 = {A1(0)V (0)}i1, {C0}ij = 0,
{D0}mi = {B2(0)U(0)}mi, {D0}si = 0, i = 1, p, j = 2,m, s = 1,m− 1. (26)
З огляду на (25) для визначення матриць V11(x), U11(x) iз (24) отримаємо рiвняння
xV11(x) = F (x), x U11(x) = G(x), (27)
де F (x), G(x) — вiдомi матрицi вигляду F (x) = A1(x)V (x)Bm−1(x) − U(x)C0B
m−1(x),
G(x) = Bm−1(x)V (x)D0 − Bm−1(x)B2(x)U(x). Оскiльки на пiдставi вибору C0, D0 F (0) =
= 0, G(0) = 0, то
F (x) = x
1∫
0
F ′(tx)dt, G(x) = x
1∫
0
G′(tx)dt. (28)
Тут через F ′ позначено похiдну функцiї F (x) по x : F ′ = dF/dx.
З урахуванням (27), (28) для V11(x), U11(x) знайдемо значення
V11(x) =
1∫
0
F ′(tx) dt, U11(x) =
1∫
0
G′(tx) dt,
якi визначають голоморфнi в областi (2) розв’язки вiдповiдно рiвнянь (27). Отже, знайде-
но коефiцiєнти розвинень (7), (8) при ε в нульовому степенi.
Для знаходження коефiцiєнтiв розвинень (7), (8) при ε у першому степенi використа-
ємо систему рiвнянь (15) – (18). Покладаючи U1(0) = 0, з рiвняння (15) однозначно знахо-
димо U1(x), а загальний розв’язок рiвняння (18) визначається за формулою
V1(x) = q1m(x)I +
m−1∑
r=1
q1r(x)Bm−r(x) + W1(x), (29)
де W1(x) — вiдома (m × m)-матриця, елементи останнього стовпчика якої дорiвнюють
нулю. Пiдставивши (29) в умову iснування розв’язку рiвняння, що одержується з (9) при ε
у другому степенi,
V ′
1(x) + U11(x)C0 + V2(x)B(x) = B(x)V2(x) + B2(x)V11(x) + B1(x)V1(x), (30)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
34 I. Г. КЛЮЧНИК
i помноживши знайденi спiввiдношення злiва на матрицю B(x) одержимо неоднорiдну
диференцiальну систему рiвнянь з регулярною особливiстю вигляду
xq′1(x) = H(x)q1(x) + F (1)(x), (31)
де F (1)(x) =
1
m
B(x)f (1)(x), компоненти вектора {f (1)(x)}i = tr (B1(x)W1(x) + B2(x)×
×V11(x) − U11(x)C0 − W ′
1(x))Bi−1(x), i = 1,m, q1(x) — вектор з компонентами q1i(x),
i = 1,m. Система рiвнянь (31) має голоморфний розв’язок в областi (2), який залежить
вiд q1m(0). При q1m(0) = 0 однозначно визначається розв’язок системи (31). Матрицi
V21(x), U21(x), C1, D1 однозначно знаходяться з рiвнянь (16), (17). Можна довести, що
за вказаним алгоритмом однозначно знаходяться довiльнi коефiцiєнти розвинень (7), (8)
i коефiцiєнти розвинень (7) є голоморфними функцiями в областi (2).
Матриця (7) при ε = 0 має вигляд Φ(x, 0) =
(
U(x) 0
0 V (x)
)
, де U(x), V (x) визнача-
ються за формулами (14). З умови (4) випливає, що det U(x) ≡ 1. Використавши явний
вигляд (14) матрицi V (x), знайдемо похiдну вiд визначника матрицi V (x) i в одержаних
визначниках Ij , j = 1,m, виконаємо наступнi перетворення при x 6= 0. А саме, у визнач-
нику Ij , j = 1,m− 1, j-й рядок помножимо на mx i використаємо (22). В одержаному ви-
значнику i-й рядок при i = 1, j − 1 помножимо на −xbj−i(x), а i-й рядок при i = j + 1,m
— на −bj+m−i(x) i додамо до j-го рядка, а потiм запишемо цей визначник у виглядi суми
двох визначникiв. У визначнику Im m-й рядок помножимо на m i використаємо (22). В
одержаному визначнику j-й рядок помножимо на bm−j(x), j = 1,m− 1, i додамо до m-го
рядка. В результатi одержимо
Ij =
b0(x)
m
det V (x) +
1
mx
det Lj , Im =
b0(x)
m
det V (x) +
1
m
det Lm, j = 1,m− 1, (32)
де
{Lj}ji =
{
(j − i)xq0,j−i(x) i = 1, j,
(j − i)q0,j+m−i, i = j + 1,m,
{Lm}mi = (m− i)q0,m−i(x), i = 1,m, {Lj}ki = {V (x)}ki, k = 1,m, k 6= j, i = 1,m.
