Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь
Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых последовательностей инвариантных торов нелинейных счетных систем дифференциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих бесконечное множество постоянных отклонений скалярного аргумента....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174946 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплiнський, К.В. Пасюк // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 253-271. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174946 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1749462021-01-29T01:27:10Z Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь Самойленко, А.М. Теплiнський, Ю.В. Пасюк, К.В. Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых последовательностей инвариантных торов нелинейных счетных систем дифференциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих бесконечное множество постоянных отклонений скалярного аргумента. In the space of bounded number sequences, sufficient conditions for existence of invariant tori for nonlinear countable systems of differential-difference equations defined on infinite-dimensional tori and containing an infinite set of constant deviations of the scalar argument are obtained. 2010 Article Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплiнський, К.В. Пасюк // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 253-271. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174946 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых последовательностей инвариантных торов нелинейных счетных систем дифференциально-разностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих бесконечное множество постоянных отклонений скалярного аргумента. |
| format |
Article |
| author |
Самойленко, А.М. Теплiнський, Ю.В. Пасюк, К.В. |
| spellingShingle |
Самойленко, А.М. Теплiнський, Ю.В. Пасюк, К.В. Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Самойленко, А.М. Теплiнський, Ю.В. Пасюк, К.В. |
| author_sort |
Самойленко, А.М. |
| title |
Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь |
| title_short |
Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь |
| title_full |
Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь |
| title_fullStr |
Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь |
| title_sort |
про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174946 |
| citation_txt |
Про існування нескінченновимірних інваріантних торів нелінійних зліченних систем диференціально-різницевих рівнянь / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплiнський, К.В. Пасюк // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 253-271. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT samojlenkoam proísnuvannâneskínčennovimírnihínvaríantnihtorívnelíníjnihzlíčennihsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹ AT teplinsʹkijûv proísnuvannâneskínčennovimírnihínvaríantnihtorívnelíníjnihzlíčennihsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹ AT pasûkkv proísnuvannâneskínčennovimírnihínvaríantnihtorívnelíníjnihzlíčennihsistemdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T12:04:59Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:04:59Z |
| _version_ |
1837714479964487680 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ПРО IСНУВАННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ
IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ НЕЛIНIЙНИХ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
А. М. Самойленко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: sam@imath.kiev.ua
Ю. В. Теплiнський
Кам’янець-Подiл. нац. ун-т
Україна, 32300, Кам’янець-Подiльський Хмельницької обл., вул. I. Огiєнка, 61
К. В. Пасюк
Буковин. держ. фiн. академiя
Україна, 58000, Чернiвцi, вул. Штерна, 1
In the space of bounded number sequences, sufficient conditions for existence of invariant tori for nonli-
near countable systems of differential-difference equations defined on infinite-dimensional tori and contai-
ning an infinite set of constant deviations of the scalar argument are obtained.
Получены достаточные условия существования в пространстве ограниченных числовых по-
следовательностей инвариантных торов нелинейных счетных систем дифференциально-раз-
ностных уравнений, определенных на бесконечномерных торах и содержащих бесконечное мно-
жество постоянных отклонений скалярного аргумента.
У цiй роботi знайдено достатнi умови iснування у просторi обмежених числових послi-
довностей лiпшицевих iнварiантних торiв нелiнiйних злiченних систем диференцiально-
рiзницевих рiвнянь загального вигляду, що визначенi на нескiнченновимiрних торах i мiс-
тять нескiнченну множину рiзнознакових сталих вiдхилень скалярного аргументу. Дове-
денi тут теореми добре узгоджуються з результатами щодо iснування iнварiантних торiв
злiченних систем диференцiальних та рiзницевих рiвнянь, визначених на торах, одержа-
ними у монографiях [1, 2]. Робота є продовженням дослiджень, результати яких опублi-
ковано у статтях [3 – 5], де було розв’язано аналогiчнi задачi для лiнiйних та квазiлiнiйних
систем вказаного вигляду.
1. Постановка задачi. Розглянемо систему рiвнянь
dφ(t)
dt
= a(φ(t), x(t)),
(1)
dx(t)
dt
= P1(φ(t), x(t), x(t+Q))x(t) + F (v(φ, t), x(t), x(t+ Θ))x(t+ ∆) + c(φ, t),
де φ = (φ1, φ2, φ3, . . .) та x = (x1, x2, x3, . . .) належать банаховому простору M обмежених
c© А. М. Самойленко, Ю. В. Теплiнський, К. В. Пасюк, 2010
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2 253
254 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
числових послiдовностей зi стандартною нормою ‖x‖ = supi{|xi|}; вiдображення
a(φ, x) = {a1(φ, x), a2(φ, x), a3(φ, x), . . .}
визначене перiодичними вiдносно координат φj , j = 1, 2, 3, . . . , з перiодом 2π функцiями
ai(φ, x) : M × D → R1, i ∈ N, D = {x ∈ M|‖x‖ ≤ d = const > 0}, N — множина
натуральних чисел; φ(t) = φt(φ) = (φ1t(φ), φ2t(φ), . . .) при фiксованому φ ∈ T∞ є вi-
дображенням R1 → M i задовольняє умову φ = φ0(φ), T∞ — нескiнченновимiрний тор;
функцiя
c(φ, t) = (c1(z1(φ, t), z2(φ, t), . . .), c2(z1(φ, t), z2(φ, t), . . .), . . .)
вiдображує множину T∞ × R1 у простiр M, причому функцiї ci(z1, z2, . . .) : T ∞
∞ 7→ R1
для будь-якого натурального числа i, T ∞
∞ = T∞ × T∞ × . . . ; точки zi(φ, t) = (φ1t+∆i1
(φ),
φ2t+∆i2
(φ), . . .), t ∈ R1, належать тору T∞, ∆ij — довiльнi фiксованi дiйснi числа, {i, j} ⊂
⊂ N ; функцiя
v = v(φ, t) = (v1(ψ1(φ, t), ψ2(φ, t), . . .), v2(ψ1(φ, t), ψ2(φ, t), . . .), . . .)
теж вiдображує T∞ × R1 у M, тобто vi(ψ1, ψ2, . . .) : T ∞
∞ 7→ R1 ∀i ∈ N ; точки ψi(φ, t) =
= (φ1t+Θi1
(φ), φ2t+Θi2
(φ), . . .), t ∈ R1, належать тору T∞, Θij — довiльнi дiйснi числа. При
цьому x(t + ∆) = (x1(t + ∆1), x2(t + ∆2), . . .), x(t + Θ) = (x1(t + Θ1), x2(t + Θ2), . . .) та
x(t+Q) = (x1(t+Q1), x2(t+Q2), . . .), де ∆i, Θi та Qi — довiльнi дiйснi числа, i ∈ N.
Далi будемо вважати, що множини вiдхилень ∆ij , ∆i, Θij , Θi та Qi аргументу t обме-
женi, тобто |∆ij | ≤ ∆∗, |∆i| ≤ ∆∗, |Θij | ≤ Θ∗, |Θi| ≤ Θ∗ та |Qi| ≤ Q∗ ∀{i, j} ⊂ N, де ∆∗,
∆∗, Θ∗, Θ∗, Q∗ — додатнi сталi.
