Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем

Роботу присвячено розробцi нових методiв аналiзу робастної стiйкостi станiв рiвноваги деяких класiв нелiнiйних диференцiальних систем. Сформульовано достатнi умови стiйкостi нульового розв’язку сiмей псевдолiнiйних керованих систем з невизначеними матрицями коефiцiєнтiв та зворотного зв’язку по вимi...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2011
Hauptverfasser: Мазко, А.Г., Шрам, В.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2011
Schriftenreihe:Нелінійні коливання
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175345
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем / А.Г. Мазко, В.В. Шрам // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 227-237. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-175345
record_format dspace
spelling irk-123456789-1753452021-02-01T01:29:25Z Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем Мазко, А.Г. Шрам, В.В. Роботу присвячено розробцi нових методiв аналiзу робастної стiйкостi станiв рiвноваги деяких класiв нелiнiйних диференцiальних систем. Сформульовано достатнi умови стiйкостi нульового розв’язку сiмей псевдолiнiйних керованих систем з невизначеними матрицями коефiцiєнтiв та зворотного зв’язку по вимiрюваному виходу. Розвинуто метод аналiзу стiйкостi за першим наближенням сiм’ї нелiнiйних систем. Застосування отриманих результатiв зводиться до розв’язання систем лiнiйних диференцiальних матричних нерiвностей. Наведено приклад системи стабiлiзацiї подвiйного перевернутого маятника. We develop new methods for an analysis of the robust stability of equilibrium states for some classes of nonlinear differential systems. We formulate necessary and sufficient conditions for stability of the zero solution for families of pseudolinear controlled systems with undefined coefficient matrices and a feedback in the measured output. An application of the obtained results is reduced to solving a system of linear differential matrix inequalities. We give an example of stabilizing system for a double inverted pendulum. 2011 Article Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем / А.Г. Мазко, В.В. Шрам // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 227-237. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175345 517.925; 517.93 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Роботу присвячено розробцi нових методiв аналiзу робастної стiйкостi станiв рiвноваги деяких класiв нелiнiйних диференцiальних систем. Сформульовано достатнi умови стiйкостi нульового розв’язку сiмей псевдолiнiйних керованих систем з невизначеними матрицями коефiцiєнтiв та зворотного зв’язку по вимiрюваному виходу. Розвинуто метод аналiзу стiйкостi за першим наближенням сiм’ї нелiнiйних систем. Застосування отриманих результатiв зводиться до розв’язання систем лiнiйних диференцiальних матричних нерiвностей. Наведено приклад системи стабiлiзацiї подвiйного перевернутого маятника.
format Article
author Мазко, А.Г.
Шрам, В.В.
spellingShingle Мазко, А.Г.
Шрам, В.В.
Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем
Нелінійні коливання
author_facet Мазко, А.Г.
Шрам, В.В.
author_sort Мазко, А.Г.
title Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем
title_short Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем
title_full Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем
title_fullStr Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем
title_full_unstemmed Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем
title_sort устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2011
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175345
citation_txt Устойчивость и стабилизация семейства псевдолинейных дифференциальных систем / А.Г. Мазко, В.В. Шрам // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 227-237. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT mazkoag ustojčivostʹistabilizaciâsemejstvapsevdolinejnyhdifferencialʹnyhsistem
AT šramvv ustojčivostʹistabilizaciâsemejstvapsevdolinejnyhdifferencialʹnyhsistem
first_indexed 2025-07-15T12:35:51Z
last_indexed 2025-07-15T12:35:51Z
_version_ 1837716421517246464
fulltext УДК 517.925; 517.93 УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СЕМЕЙСТВА ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ* А. Г. Мазко, В. В. Шрам Ин-т математики НАН Украины Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3 e-mail: mazko@imath.kiev.ua We develop new methods for an analysis of the robust stability of equilibrium states for some classes of nonlinear differential systems. We formulate necessary and sufficient conditions for stability of the zero solution for families of pseudolinear controlled systems with undefined coefficient matrices and a feedback in the measured output. An application of the obtained results is reduced to solving a system of linear differential matrix inequalities. We give an example of stabilizing system for a double inverted pendulum. Роботу присвячено розробцi нових методiв аналiзу робастної стiйкостi станiв рiвноваги де- яких класiв нелiнiйних диференцiальних систем. Сформульовано достатнi умови стiйкостi ну- льового розв’язку сiмей псевдолiнiйних керованих систем з невизначеними матрицями коефiцi- єнтiв та зворотного зв’язку по вимiрюваному виходу. Розвинуто метод аналiзу стiйкостi за першим наближенням сiм’ї нелiнiйних систем. Застосування отриманих результатiв зводить- ся до розв’язання систем лiнiйних диференцiальних матричних нерiвностей. Наведено приклад системи стабiлiзацiї подвiйного перевернутого маятника. 1. Введение. В современных прикладных исследованиях возникают задачи анализа и синтеза динамических систем, которые описываются дифференциальными или разност- ными уравнениями с неопределенными параметрами и функциональной структурой (см., например, [1 – 3]). Основные качественные характеристики таких систем (устойчивость, локализация спектра линейной части в заданной области и т. п.) будем называть ро- бастными относительно множества параметрической и функциональной неопределен- ности. Например, нулевое решение x ≡ 0 дифференциальной системы ẋ = Ax+ f(x, t), f(0, t) ≡ 0, x ∈ Rn, t ≥ 0, (1.1) называется робастно (асимптотически) устойчивым относительно заданных множеств матриц A и векторных функций F , если оно (асимптотически) устойчиво по Ляпуно- ву при всех фиксированных A ∈ A и f ∈ F . В качестве множеств параметрической неопределенности системы (1.1) используются матричные интервалы и политопы A, а функциональную неопределенность может описывать множество непрерывных ограни- ченных вектор-функций F . В работах [2, 4] в терминах линейных матричных неравенств получены достаточные условия устойчивости линейных управляемых систем с неопреде- ленными матрицами коэффициентов и обратной связи по измеряемому выходу. Данная работа посвящена разработке новых методов анализа робастной устойчивос- ти состояний равновесия некоторых классов псевдолинейных и нелинейных динамиче- ских систем. Сформулированы достаточные условия устойчивости нулевого решения се- ∗ Выполнена при частичной