Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь
Получены достаточные условия существования непрерывного и N-периодического (N — целое положительное число) решения систем интегрально-разностных уравнений.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174772 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь / Р.I. Качурiвський // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 155-160. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174772 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1747722021-01-28T01:27:44Z Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь Качурiвський, Р.I. Получены достаточные условия существования непрерывного и N-периодического (N — целое положительное число) решения систем интегрально-разностных уравнений. We obtain sufficient conditions for existence of a continuous and N-periodic solution of a system of integral-difference equations, where N is an integer. 2010 Article Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь / Р.I. Качурiвський // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 155-160. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174772 517.988.6 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены достаточные условия существования непрерывного и N-периодического (N — целое
положительное число) решения систем интегрально-разностных уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Качурiвський, Р.I. |
| spellingShingle |
Качурiвський, Р.I. Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Качурiвський, Р.I. |
| author_sort |
Качурiвський, Р.I. |
| title |
Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь |
| title_short |
Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь |
| title_full |
Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь |
| title_fullStr |
Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь |
| title_sort |
періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174772 |
| citation_txt |
Періодичні розв'язки систем інтегрально-різницевих рівнянь / Р.I. Качурiвський // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 155-160. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kačurivsʹkijri períodičnírozvâzkisistemíntegralʹnoríznicevihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T11:56:11Z |
| last_indexed |
2025-07-15T11:56:11Z |
| _version_ |
1837713925137760256 |
| fulltext |
УДК 517.988.6
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ
IНТЕГРАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
Р. I. Качурiвський
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: kachurivsky@gmail.com
We obtain sufficient conditions for existence of a continuous and N -periodic solution of a system of
integral-difference equations, where N is an integer.
Получены достаточные условия существования непрерывного и N -периодического (N — целое
положительное число) решения систем интегрально-разностных уравнений.
Розглянемо систему iнтегрально-рiзницевих рiвнянь
x(t + 1) = A(t)x(t) +
+∞∫
−∞
K(t− τ)f(τ, x(τ))dτ, (1)
де елементи матриць A(t), K(t) є неперервними при t ∈ R функцiями, A(t + N) = A(t)
(N — цiле додатне число), вектор-функцiя f(t, x) : R× Rn → Rn є неперервною за всiма
змiнними та N -перiодичною по t. При рiзних припущеннях такi системи були об’єктом
дослiдження у багатьох роботах (див. [1 – 10] та наведену в них бiблiографiю) i на даний
час ряд питань їх теорiї досить добре вивчено. Зокрема, при досить жорстких умовах на
матрицю A(t) отримано низку результатiв щодо iснування перiодичних розв’язкiв сис-
тем вигляду (1) [2, 3, 9]. У продовження цих дослiджень у данiй статтi запропоновано
новий пiдхiд до вивчення питань iснування перiодичних розв’язкiв систем iнтегрально-
рiзницевих рiвнянь (1), який дозволяє послабити умови на матрицю A(t).
Далi припускатимемо, що виконуються наступнi умови:
1) det A(t) 6= 0, det(E −A(t + N − 1) . . . A(t + 1)A(t)) 6= 0, t ∈ R;
2) |A(t)| ≤ a(t), де a(t) — деяка невiд’ємна N -перiодична функцiя, |A| = max
i
∑n
j=0 |aij |;
3) a(t)a(t + 1) . . . a(t + N − 1) ≤ ∆1 < 1, t ∈ R;
4) |K(t)| ≤ Me−α|t|, t ∈ R, де α, M — деякi додатнi сталi, M ≥ 1;
5) для довiльних x, y ∈ Rn вектор-функцiя f(t, x) задовольняє умову
|f(t, x)− f(t, y)| ≤ l|x− y|,
де l — деяка додатна стала;
6)
M
α
2
1−∆1
1− ãN
1− ã
l ≤ ∆2 < 1, де ã = max
t
a(t).
Перiодичний розв’язок системи рiвнянь (1) будемо шукати у виглядi функцiонального
c© Р. I. Качурiвський, 2010
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2 155
156 Р. I. КАЧУРIВСЬКИЙ
ряду
x(t) =
∞∑
i=0
xi(t), (2)
де xi(t), i = 0, 1, . . . — деякi неперервнi N -перiодичнi вектор-фукцiї, що є розв’язками
послiдовностi систем рiвнянь
x0(t + 1) = A(t)x0(t) +
+∞∫
−∞
K(t− τ)f(τ, 0)dτ, (30)
x1(t + 1) = A(t)x1(t) +
+∞∫
−∞
K(t− τ)
(
f(τ, x0(τ))− f(τ, 0)
)
dτ, (31)
xi(t + 1) = A(t)xi(t) +
+∞∫
−∞
K(t− τ)
f
τ,
i−1∑
j=0
xj(τ)
− f
τ,
i−2∑
j=0
xj(τ)
dτ, (3i)
i = 2, 3, . . . .
Розглянемо спочатку систему рiвнянь (30), яку запишемо у виглядi
x0(t + 1) = A(t)x0(t) + F̃0(t),
де
F̃0(t) =
+∞∫
−∞
K(t− τ)f(τ, 0)dτ.
