Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175332 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов, Муса Джабер Абу Эль-Шаур // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 203-213. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175332 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1753322021-02-01T01:26:20Z Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Евтухов, В.М. Муса Джабер Абу Эль-Шаур Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь. We find asymptotic representations for certain classes of second order ordinary differential equations that are close, in some, sense to linear equations. 2011 Article Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов, Муса Джабер Абу Эль-Шаур // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 203-213. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175332 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь. |
| format |
Article |
| author |
Евтухов, В.М. Муса Джабер Абу Эль-Шаур |
| spellingShingle |
Евтухов, В.М. Муса Джабер Абу Эль-Шаур Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Нелінійні коливання |
| author_facet |
Евтухов, В.М. Муса Джабер Абу Эль-Шаур |
| author_sort |
Евтухов, В.М. |
| title |
Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_short |
Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full |
Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_fullStr |
Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full_unstemmed |
Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_sort |
асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175332 |
| citation_txt |
Асимптотические представления решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов, Муса Джабер Абу Эль-Шаур // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 203-213. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT evtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijodnogoklassaobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka AT musadžaberabuélʹšaur asimptotičeskiepredstavleniârešenijodnogoklassaobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-15T12:35:00Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:35:00Z |
| _version_ |
1837716368485515264 |
| fulltext |
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В. М. Евтухов
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
Украина, 65000, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: emden@farlep.net
Муса Джабер Абу Эль-Шаур
Ал ал-байт ун-т
Иордания, Мафрак
e-mail: drmousa67@yahoo.com
We find asymptotic representations for certain classes of second order ordinary differential equations that
are close, in some, sense to linear equations.
Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцi-
альних рiвнянь другого порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь.
1. Введение. Рассматривается дифференциальное уравнение
y′′ = α0 p(t) y L(y), (1.1)
где α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[−→]0,+∞[ — непрерывная функция, −∞ < a < ω ≤ +∞ 1,
L : ∆Y0 −→]0,+∞[ — непрерывная и медленно меняющаяся при y → Y0 функция, Y0
равно либо 0, либо ±∞, ∆Y0 — односторонняя окрестность Y0.
Согласно определению медленно меняющейся функции (см. [1])
lim
y→Y0
L(λy)
L(y)
= 1 для любого λ > 0, (1.2)
причем это предельное соотношение выполняется равномерно по λ на любом промежут-
ке [c, d] ⊂]0,+∞[ (свойство M1).
Примерами медленно меняющихся при y → Y0 функций являются
| ln |y||σ1 , lnσ2 | ln |y||, σ1, σ2 ∈ R, exp(| ln |y||σ3), 0 < σ3 < 1, exp
(
ln |y|
ln | ln |y||
)
, (1.3)
функции, имеющие отличный от нуля конечный предел при y → Y0, и др.
При ω = +∞ полагаем, что a > 1.
c© В. М. Евтухов, Муса Джабер Абу Эль-Шаур, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 203
204 В. М. ЕВТУХОВ, МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
В частном случае, когда L(y) ≡ 1, уравнение (1.1) является линейным дифференци-
альным уравнением второго порядка. Асимптотическое поведение при t → +∞ (случай
ω = +∞) его решений достаточно подробно исследовано (см., например, [2]).
При L(y) = | ln |y||σ, σ ∈ R, в работах [3 – 7] установлены условия существования
и асимптотические при t ↑ ω представления всех возможных типов так называемых
Pω(Y0, λ0)-решений уравнения (1.1).
Определение 1.1. Решение y уравнения (1.1) называется Pω(Y0, λ0)-решением, −∞ ≤
≤ λ0 ≤ +∞, если оно определено на промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[ и удовлетворяет усло-
виям
y : [t0, ω[−→ ∆Y0 , lim
t↑ω
y(t) = Y0, (1.4)
lim
t↑ω
y′(t) =
{
либо 0,
либо ±∞, lim
t↑ω
[y′(t)]2
y′′(t)y(t)
= λ0. (1.5)
Целью настоящей статьи является распространение результатов из [4] на случай произ-
вольной медленно меняющейся при y → Y0 функции L.
