О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости
Розглядається задача малих рухiв системи тонких шарiв обертової iдеальної рiдини, а також задача власних коливань системи, що природним чином виникає пiсля дослiдження початковокрайової задачi у випадку, коли обертання системи вiдсутнє i всi фiзичнi коефiцiєнти є одиничними. Рiвняння i крайовi умов...
Gespeichert in:
Datum: | 2014 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174710 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости / И.А. Гажева // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 39-49 . — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-174710 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1747102021-01-28T01:26:36Z О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости Гажева, И.А. Розглядається задача малих рухiв системи тонких шарiв обертової iдеальної рiдини, а також задача власних коливань системи, що природним чином виникає пiсля дослiдження початковокрайової задачi у випадку, коли обертання системи вiдсутнє i всi фiзичнi коефiцiєнти є одиничними. Рiвняння i крайовi умови вiдповiдної початково-крайової задачi розглядаються у так званому наближеннi мiлкої води, коли поперечнi розмiри шарiв набагато меншi, нiж їх поздовжнiй розмiр, а рух рiдини в основному вiдбувається у горизонтальному напрямку. Мета роботи полягає в дослiдженнi основного оператора спрощеної задачi, що виникає при вивченнi задачi малих рухiв системи тонких шарiв обертової iдеальної рiдини. We consider small motions in a thin-layered system in a rotating ideal fluid, as well as the eigen oscillation problem that naturally appears in a study of an initial boundary-value problem in the case where no rotation is present and all physical quantities are set to one. The equations and the initial boundary-value conditions are considered with the so-called shallow water assumption, that is, if the transversal dimension of the layers is much less than the lonngitudinal dimensions, and the motion of the fluid occurs in the horizontal direction. We study the main operator of a simplified problem. This operator appears when dealing with the problem of small motions of a thin-layered system in a rotating ideal fluid. 2014 Article О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости / И.А. Гажева // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 39-49 . — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174710 532.5+517.98 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
description |
Розглядається задача малих рухiв системи тонких шарiв обертової iдеальної рiдини, а також задача власних коливань системи, що природним чином виникає пiсля дослiдження початковокрайової задачi у випадку, коли обертання системи вiдсутнє i всi фiзичнi коефiцiєнти є одиничними.
Рiвняння i крайовi умови вiдповiдної початково-крайової задачi розглядаються у так званому наближеннi мiлкої води, коли поперечнi розмiри шарiв набагато меншi, нiж їх поздовжнiй розмiр, а рух рiдини в основному вiдбувається у горизонтальному напрямку.
Мета роботи полягає в дослiдженнi основного оператора спрощеної задачi, що виникає при вивченнi задачi малих рухiв системи тонких шарiв обертової iдеальної рiдини. |
format |
Article |
author |
Гажева, И.А. |
spellingShingle |
Гажева, И.А. О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости Нелінійні коливання |
author_facet |
Гажева, И.А. |
author_sort |
Гажева, И.А. |
title |
О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости |
title_short |
О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости |
title_full |
О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости |
title_fullStr |
О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости |
title_full_unstemmed |
О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости |
title_sort |
о собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2014 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174710 |
citation_txt |
О собственных колебаниях системы тонких слоев вращающейся идеальной жидкости / И.А. Гажева // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 39-49 . — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
series |
Нелінійні коливання |
work_keys_str_mv |
AT gaževaia osobstvennyhkolebaniâhsistemytonkihsloevvraŝaûŝejsâidealʹnojžidkosti |
first_indexed |
2025-07-15T11:45:45Z |
last_indexed |
2025-07-15T11:45:45Z |
_version_ |
1837713269209432064 |
fulltext |
УДК 532.5+517.98
О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ ТОНКИХ СЛОЕВ
ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
И. А. Гажева
Тавр. нац. ун-т им. В. И. Вернадского
Украина, 95000, Симферополь, просп. Вернадского, 4
e-mail: param256@gmail.com
We consider small motions in a thin-layered system in a rotating ideal fluid, as well as the eigen oscillation
problem that naturally appears in a study of an initial boundary-value problem in the case where no
rotation is present and all physical quantities are set to one.
The equations and the initial boundary-value conditions are considered with the so-called shallow
water assumption, that is, if the transversal dimension of the layers is much less than the lonngitudinal
dimensions, and the motion of the fluid occurs in the horizontal direction.
