Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле

Рассмотрена модель вакансии в квантовом кристалле как псевдочастицы, которая имеет метастабильные квантовые состояния, локализованные на узлах решетки в потенциальных ямах кристаллического поля. Предполагается, что квантовую динамику такой вакансии можно описать в квазиклассическом приближении, а...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Нацик, В.Д., Смирнов, С.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2017
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175217
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 10. — С. 1459-1470. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-175217
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1752172021-02-02T01:27:08Z Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Рассмотрена модель вакансии в квантовом кристалле как псевдочастицы, которая имеет метастабильные квантовые состояния, локализованные на узлах решетки в потенциальных ямах кристаллического поля. Предполагается, что квантовую динамику такой вакансии можно описать в квазиклассическом приближении, а ее спектр состоит из широкой зоны и отщепленных от нее вниз одного или двух дискретных уровней. Диффузионное перемещение вакансии в объеме кристалла сводится к последовательности случайных туннельных и термически активированных скачков между узлами решетки. Показано, что температурная зависимость коэффициента диффузии вакансий имеет специфическую особенность: монотонное уменьшение при охлаждении с резким переходом от экспоненциального закона, характерного для высокотемпературной термически активированной диффузии, к атермическому туннельному процессу в области предельно низких температур. Аналогичная особенность недавно зарегистрирована при экспериментальном изучении массопереноса в кристаллах He⁴ и He³ (ФНТ 41, 223 (2015); ФНТ 42, 1372 (2016)). Данный механизм диффузии вакансий и его анализ дополняют предложенную ранее А.Ф. Андреевым и И.М. Лифшицем концепцию диффузионного течения квантового газа дефектоновквазичастиц с зонным энергетическим спектром (ЖЭТФ 56, 2057 (1969); УФН 118, 251 (1976)). Розглянуто модель вакансії у квантовому кристалі як псевдочастинку, яка має метастабільні квантові стани, локалізовані на вузлах гратки у потенціальних ямах кристалічного поля. Припускається, що квантову динаміку такої вакансії можна описати у квазікласичному наближенні, а її енергетичний спектр складається з широкої зони та відщеплених від неї униз одного чи двох дискретних рівнів. Дифузійне переміщення вакансії в об’ємі кристала є наслідком послідовності випадкових тунельних та термічно активованих стрибків між вузлами гратки. Показано. що температурна залежність коефіцієнта дифузії цих вакансій має специфічну особливість: монотонне зменшення при охолодженні з різким переходом від експоненціального закону, що характерний для високотемпературної термоактивованої дифузії, до атермічного тунельного процесу в області гранично низьких температур. Аналогічну особливість нещодавно зареєстровано при експериментальному вивченні масопереносу у кристалах He⁴ и He³ (ФНТ 41, 223 (2015); ФНТ 42, 1372 (2016)). Цей механізм дифузії та його аналіз доповнює запропоновану раніше О.Ф. Андреєвим та І.М. Ліфшицом концепцію дифузійної плинності квантового газу дефектоновквазічастинок з зонним енергетичним спектром (ЖЭТФ 56, 2057 (1969); УФН 118, 251 (1976)) We consider a quasiparticle model of a vacancy in a quantum crystal, with metastable quantum states localized at the lattice sites in potential wells of the crystal field. It is assumed that the quantum dynamics of such vacancies can be described in the semi-classical approximation, where its spectrum consists of a broad band with several split-off levels. The diffusive movement of the vacancy in the crystal volume is reduced to a sequence of tunneling and thermally activated hops between the lattice cites. The temperature dependence of the vacancy diffusion coefficient shows a monotonic decrease during cooling with a sharp transition from an exponential dependence that is characteristic of a high-temperature thermally activated diffusion, to a non-thermal tunneling process in the region of extremely low temperatures. Similar trends have been recently observed in an experimental study of mass-transfer in the He⁴ and He³ crystals [V. A. Zhuchkov et al., Low Temp. Phys. 41, 169 (2015); Low Temp. Phys. 42, 1075 (2016)]. This mechanism of vacancy diffusion and its analysis complement the concept of a diffusional flow of a defection-quasiparticle quantum gas with a band energy spectrum proposed by Andreev and Lifshitz [JETP 29, 1107 (1969)] and Andreev [Sov. Phys. Usp. 19, 137 (1976)]. 2017 Article Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 10. — С. 1459-1470. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 62.20.F–, 67.80.–s, 67.80.D–, 67.80.dj http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175217 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы
spellingShingle	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле Физика низких температур
description	Рассмотрена модель вакансии в квантовом кристалле как псевдочастицы, которая имеет метастабильные квантовые состояния, локализованные на узлах решетки в потенциальных ямах кристаллического поля. Предполагается, что квантовую динамику такой вакансии можно описать в квазиклассическом приближении, а ее спектр состоит из широкой зоны и отщепленных от нее вниз одного или двух дискретных уровней. Диффузионное перемещение вакансии в объеме кристалла сводится к последовательности случайных туннельных и термически активированных скачков между узлами решетки. Показано, что температурная зависимость коэффициента диффузии вакансий имеет специфическую особенность: монотонное уменьшение при охлаждении с резким переходом от экспоненциального закона, характерного для высокотемпературной термически активированной диффузии, к атермическому туннельному процессу в области предельно низких температур. Аналогичная особенность недавно зарегистрирована при экспериментальном изучении массопереноса в кристаллах He⁴ и He³ (ФНТ 41, 223 (2015); ФНТ 42, 1372 (2016)). Данный механизм диффузии вакансий и его анализ дополняют предложенную ранее А.Ф. Андреевым и И.М. Лифшицем концепцию диффузионного течения квантового газа дефектоновквазичастиц с зонным энергетическим спектром (ЖЭТФ 56, 2057 (1969); УФН 118, 251 (1976)).
format	Article
author	Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н.
author_facet	Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н.
author_sort	Нацик, В.Д.