2. Основные результаты. Для формулировки основных результатов потребуются не-
которые вспомогательные обозначения и условия. Прежде всего введем два числа, поло-
жив
µ0 = sign y0, µ1 =
{
1, если ∆Y0 — левая окрестность Y0,
−1, если ∆Y0 — правая окрестность Y0,
где y0 ∈ ∆Y0 и такое, что
|y0| < 1 при Y0 = 0, y0 > 1 (y0 < −1) при Y0 = +∞ (Y0 = −∞).
В силу (1.1) и (1.4) каждое Pω(Y0, λ0)-решение уравнения (1.1) и его первая производная
отличны от нуля на некотором промежутке [t1, ω[. Нетрудно понять, что числа µ0 и µ1
определяют на таком промежутке знаки Pω(Y0, λ0)-решения и его первой производной.
При таком их интерпретировании ясно, что
µ0µ1 < 0, если Y0 = 0, µ0µ1 > 0, если Y0 = ±∞. (2.1)
Далее, введем вспомогательные функции
πω(t) =
{
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞,
q(t) = p(t)π2ω(t)L(µ0|πω(t)|), Q(t) =
t∫
a1
p(τ)πω(τ)L(µ0|πω(t)|) dτ,
где a1 ∈ [a, ω[ такое, что µ0|πω(t)| ∈ ∆Y0 при t ∈ [a1, ω[, а также два следующих опреде-
ления.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 205
Определение 2.1. Будем говорить, что медленно меняющаяся при y → Y0 функция L
удовлетворяет условию S1, если функция L(µ0 exp z) является правильно меняющейся
функцией какого-либо порядка σ при z → Z0, где Z0 = +∞ в случае, когда Y0 = ±∞, и
Z0 = −∞ в случае, когда Y0 = 0, т. е. представима в виде
L(µ0 exp z) = |z|σL1(z), (2.2)
где L1 — непрерывная в окрестности Z0 и медленно меняющаяся функция при z → Z0.
Определение 2.2. Будем говорить, что медленно меняющаяся при y → Y0 функция
L удовлетворяет условию S2, если имеет место асимптотическое соотношение
L
(
µ0e
(1+o(1)) ln |z|
)
= L(µ0|z|)[1 + o(1)] при z → Y0. (2.3)
Условиям Si, i = 1, 2, 3, заведомо удовлетворяют функции L, для которых существует
отличный от нуля конечный предел при y → Y0, функции первых двух видов из (1.3) и
другие.
Для уравнения (1.1) имеют место следующие утверждения.
Теорема 2.1. Пусть функцияL удовлетворяет условию S1. Тогда для существования
Pω(±∞)-решений уравнения (1.1) необходимо и достаточно выполнения условий
µ0µ1πω(t) > 0 при t ∈]a, ω[, µ0 lim
t↑ω
|πω(t)| = Y0, (2.4)
lim
t↑ω
q(t) = 0, lim
t↑ω
Q(t) = ∞, (2.5)
причем для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические пред-
ставления
ln |y(t)| = ln |πω(t)|+ α0Q(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
1
πω(t)
[1 + o(1)]. (2.6)
Более того, при выполнении условий (2.4), (2.5) существуют в случае ω = +∞ дву-
параметрическое семейство Pω(Y0,±∞) решений с представлениями (2.6), а в случае
ω < +∞— однопараметрическое семейство таких решений.
Теорема 2.2. Пусть функция L удовлетворяет условию S2, функция p : [a, ω[−→
−→]0,+∞[ непрерывно дифференцируема и существует (конечный или равный ±∞)
предел
lim
t↑ω
πω(t)q′(t)
q(t)
.
Тогда для существования Pω(Y0,±∞)-решений уравнения (1.1) необходимо и достаточ-
но выполнения условий (2.4), (2.5), причем для каждого такого решения при t ↑ ω имеют
место асимптотические представления
ln |y(t)| = ln |πω(t)|+ α0Q(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
1
πω(t)
[1 + α0 q(t)[1 + o(1)]]. (2.7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
206 В. М. ЕВТУХОВ, МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
Более того, при выполнении условий (2.4), (2.5) существуют в случае ω = +∞ дву-
параметрическое семейство Pω(Y0,±∞)-решений с представлениями (2.7), а в случае
ω < +∞— однопараметрическое семейство таких решений.
