Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме
Розглядається узагальнення принципу порiвняння для псевдолiнiйних диференцiальних рiвнянь з iмпульсними збуреннями в банаховому просторi. На основi цих результатiв встановлено умови глобальної стiйкостi в конусi тривiального розв’язку класу систем, що розглядається. Отриманi результати застосовуютьс...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175331 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме / А.И. Двирный, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 187-202. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175331 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1753312021-02-01T01:27:01Z Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме Двирный, А.И. Слынько, В.И. Розглядається узагальнення принципу порiвняння для псевдолiнiйних диференцiальних рiвнянь з iмпульсними збуреннями в банаховому просторi. На основi цих результатiв встановлено умови глобальної стiйкостi в конусi тривiального розв’язку класу систем, що розглядається. Отриманi результати застосовуються при дослiдженнi стiйкостi в моделях Такагi – Сугено. We consider a generalization of the comparison principle for pseeudolinear differential equations, in a Banach space, with impulsive effects. On the basis of these results, we find conditions for global stability in a cone of the trivial solution for the considered class of equations. The obtained results are used for a study of stability in Takagi – Sugeno models. 2011 Article Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме / А.И. Двирный, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 187-202. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175331 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядається узагальнення принципу порiвняння для псевдолiнiйних диференцiальних рiвнянь з iмпульсними збуреннями в банаховому просторi. На основi цих результатiв встановлено умови глобальної стiйкостi в конусi тривiального розв’язку класу систем, що розглядається. Отриманi результати застосовуються при дослiдженнi стiйкостi в моделях Такагi – Сугено. |
| format |
Article |
| author |
Двирный, А.И. Слынько, В.И. |
| spellingShingle |
Двирный, А.И. Слынько, В.И. Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме Нелінійні коливання |
| author_facet |
Двирный, А.И. Слынько, В.И. |
| author_sort |
Двирный, А.И. |
| title |
Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме |
| title_short |
Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме |
| title_full |
Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме |
| title_fullStr |
Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме |
| title_full_unstemmed |
Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме |
| title_sort |
глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175331 |
| citation_txt |
Глобальная устойчивость решений нестационарных монотонных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в псевдолинейной форме / А.И. Двирный, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 187-202. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT dvirnyjai globalʹnaâustojčivostʹrešenijnestacionarnyhmonotonnyhdifferencialʹnyhuravnenijsimpulʹsnymvozdejstviemvpsevdolinejnojforme AT slynʹkovi globalʹnaâustojčivostʹrešenijnestacionarnyhmonotonnyhdifferencialʹnyhuravnenijsimpulʹsnymvozdejstviemvpsevdolinejnojforme |
| first_indexed |
2025-07-15T12:34:56Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:34:56Z |
| _version_ |
1837716364396068864 |
| fulltext |
УДК 517.9
ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ МОНОТОННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
В ПСЕВДОЛИНЕЙНОЙ ФОРМЕ
А. И. Двирный, В. И. Слынько
Ин-т механики НАН Украины
Украина, 03057, Киев, ул. Нестерова, 3
We consider a generalization of the comparison principle for pseeudolinear differential equations, in a
Banach space, with impulsive effects. On the basis of these results, we find conditions for global stability
in a cone of the trivial solution for the considered class of equations. The obtained results are used for a
study of stability in Takagi – Sugeno models.
Розглядається узагальнення принципу порiвняння для псевдолiнiйних диференцiальних рiвнянь
з iмпульсними збуреннями в банаховому просторi. На основi цих результатiв встановлено умо-
ви глобальної стiйкостi в конусi тривiального розв’язку класу систем, що розглядається. Отри-
манi результати застосовуються при дослiдженнi стiйкостi в моделях Такагi – Сугено.
Введение. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием [1] являются ма-
тематическими моделями процессов и явлений в механике, технике и биологии. Теории
устойчивости решений этого класса уравнений посвящено много работ (см., например, [2,
5 – 8]). Основными методами исследования устойчивости являются надлежащим образом
обобщенные методы А. М. Ляпунова, метод сравнения и др. Дифференциальные урав-
нения в банаховом пространстве с ограниченным оператором в правой части, записан-
ные в псевдолинейной форме, были предметом исследований в монографии [9] в связи с
гипотезой Г. Р. Белицкого – Ю. И. Любича. Исследование устойчивости решений неста-
ционарных нелинейных систем с импульсным воздействием можно существенно упрос-
тить за счет введения дополнительных предположений, обеспечивающих монотонность
решений дифференциального уравнения по начальным данным относительно порядка,
порожденного некоторым конусом.
В данной работе задача об устойчивости нулевого решения исходного нелинейного
нестационарного уравнения с импульсным воздействием сводится к исследованию зна-
чительно более простой задачи — исследованию устойчивости линейной системы с им-
пульсным воздействием второго порядка, позитивной относительно конуса R2
+.
Отметим, что для автономных обыкновенных дифференциальных уравнений, реше-
ния которых являются монотонными по начальным данным относительно конуса не-
отрицательных элементов, исчерпывающие результаты об устойчивости были получе-
ны в работе [10]. Излагаемые ниже утверждения являются развитием этих результа-
тов для дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в банаховом прост-
ранстве.