поддержке НИР № 0107U002198. c© А. Г. Мазко, В. В. Шрам, 2011 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 227 228 А. Г. МАЗКО, В. В. ШРАМ мейств псевдолинейных управляемых систем с неопределенными матрицами коэффици- ентов и обратной связи по измеряемому выходу. Развит метод анализа устойчивости по первому приближению семейства нелинейных систем. Применение полученных резуль- татов сводится к решению систем линейных дифференциальных матричных неравенств. Приведен пример системы стабилизации двойного перевернутого маятника. Будем использовать следующие обозначения: ∗ и T — операции соответственно комп- лексного сопряжения и транспонирования матриц; In — единичная матрица порядка n; On,m — нулевая матрица размеров n × m; X = X∗ > 0 (≥ 0) — положительно (не- отрицательно) определенная эрмитова матрица X ; i(X) = {i+(X), i−(X), i0(X)}— инер- ция эрмитовой матрицы X = X∗, состоящая из количеств ее положительных (i+(X)), отрицательных (i−(X)) и нулевых (i0(X)) собственных значений с учетом кратностей; λmax(X) (λmin(X)) — максимальное (минимальное) собственное значение эрмитовой мат- рицы; ρ(A) — спектральный радиус матрицы A. 2. Робастная стабилизация семейства псевдолинейных систем. Рассмотрим псевдоли- нейную систему управления ẋ = A(x, t)x+B(x, t)u, y = C(x, t)x+D(x, t)u, (2.1) u = K(x, t)y, K(x, t) ∈ Ex,t = {K : KTP−1(x, t)K ≤ Q(x, t)}, x ∈ S0, t ≥ 0, (2.2) где x ∈ Rn, u ∈ Rm i y ∈ Rl — векторы соответственно состояния, управления и на- блюдения объекта, A, B, C, D, K, P и Q — матрицы соответствующих размеров n × n, n ×m, l × n, l ×m, m × l, m ×m и l × l, непрерывно зависящие от x и t, S0 — некоторая окрестность точки x = 0. Для простоты зависимость данных матриц от x и t будем опус- кать. Симметричные положительно определенные матрицы P = P T > 0 и Q = QT > 0 при фиксированных x и t описывают множество матриц обратной связи Ex,t, являюще- еся эллипсоидом в пространстве Rm×l. Данное множество можно описать также в виде Ex,t = {K : KQ−1(x, t)KT ≤ P (x, t)}. Из (2.1) и (2.2) следует неравенство [xT , uT ] [ CTQC CTQD DTQC DTQD − P−1 ] [ x u ] ≥ 0. (2.3) Предположим, что DTQD < P−1, x ∈ S0, t ≥ 0. (2.4) Тогда из x = 0 следует, что u = 0 и x ≡ 0 является состоянием равновесия системы, которое мы исследуем на устойчивость. Замкнутая система является псевдолинейной и имеет вид ẋ = M(x, t)x, M(x, t) = A+B(Im −KD)−1KC. (2.5) При этом обратная матрица (Im−KD)−1 всегда существует. Действительно, при услови- ях (2.2) и (2.4) имеем DTKTP−1KD ≤ DTQD < P−1. Согласно теореме Ляпунова для дискретных систем, ρ(KD) < 1 и, следовательно, матрица Im −KD невырожденная. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СЕМЕЙСТВА ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ 229 Сформулируем известные критерии отрицательной и неположительной определен- ностей блочных матриц и вспомогательные утверждения, которые будут использованы при получении основных результатов. Лемма 2.1 [5]. Имеет место следующая эквивалентность:[ G R∗ R H ] < 0 ⇐⇒ H < 0, G < R∗H−1R. (2.6) Если блок H невырожденный, то[ G R∗ R H ] ≤ 0 ⇐⇒ H < 0, G ≤ R∗H−1R. (2.7) Лемма 2.2. Пусть выполняется система матричных неравенств P = P ∗ > 0, Q = Q∗ > 0, [ −P−1 D∗ D −Q−1 ] < 0,  −W U∗ V ∗ U −P−1 D∗ V D −Q−1  ≤ 0. (2.8) Тогда для любой матрицы K ∈ E = {K : K∗P−1K ≤ Q} выполняются соотношения U∗F (K)V + V ∗F ∗(K)U ≤ W, F (K) = (I −KD)−1K. (2.9) Доказательство. Первое блочное неравенство в (2.8) в силу критерия (2.6) сводится к виду D∗QD < P−1. Поэтому D∗K∗P−1KD < P−1 при K ∈ E . Согласно теореме