Теорема 2.3. Пусть выполняются условия (2.4), функция p : [a, ω[−→]0,+∞[ непре-
рывно дифференцируема и такая, что выполняются второе из условий (2.5) и
ω∫
a
|q′(t)| dt < +∞,
ω∫
a
q2(t)
|πω(t)|
dt < +∞,
ω∫
a
q(t)|Q(t)|
πω(t) ln |πω(t)|
dt < +∞. (2.8)
Пусть, кроме того, для некоторого γ ∈ R имеет место асимптотическое соотноше-
ние
L
(
µ0|eln |πω(t)|+α0Q(t)[1+o(1)]
)
= L(µ0|πω(t)|) (1 +Q(t)[γ + o(1)]) при t ↑ ω. (2.9)
Тогда для любого c, удовлетворящего неравенству cµ1 > 0, существуетPω(±∞)-решение
уравнения (1.1), допускающее при t ↑ ω асимптотические представления
y(t) = πω(t) exp[α0Q(t)][c+ o(1)], y′(t) = exp[α0Q(t)][c+ o(1)]. (2.10)
Доказательство теоремы 2.1. Необходимость. Пусть y : [t0, ω[→ R — произвольное
Pω(Y0,±∞)-решение уравнения (1.1). Тогда выполняются условия (1.4), (1.5), причем
lim
t↑ω
y′′(t)y(t)
(y′(t))2
= 0
и sign y(t) = µ0, sign y′(t) = µ1 на некотором промежутке [t1, ω[⊂ [t0, ω[. Отсюда с учетом
тождества
y′′(t)y(t)
(y′(t))2
=
(
y′(t)
y(t)
)′(y′(t)
y(t)
)−2
+ 1
следует, что
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= 1, lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
= 0. (2.11)
В силу первого из этих предельных соотношений выполняются первое из условий (2.4)
и второе из асимптотических соотношений (2.6). Кроме того, из него следует, что y(t) =
= µ0|πω(t)|1+o(1) при t ↑ ω.Поэтому вследствие (1.4) выполняется второе из условий (2.4).
Поскольку y(t) = µ0e
[1+ε(t)] ln |πω(t)|, где ε(t) = o(1) ири t ↑ ω и функция L удовлетво-
ряет условию S1, в силу (2.2) имеем
L(y(t)) = L
(
µ0e
[1+ε(t)] ln |πω(t)|
)
= |(1 + ε(t)) ln |πω(t)||σ L1 ([1 + ε(t)] ln |πω(t)|) ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 207
откуда с учетом свойства M1 медленно меняющихся функций следует, что
L(y(t)) = L
(
µ0e
[1+ε(t)] ln |πω(t)|
)
= | ln |πω(t)||σL1 (ln |πω(t)|) [1 + o(1)] =
= L
(
µ0e
ln |πω(t)|
)
[1 + o(1)] = L(µ0|πω(t)|)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Учитывая это асимптотическое соотношение и первое из предельных соотношений (2.11),
из (1.1) находим
y′′(t)
y′(t)
= α0p(t)πω(t)L(µ0|πω(t)|)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.12)
Отсюда в силу второго из предельных соотношений (2.11) следует первое из условий (2.5).
Интегрируя (2.12) на промежутке от t2 до t, где t2 = max{a1, t1}, приходим к выводу,
с учетом первого из условий (1.5), что выполняется второе из условий (2.5) и
ln |y′(t)| = α0Q(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Из этого соотношения непосредственно следует первое из асимптотических представле-
ний (2.6), если учесть, что выполнено второе из условий (2.5) и согласно (2.11) y′(t) ∼
∼ y(t)
πω(t)
при t ↑ ω.
