Динамика внутренних отображений
Дослiджено властивостi iнварiантних множин динамiчних систем, що породженi внутрiшнiми вiдображеннями. Доведено, що якщо x — неблукаюча точка скiнченнократного внутрiшнього вiдображення, то не лише її додатна траєкторiя O+(x) складається з неблукаючих точок, але й вiд’ємна траєкторiя O−(x) мiстить я...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175330 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динамика внутренних отображений / И.Ю. Власенко // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 181-186. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175330 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1753302021-02-01T01:26:51Z Динамика внутренних отображений Власенко, И.Ю. Дослiджено властивостi iнварiантних множин динамiчних систем, що породженi внутрiшнiми вiдображеннями. Доведено, що якщо x — неблукаюча точка скiнченнократного внутрiшнього вiдображення, то не лише її додатна траєкторiя O+(x) складається з неблукаючих точок, але й вiд’ємна траєкторiя O−(x) мiстить як мiнiмум одну часткову пiвтраєкторiю, що складається з неблукаючих точок. We have studied properties of invariant sets of dynamical systems generated by inner maps. We prove that if x is a nonwandering point of a finitely multiple inner map, then not only its positive trajectory O+(x) consists of nonwandering points, but also the negative trajectory O−(x) contains at least one partial halftrajectory consisting of nonwandering points. 2011 Article Динамика внутренних отображений / И.Ю. Власенко // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 181-186. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175330 517.938.5 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дослiджено властивостi iнварiантних множин динамiчних систем, що породженi внутрiшнiми вiдображеннями. Доведено, що якщо x — неблукаюча точка скiнченнократного внутрiшнього вiдображення, то не лише її додатна траєкторiя O+(x) складається з неблукаючих точок, але й вiд’ємна траєкторiя O−(x) мiстить як мiнiмум одну часткову пiвтраєкторiю, що складається з неблукаючих точок. |
| format |
Article |
| author |
Власенко, И.Ю. |
| spellingShingle |
Власенко, И.Ю. Динамика внутренних отображений Нелінійні коливання |
| author_facet |
Власенко, И.Ю. |
| author_sort |
Власенко, И.Ю. |
| title |
Динамика внутренних отображений |
| title_short |
Динамика внутренних отображений |
| title_full |
Динамика внутренних отображений |
| title_fullStr |
Динамика внутренних отображений |
| title_full_unstemmed |
Динамика внутренних отображений |
| title_sort |
динамика внутренних отображений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175330 |
| citation_txt |
Динамика внутренних отображений / И.Ю. Власенко // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 181-186. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT vlasenkoiû dinamikavnutrennihotobraženij |
| first_indexed |
2025-07-15T12:34:53Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:34:53Z |
| _version_ |
1837716360272019456 |
| fulltext |
УДК 517.938.5
ДИНАМИКА ВНУТРЕННИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
И. Ю. Власенко
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
We have studied properties of invariant sets of dynamical systems generated by inner maps. We prove that
if x is a nonwandering point of a finitely multiple inner map, then not only its positive trajectory O+(x)
consists of nonwandering points, but also the negative trajectory O−(x) contains at least one partial half-
trajectory consisting of nonwandering points.
Дослiджено властивостi iнварiантних множин динамiчних систем, що породженi внутрiшнiми
вiдображеннями. Доведено, що якщо x — неблукаюча точка скiнченнократного внутрiшнього
вiдображення, то не лише її додатна траєкторiя O+(x) складається з неблукаючих точок, але
й вiд’ємна траєкторiя O−(x) мiстить як мiнiмум одну часткову пiвтраєкторiю, що склада-
ється з неблукаючих точок.
1. Введение. Динамика необратимых отображений в настоящее время достаточно пол-
но изучена для одномерных систем и в какой-то мере для компактных пространств. В
общем же случае необратимые отображения являются в значительной мере не разрабо-
танным объектом исследований. Одно из перспективных направлений — выделение под-
классов необратимых отображений, у которых динамика более регулярна, чем у общих
необратимых отображений. Например, в работах [1, 2] рассматриваются нульмерные по-
чти взаимно однозначные отображения.