Звiдси послiдовно отримуємо
x0(t + 2) = A(t + 1)x0(t + 1) + F̃0(t + 1) =
= A(t + 1)A(t)x0(t) + A(t + 1)F̃0(t) + F̃0(t + 1),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x0(t + N) = A(t + N − 1) . . . A(t + 1)A(t)x0(t)+
+ A(t + N − 1) . . . A(t + 1)F̃0(t) + . . .
. . . + A(t + N − 1)F̃0(t + N − 2) + F̃0(t + N − 1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IНТЕГРАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 157
Покажемо, що система рiвнянь
x0(t) = A(t)x0(t) + F 0(t), (40)
де
A(t) = A(t + N − 1) . . . A(t + 1)A(t),
F 0(t) = A(t + N − 1) . . . A(t + 1)F̃0(t) + . . .
. . . + A(t + N − 1)F̃0(t + N − 2) + F̃0(t + N − 1),
має неперервний N -перiодичний розв’язок.
Розв’язок системи рiвнянь (40) будемо будувати, використовуючи метод послiдовних
наближень, якi визначимо таким чином:
x0,0(t) = 0,
x0,m(t) = A(t)x0,m−1(t) + F 0(t), m = 1, 2, . . . . (50)
З урахуванням властивостей матрицi A(t) та вектор-функцiї f(t, x) за допомогою ме-
тоду математичної iндукцiї можна показати, що всi вектор-функцiї x0,m(t), m = 0, 1, . . . ,
є неперервними при t ∈ R та N -перiодичними. Покажемо, що послiдовнiсть {x0,m(t)},
m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R. Для цього, очевидно, достатньо пока-
зати, що при всiх t ∈ R мають мiсце оцiнки
|x0,m(t)− x0,m−1(t)| ≤ M0∆m−1
1 , m = 1, 2, . . . , (60)
де
M0 = 2
M(1− ãN )
α(1− ã)
f∗, f∗ = max
t∈[0;N)
|f(t, 0)|.
Справдi, згiдно з умовою 3 при m = 1 маємо
|x0,1(t)− x0,0(t)| = |A(t)x0,0(t) + F 0(t)| = |A(t + N − 1) . . . A(t + 1)F̃0(t) + . . .+
. . . + A(t + N − 1)F̃0(t + N − 2) + F̃0(t + N − 1)| ≤ M0.
Припустимо, що оцiнку (60) доведено для деяких j = 0, 1, . . . ,m − 1, i покажемо, що
вона не змiниться при переходi вiд m−1 до m. Дiйсно, на пiдставi (60) та умови 5 отримує-
мо
|x0,m(t)− x0,m−1(t)| = |A(t)(x0,m−1(t)− x0,m−2(t))| ≤
≤ |A(t + N − 1) . . . A(t + 1)A(t)| |x0,m−1(t)− x0,m−2(t)| ≤
≤ a(t)a(t + 1) . . . a(t + N − 1) |x0,m−1(t)− x0,m−2(t)| ≤ M0∆m−1
1 .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
158 Р. I. КАЧУРIВСЬКИЙ
Отже, оцiнка (60) має мiсце при всiх m ≥ 1 i послiдовнiсть неперервних та N -перiодичних
вектор-функцiй {x0,m(t)}, m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається при t ∈ R до неперервної та
N -перiодичної вектор-функцiї x0(t) = lim
m→+∞
x0,m(t). Виконуючи в (50) граничний пере-
хiд при m → +∞, неважко переконатися у тому, що x0(t) буде розв’язком системи рiвнянь
(40). Враховуючи умову 1, можна показати, що вектор-функцiя x0(t) буде задовольняти
систему рiвнянь (30) (див. [10]). Крiм цього, згiдно з (60) маємо
|x0(t)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
m=1
(x0,m(t)− x0,m−1(t))
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
m=1
|x0,m(t)− x0,m−1(t)| ≤
∞∑
m=1
M0∆m−1
1 =
M0
1−∆1
. (70)
Припустимо тепер, що побудовано неперервнi при t ∈ R N -перiодичнi розв’язки xk(t)
систем рiвнянь (3k), k = 0, 1, . . . , i− 1, для яких виконуються умови
|xk(t)| ≤ M̃∆k
2, (8k)
де
M̃ =
M0
1−∆1
.
Покажемо, що у цьому випадку iснує неперервний N -перiодичний розв’язок системи
(3i), для якого виконується умова
|xi(t)| ≤ M̃∆i
2. (8i)
Запишемо систему (3i) у виглядi
xi(t + 1) = A(t)xi(t) + F̃i(t),
де
F̃i(t) =
+∞∫
−∞
K(t− τ)
f
τ,
i−1∑
j=0
xj(τ)
− f
τ,
i−2∑
j=0
xj(τ)
dτ,
i розглянемо систему рiвнянь
xi(t) = A(t)xi(t) + F i(t), (4i)
де
F i(t) = A(t + N − 1) . . . A(t + 1)F̃i(t) + . . .