title	Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле
title_short	Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле
title_full	Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле
title_fullStr	Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле
title_full_unstemmed	Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле
title_sort	туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175217
citation_txt	Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 10. — С. 1459-1470. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT nacikvd tunnelʹnotermoaktivacionnyjmehanizmdiffuziivakansijvkvantovomkristalle AT smirnovsn tunnelʹnotermoaktivacionnyjmehanizmdiffuziivakansijvkvantovomkristalle
first_indexed	2025-07-15T12:28:34Z
last_indexed	2025-07-15T12:28:34Z
_version_	1837715962977058816
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10, c. 1459–1470 Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле В.Д. Нацик1,2, С.Н. Смирнов1 1Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Науки, 47, г. Харьков, 61103, Украина E-mail: smirnov@ilt.kharkov.ua 2Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина E-mail: natsik@ilt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 27 апреля 2017 г., опубликована онлайн 27 августа 2017 г. Рассмотрена модель вакансии в квантовом кристалле как псевдочастицы, которая имеет метастабиль- ные квантовые состояния, локализованные на узлах решетки в потенциальных ямах кристаллического поля. Предполагается, что квантовую динамику такой вакансии можно описать в квазиклассическом приближении, а ее спектр состоит из широкой зоны и отщепленных от нее вниз одного или двух дис- кретных уровней. Диффузионное перемещение вакансии в объеме кристалла сводится к последователь- ности случайных туннельных и термически активированных скачков между узлами решетки. Показано, что температурная зависимость коэффициента диффузии вакансий имеет специфическую особенность: монотонное уменьшение при охлаждении с резким переходом от экспоненциального закона, характерно- го для высокотемпературной термически активированной диффузии, к атермическому туннельному про- цессу в области предельно низких температур. Аналогичная особенность недавно зарегистрирована при экспериментальном изучении массопереноса в кристаллах 4He и 3He (ФНТ 41, 223 (2015); ФНТ 42, 1372 (2016)). Данный механизм диффузии вакансий и его анализ дополняют предложенную ранее А.Ф. Андреевым и И.М. Лифшицем концепцию диффузионного течения квантового газа дефектонов- квазичастиц с зонным энергетическим спектром (ЖЭТФ 56, 2057 (1969); УФН 118, 251 (1976)). Розглянуто модель вакансії у квантовому кристалі як псевдочастинку, яка має метастабільні квантові стани, локалізовані на вузлах гратки у потенціальних ямах кристалічного поля. Припускається, що кван- тову динаміку такої вакансії можна описати у квазікласичному наближенні, а її енергетичний спектр складається з широкої зони та відщеплених від неї униз одного чи двох дискретних рівнів. Дифузійне пе- реміщення вакансії в об’ємі кристала є наслідком послідовності випадкових тунельних та термічно акти- вованих стрибків між вузлами гратки. Показано. що температурна залежність коефіцієнта дифузії цих вакансій має специфічну особливість: монотонне зменшення при охолодженні з різким переходом від ек- споненціального закону, що характерний для високотемпературної термоактивованої дифузії, до атерміч- ного тунельного процесу в області гранично низьких температур. Аналогічну особливість нещодавно за- реєстровано при експериментальному вивченні масопереносу у кристалах 4He та 3He (ФНТ 41, 223 (2015); ФНТ 42, 1372 (2016)). Цей механізм дифузії та його аналіз доповнює запропоновану раніше О.Ф. Андреєвим та І.М. Ліфшицом концепцію дифузійної плинності квантового газу дефектонов- квазічастинок з зонним енергетичним спектром (ЖЭТФ 56, 2057 (1969); УФН 118, 251 (1976)). PACS: 62.20.F– Деформация и пластичность; 67.80.–s Квантовые кристаллы; 67.80.D– Твердый 3He; 67.80.dj Дефекты, примеси и диффузия. Ключевые слова: твердый гелий, пластическое течение, энергия активации, квантовая диффузия, вакан- сии, дислокации. © В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, 2017 mailto:smirnov@ilt.kharkov.ua В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов Введение Основные положения концепции квантовой диффу- зии точечных дефектов (вакансий, межузельных или примесных атомов и т.п.) в кристаллах с высокой ин- тенсивностью нулевых колебаний сформулированы А.Ф. Андреевым и И.М. Лифшицем [1,2]. Если струк- тура кристалла близка к идеальной, то при температуре T = 0 любой дефект, в принципе, должен быть делока- лизован вследствие туннельной связи между эквива- лентными положениями его центра в кристаллической решетке. Благодаря пространственной периодичности потенциала, в котором движется дефект, для стацио- нарных состояний движения хорошим квантовым чис- лом является квазиимпульс, а энергетический спектр состоит из одной или нескольких зон 0∆ , 1∆ , …. Такие дефекты приобретают свойства квазичастиц — дефек- тонов: они способны перемещаться в кристалле в от- сутствие теплового возбуждения при изменениях ква- зиимпульса и энергии в пределах основной зоны 0∆ , а скорость течения газа дефектонов лимитируется их взаимными столкновениями. Этот предельно кванто- вый режим диффузии дефектов описывается стандарт- ными газокинетическими уравнениями, а коэффициент диффузии определяется соотношением D l≈ v , где v — скорость движения в зоне, l — длина свободного про- бега. При отличной от нуля температуре свободный пробег дефектонов ограничен их столкновениями ме- жду собой и с фононами, поэтому l уменьшается при увеличении концентрации дефектонов dc и температу- ры T. Коэффициент диффузии также уменьшается при увеличении этих параметров, при этом зависимость ( , )dD c T описывается степенной функцией. Увеличение частоты столкновений нарушает кван- товую когерентность движения дефектонов и создает предпосылки для их локализации. При температуре порядка 1/7 0 0( / )D DT T T= ∆ [2], где 0∆ — ширина ос- новной зоны, DT — температура Дебая, длина пробега и линейный размер области локализации достигают величины порядка межатомных расстояний l a≈ . За время, проводимое дефектом на отдельном узле ре- шетки, дефект успевает прийти в состояние равновесия с кристаллической матрицей, его перемещения приоб- ретают характер прыжков по узлам, а коэффициент диффузии достигает минимальной величины 2 0 /D a≈ ∆  . При дальнейшем увеличении температуры возмо- жен также экспоненциальный рост коэффициента диффузии, если в энергетическом спектре дефекта су- ществует зона возбужденных состояний 1∆ отделенная от основной зоны 0∆ щелью 0E : 0( ) exp( / )D T E T− . Эта зависимость аналогична закону Аррениуса для обычной термоактивированной прыжковой диффузии дефектов в классическом кристалле, а роль энергии активации играет величина щели 0E . Существенная зависимость от концентрации дефектов при этих тем- пературах исчезает. Основные положения и выводы теории квантовой диффузии нашли достаточно убедительное экспери- ментальное подтверждение при исследовании диффу- зионного перемещения атомов 3He в кристаллах 4He [2,3]. Установлено, что примеси замещения 3He в ГПУ кристаллах 4He обладают свойствами квазичастиц- примесонов, спектр которых имеет довольно узкую основную зону 4 0 10 К−∆ ≈ . Кристаллы изотопов гелия 3He и 4He считаются в настоящее время наиболее яркими примерами кван- товых кристаллов с максимальной интенсивностью нулевых колебаний атомов, потому были серьезные основания предполагать, что установленные в [1,2] закономерности квантовой диффузии описывают пе- ремещения в них не только примесных атомов, но и вакансий [1–3]. К тому же теоретический анализ кван- товой динамики вакансий в ОЦК кристаллах 3He и ГПУ кристаллах 4He привел к заключению [4–6], что в системах этого типа они также могут иметь свойства квазичастиц-вакансионов, для которых ширина основ- ной энергетической зоны 0∆ ≈ 1–10 К, т.