Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу
Получены достаточные условия существования непрерывно дифференцируемого T-периодического решения системы дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа и исследованы некоторые его свойства....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175312 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу / Р.I. Качурiвський, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 43-54. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175312 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1753122021-02-01T01:27:32Z Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу Качурiвський, Р.I. Пелюх, Г.П. Получены достаточные условия существования непрерывно дифференцируемого T-периодического решения системы дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа и исследованы некоторые его свойства. We find sufficient conditions for existence of a continuously differentiable T-periodic solution of a system of neutral type differential-difference equations and study some properties of this solution. 2011 Article Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу / Р.I. Качурiвський, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 43-54. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175312 517.929 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены достаточные условия существования непрерывно дифференцируемого T-периодического решения системы дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа и исследованы некоторые его свойства. |
| format |
Article |
| author |
Качурiвський, Р.I. Пелюх, Г.П. |
| spellingShingle |
Качурiвський, Р.I. Пелюх, Г.П. Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу Нелінійні коливання |
| author_facet |
Качурiвський, Р.I. Пелюх, Г.П. |
| author_sort |
Качурiвський, Р.I. |
| title |
Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу |
| title_short |
Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу |
| title_full |
Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу |
| title_fullStr |
Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу |
| title_full_unstemmed |
Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу |
| title_sort |
перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175312 |
| citation_txt |
Перiодичнi та асимптотично перiодичнi розв’язки систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу / Р.I. Качурiвський, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 43-54. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kačurivsʹkijri periodičnitaasimptotičnoperiodičnirozvâzkisistemdiferencialʹnoriznicevihrivnânʹnejtralʹnogotipu AT pelûhgp periodičnitaasimptotičnoperiodičnirozvâzkisistemdiferencialʹnoriznicevihrivnânʹnejtralʹnogotipu |
| first_indexed |
2025-07-15T12:33:43Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:33:43Z |
| _version_ |
1837716286834999296 |
| fulltext |
УДК 517.929
ПЕРIОДИЧНI ТА АСИМПТОТИЧНО ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ
СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ
Р. I. Качурiвський, Г. П. Пелюх
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: kachurivsky@gmail.com
We find sufficient conditions for existence of a continuously differentiable T -periodic solution of a system
of neutral type differential-difference equations and study some properties of this solution.
Получены достаточные условия существования непрерывно дифференцируемого T -периодиче-
ского решения системы дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа и иссле-
дованы некоторые его свойства.
Диференцiально-рiзницевi рiвняння нейтрального типу вигляду
ẋ(t) = Ax(t) +Bx(t− 1) + Cẋ(t− 1) + F (t, x(t), x(t− 1), ẋ(t− 1)), (1)
де t ∈ R,A,B,C — дiйснi (n×n)-матрицi, F : R×Rn×Rn×Rn → Rn, вивчалися багатьма
математиками (див. [1 – 10] та наведену в них бiблiографiю), i на сьогоднi багато питань їх
теорiї досить повно дослiджено. Це, зокрема, стосується питань iснування глобальних пе-
рiодичних розв’язкiв широких класiв таких систем i вивчення їх властивостей [1, 5, 7 – 9].
При цьому, як правило, суттєво використовувалась „подiбнiсть” таких систем до систем
звичайних диференцiальних рiвнянь вигляду
ẋ(t) = Ax(t) + Φ(t), (2)
де Φ(t) = Bx(t−1)+Cẋ(t−1)+F (t, x(t), x(t−1), ẋ(t−1)).Бiльш того, використовуючи ви-
кладене i вiдомi методи теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь, вдалося (при деяких
умовах вiдносно матрицiA i вектор-функцiї F ) отримати ряд цiкавих результатiв про iсну-
вання й єдинiсть перiодичних розв’язкiв систем рiвнянь (2) i, отже, систем рiвнянь (1) (див.
[9]). Разом iз цим рiвняння нейтрального типу мають специфiчнi властивостi, не властивi
звичайним диференцiальним рiвнянням. Враховуючи це, в данiй статтi вдалося отримати
новi достатнi умови iснування перiодичних розв’язкiв систем рiвнянь вигляду (1) i дослi-
дити їх властивостi. Крiм цього, для доведення основних результатiв розроблено метод,
який дозволяє ефективно будувати перiодичнi розв’язки.