We study the main operator of a simplified problem. This operator appears when dealing with the
problem of small motions of a thin-layered system in a rotating ideal fluid.
Розглядається задача малих рухiв системи тонких шарiв обертової iдеальної рiдини, а також
задача власних коливань системи, що природним чином виникає пiсля дослiдження початково-
крайової задачi у випадку, коли обертання системи вiдсутнє i всi фiзичнi коефiцiєнти є одинич-
ними.
Рiвняння i крайовi умови вiдповiдної початково-крайової задачi розглядаються у так зва-
ному наближеннi мiлкої води, коли поперечнi розмiри шарiв набагато меншi, нiж їх поздовжнiй
розмiр, а рух рiдини в основному вiдбувається у горизонтальному напрямку.
Мета роботи полягає в дослiдженнi основного оператора спрощеної задачi, що виникає при
вивченнi задачi малих рухiв системи тонких шарiв обертової iдеальної рiдини.
1. Постановка задачи. Будем считать, что гидроcистема, состоящая из m тонких несме-
шивающихся слоев идеальной жидкости различной плотности ρj , 0 < ρ1 < . . . < ρm, и
толщины hj , заполняет цилиндрическую область (сосуд) Ω ∈ R3 и в невозмущенном со-
стоянии равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω0 = f/2,
где величину f называют параметром Кориолиса. Полагаем, что ω0 достаточно мала, и
тогда свободную поверхность Γ1 верхней жидкости, а также границы раздела Γ2, . . . ,Γm
между слоями и днищем Γm+1 можно считать плоскими и горизонтальными. При этом
Ω = Γ× (−h, 0), где Γ — поперечное сечение цилиндра, а h =
∑m
k=1 hk — высота системы
слоев жидкости. Поскольку по предположению h много меньше диаметра Γ, движения
данной системы тонких слоев жидкостей можно описывать дифференциальными урав-
нениями теории мелкой воды, или теорией длинных волн (см. [1]).
Соответствующая проблема для одного тонкого слоя жидкости исследована в [2, 3].
Введем систему координат Ox1x2x3, равномерно вращающуюся с угловой скоростью
ω0 вокруг вертикальной оси Ox3, и приведем математическую постановку исследуемой
задачи. В теории длинных волн предполагается, что горизонтальные компоненты ско-
рости и возмущение поля давлений зависят лишь от горизонтальных координат x =
= (x1, x2) ∈ Γ и времени t. Тогда вместо трехмерной возникает двумерная задача о нахо-
ждении горизонтальных полей скоростей ~uj = ~uj(t, x), полей давлений pj(t, x), а также
c© И. А. Гажева, 2014
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1 39
40 И. А. ГАЖЕВА
вертикальных отклонений ζj = ζj(t, x) движущихся границ раздела между слоями от их
равновесных положений Γj , j = 1,m, x ∈ Γ.
В этих предположениях уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости в систе-
ме координатOx1x2,жестко связанной с сосудом и вращающейся вместе с ним с постоян-
ной угловой скоростью ~ω0 = ω0 ~e3, таковы (см. [4, с. 322]):
ρj
∂ ~uj
∂t
− 2ω0ρj( ~uj × ~e3) +∇pj = ~0, x ∈ Γ, j = 1,m, (1.1)
где∇— двумерный градиент в плоскости Ox1x2.
Приведем теперь краткий вывод других уравнений, а также краевые и начальные
условия изучаемой задачи. В исходной трехмерной постановке задачи кинематические
условия на поверхностях Γ1, . . . ,Γm формулируются следующим образом:
w1 =
∂ζ1
∂t
(x3 = 0), w1 = w2 =
∂ζ2
∂t
(x3 = −h1), . . . ,
(1.2)
wm−1 = wm =
∂ζm
∂t
(
x3 = −
m−1∑
k=1
hk
)
, wm = 0 (x3 = −h),
где hj > 0 — постоянные толщины слоев в невозмущенном состоянии системы, wj —
поля вертикальных скоростей слоев на Γj , j = 1,m.
Соответственно, динамические условия имеют вид
p1 = gρ1ζ1 ( Γ1), p1 − p2 = g(ρ1 − ρ2)ζ2 (на Γ2), . . . ,
(1.3)
pm−1 − pm = g(ρm−1 − ρm)ζm (на Γm).