е. значительно превосходит ширину зоны примесона. Однако полученные к настоящему времени резуль- таты экспериментального изучения закономерностей массопереноса по вакансионному механизму в этих кристаллах [3,7–9] не нашли достаточно убедительного и непротиворечивого объяснения в рамках газокинети- ческих представлений о диффузии квазичстиц- вакансионов. В эспериментах удалось зарегистриро- вать атермический массоперенос с признаками кванто- вой диффузии в области температур 0,5−0,2 К и пере- ход к хорошо выраженной термоактивированной диффузии в области более высоких температур. Но в промежуточной области наблюдалась монотонная температурная зависимость и специфические особен- ности, которые на графике функции ln ( )D T имеют вид резких изломов [7,8]. Такая зависимость кардинально отличается от описанной в [1,2] немонотонной степен- ной зависимости, характерной для квазичастиц-дефек- тонов в области перехода от термоактивированной к квантовой диффузии. Нам представляется, что устранить отмеченные выше противоречия между экспериментом и теорией можно, если дополнить полученные в [1,2,5,6] резуль- таты более детальным описанием квантовых свойств локализованных вакансий в квазиклассическом при- ближении. Причиной сильной локализации подвижных дефектов в квантовых кристаллах могут быть искаже- ния зонного спектра и квантовой когерентности как тепловым движением атомов (фононами), так и при- сутствием в них большого числа мелкомасштабных структурных искажений, обусловленных статическими дефектами. 1460 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле Рассматривая вакансию как псевдочастицу, локали- зованную в отдельной потенциальной яме на фиксиро- ванном узле решетки, необходимо учитывать возмож- ность наличия в ее энергетическом спектре одного или нескольких дискретных уровней 0ε , 1ε , …. Тогда при 0T → подвижность вакансии будет определяться тун- нельными переходами в соседние ямы из основного состояния 0ε , а при 0T ≠ необходимо также учитывать термоактивированные переходы в возбужденные со- стояния 1ε , 2ε , … и туннельные переходы из них. В данном исследовании будет показано, что такие уточ- нения квантовой динамики локализованных вакансий адекватно отражают основные особенности темпера- турной зависимости скорости массопереноса в кри- сталлах гелия, зарегистрированные в недавно выпол- ненных экспериментальных работах [7–9]. 1. Вакансии в классическом и квантовом кристалле Вакансия — собственный дефект атомно-решеточ- ной структуры кристалла, который появляется при удалении атома из отдельного решеточного узла =R Rv . Символом R будем обозначать совокупность радиус-векторов точек локализации атомов в идеаль- ном кристалле (рис. 1): если рассматривать атомы как физические точки ar , то в классическом кристалле их локализация означает буквальное совпадение ar с R , а в квантовом кристалле под этим подразумевается на- личие на решеточных узлах R локальных максимумов функции плотности — квадрата модуля многочастич- ной волновой функции. Появление вакансии в результате удаления одного атома сопровождается также значительной трансформа- цией атомной структуры вокруг пустого узла: например, в квантовых кристаллах гелия такая трансформация ох- ватывает несколько координационных сфер [4]. Эле- ментарный акт вакансионного массопереноса — кол- лективная перестройка атомной структуры вокруг пустого узла, в результате которой свободным от атома оказывается один из соседних узлов (рис. 1(б)). С точки зрения современной нелинейной механики [10] вакансия в кристалле имеет свойства топологиче- ского солитона − статического или динамического не- линейного уединенного возбуждения поля атомных смещений из узлов идеальной решетки [11–14]. Топо- логическая устойчивость этого возбуждения определя- ется ячеистой структурой и трансляционной симмет- рией кристалла, а роль его топологического заряда, как базовой геометрической характеристики, играет объем примитивной элементарной ячейки 1 2 3( [ ])ω = ×a a av , где 1 2 3, ,a a a — тройка базисных векторов. Такой соли- тон-вакансия имеет кинематические и динамические свойства материальной частицы: этой псевдочастице можно приписать собственную энергию покоя εv и эффективную массу mv, а в качестве ее динамических переменных рассматривать составляющие радиус- вектора центра солитона 1 2 3( ) ( , , ) ( )it x x x x= ≡rv v v v v и вектора скорости 1 2 3( ) ( ) ( , , ) ( )i dt t x x x x dt = = ≡r r     v v v v v v , 1, 2, 3i = . Энергия εv характеризует изменение потен- циальной энергии межатомного взаимодействия в ре- зультате смещений атомов вокруг вакансии. Вакансия, как пустой узел, собственной массы не имеет, а эффек- тивная (полевая) масса mv является мерой инертности коллективных перемещений атомов, сопровождающих перемещение ее центра. Эта масса, естественно, долж- на быть пропорциональной массе отдельного атома am , а коэффициент пропорциональности между ними бу- дет учитывать специфику коллективного движения атомов в солитонной волне смещений; он может ока- заться как порядка единицы, так и намного больше или меньше единицы. Представления о вакансии как солитоне-псевдо- частице основаны на возможности при анализе коллек- Мы не обсуждаем здесь модель гипотетического кристалла [1], в котором число узлов решетки не совпадает с числом ато- мов, т.е. в основном квантовомеханическом состоянии он уже содержит конечное число «нулевых вакансионов». Рис. 1. Двумерная схема атомно-решеточной структуры кри- сталла с вакансией: (а) — начальное положение вакансии в узле (3,3)Rv ; (б) — перемещение вакансии (3,3)Rv → (4,3)Rv как результат перемещения атома (4,3) в пустой узел (3,3). R Rv 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 R Rv 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 1461 В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов тивной динамики атомов в кристалле выделить в мно- гочастичной функции Лагранжа отдельное слагаемое, которое зависит только от координат центра солитона rv и скорости его перемещения rv (обобщенных дина- мических переменных), что позволяет, в конечном итоге, сформулировать уравнение движения в форме Ньютона для этих динамических переменных, а также определить массу mv и обобщенный импульс pv , соот- ветствующий координате rv . Общий метод вывода уравнений движения для топологических дефектов кристаллической структуры в рамках классической механики разработан А.М. Косевичем и использован им для получения уравнения движения дислокации [15]. На его основе в работе [13] получено уравнение движения для вакансии и межузельного атома в плот- ноупакованных атомных рядах — так называемых ва- кансионного и межузельного краудионов: сформули- рован алгоритм вычисления собственной энергии εv , эффективной массы mv и описания взаимодействия этих псевдочастиц с полями внутренних напряжений. Нет серьезных оснований сомневаться в том, что из- ложенные выше представления о классической меха- нике вакансий можно распространить на вакансии произвольного типа. Отметим, только, что предложен- ный в [13,15] вывод уравнения движения дефекта кри- сталлической структуры (дислокации, краудиона, ва- кансии и т.