Модель динамічної системи конфліктної тріади

Исследуется модель динамической системы конфликтной триады, описывающая взаимодействие между тремя природными субстанциями: популяцией биологического вида (жизнь), внешней средой (ресурс существования, добро) и негативными факторами для существования (инфекция, зло). Установлено наличие основных фаз...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Кошманенко, В.Д., Самойленко, I.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2011
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175315
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Модель динамічної системи конфліктної тріади / В.Д. Кошманенко, I.В. Самойленко // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 55-75. — Бібліогр.: 22 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-175315
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1753152021-02-01T01:27:34Z Модель динамічної системи конфліктної тріади Кошманенко, В.Д. Самойленко, I.В. Исследуется модель динамической системы конфликтной триады, описывающая взаимодействие между тремя природными субстанциями: популяцией биологического вида (жизнь), внешней средой (ресурс существования, добро) и негативными факторами для существования (инфекция, зло). Установлено наличие основных фаз сосуществования субстанций триады: состояния динамического равновесия (стабильной неподвижной точки), циклических аттракторов, периодически осциллирующих траекторий и эволюций, близких к хаотическим. На конкретных моделях показано существование бифуркационных точек и порогов перехода между различными фазами. A dynamical system model of conflict triad is investigated.The model describes an interaction between substances of the natural triad: biological populations(life), the environment(living resources), and negative influences (infectious). The main phases of coexistence for substances are established: the equilibrium state (fixed point), the cyclic attractors, the periodic oscillating trajectories, and evolution near to chaotic. The existence of bifurcation points and thresholds between phases are demonstrated by computer modelings. 2011 Article Модель динамічної системи конфліктної тріади / В.Д. Кошманенко, I.В. Самойленко // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 55-75. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175315 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Исследуется модель динамической системы конфликтной триады, описывающая взаимодействие между тремя природными субстанциями: популяцией биологического вида (жизнь), внешней средой (ресурс существования, добро) и негативными факторами для существования (инфекция, зло). Установлено наличие основных фаз сосуществования субстанций триады: состояния динамического равновесия (стабильной неподвижной точки), циклических аттракторов, периодически осциллирующих траекторий и эволюций, близких к хаотическим. На конкретных моделях показано существование бифуркационных точек и порогов перехода между различными фазами.
format	Article
author	Кошманенко, В.Д. Самойленко, I.В.
spellingShingle	Кошманенко, В.Д. Самойленко, I.В. Модель динамічної системи конфліктної тріади Нелінійні коливання
author_facet	Кошманенко, В.Д. Самойленко, I.В.
author_sort	Кошманенко, В.Д.
title	Модель динамічної системи конфліктної тріади
title_short	Модель динамічної системи конфліктної тріади
title_full	Модель динамічної системи конфліктної тріади
title_fullStr	Модель динамічної системи конфліктної тріади
title_full_unstemmed	Модель динамічної системи конфліктної тріади
title_sort	модель динамічної системи конфліктної тріади
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175315
citation_txt	Модель динамічної системи конфліктної тріади / В.Д. Кошманенко, I.В. Самойленко // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 55-75. — Бібліогр.: 22 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT košmanenkovd modelʹdinamíčnoísistemikonflíktnoítríadi AT samojlenkoiv modelʹdinamíčnoísistemikonflíktnoítríadi
first_indexed	2025-07-15T12:33:53Z
last_indexed	2025-07-15T12:33:53Z
_version_	1837716298024353792
fulltext	УДК 517 . 9 МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ КОНФЛIКТНОЇ ТРIАДИ В. Д. Кошманенко, I. В. Самойленко Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3 A dynamical system model of conflict triad is investigated.The model describes an interaction between substances of the natural triad: biological populations (life), the environment (living resources), and negati- ve influences (infectious). The main phases of coexistence for substances are established: the equilibrium state (fixed point), the cyclic attractors, the periodic oscillating trajectories, and evolution near to chaotic. The existence of bifurcation points and thresholds between phases are demonstrated by computer mode- lings. Исследуется модель динамической системы конфликтной триады, описывающая взаимодей- ствие между тремя природными субстанциями: популяцией биологического вида (жизнь), внеш- ней средой (ресурс существования, добро) и негативными факторами для существования (ин- фекция, зло). Установлено наличие основных фаз сосуществования субстанций триады: со- стояния динамического равновесия (стабильной неподвижной точки), циклических аттрак- торов, периодически осциллирующих траекторий и эволюций, близких к хаотическим. На кон- кретных моделях показано существование бифуркационных точек и порогов перехода между различными фазами. 1. Вступ. Пiд природною конфлiктною трiадою розумiємо фiзичну систему, що скла- дається з трьох субстанцiй (позначимо їх P,R,Q), якi iснують у спiльному просторi Ω i певним чином взаємодiють. Кожнiй iз субстанцiй P,R,Q в початковий момент часу спiв- ставляється число P, R, Q, яке характеризує абсолютне значення кiлькостi вiдповiдної субстанцiї в Ω. Система є складною в тому сенсi, що кожна субстанцiя розподiлена по окремих регiонах Ωi, з яких складається простiр iснування: Ω = ⋃n i=1Ωi, n < ∞. Це означає, що P,R,Q є векторами з невiд’ємними координатами: P = (P1, . . . , Pn), R = (R1, . . . , Rn), Q = (Q1, . . . , Qn), Pi, Ri, Qi ≥ 0, i = 1, . . . , n. При цьому числа Pi, Ri, Qi дають кiлькiсну характеристику вiдповiдних субстанцiй в Ωi у початковий момент часу, а P, R, Q є l1-нормами векторiв P,R,Q: P =‖ P ‖1= P1 + . . .