Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом

Розглянуто лiнiйнi крайовi задачi для операторних рiвнянь з узагальнено-оборотними операторами у банахових просторах, якi мають базиси. За допомогою апарату узагальнено-обернених операторiв, зостосованого до узагальнено-оборотних у банахових просторах, отримано умови розв’язностi та формули для зо...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Журавлев, В.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2010
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174968
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 522-532. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-174968
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1749682021-01-29T01:26:22Z Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом Журавлев, В.Ф. Розглянуто лiнiйнi крайовi задачi для операторних рiвнянь з узагальнено-оборотними операторами у банахових просторах, якi мають базиси. За допомогою апарату узагальнено-обернених операторiв, зостосованого до узагальнено-оборотних у банахових просторах, отримано умови розв’язностi та формули для зображення розв’язкiв лiнiйних крайових задач для таких операторних рiвнянь. Розглянуто частиннi випадки цих крайових задач — так званi n- та d-нормально розв’язнi крайовi задачi, а також нормально розв’язнi крайовi задачi для нетерових операторних рiвнянь. We consider linear boundary-value problems for operator equations with generalized invertible operators in Banach spaces that have bases. By using the machinery of generalized invertible operators, we find conditions for the equation to have a solution and formulas for its representation for such operator equations. We also consider particular cases of such boudary-value problems, — the so-called n- and d-normally solvable boundary-value problems, as well as normally solvable problems Noether operator equations. 2010 Article Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 522-532. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174968 517.983 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Розглянуто лiнiйнi крайовi задачi для операторних рiвнянь з узагальнено-оборотними операторами у банахових просторах, якi мають базиси. За допомогою апарату узагальнено-обернених операторiв, зостосованого до узагальнено-оборотних у банахових просторах, отримано умови розв’язностi та формули для зображення розв’язкiв лiнiйних крайових задач для таких операторних рiвнянь. Розглянуто частиннi випадки цих крайових задач — так званi n- та d-нормально розв’язнi крайовi задачi, а також нормально розв’язнi крайовi задачi для нетерових операторних рiвнянь.
format	Article
author	Журавлев, В.Ф.
spellingShingle	Журавлев, В.Ф. Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом Нелінійні коливання
author_facet	Журавлев, В.Ф.
author_sort	Журавлев, В.Ф.
title	Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом
title_short	Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом
title_full	Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом
title_fullStr	Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом
title_full_unstemmed	Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом
title_sort	краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174968
citation_txt	Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 522-532. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT žuravlevvf kraevyezadačidlâlinejnyhuravnenijsobobŝennoobratimymoperatoromvbanahovomprostranstvesbazisom