Ляпу- нова для дискретных систем, ρ(KD) < 1 и матрица I −KD невырожденная. Используем формулу Фробениуса обращения блочной матрицы [ −P−1 D∗ D −Q−1 ]−1 = [ S−1 S−1D∗Q QDS−1 −Q+QDS−1D∗Q ] , S = D∗QD − P−1, и с помощью критерия (2.7) приведем второе блочное неравенство в (2.8) к виду [U∗, V ∗] [ −S−1 −S−1D∗Q −QDS−1 Q−QDS−1D∗Q ] [ U V ] ≤ W. Очевидно, что неравенство (2.9), представимое в виде [U∗, V ∗] [ 0 F (K) F ∗(K) 0 ] [ U V ] ≤ W, выполняется, если [ S−1 S−1D∗Q+ F (K) QDS−1 + F ∗(K) −Q+QDS−1D∗Q ] ≤ 0 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 230 А. Г. МАЗКО, В. В. ШРАМ или, в силу критерия (2.7), Q+QDF (K) + F ∗(K)D∗Q+ F ∗(K)SF (K) ≥ 0, F ∗(K)P−1F (K) ≤ [I +DF (K)]∗Q [I +DF (K)]. Поскольку F (K) ≡ K[I+DF (K)], последнее неравенство выполняется, еслиK∗P−1K ≤ ≤ Q, т. е. K ∈ E . Лемма доказана. Сформулируем условия устойчивости нулевого решения системы (2.5). Теорема 2.1 [8]. Пусть для некоторой матрицы X(t) = XT (t) выполняются нера- венства X(t) ≥ X0 > 0, Y (x, t) ≤ 0, x ∈ S0, t ≥ 0, (2.10) где Y (x, t) = Ẋ(t) + MT (x, t)X(t) + X(t)M(x, t). Тогда решение x ≡ 0 системы (2.5) устойчиво по Ляпунову. Если же X1 ≥ X(t) ≥ X0 > 0, Y (x, t) ≤ −Y0 < 0, x ∈ S0, t ≥ 0, (2.11) то решение x ≡ 0 системы (2.5) равномерно асимптотически устойчиво. Теорема 2.2. Пусть выполняются условие (2.4) и дифференциальное матричное не- равенство  Ẋ +ATX +XA+ Y XB CT BTX −P−1 DT C D −Q−1  ≤ 0, x ∈ S0, t ≥ 0, (2.12) где X(t) = XT (t) и Y (t) = Y T (t) — такие матрицы, что X(t) ≥ X0 > 0, Y (t) ≥ 0 (X1 ≥ X(t) ≥ X0 > 0, Y (t) ≥ Y0 > 0), X0, X1 и Y0 — постоянные матрицы. Тогда любое управление (2.2) обеспечивает устойчивость (равномерную асимптотическую устойчивость) нулевого решения системы (2.1). Доказательство. Построим функцию Ляпунова замкнутой системы (2.5) в виде v(x, t) = = xTX(t)x. В силу теоремы 2.1 имеем достаточные условия устойчивости решения x ≡ 0 системы Ẋ +ATX +XA+ CTF T (K)BTX +XBF (K)C + Y ≤ 0, x ∈ S0, t ≥ 0, где X(t) ≥ X0 > 0 и Y (t) ≥ 0. Полагая в лемме 2.2 U = BT X, V = C, W = −Ẋ −ATX −XA− Y, получаем условия устойчивости решения x ≡ 0 системы (2.5) в виде (2.12). Аналогично с помощью теоремы 2.1 и леммы 2.2 устанавливаются условия (2.12) равномерной асимп- тотической устойчивости нулевого решения системы (2.1) с соответствующими ограни- чениями на матрицы X(t) и Y (t). Теорема доказана. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СЕМЕЙСТВА ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ 231 Замечание 2.1. Можно привести другое доказательство теоремы 2.2 на основе теоре- мы о неущербности s-процедуры [6], согласно которой неравенство w(x) ≤ 0 (< 0) при ограничении w0(x) ≥ 0 эквивалентно соотношениям w(x) + τw0(x) ≤ 0 (< 0), x 6= 0, где w(x) и w0(x) — две квадратичные формы, τ > 0 — некоторое число. В теореме 2.2 нулевое решение системы (2.1) без управления (u = 0) должно быть соответственно устойчивым и равномерно асимптотически устойчивым. В случае D ≡ 0 эти ограничения можно снять, если матрицу управления выбирать из эллипсоида E(0)x,t = {K : (K −K(0))TP−1(K −K(0)) ≤ Q}, (2.13) где K(0) — такая матрица, что нулевое решение системы ẋ = A(0)x, A(0) = A+BK(0)C, (2.14) имеет указанные свойства устойчивости. Следующее утверждение, вытекающее из тео- ремы инерции [7], дает метод определения матрицы K(0). Теорема 2.3. Пусть выполняются соотношения AZ + ZAT < B(V + V T )BT , (2.15) V BTZ−1C+C = V BTZ−1, (2.16) где Z — симметричная (n × n)-матрица с инерцией i(Z) = {p, q, 0}, V — (m × m)- матрица, C+ — псевдообратная матрица. Тогда система (2.14) с