+ Pn, R =‖ R ‖1, Q =‖ Q ‖1 . Еволюцiя векторiв P,R,Q, зумовлена конфлiктною взаємодiєю, породжує деяку ди- намiчну систему в дискретному часi: {PN ,RN ,QN} > −→ {PN+1,RN+1,QN+1}, N = 0, 1, . . . , де P0 = P, R0 = R, Q0 = Q. Вiдображення > позначає закон взаємодiї мiж субстанцiями, який взагалi є невiдо- мим. У цiй роботi > визначено еврiстично (див. формули (19), (20) у п. 3) згiдно з iнту- їтивним розумiнням фiзичного сенсу субстанцiй P,R,Q. Символiчно взаємозалежнiсть мiж P,R,Q ми зображуємо дiаграмою c© В. Д. Кошманенко, I. В. Самойленко, 2011 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 55 56 В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО де стрiлочка з певним знаком + −→ ( − ←−) вiдповiдає напрямку позитивної (негативної) залежностi однiєї iз субстанцiй вiд iншої. Позитивна залежнiсть означає певний закон зростання вiдповiдної кiлькiсної характеристики, а негативна — спадання. Двостороння парна взаємозалежнiсть плюс-мiнус позначає варiант взаємодiї, аналогiчний вiдомiй мо- делi „жертва – хижак” (див., наприклад, [1 – 3]). Тут ми використовуємо два рiзних варi- анти такої взаємодiї: взаємозалежнiсть мiж парами бiологiчний вид (хижак) – життєвий ресурс (жертва) та взаємозалежнiсть мiж еволюцiєю бiологiчного виду (як жертви) та поширенням вiрусної iнфекцiї (як хижака). Взаємозалежнiсть мiнус – мiнус є принципо- во iншою. Вона моделює конфлiктну боротьбу альтернативних субстанцiй типу: вiрус – антидот. Протилежною субстанцiєю до вiрусної iнфекцiї виступає життєвий ресурс, який припускається невичерпним, а iнфекцiя є незнищенною в принципi. Таким чином, послiдовнiсть PN i , i = 0, 1, . . . , можна трактувати як еволюцiю кiлькiс- ної характеристики певного бiологiчного виду в регiонi Ωi пiд впливом двох протилеж- них чинникiв. А саме, динамiка популяцiї PN i визначається, з одного боку, позитивною залежнiстю вiд субстанцiї R (використання ресурсного середовища), що забезпечує зро- стання PN i , а з iншого — негативним впливом зовнiшнiх загроз iснуванню (кiлькiсними втратами вiд дiї iнфекцiй, носiєм яких є субстанцiя Q). При цьому в момент часу N +1 ве- личина PN+1 i повинна бути пропорцiйною кiлькостi пiдвидiв бiологiчного виду у регiонi Ωi у попереднiй момент часу, зростати при збiльшеннi RN i та спадати при зростаннi QN i . У свою чергу, незважаючи на припущення глобальної невичерпностi субстанцiї R, регiо- нальнi змiни кiлькостi життєвого ресурсу RN i є залежними, з одного боку, вiд локальної (= регiональної) iнтенсивностi їх використання, як джерела для iснування бiологiчної по- пуляцiї, а з iншого — вiд негативного впливу на RN i субстанцiї Q, альтернативної по при- родi до R. Насамкiнець, еволюцiю координат QN i можна iнтерпретувати як динамiчну характеристику концентрацiї загроз iснуванню для бiологiчного виду в кожному окре- мому регiонi Ωi. Локальне поширення iнфекцiї: QN+1 i збiльшується при зростаннi PN i та зменшеннi RN i . Явнi формули всiх взаємозалежностей наведено в п. 3. Символiчно трiйку субстанцiй P,R,Q можна асоцiювати з фiлософською трiадою: людина — добро — зло, або, згiдно з мiфологiєю, з природною, як флора i фауна Зем- лi в оточеннi води та вогню. Бiльш конкретно, PN може позначати глобальну кiлькiсну популяцiю деякого бiологiчного виду (людства), RN — змiни навколишнього ресурсного (життєвого) середовища, а QN вiдповiдає опису динамiки концентрацiї загроз, пов’язаних ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ КОНФЛIКТНОЇ ТРIАДИ 57 з негативними явищами, якi впливають як на бiологiчну популяцiю PN , так i на ресурсне середовище RN . При цьому, локально, координати PN i , RN i , QN i описують еволюцiї ком- понент трьох вказаних субстанцiй у фiксованому регiонi Ωi. Зрозумiло, що загальна схема динамiчної системи, що тут дослiджується, є досить складною, i тому не слiд сподiватися на встановлення точних математичних результатiв (теорем) про глобальну поведiнку такої системи. Проте ми одержимо деякi точнi резуль- тати, якi, зокрема, справедливi для окремих двостороннiх ланок конфлiктної трiади з пар- ною взаємодiєю мiж фiксованими субстанцiями (див. п. 2). Для повної складної системи ми побудуємо у п. 3 комп’ютернi моделi. Їх аналiз i дослiдження виявляють ряд цiкавих закономiрностей. Природно виникають два питання. Чи є комп’ютернi моделi коректними? А якщо так, то чи збiгається якiсна картина еволюцiї субстанцiй P,R,Q з iнтуїтивним уявленням про природу конфлiктної трiади, вiдому з практичного досвiду? Першим важливим результатом цiєї роботи є встановлення математичної коректно- стi (фактично змiстовностi) побудованої динамiчної системи конфлiктної трiади. А саме, показано, що при певному пiдборi параметрiв взаємодiї (цей пiдбiр є нетривiальною окре- мою задачею) комп’ютернi моделi складної системи не „розвалюються”, тобто значення координат змiнюються в фiзично допустимих межах. Другий важливий результат роботи полягає у тому, що модельнi реалiзацiї динамiч- ної системи конфлiктної трiади проявляють типовi закономiрностi складних систем. А саме, дослiдження та аналiз величин PN i , RN i , QN i у конкретних моделях демонструють характернi властивостi, притаманнi багатьом явищам природи, в яких дiють бiльше нiж двi субстанцiї. До таких властивостей, зокрема, вiдноситься наявнiсть рiзних фаз iснуван- ня системи: фази динамiчної рiвноваги, фази перiодичних коливань — широкого спект- ра траєкторiй, якi мають тенденцiю наближення до циклiчних атракторiв, наявнiсть зон бiфуркацiйних точок та порогiв мiж рiзними фазами, насамкiнець наявнiсть еволюцiй, близьких до хаотичної поведiнки (квазiхаотична фаза). Зазначимо, що математичною основою моделi конфлiктної трiади є поняття динамiч- ної системи конфлiкту, яке введено у роботах [4 – 9, 12]. Серед iнших глибоких теоретич- них дослiджень, якi вплинули на нашi побудови, вiдзначимо наведенi у роботах [14 – 20]. Найбiльш близькими до нашої моделi конфлiктної трiади є рiзнi варiанти так званої SIR- моделi, що описують динамiку епiдемiчного зараження (докладнiше див., наприклад, [21]). В SIR-моделi конфлiктна трiада фактично зображена в неявному виглядi. А саме, вся по- пуляцiя бiологiчного виду подiляється на три групи: S позначає кiлькiсть особин, схиль- них до зараження, I — iнфiкованi та здатнi переносити iнфекцiю, R — тi, що знаходяться пiд захистом або вже одужали. Трохи ускладнена SIR-модель мiстить ще групу E тих, у кого iнфекцiя знаходиться у прихованiй формi. Еволюцiя зазначених груп у часi визнача- ється вiдносно простими, але нелiнiйними рiвняннями Ṡ = −rSI, İ = rSI − aI, Ṙ = aI, де коефiцiєнти r, a > 0. При цьому припускається, що S(t) + I(t) + R(t) = const i тому Ṡ + İ + Ṙ = 0. Основне питання — дослiдження динамiки поширення iнфекцiї I(t), ко- ли I(t) зростає чи згасає в залежностi вiд заданих коефiцiєнтiв r, a та стартових значень S(0), I(0). Iснує багато публiкацiй (див. посилання в [22]), в яких SIR-модель удосконалю- ється або модифiкується вiдповiдно до конкретної специфiки бiологiчного виду, а також iнфекцiї та умов її поширення в певному середовищi. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 58 В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО У порiвняннi з SIR-моделлю нашi побудови є iстотно досконалiшими в двох аспек- тах. А саме, ми використовуємо регiоналiзацiю простору iснування. Тому комп’ютернi моделi системи здатнi описувати поширення iнфекцiйного зараження бiологiчної попу- ляцiї окремо в кожному з регiонiв iснування виду i встановлювати найбiльш безпечнi регiони. Iншим важливим моментом роботи є використання формул, якi описують не лише кiлькiсну взаємодiю мiж субстанцiями конфлiкту, а i бiльш глибокий iмовiрнiс- ний (статистичний) закон взаємозалежностi i перерозподiлу по регiонах iснування. Та- ким чином, вiдмiннiсть нашого пiдходу вiд згаданої вище SIR-моделi полягає у регiона- лiзацiї простору iснування та використаннi статистичних формул для опису динамiчної картини. Важливо також, що в формулах (19), (20) закладено принцип незнищенностi для кожної iз природних субстанцiй P,R,Q, хоча вони можуть мiгрувати мiж регiонами (пор. з [18, 19]). 