1. Розглянемо систему диференцiально-рiзницевих рiвнянь вигляду
ẋ(t) = Ax(t) +Bx(t− 1) + Cẋ(t− 1) + f(t), (3)
де A = (aij), B = (bij), C = (cij) — невиродженi (n × n)-матрицi, елементи вектора
f(t) 6≡ 0 є неперервними T -перiодичними функцiями.
c© Р. I. Качурiвський, Г. П. Пелюх, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 43
44 Р. I. КАЧУРIВСЬКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Запишемо систему (3) у виглядi
ẋ(t) = −C−1Bx(t)− C−1Ax(t+ 1) + C−1ẋ(t+ 1)− C−1f(t+ 1). (4)
Легко переконатися, що якщо γ(t) — деякий T -перiодичний розв’язок системи (4), то
вiн також є розв’язком системи (3).
Мають мiсце наступнi теореми.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) |e−C−1Bt| ≤ Ne−βt, t ∈ R+, де β,N — деякi додатнi сталi, N > 1;
2)
(
N
β
(1 + |C−1B|) + 1
)
q ≤ ∆ < 1, де
q = max
{
|C−1A|; |C−1|
}
.
Тодi iснує єдиний T -перiодичний розв’язок γ+(t) системи рiвнянь (4).
Доведення. Перiодичний розв’язок системи рiвнянь (4) будемо шукати у виглядi ряду
γ+(t) =
∞∑
i=0
xi(t), (5)
де xi(t) — деякi T -перiодичнi вектор-функцiї. Дiйсно, пiдставивши (5) в (4), можна пере-
конатися, що система (4) має формальний T -перiодичний розв’язок у виглядi (5), якщо
вектор-функцiї xi(t), i = 0, 1, . . . , при t ∈ R є розв’язками послiдовностi систем рiв-
нянь
ẋ0(t) = −C−1Bx0(t)− C−1f(t+ 1),
ẋi(t) = −C−1Bxi(t)− C−1Axi−1(t+ 1) + C−1ẋi−1(t+ 1), (6)
i = 1, 2, . . . .
Безпосередньо пiдстановкою в (6) можна переконатися, що вектор-функцiї систем рiв-
нянь
x0(t) = −
t∫
−∞
e−C
−1B(t−τ)C−1f(τ + 1)dτ,
(7)
xi(t) = −
t∫
−∞
e−C
−1B(t−τ)
(
C−1Axi−1(τ + 1)− C−1ẋi−1(τ + 1)
)
dτ, i = 1, 2, . . . ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
ПЕРIОДИЧНI ТА АСИМПТОТИЧНО ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . . 45
є T -перiодичними розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (6). Взявши до уваги умови те-
ореми, методом математичної iндукцiї неважко показати, що при t ∈ R, i = 0, 1, . . . ,
мають мiсце оцiнки
|xi(t)| ≤ M1∆
i, |ẋi(t)| ≤ M2∆
i,
(8)
i = 0, 1, . . .
де
M1 =
N
β
f∗, M2 =
(
|C−1B|N
β
+ 1
)
f∗, f∗ = max
t∈[0;T )
|C−1f(t)|.
Звiдси випливає, що ряд (5), елементи якого визначаються спiввiдношеннями (7), рiв-
номiрно збiгається при всiх t ∈ R до деякої неперервно диференцiйовної T -перiодичної
вектор-функцiї γ+(t), що є розв’язком системи (4). Можна також показати, що побудова-
ний розв’язок γ+(t) системи рiвнянь (4) i, отже, системи (3) є єдиним.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай виконуються умови:
1) |e−C−1Bt| ≤ Neβt, t ∈ R−, де β,N — деякi додатнi сталi, N > 1;
2)
(
N
β
(1 + |C−1B|) + 1
)
q ≤ ∆ < 1, / де
q = max
{
|C−1A|; |C−1|
}
.