first_indexed	2025-07-15T12:06:18Z
last_indexed	2025-07-15T12:06:18Z
_version_	1837714562937257984
fulltext	УДК 517.983 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОБОБЩЕННО-ОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ С БАЗИСОМ В. Ф. Журавлев Житомир. нац. агроэкол. ун-т Украина, 10008, Житомир, бульвар Старый, 7 e-mail: vfz2008@ukr.net We consider linear boundary-value problems for operator equations with generalized invertible operators in Banach spaces that have bases. By using the machinery of generalized invertible operators, we find conditions for the equation to have a solution and formulas for its representation for such operator equati- ons. We also consider particular cases of such boudary-value problems, — the so-called n- and d-normally solvable boundary-value problems, as well as normally solvable problems Noether operator equations. Розглянуто лiнiйнi крайовi задачi для операторних рiвнянь з узагальнено-оборотними операто- рами у банахових просторах, якi мають базиси. За допомогою апарату узагальнено-обернених операторiв, зостосованого до узагальнено-оборотних у банахових просторах, отримано умови розв’язностi та формули для зображення розв’язкiв лiнiйних крайових задач для таких опе- раторних рiвнянь. Розглянуто частиннi випадки цих крайових задач — так званi n- та d-нор- мально розв’язнi крайовi задачi, а також нормально розв’язнi крайовi задачi для нетерових опе- раторних рiвнянь. Постановка задачи. Пусть l∞(I,B1) — банахово пространство ограниченных вектор- функций z(t), определенных на конечном прромежутке I со значениями в некотором банаховом пространстве B1, z(·) : I → B1 с нормой \|\|\|f(t)\|\|\| = supt∈I ‖f(t)‖B1 , а l∞(I,B2) — банахово пространство ограниченных вектор-функций ϕ(t), определенных на том же промежутке I со значениями в некотором банаховом пространстве l∞(I,B2) с нормой \|\|\|f(t)\|\|\| = supt∈I ‖f(t)‖B2 . Пусть L — линейный ограниченный обобщенно-обратимый оператор, действующий из банахова пространства l∞(I,B1) в банахово пространство l∞(I,B2), причем простран- ства l∞(I,B1) и l∞(I,B2) имеют базисы, ` = col (l1, l2, l3, . . .) — линейный ограниченный вектор-функционал, действующий из банахова пространства l∞(I,B1) в банахово про- странство B. Из обобщенной обратимости оператора L следует [1], что оператор L нормально раз- решим (R(L) — замкнут), нуль-пространствоN(L) и образR(L) дополняемы в банаховых пространствах l∞(I,B1) и l∞(I,B2) соответственно. Это означает [2, 3], что существуют линейные ограниченные проекторы PN(L) : l∞(I,B1) → N(L) и PYL : l∞(I,B2) → → YL, разбивающие банаховы пространства l∞(I,B1) и l∞(I,B2) на взаимно дополняе- мые подпространства l∞(I,B1) = N(L)⊕XL, l∞(I,B2) = YL ⊕R(L), где YL — подпространство, изоморфное нуль-пространствуN(L∗) сопряженного к L опе- ратора L∗. c© В. Ф. Журавлев, 2010 522 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОБОБЩЕННО-ОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ . . . 523 Множество обобщенно-обратимых операторов L : l∞(I,B1) → l∞(I,B2) в дальней- шем будем обозначать через GI(l∞(I,B1), l∞(I,B2)). Поскольку банаховы пространства l∞(I,B1) и l∞(I,B2) имеют базисы, нуль-прост- ранства N(L) и N(L∗) также имеют базисы. Обозначим через {fi}∞i=1 ⊂ N(L), fi = col(f (1) i , f (2) i , f (3) i , . . .), и {ϕs(·)}∞s=1 ⊂ N(L∗), ϕs(·) = col(ϕ(1) s (·), ϕ(2) s (·), ϕ(3) s (·), . . .), базисы нуль-пространств N(L) и N(L∗) соответ- ственно. Для элементов {fi}∞i=1 и функционалов {ϕs}∞s=1 существуют сопряженно биор- тогональные [4] тотальная система функционалов {γj}∞j=1 ⊂ N∗(L) ⊂ l∞(I,B1)∗, γj(·) = = col (γ(1) j (·), γ(2) j (·), γ(3) j (·), . . .), и полная система элементов {ψk}∞k=1 ⊂ l∞(I,B2), ψk = = col (ψ(1) k , ψ (2) k , ψ (3) k , . . .). По теореме Хана – Банаха каждый из функционалов {γj}∞j=1, определенный на подпространстве N(L) ⊂ l∞(I,B1), может быть продолжен, с сохране- нием нормы, на все пространство l∞(I,B1), а каждый из функционалов {ϕs}∞s=1 — на все пространство l∞(I,B2). Далее, пусть X = (f1, f2, . . . , fi, . . .), Γ (·) = (γ1(·), γ2(·), . . . , γj(·), . . .)T , Φ(·) = (ϕ1(·), ϕ2(·), . . . , ϕs(·), . . .)T , Ψ = (ψ1, ψ2, . . . , ψk, . . .) — (∞,∞)-мерные матрицы-операторы, где Γ (X) = E∞, Φ(Ψ) = E∞, E∞ — единичная матрица. Тогда проекторы PN(L) : l∞(I,B1) → N(L), PYL : l∞(I,B2) → YL можно записать аналитически с помощью формул [5, c. 168, 172] (PN(L)z)(t) = X(t)(Γz)(·) ∀z ∈ l∞(I,B1), (1) (PYL y)(t) = Ψ(t)(Φy)(·) ∀y ∈ l∞(I,B2). Ставится задача об условиях разрешимости и представлении решений операторного уравнения (Lz)(t) = ϕ(t), (2) которые удовлетворяют условиям (`z)(·) = α, (3) где α ∈ B. Определение 1. Систему линейных операторных уравнений (1), (2) будем называть линейной неоднородной краевой задачей для уравнения (1), а уравнения (`z)(·) = col ((l1z)(·), (l2z)(·), (l3z)(·), . . . , (liz)(·), . . .) = col (α1, α2, α3, . . . , αi, . . .) — краевыми условиями этой задачи. Промежуточный результат. Рассмотрим задачу об условиях разрешимости и общем виде решений операторного уравнения (Lz)(t) = ϕ(t), (4) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 524 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ удовлетворяющих начальному условию z(t0) = z0, (5) где t0 ∈ I, z0 ∈ B1). Определение 2. Задачу (4), (5) будем называть задачей Коши для неоднородного опе- раторного уравнения (4). Известно [6], что операторное уравнение (4) разрешимо для тех и только тех ϕ(t) ∈ ∈ l∞(I,B2), которые удовлетворяют условию (PYL ϕ)(t) = Ψ(t)(Φϕ)(·) = 0. (6) При выполнении условия (6) общее решение уравнения (4) представимо в виде [6] z(t) = (PN(L)ẑ)(t) + (L−ϕ)(t), (7) где ẑ(t) — произвольный элемент пространства l∞(I,B1), L− — ограниченный обобщен- но-обратный оператор к оператору L, построение которого для различных типов опера- торов L изложено в [5 – 8]. Используя представление проектора PN(L) (1), для каждого z̃(t) ∈ N(L) получаем (PN(L)ẑ)(t) = X(t)(Γ ẑ)(·) = X(t)ẑ0, (8) где ẑ0 = col ((γ1ẑ)(·), (γ2ẑ)(·), . . . , (γj ẑ)(·), . . .) — произвольный вектор-столбец констант. В [9, c. 129] показано, что линейное пространство, элементы которого — числовые по- следовательности ẑ0 такие, что имеет место равенство (8), при соответствующем выборе нормы является банаховым. В дальнейшем это банахово пространство будем обозначать через Bµ, µ — размерность (конечная или бесконечная) ядра оператора L. Подставив (8) в (7), получим общее решение операторного уравнения (4) z(t) = X(t)ẑ0 + (L−ϕ)(t). (9) Из (8) следует, что любой элемент z(t) нуль-пространства N(L) представим в виде z(t) = X(t)ẑ0. Это соотношение справедливо для любого t ∈ I, в том числе и для t = t0, следовательно, для любого z0 = z(t0) существует элемент ẑ0 ∈ Bµ такой, что выполняется равенство z0 = X(t0)ẑ0, где X(t0) : Bµ → B1 — линейный ограниченный оператор. Существование для любого z0 = z(t0) элемента ẑ0 означает, что матричное уравнение X(t0)ẑ0 = z0 (10) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОБОБЩЕННО-ОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ . . . 525 всюду разрешимо, т. е.: 1) нуль-пространство N(X∗(t0)) = {0} и, как следствие, проектор на подпространство YX(t0) ⊆ B1 равен нулю, PYX(t0) ≡ 0 ∀t0 ∈ I; 2) существует правый обратный оператор X−1 r (t0). Следовательно, матричный оператор X(t0) d-нормальный (d = 0), если dim kerX(t0) = ∞, или нетеров, если dim kerX(t0) < ∞ иX(t0) обобщенно- обратим, т. е. X(t0) ∈ GI(Bµ,B1)). Таким образом, матричное операторное уравнение X(t0)ẑ0 = z0 − (L−ϕ)(t0), которое получается из уравнения (9) при t = t0, всюду разрешимо, и его общее решение имеет вид [5, c. 175] ẑ0 = PN(X(t0))zµ +X−1 r (t0)[z0 − (L−ϕ)(t0)], (11) где PN(X(t0)) — проектор банахова пространства Bµ на нуль-пространство N(X(t0)) опе- ратора X(t0), zµ — произвольный элемент банахова пространства последовательностей Bµ, X −1 r (t0) — правый обратный матричный оператор к матричному оператору X(t0). Подставив (11) в (9), получим общее решение задачи Коши (4), (5) z(t) = X(t){PN(X(t0))zµ +X−1 r (t0)[z0 − (L−ϕ)(t0)]}+ (L−ϕ)(t) = = X0(t)zµ +G0(t) +X(t)X−1 r (t0)z0, (12) где X0(t) = X(t)PN(X(t0)) — разрешающий оператор [3] однородной задачи (ϕ(t) = = 0, z0 = 0), zµ — произвольный вектор из банахова пространства Bµ, G0(t) = (L−ϕ)(t)−X(t)X−1 r (t0)(L−ϕ)(t0). (13) Определение 3. Оператор (13) будем называть оператором Грина полуоднородной (z0 = 0) задачи Коши (4), (5). Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть L ∈ GI(l∞(I,B1), l∞(I,B2)), причем пространства l∞(I,B1) и l∞(I,B2) имеют базисы. Задача Коши (3), (4) разрешима для тех и только тех ϕ(t) ∈ l∞(I,B2), которые удовлетворяют условию (6), любых z0 = z(t0), t0 ∈ I и ее общее решение представимо в виде z(t) = X0(t)zµ +G0(t) +X(t)X−1 r (t0)z0. Замечание 1. Если операторное уравнение (2) является всюду разрешимым, то PYL ≡ ≡ 0. В этом случае оператор L будет иметь ограниченный правый обратный опера- тор L−1 r [5]. Если, кроме того, матрица-оператор X(t) обратима для любого t ∈ I, то PN(X(t0)) = 0, задача Коши (4), (5) всюду однозначно разрешима и при этом имеет реше- ния вида z(t) = X(t)X−1(t0)z0 + (L−1 r ϕ)(t)−X(t)X−1(t0)(L−1 r ϕ)(t0). (14) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 526 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ Замечание 2. Если L — дифференциальный оператор (Lz)(t) = z′(t) − A(t)z(t), дей- ствующий в банаховом пространстве C([a; b],B) непрерывных на [a; b] функций, то пра- вый обратный оператор L−1 r является интегральным и формула (14) принимает вид [3, c. 148] z(t) = U(t, t0)z0 + t∫ t0 U(t, τ)ϕ(τ)dτ, где U(t, τ) = U(t)U−1(τ) — эволюционный (разрешающий) оператор. Основной результат. 1. Бесконечномерные нормально разрешимые краевые задачи. Рассмотрим линейную неоднородную краевую задачу (2), (3). Как было показано выше, уравнение (2) разрешимо при выполнении условия (6). При этом его общее решение записывается в виде (9). Подставив (9) в краевое условие (3), получим матричное операторное уравнение отно- сительно элемента ẑ0 ∈ Bµ : Qẑ0 = α− `(L−ϕ)(·), (15) где Q = `X(·) : Bµ → B — матричный оператор, который получен подстановкой в кра- евое условие матричного оператора X(t). Матричный оператор Q будет ограниченным как суперпозиция