2. Динамiка двостороннiх парних взаємодiй. Взаємозалежностi субстанцiй P,R,Q в конфлiктнiй трiадi згiдно з рiвняннями (19), (20) (див. нижче) є нелiнiйними i вiдносно складними. Але двостороннi парнi взаємодiї припускають досить повний математичний аналiз. У цьому пунктi наведено два результати для ситуацiй, якi позначаємо як „плюс – мiнус” та „мiнус – мiнус” моделi. В моделi „плюс – мiнус” аналiзуємо динамiку змiн двох субстанцiй P та R. Плюс озна- чає, що P зазнає позитивного впливу з боку R, а мiнус — негативного впливу на R з боку P. Нехай PN , N = 0, 1, . . . , позначає еволюцiю кiлькостi субстанцiї P (фiксованого бiо- логiчного виду) на територiї Ω в дискретному часi. Оскiльки простiр iснування Ω скла- дається з окремих регiонiв, Ω = ⋃n i=1Ωi, 2 ≤ n < ∞, то в кожен момент часу повна кiлькiсть PN певним чином розподiляється по цих регiонах: PN = PN 1 + . . .+ PN n . Задля спрощення припускаємо, що повна кiлькiсть субстанцiї на всiй територiї Ω є незмiнною, PN = P = const. Це означає, що середня швидкiсть приросту та зменшення субстанцiї P (народження та загибелi бiологiчного виду) є динамiчно врiвноваженими. Таке припу- щення виконується досить часто, принаймнi локально в певнi перiоди розвитку складної фiзичної системи. Отже, в спрощенiй моделi ми дослiджуємо лише динамiку перерозподi- лу PN i по регiонах. В моделi конфлiктної трiади перерозподiл величин PN i обумовлений двома факторами: позитивним впливом з боку субстанцiї R (використанням ресурсного середовища) та негативним впливом з боку Q (вiд загроз, наприклад, iнфекцiї). У випад- ку, коли глобальний вплив останнього фактора є незначним i ним можна знехтувати, дво- стороння парна взаємодiя мiж величинами PN , RN математично дуже спрощується. При цьому залежнiсть R вiд P є чисто негативною (субстанцiя R „спалюється” як життєвий ресурс для P). Але ми припускаємо, що кiлькiсть R в Ω є стабiльною, RN = R = const. Ця умова стабiльностi означає, що R постiйно вiдновлюється за рахунок зовнiшнього дже- рела, яке зараз не розглядається. Природно, в кожен момент часу R за певним законом розподiляється по регiонах: RN = RN 1 + . . .+RN n . Задача полягає в дослiдженнi динамiки змiн (перерозподiлу) величин PN i , RN i по ре- гiонах Ωi внаслiдок „плюс – мiнус” взаємодiї мiж субстанцiями P та R при умовi незмiн- ностi повної кiлькостi P , R в усьому просторi Ω i їх незалежностi вiд третьої субстанцiї. Вiдповiдна динамiчна система конфлiкту {PN i , RN i } > −→ {PN+1 i , RN+1 i }, P 0 i = Pi, R0 i = Ri, (1) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ КОНФЛIКТНОЇ ТРIАДИ 59 є значно простiшою в порiвняннi з поведiнкою повної складної системи. При конкретно- му заданнi перетворення > динамiчна система (1) дозволяє провести досить детальний аналiз. Теорема 1 (див. нижче) дає досить повний опис поведiнки цiєї системи. Введемо найпростiший варiант конкретних формул „плюс – мiнус” взаємодiї мiж суб- станцiями P та R. Цi формули записуємо в термiнах координат стохастичних векторiв з одиничною l1-нормою: pN = (pN1 , . . . , pNi , . . . , pNn ), rN = (rN1 , . . . , rNi , . . . , rNn ), pNi := PN i P , rNi := RN i R , (2) де, нагадаємо, P, R позначають повну кiлькiсть субстанцiй P, R в усьому просторi Ω. А саме, на (N +1)-му кроцi координати pN+1 i та rN+1 i визначаються iтеративно за правилом pN+1 i = pNi (1 + rNi ) zNp,r , rN+1 i = rNi (1− pNi ) zNr,p , N = 0, 1, . . . . (3) Тут нормуючi знаменники zNp,r = 1 + (pN , rN ), zNr,p = 1− (pN , rN ) ((·, ·) — скалярний добуток в R n) гарантують стохастичнiсть векторiв pN+1, rN+1. Зауважимо, що рiзнi знаки в чисельниках формул (3) визначають суть „плюс – мiнус” моделi. Плюс означає, що PN+1 i зростає в залежностi вiд величини RN i , а мiнус — змен- шення RN+1 i при збiльшеннi PN i . Змiстовнiсть моделi забезпечується нормуючими зна- менниками. Теорема 1 („плюс-мiнус” модель). Динамiчна система конфлiкту (1) задана форму- лами (3), має три характернi фази поведiнки. Перша фаза (рiвноважний стан) визначається рiвномiрним стартовим розподiлом: PN i = P/n, RN i = R/n ∀N, i; p = (1/n, . . . , 1/n), r = (1/n, . . . , 1/n). (4) Рiвноважний стан (4), як нерухома точка, не є одноточковим атрактором. Друга фаза (iснування граничного нерухомого стану) характеризується умовою: хо- ча б для одного i pi = 0, ri 6= 0. (5) У цьому випадку система збiгається до граничного нерухомого стану p∞ = lim N→∞ pN , r∞ = lim N→∞ rN , p∞ ⊥ r∞. (6) Третя типова фаза (квазiхаотична поведiнка) визначається умовами p 6= r, pi 6= 0, ri 6= 0 ∀i. (7) У цiй фазi кожна з координат pNi , rNi , i = 1, . . . , n, коливається в межах мiж нулем та одиницею, у загальному випадку без явної закономiрностi. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 60 В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО Доведення. У випадку рiвномiрного стартового розподiлу субстанцiй P, R по регiо- нах: Pi = P/n, Ri = R/n ∀i усi координати стохастичних векторiв p, r однаковi: pi = ri = = 1/n. Тодi легко одержати (p, r) = 1/n = zp,r = zr,p. Тому згiдно з формулами (3) для всiх N маємо pNi = rNi = 1/n. Це доводить нерухомiсть динамiчної системи (1) у станi, який визначається рiвномiрним стартовим розподiлом P, R i фiксується однаковими координатами векторiв p, r. Той факт, що цей рiвноважний стан не є одноточковим атрактором, перевiряється контрприкладами: незначне вiдхилен- ня будь-якої координати pi або ri на ε > 0 вiд значення 1/n приводить з часом до ще бiльших вiдхилень (див. також нижче лему 1). У станi другої фази (з умовою (5)) система збiгається до нерухомої точки на границi, N → ∞. Далi зручно користуватися позначенням θN := ∑ i pNi rNi = (pN , rN ). Цю величину називаємо показником конфлiктностi динамiчної системи в момент ча- су N. Припустимо виконання умови (5), тобто лише одна фiксована координата pi дорiвнює 0, а всi iншi координати ri, pk 6=i, rk 6=i не дорiвнюють 0. Покажемо, що тодi при N → ∞ iснують граничнi вектори p∞, r∞ з координатами: p∞i = 0, r∞i = 1, p∞k ≥ 0, r∞k = 0, k 6= i. Дiйсно, якщо pi = 0, а ri 6= 0, то завдяки тому, що 0 < θ ≡ θ0 < 1, послiдовнiсть rNi = = rN−1 i /(1−θN−1), N = 1, 2, . . . , монотонно зростає. Внаслiдок обмеженостi rNi < 1 iснує границя r∞i = limN→∞ rNi . При цьому, оскiльки rNi = ri ∏N l=1 1/(1 − θl) < 1, iз збiжностi rNi з необхiднiстю випливає, що послiдовнiсть θN монотонно спадає. Отже, θN → 0. Щоб переконатися, що r∞i = 1, проведемо наступнi мiркування. Покажемо, що rNk 6=i → 0 при N → ∞. Припустимо, що це не так. Тобто припустимо, що iснує хоча б одна координата rNk 6=i, яка не збiгається до нуля. Тодi внаслiдок того, що показник конфлiктностi θN прямує до 0, вiдповiдна координата pNk повинна прямувати до 0, щоб забезпечити факт θN → 0. Але це призводить до суперечностi iз припущен- ням, позаяк згiдно з формулами (3) збiжнiсть θN до 0 можлива, лише якщо rNk < θN , бо pN+1 k = pNk (1+rNk )/(1+θN ). Це означає, що з необхiднiстю rNk прямує до 0 разом з показ- ником конфлiктностi. Отже, всi координати rNk 6=i прямують до нуля. Як наслiдок, лише одна фiксована координата r∞i дорiвнює 1. Звiдси також випливає iснування граничних координат p∞k , k 6= i, якi можуть мати довiльнi (ненульовi) значення в сумi, що дорiвню- ють одиницi. Очевидно, що знову внаслiдок рiвностi θ∞ = 0 граничний стан усiєї системи є нерухомим. Якщо iснують декiлька координат pi = 0 з вiдповiдними ri 6= 0, то, повторюючи аналогiчнi проведеним мiркування, легко показати, що всi послiдовностi rNi будуть моно- тонно зростати i досягати фiксованих граничних значень r∞i > 0, якi в сумi дорiвнюють одиницi. Послiдовнiсть показникiв конфлiктностi θN з необхiднiстю буде монотонно спа- дати до нуля i, вiдповiдно, граничний стан системи буде стабiльним. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ КОНФЛIКТНОЇ ТРIАДИ 61 Тепер розглянемо загальну ситуацiю, характерну для третьої фази. Вважаємо, що всi стартовi координати вiдмiннi вiд нуля i рiзнi. Тодi 0 < θ < 1 i, отже, початковi вектори p, r не є ортогональними. Зокрема, ми виключаємо можливiсть pi = ri = 1 для якогось i. Покажемо, що в цьому випадку всi координати осцилюють в межах нуль — одиниця (взагалi без явної закономiрностi). Як i вище, справедливiсть наступних мiркувань повнiстю випливає з формул (3). Роз- глянемо довiльну пару координат 0 6= pi 6= ri 6= 0. Припустимо, що в початковий момент виконуються нерiвностi ri < pi < θ. (8) Далi буде показано, що всi iншi можливi нерiвностi мiж ri, pi, θ будуть послiдовно з’яв- лятися у певний момент часу. Задля скорочення позначень ми iгноруємо (не пишемо) в наступних нерiвностях часовий iндекс N . Ми також використовуємо наступний факт якiсної поведiнки величин θN , pNi , rNi . А саме, згiдно з визначенням коефiцiєнта конф- лiктностi θN = ∑ i pNi rNi вiн змiнюється повiльнiше, нiж будь-яка окрема координата pNi , rNi . Це випливає з того, що скiнченна сума добуткiв диференцiалiв ∆pi ∆ri має другий порядок малостi в порiвняннi з будь-яким окремим диференцiалом ∆pi, ∆ri. Неважко переконатися, що з (8) з урахуванням (3) випливає спадання координати pi та зростання ri. Це неминуче приводить до змiни (8) на нерiвностi pi < ri < θ. (9) Використовуючи знову формули (3), безпосередньо перевiряємо, що координата pi бу- де продовжувати спадати, а ri — зростати. Це триватиме до тих пiр, доки замiсть (9) з’являться нерiвностi pi < θ < ri. (10) Вони знову згiдно з формулами (3) приведуть до того, що координата pi почне зроста- ти, хоча ri продовжує зростати. Це, очевидно, триватиме доти, доки нерiвностi (10) не змiняться на θ < pi < ri. (11) Зауважимо, що з останньої нерiвностi не випливає прямування до нуля коефiцiєнта конфлiктностi (вектори p, r не можуть стати ортогональними). Це є наслiдком того, що з (11), а також з наступних нерiвностей (12) з необхiднiстю випливає зростання хоча б однiєї з координат. Згiдно з нерiвностями (10) координата pi зростала. При переходi до (11) ця координата очевидно продовжує зростати, а ri почне спадати. Це неминуче приводить до нерiвностей θ < ri < pi, (12) з яких, у свою чергу, випливає, що pi продовжує зростати, а ri — спадати. Таким чином отримуємо нерiвностi ri < θ < pi. (13) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 62 В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО Останнi нерiвностi викликають початок спадання pi, а ri будуть продовжувати спада- ти. Але цi змiни тривають лише до моменту змiни (13) на нерiвностi (8). Таким чином вiдбувся повний цикл коливання, протягом якого послiдовно реалiзува- лися всi можливi варiанти нерiвностей мiж величинами θ, ri, pi. Варто зазначити, що послiдовнiсть взаємопереходiв мiж нерiвностями (8) – (13) є впо- рядкованою. В ходi змiн нерiвностей (8) – (13) iнколи могли виникнути i рiвностi, але згiд- но з формулами (3) цi рiвностi з необхiднiстю переходили в нерiвностi. Ми встановили наступний важливий факт. Вiн полягає у тому, що жодна з коорди- нат ri, pi (як i показник конфлiктностi) не може прямувати до нуля постiйно. Зокрема, як тiльки буде виконуватися нерiвнiсть (8), координата ri почне зростати. Взагалi, якщо якась з координат ri, pi стає найменшою, вона неминуче починає зростати згiдно з фор- мулами (3). Зауважимо, що для кожної пари координат ri, pi, i = 1, . . . , n, кожна з нерiвностей (8) – (13) виконується в рiзнi моменти часу i їхнi взаємопереходи не є синхронними. Тому iснування закономiрних циклiчних коливань для повної системи або прямування до та- кої поведiнки є проблематичним. Ця фаза швидше подiбна до квазiхаотичної, як ми її i називаємо. Ще якоїсь характерної фази поведiнки системи не iснує. Наприклад, у випадку, коли одна або кiлька стартових координат ri дорiвнюють 0, а всi iншi координати ненульовi, зокрема pi 6= 0, легко бачити, що pNi → 0, а решта ненульових координат коливається згiдно з ситуацiєю, яка охоплюється третьою типовою фазою поведiнки. Таким чином, початкова система переходить у систему з меншою кiлькiстю координат, але нова фаза поведiнки не виникає. Наступна лема показує, що рiвноважний стан (4) не є одноточковим атрактором. Це завершує доведення теореми. Лема 1. Вiдхилення динамiчної системи (1) вiд рiвноважного стану (1) pi = 1/n → pi,ε = 1/n+ εi, ri = 1/n → ri,δ = 1/n+ δi, ∑ i εi = 0, ∑ i δi = 0 автоматично приводить до ще бiльших вiдхилень принаймнi деяких координат: εi → ε′i > εi, δi → δ′i > δi. Доведення не є тривiальним i ґрунтується на аналiзi змiн значень координат pNi = rNi в залежностi вiд заданого вiдхилення вiд рiвноважного стану. Використання конфлiктної композицiї (формули (3)) показує, що лiнiйна частина (по εi, δi) вiдхилення довiльної ко- ординати змiнюється згiдно з формулами εi → ε′i = εi + 1/(n+ 1)δi, δi → δ′i = δi − 1/(n− 1)εi. Цi формули визначаються матрицею t з елементами t11 = t22 = 1, t12 = 1/(n − 1), t21 = −1/(n−1), яка не залежить вiд заданого вiдхилення i є строго додатно визначеною. Тому iтерацiя формул (3) приводить до вiдхилень, якi не прямують до нуля при N → ∞, в чому легко переконатися безпосередньо. Лему 1 доведено. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ КОНФЛIКТНОЇ ТРIАДИ 63 Проведенi вище мiркування доводять, що в загальному випадку для цiєї системи iсну- ють нескiнченнi коливання всiх її координат. Чи можуть цi коливання бути циклiчними? Тобто чи iснують точнi цикли iз скiнченною кiлькiстю крокiв? Теоретично це можливо при певних спiввiдношеннях мiж значеннями координат, але поки що iснування точних циклiв у моделi „плюс – мiнус” є вiдкритим питанням. Комп’ютерне моделювання також пiдтверджує, що рiвноважна точка не є притягаль- ною (атрактором). Аналогiчнi характернi властивостi поведiнки має динамiчна система з двосторонньою конфлiктною взаємодiєю мiж бiологiчним видом та iнфекцiйним (вiрусним) середови- щем, „мiнус – плюс” модель. Якщо ввести вектор початкового статистичного розподiлу iнфекцiї по регiонах Ωi q = (q1, . . . , qi, . . . , qn), qi := Qi Q , де Q = Q1 + . . . + Qn, то еволюцiя змiн координат pNi , qNi (при умовi Q = const та вiд- сутностi впливу з боку ресурсної субстанцiї R) визначається iтеративно наступними фор- мулами, аналогiчними до (3): pN+1 i = pNi (1− qNi ) zNp,q , qN+1 i = qNi (1 + pNi ) zNq,p , (14) де