Тодi iснує єдиний T -перiодичний розв’язок γ−(t) системи (4) у виглядi ряду
γ−(t) =
∞∑
i=0
x̃i(t),
де
x̃0(t) =
+∞∫
t
e−C
−1B(t−τ)C−1f(τ + 1)dτ,
(9)
x̃i(t) =
+∞∫
t
e−C
−1B(t−τ)
(
C−1Ax̃i−1(τ + 1)− C−1 ˙̃xi−1(τ + 1)
)
dτ, i = 1, 2, . . . .
Доведення теореми проводиться за тiєю ж схемою, що i доведення теореми 1.
Виконуючи в (4) замiну змiнних
x(t) = y(t) + γ(t), (10)
де γ(t) — T -перiодичний розв’язок цiєї системи, одержуємо систему однорiдних рiвнянь
вигляду
ẏ(t) = −C−1By(t)− C−1Ay(t+ 1) + C−1ẏ(t+ 1), (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
46 Р. I. КАЧУРIВСЬКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
для якої мають мiсце наступнi теореми.
Теорема 3. Нехай виконуються умови:
1) |e−C−1Bt| ≤ Ne−βt, t ∈ R+, де β,N — деякi додатнi сталi, N > 1;
2)
N
β − β∗
(2 + |C−1B|)q ≤ ∆+ < 1, де β∗ — деяка додатна стала така, що 0 < β −
−β∗ < 1.
Тодi iснує n-параметрична сiм’я y+(t) = y+(t, C̃) (C̃ — довiльний вектор-стовпець
розмiрностi n) неперервно диференцiйовних розв’язкiв системи (11) у виглядi ряду
y+(t, C̃) =
∞∑
i=0
yi(t), (12)
для яких виконується умова
lim
t→+∞
y+(t) = 0.
Доведення. Пiдставляючи (12) в (11), можна переконатися, що система (11) має фор-
мальний розв’язок у виглядi (12), якщо вектор-функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками
послiдовностi систем рiвнянь
ẏ0(t) = −C−1By0(t),
ẏi(t) = −C−1Byi(t)− C−1Ayi−1(t+ 1) + C−1ẏi−1(t+ 1), i = 1, 2, . . . .
Такими, зокрема, будуть наступнi, визначенi при t ≥ 0, вектор-функцiї:
y0(t) = e−C
−1BtC̃,
(13)
yi(t) = −
t∫
0
e−C
−1B(t−τ)
(
C−1Ayi−1(τ + 1)− C−1ẏi−1(τ + 1)
)
dτ, i = 1, 2 . . . .
Не обмежуючи загальностi, далi будемо вважати, що |C̃| ≤ 1.
Розмiрковуючи за iндукцiєю, неважко показати, що yi(t), i = 0, 1, . . . , є неперервно
диференцiйовними при t ≥ 0 i задовольняють умови
|yi(t)| ≤ M̃1∆
i
+e
−β∗t, |ẏi(t)| ≤ M̃2∆
i
+e
−β∗t, i = 0, 1, . . . , (14)
де
M̃1 = N, M̃2 = (1 + |C−1B|)M̃1.
Iз (14) безпосередньо випливає, що ряд (12) рiвномiрно збiгається при t ≥ 0 до деякої
неперервно диференцiйовної вектор-функцiї y+(t, C̃), яка є розв’язком системи (11) i за-
довольняє спiввiдношення
|y+(t, C̃)| ≤
∞∑
i=0
|yi(t)| ≤
M̃1
1−∆+
e−β∗t,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
ПЕРIОДИЧНI ТА АСИМПТОТИЧНО ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . . 47
lim
t→+∞
y+(t, C̃) = 0.
Теорему 3 доведено.
Теорема 4. Нехай виконуються умови:
1) |e−C−1Bt| ≤ Neβt, t ∈ R−, де β,N — деякi додатнi сталi, N > 1;
2) N
eβ∗
β − β∗
(2 + |C−1B|)q ≤ ∆− < 1, де β∗ — деяка додатна стала така, що 0 <
< β − β∗ < 1.