В данной работе исследованы динамические свойства сюръективных внутренних ото-
бражений на произвольных метризуемых пространствах. Показано, что с точки зрения
динамических систем сюръективные внутренние отображения отличаются наличием ин-
вариантных множеств рекуррентных и неблуждающих точек, возможностью рассматри-
вать частные траектории точек назад во времени и являются достаточно хорошим ана-
логом гомеоморфизмов среди необратимых систем. В частности, получен следующий ре-
зультат.
Теорема. Если x— неблуждающая точка конечнократного сюръективного внутрен-
него отображения, то не только ее положительная траектория O+(x) состоит из не-
блуждающих точек, но и отрицательная траектория O−(x) содержит как минимум
одну частную полутраекторию, состоящую из неблуждающих точек.
2. Предварительные сведения. 2.1. Множества траекторий. Пусть M — топологиче-
ское пространство и f : M → M — непрерывное сюръективное отображение.
Определение 1. Отображение f называется открытым, если образ любого открыто-
го множества открыт.
Определение 2. Отображение f называется нульмерным, если прообраз любого нуль-
мерного множества нульмерен.
c© И. Ю. Власенко, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 181
182 И. Ю. ВЛАСЕНКО
Обозначим через O+
f (x) положительную полутраекторию точки x, т. е. множество
{fn(x)| n ≥ 0}, через O−f (x) отрицательную полутраекторию точки x, т. е. множество
{fn(x)| n < 0}. Определение O−f (x) корректно, так как мы предполагаем, что f —
сюръективное отображение.
Отметим, что по определениюO+
f (x) состоит из точек, в то время как в общем случае
{f−1(x)} представляет собой более чем замкнутое множество. Однако если f — нульмер-
ное отображение, то в таком случае естественно воспринимать отрицательную полутра-
екторию точки x как набор различных точек.
Определение 3. Полной траекториейOf (x) точки x назовем множество ∪
y∈O+
f (x)
O−f (y).
Определение 4. Частной траекторией of (x) точки x назовем произвольное мно-
жество вида {xi|f(xi) = xi+1, i ∈ Z, x0 = x}.
Если i ≤ 0, будем говорить о частной отрицательной траектории. Заметим, что част-
ная положительная траектория всегда совпадает с обычной положительной траекторией.
2.1.1. Изолированные отображения.
Определение 5. Отображение f называется изолированным, если прообраз точки
состоит из изолированных точек.
Замечание 1. Изолированное отображение нульмерно.
Определение 6. Отображение f называется внутренним, если оно открыто и изо-
лированно.
Заметим, что произвольное открытое нульмерное отображение может и не быть изо-
лированным.
Для примера рассмотрим множество A, состоящее из стандартного канторова мно-
жества на отрезке [0, 1] и изолированной точки {2}. Внутреннее отображение A на се-
бя, заданное формулой f(x) = min {3x, 2}, очевидно, не является изолированным в точ-
ке {2}.
Замечание 2. Если M — компакт, а f является изолированным в x, то f−1 имеет в x
конечное число прообразов.
2.2. Рекуррентные точки. Определим для каждой точки x ω-предельное множество
ω(x) и α-предельное множество α(x) :
ω(x) =
⋂
N∈N
+∞⋃
N
fn(x), α(x) =
⋂
N∈N
+∞⋃
N
f−n(x).
Заметим, что по определению эти множества замкнуты.
Определение 7. Назовем точку x ω-(α-)рекуррентной, если x ∈ ω(x) (соответствен-
но x ∈ α(x)).
Обозначим через Rec+(f) множество ω-рекуррентных точек, через Rec−(f) множест-
во α-рекуррентных точек и через Rec(f) = Rec+(f)∪Rec−(f) множество всех рекуррент-
ных1 точек.
1 Такое определение рекуррентности называется еще рекуррентностью по Готтшалку и Хедлунду.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
ДИНАМИКА ВНУТРЕННИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 183
Обозначим через Lim(f) = Lim+(f) ∪ Lim−(f) предельное множество f, объеди-
нение ω-предельных множеств и α-предельных множеств всех точек. Легко видеть, что
Rec(f) ⊂ Lim(f).
2.2.1. Инвариантность множества рекуррентных точек. У необратимых отображений
различные точки траектории могут имеет различные свойства с точки зрения теории
динамических систем. В то же время эти же свойства у гомеоморфизмов, как правило,
справедливы для всей траектории, если они справедливы хотя бы для одной точки.
Как показывает следующий пример, траектория, содержащая рекуррентную точку,
может содержать как рекуррентные, так и, например, блуждающие точки.