Достаточность. Предположим, что выполняются условия (2.4), (2.5). Уравнение (1.1)
с помощью преобразования
ln |y(t)| = ln |πω(t)|[1 + v1(τ)],
y′(t)
y(t)
=
1 + v2(τ)
πω(t)
, τ = β ln |πω(t)|, (2.13)
где
β =
{
1, если ω = +∞,
−1, если ω < +∞,
сведем к системе дифференциальных уравнений
v′1 =
1
τ
[v2 − v1],
(2.14)
v′2 = β
[
α0p(t)π
2
ω(t)L(Y (t, v1))− v2 − v22
]
,
в которой t = t(τ) — функция, обратная к τ = β ln |πω(t)|,
Y (t, v1) = µ0e
(1+v1) ln |πω(t)|. (2.15)
Эту систему уравнений рассмотрим на множестве
Ω = [τ0,+∞[×
{
(v1, v2) : |vi| ≤
1
2
, i = 1, 2
}
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
208 В. М. ЕВТУХОВ, МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
где τ0 = β ln |πω(t0)|, а t0 ∈ [a, ω[ выбрано c учетом (2.1) и (2.4) так, чтобы при t ∈ [t0, ω[
и |v1| ≤
1
2
выполнялось условие Y (t, v1) ∈ ∆Y0 .
На этом множестве правые части системы непрерывны. Кроме того, учитывая, что
функция L удовлетворяет условию S1, а функция Y имеет вид (2.15), с использованием
свойства M1 медленно меняющихся функций получаем представление
L(Y (t, v1)) = |1 + v1|σL(µ0|πω(t)|)[1 + r(t, v1)],
в котором функция r стремится к нулю при t ↑ ω равномерно по |v1| ≤
1
2
. В силу этого
представления систему дифференциальных уравнений (2.14) можно записать в виде
v′1 =
1
τ
[v2 − v1],
v′2 = β
[
f(τ, v1)− v2 − v22
]
,
где
f(τ, v1) = f(τ(t), v1) = α0q(t)(1 + v1)
σ[1 + r(t, v1)].
Здесь вследствие первого из условий (2.5) и указанного выше свойства функции r
lim
τ→+∞
f(τ, v1) = 0 равномерно по |v1| ≤
1
2
.
Поэтому к данной системе применима теорема 2.5 из работы [8]. Согласно этой теореме
данная система дифференциальных уравнений в случае β > 0 имеет двупараметриче-
ское, а в случае β < 0 — однопараметрическое семейство решений (v1, v2) : [τ1 +∞[−→
−→ R2, τ1 ≥ τ0, стремящихся к нулю при τ → +∞. Каждому из таких решений в силу
замен (2.13) соответствует решение y : [t1, ω[−→ R (τ1 = β ln |πω(t1)|), допускающее при
t ↑ ω асимптотические представления
ln |y(t)| = [1 + o(1)] ln |πω(t)|, y′(t)
y(t)
=
1
πω(t)
[1 + o(1)].
Вследствие этих асимптотических соотношений и второго из условий (2.5) такое y, как
было показано при доказательстве необходимости, допускает при t ↑ ω асимптотические
представления (2.6).
Кроме того, учитывая вышеизложенное и определение числа β, приходим к выво-
ду, что существуют двупараметрическое семейство решений с представлениями (2.6) в
случае, когда ω = +∞, и однопараметрическое в случае ω < +∞. Используя эти пред-
ставления, а также условия (2.4), (2.5) нетрудно проверить, что любое из таких решений
уравнения (1.1) является Pω(Y0,±∞)-решением.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2.2. Необходимость. Сначала, рассматривая произвольное
Pω(Y0,±∞)-решение y : [t0, ω[−→ ∆Y0 уравнения (1.1), точно так же, как при доказательст-
ве необходимости теоремы 2.1, устанавливаем, с использованием условия S2 (вместо усло-
вия S1), что выполняются условия (2.4), (2.5) и при t ↑ ω имеют место асимптотические
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 209
соотношения (2.6). Значит, осталось лишь доказать справедливость для рассматриваемо-
го решения второго из представлений (2.7). С этой целью прежде всего установим, что
lim
t↑ω
πω(t)q′(t)
q(t)
= 0. (2.16)
Действительно, если бы это было не так, то, полагая c(t) =
πω(t)q′(t)
q(t)
и учитывая, что
предел этой функции при t ↑ ω существует, получили бы соотношение
q′(t) =
q(t)c(t)
πω(t)
, где lim
t↑ω
c(t) =
{
или const 6= 0,
или ±∞.