. . . + A(t + N − 1)F̃i(t + N − 2) + F̃i(t + N − 1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IНТЕГРАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 159
Мiркуючи, як i при побудовi розв’язку системи (40), неважко переконатися у тому, що
вектор-функцiя xi(t) = lim
m→∞
xi,m(t), де
xi,0(t) = 0,
xi,m(t) = A(t)xi,m−1(t) + F i(t),
m = 1, 2, . . . ,
буде N -перiодичним розв’язком системи (3i). Крiм цього, справедливою буде оцiнка
|xi(t)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
m=1
(xi,m(t)− xi,m−1(t))
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
m=1
|xi,m(t)− xi,m−1(t)| ≤ M̃∆i
2.
Таким чином, при виконаннi умов 1 – 6 iснують неперервнi при t ∈ R N -перiодичнi
розв’язки xi(t) систем рiвнянь (3i), i = 0, 1, . . . , для яких справджуються оцiнки (8i). Вна-
слiдок цього ряд (2) рiвномiрно збiгається до деякої неперервної N -перiодичної вектор-
функцiї γ(t).
Покажемо, що вектор-функцiя γ(t) задовольняє систему рiвнянь (1), тобто має мiсце
тотожнiсть
∞∑
i=0
xi(t + 1) = A(t)
∞∑
i=0
xi(t) +
+∞∫
−∞
K(t− τ)f
(
τ,
∞∑
i=0
xi(τ)
)
dτ.
Для цього, очевидно, достатньо показати, що ряд
f(t, 0) + (f(t, x0(t))− f(t, 0)) +
∞∑
i=2
f
t,
i−1∑
j=0
xj(t)
− f
t,
i−2∑
j=0
xj(t)
(9)
рiвномiрно збiгається при t ∈ R до f
(
t,
∑∞
j=0 xj(t)
)
.
Оскiльки при всiх m ≥ 0 мають мiсце спiввiдношення
f(t, 0)+(f(t, x0(t))−f(t, 0))+
m+1∑
i=2
f
t,
i−1∑
j=0
xj(t)
− f
t,
i−2∑
j=0
xj(t)
= f
t,
m∑
j=0
xj(t)
,
то згiдно з умовами 5 та (8i), i = 0, 1, . . . , отримаємо∣∣∣∣∣∣f
t,
m∑
j=0
xj(t)
− f
t,
∞∑
j=0
xj(t)
∣∣∣∣∣∣ ≤ l
∞∑
j=m+1
|xj(t)| ≤ M̃l
∆m+1
2
1−∆2
.
Звiдси та з умови 6 випливає, що ряд (9) рiвномiрно збiгається при t ∈ R до f
(
t,∑∞
j=0 xj(t)
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
160 Р. I. КАЧУРIВСЬКИЙ
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема. Нехай виконуються умови 1 – 6. Тодi iснує неперервний N -перiодичний розв’я-
зок γ(t) системи рiвнянь (1).
Зауваження. При виконаннi деяких додаткових умов аналогiчнi результати встанов-
лено при дослiдженнi систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь вигляду
ẋ(t + 1) = Λ(t)x(t + 1) + B(t)x(t) + A(t)ẋ(t) + f(t, x(t)).
1. Пелюх Г. П. О существовании периодических решений нелинейных разностных уравнений // Укр. мат.
журн. — 2002. — 54, № 12. — С. 1626 – 1633.
2. Ахмеров Р. Р., Каменский М. И., Потапов А. С., Родкина А. Е., Садовский Б. Н. Теория уравнений ней-
трального типа // Мат. анализ (Итоги науки и техники). — 1981. — 19. — С. 55 – 126.
3. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. — Воронеж: Изд-во Воронеж.
ун-та, 1990. — 167 с.
4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М: Мир, 1984. — 421 с.
5. Пелюх Г. П., Олiйниченко О. П. Асимптотичнi властивостi глобальних розв’язкiв системи диферен-
цiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу з нелiнiйними вiдхиленнями аргументу // Нелi-
нiйнi коливання. — 2002. — 5, № 4. — С. 489 – 503.
6. Митропольський Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с
периодическими и условно-периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1984. — 212 с.
7. Пелюх Г. П., Блащак Н. I. Про iснування i єдинiсть перiодичних розв’язкiв систем нелiнiйних диферен-
цiально-функцiональних рiвнянь з лiнiйним вiдхиленням аргументу // Доп. НАН України. — 1997. —
№ 8. — С. 10 – 13.
8. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. О периодических решениях систем нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений нейтрального типа // Там же. — 1994. — № 3. — С. 19 – 21.
9. Качурiвський Р. I., Пелюх Г. П. Про iснування перiодичних розв’язкiв систем диференцiально-рiзнице-
вих рiвнянь нейтрального типу // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2009. — 6, № 2. —
С. 400 – 416.
10. Пелюх Г. П., Богай Н. А. Дослiдження структури множини неперервних розв’язкiв систем лiнiйних
рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 3. —
С. 351 – 359.
Одержано 10.03.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
|