Покажемо справедливiсть рiвностi
m∑
j=1
det Lj = 0. (33)
Для цього визначник det Lj , j = 1,m, розкладемо по j-му рядку i одержаний вираз згру-
пуємо при q01(x), q02(x), . . . , q0,m−1(x). При q01(x) маємо вираз
q01(x)
mx
((m− 1) detL11 − det L21 − . . .− det Lm1) , (34)
де {L11}k1i = {L1}ki, k = 2,m, k1 = k − 1, i = 1,m− 1; {L21}k2i2 = {L2}ki, i2 = i − 1,
i = 2,m, k2 = k = 1, k2 = k − 1 при k = 3,m; {Lm1}kim = {Lm}ki, k = 1,m− 1, im = i,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ З МАЛИМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ЧАСТИНI ПОХIДНИХ 35
i = 1,m− 2, im = i − 1 при i = m. Визначник матрицi L21 можна перетворити таким
чином: перший рядок переставити на мiсце (m − 1)-го рядка, а рядки, що починаються з
другого, пiдняти на один рядок вище. При цьому, оскiльки m є парним, а кiлькiсть зроб-
лених перестановок дорiвнює m − 2, знак визначника не змiниться. Для перетворення
визначника det Lj1 до вигляду визначника det L11 будемо переставляти рядки i стовпчики
таким чином, щоб елемент xq01(x), який знаходився в j-му рядку, перейшов до першого
рядка i першого стовпчика; при цьому всi iншi рядки i стовпчики будемо зсувати таким
чином, щоб не змiнити порядок їх слiдування у визначнику до перестановок. У визначни-
ку det Lm1 поставимо (m− 1)-й стовпчик на мiсце першого, а всi iншi стовпчики зсуваємо
так, щоб не змiнити їх порядок слiдування у визначнику до перестановки. Пiсля таких пе-
ретворень видно, що вираз, який знаходиться у формулi (34), дорiвнює нулю. Мiркуючи
аналогiчно, переконуємося, що сума визначникiв, згрупованих при q0j(x), j = 2,m− 1,
дорiвнює нулю. Таким чином, рiвнiсть (33) доведено.
Пiдставивши (32) в (detV (x))′ i врахувавши (33), одержимо
(detV (x))′ = (trB1(x)) det V (x), x 6= 0. (35)
Оскiльки
q0i(0) = 0, q0m(0) = 1, i = 1,m− 1, (36)
з формули (32) випливає, що Ij при x = 0 є визначником верхньотрикутної матрицi,
дiагональний елемент (jj) якої дорiвнює q′0m(0), а iншi дiагональнi елементи дорiвнюють
одиницi. Тому
Ij(0) = q′0m(0). (37)
Пiдставляючи (36) в (22), при x = 0 знаходимо
q′0m(0) =
trB1(0)
m
. (38)
Тодi з (37), (38) маємо
(detV (x))′
∣∣
x=0
= trB1(0). (39)
З (35) i (39) випливає, що для кожного x з областi (2) справджується рiвнiсть
(detV (x))′ = (trB1(x)) det V (x). (40)
З умови (4) i рiвностi (40) випливає, що (detV (x))′ ≡ 0, для кожного x з областi (2). Але
тодi з (14) i останньої рiвностi маємо det V (x) ≡ det V (0) = 1. Таким чином, det Φ(x, 0) ≡
≡ 1 для кожного x з областi (2).
Методом iз [5] можна довести, що за допомогою замiни u = V (ε)w система (5), (6)
зводиться до вигляду
w′
1 = c1(ε)v1, w′
i = 0, i = 2, p, (41)
εv′ = B(x) v + εD1(ε) w, (42)
де v — m-вимiрний вектор з компонентами vi; cs(ε), s = 1, p, — елементи матрицi cs =
= {C(ε)}s1; V (ε) — (p×p)-матриця з дiагональними елементами, що дорiвнюють одиницi,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
36 I. Г. КЛЮЧНИК
в якої {V (ε)}i1 = ji(ε), ji(ε) =
ci(ε)
c1(ε)
, i = 2, p, при умовi, що c1(ε) 6= 0, а iншi елементи
дорiвнюють нулю; D1(ε) = D(ε)V (ε) =
(
0
d1(ε)
)
.
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема. Нехай права частина системи рiвнянь (1) голоморфнi в областi (2). Тодi
iснують формальнi ряди (7), (8), коефiцiєнти яких голоморфнi в областi (2), такi, що
det Φ(x, 0) ≡ 1, i формальнi перетворення з матрицею замiни вигляду (7) зводять си-
стему (1) до системи (41), (42).
Розглянемо систему рiвнянь (41), (42). З (41) маємо w1 = w0
1 + c1(ε)
∫ x
0
v1(t)dt, wj =
= w0
j , j = 2, p, де w0
i , i = 1, p, — довiльнi сталi. Пiдставляючи останнi рiвностi в (42),
одержуємо систему рiвнянь для v, яка зводиться до одного рiвняння m-го порядку
εmv
(m)
1 = v1x + εc0 + εα
x∫
0
v1(t) dt, (43)
де c0 = d1(ε)w0, d1(ε) = (d11(ε) . . . d1p(ε)), α = d11(ε)c1(ε); vm = εm−1v
(m−1)
1 .
Знайдемо частинний розв’язок рiвняння (43), поклавши v1(0) = 0, v′1(0) = 0, . . .