Через
P1(φ, x, χ) =
[
p1
ij(φ, x, χ)
]∞
i,j=1
та F (v, x, χ) = [fij(v, x, χ)]∞i,j=1
позначимо нескiнченнi матрицi, елементи першої з яких є перiодичними вiдносно φi, i =
= 1, 2, 3, . . . , з перiодом 2π, що визначенi на множинах D∗ = M ×D ×D i D∗ вiдповiдно,
де D∗ = D0 ×D ×D, D0 = {x ∈ M|‖x‖ ≤ V 0 = const > 0}, тобто {x, χ} ⊂ D, v ∈ D0.
Норму матрицi P = [pij ]∞i,j=1, узгоджену з векторною нормою простору M, визначимо
рiвнiстю ‖P‖ = supi
∑∞
j=1 |pij |.
Диференцiювання та iнтегрування векторних функцiй розумiтимемо лише у покоор-
динатному сенсi.
Наступнi коефiцiєнтнi умови назвемо умовами (V∗) :
1) ∀φ ∈ T∞ i ∀x ∈ D ‖a(φ, x)‖ ≤ A = const > 0 та ∀{φ, ψ} ⊂ T∞ i ∀{x1, x2} ⊂ D :
‖a(φ, x1)− a(ψ, x2)‖ ≤ α{‖φ− ψ‖+ ‖x1 − x2‖}, де α = const > 0;
2) для функцiї c(φ, t) виконуються умови:
а) її координати ci(z) = ci(z1, z2, . . .) є 2π-перiодичними вiдносно кожної координати
вектора zj для будь-яких натуральних i та j;
б) функцiї ci(z) рiвномiрно обмеженi на T ∞
∞ , тобто ‖c(z)‖ = supi |ci(z)| ≤ C0 =
= const > 0 i = 1, 2, 3, . . . ;
в) ∀{z, z̄} ⊂ T ∞
∞ : ‖c(z)− c(z̄)‖ ≤ η‖z − z̄‖, η = const > 0;
3) для функцiї v(φ, t) виконуються умови:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ НЕЛIНIЙНИХ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 255
а) її координати vi(ψ1, ψ2, . . .) є 2π-перiодичними вiдносно кожної координати вектора
ψj для будь-яких натуральних i та j;
б) для будь-яких {ψ, ψ̄} ⊂ T ∞
∞ справджуються нерiвностi ‖v(ψ) − v(ψ̄)‖ ≤ ζ‖ψ − ψ̄‖,
‖v(ψ)‖ ≤ V 0, де ζ = const > 0;
4) для будь-якого i ∈ N виконуються нерiвностi
∞∑
j=1
sup
(φ,x,χ)∈D∗
|p1
ij(φ, x, χ)| ≤ P 0 = const < ∞,
∞∑
j=1
sup
(v,x,χ)∈D∗
|fij(v, x, χ)| ≤ F0 = const < ∞;
5) матрицi P1(φ, x, χ) та F (v, x, χ) задовольняють умови Лiпшиця наD∗ таD∗ вiдповiд-
но, тобто для будь-яких {(φ, x, χ), (φ̄, x̄, χ̄)} ⊂ D∗ i {(v, x, χ), (v̄, x̄, χ̄)} ⊂ D∗ мають мiсце
оцiнки
‖P1(φ, x, χ)− P1(φ̄, x̄, χ̄)‖ ≤ ξ∗1‖φ− φ̄‖+ ξ∗2‖x− x̄‖+ ξ∗3‖χ− χ̄‖,
‖F (v, x, χ)− F (v̄, x̄, χ̄)‖ ≤ ξ1‖v − v̄‖+ ξ2‖x− x̄‖+ ξ3‖χ− χ̄‖,
де ξ1, ξ2, ξ3, ξ∗1 , ξ
∗
2 , ξ
∗
3 — додатнi сталi.
Iнварiантним тором T системи рiвнянь (1) називають множину точок x ∈ M (поверх-
ню), породжену векторною функцiєю x = u(φ) : T∞ → M, яка є 2π-перiодичною вiднос-
но φi, i = 1, 2, 3, . . . , обмеженою за нормою i при будь-яких φ ∈ T∞, t ∈ R1 задовольняє
рiвнiсть
du(φt(φ))
dt
= P1(φt(φ), u(φt(φ)), u(φ, t+Q))u(φt(φ))+
+ F (v(φ, t), u(φt(φ)), u(φ, t+ Θ))u(φ, t+ ∆) + c(φ, t), (2)
а пiд φt(φ) слiд розумiти розв’язок рiвняння
dφt(φ)
dt
= a(φt(φ), u(φt(φ))), (3)
визначений початковою умовою φ0(φ) = φ ∈ T∞. Тут u(φ, t + Θ) = (u1(φt+Θ1(φ)),
u2(φt+Θ2(φ)), . . .), символи u(φ, t+Q) та u(φ, t+ ∆) мають аналогiчний сенс.
Iнварiантний тор називають лiпшицевим на T∞, якщо цю властивiсть має породжую-
ча його функцiя x = u(φ).
Задача полягає у вiдшуканнi достатнiх умов iснування лiпшицевого iнварiантного то-
ра T системи рiвнянь (1).
2. Допомiжнi твердження. Поклавши в (1)
a(φt(φ)) = a(φt(φ), 0), a1(φt(φ), x(t)) = a(φt(φ), x(t))− a(φt(φ)),
P (φt(φ)) = P1(φt(φ), 0, 0), 0 ∈ M,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
256 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
P2(φt(φ), x(t), x(t+Q)) = P1(φt(φ), x(t), x(t+Q))− P (φt(φ)),
одержимо систему рiвнянь
dφt(φ)
dt
= a(φt(φ)) + a1(φt(φ), x(t)),
dx(t)
dt
= P (φt(φ))x(t) + P2(φt(φ), x(t), x(t+Q))x(t)+
+ F (v(φ, t), x(t), x(t+ Θ))x(t+ ∆) + c(φ, t). (4)
В [1, 3] докладно обговорено питання про iснування у злiченної системи рiвнянь ви-
гляду
dφ
dt
= a(φ),
dx
dt
= P (φ)x, (5)
яка не мiстить вiдхилень аргументу t, функцiй Грiна – Самойленка (скорочено ФГС)
Gt(τ, φ) та G0(τ, φ) задач про обмеженi розв’язки та про iнварiантнi тори вiдповiдно i про
їх матричнi зображення. ФГС Gt(τ, φ) системи рiвнянь (5) назвемо грубою з iндексом
ε > 0, якщо при кожнiй функцiї ā(φ) ∈ C0
Lip(T∞), для якої ‖ā(φ)‖ ≤ ε, збурена система
рiвнянь
dφ
dt
= a(φ) + ā(φ),
dx
dt
= P (φ)x (6)
має єдиний обмежений на всiй осi розв’язок x = 0 i для неї iснує ФГС Ḡt(τ, φ), до того ж
у нерiвностi
‖Ḡt(τ, φ)‖ ≤ K exp {−γ|t− τ |} (7)
додатнi сталi K i γ не залежать вiд вибору функцiї ā(φ). Через C0
Lip(T∞) тут позначено
множину обмежених за нормою i лiпшицевих на T∞ функцiй вигляду a(φ) = {a1(φ), a2(φ),
a3(φ), . . .}, визначених перiодичними вiдносно координат φj , j = 1, 2, 3, . . . , з перiодом 2π
функцiями ai(φ), i ∈ N.
