Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри
Получены достаточные условия ограниченности решений нелинейной двупараметрической системы Вольтерра в терминах коэффициентов этой системы.
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174965 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри / М.Ф. Городнiй, К.В. Лукаш // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 497-500. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174965 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1749652021-01-29T01:26:38Z Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри Городнiй, М.Ф. Лукаш, К.В. Получены достаточные условия ограниченности решений нелинейной двупараметрической системы Вольтерра в терминах коэффициентов этой системы. We find sufficient conditions for boundedness of solutions for a two-parameter nonlinear Volterra system in terms of coefficients of the system. 2010 Article Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри / М.Ф. Городнiй, К.В. Лукаш // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 497-500. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174965 531.36 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены достаточные условия ограниченности решений нелинейной двупараметрической системы Вольтерра в терминах коэффициентов этой системы. |
| format |
Article |
| author |
Городнiй, М.Ф. Лукаш, К.В. |
| spellingShingle |
Городнiй, М.Ф. Лукаш, К.В. Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри Нелінійні коливання |
| author_facet |
Городнiй, М.Ф. Лукаш, К.В. |
| author_sort |
Городнiй, М.Ф. |
| title |
Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри |
| title_short |
Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри |
| title_full |
Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри |
| title_fullStr |
Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри |
| title_full_unstemmed |
Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри |
| title_sort |
про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи вольтерри |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174965 |
| citation_txt |
Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри / М.Ф. Городнiй, К.В. Лукаш // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 497-500. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT gorodnijmf proobmeženístʹrozvâzkívnelíníjnoídvoparametričnoísistemivolʹterri AT lukaškv proobmeženístʹrozvâzkívnelíníjnoídvoparametričnoísistemivolʹterri |
| first_indexed |
2025-07-15T12:06:07Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:06:07Z |
| _version_ |
1837714551291772928 |
| fulltext |
УДК 531.36
ПРО ОБМЕЖЕНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНОЇ
ДВОПАРАМЕТРИЧНОЇ СИСТЕМИ ВОЛЬТЕРРА
М. Ф. Городнiй, К. В. Лукаш
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 7
e-mail: gorodnii@yandex.ru
We find sufficient conditions for boundedness of solutions for a two-parameter nonlinear Volterra system
in terms of coefficients of the system.
Получены достаточные условия ограниченности решений нелинейной двупараметрической сис-
темы Вольтерра в терминах коэффициентов этой системы.
У данiй статтi розглядається питання про обмеженiсть розв’язку x = {xn,m : n ≥ 0,m ≥
≥ 0} нелiнiйної двопараметричної системи Вольтерра
xn,m = −
n∑
k=0
m∑
j=0
an−k,m−jg(xk,j) + yn,m, n ≥ 0, m ≥ 0, (1)
в якiй {an,m : n ≥ 0,m ≥ 0} — фiксована послiдовнiсть дiйсних чисел, g : R → R —
деяка функцiя, y = {yn,m : n ≥ 0,m ≥ 0} — задана обмежена послiдовнiсть дiйсних
чисел. Аналогiчне питання щодо однопараметричної системи Вольтерра дослiджувалося
в [1]. Про застосування систем Вольтерра див. [2, 3].
У подальшому будемо використовувати такi допомiжнi твердження.
Нехай B — комплексний банахiв простiр iз нормою ‖·‖ та нульовим елементом 0̄; L(B)
— банахiв простiр усiх лiнiйних обмежених операторiв, що дiють iз B в B, I — одиничний
оператор у просторi B.
Розглянемо рiвняння
x + AGx = y, (2)
в якому A ∈ L(B), G : B → B — деякий не обов’язково лiнiйний оператор, y — заданий
елемент iз B.
Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай iснують такi сталi L > 0, c > 0, λ ∈ (0; 1), що виконуються умови:
a1) ∀x, y ∈ B : ‖Gx−Gy‖ ≤ L‖x− y‖;
a2) оператор I + cA є неперервно оборотним, а також ‖(I + cA)−1 − I‖ ≤ λ;
a3) ∀x, y ∈ B :
∥∥∥∥x− y − 1
c
(Gx−Gy)
∥∥∥∥ ≤ ‖x− y‖;
a4) G0 = 0.
c© М. Ф. Городнiй, К. В. Лукаш, 2010
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 497
498 М. Ф. ГОРОДНIЙ, К. В. ЛУКАШ
Тодi для довiльного y ∈ B рiвняння (2) має єдиний розв’язок x ∈ B, до того ж цей
розв’язок задовольняє нерiвнiсть
‖x− y‖ ≤ λL
c(1− λ)
‖y‖. (3)
Доведення. Зафiксуємо y ∈ B. Тодi за умовою a2) рiвняння (2) еквiвалентне рiвнянню
x = Sy x, (4)
де Sy x := (I + cA)−1A(cx−Gx) + (I + cA)−1y.
Доведемо, що вiдображення Sy : B → B є стискаючим. Справдi, для довiльних x, u ∈
∈ B
‖Syx− Syu‖ =
∥∥∥∥x− u− 1
c
(Gx−Gu)− (I + cA)−1
(
x− u− 1
c
(Gx−Gu)
)∥∥∥∥ ,
а отже, за умовами a2) та a3) отримаємо
‖Syx− Syu‖ ≤ λ‖x− u‖.
Оскiльки λ ∈ (0; 1), то, застосувавши до вiдображення Sy : B → B принцип стискаючих
вiдображень, одержимо, що рiвняння (4) має єдиний розв’язок у просторi B.
Покладемо By := {u ∈ B|‖u − y‖ ≤ R}, де R =
λL‖y‖
c(1− λ)
, та доведемо, що Sy(By) ⊂
⊂ By. Справдi, для кожного u ∈ By внаслiдок умов a1), a2) та a4) справджується ланцюг
нерiвностей
‖Syu− y‖ ≤ ‖Sy u− Sy y‖+ ‖Sy y − y‖ ≤ λ‖u− y‖+
1
c
‖(I + cA)−1Gy −Gy‖ ≤
≤ λ‖u− y‖+
λ
c
‖Gy −G0‖ ≤ λ‖u− y‖+
λL
c
‖y‖ ≤
≤ λ
λL‖y‖
c(1− λ)
+
λL
c
‖y‖ =
λL‖y‖
c(1− λ)
.
Отже, за принципом стискаючих вiдображень рiвняння (4) має єдиний розв’язок у прос-
торi By.
Оскiльки рiвняння (4) має єдиний розв’язок у просторi B, то цей розв’язок належить
By, тобто задовольняє нерiвнiсть (3).
Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай {pn,m : n ≥ 0,m ≥ 0}— така послiдовнiсть комплексних чисел, що∑∞
n=0
∑∞
m=0 |pn,m| < ∞ i функцiя p(t, s) =
∑∞
n=0
∑∞
m=0 pn,mtnsm не має нулiв на множинi
K2 := {(t, s) ∈ C2 : |t| ≤ 1, |s| ≤ 1}. Тодi знайдеться така послiдовнiсть {dn,m : n ≥ 0,
m ≥ 0} ⊂ C, що
∑∞
n=0
∑∞
m=0 |dn,m| < ∞ i
1
p(t, s)
=
∑∞
n=0
∑∞
m=0 dn,mtn sm, (t, s) ∈ K2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
ПРО ОБМЕЖЕНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНОЇ ДВОПАРАМЕТРИЧНОЇ СИСТЕМИ ВОЛЬТЕРРА 499
Теорема 2 є безпосереднiм наслiдком теореми 3 iз [4] i узагальнює вiдому теорему
Вiнера про абсолютно збiжнi ряди Фур’є на випадок абсолютно збiжних степеневих рядiв
вiд двох змiнних.
Достатнi умови обмеженостi розв’язкiв системи Вольтерра (1) визначає наступна тео-
рема.