Тодi iснує n-параметрична сiм’я y−(t) = y−(t,
˜̃
C) (
˜̃
C — довiльний вектор-стовпець
розмiрностi n) неперервно диференцiйовних розв’язкiв системи (11) у виглядi ряду
y−(t,
˜̃
C) =
∞∑
i=0
ỹi(t),
де
ỹ0(t) = e−C
−1Bt ˜̃C,
ỹi(t) =
t
(
C−1 ˙̃yi−1(1)− C−1Aỹi−1(1)
)
, t ∈ [0; 1],
0∫
t
e−C
−1B(t−τ)
(
C−1Aỹi−1(τ + 1)− C−1 ˙̃yi−1(τ + 1)
)
dτ, t ≤ 0,
(15)
i = 1, 2, . . . ,
для яких виконується умова
lim
t→−∞
y−(t) = 0.
Доведення теореми проводиться за тiєю ж схемою, що й доведення теореми 3.
Беручи до уваги замiну змiнних (10) i доведенi вище теореми, отримуємо наступне
твердження.
Теорема 5. Якщо виконуються умови теорем 1 i 3, то iснує n-параметрична сiм’я
неперервно диференцiйовних розв’язкiв x+(t) системи (4) у виглядi ряду
x+(t) =
∞∑
i=0
yi(t) + γ+(t),
де yi(t), i = 0, 1, . . . , визначаються формулами (13), а γ+(t) — неперервно диференцiйов-
ний T -перiодичний розв’язок системи (4), таких, що має мiсце спiввiдношення
lim
t→+∞
(x+(t)− γ+(t)) = 0.
Якщо виконуються умови теорем 2 i 4, то iснує n-параметрична сiм’я неперервно
диференцiйовних розв’язкiв x−(t) системи (4) у виглядi ряду
x−(t) =
∞∑
i=0
ỹi(t) + γ−(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
48 Р. I. КАЧУРIВСЬКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
де ỹi(t), i = 0, 1, . . . , визначаються формулами (15), а γ−(t) — неперервно диференцiйов-
ний T -перiодичний розв’язок системи (4), таких, що має мiсце спiввiдношення
lim
t→−∞
(x−(t)− γ−(t)) = 0.
2. Припустимо, що в системi (3) матриця A має вигляд
A = diag
(
A1, A2
)
,
де A1, A2 — дiйснi сталi матрицi розмiрностi p × p та (n − p) × (n − p) вiдповiдно, якi
задовольняють умови
Re λi(A1) < 0, i = 1, p,
Re λi(A2) > 0, i = p+ 1, n.
Тодi, як вiдомо, систему рiвнянь (3) можна записати у виглядi
x(t) = Cx(t− 1) +
+∞∫
−∞
G(t− τ)
(
(AC +B)x(τ − 1) + f(τ)
)
dτ, (16)
де
G(t) =
−diag
(
0, eA2t
)
при t < 0,
diag
(
eA1t, 0
)
при t > 0.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 6. Нехай виконуються умови:
1) |C−1| = c∗ < 1;
2) |G(t)| ≤ Me−α|t|, t ∈ R, де α, M — деякi додатнi сталi, M > 1;
3) max
t∈[0;T )
|f(t)| = f∗ < +∞;
4) 2
M
α
c∗
1− c∗
l ≤ ∆ < 1, де l = |AC +B|.
Тодi iснує неперервно диференцiйовний T -перiодичний розв’язок γ(t) системи рiв-
нянь (16).
Доведення. T -перiодичний розв’язок системи рiвнянь (16) будемо шукати у виглядi
функцiонального ряду
x(t) =
∞∑
i=0
xi(t), (17)
де xi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi T -перiодичнi вектор-функцiї, що є розв’язками
послiдовностi систем рiвнянь
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
ПЕРIОДИЧНI ТА АСИМПТОТИЧНО ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . . 49
x0(t) = Cx0(t− 1) +
+∞∫
−∞
G(t− τ)f(τ)dτ, (180)
xi(t) = Cxi(t− 1) +
+∞∫
−∞
G(t− τ)
(
AC +B
)
xi−1(τ − 1)dτ, i = 1, 2, . . . . (18i)
Безпосередньою пiдстановкою в (18i) можна переконатися, що ряди
xi(t) = −
∞∑
j=1
C−jFi(t+ j), i = 0, 1, . . . , (19i)
де
F0(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)f(τ)dτ,
Fi(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ) (AC +B)xi−1(τ − 1)dτ,
є формальними розв’язками систем рiвнянь (18i). Покажемо, що ряд (17), елементи якого
визначаються спiввiдношеннями (19i), i = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R.