Отсюда с учетом второго из условий (2.5) имеем
q(t)− q(a) =
t∫
a
q(τ)c(τ)
πω(τ)
dτ −→ ∞ при t ↑ ω.
Однако это невозможно, поскольку в силу первого из условий (2.5) левая часть данного
соотношения имеет конечный предел при t ↑ ω.
Из (1.1) в силу второго из представлений (2.6) и условия S2 следует, что для решения
y имеет место асимптотическое соотношение
y′′(t) = α0p(t)y(t)|L(µ0|πω(t)|)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда следует справедливость на некотором промежутке [t1, ω[⊂ [t0, ω[ равенства
(
y′(t)
y(t)
)′
+
(
y′(t)
y(t)
)2
= α0p(t)|L(µ0|πω(t)|)[1 + ε(t)], (2.17)
где ε : [t1, ω[−→ R — непрерывная функция, удовлетворяющая условию
lim
t↑ω
ε(t) = 0. (2.18)
Введем теперь функцию z : [t1, ω[−→ R, положив
y′(t)
y(t)
=
1
πω(t)
[1 + α0q(t)z(t)] . (2.19)
В силу (2.17) эта функция на промежутке [t1, ω[ является решением дифференциального
уравнения
z′ =
1
πω(t)
[
−πω(t)q′(t)
q(t)
z − z − α0q(t)z
2 + 1 + ε(t)
]
. (2.20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
210 В. М. ЕВТУХОВ, МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
Учитывая первое из условий (2.5) и условия (2.16), (2.18), замечаем, что соответствующая
этому уравнению функция
Bc(t) =
1
πω(t)
[
−πω(t)q′(t)
q(t)
c− c− α0q(t)c
2 + 1 + ε(t)
]
при любом значении c 6= 1 сохраняет знак в некоторой левой окрестности ω. Поэтому
согласно лемме 2.1 из работы [9] для каждого решения дифференциального уравнения
(2.20), определенного в левой окрестности ω, а значит, и для рассматриваемой функции
z(t) существует конечный или равный±∞ предел при t ↑ ω. Теперь с учетом этого факта
и второго из условий (2.5) замечаем, что соотношение
ln |y(t)| = ln |πω(t)|+ α0
t∫
t1
q(τ)z(τ)
πω(τ)
dτ + C
(C — некоторая постоянная), которое следует из (2.19), не противоречит первому из
асимптотических представлений (2.6) лишь в случае, когда lim
t↑ω
z(t) = 1. Поэтому соглас-
но (2.19) имеет место второе из асимптотических представлений (2.6).
Достаточность. Пусть выполняются условия (2.4), (2.5). Тогда, как было установле-
но выше, выполняется условие (2.16). Кроме того, используя правило Лопиталя, с учетом
первого из условий (2.5) получаем
lim
t↑ω
Q(t)
ln |πω(t)|
= lim
t↑ω
Q′(t)
1
πω(t)
= lim
t↑ω
q(t) = 0. (2.21)
Теперь покажем, что в данном случае уравнение (1.1) имеет решения, допускающие при
t ↑ ω асимптотические представления (2.7), и выясним вопрос о количестве таких реше-
ний. Для этого, применяя к уравнению (1.1) преобразование
ln |y(t)| = ln |πω(t)|+ α0Q(t)[1 + v1(τ)],
y′(t)
y(t)
=
1
πω(t)
[1 + α0q(t)(1 + v2(τ))] , (2.22)
где
τ(t) = ln |Q(t)|,
получаем систему дифференциальных уравнений
v′1 = v2 − v1,
(2.23)
v′2 = h(τ)[f(τ, v1, v2)− v2],
в которой
f(τ, v1, v2) = f(τ(t), v1, v2) =
L(Y (t, v1))
L(µ0|πω(t)|)
− 1− α0q(t)(1 + v2)
2 − πω(t)q′(t)
q(t)
(1 + v2),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 211
h(τ) = h(τ(t)) =
Q(t)
q(t)
, Y (t, v1) = µ0 exp (ln |πω(t)|+ α0Q(t)[1 + v1]) .