1. Постановка задачи. Пусть X — рефлексивное банахово пространство с нормой
c© А. И. Двирный, В. И. Слынько, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 187
188 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
‖.‖X . Рассмотрим дифференциальное уравнение с импульсным воздействием
dx
dt
= A(t, x)x, t 6= τk,
(1.1)
x(t+ 0) = Bk(x(t))x(t), t = τk,
где x ∈ X, t ∈ [a,+∞), a ∈ R, A ∈ C([a,+∞) × X;L(X,X)), L(X,X) — линейное
банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в X,
Bk ∈ C(X,L(X,X)) — обратимые операторы при всех (k, x) ∈ N×X, x(t+0) — значение
функции x(t) справа, {τk}∞k=1 — последовательность моментов импульсного воздействия,
имеющая единственную точку сгущения на бесконечности.
Предположим, что существует положительная постоянная M такая, что при всех
(t0, x0) ∈ [a,+∞) × X выполняется неравенство ‖A(t, x)‖L(X,X) ≤ M. Тогда при всех
(t0, x0) ∈ [a,∞) × X решения x(t; t0, x0) задачи Коши для дифференциального уравне-
ния (1.1) существуют, единственны и являются нелокально продолжимыми, поскольку,
вследствие теоремы М. А. Красносельского (теорема 1.6 [4]), все решения задачи Коши
для соответствующего дифференциального уравнения (1.1) без импульсного воздействия
существуют, единственны и являются нелокально продолжимыми, а операторы Bk(x) —
обратимыми.
Напомним [3], что непустое выпуклое множество K называется телесным конусом,
если
∀λ ≥ 0 (λK ⊂ K) : K ∩ (−K) = 0, int K 6= ∅.
Конус K определяет в банаховом пространстве X отношение порядка по правилу
y
K
≥ x ⇔ y − x ∈ K, y
K
> x ⇔ y − x ∈ int K.
Конус K называется нормальным (см. [3]), если существует постоянная aK > 0 такая,
что при всех y, x ∈ K из неравенства y
K
≥ x следует оценка ‖x‖X ≤ aK‖y‖X .
Сделаем следующие предположения:
1) пусть в пространстве X задан нормальный конус K;
2) при всех (t, p) ∈ [a,+∞)×K линейная функцияA(t, p)x переменной x ∈ X является
квазимонотонной неубывающей относительно конуса K (см. [12]), т. е. для всех 0
K
≤ ϕ,
ψ ∈ K∗ таких, что (ϕ,ψ) = 0, выполняется неравенство
(A(t, p)ϕ,ψ) ≥ 0;
3) при всех (k, p) ∈ N ×K линейная функция Bk(p)x переменной x является позитив-
ной относительно конуса K (см. [12]), т. е. из неравенства 0
K
≤ ϕ следует неравенство
Bk(p)ϕ
K
≥ 0;
4) решение x(t; t0, x0) задачи Коши для дифференциального уравнения (1.1) являет-
ся монотонным по начальным данным относительно конуса K, т. е. если x20
K
≥ x10, то
x(t; t0, x20)
K
≥ x(t; t0, x10) при всех t ≥ t0;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ . . . 189
5) существуют постоянные векторы w1, w2 ∈ K и функции γij(t), γij ∈ C([a,+∞),R),
i, j = 1, 2, γij(t) ≥ 0 при i 6= j такие, что при всех (t, x) ∈ [a,+∞) × K выполняются
оценки
A(t, x)w1
K
≤ γ11(t)w1 + γ12(t)w2,
(1.2)
A(t, x)w2
K
≤ γ21(t)w1 + γ22(t)w2;
6) существуют постоянные δ(k)
ij , i, j = 1, 2, δ
(k)
ij ≥ 0, такие, что при всех (k, x) ∈ N×K
Bk(x)w1
K
≤ δ
(k)
11 w1 + δ
(k)
21 w2,
(1.3)
Bk(x)w2
K
≤ δ
(k)
12 w1 + δ
(k)
22 w2.
Линейный оператор A ∈ L(X,X) будем называть квазимонотонным оператором,
если функция f(x) = Ax является квазимонотонно неубывающей.
2. Основной результат. В этом пункте рассматривается глобальная устойчивость ре-
шения x = 0 уравнения (1.1). Приведем соответствующие определения.
Пустьwi ∈ K, i = 1, 2,— элементы изK.Эта пара элементов называется допустимой,
если существуют неотрицательные постоянные δ1 и δ2 такие, что w = δ1w1 + δ2w2 ∈
∈ int K. Напомним [3], что равенство
‖x‖w = inf
{
α | − αw
K
≤ x
K
≤ αw
}
определяет норму в пространстве X (норма Биркгофа).
Определение 2.1. Состояние равновесия x = 0 дифференциального уравнения (1.1)
называется:
1) глобально устойчивым в конусе K по двум нормам (‖.‖w, ‖.‖X), если для любого
t0 ∈ [a,∞) и любого ε > 0 существует положительное число δ = δ(t0, ε) (δ(t0, ε) → ∞
при ε → ∞) такое, что из условий x0 ∈ K, ‖x0‖w < δ следует неравенство
‖x(t; t0, x0)‖X < ε при всех t ≥ t0;
2) глобально равномерно устойчивым в конусе K по двум нормам (‖.‖w, ‖.‖X), если
δ = δ(t0, ε) в п. 1 можно выбрать независимо от t0;
3) глобально асимптотически устойчивым в конусе K по двум нормам (‖.‖w, ‖.‖X),
если оно глобально устойчиво в конусе K и для любого x0 ∈ K
lim
t→∞
‖x(t; t0, x0)‖X = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
190 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Наряду с уравнением (1.1) рассмотрим (позитивную) линейную двумерную систему
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием
du1
dt
= γ11(t)u1 + γ21(t)u2,
du2
dt
= γ12(t)u1 + γ22(t)u2, t 6= τk,
(2.1)
u1(t+ 0) = δ
(k)
11 u1 + δ
(k)
12 u2, u2(t+ 0) = δ
(k)
21 u1 + δ
(k)
22 u2, t = τk.