Зауважимо, що для скiнченновимiрних систем вигляду (5) умови грубостi ФГС дослi-
джувались, наприклад, у монографiї [6].
Нехай u0(φ) = {u0
1(φ), u0
2(φ), . . .} — будь-яка функцiя, що має 2π-перiодичнi вiдносно
φi, i ∈ N, координати i на торi T∞ задовольняє умову Лiпшиця з коефiцiєнтом U0, до того
ж ‖u0(φ)‖ ≤ d ∀φ ∈ T∞.
Тодi для рiвняння
dφ
dt
= a(φ, u0(φ)) (8)
виконуються умови (A) з [3], а тому воно для будь-якого φ ∈ T∞ має єдиний розв’язок
φ1
t (φ) = (φ1
1t
(φ), φ1
2t
(φ), . . .), що визначений на всiй осi i задовольняє початкову умову
φ = φ1
0(φ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ НЕЛIНIЙНИХ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 257
Розглянемо спочатку рiвняння
dx(t)
dt
= P (φ1
t (φ))x(t) + c0(φ1, φ, t), (9)
в якому
c0(φ1, φ, t) = P 0
2 (φ1, φ, t)u0(φ1
t (φ)) + F 0(φ1, φ, t)u0(φ1, φ, t+ ∆) + c(φ1, φ, t),
P 0
2 (φ1, φ, t) = P2(φ1
t (φ), u0(φ1
t (φ)), u0(φ1, φ, t+Q)),
F 0(φ1, φ, t) = F (v(φ1, t), u0(φ1
t (φ)), u0(φ1, φ, t+ Θ)),
u(φ1, φ, t+ Θ) = (u1(φ1
t+Θ1
(φ)), u2(φ1
t+Θ2
(φ)), . . .),
символи u(φ1, φ, t +Q) та u(φ1, φ, t + ∆) мають аналогiчний сенс; вiдображення c(φ1, φ, t)
та v(φ1, φ, t) введено аналогiчно до вiдображень c(φ, t) та v(φ, t) вiдповiдно, лише точки
zi(φ, t) та ψi(φ, t), i ∈ N, з означення останнiх замiнено точками zi(φ1, φ, t) = (φ1
1t+∆i1
(φ),
φ1
2t+∆i2
(φ), . . .), ψi(φ1, φ, t) = (φ1
1t+Θi1
(φ), φ1
2t+Θi2
(φ), . . .).
Лема 1. Припустимо, що виконуються умови (V∗) i рiвняння
dx(t)
dt
= P (φ1
t (φ))x(t)
має ФГС G1
t (τ, φ), яка задовольняє нерiвнiсть (7), i не має обмежених на всiй числовiй осi
розв’язкiв, крiм нульового. Тодi при умовi, що
γ > α(1 + U0), (10)
система рiвнянь (8), (9) має єдиний iнварiантний тор T 1, породжений функцiєю
u1(φ) =
∞∫
−∞
G1
0(τ, φ)c0(φ1, φ, τ)dτ, (11)
що задовольняє вiдносно φ на торi T∞ умову Лiпшиця з коефiцiєнтом U1.
Доведення. Неважко перевiрити (див. [3]), що ‖c0(φ1, φ, τ)‖ ≤ (2P 0 + F0)d+C0 := C0
∗
i координати вектор-функцiї c0(φ1, φ, τ) неперервнi вiдносно τ на R1, невласний iнтеграл
у рiвностi (11) збiгається рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ у покоординатному сенсi i визна-
чає iнварiантний тор системи (8), (9), до того ж ‖u1(φ)‖ ≤ 2KC0
∗
γ
. Переконаємося, що
функцiя u1(φ) задовольняє умову Лiпшиця.
При всiх {φ, φ̄} ⊂ T∞ справджується нерiвнiсть
‖u1(φ)− u1(φ̄)‖ ≤ I1 + I2,
де
I1 =
∞∫
−∞
‖G1
0(τ, φ)−G1
0(τ, φ̄)‖ ‖c0(φ1, φ, τ)‖dτ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
258 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
I2 =
∞∫
−∞
‖G1
0(τ, φ̄)‖ ‖c0(φ1, φ, τ)− c0(φ1, φ̄, τ)‖dτ.
Нескладно отримати наступнi спiввiдношення:
I1 ≤ K2ξ∗1‖ϕ− ϕ̄‖
∞∫
−∞
{
exp{−(γ − α1)|τ |}
2γ − α1
+
+
exp{−(γ − α1)|τ |}
α1
+
exp{−γ|τ |}
2γ − α1
}
dτ = S1‖ϕ− ϕ̄‖,
де
α1 = α(1 + U0), S1 = 2K2ξ∗1
2γ2 + α1γ − α12
α1γ(γ − α1)(2γ − α1)
.
Знайдемо аналогiчну оцiнку для iнтеграла I2. Неважко переконатися у правильностi
оцiнок
‖c(φ1, φ, t)− c(φ1, φ̄, t)‖ ≤ η exp{α1|t|} exp{α1∆∗}‖φ− φ̄‖,
‖P 0
2 (φ1, φ, t)− P 0
2 (φ1, φ̄, t)‖ ≤ [2ξ∗1 + ξ∗2U
0(1 + exp{α1Q∗})] exp{α1|t|}‖φ− φ̄‖,
‖P 0
2 (φ1, φ, t)u0(φ1
t (φ))− P 0
2 (φ1, φ̄, t)u0(φ1
t (φ̄))‖ ≤
≤
{
d[2ξ∗1 + ξ∗2U
0(1 + exp{α1Q∗})] + 2P 0U0
}
exp{α1|t|}‖φ− φ̄‖,
‖F 0(φ1, φ, t)u0(φ1, φ, t+ ∆)− F 0(φ1, φ̄, t)u0(φ1, φ̄, t+ ∆)‖ ≤
≤ ‖F 0(φ1, φ, t)− F 0(φ1, φ̄, t)‖ ‖u0(φ1, φ, t+ ∆)‖+
+ ‖F 0(φ1, φ̄, t)‖‖u0(φ1, φ, t+ ∆)− u0(φ1, φ̄, t+ ∆)‖ ≤
≤
{
d[ξ1ζ exp{α1Θ∗}+ ξ2U
0 + ξ3U
0 exp{α1Θ∗}] +
+ F0U
0 exp{α1∆∗}
}
exp{α1|t|}‖φ− φ̄‖.