Опираясь на соотношения (1.2) и (1.3), устанавливаем следствия из уравнений нераз-
рывности для каждого слоя жидкости. Из этих уравнений следует, что ∂wj/∂x3 являются
функциями горизонтальных координат x = (x1, x2) ∈ Γ и времени t. Поэтому wj(t, x, x3)
являются линейными функциями вертикальной координаты x3, и их можно вычислить,
зная их значения на Γj , j = 1,m+ 1. Это приводит к соотношениям
div (h1~u1) +
∂ζ1
∂t
− ∂ζ2
∂t
= 0, div (h2~u2) +
∂ζ2
∂t
− ∂ζ3
∂t
= 0, . . . ,
(1.4)
div (hm−1~um−1) +
∂ζm−1
∂t
− ∂ζm
∂t
= 0, div (hm~um) +
∂ζm
∂t
= 0.
Поскольку∇pj не зависят от x3, то из динамических условий (1.3) находим
∇p1 = gρ1∇ζ1, ∇p2 = gρ1∇ζ1 + g(ρ2 − ρ1)∇ζ2, . . . ,
(1.5)
∇pm = gρ1∇ζ1 + g(ρ2 − ρ1)∇ζ2 + . . .+ g(ρm − ρm−1)∇ζm.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ ТОНКИХ СЛОЕВ . . . 41
Подставляя эти соотношения в (1.1) и записывая (1.4) в равносильной форме, получаем
систему уравнений движения
ρ1
∂ ~u1
∂t
− 2ω0ρ1( ~u1 × ~e3) + ρ1g∇ζ1 = ~0,
ρ2
∂ ~u2
∂t
− 2ω0ρ2( ~u2 × ~e3) + g (ρ1∇ζ1 + (ρ2 − ρ1)∇ζ2) = ~0,
(1.6)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ρm
∂ ~um
∂t
− 2ω0ρm( ~um × ~e3) + g (ρ1∇ζ1 + (ρ2 − ρ1)∇ζ2 + . . .+ (ρm − ρm−1)∇ζm) = 0,
а также преобразованных уравнений неразрывности
∂ζ1
∂t
+ div (h1 ~u1) + . . .+ div (hm ~um) = 0,
∂ζ2
∂t
+ div (h2 ~u2) + . . .+ div (hm ~um) = 0,
(1.7)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂ζm−1
∂t
+ div (hm−1 ~um−1) + div (hm ~um) = 0,
∂ζm
∂t
+ div (hm ~um) = 0.
К этой системе следует добавить также условия сохранения объема каждой жидкости
∫
Γ
ζjdΓ = 0, j = 1,m, (1.8)
условие непротекания на боковой поверхности цилиндра
uj,n := ~uj · ~n = 0 (на ∂Γ), j = 1,m, (1.9)
где ~n — внешняя нормаль к ∂Γ в плоскости Γ, а также начальные условия
~uj(0, x) = ~u0
j (x), ζj(0, x) = ζ0
j (x), x ∈ Γj , j = 1,m. (1.10)
Таким образом, имеем начально-краевую задачу о решении систем уравнений (1.6), (1.7)
при условиях (1.8), (1.9) и начальных условиях (1.10).
Будем считать, что задача (1.6) – (1.10) имеет классическое решение, т. е. такие функ-
ции ~uj(t, x), ζj , j = 1,m, которые имеют непрерывные производные, входящие в (1.6) –
(1.10), причем для этих функций выполнены данные соотношения. Тогда для указанного
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
42 И. А. ГАЖЕВА
решения выполнено тождество
1
2
m∑
k=1
ρk
∫
Γ
hk|~uk|2dΓ +
1
2
g
m∑
k=1
(ρk − ρk−1)
∫
Γ
|ζk|2dΓ ≡ const =
=
1
2
m∑
k=1
ρk
∫
Γ
hk|~u0
k|2dΓ +
1
2
g
m∑
k=1
(ρk − ρk−1)
∫
Γ
|ζ0
k |2dΓ (ρ0 := 0). (1.11)
В каждой части этого соотношения первое слагаемое равно кинетической энергии сис-
темы, а второе — потенциальной энергии. Таким образом, (1.11) показывает, что полная
энергия гидросистемы сохраняется в процессе ее движения.
2. Приведение исходной задачи к задаче Коши для дифференциально-операторного
уравнения в гильбертовом пространстве. Будем исследовать задачу (1.6) – (1.10) методами
функционального анализа, в частности методами теории дифференциальных уравнений
в гильбертовом пространстве и теории самосопряженных операторов.