нормуючi знаменники zNp,q = 1 − (pN ,qN ), zNq,p = 1 + (qN ,pN ) визначаються так, щоб забезпечити стохастичнiсть векторiв pN , qN . Тепер рiзнi знаки в чисельниках формул (14) мають наступну iнтерпретацiю: мiнус — зменшення популяцiї в певному регiонi вна- слiдок iнфекцiйного зараження, плюс — збiльшення концентрацiї iнфекцiї в регiонах iз бiльшими локальними популяцiями бiологiчного виду. Формально популяцiя в усiх регiо- нах нiбито зменшується, а концентрацiя вiрусу зростає, хоча швидкiсть такого зростання зменшується внаслiдок зменшення популяцiї. Але насправдi це не вiдбувається, бо нор- муючий знаменник zNq,p математично вiдповiдає ефекту природної дисипацiї для бактерiй, а знаменник zNp,q у першiй формулi, навпаки, виконує роль неперервного приросту бiоло- гiчної популяцiї, точнiше її незнищенностi. Явнi формули кiлькiсних змiн цих субстанцiй по регiонах визначаються формулами (19), але вже в умовах потрiйної конфлiктної взає- модiї. Проведений вище аналiз парної двосторонньої „плюс – мiнус” взаємодiї показує, що i зараз в „мiнус – плюс” моделi в загальному випадку (коли всi стартовi координати рiзнi i вiдмiннi вiд нуля) поведiнка системи буде мати коливний характер без явної законо- мiрностi. Зокрема, координата pNi буде зростати, якщо концентрацiя iнфекцiї qNi менша за показник конфлiктностi системи θN = (pN ,qN ). Але нерiвнiсть qNi < θN не може виконуватись одночасно в усiх регiонах. Тому будуть iснувати iншi координати pNk 6=i, якi неминуче будуть спадати. З часом цi тенденцiї змiнюються, причому не синхронно по рiз- них регiонах. Для якiсного передбачення в конкретних ситуацiях треба ввести додатковi параметри i дослiджувати модель у практичному режимi. В загальнiй ситуацiї спостерi- гаємо описане в теоремi 1 квазiхаотичне коливання усiх величин θN , pNi , qNi , i = 1, . . . , n, при N → ∞. Розглянемо тепер „мiнус – мiнус” модель. Її можна iнтерпретувати як ситуацiю, що вiдповiдає двостороннiй конфлiктнiй взаємодiї мiж парою „iнфекцiя – антидот”. Це чисто ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 64 В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО альтернативна боротьба типу „або – або”, яка описує тенденцiю витiснення супротивни- ками один одного в кожному регiонi. Математичнi формули конфлiктної взаємодiї для стохастичних векторiв r, q у цьому випадку мають вигляд qN+1 i = qNi (1− rNi ) zN , rN+1 i = rNi (1− qNi ) zN , (15) де нормуючий знаменник zN = 1 − θN , θN = (qN , rN ). Знак мiнус у чисельниках обох формул означає альтернативнiсть (повну непримиреннiсть) субстанцiй. Але нормування на одиницю векторiв qN+, rN+1 на кожному кроцi конфлiктної взаємодiї означає незни- щеннiсть цих опонентiв. Iнтуїтивно можна здогадатись, що альтернативнi субстанцiї, вiд- штовхуючись, просто розподiляться по рiзних регiонах. Це дiйсно так. Точний характер поведiнки описано в наступнiй теоремi. Теорема 2 („мiнус – мiнус” модель). Припустимо, що для заданої пари стохастич- них векторiв q, r ∈ R n +, n > 1, у початковий момент часу показник конфлiктностi θ = (q, r) задовольняє умову 0 < θ < 1. Тодi визначена формулами (15) траєкторiя динамiчної системи конфлiкту {qN , rN} > −→ {qN+1, rN+1}, q0 = q, r0 = r, N = 0, 1, . . . , з необхiднiстю збiгається до нерухомої граничної точки q∞ = lim N→∞ qN , r∞ = lim N→∞ rN . Граничнi вектори q∞, r∞ є iнварiантними вiдносно дiї конфлiктної композицiї q∞ = q∞ >r∞, r∞ = r∞>q∞. (16) При цьому граничнi вектори ортогональнi, q∞ ⊥ r∞, (17) якщо q 6= r, та тотожнi, q∞ = r∞, якщо початковi вектори рiвнi, q = r. В останньо- му випадку (рiвноважний стан) координати граничних векторiв рiвномiрно розподiле- нi: q∞i = r∞i = 1/m для усiх i таких, що qi = ri 6= 0, де m ≤ n позначає число ненульових координат початкових векторiв. Повне доведення цiєї теореми можна знайти в роботах [4, 5]. Зауважимо, що в роботi [8] формули (15) використовуються як деякi варiанти вектор- них рiзницевих аналогiв вiдомих рiвнянь Лотки – Вольтерра з неперервним часом. У цiй роботi ми використовуємо дискретний час, оскiльки вважаємо фiзичну неперервнiсть не- iснуючою, а математичну неперервнiсть — лише зручним iнструментом теорiї. Але варто навести аналоги формул (3), (14) та (15) з неперервним часом. Наведемо двi формули, якi є неперервними аналогами основних формул: ṗ(x, t) = p(θ + r) mp,r + θ , ṙ(x, t) = r(θ − p) mp,r − θ , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ КОНФЛIКТНОЇ ТРIАДИ 65 де p = p(x, t), r = r(x, t) позначають щiльностi розподiлiв вiдповiдних субстанцiй у точцi x ∈ Ω в момент неперервного часу t, mp,r = P R, θ(t) := ∫ Ω p(x, t) r(x, t) dx. 3. Конфлiктна трiада. Динамiчну систему конфлiктної трiади, що описує еволюцiю одночасно взаємодiючих субстанцiй P,R,Q, символiчно записуємо у виглядi {PN ,RN ,QN} > −→ {PN+1,RN+1,QN+1}, N = 0, 1, . . . , (18) де > — композицiя конфлiкту, що визначена нижче формулами (19), (20). Ми припуска- ємо, що субстанцiї P,R,Q мають спiльний простiр iснування Ω, який природним чином розкладено на окремi регiони, Ω = ⋃n i=1Ωi, n ≥ 2. Конфлiктна трiада є складною систе- мою в тому сенсi, що кожна з трьох субстанцiй має внутрiшню структуру: P = (P1, . . . , Pn), R = (R1, . . . , Rn), Q = (Q1, . . . , Qn), елементи якої Pi, Ri, Qi, i = 1, . . . , n, визначають кiлькiсну характеристику початкового, при N = 0, розподiлу субстанцiй по регiонах простору iснування. Субстанцiї конфлiктної трiади мають рiзну фiзичну природу. Тому конкретнi формули взаємодiї кожної субстанцiї iз доповнюючою парою, тобто P з парою {R,Q},R з {P,Q} та Q з {P,R}, є вiдмiнними одна вiд одної. Увесь механiзм взаємодiї, який мiститься в композицiї конфлiкту >, розкладено на двi частини: формули (19) — алгоритм кiлькiс- них змiн величин Pi, Ri, Qi по регiонах Ωi та (20) — статистичний закон перерозподiлу ймовiрностей „окупацiї” субстанцiями P,R,Q кожного з регiонiв. Еволюцiю кiлькiсних регiональних змiн визначаємо рiвняннями PN+1 i = PN i + d1(R N i −QN i ) ZN P , RN+1 i = RN i + d−1 3 QN i /PN i ZN R , (19) QN+1 i = QN i + d2(R N i −QN i ) ZN Q , P 0 i = Pi, R0 i = Ri, Q0 i = Qi, N = 0, 1, . . . , де параметри d1, d2, d3 > 0 характеризують залежну вiд конкретної моделi швидкiсть змiн субстанцiй P,R,Q внаслiдок природних взаємозалежностей мiж ними. Нормуючi знаменники ZN P , ZN Q , ZN R стабiлiзують глобальну кiлькiсть вiдповiдної субстанцiї в усьому просторi Ω, вони можуть додатково залежати вiд часу внаслiдок зовнiшнiх обставин. Тут задля спрощення вважаємо, що глобальна сумарна кiлькiсна характеристика кожної iз субстанцiй є незмiнною, i покладаємо ZN P = P = n∑ i Pi, ZN Q = Q = n∑ i Qi, ZN R = R = n∑ i Ri, N = 0, 1, . . . . Формули (19) ми iнтерпретуємо таким чином. На кожному кроцi конфлiктної бороть- би зростання кiлькостi бiологiчного виду в i-му регiонi PN+1 i безпосередньо залежить вiд ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 66 В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО його кiлькостi PN i у попереднiй момент N i пропорцiйне, з деяким коефiцiєнтом, рiзни- цi мiж величиною (позитивного) життєвого ресурсу RN i та дiєю (негативного) фактора загрозам знищення QN i . Може статися, що