З них безпосередньо випливає нерiвнiсть
‖c0(φ1, φ, t)− c0(φ1, φ̄, t)‖ ≤ Λ∗ exp{α1|t|}‖φ− φ̄‖,
де
Λ∗ =
{
d[2ξ∗1 + ξ∗2U
0(1 + exp{α1Q∗})] + 2P 0U0 +
+ d[ξ1ζ exp{α1Θ∗}+ ξ2U
0 + ξ3U
0 exp{α1Θ∗}]+
+ F0U
0 exp{α1∆∗}+ η exp{α1∆∗}
}
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ НЕЛIНIЙНИХ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 259
що приводить до оцiнки
I2 ≤ S2‖φ− φ̄‖,
в якiй через S2 позначено константу
2Λ∗K
γ − α1
> 0.
Таким чином, для будь-яких {φ, φ̄} ⊂ T∞ справджується нерiвнiсть
‖u1(φ)− u1(φ̄)‖ ≤ (S1 + S2)‖φ− φ̄‖,
що завершує доведення леми, якщо число S1 + S2 позначити через U1.
Запишемо формальну систему рiвнянь
dφk
t (φ)
dt
= a(φk
t (φ), uk−1(φk
t (φ))),
(12)
dx(t)
dt
= P (φk
t (φ))x(t) + ck−1(φk, φ, t),
в якiй φk
t (φ) — розв’язок першого рiвняння системи (12), який задовольняє початкову
умову φk
0(φ) = φ;
ck−1(φk, φ, t) = P k−1
2 (φk, φ, t)uk−1(φk
t (φ))+
+ F k−1(φk, φ, t)uk−1(φk, φ, t+ ∆) + c(φk, φ, t),
P k−1
2 (φk, φ, t) = P2(φk
t (φ), uk−1(φk
t (φ)), uk−1(φk, φ, t+Q)),
F k−1(φk, φ, t) = F (v(φk, t), uk−1(φk
t (φ)), uk−1(φk, φ, t+ Θ)),
символи вигляду uk−1(φk, φ, t+∆), c(φk, φ, t) вводяться аналогiчно до символiв u0(φ1, φ, t+
+∆), c(φ1, φ, t); Gk
t (τ, φ) — ФГС рiвняння
dx(t)
dt
= P (φk
t (φ))x(t).
Iндуктивна лема 2. Припустимо, що виконуються умови (V∗), ФГС Gt(τ, φ) системи
рiвнянь (5) є грубою з iндексом ε, 2A < ε i справджуються нерiвностi
2K(2P 0 + F0) < γ,
2KC0
γ − 2K(2P 0 + F0)
≤ d.
Тодi для будь-якого k ∈ N рекурентна система рiвнянь (12) визначає у просторi M
єдиний iнварiантний тор T k, породжений функцiєю
x = uk(φ) =
∞∫
−∞
Gk
0(τ, φ)ck−1(φk, φ, τ) dτ, (13)
що задовольняє на торi T∞ умову Лiпшиця
‖uk(φ)− uk(φ̄)‖ ≤ Uk‖φ− φ̄‖
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
260 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
i обмежена за нормою сталою d, при умовi, що для будь-якого k ∈ N
⋃
{0} виконується
нерiвнiсть
γ > α(1 + Uk). (14)
Доведення останньої леми при k = 1 безпосередньо випливає з леми 1. Залишається
застосувати принцип повної математичної iндукцiї, що не становить труднощiв. Зауважи-
мо лише, що необхiдною умовою для виконання оцiнки (14), яка є аналогом нерiвнос-
тi (10) на кожному кроцi рекурентного процесу, є обмеженiсть числової множини {Uk},
тобто iснування такого додатного числа U, що Uk ≤ U ∀k ∈ N
⋃
{0}.
Очевидним прикладом грубої ФГС з довiльним iндексом є ФГС системи рiвнянь ви-
гляду (5), в якiй матриця P (φ) = P1(φ, 0, 0) не залежить вiд φ, тобто є сталою матри-
цею P, а матрицант Ωt
τ рiвняння
dx
dt
= Px задовольняє нерiвнiсть ‖Ω0
τ‖ ≤ K exp{−γ|τ |}
∀τ ≤ 0. Тодi ФГС системи вигляду (6) не залежить вiд збурюючої функцiї ā(φ) i задоволь-
няє нерiвнiсть (7). Такою, наприклад, є дiагональна матриця P = diag {−1,−1,−1, . . .}.
3. Основне твердження та наслiдки з нього. Введемо формальне позначення
Σ∗ = 2K
{
Kξ∗1(2γ
2 + α∗γ − α∗
2
)[d(2P 0 + F0) + C0]
(2γ − α∗)(γ − α∗)α∗γ
+
+
d(ξ∗2 + ξ∗3 + ξ2 + ξ3) + 2P 0 + F0
γ
+
2dξ∗1 + dξ1ζ exp{α∗Θ∗}+ η exp{α∗∆∗}
γ − α∗
}
i наведемо достатнi умови збiжностi послiдовностi {uk(φ)}∞k=1 до функцiї u(φ), що визна-
чає iнварiантний тор T системи рiвнянь (1) або, що те саме, системи рiвнянь (4).
Теорема. Припустимо, що виконуються умови (V∗), iснує груба з iндексом ε ФГС
Gt(τ, φ) системи рiвнянь (5) i справджуються нерiвностi
2A < ε, Σ∗ < 1,
2KC0
γ − 2K(2P 0 + F0)
≤ d,
U = sup
k∈N
S
{0}
Uk < ∞, γ > α∗ = α(1 + U).
Тодi послiдовнiсть {uk(φ)}∞k=1 рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ збiгається за нормою
простору M до функцiї u(φ) : T∞ → M, що визначає iнварiантний тор T системи
рiвнянь (1) i задовольняє умову Лiпшиця вiдносно φ з коефiцiєнтом U.
Доведення. Зауважимо спочатку, що з нерiвностi Σ∗ < 1 безпосередньо випливає
оцiнка 2K(2P 0 + F0) < γ, тобто виконуються всi умови iндуктивної леми 2.
Ввiвши позначення ‖uk(φ)‖0 := supφ∈T∞ ‖u
k(φ)‖, неважко переконатися у виконаннi
нерiвностi
‖φk
t (φ)− φk−1
t (φ)‖ ≤
|t|∫
0
{
α∗‖φk
τ (φ)− φk−1
τ (φ)‖+ α∗‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0
}
dτ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ НЕЛIНIЙНИХ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 261
Тодi ‖φk
t (φ)− φk−1
t (φ)‖ ≤ Φ(t), де Φ(t) є розв’язком рiвняння
Φ(t) =
|t|∫
0
{
α∗Φ(τ) + α∗‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0
}
dτ,
який зображується рiвнiстю
Φ(t) = ‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0(exp{α∗|t|} − 1).