п.) ограничен предположением о достаточно малых скоростях движения: например, c<<rv , где c — характерная величина скорости звуковых волн в кристалле. Квантовое описание движения вакансий можно вы- полнить, базируясь на классическом уравнении движе- ния и используя принцип дополнительности [16]: для этого обобщенные координату rv и импульс pv нужно заменить соответствующими операторами и с их по- мощью получить стандартное уравнение для волновой функции псевдочастицы ( )tΨ r,v . При этом наиболее важной задачей является выбор модели для потенци- альной энергии вакансии, которая должна адекватно отражать главные особенности атомной структуры реального кристалла. Во первых, в тех областях кристалла, где его струк- тура не искажена дефектами, следствием локальной симметрии и трансляционного порядка является пе- риодическое изменение собственной энергии вакансии εv при перемещениях ее центра на макроскопические расстояния 0 ( )pUε = ε + rv v v , ( ) ( )v v p pU U+ =r R r . (1) Периодическая функция ( )pU rv — аналог реше- точного потенциального рельефа Пайерлса для дисло- кационных линий в кристаллах [11–13,15,17]. Будем считать решеточные узлы R точками абсолютного ми- нимума функции ( )pU rv ( ( ) 0pU ≡R ), а ее угловая за- висимость в окрестности отдельного узла должна от- ражать локальную симметрию кристалла. Во вторых, различные локальные и протяженные нарушения кристаллической структуры, а также дейст- вие на кристалл внешних сил создают в нем некоторое сложное распределение внутренних напряжений ( , )ik tσ r и определяют еще две составляющие в потен- циальной энергии псевдочастицы, обусловленные де- фектами и внешними силами соответственно: 0 ( ) ( , ) ( , )p d eU U t U tε = ε + + +r r rv v v v v . (2) Таким образом, квантовое движение центра вакан- сии описывается стандартным волновым уравнением для материальной частицы с потенциалом (2). 2. Энергетический спектр вакансий В идеальном кристалле в отсутствие внешних сил ( , 0d eU U ≡ ) решеточный потенциальный рельеф ( )pU rv вблизи узлов R (точек абсолютного миниму- ма) представляет собой трехмерную потенциальную яму конечной глубины, которая соединена с аналогич- ными ямами на соседних узлах перевальными ложби- нами вдоль направлений плотной упаковки атомов. Одномерная схема потенциального рельефа в направле- нии 0x вдоль перевальных ложбин показана на рис. 2: символ 0U обозначает высоту седловых точек по от- ношению к значению потенциала в точках минимума Рис. 2. Схема потенциального рельефа ( )pU r вдоль пере- вальных ложбин с периодом трансляции a: на левой части рисунка (слева от вертикальной штриховой линии) при 0 x a< < показан энергетический спектр вакансии на от- дельном узле без учета эффекта туннелирования; правая часть рисунка (справа от вертикальной штриховой линии) при x a> иллюстрирует зонный спектр, возникающий при учете туннелирования вместе с трансляционной симметрией рельефа; заштрихованные области — энергетические зоны. Up 0 a 2a x U0 ε0 ε1 εg ∆1 ∆0 1462 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле ( ) 0pU =R ; для различных кристаллографических на- правлений 0U может иметь различные значения. Диф- фузия вакансии приобретает существенно квантовый характер, если энергия нулевых колебаний ее центра в отдельной потенциальной яме сопоставима с глуби- ной ямы, т.е. выполняется условие 2 2 0 02 U m d π ε ≈   v , где 0ε — энергия основного состояния вакансии в по- тенциальной яме, d − ее ширина, а для 0U следует взять наименьшее из совокупности значений этого па- раметра для всех перевальных направлений. При квантовом описании движения центра вакансии в пределах отдельной достаточно глубокой ямы, но без учета эффекта туннелирования, мы получим энергети- ческий спектр стационарных состояний, состоящий из нескольких дискретных уровней 0 1 0, ,... Uε ε < и непре- рывного спектра 0Uε > (левая часть рис. 2): дискрет- ные уровни соответствуют стационарным колебаниям центра вакансии, локализованной на отдельном узле (0 )x a< <v ), а непрерывный спектр − волновому полю, заполняющему объем всего кристалла. Учет эффекта квантового туннелирования при движении псевдочас- тицы в пространственно периодическом потенциале приводит к принципиальным изменениям как энерге- тического спектра (правая часть рис. 2), так и про- странственной конфигурации волнового поля: дис- кретные уровни 0 1, ,...ε ε превращаются в зоны конечной ширины 0 1, ,...∆ ∆ , а нижняя граница непре- рывного спектра gε опускается на конечную глубину в область 0Uε < ; волновые функции стационарных со- стояний при всех разрешенных значениях энергии ока- зываются делокализованными во всем объеме кристалла, а псевдочастицы-вакансии приобретают свойства зонных квазичастиц — вакансионов [1,2,11,18]. Во избежание недоразумений подчеркнем, что од- номерная схема на рис. 2 иллюстрирует спектр трех- мерных волновых состояний псевдочастицы в объеме кристалла. Число дискретных уровней 0 1, ,...ε ε и соот- ветствующих им зон 0 1, ,...∆ ∆ , а также плотность со- стояний в зонах и их ширины определяются степенью «квантовости» кристалла и набором конкретных зна- чений его параметров: массы атомов, энергетических и геометрических характеристик межатомного взаимо- действия и структуры кристалла. Отметим также, что трехмерный характер отдельной потенциальной ямы и значительные перепады высоты ее краев на гранях элементарной ячейки вокруг отдельного узла R допус- кают реализацию широкого набора значений для числа уровней 0 1 0, ,... Uε ε < и расстояний между ними, так как эти значения определяются не только глубиной ямы 0U , но и ее сложным профилем в трех измерениях. В случае предельно квантовых кристаллов в принципе возможна реализация энергетических спектров вакан- сии с двумя уровнями 0ε и 1ε , с одним уровнем 0ε или даже при полном отсутствии таких уровней, когда спектр состоит из одной широкой зоны с нижним кра- ем в области 0Uε < (приближение слабой связи псев- дочастицы с кристаллической матрицей). Основные положения концепции дефектонов в квантовом кристалле, как квазичастиц с зонным энер- гетическим спектром, сформулированы И.М. Лифши- цем и А.Ф. Андреевым и описаны в обзорах [2,18]. Экспериментальное подтверждение этой концепции получено при исследовании диффузии атомов 3He в кристаллах 4He [3]. Установлено, что примеси замеще- ния 3He в ГПУ кристалле 4He обладают свойствами квазичастиц, спектр которых имеет одну узкую зону 4 0 10 К−∆ ≈ , как результат уширения уровня 0ε . Зареги- стрированные в эксперментах особенности коэффици- ента диффузии примесей при 1 КT  и 210dc − полу- чили удовлетворительное объяснение в рамках представлений о газокинетических свойствах узкозон- ных квазичастиц-примесонов. Теоретический анализ динамики вакансий в ОЦК кристаллах 3He и ГПУ кристаллах 4He привел к заклю- чению [4–6], что в квантовых системах этого типа они также могут приобретать свойства квазичастиц — ва- кансионов, для которых ширина энергетической зоны 0∆ ≈ (1–10) К, т.е. значительно превосходит ширину зоны примесона. Однако к настоящему времени этот вы- вод теории не нашел достаточно убедительного подтвер- ждения при экспериментальном изучении закономерно- стей массопереноса в этих кристаллах [3,7–9]. 