В векторно-матричной форме задача примет вид(
E11 0
0 E22
)
∂
∂t
(
~u
ζ
)
− 2ω0
(
K11 0
0 0
)(
~u
ζ
)
+
+
(
0 F12
F21 0
)(
~u
ζ
)
=
(
~0
0
)
,
(
~u(0)
ζ(0)
)
=
(
~u0
ζ0
)
, (2.1)
~u := (~u1, . . . , ~um)τ , ζ := (ζ1, . . . , ζm)τ , ~u0 :=
(
~u0
1, . . . , ~u
0
m
)τ
, ζ :=
(
ζ0
1 , . . . , ζ
0
m
)τ
, (2.2)
E11 := diag
(
ρk~I
)m
k=1
, E22 = diag (Ik)
m
k=1 , Ik := I,
(2.3)
K11 := diag (ρk (. . .× ~e3))mk=1 ,
F12 и F21 — нижне- и верхнетреугольные матрицы:
F12 :=
gρ1∇ 0 . . . 0
gρ1∇ g (ρ2 − ρ1)∇ . . . 0
. . . . . . . . . . . .
gρ1∇ g (ρ2 − ρ1)∇ . . . g (ρm − ρm−1)∇
, (2.4)
F21 :=
div (h1 . . .) div (h2 . . .) . . . div (hm...)
0 div (h2 . . .) . . . div (hm . . .)
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . div (hm . . .)
. (2.5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ ТОНКИХ СЛОЕВ . . . 43
Здесь символом (. . . ; . . . ; . . . ; . . .)τ обозначена операция транспонирования (в данном слу-
чае вектор-строки).
С целью перехода к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения с
операторными коэффициентами, имеющими свойства самосопряженности в некотором
гильбертовом пространстве, выполним в (2.1) – (2.5) замены
~u1 = g1/2h
−1/2
1 ~v1, ~u2 = g1/2h
−1/2
2
(
ρ1
ρ2
)1/2
~v2, . . . , ~um = g1/2h−1/2
m
(
ρm−1
ρm
)1/2
~vm,
(2.6)
ζ1 = η1, ζ2 = ρ
1/2
1 (ρ2 − ρ1)−1/2 η2, . . . , ζm = ρ
1/2
1 (ρm − ρm−1)−1/2 ηm.
Тогда вместо (2.1) – (2.5) получим задачу
∂
∂t
(
~v
η
)
− 2ω0
(
G11 0
0 0
)(
~v
η
)
+ g1/2
(
0 M12
M21 0
)(
~v
η
)
= ~0, (2.7)
~v(0) = ~v 0, η(0) = η0, (2.8)
M12 =
h
1/2
1 ∇ 0 . . . 0
h
1/2
2 (ρ1−ρ0)1/2 ρ
−1/2
2 ∇ h
1/2
2 (ρ2−ρ1)1/2 ρ
−1/2
2 ∇ . . . 0
. . . . . . . . . . . .
h
1/2
m (ρ1−ρ0)1/2 ρ
−1/2
m ∇ h
1/2
m (ρ2−ρ1)
1/2 ρ
−1/2
m ∇ . . . h
1/2
m (ρm−ρm−1)1/2 ρ
−1/2
m ∇
,
(2.9)
M21 =
h
1/2
1 div h
1/2
2 (ρ1 − ρ0)1/2 ρ
−1/2
2 div . . . h
1/2
m (ρ1 − ρ0)1/2 ρ
−1/2
m div
0 h
1/2
2 (ρ2 − ρ1)1/2 ρ
−1/2
2 div . . . h
1/2
m (ρ2 − ρ1)1/2 ρ
−1/2
m div
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . h
1/2
m (ρm − ρm−1)1/2 ρ
−1/2
m div
, (2.10)
G11 = diag ((. . .)× ~e3)mk=1 . (2.11)
Введем теперь необходимые для дальнейшего гильбертовы пространства скалярных
и векторных полей. Пусть L2(Γ) — гильбертово пространство комплекснозначных ска-
лярных функций ζ(x), x ∈ Γ, с квадратом нормы
(η, η)0 = ‖η‖20 :=
∫
Γ
|η|2dΓ, (2.12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
44 И. А. ГАЖЕВА
обеспечивающим конечность потенциальной энергии гидросистемы (см. (1.11)), и соот-
ветствующим скалярным произведением. Тогда в силу условий (1.8) приходим к выводу,
что в задаче (2.7) – (2.11) должны выполняться условия
(ηk, 1Γ)0 =
∫
Γ
ηkdΓ = 0, k = 1,m,
где 1Γ — функция, заданная на Γ, т. е. искомые функции ηk(x), k = 1,m, должны принад-
лежать подпространству
L2,Γ := L2(Γ) {1Γ}.
