Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях
Запропоновано новий пiдхiд до розв’язання деяких екстремальних задач геометричної теорiї функцiй комплексної змiнної.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175310 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях / A.К. Бахтин, Р.В. Подвысоцкий // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 3-6. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175310 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1753102021-02-01T01:28:44Z Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях Бахтин, A.К. Подвысоцкий, Р.В. Запропоновано новий пiдхiд до розв’язання деяких екстремальних задач геометричної теорiї функцiй комплексної змiнної. We give a new approach to solving certain extremal problems in the geometric theory of functions of a complex variable. 2011 Article Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях / A.К. Бахтин, Р.В. Подвысоцкий // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 3-6. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175310 517.54 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Запропоновано новий пiдхiд до розв’язання деяких екстремальних задач геометричної теорiї функцiй комплексної змiнної. |
| format |
Article |
| author |
Бахтин, A.К. Подвысоцкий, Р.В. |
| spellingShingle |
Бахтин, A.К. Подвысоцкий, Р.В. Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бахтин, A.К. Подвысоцкий, Р.В. |
| author_sort |
Бахтин, A.К. |
| title |
Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях |
| title_short |
Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях |
| title_full |
Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях |
| title_fullStr |
Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях |
| title_full_unstemmed |
Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях |
| title_sort |
квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175310 |
| citation_txt |
Квадратичные дифференциалы и экстремальные задачи о неналегающих областях / A.К. Бахтин, Р.В. Подвысоцкий // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 3-6. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak kvadratičnyedifferencialyiékstremalʹnyezadačionenalegaûŝihoblastâh AT podvysockijrv kvadratičnyedifferencialyiékstremalʹnyezadačionenalegaûŝihoblastâh |
| first_indexed |
2025-07-15T12:33:36Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:33:36Z |
| _version_ |
1837716280414568448 |
| fulltext |
УДК 517.54
КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
О НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЯХ
A. К. Бахтин, Р. В. Подвысоцкий
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
We give a new approach to solving certain extremal problems in the geometric theory of functions of a
complex variable.
Запропоновано новий пiдхiд до розв’язання деяких екстремальних задач геометричної теорiї
функцiй комплексної змiнної.
Экстремальные задачи о неналегающих областях составляют известное классическое
направление геометрической теории функций комплексной переменной (см. [1 – 12]).
Важным элементом исследования экстремальных задач является теория квадратичных
дифференциалов, один из ключевых результатов которой — „Основная структурная тео-
рема” Дж. А. Дженкинса — дает полное описание глобальной структуры траекторий по-
ложительного квадратичного дифференциала на конечной римановой поверхности (см.
[3]). Кроме того, квадратичные дифференциалы являются удобным средством описания
экстремалей. Новые возможности для данной теории появились после создания метода
разделяющего преобразования (см. [7 – 10]).
В последнее время значительно возрос интерес к задачам, соответствующим квадра-
тичным дифференциалам со свободными полюсами (см. [8 – 10]). В данной работе пред-
ложен новый подход к решению некоторых экстремальных задач подобного рода.
1. Обозначения и определения. Пусть N, C обозначают множества натуральных и
комплексных чисел соответственно.
Тогда C = C ∪ {∞}— расширенная комплексная плоскость или сфера Римана.
Набор точек An = {ak}nk=1 ⊂ C/{0}, удовлетворяющих условию
0 = arg a1 < arg a2 < arg a3 < . . . < arg an < 2π,
будем называть n-лучевой системой точек. Рассмотрим области
Ek = {w : arg ak < argw < arg ak+1},
k = 1, n, En+1 := E1, arg an+1 = 2π, arg an+2 = arg a2 + 2π,
θk =
1
π
arg
ak+1
ak
, k = 1, n. Отсюда следует, что
∑n
k=1 θk = 2. Пусть ξ = πk(w) обозна-
чает ту однозначную ветвь многозначной аналитической функции ξ = −i(e−iarg akw)1/θk ,
которая однолистно отображает область Ek на правую полуплоскость Re ξ > 0. Вну-
тренний радиус области B, B ⊂ C, относительно точки a ∈ B обозначим через r(B, a)
c© A. К. Бахтин, Р. В. Подвысоцкий, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 3
4 А. К. БАХТИН, Р. В. ПОДВЫСОЦКИЙ
(см. [7 – 9]). Для удобства связанную компоненту множества P ⊂ C, содержащую точку
b, обозначим через [P ]b.