Пример конечнократного сюръективного внутреннего отображения, у которого тра-
ектории содержат как блуждающие, так и неблуждающие (рекуррентные) точки. Рас-
смотрим счетный набор единичных окружностей с координатами (n, α), где n ∈ Z+ —
номер окружности, α ∈ [0, 2π) — угловая координата.
Пусть ψ(α) = α+ ξ mod 2π — поворот на иррациональный угол. Легко видеть, что у
отображения (n, α) 7→ (max(n− 1, 0), ψ(α)) точки с n = 0 — неблуждающие, а с n > 0 —
блуждающие.
Хотелось бы найти такой набор условий на непрерывные сюръективные отображе-
ния, чтобы для удовлетворяющих им отображений из существования некоторых свойств
хотя бы для одной точки следовала справедливость этих свойств хотя бы для части точек
траектории.
Лемма 1. Пусть f : M → M — непрерывное сюръективное отображение. Тогда если
x— ω-(α-)рекуррентная точка, то ее положительная полутраекторияO+
f (x) состоит
из ω-(α-)рекуррентных точек.
Доказательство опирается на два простых утверждения:
1. Если A1 ⊇ A2 ⊇ . . . — последовательность вложенных множеств, то для любого
k ∈ N выполняется равенство ∩n∈NAn = ∩m≥kAm.
2. Если имеются две последовательности вложенных множеств, A1 ⊇ A2 ⊇ . . . и
B1 ⊇ B2 ⊇ . . . , причем Bk ⊇ Ak для любого k ∈ N, то ∩n∈NBn ⊇ ∩n∈NAn.
Обозначим y = fk(x). Рассмотрим ω(y) такое, что
∞⋂
n=N
fn(y) =
∞⋂
m=N+k
fm(y),
поэтому, используя утверждение 1, имеем
ω(y) =
⋂
N
∞⋂
n=N
fn(y) =
⋂
N
∞⋂
m=N+k
fm(x) =
⋂
N
∞⋂
s=N
fs(x) = ω(x).
Рассмотрим α(y). Обозначим
B̂N =
∞⋃
n=N
f−n(y), BN =
∞⋃
n=N
f−n−k(y) = B̂N+k, AN =
∞⋃
n=N
f−n(x).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
184 И. Ю. ВЛАСЕНКО
Очевидно, что f−n(x) ⊆ f−n−k(y) ∀n < N. Поэтому AN ⊆ BN ∀N ∈ N. Заметим, что
f−k
(
B̂N
)
= f−k (
⋃∞
n=N f−n(y)) ⊇ f−k (
⋃∞
n=N f−n(y)) =
⋃∞
n=N f−n−k(y) = BN .
Поэтому f−k(α(y)) = f−k
(⋂
n∈N B̂N
)
=
⋂
n∈N f
−k
(
B̂N
)
⊇
⋂
n∈NBN ⊇
⋂
n∈NAN =
=
⋂
n∈N
⋃∞
n=N f−n(x) = α(x).
С другой стороны, x ∈ f−k(y). Следовательно, если x — α-рекуррентная точка, то
f−k(α(y)) ∩ f−k(y) 6= ∅, так как α(x) 3 x. Отсюда следует, что fk
(
f−k(α(y))
)
∩
∩fk
(
f−k(y)
)
⊇ fk
(
f−k(α(y)) ∩ f−k(y)
)
6= ∅ и y — тоже α-рекуррентная точка.
Лемма 1 доказана.
Следствие 1. Пусть f : M → M — внутреннее сюръективное отображение. Тогда
если x — рекуррентная точка, то ее положительная полутраектория O+
f (x) состоит
из рекуррентных точек.
Следствие 2. Пусть f : M → M — внутреннее сюръективное отображение. Тогда
множества ω-(α-)рекуррентных и рекуррентных точек f инвариантны.
2.3. Неблуждающие точки. Далее всюду под окрестностью точки будем понимать
открытое множество, содержащее эту точку.
Определение 8. Точка x ∈ M называется ω-блуждающей точкой f, если найдется
такая ее окрестность U, что fm(U) ∩ U = ∅ для всех m > 0.
Определение 9. Точка x ∈ M называется ω-неблуждающей точкой f, если для любой
ее окрестности U найдется такое m > 0, что fm(U) ∩ U 6= ∅.