Введем далее пространство ~L2(Γ) комплекснозначных векторных полей ~v(x), x ∈ Γ,
с квадратом нормы, обеспечивающим конечность кинетической энергии гидросистемы
(снова см. (1.11))
‖~v‖2 :=
∫
Γ
|~v|2dΓ,
и соответствующим скалярным произведением.
Лемма 2.1. Оператор G11 из (2.11) является ограниченным кососамосопряженным
оператором, действующим в пространстве ~L2 :=
(
~L2(Γ)
)m
:
G∗11 = −G11, ‖G11‖ = 1.
Для уточнения взаимосвязей между операторными матрицами M12 и M21 из (2.9),
(2.10) введем в рассмотрение ортогональное разложение гильбертова пространства ~L2(Γ)
(см., например, [5, с. 38]):
~L2(Γ) = ~J0(Γ)⊕ ~G(Γ), (2.13)
~J0(Γ) :=
{
~u ∈ ~L2(Γ) : div ~u = 0, un = 0 (на ∂Γ)
}
, (2.14)
~G(Γ) :=
~v ∈ ~L2(Γ) : ~v = ∇ϕ,
∫
Γ
ϕdΓ = 0
, (2.15)
где операции div ~u и un := (~u · ~n)|∂Γ понимаются в смысле обобщенных функций (см.,
например, [6, с. 100 – 102]).
Введем также пространство H1
Γ скалярных функций из L2,Γ с квадратом нормы
‖ϕ‖2H1
Γ
:=
∫
Γ
|∇ϕ|2dΓ,
∫
Γ
ϕdΓ = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ ТОНКИХ СЛОЕВ . . . 45
эквивалентной стандартной норме пространства СоболеваH1(Γ).Очевидно, между прос-
транствами потенциальных ~G(Γ) и скалярных H1
Γ полей имеет место изометрический
изоморфизм.
Введем, наконец, пространство векторных полей ~L2,div :
~L2,div :=
{
~v ∈ ~L2(Γ) : ~v · ~n = 0 (на ∂Γ)
}
с квадратом нормы
‖~v‖2~L2,div
:=
∫
Γ
(
|~v|2 + |div~v|2
)
dΓ.
Лемма 2.2. Имеют место следующие утверждения:
10) справедливы соотношения
D(M12) =
(
H1
Γ
)m ⊂ (L2,Γ)m , M12 : D(M12) −→
(
~G(Γ)
)m
⊂
(
~L2(Γ)
)m
, (2.16)
KerM12 = {0};
20) выполняются соотношения
D(M21) =
(
~L2,div
)m
⊂
(
~L2(Γ)
)m
, M21 :
(
~L2,div
)m
−→ (L2,Γ)m , (2.17)
KerM21 =
(
~J0(Γ)
)m
;
30) операторыM12 иM21, заданные соответственно на областях определения (2.16)
и (2.17), взаимно кососопряжены:
M∗12 = −M21.
Более детальное описание пространства ~L2,div содержится в следующем утверждении.
Лемма 2.3. Пусть граница ∂Γ области Γ является липшицевой. Тогда
~L2,div =
{
~v = ~w + ~∇ϕ ∈ ~L2(Γ) : ~w ∈ ~J0(Γ),∇ϕ = ∇(A−1f) ∈ ~G(Γ)
}
,
где A — оператор краевой задачи
Aϕ := −4ϕ = f (в Γ), f ∈ L2,Γ,
∂ϕ
∂n
= 0 (на ∂Γ),
∫
Γ
ϕdΓ = 0. (2.18)
Замечание 2.1. Как известно (см., например, [7], а также [8, с. 89]), оператор A :
D(A) ⊂ L2,Γ −→ L2,Γ самосопряжен и положительно определен в пространстве L2,Γ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
46 И. А. ГАЖЕВА
а его областью определения D(A) является совокупность обобщенных решений задачи
Неймана (2.18) при всех f ∈ L2,Γ. При этом H1
Γ = D(A1/2).