Для цього, очевидно, достатньо показати, що при всiх t ∈ R мають мiсце оцiнки
|xi(t)| ≤ M̃∆i, i = 0, 1, . . . , (20i)
де
M̃ =
2
α
Mf∗
c∗
1− c∗
.
Дiйсно, згiдно з (19i) та умовами теореми отримуємо
|x0(t)| =
∣∣∣∣∣∣−
∞∑
j=1
C−jF0(t+ j)
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣−
∞∑
j=1
C−j
+∞∫
−∞
G(t+ j − τ)f(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤ M̃,
i, отже, оцiнка (200) справджується. Припустимо, що вже доведено оцiнки (20k), k =
= 0, 1, . . . , i− 1, i покажемо, що має мiсце оцiнка (20i). Дiйсно, на пiдставi (20i−1) та умов
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
50 Р. I. КАЧУРIВСЬКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
теореми отримуємо
|xi(t)| =
∣∣∣∣∣∣−
∞∑
j=1
C−jFi(t+ j)
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣−
∞∑
j=1
C−j
+∞∫
−∞
G(t+ j − τ)
(
AC +B
)
xi−1(τ − 1)dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
j=1
c∗j
+∞∫
−∞
Me−α|t+j−τ |l|xi−1(τ − 1)|dτ ≤ 2
α
Ml
c∗
1− c∗
M̃∆i−1 ≤ M̃∆i.
Таким чином, справедливiсть оцiнок (20i), i = 0, 1, . . . , повнiстю доведено.
Оскiльки вектор-функцiї xi(t), i = 0, 1, . . . , що визначаються спiввiдношеннями (19i),
є T -перiодичними, то безпосередньо iз (20i), i = 0, 1, . . . , та умови 4 теореми випливає,
що ряд (17) рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної
вектор-функцiї γ(t).
Покажемо, що вектор-функцiя γ(t) є неперервно диференцiйовною. Для цього, оче-
видно, достатньо показати, що неперервно диференцiйовними є вектор-функцiї xi(t), i =
= 0, 1, . . . , i ряд
γ̇(t) =
∞∑
j=0
ẋi(t) (21)
є рiвномiрно збiжним при всiх t ∈ R.
Справдi, враховуючи умови теореми, при всiх j = 1, 2, . . . i t ∈ R маємо
∣∣∣∣(C−jF0(t+ j)
)′∣∣∣∣ =
∣∣∣C−j(AF0(t+ j) + f(t+ j)
)∣∣∣ ≤
≤ c∗j
(
|A| 2
α
Mf∗ + f∗
)
≤ M̂c∗j , (22)
тобто вектор-функцiя x0(t) є неперервно диференцiйовною при t ∈ R i має мiсце оцiнка
|ẋ0(t)| =
∣∣∣∣∣∣−
∞∑
j=1
(
C−jF0(t+ j)
)′∣∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
j=1
M̂c∗j = M̂
c∗
1− c∗
. (230)
Далi, внаслiдок неперервної диференцiйовностi вектор-функцiй Fi(t), i = 1, 2, . . . , при
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
ПЕРIОДИЧНI ТА АСИМПТОТИЧНО ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . . 51
всiх j = 1, 2, . . . i t ∈ R маємо∣∣∣∣(C−jFi(t+ j)
)′∣∣∣∣ =
∣∣∣C−j(AFi(t+ j) + (AC +B)xi−1(t+ j − 1)
)∣∣∣ ≤
≤ c∗j
(
|A| 2
α
M |AC +B|M̃∆i−1 + |AC +B|M̃∆i−1
)
≤
≤ c∗j
(
|A| 2
α
M + 1
)
lM̃∆i−1 ≤ M̂∆ic∗j ,
звiдки випливає ∣∣∣∣∣∣−
∞∑
j=1
(
C−jFi(t+ j)
)′∣∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
j=1
M̂∆ic∗j = M̂
c∗
1− c∗
∆i,
тобто вектор-функцiї xi(t), i = 1, 2, . . . , є неперервно диференцiйовними при t ∈ R i
справджуються оцiнки
|ẋi(t)| ≤ M̂
c∗
1− c∗
∆i, i = 1, 2, . . . . (23i)
Таким чином, на пiдставi (23i), i = 0, 1, . . . , та умови 4 теореми ряд (21) є рiвномiрно
збiжним при всiх t ∈ R.