3. Общие закономерности квантовой диффузии Диффузия дефектонов, имеющих показанный на рис. 2 энергетический спектр, весьма существенно отличается от классической диффузии сильно локализованных де- фектов-псевдочастиц. Такие различия максимальны для идеальных или слабоискаженных кристаллов в области предельно низких температур и при малых концентраци- ях дефектов [1,2,18]. Наиболее существенные особенно- сти квантовой диффузии к настоящему времени описаны при обсуждении квантовых кристаллов с максимально простым энергетическим спектром дефектонов, который имеет только одну узкую зону 0∆ . В условиях низких температур 0T ∆ и при малых концентрациях дефекто- нов реализуется режим квантового когерентного течения разреженного газа квазичастиц в зоне 0∆ , а коэффициент диффузии определяется обычной газокинетической фор- мулой D l≈ v , где v — скорость движения в зоне 0∆ , а l — длина свободного пробега. Свободный пробег дефек- тонов ограничен их столкновениями между собой и с фононами, поэтому l уменьшается при увеличении атом- ной концентрации дефектонов dc и температуры. В ре- зультате коэффициент диффузии также уменьшается при увеличении этих параметров в соответствии со степен- ным законом вида Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 1463 В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов 0 9( , ) ,d d D D c T c T = + γ 0T ∆ , (3) где 0D и γ — постоянные коэффициенты. В области более высоких температур 0T >> ∆ про- исходит динамическое разрушение зоны, движение дефектонов теряет зонный характер и появляется тен- денция к их локализации. Но при этом экспоненциаль- но возрастает вероятность теплового возбуждения де- фектонов в область непрерывного спектра gε > ε , а уменьшение коэффициента диффузии (3) с увеличени- ем температуры сменяется экспоненциальным ростом, характерным для термически активированной диффу- зии локализованных дефектов 0 0 ( ) exp ,gD D T T ε −ε  = −     0 0gT∆ << < ε −ε . (4) Здесь 0 ( )D T — слабо зависящая от температуры функ- ция, которая описывает подвижность дефектонов вблизи нижней границы непрерывного спектра gε > ε . Присутствие в квантовом кристалле статических де- фектов структуры или существенно неоднородных упру- гих деформаций также нарушает квантовую когерент- ность движения дефектонов в макроскопических объемах и создает предпосылки для их локализации [2,11,18]. Структурные искажения можно считать относительно слабыми, если обусловленные ими слагаемые в потен- циале (2) удовлетворяют условию 0 grad( )d eU U⋅ + < ∆a . В таких кристаллах при 0T ∆ кинетика диффузии де- фектонов частично сохраняет специфические признаки квантового процесса: температурная зависимость ( )D T усложняется по сравнению с формулой (3), но остается степенной [18]. Истинная локализация наступает при условии 0 grad( )d eU U⋅ + >> ∆a , когда дефектон при- обретает свойства локализованной псевдочастицы. Однако режим диффузии такого дефекта и температурная зависимость ( )D T , насколько нам известно, в литературе детально не обсуждались. Как правило, предполагалось только, что зависимость ( )D T в этом случае должна при- обретать вид экспоненциального закона (4), характерного для классической диффузии, когда элементарный акт процесса сводится к термически активированным скач- кам дефекта между соседними потенциальными ямами через разделяющих их барьер. Нам представляется, что при обсуждении диффузии локализованных дефектов в квантовых кристаллах та- кой взгляд на кинетику элементарного скачка является слишком упрощенным и маскирует некоторые кванто- вые аномалии зависимости ( )D T , не совпадающие с аномалиями, которые характерны для квантовой коге- рентной диффузии. Действительно, локализация в от- дельной потенциальной яме в принципе сохраняет влияние квантовых эффектов на движение псевдочас- тицы, которое может быть описано методами квази- классического приближения в квантовой механике: ее энергетический спектр в яме может иметь один или даже несколько дискретных уровней (левая часть рис.2), а перемещение в соседнюю яму должно опре- деляться не только термической активацией, но и про- цессом туннелирования через разделяющий их барьер. Таким образом, в квантовых кристаллах в принципе возможны два механизма (или режима) квантовой диф- фузии точечных дефектов типа примесных атомов или вакансий: когерентное зонное течение газа дефектонов- квазичастиц и туннельные скачки локализованных псевдочастиц по узлам кристаллической решетки. Как первый, так и второй из них обеспечивают атермиче- ский массоперенос с конечным по величине коэффици- ентом диффузии в области предельно низких темпера- тур, а также переход к термически активированному процессу с экспоненциально возрастающим коэффици- ентом диффузии при достаточно высоких температурах. Однако в области промежуточных температур коэффи- циент диффузии имеет различные аномалии, специфи- ческие для каждого из этих механизмов. Диффузия де- фектонов-квазичастиц детально обсуждена в обзорах [2,18], а ее главная особенность описывается формулой (3). Закономерности туннельного скачкообразного мас- сопереноса ранее детально не обсуждались и будут опи- саны в следующем разделе. 4. Туннельно-активационный режим диффузии Рассмотрим одну из возможных моделей диффузии дефектов-псевдочастиц в квантовом кристалле, кото- рая допускает описание их квантового движения в ква- зиклассическом приближении и базируется на не- скольких предположениях. Будем рассматривать дефект как нелинейное силь- но локализованное возбуждение атомной структуры кристалла — квантовую псевдочастицу с эффектив- ной массой mv и динамическими переменными r и p, которая помещена в периодический потенциал ( ) ( )p pU U= +r r R (рис. 2). Если в начальный момент времени такая псевдочас- тица локализована на одном из узлов кристалла R (рис.1(а)), то ее дальнейшее движение можно разде- лить на два временных интервала: 1τ — время кванто- вых колебаний в потенциальной яме вблизи этого узла R , на протяжении которого она успевает прийти в со- стояние частичного равновесия с кристаллической матрицей в соответствии с энергетическим спектром стационарных состояний в яме (левая часть рис.2) и температурой кристалла; 2τ — среднее время туннель- ного или термически активированного перехода на один из соседних узлов ′R (рис. 1(б)). Дальнейшее перемещение псевдочастицы в объеме кристалла описывается законами классической диффу- зии как последовательности случайных скачков по уз- 1464 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле лам решетки с частотой 21/ τ , а коэффициент диффузии описывается формулами [19] 2 0 2 ( ) ( ), ( ) D T D w T T λ = = τ 2 0 0D =λ ν . (5) Здесь λ — эффективная длина скачка, учитывающая локальную геометрию атомных конфигураций вокруг вакантного узла ( 2 1 210 a−λ ≈ ); 0ν — эффективная час- тота атомных колебаний порядка частоты Дебая для фононного спектра кристалла; ( )w T — вероятность перехода дефекта между двумя соседними потенци- альными ямами рельефа ( )pU r , обусловленная совме- стным действием как эффекта туннелирования, так и тепловой активации. Рассмотрим сначала более простую модель локали- зованного дефекта в квантовом кристалле, для которо- го энергетический спектр имеет один дискретный уро- вень 0ε . В этом случае вероятность ( )w T определяется соотношениями [ ]0 0 0 0 0( ) ( ) 1 ( ) ( ),T T qw T w U w U w= −ε + − −ε ε (6) 0 0( ) exp .Tw T ε−ε ε−ε = −    (7) Здесь 0( )Tw ε−ε — вероятность теплового возбужде- ния дефекта из основного состояния 0ε в состояние с энергией ε, а ( )qw ε — вероятность квантового тунне- лирования в соседнюю яму из состояния с энергией 0Uε < ; с экспоненциальной точностью можно считать, что барьер не оказывает существенного влияния на движение дефекта с энергией 0Uε = и полагать 0( ) 1qw U ≈ . Если энергетический спектр дефекта имеет два дискретных уровня 0ε и 1ε , то вероятность туннельно- активационных скачков ( )w T определяется соотно- шением 0 0 1 0 1( ) ( ) ( ) ( )T T qw