ця рiзниця має в деякий момент часу N вiд’- ємне значення. Тодi PN i буде досить швидко зменшуватися. Але для того, щоб система не „розвалилася”, тобто щоб жодна з координат PN i , QN i , RN i не набула вiд’ємного значення, такий перiод розвитку повинен бути недовгим. Аналогiчно iнтерпретуємо залежнiсть QN i вiд цiєї ж рiзницi, але з iншим коефiцiєнтом пропорцiйностi. У свою чергу кiлькiсна змiна життєвого ресурсу RN i є дуже чутливою до вiдносної щiльностi загрози iснуванню бiоло- гiчної популяцiї QN i /PN i (значення величини 1/d3 в розглянутих далi прикладах є досить великим). Зазначимо, що згiдно з чисельниками формул (19) усi координати формально зростають. Але насправдi згiдно з нормуючими знаменниками цi формули мiстять сти- скаючу „дисипацiю” кiлькостi кожної iз конфлiктуючих субстанцiй. Це автоматично за- безпечує зменшення усiх величин Pi, Ri, Qi на кожному кроцi конфлiктної боротьби. Зви- чайно, конкретний характер описаних залежностей (зокрема, ролi параметрiв взаємодiї) та їх фiзична iнтерпретацiя визначаються вiдповiдно до реальної моделi дослiдження. Друга частина механiзму конфлiктної взаємодiї > має мiжрегiональний чисто ймо- вiрнiсний (статистичний) характер. Для її математичного задання необхiдно перейти до нормованих на одиницю векторiв p = (p1, . . . , pn), r = (r1, . . . , rn), q = (q1, . . . , qn), де координати pi := Pi/P, ri = Ri/R, qi := Qi/Q, i = 1, . . . , n, мають сенс iмовiрностей знайти вiдповiдну субстанцiю P,R чи Q в i-му регiонi (або ймо- вiрнiсть „окупацiї” регiону Ωi вiдповiдною субстанцiєю). Закон перерозподiлу цих iмовiр- ностей визначається наступними формулами, якi є статистичними аналогами рiзницевих варiантiв рiвнянь Лотки – Вольтерра [16, 17] (пор. з [5]): pN+1 i = pNi (1 + a(rNi − qNi )) zNp , rN+1 i = rNi (1− cpNi − bqNi ) zNr , (20) qN+1 i = qNi (1 + c−1pNi − brNi ) zNq , p0i = pi, r0i = ri, q0i = qi, N = 0, 1, . . . , де параметри a, b, c > 0 характеризують iнтенсивнiсть конфлiктної взаємодiї. Перша з цих формул показує, що статистично популяцiя субстанцiї P максимально перерозподiляється в той регiон, де є найбiльша ймовiрнiсть знайти життєвий ресурс та мiнiмальна загроза iснуванню. Згiдно з другою формулою ймовiрнiсть знайти життєвий ресурс R зменшується в тих регiонах, де зростає популяцiя P (бо вона використовує жит- тєвий ресурс), а також там, де велика концентрацiя iнфекцiї Q (нагадаємо, що субстанцiї ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ КОНФЛIКТНОЇ ТРIАДИ 67 Q та R є взаємно альтернативними, субстанцiю Q можна трактувати як вiд’ємний проти- лежний до R ресурс). Нарештi, згiдно з третьою формулою в (20) iмовiрнiсть небезпеки (iнфекцiї) для iснування популяцiї в i-му регiонi збiльшується разом iз зростанням са- мої популяцiї та зменшується в залежностi вiд наявностi позитивного життєвого ресурсу. Знаменники в формулах (20) забезпечують стохастичнiсть векторiв pN = (pN1 , . . . , pNn ), rN = (rN1 , . . . , rNn ), qN = (qN1 , . . . , qNn ), N = 1, 2, . . . . Для завершення визначення композицiї конфлiкту > необхiдно ренормувати векто- ри pN+1, rN+1, qN+1, координати яких задано формулами (20). Це означає перехiд до остаточних кiлькiсних значень субстанцiй P, Q та R на кожному (N + 1)-му кроцi в i-му регiонi: PN+1 i = pN+1 i P, QN+1 i = qN+1 i Q, RN+1 i = rN+1 i R. (21) Таким чином, композицiя конфлiкту >, яка породжує динамiчну систему конфлiктної трiади (18), повнiстю визначається формулами (19) – (21). У цiй роботi зроблено лише перший крок та найпростiше комп’ютерне моделюван- ня динамiчної системи конфлiктної трiади, що виявило ряд цiкавих властивостей та за- кономiрностей трiади, притаманних складним системам. Зокрема, встановлено iснування нерухомої точки, яка є атрактором, iснування стабiльних граничних станiв, наявнiсть цик- лiчних атракторiв, критичних бiфуркацiйних точок, коливної (мiграцiйної) поведiнки, з одного боку, близької до перiодичної, а з iншого — майже хаотичної (квазiхаотичної). Без сумнiву, подальше дослiдження приведе до встановлення значно глибших результатiв, а також до корисних застосувань. 3.1. Комп’ютернi моделi. Стан динамiчної рiвноваги. З формул (19) – (21) видно, що динамiчна система конфлiктної трiади є досить складною. Тому питання про iснування стану трiади, в якому всi три субстанцiї врiвноваженi, не має очевидної вiдповiдi. У фiзич- нiй реальностi для складних систем такi стани, як правило, iснують. Мова йде про дина- мiчну рiвновагу у складних процесах з кiлькома суперечливими тенденцiями, коли рiзнi альтернативнi субстанцiї спiвiснують у досить фiксованих (вiдмiнних вiд нуля) кiлькостях. Зазначимо, що наявнiсть таких станiв не випливає безпосередньо з теорем 1 та 2, де такi стани iснують. Але можна припускати можливiсть гальмування коливань, притаманних моделям з двосторонньою „плюс – мiнус” взаємодiєю, завдяки стабiлiзацiї внаслiдок iсну- вання граничних компромiсних розподiлiв, встановлених у теоремi 2 для „мiнус – мiнус” моделей. Теорема 3. Для динамiчної системи конфлiктної трiади (18), визначеної формулами (19) – (21), iснує стан динамiчної рiвноваги. Такий стан визначається нерухомою точ- кою з координатами P eq i , Req i , Qeq i , i = 1, . . . , n, якi дорiвнюють середньоарифметичним значенням початкових розподiлiв субстанцiй P,R,Q по регiонах Ωi. Доведення. Оскiльки за припущенням P = const, R = const, Q = const, то коор- динати кожного вектора не можуть збiльшитись або зменшитись усi одночасно. Отже, якщо припустити, що хоча б одна з координат змiнюється, наприклад збiльшується, то з необхiднiстю повинна iснувати ще хоча б одна координата, яка буде зменшуватись. Але це неможливо, тому що згiдно з формулами (19) – (21) усi координати рiвноправнi. Це випливає з симетричностi цих формул вiдносно перестановок iндексiв координат. Тому ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 68 В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО стан, при якому P eq i = 1/n n∑ k=1 Pk, Req i = 1/n n∑ k=1 Rk, Qeq i = 1/n n∑ k=1 Qk, i = 1, . . . , n, (22) є нерухомим. Теорему доведено. Теорема 3 має комп’ютерне пiдтвердження. Якщо для довiльної конкретної моделi стартовi координати Pi, Ri, Qi кожного вектора P, R, Q покласти рiвними середньоариф- метичним значенням P eq i , Req i , Qeq i , то вони не змiнюються (є сталими) при довiльному N ≥ 1. Тобто такий стан системи буде нерухомим. Це означає, що система (18) перебуває у станi динамiчної рiвноваги. 