3. Исследование свойств основного оператора задачи. Рассмотрим далее простейший
вариант исследуемой задачи (2.7), (2.8), соответствующий случаю невращающейся ги-
дросистемы, когда ω0 = 0. Будем считать для простоты, что все физические константы
в (2.9), (2.10) равны единице, в том числе и разности плотностей. Наконец, изучим соб-
ственные колебания гидросистемы, т. е. такие решения упрощенной задачи (2.7), кото-
рые зависят от t по закону
~v(t) = eiωt~v, η(t) = eiωtη,
где ω — частота колебаний, а ~v, η — амплитудные элементы.
Возникает спектральная задача вида(
0 M0
12
M0
21 0
)(
~v
η
)
= λ
(
~v
η
)
, ~v = (~v1; . . . ;~vm)τ , η = (η1; . . . ; ηm)τ , λ = −iω, (3.1)
M0
12 :=
∇ 0 . . . 0
∇ ∇ . . . 0
· · · · · · · · · · · ·
∇ ∇ . . . ∇
, M0
21 :=
div div . . . div
0 div . . . div
· · · · · · · · · · · ·
0 0 . . . div
, (3.2)
~vk · ~n = 0 (на ∂Γk),
∫
Γ
ηkdΓ = 0, k = 1,m. (3.3)
Будем трактовать эту задачу как задачу на собственные значения
Az = λz, z = (~v; η)τ ∈ D(A) ⊂ H,
в пространстве
H :=
(
~L2(Γ)
)m
⊕ (L2,Γ)m
для операторной матрицы (3.1), (3.2), заданной на области определения
D(A) :=
(
~L2,div
)m
⊕
(
H1
Γ
)m
.
Тогда, как следует из леммы 2.2, оператор A является неограниченным кососамосоп-
ряженным оператором, действующим в H. Поэтому его спектр расположен на мнимой
оси, а собственные элементы, соответствующие различным собственным значениям, ор-
тогональны.
Изучим более подробно свойства спектра оператора A.
Лемма 3.1. Оператор A имеет бесконечномерное ядро вида
KerA =
{
(~v; 0)τ : ~v = (~v1; . . . ;~vm)τ , ~vk ∈ ~J0(Γ), k = 1,m
}
. (3.4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ ТОНКИХ СЛОЕВ . . . 47
Рассмотрим теперь свойства решений спектральной задачи на ортогональном (в H)
дополнении к ядру оператора A. Если λ 6= 0, то на основании первого соотношения сис-
темы уравнений
M0
12η = λ~v, M0
21~v = λη, (3.5)
равносильной задаче (3.1), и определений операторов M0
12 и M0
21 (см. (2.9), (2.10)) прихо-
дим к выводу, что
~vk = ∇ϕk ∈ ~G(Γ), k = 1,m.
Тогда в силу условий нормировки элементов из ~G(Γ) (см. (2.15)) имеем связи
η1 = λϕ1, η1 + η2 = λϕ2, . . . , η1 + . . .+ ηm = λϕm. (3.6)
Подставляя эти соотношения во вторую группу уравнений (3.5), а также вводя оператор
A краевой задачи (2.18), учитывающий также условия (3.3), приходим к спектральной
задаче
Aϕ1 +Aϕ2 + . . .+Aϕm = µϕ1, Aϕ2 + . . .+Aϕm = µ(ϕ2 − ϕ1), . . . ,
Aϕm = µ(ϕm − ϕm−1), µ := −λ2.
Ее, в свою очередь, можно представить в виде
A 0 . . . 0
0 A . . . 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 . . . A
ϕ1
ϕ2
· · ·
ϕm
= µ
2I −I 0 . . . 0
−I 2I −I . . . 0
· · · · · · · · · 2I I
0 0 . . . −I I
ϕ1
ϕ2
· · ·
ϕm
, (3.7)
или кратко
Amϕ = µJmϕ, ϕ = (ϕ1; . . . ;ϕm)m ∈ (L2,Γ)m . (3.8)
Лемма 3.2. Оператор Am, заданный на области определения
D(Am) = (D(A))m ⊂ (L2,Γ)m ,
является неограниченным положительно определенным самосопряженным операто-
ром с дискретным спектром {µj (Am)}∞j=1 , µj (Am) → +∞ (j → ∞). Собственные эле-
менты
{
ϕj
}∞
j=1
, ϕj =
(
ϕj1; . . . ;ϕjm
)τ
, оператора Am образуют ортогональный базис
как в пространстве (L2,Γ)m , так и в энергетическом пространстве
(
H1
Γ
)m
.