Обозначим через Ψ(t, t0) = [ψij(t; t0)]2i,j=1 матрицант этой системы уравнений.
Теорема 2.1. Предположим, что дифференциальное уравнение (1.1) удовлетворяет
предположениям 1 – 6 и матрицант Ψ(t; t0) системы сравнения (2.1) удовлетворяет сле-
дующим условиям:
1) существуют допустимая пара элементов (w1, w2) конуса K, для которой выпол-
няются оценки (1.2), (1.3), и функция c(t0) > 0 такая, что ψij(t; t0) ≤ c(t0), i, j = 1, 2,
при всех t ≥ t0;
2) выполняется условие 1 теоремы 2.1 и sup
t0∈[a,∞)
c(t0) < ∞;
3) существуют пределы
lim
t→∞
ψij(t; t0) = 0, i, j = 1, 2.
Тогда состояние равновесия x = 0 дифференциального уравнения (1.1):
1) глобально устойчиво по Ляпунову в конусе K по двум нормам (‖.‖w, ‖.‖X);
2) глобально равномерно устойчиво по Ляпунову в конусе K по двум нормам
(‖.‖w, ‖.‖X);
3) глобально асимптотически устойчиво по Ляпунову в конусе K по двум нормам
(‖.‖w, ‖.‖X).
Пример. Приведем пример, иллюстрирующий теорему 2.1. Рассмотрим в конечномер-
ном банаховом пространстве (R3, ‖.‖∞), ‖x‖∞ = max{|x1|, |x2|, |x3|} систему дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием
dx
dt
= ψ(t, x)Ax, t 6= τk,
(2.2)
∆x(t) = ψ(t, x(t))Bx(t), t = τk,
где x ∈ R3, ψ : R× R3 → R+, A, B — (3× 3)-матрицы:
A =
−α ε ε
ε −α ε
ε ε β
, B =
γ ε ε
ε γ ε
ε ε −δ
,
α, β, γ, δ — положительные числа, ε ≥ 0 и ε < α.
Моменты импульсного воздействия удовлетворяют неравенствам
0 < θ1 ≤ τk+1 − τk ≤ θ2 < +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ . . . 191
Относительно скалярной функции ψ(t, x) предположим, что при всех (t, x) ∈ R × R3
выполняются неравенства
0 < ψm ≤ ψ(t, x) ≤ ψM < +∞, 1− δψm > 0.
Пусть K = R3
+, w1 = (1, 1, 0)T , w2 = (0, 0, 1)T , δ1 = δ2 = 1, ‖x‖∞ = ‖x‖w, тогда
ψ(t, x)Aw1
R3
+
≤ ψm(ε− α)w1 + 2εψMw2,
ψ(t, x)Aw2
R3
+
≤ ψMεw1 + ψMβw2,
(I + ψ(t, x)B)w1
R3
+
≤ (1 + ψM (γ + ε))w1 + 2εψMw2,
(I + ψ(t, x)B)w2
R3
+
≤ εψMw1 + (1− δψm)w2.
Поэтому система сравнения имеет вид
du1
dt
= ψm(ε− α)u1 + ψMεu2,
du2
dt
= 2εψMu1 + ψMβu2, t 6= τk,
(2.3)
u1(t+ 0) = (1 + ψM (γ + ε))u1 + εψMu2,
u2(t+ 0) = 2εψMu1 + (1− δψm)u2, t = τk.
Нетрудно показать, что матрицант Ψ(τk+1 + 0, τk + 0) системы сравнения (2.3) удовлетво-
ряет неравенству
Ψ(τk+1 + 0; τk + 0)
R2
+
≤ Ψ∗,
где
Ψ∗ = exp
[(
ψm(ε− α)θ1 εψMθ2
2ψMεθ2 βψMθ2 + ψm(α− ε)(θ2 − θ1)
)]
×
×
(
1 + ψM (ε+ γ) εψM
2ψMε 1− δψm.
)
.
Покажем, что выполнение условия ρ(Ψ∗) < 1 гарантирует асимптотическую устойчи-
вость системы сравнения (2.3) и, как следствие, глобальную асимптотическую устойчи-
вость состояния равновесия x = 0 системы (2.2).
Действительно, если t ∈ (τk, τk+1], то
Ψ(t; t0)
R2
+
≤ Ψ(t; τk + 0)(Ψ∗)k−1Ψ(τ1 + 0; t0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
192 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Если ρ(Ψ∗) < 1, то (Ψ∗)k → 0 при k → ∞, откуда следует, что Ψ(t; t0) → 0 при t → ∞.
3. Доказательство основной теоремы. Рассмотрим в банаховом пространстве X диф-
ференциальное уравнение
dx
dt
= A(t, x)x, (3.1)
где x ∈ X, t ∈ [a,+∞), а операторнозначная функция A(t, x) удовлетворяет предполо-
жениям 2, 5 и при всех (t, x) ∈ [a,∞)×K выполняется неравенство ‖A(t, x)‖L(X,X) ≤ M.
Рассмотрим интервал [t0, T ] ⊂ [a,+∞). Пусть {tk}— конечное множество точек это-
го интервала: t0 < t1 < . . . < ts = T. Обозначим h = max
k=0,s−1
{tk+1 − tk} и сконструируем
функцию
xh(t) =
eA(t0,x0)(t−t0)x0, t ∈ [t0, t1],
eA(t1,x1)(t−t1)x1, x1 = xh(t1), t ∈ (t1, t2],
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
eA(ts−1,xs−1)(t−ts−1)xs−1, xs−1 = xh(ts−1), t ∈ (ts−1, ts].