T w U w w= −ε + ε −ε ε + 0 0 1 0 0[1 ( ) ( )] ( )T T qw U w w+ − −ε − ε −ε ε , (8) в котором учтено также тепловое возбуждение состоя- ния с энергией 1ε и туннелирование из этого уровня. Вычисление вероятности туннелирования ( )qw ε при 0Uε < является довольно сложной задачей о квантовом выходе частицы из трехмерной потенциальной ямы, которая соединена с соседними ямами перевальными ложбинами. Общие методы решения таких задач разра- батывались многими авторами: см., например, [20–23] и приведенные там ссылки; здесь мы воспользуемся главными результатами этих исследований. В квази- классическом приближении движение частицы в пере- вальной ложбине потенциального рельефа ( )pU r можно разделить на относительно медленное движение вдоль дна ложбины с точкой перевала 0U , и поперечные вы- сокочастотные осцилляции. На рис. 2 схематически показаны соответствующее направление 0x, профиль потенциала ( )pU x и точка перевала 0 ( )p mU U x= , где mx — точка максимума, вблизи которой потенциал име- ет отрицательную кривизну: 2 0 1( ) ( ) , 2p mU x U x x≈ − κ − 2 2 ( ) 0 m p x x d U x dx = κ = − > , / 2mx x a− < . (9) В этом приближении вероятность туннельного вы- хода из ямы ( )qw ε при 0Uε < определяется преимуще- ственно одномерным движением вдоль перевальной координаты x, а возбуждения осцилляторного типа вдоль поперечных координат влияют лишь на норми- ровочные множители. В конечном итоге вероятность ( )qw ε сводится, с экспоненциальной точностью, к вы- числению одномерного туннельного интеграла для частицы с некоторой перенормированной эффективной массой m : 2 ( )( ) expqw σ ε ε ≈ −   , ( ) Im 2 [ ( )]pm U x dxσ ε = ε−∫ . (10) Для параболического барьера вида (9) при выпол- нении условия квазиклассичности получим: 0( ) exp ,q q U w  −ε ε ≈ −  ν  1 2q m κ ν = π , 0q Uν << −ε . (11) Энергетические параметры 0ε , 1ε и qν являются основными характеристиками интенсивности кванто- вого движения локализованного дефекта. В данной теории они рассматриваются как феноменологические параметры модели: эмпирические оценки этих величин можно получить путем сравнения с выводами теории результатов экспериментального изучения диффузии дефектов в области предельно низких температур (см. раздел 6). Установить связь характеристик барьера 0U и κ , эффективной массы дефекта m и параметров энергетического спектра 0ε , 1ε и qν с микроскопиче- скими характеристиками кристалла можно, естествен- но, только путем строгой формулировки и аналитиче- ского или численного решения квантовомеханической задачи о динамике кристалла с дефектом. Во избежание недоразумений отметим, что фигури- рующая в формуле (10) «туннельная» масса m и «за- травочная» масса вакансии mv (см. раздел 1), вообще * В кристаллах, строго говоря. коэффициент диффузии является тензором второго ранга ( )ikD T [19], а формулы, подобные (5), описывают главные значения этого тензора по отношению к кристаллографической системе координат. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 1465 В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов говоря, не совпадают и могут иметь существенно раз- личные величины: mv — масса в операторе кинетиче- ской энергии вакансии, которая непосредственно влия- ет на энергетический спектр 0 1, ...ε ε и определяет точную величину вероятности туннелирования ( )qw ε ; m появилась в формуле (10) как удобный коэффици- ент при попытке приближенно (с экспоненциальной точностью) представить вероятность туннельного вы- хода вакансии из трехмерной потенциальной ямы в виде одномерного туннельного интеграла. Подстановка соотношений (6)–(11) в формулу (5) определяет в явном виде температурную зависимость коэффициента прыжковой туннельно-активационной диффузии локализованного дефекта в квантовом кри- сталле. В области достаточно низких температур qT << ν эта зависимость описывает чисто квантовый атермический процесс, для которого 0 0( )qD D w≈ ε , а в пределе высоких температур qT >> ν диффузия при- обретает чисто активационный характер с коэффици- ентом 0 0 0( )TD D w U≈ −ε и энергией активации 0 0 0E U= −ε . В области промежуточных температур зависимость ( )D T имеет специфические особенности экспоненциального типа, которые качественно отли- чаются от степенных зависимостей вида (3), характер- ных для зонной диффузии дефектонов-квазичастиц. 5. Главные особенности температурной зависимости коэффициента туннельно- активационной диффузии При изменении температуры в широких пределах изменения коэффициента диффузии охватывают не- сколько порядков, поэтому при обсуждении зависимо- сти ( )D T , полученной как в результате теоретического анализа, так и при экспериментальных измерения удобно использовать полулогарифмические координа- ты ln ( )D T T− или 1ln ( )D T T −− . Для модели дефекта, энергетический спектр которого имеет один дискрет- ный уровень 0ε , получим: 00 ( ) 0 0ln ln ln[1 (1 e ) e ]qEED D E θ−θ− θ= − θ+ + − , (12) 1,T −θ = 1( )q q −θ = ν , 0 0 0.E U= −ε Легко видеть, что при выполнении условия квази- классичности 0 0 0 1q q U E −ε θ = >> ν данная зависимость имеет две асимптотики (рис. 3(а)): 0 0 0 0 ln , , (13.a) ln ln , . (13.б) q q q D E D D E − θ θ<< θ=  − θ θ>> θ Линейная зависимость от обратной температуры (13.а) описывает классическую термоактивированную диф- фузию с энергией активации 0E , а в области низких температур диффузия приобретает атермический ха- рактер (13.б), обусловленный эффектом квантового туннелирования. Граничная температура q qT = ν (или 1 q qT −θ = ), разделяющая эти асимптотики, характеризу- ет интенсивность квантовых флуктуаций кинетической энергии дефекта, благодаря которым возможен про- цесс туннелирования. Следует обратить внимание еще на одну характер- ную особенность туннельно-активационной диффу- зии — весьма узкий температурный интервал 2 qδθ= θ −θ , на котором асимптотика (13.а) переходит в асимптотику (13.б): 0 2 , E δθ≈ 0 2 1.q q q T T E νδθ δ ≈ ≈ << θ  (14) На рис. 3(а) эта особенность выглядит как резкий излом графика функции ln ( )D θ при qθ= θ . Рис. 3. Температурные зависимости коэффициента диффузии в координатах ln D − θ для дефектов, энергетический спектр которых имеет различное число дискретных уровней: (а) — один уровень 0ε , график функции (12); (б) — два уровня 0ε и 1ε , график функции (15) при 1 00,1E E≈ . (a) = θ T–1 ln D θq ( )б ln D = θ T–1θq 1466 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле Для более сложной модели дефекта с двумя дис- кретными энергетическими уровнями 0ε и 1ε согласно соотношениям (11), (7) и (8) зависимость ln ( )D θ опи- сывается формулой: 0 0ln lnD D E= − θ+ 0 1 001( )( ) ( )ln [1 (1 ) ]q qE E EEEe e e e− θ−θ θ−θ− θ− θ+ + + − − . (15) 0 0 0 ,E U= −ε 1 1 0.E = ε −ε При выполнении условия квазиклассичности 0 1qE θ >> зависимость (15) имеет термоактивационную (13.а) и туннельную (13.б) асимптотики в областях qθ<< θ и qθ>> θ соответственно, а параметр qθ являет- ся координатой точки пересечения этих асимптотик (рис. 3(б)). При 1 0E → или 0 1 0E E− → формула (15) переходит в формулу (12) и график на рис. 3(б) приоб- ретает резкий излом (как на рис.3а). Однако существу- ет интервал умеренно малых значений 1 00,1 E E≈ , для которых область перехода между асимптотиками (13.а) и (13.б) расширяется, но излом (менее резкий) в окре- стности qθ сохраняется. Для параболического барьера (9) выполняется соот- ношение 2 0 08( )U d−ε = κ , где d — ширина барьера на уровне 0ε , оно позволяет связать между собой пара- метры рассматриваемой модели вакансии m , κ и d с величинами 0 0 0U E−ε = и qθ , которые можно зареги- стрировать в эксперименте: 2 08 ,d Eκ = 2 2* 02 qm d E θ  =   π   . (16) Сравнивая формулы (12) или (15) с формулой (3) приходим к заключению о качественном различии двух возможных режимов квантовой диффузии: тун- нельно-активационного перемещения локализованных дефектов-псевдочастиц и зонного течения газа дефек- тонов-квазичастиц. 