Лемма 3.3. Оператор Jm из (3.7), (3.8) является ограниченным положительно опре-
деленным оператором, действующим в пространстве (L2,Γ)m .
Следствием лемм 3.2 и 3.3 является такое утверждение (см. [7, 8]).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
48 И. А. ГАЖЕВА
Теорема 3.1. Задача (3.8) имеет дискретный положительный спектр {µj}∞j=1 , µj →
→ +∞ (j → ∞), и систему собственных элементов, образующих ортогональный ба-
зис как в энергетическом пространстве оператора Am, т. е. в пространстве
(
H1
Γ
)m
,
так и в энергетическом пространстве оператора Jm, т. е. по форме (Jmϕ,ϕ)(L2,Γ)
m =
= ‖J 1/2
m ϕ‖2
(L2,Γ)
m оператора Jm.
Теорема 3.2. Спектральная проблема (3.1) – (3.3) имеет чисто точечный спектр,
расположенный на мнимой оси симметрично относительно R :
σ(A) = {0} ∪ {λ+
j }
∞
j=1 ∪ {λ−j }
∞
j=1, λ±j = ±iµ1/2
j , j = 1, 2, . . . . (3.9)
При этом нулевое собственное значение бесконечнократно, и ему соответствует соб-
ственное подпространство KerA из (3.4). Оставшаяся часть спектра дискретна (см.
(3.9)), и система собственных элементов
z±j =
(
∇(ϕj)±; (ηj)±
)τ
, j = 1, 2, . . . ,
где (ϕj)± = ϕj =
(
ϕj1; . . . ;ϕjm
)τ
— собственные элементы задачи (3.8), а элементы
(ηj)± =
(
(ηj)±1 ; . . . ; (ηj)±m
)τ
выражаются формулами вида (3.6) через элементы ϕj с
λ = λ±j , j = 1, 2, . . . , образует ортогональный базис в подпространстве ~G(Γ) ⊕ L2,Γ
пространства
(
~L2(Γ)
)m
⊕ (L2,Γ)m = H.
4. Заключительные замечания. Из проведенных рассуждений следует, что и в спект-
ральной задаче вида (3.1) с операторамиM12 иM21 из (2.9), (2.10) общие свойства спектра
те же, что и в рассмотренной в п. 3 упрощенной спектральной задаче. Это позволяет уста-
новить общие свойства решений в задаче о колебаниях системы тонких слоев идеальной
жидкости как при отсутствии вращения гидросистемы (ω0 = 0), так и при наличии рав-
номерного вращения (ω0 6= 0).
Отметим, что аналогичным образом можно исследовать задачу, когда дно бассейна,
т. е. поверхность Γm+1, не является горизонтальным.
Заметим также, что при ω0 = 0 собственные значения µj задачи (3.8) можно выра-
зить через собственные значения λj(A) оператора A, воспользовавшись вариационным
принципом для собственных значений этой задачи.
Наконец, при ω0 6= 0 можно использовать метод Ритца – Галеркина, предложенный в
[3] для случая одной жидкости (m = 1).
Эта программа исследований будет реализована в последующих работах. Автор выра-
жает благодарность проф. Копачевскому Н. Д. за постановку задачи и обсуждение полу-
ченных результатов.
1. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. — М.: Мир, 1981. — Т. 1. — 480 с.
2. Иванов Ю. Б., Копачевский Н. Д. О разрешимости начально-краевой задачи о малых движениях вра-
щающегося слоя идеальной жидкости // Тавр. вестн. информатики и математики. — 2003. — № 1. —
С. 61 – 77.
3. Копачевский Н. Д. Cобственные колебания вращающегося слоя идеальной жидкости // Тавр. вестн.
информатики и математики. — 2006. — № 2. — С. 3 – 27.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ ТОНКИХ СЛОЕВ . . . 49
4. Каменкович В. М., Монин А. С. Океанология. Физика океана. Т. 2. Динамика океана. — М.: Наука,
1978. — 435 с.
5. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Наука,
1970. — 288 с.
6. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: эво-
люционные и спектральные задачи. — М.: Наука, 1989. — 416 с.
7. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1977. — 432 с.
8. Копачевский Н. Д. Операторные методы математической физики: Спец. курс лекций. — Симферо-
поль: Форма, 2008. — 140 с.
9. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. —
464 с.
Получено 25.11.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
|