2. Результаты и доказательства. Рассмотрим задачу о максимуме функционала
Jn(γ) = rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak), (1)
где n ∈ N, n ≥ 2, γ > 0, An = {ak}nk=1 — n-лучевая система точек на единичной окру-
жности, {Bk}nk=0 — система неналегающих областей, 0 ∈ B0, ak ∈ Bk, k = 1, n.
В общей постановке задача о максимуме Jn(γ) предложена в [8] как открытая проб-
лема. В случае γ ∈ (0, 1] эта задача решена в работе [7]. В данной работе доказана следу-
ющая теорема.
Теорема. Пусть γ5 = 1, 15, γ6 = 1, 3, γ7 = 1, 45, γn = 1, 5, n ≥ 8, n ∈ N. Тогда для
каждого n, n ≥ 5, n ∈ N, любой n-лучевой системы точек An = {ak}nk=1 единичной
окружности и произвольной системы неналегающих областей {Bk}nk=1, 0 ∈ B0, ak ∈
Bk, k = 1, n, выполняется неравенство
rγn(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤ rγn(D0, 0)
n∏
k=1
r(Dk, dk), (2)
где dk = exp i
2π
n
(k − 1), k = 1, n. Для каждого n ≥ 5 знак равенства в неравенстве
достигается тогда, когда точки ak и областиBk, k = 1, n, являются соответственно
полюсами и круговыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(n2 − γn)wn + γn
w2(wn − 1)2
dw2.
Доказательство. Метод доказательства основан на применении разделяющего пре-
образования (см. [7 – 9]).
Повторяя рассуждения, приведенные в [10] при доказательстве теоремы 5.2.3, с уче-
том введенных в п. 1 наборов областей {Ek}nk=1, функций {πk(w)}nk=1 и чисел {θk}nk=1 по-
лучаем неравенство
Jn(γ) ≤ γ−
n
2
[
n∏
k=1
2t
2
k+6t
t2k+2
k (2− tk)−
1
2
(2−tk)2(2 + tk)
− 1
2
(2+tk)
2
] 1
2
(3)
при условии, что
0 < tk =
√
γθk ≤ 2, k = 1, n. (4)
Отметим, что при 0 < γ ≤ 1 условие (4) не является ограничением по определению
величин {θk}nk=1, тогда как при γ > 1 это условие является существенным ограничением
и не позволяет применить метод из работы [7].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
КВАДРАТИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 5
Как и в [10], приходим к неравенству
Jn(γ) ≤
[
2nβ0(2− β0)n−1(n− 1)−(n−1)
]1− γ
n
, (5)
где β0 = max1≤k≤n θk.
Правая часть неравенства (2) имеет конкретное числовое значение, полученное в [10]:
J (0)
n (γ) = rγ(D0, 0)
n∏
k=1
r(Dk, dk) =
(
4
n
)n ( 4γ
n2 )
γ
n
(1− γ
n2 )n+
γ
n
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
)2
√
γ
, (6)
где γ > 0, dk, Dk, k = 0, n, d0 = 0 — соответственно полюсы и круговые области квадра-
тичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (7)
Далее, следуя [10], рассмотрим величину
Λn(γ) =
rγ(B0, 0)Πn
k=1r(Bk, ak)
rγ(D0, 0)Πn
k=1r(Dk, ak)
.