Звiдси для будь-яких {i, j} ⊂ N випливають оцiнки
‖φk
t (φ)− φk−1
t (φ)‖ ≤ ‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0 exp{α∗|t|},
|φk
jt+∆ij
(φ)− φk−1
jt+∆ij
(φ)| ≤ ‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0 exp{α∗|t|} exp{α∗∆∗},
що дозволяють записати нерiвностi
‖c(φk, φ, t)− c(φk−1, φ, t)‖ ≤ η sup
i∈N
sup
j∈N
{
|φk
jt+∆ij
(φ)− φk−1
jt+∆ij
(φ)|
}
≤
≤ η exp{α∗|t|} exp{α∗∆∗}‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0,
‖P k−1
2 (φk, φ, t)uk−1(φk
t (φ))− P k−2
2 (φk−1, φ, t)uk−2(φk−1
t (φ))‖ ≤
≤ ‖P k−1
2 (φk, φ, t)− P k−2
2 (φk−1, φ, t)‖‖uk−1(φk
t (φ))‖+
+ ‖P k−2
2 (φk−1, φ, t)‖‖uk−1(φk
t (φ))− uk−2(φk−1
t (φ))‖ ≤
≤ d
{
2ξ∗1‖φk
t (φ)− φk−1
t (φ)‖+ ξ∗2‖uk−1(φk
t (φ))− uk−2(φk−1
t (φ))‖ +
+ ξ∗3‖uk−1(φk
, φ, t+Q)− uk−2(φk−1, φ, t+Q)‖
}
+ 2P 0‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0 ≤
≤
{
d [2ξ∗1 exp{α∗|t|}+ ξ∗2 + ξ∗3 ] + 2P 0
}
‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0,
‖F k−1(φk, φ, t)uk−1(φk, φ, t+ ∆)− F k−2(φk−1, φ, t)uk−2(φk−1, φ, t+ ∆)‖ ≤
≤ ‖F k−1(φk, φ, t)− F k−2(φk−1, φ, t)‖‖uk−1(φk, φ, t+ ∆)‖+
+ ‖F k−2(φk−1, φ, t)‖ ‖uk−1(φk, φ, t+ ∆)− uk−2(φk−1, φ, t+ ∆)‖ ≤
≤ {F0 + d [ξ1ζ exp{α∗(Θ∗ + |t|)}+ ξ2 + ξ3]} ‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
262 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
Останнi оцiнки приводять до нерiвностей
‖ck−1(φk, φ, t)− ck−2(φk−1, φ, t)‖ ≤
≤ ‖P k−1
2 (φk, φ, t)uk−1(φk
t (φ))− P k−2
2 (φk−1, φ, t)uk−2(φk−1
t (φ))‖+
+ ‖F k−1(φk, φ, t)uk−1(φk, φ, t+ ∆)− F k−2(φk−1, φ, t)uk−2(φk−1, φ, t+ ∆)‖+
+ ‖c(φk, φ, t)− c(φk−1, φ, t)‖ ≤ Σ0(t)‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0, (15)
де
Σ0(t) = d[2ξ∗1 exp{α∗|t|}+ ξ∗2 + ξ∗3 ] + 2P 0 + F0+
+ d[ξ1ζ exp{α∗(Θ∗ + |t|)}+ ξ2 + ξ3] + η exp{α∗(∆∗ + |t|)}.
Оцiнимо тепер за нормою рiзницю L(t, τ, φ, k) = Gk
t (τ, φ) − Gk−1
t (τ, φ). Очевидно, що
L(t, τ, φ, k) є єдиним обмеженим розв’язком матричного рiвняння
dL(t, τ, φ, k)
dt
= P (φk
t (φ))L(t, τ, φ, k) + F k(t, τ, φ),
де
F k(t, τ, φ) =
{
P (φk
t (φ))− P (φk−1
t (φ))
}
Gk−1
t (τ, φ),
а тому справджуються рiвностi
L(t, τ, φ, k) =
∞∫
−∞
Gk
t (s, φ)F k(s, τ, φ)ds =
=
∞∫
−∞
Gk
t (s, φ)
{
P (φk
s(φ))− P (φk−1
s (φ))
}
Gk−1
s (τ, φ)ds,
що приводять до наступних нерiвностей:
‖L(0, τ, φ, k)‖ ≤
∞∫
−∞
K2 exp{−γ|s| − γ|s− τ |}‖P (φk
s(φ))− P (φk−1
s (φ))‖ds ≤
≤
∞∫
−∞
K2ξ∗1 exp{−γ|s| − γ|s− τ |}‖φk
s(φ)− φk−1
s (φ)‖ds ≤
≤
∞∫
−∞
K2ξ∗1 exp{−γ|s| − γ|s− τ |+ α∗|s|}‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0 ds ≤
≤ Σ1(τ)‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ НЕЛIНIЙНИХ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 263
де
Σ1(τ) =
K2ξ∗1
2γ − α∗
{
2γ
α
exp{−(γ − α∗)|τ |}+ exp{−γ|τ |}
}
. (16)
Врахувавши рiвнiсть (13) та оцiнки (15) i (16), одержимо ланцюжок нерiвностей
‖uk(φ)− uk−1(φ)‖ ≤
≤
∥∥∥∥∥∥
∞∫
−∞
{
Gk
0(τ, φ)ck−1(φk, φ, τ)−Gk−1
0 (τ, φ)ck−2(φk−1, φ, τ)
}
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
∞∫
−∞
‖Gk
0(τ, φ)−Gk−1
0 (τ, φ)‖‖ck−1(φk, φ, τ)‖ dτ+
+
∞∫
−∞
‖Gk−1
0 (τ, φ)‖‖ck−1(φk, φ, τ)− ck−2(φk−1, φ, τ)‖dτ ≤
≤ {(2P 0 + F0)d+ C0}‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0
∞∫
−∞
Σ1(τ)dτ+
+K‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0
∞∫
−∞
exp{−γ|τ |}Σ0(τ)dτ ≤
≤ Σ∗‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0.
Iндуктивна оцiнка
‖uk(φ)− uk−1(φ)‖0 ≤ Σ∗‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0
при Σ∗ < 1 означає, що послiдовнiсть {uk(φ)}∞k=0 є фундаментальною у повному метрич-
ному просторi M. Отже, ця послiдовнiсть рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ збiгається за нор-
мою простору M до неперервної на T∞ функцiї u(φ) : T∞ → M. Залишилося показати,
що ця функцiя визначає iнварiантний тор рiвняння (1).
Нехай σ = [−Tσ;Tσ] — будь-який сегмент скiнченної довжини i σ∆ = [−Tσ −∆∗;Tσ +
+∆∗]. Тодi для всiх t ∈ σ∆, k ∈ N виконується нерiвнiсть
‖φk+1
t (φ)− φk
t (φ)‖ ≤ ‖uk(φ)− uk−1(φ)‖0 exp{α∗(Tσ + ∆∗)},
до того ж ‖uk(φ) − uk−1(φ)‖0 → 0 при k → ∞. Це означає, що послiдовнiсть {φk
t (φ)}∞k=1
теж є фундаментальною у просторi M, а тому рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ та t ∈ σ∆
збiгається за нормою простору M до функцiї φt(φ) : T∞ → M такої, що φ0(φ) = φ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
264 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
При всiх k ∈ N, φ ∈ T∞, t ∈ R1 справджуються рiвностi
dφk
t (φ)
dt
= a(φk
t (φ), uk−1(φk
t (φ))), (17)
duk(φk
t (φ))
dt
= P (φk
t (φ))uk(φk
t (φ))+
+ P2(φk
t (φ), uk−1(φk
t (φ)), uk−1(φk, φ, t+Q)uk−1(φk
t (φ))+
+ F (v(φk, t), uk−1(φk
t (φ)), uk−1(φk, φ, t+ Θ))uk−1(φk, φ, t+ ∆) + c(φk, φ, t).