ограниченных операторов ` и X(t). Пусть оператор Q обобщенно-обратим, т. е. Q ∈ GI(Bµ,B). Вследствие нормальной разрешимости оператора Q уравнение (14) разрешимо для тех и только тех α и ϕ(t), ко- торые удовлетворяют условию PYQ {α− `(L−ϕ)(·)} = 0, (16) где PYQ — проектор на подпространство Y ⊂ B, изоморфное нуль-пространству опера- тора Q∗, сопряженного к оператору Q. При выполнении условия (16) операторное урав- нение (15) имеет решение ẑ0 = PN(Q)zµ +Q−{α− `(L−ϕ)(·)}, (17) где zµ — произвольный элемент банахова пространства Bµ, Q − — обобщенно-обратный оператор к оператору Q. Подставляя (17) в (9), получаем общее решение краевой задачи (2), (3) в банаховом пространстве с базисом z(t) = X(t){(PN(Q)zµ)(t) +Q−[α− `(L−ϕ)(·)]}+ (L−ϕ)(t) = = Xµ(t)zµ + (Gϕ)(t) +X(t)Q−α, (18) где Xµ(t) = X(t)PN(Q) — разрешающий оператор однородной (ϕ(t), α = 0) краевой задачи (2), (3). Определение 4. Оператор (Gϕ)(t) = (L−ϕ)(t) − X(t)Q−`(L−ϕ)(·) будем называть обобщенным оператором Грина полуоднородной (α = 0) краевой задачи (2), (3). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОБОБЩЕННО-ОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ . . . 527 Таким образом, для краевой задачи справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Пусть банаховы пространства l∞(I,B1), l∞(I,B2) имеют базисы и L ∈ ∈ GI(l∞(I,B1), l∞(I,B2)), Q ∈ GI(Bµ,B). Тогда однородная (ϕ(t) = 0, α = 0) краевая задача (2), (3) имеет линейно независимые решения вида z(t) = X(t)PN(Q)zµ = Xµ(t)zµ, где Xµ(t) — разрешающий оператор однородной (ϕ(t) = 0, α = 0) краевой задачи, zµ — произвольный элемент банахова пространства Bµ. Неоднородная краевая задача (2), (3) разрешима для тех и только техϕ(t) ∈ l∞(I,B2) и α ∈ B, которые удовлетворяют условиям (PYL ϕ)(t) = Ψ(t)(Φϕ)(·) = 0, PYQ {α− `(L−ϕ)(·)} = 0, и при этом ее общее решение имеет вид z(t) = Xµ(t)zµ + (Gϕ)(t) +X(t)Q−α, где (Gϕ)(t) — обобщенный оператор Грина. Замечание 3. В случае, когда Lz(t) = z′(t)−A(t)z(t) — дифференциальный оператор, который является всюду разрешимым, краевые задачи вида (2), (3) рассматривались в [10, 11]. Замечание 4. Сравнивая теорему 1 о существовании решений задачи Коши и теоре- му 2 о существовании решений краевой задачи, заключаем, что задача Коши для не всюду разрешимого операторного уравнения является специфической краевой задачей. 2. n-, d-Нормально разрешимые краевые задачи. Далее рассмотрим два частных слу- чая краевых задач (2), (3). 2.1. Пусть обобщенно-обратимый оператор L n-нормальный (dimN(L) = µ < ∞) и действует из бесконечномерного банахова пространства l∞(I,B1) в бесконечномерное банахово пространство l∞(I,B2), а линейный ограниченный вектор-функционал ` дей- ствует из банахова пространства l∞(I,B1) в банахово пространство B. Тогда матричный оператор Q будет также n-нормальным, т. е. размерность ядра N(Q) будет конечной, а размерность ядра N(Q)∗ сопряженного матричного оператора Q∗ — бесконечной. Теорема 3. Пусть банаховы пространства l∞(I,B1), l∞(I,B2) имеют базисы и опе- ратор L ∈ GI(l∞(I,B1), l∞(I,B2)) n-нормальный, Q ∈ GI(B1,B), rankQ ≤ µ. Тогда однородная (ϕ(t) = 0, α = 0) краевая задача (2), (3) имеет r = µ − rankQ-параметри- ческое семейство линейно независимых решений вида z(t) = Xr(t)cr, cr ∈ Rr, где Xr(t) = X(t)PNr(Q) — разрешающий оператор соответствующей (2), (3) однород- ной (ϕ(t) = 0, α = 0) краевой задачи, PNr(Q) — оператор, составленный из r линей- но независимых столбцов матрицы-проектора PN(Q), cr — произвольный постоянный вектор из евклидова пространства Rr. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 528 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ Неоднородная краевая задача (2), (3) разрешима для тех и только тех ϕ(t) ∈ ∈ l∞(I,B2) и α ∈ B, которые удовлетворяют бесконечному числу линейно незави- симых условий (PYL ϕ)(t) = Ψ(t)(Φϕ)(·) = 0, PYQ {α− `(L−ϕ)(·)} = 0, и при этом она имеет r-параметрическое семейство линейно независимых решений ви- да z(t) = Xr(t)cr + (Gϕ)(t) +X(t)Q−α, где (Gϕ)(t) — обобщенный оператор Грина полуоднородной (α = 0) краевой задачи (2), (3). 2.2. Пусть обобщенно-обратимый оператор L действует из бесконечномерного ба- нахова пространства l∞(I,B1) в бесконечномерное банахово пространство l∞(I,B2), а линейный ограниченный вектор-функционал ` — из банахова пространства l∞(I,B1) в евклидово пространство Rm. Тогда матричный оператор Q будет d-нормальным, т. е. раз- мерность его ядра N(Q) бесконечна, а размерность ядра N(Q∗) сопряженного матрично- го оператора Q∗ конечна и равна d ≤ m. Теорема 4. Пусть банаховы пространства l∞(I,B1), l∞(I,B2) имеют базисы, L ∈ ∈ GI(l∞(I,B1), l∞(I,B2)), Q ∈ GI(B1, R m) и rankQ ≤ m. Тогда однородная (ϕ(t) = = 0, α = 0) краевая задача (2), (3) имеет бесконечномерное семейство линейно незави- симых решений вида z(t) = Xµ(t)zµ, где Xµ(t) = X(t)PN(Q) — разрешающий оператор соответствующей (2), (3) однород- ной (ϕ(t) = 0, α = 0) краевой задачи, zµ — произвольный элемент банахова простран- ства Bµ. Неоднородная краевая задача (2), (3) разрешима для тех и только тех ϕ(t) ∈ l∞(I, B2) и α ∈ B, которые удовлетворяют бесконечному числу линейно независимых усло- вий (PYL ϕ)(t) = Ψ(t)(Φϕ)(·) = 0 и d = m− rankQ линейно независимым условиям PYQd {α− `(L−ϕ)(·)} = 0, при этом она имеет бесконечномерное семейство линейно независимых решений вида z(t) = Xµ(t)zµ + (Gϕ)(t) +X(t)Q−α, где PYQd — (d ×m)-мерная матрица-оператор, составленная из полной системы d ли- нейно независимых строк матрицы PYQ , (Gϕ)(t) — обобщенный оператор Грина полу- однородной (α = 0) краевой задачи (2), (3). Следуя [11], краевые задачи, описываемые теоремами 3 и 4, будем называть n- и d- нормально разрешимыми. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОБОБЩЕННО-ОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ . . . 529 Замечание 5. Для случая счетномерных краевых задач для дифференциальных сис- тем уравнений в банаховых пространствах ((Lz)(t) ≡ z′(t) − A(t)z(t)) подобные задачи рассмотрены в [11]. В этом случае обобщенно-обратный оператор L− имеет интеграль- ное представление, а обобщенный оператор Грина имеет вид (Gϕ)(t) = b∫ a K(t, s)ϕ(s)ds−X(t)Q−` b∫ a K(·, s)ϕ(s)ds. Замечание 6. Если функционал ` удовлетворяет условию [12, c. 15] ` b∫ a K(·, s)ϕ(s)ds = b∫ a `K(·, s)ϕ(s) ds, то обобщенный оператор Грина имеет представление (Gϕ)(t) = b∫ a G(t, s)ϕ(s) ds, ядро которого G(t, s) = K(t, s)−X(t)Q−`K(·, s) называется обобщенной матрицей Грина. 