Отметим, что xh ∈ C([t0, T ], X).
Лемма 3.1. lim
h→0
sup
t∈[t0,T ]
‖x(t)− xh(t)‖X = 0.
Рассмотрим некоторое ограниченное подмножествоM ⊂ L(X,X), состоящее из ква-
зимонотонных операторов и удовлетворяющее следующему условию: существуют два
вектора w1, w2 ∈ K и для каждого оператора A ∈ M существуют постоянные γ
(A)
ij ,
i, j = 1, 2, γ
(A)
ij ≥ 0, i 6= j, такие, что выполняются неравенства
Aw1
K
≤ γ
(A)
11 w1 + γ
(A)
12 w2,
Aw2
K
≤ γ
(A)
21 w1 + γ
(A)
22 w2,
причем supA∈M |γ
(A)
ij | < ∞, i, j = 1, 2.
Лемма 3.2. Пусть h > 0 — достаточно малое положительное число. Тогда для лю-
бого элемента A множестваM выполняются неравенства
0
K
≤ eAhw1
K
≤ π
(A)
11 w1 + π
(A)
12 w2 +R
(A)
1 (h),
0
K
≤ eAhw2
K
≤ π
(A)
21 w1 + π
(A)
22 w2 +R
(A)
2 (h),
sup
A∈M
‖R(A)
i (h)‖X ≤ Ch2, i = 1, 2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ . . . 193
где Π(A) = [π
(A)
ij ]2i,j=1 = eΓ(A)h, Γ(A) = [γ
(A)
ij ]2i,j=1 — матрицы второго порядка, C —
некоторая положительная постоянная.
Доказательство. Неравенства eAhwi
K
≥ 0, i = 1, 2, следуют из того, что множествоM
состоит из квазимонотонных операторов.
Введем обозначенияm0 = supA∈M ‖A‖, γ0 = maxi,j=1,2 supA∈M |γ
(A)
ij |.Из условия лем-
мы следует
eAhw1 = w1 + hAw1 +
∞∑
k=2
hkAk
k!
w1
K
≤ (1 + hγ
(A)
11 )w1 + hγ
(A)
12 w2 +
∞∑
k=2
hkAk
k!
w1.
Из определения матричной экспоненты следуют представления
δij + hγ
(A)
ij = π
(A)
ij + r
(A)
ij , i, j = 1, 2,
где δij — символ Кронекера, r(A)
ij , i, j = 1, 2, — элементы матрицы −
∑∞
k=2
hk(Γ(A))k
k!
.
Поэтому
eAhw1
K
≤ π
(A)
11 w1 + π
(A)
12 w2 +R
(A)
1 (h),
где
R
(A)
1 (h) =
∞∑
k=2
hkAk
k!
w1 + r
(A)
11 w1 + r
(A)
12 w2.
Пусть h < min
{
1
4γ0
,
1
2m0
}
, тогда
|r(A)
ij | ≤
∥∥∥∥∥
∞∑
k=2
hk(Γ(A))k
k!
∥∥∥∥∥
E
≤
≤
∞∑
k=2
(2γ0h)k
k!
≤ 2γ2
0h
2(1 + 2γ0h+ (2γ0h)2 + . . .) =
2γ2
0h
2
1− 2γ0h
≤ 4γ2
0h
2.
Здесь ‖.‖E обозначает матричную норму Шмидта.
Оценим R
(A)
1 :
‖R(A)
1 (h)‖X ≤ 4γ2
0h
2(‖w1‖X + ‖w2‖X) +
m2
0‖w1‖Xh2
1−m0h
≤
≤ h2[4γ2
0(‖w1‖X + ‖w2‖X) + 2m2
0‖w1‖X ] ≤ Ch2,
где C = 2(2γ2
0 +m2
0)(‖w1‖+ ‖w2‖).
Аналогично доказывается оценка для eAhw2.
Лемма 3.2 доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
194 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Рассмотрим двумерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
du1
dt
= γ11(t)u1 + γ21(t)u2,
(3.2)
du2
dt
= γ12(t)u1 + γ22(t)u2
и обозначим через Ω(t, t0) = [ωij(t; t0)]2i,j=1 матрицант этой системы.
Лемма 3.3. Пусть δ1, δ2 — некоторые неотрицательные числа, x(t; t0;x0) — решение
задачи Коши для дифференциального уравнения (3.1). Тогда при t ≥ t0 справедливы
оценки
0
K
≤ x(t; t0, δ1w1 + δ2w2)
K
≤ (δ1ω11(t, t0) + δ2ω12(t, t0))w1 + (δ1ω21(t; t0) + δ2ω22(t; t0))w2.
Доказательство. Если δ1 = δ2 = 0, то утверждение леммы очевидно, поэтому будем
считать, что δ2
1 + δ2
2 6= 0. Рассмотрим некоторый интервал [t0, T ], T > t0, и некоторое его
разбиение t0 < t1 < . . . < ts = T, tk+1 − tk =
T − t0
s
, k = 0, . . . , s − 1. Также введем
в рассмотрение аппроксимацию xh(t; t0, δ1w1 + δ2w2) решения x(t; t0, δ1w1 + δ2w2) задачи
Коши для дифференциального уравнения (3.1) и обозначим через π(m)
ij , i, j = 1, 2, m =
= 0, 1, . . . , s, элементы матриц Π(m), определенные формулами Π(0) = I,Π(m) = eΓ(tm−1)h.