. . . , v
(m−1)
1 (0) = 0. Взявши v1(x) у виглядi степеневого ряду
v1(x) =
∞∑
n=m
vnxn, (44)
для коефiцiєнтiв цього ряду отримаємо рiвняння
vm =
c0λ
m−1
m!
, λ =
1
ε
, vn =
vn−m−1(1 + εα
n−m)
εmn(n− 1) . . . (n−m + 1)
, n = (m+1), (m+2) . . . . (45)
Врахувавши початковi значення i (45), одержимо, що ненульовi коефiцiєнти ряду (44)
визначаються спiввiдношеннями
vk(m+1)+m =
c0λ
mk+m−1(m + 1 + εα)(2m + 2 + εα) . . . (km + k + εα)
(km + k + m)!
, k = 1, 2 . . . . (46)
Згiдно з (46) розв’язок (44) рiвняння (43) має вигляд
v1(x) = xmλm−1c0
(
1
m!
+
∞∑
k=1
Γkm−m+k(m + εα)(λmxm+1)k
(km + k + m)!
)
, (47)
де через Γl(µ) позначено добуток Γl(µ) = (µ + 1) . . . (µ + l).
Розглянемо тепер однорiдне рiвняння вигляду
εmv
(m)
1 = v1x + εα
x∫
0
v1(t)dt. (48)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
АСИМПТОТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ЛIНIЙНОЇ СИСТЕМИ З МАЛИМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ЧАСТИНI ПОХIДНИХ 37
Знайдемо m лiнiйно незалежних розв’язкiв рiвняння (48). Перше з них визначаємо у ви-
глядi ряду
v1(x) = 1 +
∞∑
n=m
vnxn, (49)
тобто початковi умови визначимо таким чином: v1(0) = 1, v′1(0) = 0, . . . , v
(m−1)
1 (0) =
= 0. Пiдставляючи (49) в (48), для коефiцiєнтiв vn ряду (49) одержимо рiвняння
vm = 0 (50)
i рекурентне спiввiдношення (45). З урахуванням початкових умов i (50) ненульовi коефi-
цiєнти ряду (49) визначаються спiввiдношеннями
vk(m+1) =
λmk(1 + εα)(m + 2 + εα) . . . (km + k −m + εα)
(km + k)!
, k = 1, 2 . . . . (51)
Згiдно з (51) розв’язок (49) рiвняння (48) має вигляд
v1(x) = 1 +
∞∑
k=1
Γkm−m+k(εα)(λmxm+1)k
(km + k)!
, (52)
а j-й лiнiйно незалежний розв’язок рiвняння (48) з початковими умовами v1(0) = 0,
v′1(0) = 0, . . . , v
(j)
1 (0) = 1, v
(j+1)
1 (0) = 0, . . . , v
(m−1)
1 (0) = 0
v1(x) = xj
(
1
j!
+
∞∑
k=1
Γkm−m+k(j + εα)(λmxm+1)k
(km + k + j)!
)
, 1 ≤ j ≤ m− 1. (53)
З розв’язкiв (47), (52) та (53) для 1 ≤ j ≤ m− 1 рiвнянь (43), (48) можна записати загаль-
ний розв’язок системи рiвнянь (41), (42).
До рiвняння (43) можна застосувати результати роботи [8] i дати бiльш повний аналiз
розв’язкiв. Очевидним є узагальнення наведених вище результатiв на випадок системи
бiльш загального, нiж (1), вигляду, а саме, на випадок системи
y′ = A(x, ε)y + A1(x, ε)y1,
εy′1 = B(x, ε)y1 + εB1(x, ε)y,
де A(x, ε), A1(x, ε), B(x, ε), B1(x, ε) — матрицi, голоморфнi по x, ε в областi |x| ≤ x0, |ε| ≤
≤ ε0 i такi, що матриця B(x, 0) голоморфно подiбна матрицi B(x) вигляду (3).
Таким чином, у данiй статтi запропоновано асимптотичний метод iнтегрування лiнiй-
ної системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з точкою
звороту.
1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. —
М.: Мир, 1968. — 464 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
38 I. Г. КЛЮЧНИК
2. Wasow W. Linear turning point theory. — New York: Springer, 1985. — 243 p.
3. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. — М.: Наука, 1983. — 352 с.
4. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных урав-
нений. — М.: Наука, 1973. — 272 с.
5. Самойленко А. М. Об асимптотическом интегрировании одной системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром при части производных // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 11. —
С. 1505 – 1516.
6. Kohno M., Ohkohchi S., Kohmoto T. On full uniform simplification of even order linear differential equations
with a parameter // Hiroshima Math. J. — 1979. — 9. — P. 747 – 767.
7. Wasow W. Simplification of turning point problems for systems of linear differential equations // Trans. Amer.
Math. Soc. — 1963. — 106. — P. 100 – 114.
8. Langer R. E. The solutions of the differential equations v′′′ + λ2zv′ + 3µλ2v = 0 // Duke Math. J. — 1955.
— 22. — P. 525 – 542.
Одержано 16.02.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
|