3. Нормально разрешимые краевые задачи для нетеровых операторных уравнений. Рассмотрим краевую задачу (2), (3) в предположении, что L — линейный ограниченный нетеров (dim kerL = µ < ∞, dim kerL∗ = ν < ∞) оператор, действующий из банахова пространства l∞(I,B1) в банахово пространство l∞(I,B2), ` : l∞(I,B1) → Rm — линей- ный ограниченный вектор-функционал, α ∈ Rm. Рассмотрим задачу о необходимых и достаточных условиях разрешимости и структу- ре множества решений z(t) ∈ l∞(I,B1) линейной неоднородной краевой задачи (2), (3). Поскольку нуль-пространства N(L) и N(L∗) операторов L и ему сопряженного L∗ конечномерны, они дополняемы в банаховых пространствах l∞(I,B1) и l∞(I,B2) со- ответственно и имеют конечномерные базисы. Следуя [5, c. 168, 172], построим проекто- ры PN(L) и PYL . Нетерово нормально разрешимое операторное уравнение (2) разрешимо для тех и только тех ϕ(t) ∈ l∞(I,B2), которые удовлетворяют условию (PYL ϕ)(t) = Ψ(t)(Φϕ)(·) = 0, (19) состоящему из ν линейно независимых условий. При выполнении условия (19) общее решение уравнения (2) имеет вид z(t) = Xµ(t)cµ + (L−ϕ)(t), (20) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 530 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ где Xµ(t) — (∞× µ)-мерная матрица-оператор, составленная из µ линейно независимых базисных векторов нуль-пространства N(L) оператора L, cµ ∈ Rµ — произвольный по- стоянный вектор, L− : l∞(I,B2) → l∞(I,B1) — ограниченный обобщенно-обратный оператор к нетеровому оператору L [8, c. 53]. Для того чтобы решение (20) неоднородного операторного уравнения (19) было ре- шением краевой задачи (2), (3), необходимо и достаточно, чтобы вектор cµ ∈ Rµ удов- летворял алгебраической системе `Xµ(·)cµ + `(L−ϕ)(·) = α, полученной после подстановки решения (20) в краевое условие (3). ПустьQ = lX(·) — (m×µ)-мерная постоянная матрица,PN(Q) : Rµ → N(Q) — (µ×µ)- мерная матрица-проектор; PQ∗ : Rm → N(Q∗) — (m×m)-мерная матрица-проектор; Q− — (µ×m)-мерная матрица, обобщенно-обратная к матрице Q. Из алгебраического уравнения Qcµ = α− l(L−ϕ) (21) определим константу cµ ∈ Rµ, при которой решение (20) уравнения (2), существующее при условия (19), будет решением краевой задачи (2), (3). Из теоремы 3.9 [8, c. 92] следует, что уравнение (21) разрешимо тогда и только тогда, когда выполнено условие PY dQ {α− `(L−)(·)} = 0, d = m− rankQ, и при этом имеет r-параметрическое (r = µ− rankQ) семейство решений вида c = PNr(Q)cr +Q−{α− `(L−ϕ)(·)}, (22) где PY dQ — (d ×m)-мерная матрица, составленная из полной системы d линейно незави- симых строк матрицы-проектора PYQ , PNr(Q) — (µ× r)-мерная матрица, составленная из полной системы r линейно независимых столбцов матрицы-проектора PN(Q). Подставляя (22) в (20), получаем общее решение краевой задачи (2), (3) z(t) = Xr(t)cr + (Gϕ)(t) +X(t)Q−α. Здесь Xr(t) = X(t)PNr(Q) — матрица-оператор, столбцами которой является полная сис- тема r линейно независимых решений однородной (ϕ(t) = 0, α = 0) краевой задачи (2), (3), G : l∞(I,B2) → ker ` ⊂ l∞(I,B1) (Gϕ)(t) = (L−ϕ)(t)−X(t)Q+l(L−ϕ)(·) — обобщен- ный оператор Грина полуоднородной (α = 0) краевой задачи (2), (3). Таким образом, для краевой задачи (19), (20) справедливо следующее утверждение. Теорема 5. Если rankQ ≤ min(m,µ), то соответствующая (2), (3) однородная (ϕ(t) = 0, α = 0) краевая задача имеет r и только r = µ − rankQ линейно независи- мых решений z(t) = Xr(t)cr, cr ∈ Rr. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОБОБЩЕННО-ОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ . . . 531 Неоднородная краевая задача (2), (3) с нетеровым оператором L : l∞(I,B1) → → l∞(I,B2) разрешима для тех и только тех ϕ(t) ∈ l∞(I,B2) и α ∈ Rm, которые удовлетворяют ν + d линейно независимым условиям (PYL ϕ)(t) = 0 (23) PY dQ {α− `(L−ϕ)(·)} = 0, d = m− rankQ, и при этом имеет r-параметрическое семейство линейно независимых решений z(t) = Xr(t)cr + (Gϕ)(t) +X(t)Q+α. (24) Рассмотрим далее краевую задачу (2), (3) в предположении, что операторное уравне- ние (2) везде разрешимо. Это означает, что R(L) = l∞(I,B2) и, следовательно, PYL ≡ 0. По следствию 2 из теоремы 2.3 [8, c. 55] операторное уравнение (Lz)(t) = ϕ(t) разрешимо при любом ϕ(t) ∈ l∞(I,B2) и имеет решение z(t) = Xµ(t)cµ + (L−1 r ϕ)(t), cµ ∈ Rµ, (25) где L−1 r — линейный ограниченный правый обратный оператор. Вследствие всюду разрешимости уравнения (Lz)(t) = ϕ(t) теорема 5 упрощается и формулируется следующим образом. Теорема 6. Если rankQ ≤ min(m,µ), то однородная (ϕ(t) = 0, α = 0) краевая задача (2), (3) имеет r и только r (r = µ− rankQ) линейно независимых решений z(t) = Xr(t)cr, cr ∈ Rr. Неоднородная краевая задача (2), (3) для всюду разрешимого операторного уравне- ния Lz = ϕ разрешима при тех и только тех ϕ(t) ∈ l∞(I,B2) и α ∈ Rm, которые удовлетворяют d линейно независимым условиям PYQd {α− `(L−1 r ϕ)(·)} = 0, d = m− rankQ, и при этом имеет r-параметрическое семейство решений z(t) = Xr(t)cr + (Gϕ)(t) +X(t)Q−α, где (Gϕ)(t) = (L−1 r ϕ)(t)−X(t)Q−`(L−1 r ϕ)(·) — обобщенный оператор Грина. Замечание 7. Если µ = m и rankQ = µ, то detQ 6= 0 (PYQ ≡ 0, PN(Q) ≡ 0) и Q− = = Q−1. В этом случае краевая задача (2), (3) не только везде, но и однозначно разрешима и обобщенный оператор Грина переходит в оператор Грина (Gϕ)(t) = (L−1 r ϕ)(t)−X(t)Q−1`(L−1 r ϕ)(·). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 532 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ 1. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. — Кишинев: Штиинца, 1973. — 426 с. 2. Кадец М. И., Митягин Б. С. Дополняемые подпространства в банаховых пространствах // Успехи мат. наук. — 1973. — 28, вып. 6. — С. 77 – 94. 3. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про- странстве. — М.: Наука, 1970. — 534 с. 4. Гринблюм М. М. Биортогональные системы в пространстве Банаха // Докл. АН СССР. — 1945. — 47, № 2. — С. 79 – 82. 5. Журавлев В. Ф. Критерий разрешимости и представление решений линейных n- (d-) нормальных опе- раторных уравнений в банаховом пространстве // Укр. мат. журн. — 2010. — 62, № 2. — C. 167 – 182. 6. Журавлев В. Ф. Решение нормально разрешимых операторных уравнений в банаховых пространствах с базисом // Докл. РАН. — 1997. — 352, № 3. — C. 304 – 306. 7. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalised inverse operators and Fredholm boundary-value problems. — Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p. 8. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае- вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с. 9. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. — М.: Высш. шк., 1982. — 271 с. 10. Журавлев В. Ф. Линейные краевые задачи для дифференциальных уравнений в банаховых простран- ствах // Мiжнар. наук. конф. „Диференцiальнi рiвняння, теорiя функцiй та їх застосування” з нагоди 70-рiччя академiка А. М. Самойленка: Тез. доп. (18 – 21 червня 2008 р.). — Мелiтополь, 2008. — С. 50. 11. Бойчук А. А., Панасенко Є. В. Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 1. — С. 16 – 19. 12. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем. — Киев: Наук. думка, 1978. — 218 с. Получено 03.03.10 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4

Краевые задачи для линейных уравнений с обобщенно обратимым оператором в банаховом пространстве с базисом

Репозитарії

Схожі ресурси