(18)
З нерiвностi
‖a(φt(φ), u(φt(φ)))− a(φk
t (φ), uk−1(φk
t (φ)))‖ ≤
≤ α{‖φt(φ)− φk
t (φ)‖+ ‖uk−1(φk
t (φ))− uk−1(φt(φ))‖+ ‖uk−1(φt(φ))− u(φt(φ))‖}
випливає, що рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ та t ∈ σ
a(φk
t (φ), uk−1(φk
t (φ)) → a(φt(φ), u(φt(φ)))
при k → ∞. Це дає можливiсть у рiвностi (17) перейти до границi в покоординатному
сенсi при k → ∞ i одержати рiвнiсть (3) для всiх t ∈ R1.
Покажемо тепер, що справджується рiвнiсть (2). Оскiльки
‖c(φ, t)− c(φk, φ, t)‖ ≤ η sup
i∈N
sup
j∈N
{
|φjt+∆ij
(φ)− φk
jt+∆ij
(φ)|
}
,
а
|φjt+∆ij
(φ)− φk
jt+∆ij
(φ)| → 0
при k → ∞ рiвномiрно вiдносно t ∈ σ, φ ∈ T∞ та {i, j} ⊂ N, то послiдовнiсть {c(φk,
φ, t)}∞k=1 рiвномiрно вiдносно φ ∈ T∞ та t ∈ σ збiгається при k → ∞ за нормою простору
M до функцiї c(φ, t).
Позначивши матрицю P2 через [p2
sj ]
∞
s,j=1, рiвнiсть (18) запишемо у покоординатному
виглядi
duk
s(φ
k
t (φ))
dt
=
∞∑
j=1
{
psj(φk
t (φ))uk
j (φ
k
t (φ)) +
+ p2
sj(φ
k
t (φ), uk−1(φk
t (φ)), uk−1(φk, φ, t+Q))uk−1
j (φk
t (φ))+
+ fsj(v(φk, t), uk−1(φk
t (φ)), uk−1(φk, φ, t+ Θ))uk−1
j (φk, φ, t+ ∆)
}
+ cs(φk, φ, t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ НЕЛIНIЙНИХ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 265
Очевидно, що для будь-якого s ∈ N ряди, що знаходяться у правих частинах останнiх
рiвностей, збiгаються рiвномiрно вiдносно k, t ∈ R1 та φ ∈ T∞, оскiльки вони мажору-
ються збiжним числовим рядом
∞∑
j=1
{
2 sup
φ∈T∞
|psj(φ)|+ sup
(φ,x,χ)∈D∗
|p1
sj(φ, x, χ)|+ sup
(v,x,χ)∈D∗
|fsj(v, x, χ)|
}
d.
Це дає можливiсть у рiвностi (18) перейти у покоординатному сенсi до границi при k → ∞
i будь-якому t ∈ σ одержати рiвнiсть (2). Отже, ця рiвнiсть справджується при будь-якому
t ∈ R1. При умовах теореми лiпшицевiсть функцiї u(φ) є очевидною.
Теорему доведено.
Наслiдок 1. Неоднозначнiсть вибору функцiї u0(φ) при побудовi iтерацiйного про-
цесу не приводить до змiни функцiї u(φ) : T∞ → M, що визначає iнварiантний тор T
системи рiвнянь (1).
Доведення. Замiсть u0(φ) виберемо iншу початкову функцiю ū0(φ) з аналогiчними
властивостями i розглянемо рекурентну послiдовнiсть
ūk(φ) =
∞∫
−∞
Ḡk
0(τ, φ)c̄k−1(φ̄k, φ, τ)dτ, k ∈ N, (19)
де Ḡk
0(τ, φ) — ФГС рiвняння
dx(t)
dt
= P (φ̄k
t (φ))x(t), φ̄k
t (φ) — розв’язок рiвняння
dφ̄k
t (φ)
dt
= a(φ̄k
t (φ), ūk−1(φ̄k
t (φ))),
який задовольняє початкову умову φ̄k
0(φ) = φ;
c̄k−1(φ̄k, φ, t) = P k−1
2 (φ̄k, φ, t)ūk−1(φ̄k
t (φ))+
+ F k−1(φ̄k, φ, t)ūk−1(φ̄k, φ, t+ ∆) + c(φ̄k, φ, t),
P k−1
2 (φ̄k, φ, t) = P2(φ̄k
t (φ), ūk−1(φ̄k
t (φ)), ūk−1(φ̄k, φ, t+Q)),
F k−1(φ̄k, φ, t) = F (v(φ̄k, t), ūk−1(φ̄k
t (φ)), ūk−1(φ̄k, φ, t+ Θ));
символи вигляду ūk−1(φ̄k, φ, t+∆), c(φ̄k, φ, t) вводяться аналогiчно до символiв uk−1(φk, φ,
t+ ∆), c(φk, φ, t).
Врахувавши рiвностi (13) та (19), легко одержати оцiнку
‖uk(φ)− ūk(φ)‖ ≤
∞∫
−∞
‖Gk
0(τ, φ)− Ḡk
0(τ, φ)‖ ‖ck−1(φk, φ, τ)‖dτ+
+
∞∫
−∞
‖Ḡk
0(τ, φ)‖ ‖ck−1(φk, φ, τ)− c̄k−1(φ̄k, φ, τ)‖dτ. (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
266 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
Неважко також переконатись у виконаннi нерiвностi
‖φk
t (φ)− φ̄k
t (φ)‖ ≤
|t|∫
0
{
α∗‖φk
τ (φ)− φ̄k
τ (φ)‖+ α∗‖uk−1(φ)− ūk−1(φ)‖0
}
dτ,
з якої при будь-яких {i, j} ⊂ N випливають оцiнки
‖φk
t (φ)− φ̄k
t (φ)‖ ≤ ‖uk−1(φ)− ūk−1(φ)‖0 exp{α∗|t|},
|φk
jt+∆ij
(φ)− φ̄k
jt+∆ij
(φ)| ≤ ‖uk−1(φ)− ūk−1(φ)‖0 exp{α∗|t|} exp{α∗∆∗}.