Использовав метод математической индукции, установим неравенства
0
K
≤ xm
df
= xh(tm; t0, δ1w1 + δ2w2)
K
≤ (δ1β
(m)
11 + δ2β
(m)
21 )w1+
+ (δ1β
(m)
12 + δ2β
(m)
22 )w2 + rm(h) (3.3)
при m = 0, 1, 2, . . . , s, где β(m)
ij , i, j = 1, 2, — элементы матриц
B(0) = I, B(m) = eΓ(t0)h . . . eΓ(tm−1)h,
а rm(h) удовлетворяет разностному уравнению
rm+1(h) = (δ1β
(m)
11 + δ2β
(m)
21 )R
(A(tm,xm))
1 (h)+
+ (δ1β
(m)
12 + δ2β
(m)
22 )R
(A(tm,xm))
2 (h) + eA(tm,xm)hrm(h).
Действительно, используя лемму 2.2, при m = 0 получаем
0
K
≤ x0
df
= xh(t0; t0, δ1w1 + δ2w2) = eA(t0,x0)(t0−t0)(δ1w1 + δ2w2)
K
≤
K
≤ (δ1π
(0)
11 + δ2π
(0)
21 )w1 + (δ1π
(0)
12 + δ2π
(0)
22 )w2 + r0(h),
где r0(h) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ . . . 195
Предположим далее, что неравенство (3.3) выполняется при некотором натуральном
m. Тогда получим
xh(tm+1; t0δ1w1 + δ2w2) = eA(tm,xm)hxm
K
≥ 0,
xm+1 = xh(tm+1; t0, δ1w1 + δ2w2) = eA(tm,xm)hxm
K
≤ (δ1β
(m)
11 + δ2β
(m)
21 )eA(tm,xm)hw1+
+ (δ1β
(m)
12 + δ2β
(m)
22 )eA(tm,xm)hw2 + eA(tm,xm)hrm(h).
Применяя лемму 3.2, получаем оценку
xm+1
K
≤ (δ1β
(m)
11 + δ2β
(m)
21 )(π
(m)
11 w1 + π
(m)
12 w2) + (δ1β
(m)
12 + δ2β
(m)
22 )(π
(m)
21 w1 + π
(m)
22 w2)+
+ (δ1β
(m)
11 + δ2β
(m)
21 )R
(A(tm,xm))
1 (h) + (δ1β
(m)
12 + δ2β
(m)
22 )R
(A(tm,xm))
2 (h)+
+ eA(tm,xm)hrm(h) = (δ1(β
(m)
11 π
(m+1)
11 + β
(m)
12 π
(m+1)
21 )+
+ δ2(β
(m)
21 π
(m+1)
11 + β
(m)
22 π
(m+1)
21 ))w1+
+ (δ1(β
(m)
11 π
(m+1)
12 + β
(m)
12 π
(m+1)
22 ) + δ2(β
(m)
21 π
(m+1)
12 + β
(m)
22 π
(m+1)
22 ))w2+
+ (δ1β
(m)
11 + δ2β
(m)
21 )R
(A(tm,xm))
1 (h)+
+ (δ1β
(m)
12 + δ2β
(m)
22 )R
(A(tm,xm))
2 (h) + eA(tm,xm)hrm(h).
Поскольку B(m+1) = B(m)Π(m+1), оценку для xm+1 преобразуем к виду
xm+1
K
≤ (δ1β
(m+1)
11 + δ2β
(m+1)
21 )w1 + (δ1β
(m+1)
12 + δ2β
(m+1)
22 )w2+
+ (δ1β
(m)
11 + δ2β
(m)
21 )R
(A(tm,xm))
1 (h) + (δ1β
(m)
12 +
+ δ2β
(m)
22 )R
(A(tm,xm))
2 (h) + eA(tm,xm)hrm(h).
МножествоM = {A(t, x) |(t, x) ∈ [a,∞)×K} ⊂ L(X,X) удовлетворяет условиям леммы
3.2. Обозначим γ0 = maxi,j=1,2 maxt∈[t0,T ] |γij(t)|, тогда |β(m)
ij | ≤ e2mγ0h, i, j = 1, 2. Оценим
норму остатка rm(h) :
‖rm+1(h)‖X ≤ eMh‖rm(h)‖X + 2(δ1 + δ2)e2mγ0hCh2,
тогда
‖rm(h)‖X ≤ vm,
где vm — решение разностного уравнения
vm+1 = eMhvm + 2C(δ1 + δ2)e2mγ0hh2, v0 = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
196 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Пусть vm = emMhqm, тогда
e(m+1)Mh(qm+1 − qm) = 2C(δ1 + δ2)e2mγ0hh2,
поэтому
qm+1 =
m∑
k=0
2Ch2(δ1 + δ2)e(2γ0−M)hk−Mh,
vm = 2Ch2(δ1 + δ2)
m−1∑
k=0
eMh(m−k−1)e2kγ0h ≤ 2Ch2(δ1 + δ2)emMh e
2mhγ0 − 1
e2hγ0 − 1
.
С учетом очевидного неравенства e2γ0h − 1 ≥ 2γ0h получим оценку
‖rm(h)‖X ≤
C(δ1 + δ2)emMh(e2γ0mh − 1)
γ0
h.