матрицей линейной обратной связи по выходу K(0) = −V BTZ−1C+ (2.17) имеет p (q) собственных значений с учетом кратностей, расположенных в открытой левой (правой) полуплоскости. В частности, при условиях (2.15) – (2.17) и Z = ZT > 0 данная система асимптотически устойчива. Замечание 2.2. Если матрица C имеет полный ранг l, то C+ = CT (CCT )−1 и условие (2.16) эквивалентно равенству C⊥Z−1BV T = 0, где C⊥ — такая матрица, что det [ C C⊥ ] 6= 0, C⊥CT = 0. Из непрерывной зависимости исходных матриц системы (2.1), (2.2) от x и t следу- ет, что для обеспечения устойчивости (равномерной асимптотической устойчивости) ну- левого решения замкнутой системы достаточно выполнения строгих матричных нера- венств (2.12) при x = 0. Поэтому имеет место следующее утверждение. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 232 А. Г. МАЗКО, В. В. ШРАМ Теорема 2.4. Пусть выполняются условие (2.4) и дифференциальное матричное не- равенство  Ẋ +AT0X +XA0 + Y XB0 CT0 BT 0 X −P−10 DT 0 C0 D0 −Q−10  < 0, t ≥ 0, (2.18) где A0 = A(0, t), B0 = B(0, t), C0 = C(0, t), D0 = D(0, t), P0 = P (0, t), Q0 = Q(0, t), X(t) = XT (t) и Y (t) = Y T (t) — такие матрицы, что X(t) ≥ X0 > 0, Y (t) ≥ 0 (X1 ≥ X(t) ≥ X0 > 0, Y (t) ≥ Y0 > 0). Тогда любое управление (2.2) обеспечивает устойчивость (равномерную асимптотическую устойчивость) нулевого решения сис- темы (2.1). Рассмотрим семейство управляемых систем типа (2.1), (2.2) с неопределенными мат- ричными коэффициентами A(x, t) ∈ Pa = { νa∑ i=1 αiAi : αi ≥ 0, νa∑ i=1 αi = 1 } , B(x, t) ∈ Pb =  νb∑ j=1 βjBj : βj ≥ 0, νb∑ j=1 βj = 1  , (2.19) C(x, t) ∈ Pc = { νc∑ k=1 γkCk : γk ≥ 0, νc∑ k=1 γk = 1 } , D(x, t) ∈ Pd = { νd∑ s=1 δsDs : δs ≥ 0, νd∑ s=1 δs = 1 } . Здесь заданные наборы матриц Ai, Bj , Ck и Ds являются вершинами соответствующих политопов Pa ⊂ Rn×n, Pb ⊂ Rn×m, Pc ⊂ Rl×n и Pd ⊂ Rl×m. Стабилизирующие управле- ния по-прежнему строим в виде линейной обратной связи по выходу (2.2). Теорема 2.5. Пусть выполняется система матричных неравенств DT s QDs < P−1,  Ẋ +ATi X +XAi + Y XBj CTk BT j X −P−1 DT s Ck Ds −Q−1  ≤ 0, (2.20) x ∈ S0, t ≥ 0, i = 1, νa, j = 1, νb, k = 1, νc, s = 1, νd, где X(t) = XT (t) и Y (t) = Y T (t) — такие матрицы, что X(t) ≥ X0 > 0, Y (t) ≥ 0 (X1 ≥ X(t) ≥ X0 > 0, Y (t) ≥ Y0 > 0). Тогда любое управление (2.2) обеспечивает устойчивость (равномерную асимптотическую устойчивость) нулевого решения каж- дой системы (2.1), (2.19). Доказательство теоремы 2.5 сводится к применению теоремы 2.2. Действительно, так как матрицы A, B, C и D входят в выражения (2.12) линейно, то при умножении на αi, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СЕМЕЙСТВА ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ 233 βj , γk и δs соответствующих матричных неравенств (2.20) и их суммировании получим матричные неравенства (2.12) и (2.4), используемые в теореме 2.2. В [9] описана более общая методика сведения матричных неравенств с полиэдральными коэффициентами к конечной системе линейных матричных неравенств. Замечание 2.3. При выполнении условий теорем 2.2, 2.4 и 2.5 X(t) является матрицей общей квадратичной функции Ляпунова для каждой системы (2.1) с неопределенными коэффициентами (2.19) и с любым управлением (2.2). При использовании теоремы 2.5 достаточно обеспечить выполнение систем строгих матричных неравенств (2.20) лишь при x = 0 (см. теорему 2.4). Замечание 2.4. Системы матричных неравенств (2.20) можно использовать при реше- нии обратных задач робастной стабилизации. В частности, для заданной матрицы X(t) при условиях теоремы 2.5 построить семейство систем стабилизации, описываемых ма- тричными политопами (2.19) и эллипсоидами матриц управления (2.2). В данной задаче неизвестными матрицами будут вершины политопов Ai, Bj , Ck и Ds, а также выражения P1 = −P−1 < 0 и Q1 = −Q−1 < 0. 