Далi застосуємо методику доведення теореми. Оцiнимо спочатку за нормою рiзницю
L̄(t, τ, φ, k) = Gk
t (τ, φ)− Ḡk
t (τ, φ), використавши рiвнiсть
L̄(t, τ, φ, k) =
∞∫
−∞
Gk
t (s, φ)
{
P (φk
s(φ))− P (φ̄k
s(φ))
}
Ḡk
s(τ, φ) ds,
що приводить до наступних нерiвностей:
‖L̄(0, τ, φ, k)‖ ≤
∞∫
−∞
K2 exp{−γ|s| − γ|s− τ |}‖P (φk
s(φ))− P (φ̄k
s(φ))‖ds ≤
≤
∞∫
−∞
K2ξ∗1 exp{−γ|s| − γ|s− τ |}‖φk
s(φ)− φ̄k
s(φ)‖ds ≤
≤ Σ1(τ)‖uk−1(φ)− ūk−1(φ)‖0, (21)
де множник Σ1(τ) визначений рiвнiстю (16).
Неважко переконатися також у правильностi оцiнок
‖c(φk, φ, t)− c(φ̄k, φ, t)‖ ≤ η exp{α∗|t|} exp{α∗∆∗}‖uk−1(φ)− ūk−1(φ)‖0,
‖P k−1
2 (φk, φ, t)uk−1(φk
t (φ))− P k−1
2 (φ̄k, φ, t)ūk−1(φ̄k
t (φ))‖ ≤
≤
{
d [2ξ∗1 exp{α∗|t|}+ ξ∗2 + ξ∗3 ] + 2P 0
}
‖uk−1(φ)− ūk−1(φ)‖0,
‖F k−1(φk, φ, t)uk−1(φk, φ, t+ ∆)− F k−1(φ̄k, φ, t)ūk−1(φ̄k, φ, t+ ∆)‖ ≤
≤ {F0 + d [ξ1ζ exp{α∗(Θ∗ + |t|)}+ ξ2 + ξ3]} ‖uk−1(φ)− ūk−1(φ)‖0,
що приводять до нерiвностi
‖ck−1(φk, φ, t)− c̄k−1(φ̄k, φ, t)‖ ≤ Σ0(t)‖uk−1(φ)− ūk−1(φ)‖0, (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ НЕЛIНIЙНИХ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 267
де Σ0(t) — та ж сама функцiя, що i у спiввiдношеннях (15). Спiввiдношення (20) – (22) у
свою чергу приводять до iндуктивної оцiнки
‖uk(φ)− ūk(φ)‖ ≤ Σ∗‖uk−1(φ)− ūk−1(φ)‖0,
з якої при Σ∗ < 1 випливає рiвнiсть
lim
k→∞
‖uk(φ)− ūk(φ)‖ = 0,
що завершує доведення.
Зауваження. У формулюваннi теореми не наведено коефiцiєнтних умов виконання
нерiвностi (14) при будь-якому k ∈ N i достатнiх умов грубостi ФГС системи рiвнянь (5).
Це потребує додаткових нетривiальних дослiджень.
Тут ми розглянемо другий важливий наслiдок з теореми, який демонструє клас не-
лiнiйних систем вигляду (1), для iснування iнварiантних торiв яких можна не вимагати
виконання вказаних у зауваженнi умов. Покладемо
‖P1‖0 = ‖P1(φ, x, χ)‖0 = sup
i
∞∑
j=1
sup
(φ,x,χ)∈D∗∗
|p1
ij(φ, x, χ)|,
b = [ξ∗2 + ξ∗3 exp{Q∗}+ ξ2 + ξ3 exp{Θ∗}]d+ ‖P1 + E‖0 + F0 exp{∆∗} − (1− α),
c = d[ξ∗1 + ξ1ζ exp{Θ∗}] + η exp{∆∗}
i систему рiвнянь (1) запишемо у виглядi
dφ(t)
dt
= a(φ(t), x(t)),
dx(t)
dt
= −Ex(t) + P2(φt(φ), x(t), x(t+Q))x(t)+
+ F (v(φ, t), x(t), x(t+ Θ))x(t+ ∆) + c(φ, t),
де
P2(φt(φ), x(t), x(t+Q)) = P1(φt(φ), x(t), x(t+Q)) + E.
Покладемо u0(φ) := u0(φ) i запишемо рiвняння
dx(t)
dt
= −Ex(t) + c0(φ1, φ, t), (23)
в якому, як i ранiше,
c0(φ1, φ, t) = P 0
2 (φ, φ1, φ, t)u0(φ1
t (φ))+
+ F 0(φ1, φ, t)u0(φ1, φ, t+ ∆) + c(φ1, φ, t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
268 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
Якщо виконуються умови (V∗) i справджуються нерiвностi
1− ‖P1 + E‖0 − F0 > 0,
C0
1− ‖P1 + E‖0 − F0
≤ d,
то, нескладно переконатися в iснуваннi iнварiантного тора T1 системи рiвнянь (8), (23)
при умовi, що
1 > α(1 + U0), U0 := U0. (24)
Цей тор породжений функцiєю
u1(φ) =
0∫
−∞
Ω0
τ c
0(φ1, φ, τ)dτ,
де Ωt
τ — матрицант рiвняння
dx
dt
= −Ex, причому ця функцiя задовольняє вiдносно φ на
торi T∞ умову Лiпшиця з коефiцiєнтом U1 i ‖u1(φ)‖ ≤ d.
Пiдберемо константу U0 так, щоб виконувалися нерiвнiсть (24) та оцiнка U1 ≤ U0.
Внiсши несуттєвi змiни у доведення леми 1, виберемо за U1 вираз
f(U0) :=
1
1− α(1 + U0)
{d[ξ∗1 + U0(ξ∗2 + ξ∗3 exp{Q∗})] + ‖P1 + E‖0U
0+
+ d[ξ1ζ exp{Θ∗}+ ξ2U
0 + ξ3U
0 exp{Θ∗}] + F0U
0 exp{∆∗}+ η exp{∆∗}}
i розв’яжемо нерiвнiсть f(U0) ≤ U0, яка має вигляд
α(U0)2 + bU0 + c ≤ 0. (25)
Очевидно, що при умовах b < 0, b2 − 4αc > 0 рiвняння α(U0)2 + bU0 + c = 0 має два
дiйсних коренi u− < u+, до того ж 0 < u+. З нерiвностi (24) випливає, що α < 1. Якщо
1− α
α
> u−, то шукана константа iснує i за неї можна вибрати будь-який додатний розв’я-
зок нерiвностi (25), який задовольняє нерiвнiсть
U0 <
1− α
α
. (26)
Якщо
1− α
α
≤ u−, то потрiбна константи не iснує.
Запишемо тепер аналог iндуктивної системи (12):
dφk
t (φ)
dt
= a(φk
t (φ), uk−1(φk
t (φ))),
(27)
dx(t)
dt
= −Ex(t) + ck−1(φk, φ, t), k ∈ N,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ НЕЛIНIЙНИХ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 269
в якiй
ck−1(φk, φ, t) = P k−1
2 (φk, φ, t)uk−1(φk
t (φ))+
+ F k−1(φk, φ, t)uk−1(φk, φ, t+ ∆) + c(φk, φ, t),
P k−1
2 (φk, φ, t) = P2(φk
t (φ), uk−1(φk
t (φ)), uk−1(φk, φ, t+Q)),
F k−1(φk, φ, t) = F (v(φk, t), uk−1(φk
t (φ)), uk−1(φk, φ, t+ Θ)).