Таким образом, неравенство (3.3) выполняется при всехm = 0, 1, 2, . . . , s.В частности,
при m = s имеем
0
K
≤ xh(t; t0, δ1w1 + δ2w2)
K
≤ (δ1β
(s)
11 + δ2β
(s)
21 )w1 + (δ1β
(s)
12 + δ2β
(s)
22 )w2 + rs(h). (3.4)
При этом
‖rs(h)‖X ≤
C(δ1 + δ2)eM(T−t0)(e2γ0(T−t0) − 1)
γ0
h.
Переходя в неравенстве (3.4) к пределу при h → 0 (s → ∞), получаем ‖rs(h)‖X → 0. В
силу леммы 3.1
‖xh(T ; t0, δ1w1 + δ2w2)− x(T ; t0, δ1w1 + δ2w2)‖X → 0
при h → 0. Также очевидно, что B(s) → ΩT (T ; t0) при h → 0 (s → ∞), поэтому пере-
ход к пределу h → 0 в неравенстве (3.3) завершает доказательство леммы, поскольку T
выбрано произвольно.
Лемма 3.3 доказана.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1.1), удовлетворяющее предположениям
1 – 6.
Лемма 3.4. Пусть x(t; t0, x0) — решение задачи Коши для дифференциального урав-
нения (1.1).
Тогда при t ≥ t0 справедлива оценка
0
K
≤ x(t; t0, δ1w1 + δ2w2)
K
≤ (δ1ψ11(t, t0) + δ2ψ12(t, t0))w1+
+ (δ1ψ21(t; t0) + δ2ψ22(t, t0))w2, (3.5)
где δ1 ≥ 0, δ2 ≥ 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ . . . 197
Доказательство. Предположим, что t ∈ (τk, τk+1], τ0 = t0. Проведем доказательство
леммы 3.4 методом математической индукции по k.
При k = 0 t ∈ [t0; τ1] и утверждение леммы следует из леммы 3.3.
Предположим далее, что утверждение леммы справедливо при k = m− 1, т. е.
0
K
≤ x(τm; t0, δ1w1 + δ2w2)
K
≤ (δ1ψ11(τm, t0) + δ2ψ12(τm, t0))w1+
+ (δ1ψ21(τm; t0) + δ2ψ22(τm, t0))w2.
Из предположения индукции следует, что
x(τm + 0; t0, δ1w1 + δ2w2) = Bm(x(τm; t0, δ1w1 + δ2w2))x(τm; t0, δ1w1 + δ2w2)
K
≤
K
≤ (δ1ψ11(τm, t0) + δ2ψ12(τm, t0))Bm(x(τm; t0, δ1w1 + δ2w2))w1+
+ (δ1ψ21(τm, t0) + δ2ψ22(τm, t0))Bm(x(τm; t0, δ1w1 + δ2w2))w2.
Оценки (1.3) позволяют установить неравенство
x(τm + 0; t0, δ1w1 + δ2w2)
K
≤ (δ1ψ11(τm, t0) + δ2ψ12(τm, t0))(δ
(m)
11 w1 + δ
(m)
21 w2)+
+ (δ1ψ21(τm, t0) + δ2ψ22(τm, t0))(δ
(m)
12 w1 + δ
(m)
22 w2) =
= [δ1(ψ11(τm, t0)δ
(m)
11 + ψ21(τm, t0)δ
(m)
12 ) + δ2(ψ12(τm, t0)δ
(m)
11 + ψ22(τm, t0)δ
(m)
12 )]w1+
+ [δ1(ψ11(τm, t0)δ
(m)
21 + ψ21(τm, t0)δ
(m)
22 ) + δ2(ψ12(τm, t0)δ
(m)
21 + ψ22(τm, t0)δ
(m)
22 )]w2 =
= (δ1ψ11(τm + 0, t0) + δ2ψ12(τm + 0, t0))w1 + (δ1ψ21(τm + 0, t0) + δ2ψ22(τm + 0, t0))w2.
Применяя лемму 3.3 и монотонность (по начальным данным) решений задачи Коши для
дифференциального уравнения (1.1), при t ∈ (τm, τm+1] получаем
0
K
≤ x(t; τm, x(τm + 0; t0, δ1w1 + δ2w2))
K
≤ x(t; τm, (δ1ψ11(τm + 0, t0)+
+ δ2ψ12(τm + 0, t0))w1 + (δ1ψ21(τm + 0, t0) + δ2ψ22(τm + 0, t0))w2)
K
≤
K
≤ [ω11(t, τm)(δ1ψ11(τm + 0, t0) + δ2ψ12(τm + 0, t0))+
+ ω12(t, τm)(δ1ψ21(τm + 0, t0) + δ2ψ22(τm + 0, t0))]w1+
+ [ω21(t, τm)(δ1ψ11(τm + 0, t0) + δ2ψ12(τm + 0, t0))+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
198 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
+ ω22(t, τm)(δ1ψ21(τm + 0, t0) + δ2ψ22(τm + 0, t0))]w2 =
= [δ1(ω11(t, τm)ψ11(τm + 0, t0) + ω12(t, τm)ψ21(τm + 0, t0))+
+ δ2(ω11(t, τm)ψ12(τm + 0, t0) + ω12(t, τm)ψ22(τm + 0, t0))]w1+
+ [δ1(ω21(t, τm)ψ11(τm + 0, t0) + ω22(t, τm)ψ21(τm + 0, t0))+
+ δ2(ω21(t, τm)ψ12(τm + 0, t0) + ω22(t, τm)ψ22(τm + 0, t0))]w2.
С учетом равенств
ψij(t; t0) =
2∑
k=1
ωik(t, τm)ψkj(τm + 0, t0), i, j = 1, 2,
приходим к завершению доказательства леммы.