3.2. Стан динамiчної рiвноваги є одноточковим атрактором. Наступний результат ми формулюємо у виглядi теореми, хоча поки що не маємо формально математичного до- ведення. Теорема 4. Рiвноважний стан динамiчної системи конфлiктної трiади (18), який ви- значається середньоарифметичними значеннями координат P eq i , Req i , Qeq i , i = 1, . . . , n (див. (22)), є одноточковим атрактором. Цей результат ми iлюструємо комп’ютерною моделлю. Приклад 1. Зафiксуємо конкретне число регiонiв (= числу координат), покладемо n = = 4. Виберемо наступнi значення параметрiв у формулах (19), (20): d1 = d3 = 0, 09, d2 = 0, 01, a = 0, 1, b = 0, 6, c = 0, 1. Зауважимо, що цi значення пiдiбрано „вручну”. При їх довiльнiй замiнi модель може „роз- валитися” (тобто можуть з’явитися координати з нескiнченними або вiд’ємними значен- нями). Нехай популяцiя бiологiчного виду в початковий момент часу має наступний кiлькiс- ний розподiл по регiонах: P1 = 9000, P2 = 5000, P3 = 2000, P4 = 12000. Розподiли для життєвого ресурсу та iнфекцiї зафiксуємо на порядки нижчими: R1 = 30, R2 = 80, R3 = 50, R4 = 10, Q1 = 5, Q2 = 1, Q3 = 2, Q4 = 4. Аналiз цiєї комп’ютерної моделi пiдтверджує теорему 4. Ми дослiджуємо поведiнку кожної з координат до кроку N = 2000. Ця поведiнка має наступний характер. При N → 2000 кожна з координат для всiх трьох векторiв збiгається до фiксованих зна- чень. У фазових просторах одержуємо спiралi, якi скручуються до точки, що вiдповi- дає рiвноважному стану i має координати P eq i , Req i , Qeq i , i = 1, . . . , n, якi дорiвнюють середньоарифметичним значенням початкових координат. При цьому у фазових просторах (PN i , RN i ) та (PN i , QN i ) одержуємо спiралi, якi скручу- ються у протилежних напрямках до нерухомих стабiльних точок (7000; 42, 5) та (7000; 3) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ КОНФЛIКТНОЇ ТРIАДИ 69 Рис. 1. Стабiльна точка у фазовому просторi (PN 1 , QN 1 ). вiдповiдно (рис. 1). Зазначимо, що конкретнi значення координат PN i , RN i та QN i до- сить довго коливаються. Вони одночасно збiгаються до фiксованих величин P∞ i = 7000, R∞ i = 42, 5 та QN i = 3 (якi є точними середнiми значеннями розподiлiв вiдповiдних суб- станцiй по регiонах) на 2000-му кроцi. Численнi приклади, зокрема варiацiї значень початкових координат, а також рiзнi мо- дифiкацiї цiєї моделi, демонструють достатню стiйкiсть рiвноважного стану. Отже, без сумнiву, стан конфлiктної трiади, який визначений середньоарифметичними значеннями координат, є притягальним для всiх близьких до цього стану траєкторiй системи. Тоб- то вiдповiдна точка є локальним атрактором. Зазначимо, що навiть досить великi змiни координат вектора бiологiчної популяцiї, наприклад замiна P1 = 9000 на P1 = 900, не знищують ефекту притягання до точки рiвноважного стану. Усе це пiдтверджує, що рiв- новажний стан є локально стiйким точковим атрактором. 3.3. Циклiчнi атрактори. Рiвноважний стан з попереднього прикладу (локально ста- бiльна нерухома точка) не є глобальним атрактором. Зокрема, цей стан втрачає свою стiйкiсть при достатньо великiй замiнi значення навiть однiєї з координат вектора, що вiдповiдає iнфекцiї. Звичайно, невеликi варiацiї будь-яких координат не виводять систе- му з фази притягання до рiвноважного стану. Але, наприклад, змiна Q2 = 1 на Q2 = 4 переводить усю систему в iншу фазу поведiнки — у фазу тяжiння до циклiчного атракто- ра. При такiй змiнi усi початковi координати притягуються не до фiксованої нерухомої точки (рiвноважного стану), а до певного циклiчного атрактора. Докладнiше це спосте- реження аналiзується в наступному прикладi. Приклад 2. Втрата стiйкостi рiвноважного стану (стабiльної нерухомої точки) може вiдбутися при змiнi початкових координат, i навiть лише однiєї. Зокрема, навiть змiна початкового значення однiєї з субстанцiй, наприклад замiна R2 = 80 на R2 = 40, приводить до появи циклiчних атракторiв у фазових просторах (PN i , RN i ) та (PN i , QN i ) (рис. 2). При цьому вони досягаються досить швидко, вже на 400- му кроцi. Зазначимо, що циклiчнi коливання координат PN i , RN i та QN i вiдбуваються нав- коло iншої точки, яка зсунута вiдносно атрактора, визначеного середньоарифметичними значеннями початкових координат (див. попереднiй приклад). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 70 В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО Рис. 2. Циклiчний атрактор у фазовому просторi (PN 1 , QN 1 ). Рис. 3. Квадратний атрактор у фазовому просторi (PN 2 , QN 2 ). Як пояснити цей зсув? Виникають i iншi питання. Наприклад, чому лише зменшення повної маси ресурсної субстанцiї з 170 до 130 також приводить до переходу в iншу фазу? Система вже не притягується до стабiльної точки. Еволюцiя конфлiктної трiади стає яв- но циклiчною. Усi траєкторiї швидко притягуються до циклiчного атрактора, який має у фазовому просторi яйцеподiбну форму, а траєкторiї окремих координат коливаються навколо фiксованої точки, яка зсунута вiдносно початкових середнiх значень. Цi питання є вiдкритими, хоча в роботi [8] ми пропонуємо деяку iнтерпретацiю цим явищам. З аналiзу iнших прикладiв видно, що досить велика змiна однiєї з координат вектора P також приводить до циклiчних коливань вiдносно зсунутих у бiк збiльшення початкових середнiх значень координат усiх трьох векторiв. Приклад 3. Змiна координат Qi на порядок у бiк збiльшення приводить до появи май- же квадратичного атрактора з рiзкою змiною значень усiх величин у певнi моменти часу (див. рис. 3). При цьому Qi коливається вiд нуля до максимального абсолютного значен- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ КОНФЛIКТНОЇ ТРIАДИ 71 Рис. 4. Коливання вiрусу QN 2 , що вiдповiдають моделi на рис. 3. Рис. 5. Коливання ресурсу при Q1 2 = 100. ня 120 (рис. 4). Але замiна Q2 = 10 на Q2 = 100 приводить до збiльшення амплiтуди цих коливань аж до 200, хоча координати ресурсного вектора RN i мають перiодичнi коливан- ня без досягнення абсолютного максимуму. Цi спостереження пiдтверджують цiкавий практичний ефект. Субстанцiя, яка вiдпо- вiдає негативим загрозам (iнфекцiям), має великий вплив на поведiнку бiологiчної попу- ляцiї. Так, вiдносно невелике збiльшення початкових значень координат Qi iстотно збiль- шує негативний ефект на iншi субстанцiї, причому зростання загроз iснуванню „тисне” не лише на бiологiчну популяцiю, а i на ресурсне середовище, зокрема унеможливлює досягнення ними своїх максимальних значень (рис. 5). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 72 В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО Рис. 6. Складний атрактор у фазовому просторi (PN 4 , QN 4 ), тут d1 = 0, 001, d2 = 0, 000001, d3 = 0, 0012, a = 0, 1, b = 0, 6, c = 0, 1, P1 = 9000, P2 = 5000, P3 = 2000, P4 = 5, Q1 = 50, Q2 = 2, Q3 = 1, Q4 = 40, R1 = 30, R2 = 40, R3 = 50, R4 = 10. 3.4. Перiодичнi коливання циклiчних атракторiв. Це явище виникає при деякому збiль- шеннi параметрiв взаємодiї d1, d2, d3. При цьому на рис. 5 є декiлька циклiв, що наклада- ються один на одний. Згаданi цикли мають рiзнi за довжиною перiоди. Траєкторiї коор- динат притягуються у певнiй послiдовностi до одного з циклiчних атракторiв, але лише на певний час. Ми називаємо це явище коливанням атракторiв. Зазначимо, що саме та- ка поведiнка складної динамiчної системи часто зустрiчається в практичних ситуацiях, наприклад в картинах динамiки рiзних епiдемiй. Атрактори можуть набувати не лише яйцеподiбної форми, а i значно бiльш складних геометричних форм (рис. 6). Зокрема, атрактор, подiбний до циклу Карно, що описує поведiнку пари „вiрус – ресурс” (рис. 7), має аналогiю з роботою агрегату, який споживає певний ресурс, але при цьому зазнає опiр певного „негативу”. 