Iндуктивнi мiркування приводять до висновку, що при виконаннi оцiнок b < 0, b2 −
−4αc > 0 та
1− α
α
> u− ∀k ∈ N рекурентна система рiвнянь (27) визначає у просторi M
iнварiантний тор Tk, породжений функцiєю
x = uk(φ) =
0∫
−∞
Ω0
τ c
k−1(φk, φ, τ)dτ,
що задовольняє на торi T∞ умову Лiпшиця з коефiцiєнтом U0 i обмежена за нормою ста-
лою d.
Введемо позначення
Σ∗∗ = d(ξ∗2 + ξ∗3 + ξ2 + ξ3) + ‖P1 + E‖0 + F0 +
dξ∗1 + dξ1ζ exp{Θ∗}+ η exp{∆∗}
1− α(1 + U0)
i сформулюємо наступне твердження.
Наслiдок 2. Припустимо, що виконуються умови (V∗) i справджуються нерiвностi
1− ‖P1 + E‖0 − F0 > 0,
C0
1− ‖P1 + E‖0 − F0
≤ d,
b < 0, b2 − 4αc > 0,
1− α
α
> u−.
Тодi система нерiвностей (25), (26) має розв’язок U0. Якщо при цьому Σ∗∗ < 1, то
система рiвнянь (1) має iнварiантний тор, породжений функцiєю u(φ) : T∞ → M, що
задовольняє умову Лiпшиця вiдносно φ з коефiцiєнтом U0.
Доведення. Збiжнiсть послiдовностi {uk(φ)}∞k=0 до функцiї u(φ), яка визначає iнварiант-
ний тор системи рiвнянь (1), доводиться так само, як i в теоремi, з незначними змiнами.
Зрозумiло, що ця функцiя задовольняє на торi T∞ умову Лiпшиця з коефiцiєнтом U0.При
цьому має мiсце iндуктивна нерiвнiсть
‖uk(φ)− uk−1(φ)‖0 ≤ Σ∗∗‖uk−1(φ)− uk−2(φ)‖0.
У наступному прикладi розглянемо систему рiвнянь виляду (12.1) з [1], що є частковим
випадком нелiнiйної системи (1), яка не мiстить вiдхилень аргументу. Цей приклад покаже
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
270 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, К. В. ПАСЮК
несуперечливiсть умов доведених вище теореми та наслiдку 2, а також продемонструє
можливiсть практичного застосування цього наслiдку в цiлому класi задач.
4. Приклад. Розглянемо систему рiвнянь
dφi
dt
=
1
16
trig (φi + φi+1 + xi),
dx
dt
= P (φ, x)x+
1
64
c(φ), i = 1, 2, 3, . . . , (28)
де c(φ) = {trig (φ1 + φ2), trig (φ2 + φ3), . . .},
P (φ, x) =
−1 trig (φ12+x1+x2)
4
trig (φ13+x1+x3)
8
trig (φ14+x1+x4)
16 . . .
trig (φ21+x2+x1)
4 −1 trig (φ23+x2+x3)
8
trig (φ24+x2+x4)
16 . . .
trig (φ31+x3+x1)
4
trig (φ32+x3+x2)
8 −1 trig (φ34+x3+x4)
16 . . .
trig (φ41+x4+x1)
4
trig (φ42+x4+x2)
8
trig (φ43+x4+x3)
16 −1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
,
символом trig позначено функцiї синус або косинус, а символом φsl, {s, l} ⊂ N, — будь-
яку координату φi вектора φ.
Очевидно, що будь-яких x ∈ M i φ ∈ T∞ ‖P (φ, x) + E‖0 =
1
2
, ‖P (φ, x)‖ ≤ 3
2
,
C0 =
1
64
, η =
1
32
, α =
1
8
, ξ∗1 =
1
2
, ξ∗2 = 1, до того ж стосовно системи рiвнянь (28)
виконуються всi умови (V∗). Iншi умови наслiдку 2 також виконуються, якщо покласти,
наприклад, d =
1
32
. Дiйсно,
C0
1− ‖P1 + E‖0 − F0
=
1
64
1− 1
2
=
1
32
≤ d =
1
32
,
b =
1
32
+
1
2
−
(
1− 1
8
)
= −11
32
< 0, c =
1
64
+
1
32
=
3
64
,
b2 − 4αc =
121
322
− 4 · 1
8
· 3
64
=
97
322
> 0
i рiвняння
1
8
z2 − 11
32
z +
3
64
= 0
має додатнi коренi
u− =
11−
√
97
8
, u+ =
11 +
√
97
8
,
до того ж виконується нерiвнiсть (26), оскiльки
1− 1
8
1
8
= 7 >
11−
√
97
8
= u−.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО IСНУВАННЯ НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ НЕЛIНIЙНИХ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ . . . 271
I, нарештi, поклавши U0
∗∗∗ = 2, одержимо нерiвнiсть
Σ∗∗ =
1
32
+
1
2
+
1
32 ·
1
2
1− 1
8(1− 2)
=
157
288
< 1,
тобто система (28) має iнварiантний тор, причому породжуюча його функцiя задоволь-
няє оцiнку ‖u(φ)‖ ≤ 1
32
i є лiпшицевою з коефiцiєнтом 2. Зауважимо, що при фiксованих
вище сталих C0, η, α, ξ∗1 , ξ
∗
2 значення d =
1
32
є мiнiмальним з можливих. Очевидно також,
що при побудовi iнварiантного тора системи (28) за початкове наближення породжую-
чої його функцiї можна взяти або 0 ∈ M, або будь-яку 2π-перiодичну вiдносно кожної
координати φi, i ∈ N, функцiю u0(φ), яка задовольняє на торi T∞ умову Лiпшиця з кое-
фiцiєнтом 2 i обмежена за нормою числом
1
32
.
1. Samoilenko A. M., Teplinskiy Yu. V. Countable systems of differential equations. — Utrecht; Boston:VSP,
2003. — 287 p.
2. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В. Елементи математичної теорiї еволюцiйних рiвнянь у банахових
просторах. — Київ: Iн-т математики НАН України, 2008. — 496 с.
3. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В., Пасюк К. В. Про iснування iнварiантних торiв лiнiйних i ква-
зiлiнiйних злiченних систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь, визначених на нескiнченновимiрних
торах // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 3. — С. 347 – 367.
4. Пасюк К. В. Про iснування лiпшицевих iнварiантних торiв злiченних лiнiйних систем диференцiально-
рiзницевих рiвнянь, що мiстять нескiнченну кiлькiсть вiдхилень скалярного аргументу // Наук. вiсн.
Чернiв. ун-ту. Математика. — 2008. — Вип. 421. — С. 75 – 79.
5. Теплiнський Ю. В., Пасюк К. В. Про iснування iнварiантних торiв злiченних лiнiйних систем диферен-
цiально-рiзницевих рiвнянь // Там же. — 2009. — Вип. 454. — С. 108 – 115.
6. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследования дихотомии линейных систем
дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. — Киев: Наук. думка, 1990. — 270 с.
Одержано 27.08.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
|