3. Робастная устойчивость некоторого класса нелинейных систем. Рассмотрим диф- ференциальную систему ẋ = A(x, t)x+ g(x, t), x ∈ Rn, t ≥ 0, (3.1) где A и g — непрерывные матричная и векторная функции, удовлетворяющие условиям A(x, t) ∈ A = { ν∑ i=1 αiAi : αi ≥ 0, ν∑ i=1 αi ≥ α > 0 } , (3.2) ‖g(x, t)‖ ≤ γ‖x‖1+δ, γ > 0, δ > 0, t ≥ 0. (3.3) Условие (3.2) можно рассматривать как возможность представления A(x, t) = ν∑ i=1 αi(x, t)Ai, где αi(x, t) — неотрицательные скалярные функции такие, что ν∑ i=1 αi(x, t) ≥ α > 0. При условии (3.3) g(0, t) ≡ 0 и система (3.1) имеет нулевое решение x ≡ 0. Теорема 3.1. Если для некоторых матриц X(t) = XT (t) > 0 и Yi = Y T i < 0 выпол- няется система матричных неравенств 0 < X0 ≤ X(t) ≤ X1, 0 ≤ Ẋ(t) ≤ Yi − α [ATi X(t) +X(t)Ai], t ≥ 0, i = 1, ν, (3.4) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 234 А. Г. МАЗКО, В. В. ШРАМ то нулевое решение x ≡ 0 каждой системы (3.1) – (3.3) равномерно асимптотически устойчиво и v(x) = xTX(t)x — общая функция Ляпунова данного семейства систем. Доказательство. Вычислим производную функции Ляпунова v(x) = xTXx в силу сис- темы (3.1) и проведем ее оценку с учетом ограничений (3.2) – (3.4): v̇(x) = xT Ẋx+ ẋTXx+ xTXẋ = xT (Ẋ +ATX +XA)x+ 2gTXx = = ν∑ i=1 αi x T ( 1 α Ẋ +ATi X +XAi ) x+ ( 1− 1 α ν∑ i=1 αi ) xT Ẋx+ 2gTXx ≤ ≤ 1 α ν∑ i=1 αix TYix+ 2 √ gTXg xTXx ≤ ≤ 1 α ν∑ i=1 αimax i λmax(Yi)‖x‖2 + 2 √ gTX1g xTX1x ≤ ≤ max i λmax(Yi)‖x‖2 + 2λmax(X1)‖g‖‖x‖ ≤ ≤ [ max i λmax(Yi)|+ 2γλmax(X1)‖x‖δ ] ‖x‖2. Здесь использованы неравенства xTZx ≤ λmax(Z)‖x‖2 и gTXx ≤ √ gTXg xTXx, выпол- няемые для любых матриц Z = ZT и X = XT ≥ 0. Таким образом, если ‖x‖ ≤ (−ε−max i λmax(Yi) 2γλmax(X1) ) 1 δ , 0 < ε < −max i λmax(Yi), (3.5) то v̇(x) ≤ −ε‖x‖2 и согласно теореме Ляпунова нулевое решение x ≡ 0 каждой систе- мы (3.1) равномерно асимптотически устойчиво. При этом неравенства (3.5) описывают подмножество области притяжения данных систем. Теорема доказана. Следствие 3.1. При условиях теоремы 3.1 семейство псевдолинейных систем ẋ = A(x, t)x+B(x, t)u, A(x, t) ∈ A, ‖B(x, t)‖ ≤ b‖x‖β, x ∈ Rn, t ≥ 0, стабилизируемо управлением u(x, t), если ‖u(x, t)‖ ≤ d‖x‖γ , b > 0, d > 0, β + γ > 1. 4. Стабилизация двойного перевернутого маятника. Рассмотрим псевдолинейную ста- ционарную модель стабилизации двойного перевернутого маятника на тележке (рис. 1) R(θ)θ̈ +N(θ, θ̇)θ̇ +G(θ) = Hu, (4.1) где θ =  θ0 θ1 θ2  , R(θ) =  d1 d2 cos(θ1) d3 cos(θ2) d2 cos(θ1) d4 d5 cos(θ1 − θ2) d3 cos(θ2) d5 cos(θ1 − θ2) d6  , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СЕМЕЙСТВА ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ 235 Рис. 1. Двойной перевернутый маятник на тележке. N(θ, θ̇) =  0 −d2 sin(θ1)θ̇1 −d3 sin(θ2)θ̇2 0 0 d5 sin(θ1 − θ2)θ̇2 0 −d5 sin(θ1 − θ2)θ̇2 0  , H =  1 0 0  , G(θ) =  0 −f1 sin θ1 −f2 sin θ2  = G1(θ)θ, G1(θ) =  0 0 0 0 −f1 sin(θ1) θ1 0 0 0 −f2 sin(θ2) θ2  , d1 = m0 +m1 +m2, d2 = (m1 2 +m2 ) L1, d3 = 1 2 m2L2, d4 = (m1 3 +m2 ) L2 1, d5 = 1 2 m2L1L2, d6 = 1 3 m2L 2 2, f1 = (m1 2 +m2 ) L1g, f2 = 1 2 m2L2g, m0, m1 и m2 — соответственно массы тележки, первого и второго звеньев маятника, L1 и L2 — длины первого и второго звеньев маятника, θ0 — отклонение тележки, θ1 и θ2 — углы отклонения звеньев маятника от вертикальной оси, I1 и I2 — моменты инерции звеньев маятника, g — ускорение свободного падения, u — управляющая сила [10]. Положим m0 = 1, 5 кг, m1 = 0, 5 кг, m2 = 0, 75 кг, L1 = 0, 5 м, L2 = 0, 75 м. Перепишем систему (4.1) в виде ẋ = A(x)x+B(x)u, (4.2) где x = [ θ θ̇ ] , A(x) = [ O3,3 I3 −R−1G1 −R−1N ] , B(x) = [ O3,1 R−1H ] . Нулевое состояние равновесия x = 0 системы без управления (u = 0) является не- устойчивым. Используя теорему 2.4, построим множество линейных обратных связей по состоянию u = Kx, (K −K(0))T (K −K(0)) ≤ ηI6, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 236 А. Г. МАЗКО, В. В. ШРАМ обеспечивающих асимптотическую устойчивость нулевого решения замкнутой системы. В данном случае в (2.13) P = 1, Q = ηI6 и ‖K − K(0)‖ ≤ η. Матрицу K(0) определяем согласно (2.17) в виде K(0) = −B(0)TZ−1, где Z > 0 — решение матричного неравенства Ляпунова (см. также [1]) A(0)Z + ZA(0)T < 2B(0)B(0)T . Решая данное неравенство с помощью системы MATLAB, получаем K(0) = [−0, 00923; 195, 34659; −205, 04781; −0, 2791; 10, 09102; −28, 14679] . Найдено также максимальное значение ηmax = 0, 096 параметра η, характеризующего радиус стабилизации в пространстве матриц обратной связи K. Решение блочного неравенства (2.18) найдено в виде постоянной матрицы X =  0, 0025 −0, 093 0, 26 0, 034 0, 017 0, 047 −0, 093 1498 −1964, 5 −2, 77 16, 63 −117, 8 0, 26 −1964, 5 3281 7, 57 −16, 88 188, 8 0, 034 −2, 77 7, 57 1, 12 0, 545 1, 5 0, 017 16, 63 −16, 88 0, 545 7, 54 −9, 37 0, 047 −117, 8 188, 8 1, 5 −9, 37 75, 52  > 0. При этом семейство замкнутых систем имеет общую квадратичную функцию Ляпунова v(x) = xTXx. На рис. 2 – 4 показано поведение решений системы (4.2) с управлением u = K(0)x и вектором начальных условий x0 = [0, 1; 0, 05; 0, 05; 0, 1; 0, 05; 0, 05]T . Рис. 2. Функции θ0(t) и θ̇0(t), 0 ≤ t ≤ 100. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ СЕМЕЙСТВА ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ 237 Рис. 3. Функции θ1(t) и θ̇1(t), 0 ≤ t ≤ 5. Рис. 4. Функции θ2(t) и θ̇2(t), 0 ≤ t ≤ 5. 1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 303 с. 2. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007. — 280 с. 3. Djaferis T. E. Robust control design: a polynomial approach. — Boston: Kluwer, 1995. — 288 p. 4. Мазко О. Г., Шрам В. В. Робастна стiйкiсть лiнiйних керованих систем з невизначеними коефiцiєнтами // Математичнi проблеми механiки: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2010. — 7, № 3. — C. 70 – 86. 5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с. 6. Гантмахер Ф. Р., Якубович В. А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем // Тру- ды II Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике. — М.: Наука, 1965. 7. Mazko A. G. Matrix equations, spectral problems and stability of dynamic systems // Int. Book Series „Stabi- lity, Oscillations and Optimization of Systems” / Eds A. A. Martynyuk, P. Borne, C. Cruz-Hernandez. — Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2008. — Vol. 2. — xx + 270 p. 8. Мазко А. Г. Конусные неравенства и устойчивость дифференциальных систем // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 8. — С. 1058 – 1074. 9. Мазко О. Г., Шрам В. В. Умови стiйкостi та локалiзацiї спектра сiм’ї лiнiйних динамiчних систем // Проблеми динамiки та стiйкостi багатовимiрних систем: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2009. — 6, № 3. — C. 149 – 168. 10. Bogdanov A. Optimal control of a double inverted pendulum on a cart // OGI School Sci. Eng., OHSU, 2004. Одержано 17.12.10 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2