В силу вида функций q, Q и условий (2.4), (2.5)
signh(τ) = sign q(t)Q(t) = signπω(t) при t ∈ ]a1, ω[, lim
τ→+∞
h(τ) = lim
t↑ω
Q(t)
q(t)
= ±∞.
Кроме того, в силу условия (2.21) и условия S2, которому удовлетворяет функция L,
L(Y (t, v1)) = L(µ0|πω(t)|)[1 + r(t, v1)],
где r(t, v1) −→ 0 при t ↑ ω равномерно по |v1| ≤
1
2
. Поэтому с учетом (2.16) и первого из
условий (2.5) имеем
lim
τ→+∞
f(τ, v1) = 0 равномерно по |v1| ≤
1
2
.
Тем самым показано, что для системы (2.23) выполняются условия теоремы 2.5 из ра-
боты 8. Согласно этой теореме данная система при ω = +∞ имеет двупараметриче-
ское семейство решений (v1, v2) : [τ1,+∞[−→ R2 (τ1 ≥ τ0 = ln |Q(t0)| = 0), стремя-
щихся к нулю при τ → +∞, а в случае ω < +∞ существует однопараметрическое се-
мейство таких решений. Каждому из них в силу замены (2.22) соответствует решение
y : [t1, ω[−→ R (τ1 = ln |Q(t1)|) уравнения (1.1), которое допускает при t ↑ ω асимпто-
тические представления (2.7). Используя эти представления, а также условия S2, (2.4),
(2.5), нетрудно заметить, что все эти решения являются Pω(Y0,±∞)-решениями уравне-
ния (1.1).
Замечание 2.1. Прежде чем приступить к доказательству теоремы 2.3, заметим, что из
первых двух условий (2.8) следует первое из условий (2.5). Учитывая (2.4), (2.5), первое
из условий (2.8) и условие (2.9), нетрудно показать, повторяя рассуждения доказатель-
ства достаточности теоремы 2.2, что дифференциальное уравнение (1.1) имеет в случае
ω < +∞ однопараметрическое семейство Pω(Y0,±∞)- решений, допускающих при t ↑ ω
асимптотические представления (2.7), а в случае ω = +∞ двупараметрическое семей-
ство таких решений. Более того, можно показать, что для каждого Pω(Y0,±∞)- решения
уравнения (2.3) имеют место при t ↑ ω представления (2.7). Утверждение же теоремы
2.3 выделяет из множества всех таких Pω(Y0,±∞)-решений те, которые имеют точные
асимптотические формулы, содержащие в себе одну из произвольных постоянных.
Доказательство теоремы 2.3. Выбрав произвольным образом постоянную c, удовле-
творяющую неравенству µ1c > 0, уравнение (1.1) с помощью преобразования
τ(t) = β ln |πω(t)|, y(t) = πω(t) exp [α0Q(t)] [c+ v1(τ)],
(2.24)
y′(t) = exp [α0Q(t)] [c+ v2(τ)− α0q(t)v1(τ)],
где
β =
{
1, если ω = +∞,
−1, если ω < +∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
212 В. М. ЕВТУХОВ, МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
сведем к системе дифференциальных уравнений
v′1 = β [v2 − v1 − α0q(t)(c+ 2v1)] ,
(2.25)
v′2 = αβq(t)
[
(c+ v1)
(
L
(
πω(t)eα0Q(t)(c+ v1)
)
L(µ0|πω(t)|)
− 1− α0q(t)
)
+
πω(t)q′(t)
q(t)
v1
]
,
в которой t = τ(t) — функция, обратная к τ = β ln |πω(t)|.