3.5. Квазiхаотична поведiнка. На моделi, зображенiй на рис. 6, спостерiгаємо розба- лансованiсть динамiк бiологiчної популяцiї та iнфекцiї в четвертому регiонi, що призво- дить до квазiхаотичної поведiнки системи. Це також свiдчить про наявнiсть точок бiфуркацiї в певних зонах поведiнки динамiч- ної системи. Якщо початковi значення координат системи проходять цю точку, пове- дiнка системи радикально змiнюється. Зокрема, стабiлiзацiя (рiвноважний стан) вже не може бути досягнута. Тут можна провести аналогiю з хронiчним захворюванням, яке за- лiковується, але не вилiковується. Воно перiодично посилюється в органiзмi, який про- йшов порiг i знаходиться в зонi бiфуркацiй. Повернутись в стан притягання до стабiльної точки рiвноваги без зовнiшнього впливу неможливо (рис. 8). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 74 В. Д. КОШМАНЕНКО, I. В. САМОЙЛЕНКО шi мiкроби iснують в здоровому органiзмi, але не перевищують допустимої концентрацiї i не викликають явних вiдхилень (звичайна динамiчна рiвновага). Лише досить значний зовнiшнiй вплив здатен порушити такий стан рiвноваги i привести до створення прiори- тету якогось типу бактерiй, що призводить до симптомiв певної хвороби. Iнша типова фаза — циклiчний атрактор — спостерiгається, наприклад, коли сезоннi (циклiчнi) епi- демiї грипу обумовленi вичерпуванням повноцiнних джерел життєвих ресурсiв та збiль- шеною концентрацiєю (перенаселенням) бiологiчного виду в окремих регiонах. Ця фаза характерна для багатьох коливальних процесiв природи. Звичайно, цi фази, як певнi ста- ни динамiчних систем конфлiкту, виникають в наших моделях лише при певних значеннях параметрiв взаємодiї. В переважнiй бiльшостi ситуацiй спостерiгається складнiша, часом практично хаотична поведiнка системи. Усе це означає, що розвинений тут пiдхiд i побу- довану теорiю можна застосувати як iнструмент дослiдження конкретних конфлiктних задач з трьома конфлiктуючими опонентами. Зокрема, в конкретних реалiзацiях наша модель дозволяє визначати ймовiрнiсть зара- ження фiксованого бiологiчного виду iнфекцiєю в кожному окремому регiонi iснування. Нагадаємо, що iстотним конструктивним моментом наших побудов є природний подiл усiєї територiї iснування Ω на регiони Ωi, i = 1, . . . , n, в кожному з яких вiдбувається ло- кальний процес конфлiктної взаємодiї мiж iнфекцiєю та засобами боротьби з нею на тлi бiологiчного носiя. При цьому повна картина динамiчних змiн враховує мiграцiйнi про- цеси мiж регiонами як для бiологiчного виду, так i для iнфекцiї. По сутi модель дає ста- тистичну картину поширення зараження в дискретному часi в залежностi вiд активнос- тi протидiї в кожному регiонi. Використовуючи таку модель, можна передбачати ризик зараження, перiоди вiдносної безпеки та пiки рiзкого зростання щiльностi iнфекцiйного зараження (епiдемiї), а також знаходити регiони вiдносної стабiльностi та найбiльшого зростання захворювання. Зазначимо, що можна стежити за величинами RN i /PN i , QN i /PN i , якi мають сенс щiль- ностей розподiлу позитивного життєвого ресурсу та загроз для iснування бiологiчного виду (наприклад, вiрусiв або iнфекцiй) в i-му регiонi. Цi величини мають важливе зна- чення при прийняттi рiшень для безпечного iснування в фiксованому регiонi. При цьому похибка невизначеностi таких рiшень залежить вiд дiапазону змiн параметрiв d1, d2, d3, a, b, c, якi контролюються зовнiшнiми до системи факторами. Ми сподiваємося, що запропоновану динамiчну модель конфлiктної взаємодiї трьох природних стихiй можна використати як зручний iнструмент для практичних передба- чень. Серед важливих динамiчних параметрiв вiдзначимо такi: швидкiсть розмноження носiя iнфекцiї, щiльнiсть та локальну концентрацiю в початковий момент часу, коефiцi- єнт мiграцiї мiж регiонами. 1. Jones A. J. Game theory: mathematical models of conflict // Math. and its App. — New York etc., 1980. 2. Owen G. Game theory. — Third edition. — San Diego, CA: Acad. Press, Inc., 1995. 3. Sigmund K. The population dynamics of conflict and cooperation // Doc. Math. J. DMV. — 1998. — 1. — P. 487 – 506. 4. Koshmanenko V. On the conflict theorem for a pair of stochastic vectors // Ukr. Math. J. — 2003. — 55, № 4. — P. 555 – 560. 5. Koshmanenko V. The theorem of conflict for probability measures // Math. Methods Operat. Research. — 2004. — 59, № 2. — P. 303 – 313. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 МОДЕЛЬ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ КОНФЛIКТНОЇ ТРIАДИ 75 6. Koshmanenko V. D., Kharchenko N. V. Invariant points of dynamical conflict system in the space of piecewise uniformly distributed measures // Ukr. Math. J. — 2004. — 56, № 7. — P. 927 – 938. 7. Bodnarchyk M. V., Koshmanenko V. D., Kharchenko N. V. Properties of limit states of dynamical conflict system // Nonlinear Oscillations. — 2004. — 7, № 4. — P. 446 – 461. 8. Albeverio S., Koshmanenko V., Samoilenko I. The conflict interaction between two complex systems: Cyclic migration // J. Interdisciplinary Math. — 2008. — 11, № 2. — P. 163 – 185. 9. Albeverio S., Bodnarchyk M., Koshmanenko V. Dynamics of discrete conflict interactions between non- annihilating opponents // MFAT. — 2005. — 11, № 4. — P. 309 – 319. 10. Боднарчук М. В., Кошманенко В. Д., Самойленко I. В. Динамiка взаємодiї конфлiкту мiж системами з внутрiшньою структурою // Нелiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 4. — P. 435 – 450. 11. Bandyopadhyay M., Chattopadhayay J. Ratio-dependent predator-prey model: effects of environmental fluctu- ation and stability // Nonlinearity. — 2005. — № 18. — P. 913 – 936. 12. Koshmanenko V., Kharchenko N. Spectral properties of image measures after conflict interactions // Theory Stochast. Processes. — 2004. — 10(26), № 3 – 4. — P. 73 – 81. 13. Koshmanenko V., Samoilenko I. The conflict dynamics of natural triad // Int. Conf. „Problems of Decision Making under Uncertainties”. — Kyiv; Rivne, Ukraine, 2008. — P. 25 – 26. 14. Kuang Y. Basic properties of mathematical population models // J. Biomath. — 2002. —№ 17. — P. 129 – 142. 15. Lonzonn Y., Solomon S., Goldenberg J., Mazarsky D. World-size global markets lead to economic instability // Acrificial Life. — 2003. — P. 357 – 370. 16. Hofbauer J., Sigmund K. The theory of evolution and dynamical systems. — Cambridge Univ. Press, 1988. 17. Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary games and population dynamics. — Cambridge Univ. Press, 1998. 18. Salam K. MD. M., Takahashi K. I. Mathematical model of conflict and cooperation with non-annihilating multi-opponent // J. Interdisciplinary Math. — 2006. — 9, № 3. — P. 459 – 473. 19. Takahashi K. I., Salam K. MD. M. Mathematical model of conflict with non-annihilating multi-opponent // J. Interdisciplinary Math. — 2006. — 9, № 3. — P. 459 – 473. 20. Kuang Y., Beretta E. Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system // J. Math. Biol. — 1998. — № 36. — P. 389 – 406. 21. Murray J. D. Mathematical biology I:An Introduction. — New York: Springer, 2002. — 551 p. 22. Murray J. D. Mathematical biology II. Spatial models and biometrical applications. — New York: Springer, 2004. — 811 p. Одержано 10.07.09, пiсля доопрацювання — 13.07.10 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1

Модель динамічної системи конфліктної тріади

Репозитарії

Схожі ресурси