Лемма 3.4 доказана.
Теперь с помощью леммы 3.4 можно доказать теорему 2.1.
Доказательство теоремы 2.1. Пусть x0 ∈ K, тогда 0
K
≤ x0
K
≤ ‖x0‖ww, где w = δ1w1 +
+δ2w2 ∈ int K и
0 ≤ x(t; t0, x0)
K
≤ x(t; t0, ‖x0‖ww)
K
≤
≤ ‖x0‖w[(δ1ψ11(t; t0) + δ2ψ12(t; t0))w1 + (δ1ψ21(t; t0) + δ2ψ22(t; t0))w2].
Отсюда, вследствие нормальности конуса K,
‖x(t; t0, x0)‖X ≤ 2aK‖x0‖wc(t0)(δ1 + δ2)(‖w1‖X + ‖w2‖X).
Пусть ε > 0. Выберем δ = δ(ε, t0) =
ε
2aKc(t0)(δ1 + δ2)(‖w1‖X + ‖w2‖X)
. Тогда из нера-
венства ‖x0‖w < δ следует неравенство ‖x(t; t0, x0)‖X < ε при всех t ≥ t0.
Доказательство равномерной устойчивости по Ляпунову в конусе K аналогично.
Асимптотическая устойчивость следует из оценки
‖x(t; t0, x0)‖X ≤ ‖x0‖w[(δ1ψ11(t; t0) + δ2ψ12(t; t0))‖w1‖X+
+ (δ1ψ21(t; t0) + δ2ψ22(t; t0))‖w2‖X ] → 0
при t → ∞.
Теорема доказана.
4. Приложение к системам Такаги – Сугено с импульсным воздействием. Рассмотрим
дифференциальную модель Такаги – Сугено с импульсным воздействием
dx
dt
=
r∑
i=1
µi(x)Aix, t 6= τk,
(4.1)
x(t+ 0) =
r∑
i=1
µi(x)Bix, t = τk,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ . . . 199
где x ∈ Rn, t ∈ R, Ai ∈ Rn×n, Bi ∈ Rn×n, i = 1, 2, . . . , r, — структурные матрицы модели
Такаги – Сугено, µi(x) — нормированные функции принадлежности некоторых нечетких
множеств в Rn, µi ∈ C(Rn;R+), с условием нормировки
r∑
i=1
µi(x) = 1.
Относительно моментов импульсного воздействия {τk}∞k=1 предположим, что τk → ∞
при k → ∞.
Пара положительно полуопределенных матриц (X1, X2) называется допустимой па-
рой, если существуют неотрицательные постоянные δ1, δ2 такие, что матрица δ1X1 +δ2X2
является положительно определенной.
Теорема 4.1. Предположим, что существуют положительно полуопределенные мат-
рицы X1 и X2, образующие допустимую пару, постоянные γij , i, j = 1, 2, γij ≥ 0, i 6= j,
и неотрицательные постоянные δij , i, j = 1, 2, такие, что выполняются матричные
неравенства
AiX1 +X1A
T
i ≤ γ11X1 + γ21X2, i = 1, r,
AiX2 +X2A
T
i ≤ γ12X1 + γ22X2, i = 1, r,
1
2
(BiX1B
T
j +BjX1B
T
i ) ≤ δ11X1 + δ21X2, i, j = 1, r,
1
2
(BiX2B
T
j +BjX2B
T
i ) ≤ δ12X1 + δ22X2, i, j = 1, r,
и соотношение sup
k
‖∆eΓ(τk+1−τk)‖ < 1, где Γ = [γij ]
2
i,j=1, ∆ = [δij ]
2
i,j=1.
Тогда состояние равновесия x = 0 системы (4.1) глобально асимптотически устой-
чиво по Ляпунову.
Доказательство. Рассмотрим отображение V : Rn → Rn×n, V (x) = xxT , и его про-
изводную вдоль решений системы (4.1):
dV
dt
=
r∑
i=1
µi(x)(AiV + V ATi ), t 6= τk,
(4.2)
V (t+ 0) =
(
r∑
i=1
µi(x)Bix
) r∑
j=1
µj(x)Bjx
T
=
=
1
2
r∑
i=1
r∑
j=1
µi(x)µj(x)
(
BiV B
T
j +BjV B
T
i
)
, t = τk.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
200 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Исходную систему дифференциальных уравнений (4.1) расширим линейной системой срав-
нения (4.2):
dx
dt
=
r∑
i=1
µi(x)Aix,
dV
dt
=
r∑
i=1
µi(x)FiV, t 6= τk,
(4.3)
x(t+ 0) =
r∑
i=1
µi(x)Bix,
V (t+ 0) =
r∑
i=1
r∑
j=1
µi(x)µj(x)BijV (t), t = τk,
где Fi : Rn×n → Rn×n, FiX = AiX +XATi — операторы Ляпунова, Bij : Rn×n → Rn×n,
BijX =
1
2
(BiXB
T
j +BjXB
T
i ).
Рассмотрим решения (x(t; t0, x0), V (t; t0, x0, V0)) ∈ Rn × Rn×n системы (4.3).
Нетрудно показать, что V (t; t0, x0, V0) ∈ K, где K ⊂ Rn×n — конус симметричных
положительно полуопределенных матриц.
Зафиксируем x0 ∈ Rn, тогда система сравнения имеет вид
dV
dt
=
r∑
i=1
µi(x(t; t0, x0))FiV,
V (t+ 0) =
r∑
i=1
r∑
j=1
µi(x(t; t0, x0))µj(x(t; t0, x0))BijV.