Из соотношений (5) и (6) для функционала (1) при условии, что
2
n
<
1, 32
√
γ
≤ β0, как и в
[10], получаем неравенство
Λn(γ) ≤
(n
4
)γ+1
(
1− 1, 32
2
√
γ
)(n−1)(1− γ
n
)
O(1), (8)
в котором
O(1) =
(
2 · 1, 32
√
γ
)1− γ
n
(
n
n− 1
)(n−1)(1− γ
n
)(n
γ
) γ
n
(1− γ
n2
)n+
γ
n
(
1 +
√
γ
n
1−
√
γ
n
)2
√
γ
.
Таким образом, если для пары (n, γn) и β0 ≥
1, 32
√
γn
правая часть неравенства (8) не пре-
вышает единицу, то Λn(γn) ≤ 1. Тогда Jn(γn) ≤ J
(0)
n (γn) для всех систем неналегаю-
щих областей {Bk}nk=0 и An = {ak}nk=1, |ak| = 1, 0 ∈ B0, ak ∈ Bk, k = 1, n, у которых
β0 ≥
1, 32
√
γn
. Следовательно, для таких систем неналегающих областей теорема доказана.
Осталось рассмотреть случай, когда
2
n
≤ β0 <
1, 32
√
γn
. В силу определения имеет место
неравенство
0 < θk
√
γn ≤ β0
√
γn < 1, 32, k = 1, n.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
6 А. К. БАХТИН, Р. В. ПОДВЫСОЦКИЙ
Тогда для пары (n, γn), n ≥ 5, имеет место неравенство (3). С учетом выпуклости вверх
функции
y = ln
[
2x
2+6xx
2+2(2− x)1/2(2−x)
2
(2 + x)−
1
2
(2+x)2
]
на промежутке (0, x0], 1, 32 < x0 < 1, 33, выполняется неравенство
Jn(γn) ≤ J (0)
n (γn). (9)
Из отношения (6) следует, что величина J (0)
n (γn) реализуется для системы полюсов {dk}nk=0,
d0 = 0 и набора круговых областей {Dk}nk=0 квадратичного дифференциала (7) при γ =
= γn.Непосредственные вычисления с учетом неравенства (8) показывают, что Λ5(1, 15)<
< 1, Λ6(1, 3) < 1, Λ7(1, 45) < 1. Несложные оценки правой части неравенства (8) приво-
дят к соотношениям Λn(1, 5) ≤ 1 при всех n ≥ 8. Суммируя все изложенное выше, из (9)
получаем неравенство (2) для каждой пары (n, γn), n ≥ 5.
Теорема доказана.
1. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. — 1934. — 5.
— С. 159 – 245.
2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1966. — 628 с.
3. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
— 256 с.
4. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. — М.: Наука, 1975. — 336 с.
5. Бахтина Г. П. Об одной экстремальной задаче конформного отображения единичного круга на нена-
легающие области // Укр. мат. журн. — 1974. — 26, № 5. — С. 646 – 648.
6. Бахтина Г. П. О конформных радиусах симметричных неналегающих областей // Современные воп-
росы вещественного и комплексного анализа. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. — С. 21 – 27.
7. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. сем. ЛОМИ. — 1988. — 168. — С. 48 – 66.
8. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного
// Успехи мат. наук. — 1994. — 49 (295), № 1. — С. 3 – 76.
9. Дубинин В. Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций: Учебн. пос. — Владиво-
сток: Дальневосточ. ун-т, 2003. — 116 с.
10. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические структуры и геометрические
методы в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. — 2008. — 73. — 308 с.
11. Подвысоцкий Р. В. Оценка произведения внутренних радиусов частично неналегающих областей //
Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 7. — С. 1004 – 1008.
12. Тамразов П. М. Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов
// Изв. АН СССР. Cер. мат. — 1968. — 32, № 5. — С. 1033 – 1043.
Получено 07.04.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
|