6. Диффузия вакансий в кристаллах гелия при температурах порядка и ниже 1 К В настоящее время известно несколько попыток экспериментальной регистрации вакансионного мас- сопереноса в кристаллах 3He и 4He. История этой проблемы описана в обзоре [3] и в трех последних публикациях [7–9], где представлены наиболее систе- матические и точные результаты измерений в темпера- турном интервале 1,5−0,1 К. Это рекордно низкие тем- пературы для данной проблемы, что существенно по- высило шансы наблюдения эффекта квантового массо- переноса. В работах [7–9] наблюдалось длительное стацио- нарное пластическое течение (ползучесть) твердого 3He и 4He через пористую упругую мембрану под дей- ствием приложенного к ней постоянного механическо- го напряжения 0 < σ < 104 Па. Этот процесс был реали- зован вдали от линии плавления кристаллов на диаграмме «температура–давление» и имел достаточно большую доступную для регистрации скорость при понижении температуры до 0,1 К. Полученные в этих экспериментах типичные зависимости скорости пере- мещения мембраны ( )V V T= от обратной температуры 1T −θ = имеют такие же характерные особенности, как и температурные зависимости ln ( )D θ для процесса туннельно-активационной диффузии на рис. 3: моно- тонный характер, а также наличие на графиках протя- женных прямолинейных участков и резких изломов в узкой окрестности некоторого значения qθ . Это позво- ляет предполагать, что в экспериментах массоперенос через отверстия в мембране определяется диффузией вакансий и выполнить анализ экспериментальных ре- зультатов на основе представлений, описанных в пре- дыдущем разделе. Будем считать, что скорость мембраны пропорцио- нальна коэффициенту диффузии вакансий и описыва- ется эмпирической формулой ( , ) ( , ) ( ),V T B T D Tσ = σ (17) а температурная зависимость множителя ( , )B T σ более слабая, чем зависимость ( )D T . Сопоставление результа- тов экспериментов [7,8] с формулами (12) и (15) показа- но на рис. 4 и подтверждает, в первом приближении, сделанное предположение. Определенные сомнения вызывает адекватность теории эксперименту только для кристаллов 4He при 4θ> (Т < 0,25 К). При анализе экспериментальных результатов в каче- стве грубой оценки для ширины барьера можно принять 0,5d a≈ , где a — характерная величина параметра ре- шетки. С этой точностью формулы (16) позволяют по- лучить оценки для параметров m и κ , если в экспери- менте зарегистрированы значения параметров 0E и qθ . Зарегистрированные в экспериментах [7–9] точные значения энергии активации 0E термически активиро- ванного вакансионного массопереноса в кристаллах гелия зависят от молярного объема (плотности) кри- сталла, а значения qθ , разделяющие области термиче- * Строго говоря, при анализе результатов этих экспериментов специального обсуждения требует вопрос об источниках ва- кансий. Нам представляется, что избыточная концентрация вакансий на берегах отверстий в мембране может быть обу- словлена процессами дислокационно-вакансионной пластической деформации в объеме кристалла. Механизмы таких про- цессов хорошо известны в дислокационной теории пластичности [11,15,17], а детальному обсуждению дислокационно- вакансионной ползучести кристаллов гелия будет посвящена отдельная публикация. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 1467 В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов ски активированного и квантового массопереноса, варьируются не только при изменениях плотности, но и при изменениях напряжения σ . Чтобы оценить по порядку величины параметры обсуждаемой здесь мо- дели вакансий мы воспользуемся характерными сред- ними значениями 0E и qθ , полученными при обработке экспериментальных результатов. Параметры вакансий в ОЦК кристаллах 3He В работе [8] зарегистрированы характерные значе- ния 0E ≈ 3 К и qθ ≈ 5 К–1. Согласно сделанным выше предположениям и формулам (16) получаем эмпириче- ские оценки: 0 0 0 3 КE U= −ε ≈ , d ≈ 2⋅10–8 см, κ ≈8 г/с2, m ≈ 3⋅10–22 г. (18) Сравнение m с массой атома 3He ( am ≈ 5⋅10–24 г) приводит к соотношению * 60 am m≈ , которое указыва- ет на коллективный характер вакансионного возбуж- дения в квантовом кристалле: туннелирование вакан- сии представляет собой коррелированное смещение большого числа атомов вокруг ее центра. Частично данное обстоятельство может быть следствием тен- денции к поляризации ядерных спинов атомов 3He в окрестности вакансии — образование магнитного по- лярона [5]. В теоретическом исследовании С.В. Иорданского [6] описана диффузия магнитнополяризованных вакан- сий, которые рассмотрены как вакансионы с очень ши- рокой зоной ∆ ≈ 10 К в энергетическом спектре. Для этой модели вакансии при T << ∆ температурная зави- симость коэффициента диффузии ( )D T ∼ 7/5T качест- венно иная, чем в эксперименте [8]. Данное обстоя- тельство является еще одним подтверждением предположения о сильной локализации вакансий в кристаллическом 3He и присутствии в их энергетиче- ском спектре дискретного уровня. Параметры вакансий в ГПУ кристаллах 4He При экспериментальном изучении вакансионного массопереноса в кристаллах 4He [7] получены харак- терные средние значения 0E ≈ 7 К и qθ ≈ 2 К–1, что приводит к эмпирическим оценкам: 0 0 0 7 КE U= −ε ≈ , 1 1 0E = ε −ε ≈ 1 К, d ≈ 2⋅10–8 см, κ ≈20 г/с2, m ≈ 1⋅10–22 г. (19) Сравнение m с массой атома 4He ( am ≈ 6,7⋅10–24 г) приводит к соотношению * 15 am m≈ . Следовательно, в кристалле 4He туннелирование вакансии представляет собой также коррелированное перемещение большой группы атомов, хотя их количество значительно мень- ше чем в кристалле 3He. Отклонение зависимости ( )D T от классического зако- на Аррениуса 0( ) exp( / )D T E T− для рассматриваемой здесь модели вакансии возникает при значениях темпера- туры qT T< . Пороговая температура 4( He) 0,5 КqT ≈ значительно больше по сравнению с 3( He) 0,2 КqT ≈ , следовательно, квантовые свойства вакансий в кри- сталлах 4He выражены более ярко. Одной из причин этого различия может быть магнитная поляризация ядерных спинов вокруг центра вакансии в кристалли- ческом 3He и связанное с ней понижение вероятности туннелирования. Отметим, что полученные оценки параметра m не противоречат предположениям, которые использованы при вычислении вероятности туннелирования вакансии Рис. 4. Сопоставление результатов экспериментов [7,8] с тео- рией: (а) — аппроксимация экспериментальных данных для 3He функцией (12), сплошая линия — график этой функции при значениях параметров 0E ≈ 2,2 К и qθ ≈ 4,5 К–1; (б) — аппроксимация экспериментальных данных для 4He функци- ей (15), сплошая линия — график этой функции при значе- ниях параметров 0E ≈ 7, 9 К, 1E ≈ 1,1 К и qθ ≈ 2 К–1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10–24 –22 –20 –18 –16 ln V 1/ , T К–1 (a) 1 2 3 4 5 6 –24 –22 –20 –18 ln V ( )б θq 1/ , T К–1 θq 1468 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле через барьеры кристаллического потенциала (см. форму- лы (10) и (11)). Различия в значении температуры qT для кристаллов 3He и 4He можно интерпретировать как след- ствие различий параметров барьеров d и κ , так и следст- вие различной величины феноменологического парамет- ра m в туннельном интеграле (10). Отсюда следует значительная неопределенность в интерпретации физиче- ского смысла эффективной «туннельной» массы вакан- сии *m , ее причины обсуждены в конце разд. 4. Вместе с тем в экспериментах установлено, что для кристаллов 4He температурная область перехода от тер- моативированной к квантовой диффузии в окрестности qT существенно расширена и переход является менее резким. Возможная причина этой особенности − присут- ствие в энергетическом спектре вакансии двух дискрет- ных уровней 0ε и 1ε . Однако, для обоснования такого предположения необходимо выполнить более детальное исследование влияния напряжения σ на скорость массо- переноса в кристаллах 4He при 0,5 КqT T ≈ . 