Из условия теоремы 4.1 следует, что
r∑
i=1
µi(x(t; t0, x0))FiX1
K
≤ γ11X1 + γ21X2,
r∑
j=1
µj(x(t; t0, x0))FiX2
K
≤ γ12X1 + γ22X2,
r∑
i=1
r∑
j=1
µi(x(τk; t0, x0))µj(x(τk; t0, x0))BijX1
K
≤ δ11X1 + δ21X2,
r∑
i=1
r∑
j=1
µi(x(τk; t0, x0))µj(x(τk; t0, x0))BijX2
K
≤ δ12X1 + δ22X2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ . . . 201
Обозначим X = δ1X1 + δ2X2. На основе леммы 3.4 получаем оценки
0 ≤ V (t; t0, x0, V0)
K
≤ ||V0||X((δ1ψ11(t, t0)+
+ δ2ψ12(t, t0))X1 + (δ1ψ21(t, t0) + δ2ψ22(t, t0))X2),
‖V (t; t0, x0, V0)‖X ≤ aK‖V0‖X((δ1ψ11(t, t0)+
+ δ2ψ12(t, t0))‖X1‖X + (δ1ψ21(t, t0) + δ2ψ22(t, t0))‖X2‖X).
Здесь aK — постоянная нормальности конуса K, ψij(t, t0), i, j = 1, 2, — элементы матри-
цанта Ψ(t, t0) системы сравнения
du
dt
= Γu, t 6= τk,
u(t+ 0) = ∆u(t), t = τk.
Пусть V0 = x0 x
T
0 . Тогда V (t; t0, x0, V0) = x(t; t0, x0)xT (t; t0, x0) и из эквивалентности
норм в конечномерном пространстве можно вывести оценку
‖x(t; t0, x0)‖ ≤
≤ C‖x0‖
√
(δ1ψ11(t, t0) + δ2ψ12(t, t0))‖X1‖X + (δ1ψ21(t, t0) + δ2ψ22(t, t0))‖X2‖X .
Если выполняется условие теоремы, то существует постоянная c > 0 такая, чтоψij(t; t0)≤
≤ c, i, j = 1, 2, t ≥ t0.Пусть ε > 0. Выберем δ(ε) =
ε
C
√
c(δ1 + δ2)(‖X1‖X + ‖X2‖X)
. Тогда
‖x(t; t0, x0)‖ < ε при всех t ≥ t0.Из условия теоремы следует, что ψij(t; t0) → 0, i, j = 1, 2,
при t → ∞, и тогда ‖x(t; t0, x0)‖ → 0 при t → ∞.
Теорема доказана.
5. Заключение. В отличие от классического метода сравнения [12] в данной работе
в процессе построения системы сравнения не используется аппарат функций Ляпунова.
Исследование нестационарной линейной системы сравнения с импульсным воздействием
представляет самостоятельную задачу, решение которой может быть значительно упро-
щено за счет низкого порядка этой системы. В частности, для линейных систем сравнения
второго порядка с постоянными параметрами решение задачи об устойчивости всегда
может быть получено в явном виде [11].
Отметим также, что применительно к системам Такаги – Сугено с импульсным воз-
действием предложенный подход (теорема 4.1) позволяет исследовать случаи, когда все
элементы структурных множеств являются неустойчивыми. Представляет некоторый
интерес применение полученных результатов к исследованию устойчивости импульсных
систем со структурными возмущениями (см., например, [13, 14]).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
202 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
1. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 288 с.
2. Цыпкин Я. З. Теория импульсных систем. — М.: Физматгиз, 1958. — 724 с.
3. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы. — М.: Наука,
1985. — 256 с.
4. Красносельский М. А. Операторы сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. — М.: Нау-
ка, 1966. — 331 с.
5. Перестюк Н. А. К вопросу устойчивости положения равновесия импульсных систем // Год. на ВУЗ :
Прилож. мат. — София, 1976. — 11, кн. 1. — С. 145 — 150.
6. Перестюк Н. А. Устойчивость решений линейных систем с импульсным воздействием // Вестн. Киев.
ун-та. Математика и механика. — 1977. — № 19. — С. 71 – 76.
7. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. — Singapore:
World Sci., 1989. — 275 p.
8. Мартынюк А. А., Слынько В. И. Об устойчивости движения нелинейной импульсной системы // Прикл.
механика. — 2004. — 40, № 2. — С. 112 – 122.
9. Слюсарчук В. Ю. Нестiйкiсть розв’язкiв еволюцiйних рiвнянь. — Рiвне: Вид-во НУВГП, 2004. — 416 с.
10. Мартынюк А. А., Оболенский А. Ю. Исследование устойчивости автономных систем сравнения. —
Киев, 1978. — 24 с. — (Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; 78.28).
11. Двирный А. И. Об оценке границы робастности линейной системы с импульсным воздействием // Доп.
НАН України. — 2003. — № 9. — C. 34 – 39.
12. Мартынюк А. А., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: метод сравнения. — Киев:
Наук. думка, 1991. — 243 с.
13. Мартынюк А. А., Чернецкая Л. Н. К теории устойчивости движения импульсных систем со структур-
ными возмущениями // Прикл. механика. — 2003. — 39, № 3. — C. 117 – 125.
14. Миладжанов В. Г. Об устойчивости крупномасштабной импульсной системы при структурных возму-
щениях // Доп. НАН України. — 1992. — № 11. — C. 59 – 62.
Получено 21.04.10,
после доработки — 22.03.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
|