Теорему 6 доведено.
Зауваження. Використовуючи вiдому теорему Флоке, одержанi вище результати мож-
на узагальнити на випадок систем рiвнянь вигляду
ẋ(t) = A(t)x(t) +B(t)x(t− 1) + C(t)ẋ(t− 1) + f(t),
де елементи матриць A(t), B(t) i C(t) є неперервними T -перiодичними функцiями.
3. Розглянемо тепер систему рiвнянь вигляду
ẋ(t) = Ax(t) +Bx(t− 1) + Cẋ(t− 1) + Φ(t, x(t), x(t− 1)), (24)
де
A = diag
(
A1, A2
)
,
A1, A2 — дiйснi сталi матрицi розмiрностi (p× p) та (n− p)× (n− p) вiдповiдно, якi задо-
вольняють умови
Re λi(A1) < 0, i = 1, p,
Re λi(A2) > 0, i = p+ 1, n,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
52 Р. I. КАЧУРIВСЬКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
B,C — сталi матрицi розмiрностi n × n (detC 6= 0), Φ(t, x, y) — деяка дiйсна неперервна
при t ∈ R, x, y ∈ Rn T -перiодична по t вектор-функцiя. Неважко показати, що в цьому
випадку систему рiвнянь (24) можна записати у виглядi
x(t) = Cx(t− 1) +
+∞∫
−∞
G(t− τ)
(
(AC +B)x(τ − 1) + Φ
(
τ, x(τ), x(τ − 1)
))
dτ, (25)
де
G(t) =
−diag
(
0, eA2t
)
при t < 0,
diag
(
eA1t, 0
)
при t > 0.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 7. Нехай виконуються умови:
1) |C−1| = c∗ < 1;
2) |Φ(t, x′, y′) − Φ(t, x′′, y′′)| ≤ L
(
|x′ − x′′| + |y′ − y′′|
)
, де t ∈ R, x′, x′′, y′, y′′ ∈ Rn, L —
деяка додатна стала;
3) |G(t)| ≤ Me−α|t|, t ∈ R, де α,M — деякi додатнi сталi, M > 1;
4) 2
M
α
(
|AC +B|+ 2L
) c∗
1− c∗
≤ ∆ < 1.
Тодi iснує неперервно диференцiйовний T -перiодичний розв’язок γ(t) системи рiв-
нянь (25).
Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (25) має розв’язок у виглядi ряду
x(t) =
∞∑
i=0
xi(t), (26)
де xi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi T -перiодичнi вектор-функцiї, що є розв’язками
послiдовностi систем рiвнянь
x0(t) = Cx0(t− 1) +
+∞∫
−∞
G(t− τ)Φ(τ, 0, 0)dτ, (270)
x1(t) = Cx1(t− 1) +
+∞∫
−∞
G(t− τ)((AC +B)x0(τ − 1)+
+ Φ(τ, x0(τ), x0(τ − 1))− Φ(τ, 0, 0)))dτ, (271)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
ПЕРIОДИЧНI ТА АСИМПТОТИЧНО ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . . 53
xi(t) = Cxi(t− 1) +
+∞∫
−∞
G(t− τ)
(AC +B)xi−1(τ − 1) + Φ
τ, i−1∑
j=0
xj(τ),
i−1∑
j=0
xj(τ − 1)
−
− Φ
τ, i−2∑
j=0
xj(τ),
i−2∑
j=0
xj(τ − 1)
dτ, i = 2, 3, . . . . (27i)
Безпосередньою пiдстановкою в (27i), i = 0, 1, . . . , можна переконатися, що ряди
xi(t) = −
∞∑
j=1
C−jFi(t+ j), (28i)
де
F0(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)Φ(τ, 0, 0) dτ,
F1(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ) ((AC +B)x0(τ − 1) + Φ (τ, x0(τ), x0(τ − 1))− Φ (τ, 0, 0)) dτ,
Fi(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)
(AC +B)xi−1(τ − 1) + Φ
τ, i−1∑
j=0
xj(τ),
i−1∑
j=0
xj(τ − 1)
−
−Φ
τ, i−2∑
j=0
xj(τ),
i−2∑
j=0
xj(τ − 1)
dτ, i = 2, 3, . . . ,
є формальними розв’язками систем рiвнянь (27i) i задовольняють умови
|xi(t)| ≤ M̃∆i, i = 0, 1, . . . , (29i)
де
M̃ =
2
α
Mf∗
c∗
1− c∗
, f∗ = max
t∈[0;T )
|Φ(t, 0, 0)|.
Iз (29i), i = 0, 1, . . . , безпосередньо випливає, що ряд (26) рiвномiрно збiгається при
t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної вектор-функцiї γ(t). Можна показати, що ряд
Φ(t, 0, 0) + (Φ(t, x0(t), x0(t− 1))− Φ(t, 0, 0)) +
+
∞∑
i=2
Φ
t, i−1∑
j=0
xj(t),
i−1∑
j=0
xj(t− 1)
− Φ
t, i−2∑
j=0
xj(t),
i−2∑
j=0
xj(t− 1)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
54 Р. I. КАЧУРIВСЬКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
рiвномiрно збiгається при t ∈ R i його сума дорiвнює Φ(t, γ(t), γ(t − 1)), тобто вектор-
функцiя γ(t) задовольняє систему (25).
Неважко переконатися у тому, що побудований розв’язок γ(t) системи рiвнянь (25) є
неперервно диференцiйовним при t ∈ R.
Теорему 7 доведено.
1. Пелюх Г. П. О существовании периодических решений нелинейных разностных уравнений // Укр. мат.
журн. — 2002. — 54, №12. — С. 1626 – 1633.
2. Ахмеров Р. Р., Каменский М. И., Потапов А. С. и др. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги
науки и техники. Мат. анализ. — 1981. — 19. — С. 55 – 126.
3. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. — Воронеж: Изд-во Воронеж.
ун-та, 1990. — 167 с.
4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
5. Пелюх Г. П., Олiйниченко О. П. Асимптотичнi властивостi глобальних розв’язкiв системи диференцi-
ально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу з нелiнiйними вiдхиленнями аргументу // Нелiнiйнi
коливання. — 2002. — 5, № 4. — С. 489 – 503.
6. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с пе-
риодическими и условно-периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1984. — 212 с.
7. Пелюх Г. П., Блащак Н. I. Про iснування i єдинiсть перiодичних розв’язкiв систем нелiнiйних диферен-
цiально-функцiональних рiвнянь з лiнiйним вiдхиленням аргументу // Доп. НАН України. — 1997. —
№ 8. — С. 10 – 13.
8. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. О периодических решениях систем нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений нейтрального типа // Там же. — 1994. — № 3. — С. 19 – 21.
9. Качурiвський Р. I., Пелюх Г. П. Про iснування перiодичних розв’язкiв систем диференцiально-рiзнице-
вих рiвнянь нейтрального типу // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2009. — 6, № 2. —
С. 400 – 416.
10. Пелюх Г. П., Богай Н. А. Дослiдження структури множини неперервних розв’язкiв систем лiнiйних рiз-
ницевих рiвнянь з неперервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 3. — С. 351 – 359.
Одержано 05.07.10,
пiсля доопрацювання — 29.10.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
|