Определение 10. Точка x ∈ M называется α-неблуждающей точкой f, если для лю-
бой ее окрестности U найдется число l > 0 такое, что f−l(U) ∩ U 6= ∅.
Определение 11. Точка x ∈ M называется α-блуждающей точкой f, если найдется
такая ее окрестность U, что f−l(U) ∩ U = ∅ для всех l > 0.
Заметим, что эти определения являются взаимно дополняющими. Другими словами,
если точка не является ω-(α-)блуждающей, то она ω-(α-)неблуждающая, и наоборот.
Определение 12. Точка x ∈ M называется блуждающей точкой f, если она одновре-
менно ω- и α-блуждающая, в противном случае точка x ∈ M называется неблуждаю-
щей точкой f.
Множество блуждающих точек f обозначим через W (f). W (f) открыто в M , по-
скольку каждая блуждающая точка входит в блуждающее множество вместе со своей
окрестностью. Точки, не являющиеся блуждающими в смысле определения 12, являются
неблуждающими. Множество неблуждающих точек f обозначим через Ω(f). Оно замк-
нуто в M как дополнение к W (f).
Поскольку периодическая точка является частным случаем неблуждающей точки,
множество Per(f) периодических точек содержится в Ω(f).
2.4. Инвариантность множества неблуждающих точек. Рассмотрим, как свойство быть
блуждающей или неблуждающей точкой распространяется по ее траектории.
Лемма 2. Пусть f : M → M — произвольное непрерывное сюръективное отобра-
жение. Тогда если x является α-неблуждающей точкой, то ее положительная полутра-
ектория O+
f (x) состоит из α-неблуждающих точек.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
ДИНАМИКА ВНУТРЕННИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 185
Доказательство. Предположим от противного, что существует n > 0 такое, что xn =
= fn(x) являетсяα-блуждающей точкой. Тогда по определению найдетсяU(xn) — откры-
тая окрестность точки xn такая, что для любого k < 0 fk(U) ∩ U = ∅.
Множество f−n(U(xn)) открыто, так как f непрерывно. Поскольку x — α-неблуж-
дающая точка, а U ′(x) = f−n(U(xn)) — ее открытая окрестность, то по определению
существует m > 0 такое, что f−m(U ′(x)) ∩ U ′(x) 6= ∅. Множество U ′′ = f−m(U ′(x))
открыто, так как f непрерывно.
Но тогда fn(U ′′) ∩ fn(U ′) 6= ∅. Заметим, что fn(U ′′) может и не быть открытым
множеством. Однако по построению fn(U ′) = U. Имеем fn(U ′′) ∩ U 6= ∅. Далее,
fn(U ′′) = fn(f−m((U ′))) = fn−m((U ′)) ⊂ f−m(fn(U ′)) = f−m(U).
Здесь имеет место вложение, так как при взятии прообраза исходное множество может
увеличиться. Имеем fn(U ′′) ⊂ f−m(U). Следовательно, и f−m(U) ∩ U 6= ∅. Получили
противоречие.
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть f : M → M — открытое непрерывное сюръективное отображе-
ние. Тогда если x — (ω)-неблуждающая точка, то ее положительная полутраектория
O+
f (x) состоит из (ω)-неблуждающих точек.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда x — ω-неблуждающая точка. (Для случая,
когда x является неблуждающей точкой, доказательство аналогично.)
Предположим от противного, что существует n > 0 такое, что xn = fn(x) является
ω-блуждающей точкой. Тогда по определению найдется U(xn) — открытая окрестность
точки xn такая, что для любого k > 0 (k 6= 0 в случае блуждающей точки) fk(U)∩U = ∅.
Множество f−n(U(xn)) открыто, так как f непрерывно. Поскольку x — ω-неблуж-
дающая точка, а U ′(x) = f−n(U(xn)) — ее открытая окрестность, то по определению
существует m > 0 (m 6= 0 в случае неблуждающей точки) такое, что fm(U ′(x))∩U ′(x) 6=
6= ∅.Множество U ′′ = fm(U ′(x)) открыто, так как f — открытое отображение. Но тогда
fn(U ′′) ∩ fn(U ′) 6= ∅. Однако по построению fn(U ′) = U.
Далее,
fn(U ′′) = fn(fm((U ′))) ⊂ fm(fn(U ′)) = f−m(U).