Теорема 3. Нехай функцiя g i послiдовнiсть {an,m : n ≥ 0,m ≥ 0} задовольняють
умови:
b1) ∃L > 0 ∀t, s ∈ R : |g(t)− g(s)| ≤ L|t− s|;
b2) ∀t, s ∈ R : |t− s− (g(t)− g(s))| ≤ |t− s|;
b3) g(0) = 0;
b4) a0,0 = 0;
b5)
∑∞
n=0
∑∞
m=0 |an,m| < ∞;
b6) функцiя f(t, s) = 1+
∑∞
n=0
∑∞
m=0 an,mtnsm не має нулiв на множинi K2 i (f(t, s))−1 =
= 1+
∑∞
n=0
∑∞
m=0 qn,mtnsm, де {qn,m : n ≥ 0,m ≥ 0}— така послiдовнiсть дiйсних чисел,
що q0,0 = 0 i λ :=
∑∞
n=0
∑∞
m=0 |qn,m| < 1.
Тодi для довiльної обмеженої послiдовностi система (1) має єдиний обмежений розв’я-
зок x. Цей розв’язок задовольняє нерiвнiсть
sup
n≥0,m≥0
|xn,m − yn,m| ≤
λL
(1− λ)
sup
n≥0,m≥0
|yn,m|.
Доведення. Покладемо
l2∞ :=
{
x = {xn,m : n ≥ 0,m ≥ 0} ⊂ R | ‖x‖∞ := sup
n≥0,m≥0
|xn,m| < ∞
}
.
Тодi (B, ‖ · ‖) = (l2∞, ‖ · ‖∞) — банахiв простiр.
Визначимо вiдображення A та G, якi дiють з B в B, спiввiдношеннями
Au :=
(Au)n,m =
n∑
k=0
m∑
j=0
an−k,m−juk,j |n ≥ 0,m ≥ 0
,
Gu := {(Gu)n,m = g(un,m) | n ≥ 0,m ≥ 0} .
Тодi оператори A та G визначено коректно, A належить L(B) i система (1) еквiвалентна
системi (2). З умов b1) – b3) випливає, що умови a1,) a3,) a4) теореми 1 для цих операторiв
виконуються зi сталими L > 0, c = 1. Перевiримо виконання умови a2).
Розглянемо лiнiйну систему Вольтерра
xn,m = −
n∑
k=0
m∑
j=0
an−k,m−jxk,j + yn,m, n ≥ 0, m ≥ 0. (5)
Неважко переконатись, що розв’язок системи (5) записується у виглядi
xn,m =
n∑
k=0
m∑
j=0
qn−k,m−jyk,j + yn,m, n ≥ 0, m ≥ 0. (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
500 М. Ф. ГОРОДНIЙ, К. В. ЛУКАШ
Тому оператор (I + A)−1 iснує i, згiдно зi спiввiдношеннями (6),
((
(I + A)−1 − I
)
y
)
n,m
=
n∑
k=0
m∑
j=0
qn−k,m−jyk,j , n ≥ 0, m ≥ 0,
а отже, внаслiдок умови b6) виконується нерiвнiсть ‖(I + A)−1 − I‖ ≤ λ.
Таким чином, теорема 3 випливає з теореми 1.
Приклад. Умови теореми 3 виконуються для функцiї g(t) = arctg t, t ∈ R, i послiдов-
ностi a0,0 = 0, an,m = pn qm, n ≥ 0, m ≥ 0, (n, m) 6= (0, 0), де p, q — такi фiксованi дiйснi
числа, що |p|+ |q|+ |pq| < 1. У цьому випадку (f(t, s))−1 = 1− pt− qs++pqts, (t, s) ∈ K2.
1. Городнiй М. Ф. Про обмеженi розв’язки нелiнiйної системи Вольтерри // Нелiнiйнi коливання. — 2002.
— 5, № 2. — С. 149 – 155.
2. Колмановський В. Б. Об асимптотических свойствах решений некоторых нелинейных систем Воль-
терра // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 4. — С. 42 – 45.
3. Гайшун И. В. Системы с дискретным временем. — Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2001. —
400 с.
4. Bochner S. Phillips R. S. Absolutely convergent Fourier expansions for non-commutative normed rings //
Ann. Math. — 1942. — 43, № 3. — P. 409 – 418.
Одержано 21.10.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
|