7. Заключение В данном исследовании проанализирован один из возможных механизмов массопереноса в квантовых кристаллах — совместное влияние эффектов туннели- рования и термической активации на диффузию вакан- сий, которые рассматриваются как локализованные псевдочастицы с учетом их квантовых свойств в ква- зиклассическом приближении. Предполагается, что в энергетическом спектре ва- кансии наряду с широкой зоной имеется один или два дискретных уровня, отщепленных от нее вниз. Установлено, что для этой модели вакансии темпера- турная зависимость коэффициента диффузии имеет спе- цифические особенности, похожие на зарегистрирован- ные при экспериментальном изучении массопереноса в кристаллах 3He и 4He [7–9]: монотонное уменьшение при понижении температуры с резким переходом от экспо- ненциальной зависимости, характерной для термоакти- вированной диффузии, к атермическому процессу с ха- рактерными признаками туннельного эффекта. Обсуждены существенные различия между рассмот- ренным здесь процессом туннельно-активационной диффузии локализованных вакансий и рассмотренным ранее [1,2,6,18] процессом диффузионного течения квантового газа квазичастиц-дефектонов (вакансионов) с зонным энергетическим спектром. Влияние темпера- туры на газокинетический режим диффузии дефектонов определяется их рассеянием на фононах и описывается немонотонной степенной функцией. Выводы теории туннельно-активационной диффу- зии сопоставлены с результатами экспериментального исследования вакансионного массопереноса в кристал- лах 3He и 4He при температурах 0,1 К 1,5 КT< < [7–9] и получены эмпирические оценки для параметров мик- роскопической модели вакансий. Однако интерпрета- ция и анализ результатов экспериментов имеет предва- рительный характер, пока не разработана процедура однозначного разделения вклада в скорость массопе- реноса двух процессов — зарождения вакансий и их диффузии. Авторы искренне признательны за полезные обсужде- ния проблемы квантовой диффузии А.С. Ковалеву, В.А. Майданову, Э.Я. Рудавскому и М.А. Стржемечному. 1. А.Ф. Андреев, И.М. Лифшиц, ЖЭТФ 56, 2057 (1969). 2. А.Ф. Андреев, УФН 118, 251 (1976). 3. В.Н. Григорьев, ФНТ 23, 5 (1997) [Low Temp. Phys. 23, 3 (1997)]. 4. В.П. Минеев, ЖЭТФ 63, 1822 (1972). 5. А.Ф. Андреев, Письма в ЖЭТФ 24, 608 (1976). 6. С.В. Иорданский, Письма в ЖЭТФ 26, 183 (1977). 7. В. Жучков, А.А. Лисунов, В.А. Майданов, А.С. Неонета, В.Ю. Рубанский, С.П. Рубец, Э.Я. Рудавский, С.Н. Смирнов, ФНТ 41, 223 (2015). [Low Temp. Phys. 41, 169 (2015). 8. А.А. Лисунов, В.А. Майданов, В.Ю. Рубанский, С.П. Рубец, Э.Я. Рудавский, С.Н. Смирнов, ФНТ 42, 1372 (2016) [Low Temp. Phys. 42, 1075 (2016)]; A. Lisunov, V. Maidanov, V. Rubanskyi, S. Rubets, E. Rudavskii, S. Smirnov, and V. Zhuchkov, Phys. Rev. B 92, 140505(R) (2015). 9. A. Lisunov, V. Maidanov, N. Mikhin, A. Neoneta, V. Rubanskyi, S. Rubets, E. Rudabskii, and V. Zhuchkov, J. Low Temp. Phys. 175, 113 (2014). 10. А.М. Косевич, А.С. Ковалев, Введение в нелинейную физическую механику, Наукова думка, Киев (1989). 11. А.М. Косевич, Физическая механика реальных кристаллов, Наукова думка, Киев (1981). 12. А.М. Косевич, Теория кристаллической решетки (физическая механика кристаллов), Вища шк., Изд-во при ХГУ, Харьков (1988). 13. В.Д. Нацик, Е.И. Назаренко, ФНТ 26, 283 (2000) [Low Temp. Phys. 26, 210 (2000)]. 14. В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, ФНТ 40, 1366 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 1063 (2014); ФНТ 41, 271 (2015) [Low Temp. Phys. 41, 207 (2015)]. 15. А.М. Косевич, Дислокации в теории упругости, Наукова Думка, Киев (1978); УФН, 84, 579 (1964). 16. А.С. Давыдов, Квантовая механика, Наука, Москва (1973). 17. Дж. Хирт, И. Лоте, Теория дислокаций, Атомиздат, Москва (1972). 18. Ю.М. Каган, УФН 141, 541 (1983). 19. Дж. Маннинг, Кинетика диффузии атомов в кристаллах, Мир, Москва (1971). 20. Р. Фейнман, А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, Мир, Москва (1968). 21. Б.В. Петухов, В.Л. Покровский, ЖЭТФ 63, 634 (1972). 22. А.И. Ларкин, Ю.Н. Овчинников, ЖЭТФ 86, 719 (1984). 23. С.В. Иорданский, А.М. Финкельштейн, ЖЭТФ 62, 403 (1972). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 1469 http://dx.doi.org/10.1063/1.4915914 http://dx.doi.org/10.1063/1.4973876 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.92.140505 http://dx.doi.org/10.1007/s10909-013-0898-2 http://dx.doi.org/10.1007/s10909-013-0898-2 http://dx.doi.org/10.1063/1.593886 http://dx.doi.org/10.1063/1.593886 http://dx.doi.org/10.1063/1.4903999 http://dx.doi.org/10.1063/1.4903999 http://dx.doi.org/10.1063/1.4916387 http://dx.doi.org/10.1063/1.4916387 В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов Tunnel-thermally activated mechanism of vacancy diffusion in a quantum crystal V.D. Natsik and S.N. Smirnov The vacancy model in a quantum crystal as a pseu- do-particles is considered. The vacancy has the meta- stable quantum states localized at the lattice sites in potential wells of the crystalline field. It is assumed that quantum dynamics of such a vacancy can be de- scribed in the semiclassical approximation, and its spectrum consists of a broad band and one or two dis- crete levels splited from the band. The diffusion mi- gration of the vacancy in the bulk of the crystal is re- duced to a sequence of random tunnel and thermally activated jumps between the lattice sites. It is shown that the temperature dependence of the vacancy diffu- sion coefficient has a specific feature: a monotonic de- crease upon cooling with a sharp transition from the exponential law typical for high-temperature thermally activated diffusion to the athermal tunneling process at extremely low temperatures. The similar feature was recently recorded in the experimental study of mass transfer in 4He and 3He crystals (Low Temp. Phys. 41, 169 (2015); Low Temp. Phys. 42, 1075 (2016). This mechanism of diffusion of vacancies and its analysis supplement the previously proposed, by A.F. Andreev and I.M. Lifshitz, concept of the diffusion flow of a defecton-quasiparticles quantum gas with a band ener- gy spectrum (ZhETF (rus.) 56, 2057 (1969); UFN (rus.) 118, 251 (1976)). PACS: 62.20.F– Deformation and plasticity; 67.80.–s Quantum solids; 67.80.D– Solid 3He; 67.80.dj Defects, impurities, and diffusion. Keywords: solid helium, plastic flow, activation ener- gy, quantum diffusion, vacancies, dislocations. 1470 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 10 Введение 1. Вакансии в классическом и квантовом кристалле 2. Энергетический спектр вакансий 3. Общие закономерности квантовой диффузии 4. Туннельно-активационный режим диффузии 5. Главные особенности температурной зависимости коэффициента туннельно-активационной диффузии 6. Диффузия вакансий в кристаллах гелия при температурах порядка и ниже 1 К Параметры вакансий в ОЦК кристаллах 3He Параметры вакансий в ГПУ кристаллах 4He 7. Заключение

Туннельно-термоактивационный механизм диффузии вакансий в квантовом кристалле

Репозитарії

Схожі ресурси