В силу первых двух условий из (2.8) выполняется первое из условий (2.5), а поэтому
справедливо и (2.21). Учитывая эти условия, а также асимптотическое соотношение (2.9),
имеем
L
(
πω(t)eα0Q(t)(c+ v1)
)
= L
(
µ0e
ln |πω(t)|
[
1+
α0Q(t)
ln |πω(t)|
(
1+
ln |c+v1|
α0Q(t)
)])
=
= L(µ0|πω(t)|)
[
1 +
α0Q(t)
ln |πω(t)|
(γ +R(t, v1))
]
, lim
t↑ω
R(t, v1) = 0,
равномерно по |v| ≤ |c|
2
.
Используя теперь это представление, записываем систему (2.25) в виде
v′1 = β[v2 − v1 − α0h1(τ)(c+ 2v1)],
v′2 = βh1(τ)[c(γh2(τ)− h1(τ)) + (γh2(τ)− h1(τ) + α0h3(τ))v1 + h2(τ)f(τ, v1)],
где
h1(τ(t)) = q(t), h2(τ(t)) =
Q(t)
ln |πω(t)|
,
h3(τ(t)) =
πω(t)q′(t)
q(t)
, f(τ(t), v1) = (c+ v1)R(t, v1).
В силу условий (2.4), (2.5) и (2.21) правые части этой системы непрерывны на множест-
ве [τ0,+∞[×D, где τ0 — некоторое достаточно большое число и D =
{
v1 ∈ R : |v1| ≤
|c|
2
}
.
Кроме того, здесь f(τ, v1) −→ 0 при τ → +∞ равномерно по v1 ∈ D и в силу условий (2.8)
lim
τ→+∞
h1(τ) = 0,
+∞∫
τ0
h21(τ) dτ < +∞,
+∞∫
τ0
h1(τ)|h2(τ)| dτ < +∞,
+∞∫
τ0
h1(τ)|h3(τ)| dτ < +∞.
Поэтому данная система уравнений имеет на основании теоремы 1.2 из работы [8] хотя
бы одно решение (v1, v2) : [τ1,+∞[−→ R, τ1 ≥ τ0, стремящееся к нулю при τ → +∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 213
причем в случае β = 1 (т. е. когда ω = +∞) существует однопараметрическое семейство
таких решений. Каждому такому решению в силу замен (2.24) соответствует решение
y : [t1, ω[−→ ∆Y0 (τ1 = β ln |πω(t1)|) дифференциального уравнения (1.1), допускающее
при t ↑ ω асимптотические представления (2.10). Используя эти представления и условия
(2.4), (2.5), (2.21) и (2.9), нетрудно проверить, что такие решения уравнения (1.1) являются
Pω(Y0,±∞)-решениями.
Теорема доказана.
Замечание 2.2. Из теорем 2.1 – 2.3 при L(y) = | ln |y||σ и L(y) ≡ 1 следуют все резуль-
таты работы [4].
1. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 144 с.
2. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990. — 430 с.
3. Муса Джабер Абу Эль-Шаур. Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка, близких к линейным // Нелинейные колебания. — 2008. — 11, № 2.
— С. 230 – 241.
4. Evtukhov V. M., Mousa Jaber Abu Elshour. Asymptotic behaviour of solutions of second order nonlinear
differential equations clouse to linear equations // Mem. Different. Equat. Math. Phys. — 2008. — 43. —
P. 97 – 106.
5. Mousa Jaber Abu Elshour. Asymptotic representations of the solutions of a class of the second order non-
autonomous differential equations// Mem. Different. Equat. Math. Phys. — 2008. — 44. — P. 59 – 68.
6. Mousa Jaber Abu Elshour, Evtukhov V. M. Asymptotic representations for solutions of a class of second order
nonlinear differential equations // Miscolc Math. Notes. — 2009. — 2. — P. 119 – 127.
7. Mousa Jaber Abu Elshour. Asymptotic representations of solutions of second order nonlinear differential
equations // Int. Math. Forum. — 2009. — 4, № 17. — P. 835 – 844.
8. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений ве-
щественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн.
— 2010. — 62, № 1. — С. 52 – 80.
9. Евтухов В. М., Шинкаренко В. Н. Асимптотические представления решений двучленных неавтоном-
ных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с экспоненциальной нелинейностью
// Дифференц. уравнения. — 2008. — 44, № 3. — С. 308 – 322.
Получено 13.10.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
|