Здесь имеет место вложение, так как при взятии прообраза исходное множество может
увеличиться.
Имеем fn(U ′′) ⊂ fm(U). Следовательно, и fm(U) ∩ U 6= ∅. Получили противоречие.
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Пусть f : M → M — открытое непрерывное сюръективное отображе-
ние. Тогда если x является ω-, α-блуждающей или блуждающей точкой, то ее отрица-
тельная полутраектория O−f (x) состоит соответственно из ω-, α-блуждающих или
блуждающих точек.
Доказательство. Предположим от противного, что x−n ∈ f−n(x) является (ω-)
(α-)неблуждающей точкой. Но тогда, согласно леммам 2 и 3, x — (ω-)(α-)неблуждающая
точка. Получили противоречие.
Лемма 4 доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
186 И. Ю. ВЛАСЕНКО
Лемма 5. Пусть f : M → M — конечнократное сюръективное внутреннее отобра-
жение. Тогда если x — α-неблуждающая точка, то ее отрицательная полутраектория
O−f (x) содержит частную траекторию, состоящую из α-неблуждающих точек.
Доказательство. Предположим от противного, что найдется такое n, что все x−n,i ∈
∈ f−n(x) являются α-блуждающими точками. Тогда по определению ∀i ∃U(x−n,i) ∀k <
< 0 : fk(U(x−n,i)) ∩ U(x−n,i) = ∅.
Возьмем U ′(x) = ∩ifn(U(x−n,i)). Поскольку f открыто и конечнократно, то U ′(x) —
открытая окрестность точки x. Сузив при необходимости U(x−n,i) и U ′(x), можно пред-
положить, что U(x−n,i) f не пересекаются между собой, при этом f является сюръекцией
с U(x−n,i) на U ′(x).
По условию x — α-неблуждающая точка. Поэтому существует m > 0 такое, что
f−m(U ′(x)) ∩ U ′ 6= ∅. Обозначим U ′′ = f−m(U ′(x)).
Поскольку f конечнократно и отделимо, можно предполагать, что m > n. Посколь-
ку f — сюръекция c U(x−n,i) на U ′(x), каждая из окрестностей U(x−n,i) имеет непустое
пересечение с множеством f−n(U ′′).
Заметим, чтоU ′(x) можно представить в виде∪ifn(U(x−n,k)).Посколькуm > n, U ′′ =
= f−m(U ′(x)) можно представить в виде
U ′′ = f−m
(
∪
i
fn (U(x−n,k))
)
= ∪
i
f−m+n (U(x−n,k)) .
Обозначим U ′′i = f−m+n (U(x−n,k)). Тогда U ′′ = ∪iU ′′i . Поскольку U ′(x) ∩ U ′′ 6= ∅,
найдется k такое, что U ′(x) ∩ U ′′k 6= ∅.
Как следствие, повторяя изложенные выше рассуждения, получаем, что каждая из
окрестностей U(x−n,i) имеет непустое пересечение с множеством f−n(U ′′k ).
В частности, U(x−n,k) ∩ f−n(U ′′k ) 6= ∅. Получили противоречие, так как по предполо-
жению U(x−n,k) — блуждающая окрестность.
Лемма 5 доказана.
По аналогии с леммой 5 доказывается и следующее утверждение.
Лемма 6. Пусть f : M → M — конечнократное сюръективное внутреннее отобра-
жение. Тогда если x — ω-неблуждающая точка (неблуждающая точка), то ее отрица-
тельная полутраектория O−f (x) содержит частную траекторию, состоящую из
ω-неблуждающих точек (неблуждающих точек).
Из лемм 5 и 6 следует, что в прообразе неблуждающей точки конечнократного сю-
ръективного внутреннего отображения всегда найдется неблуждающая точка. Это и до-
казывает основную теорему.
1. Blokh A., Oversteegen L., Tymchatyn E. D. On almost one-to-one maps // Trans. Amer. Math. Soc. — 2006.
— 358, № 11.
2. Kolyada S., Snoha L., Trofimchuk S. Proper minimal sets on compact conneted 2-manifolds are nowhere
dence // Ergod. Theory and Dynam. Syst. — 2008. — 28.
3. Стоилов С. О топологических принципах теории аналитических функций. — М.: Мир, 1964.
Получено 16.04.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
|