К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем
Для нелiнiйних неточних сингулярно збурених систем побудовано керування, що забезпечує їх абсолютну параметричну стiйкiсть. Оцiнено множину значень параметрiв, для яких вказана властивiсть системи зберiгається....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175346 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем / А.А. Мартынюк, А.С. Хорошун // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 238-254. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175346 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1753462021-02-01T01:29:25Z К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. Для нелiнiйних неточних сингулярно збурених систем побудовано керування, що забезпечує їх абсолютну параметричну стiйкiсть. Оцiнено множину значень параметрiв, для яких вказана властивiсть системи зберiгається. For nonlinear singularly perturbed uncertain systems, we construct a control yielding their absolute parametric stability. We give an estimate for the set of parameter values such that the above property is preserved. 2011 Article К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем / А.А. Мартынюк, А.С. Хорошун // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 238-254. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175346 517.36 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для нелiнiйних неточних сингулярно збурених систем побудовано керування, що забезпечує їх абсолютну параметричну стiйкiсть. Оцiнено множину значень параметрiв, для яких вказана властивiсть системи зберiгається. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. |
| spellingShingle |
Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем Нелінійні коливання |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. Хорошун, А.С. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем |
| title_short |
К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем |
| title_full |
К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем |
| title_fullStr |
К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем |
| title_full_unstemmed |
К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем |
| title_sort |
к задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175346 |
| citation_txt |
К задаче стабилизации движения параметрического семейства нелинейных сингулярно возмущенных систем / А.А. Мартынюк, А.С. Хорошун // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 238-254. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa kzadačestabilizaciidviženiâparametričeskogosemejstvanelinejnyhsingulârnovozmuŝennyhsistem AT horošunas kzadačestabilizaciidviženiâparametričeskogosemejstvanelinejnyhsingulârnovozmuŝennyhsistem |
| first_indexed |
2025-07-15T12:35:55Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:35:55Z |
| _version_ |
1837716425364471808 |
| fulltext |
УДК 517.36
К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ
ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА
НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ
А. А. Мартынюк, А. С. Хорошун
Ин-т механики НАН Украины
Украина, 03057, Киев, ул. Нестерова, 3
e-mail:center@inmech.kiev.ua
For nonlinear singularly perturbed uncertain systems, we construct a control yielding their absolute pa-
rametric stability. We give an estimate for the set of parameter values such that the above property is
preserved.
Для нелiнiйних неточних сингулярно збурених систем побудовано керування, що забезпечує їх
абсолютну параметричну стiйкiсть. Оцiнено множину значень параметрiв, для яких вказана
властивiсть системи зберiгається.
Введение. Практически каждая реальная управляемая система содержит некоторые не-
определенные параметры. Это может быть связано с неточностью измерительных при-
боров, неучетом некоторых факторов при моделировании процесса, который исследу-
ется, либо с чем то еще. Если о значениях этих параметров ничего не известно, то прак-
тически невозможно сказать заранее, как поведет себя система при наличии сконструи-
рованного для нее управления. Возможно, что изменения параметров вызовут эффекты,
разрушающие то свойство, которое введением в систему управления должно было га-
рантироваться. Наличие хотя бы минимальной информации о параметрах системы дает
возможность учитывать ее при построении управления, что значительно улучшает ка-
чество управления.
Концепция параметрической устойчивости, введенная в [1] и затем развитая в рабо-
тах [2 – 6], позволяет исследовать систему с учетом изменения входящих в нее параметров
и определять границы этих изменений, при которых исследуемое свойство системы не
нарушается. В работе [7] получены результаты по исследованию свойств устойчивости
сингулярно возмущенной системы в случае, когда вид управления известен. Однако пред-
ставляет интерес управление системой, содержащей неопределенные параметры. Кон-
струированию такого управления, определению условий на саму систему, обеспечиваю-
щих желаемое ее свойство, а также оценке области изменения параметров, при которых
заданное свойство системы будет сохраняться, посвящена данная работа.
1. Постановка задачи. Рассмотрим неточную сингулярно возмущенную систему диф-
ференциальных уравнений вида
ẋ = f1(x, y, p),
µẏ = f2(x, y, p),
где x(t) ∈ Rn, y(t) ∈ Rm — переменные, определяющие состояние системы в момент
времени t ∈ R+. Векторные функции f1(x, y, p) ∈ Rn, f2(x, y, p) ∈ Rm предполагаются
c© А. А. Мартынюк, А. С. Хорошун, 2011
238 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА . . . 239
непрерывно дифференцируемыми по переменным x и y и непрерывно зависящими от
векторного параметра p ∈ Rl, µ ∈ (0, 1] — малый параметр.
Отметим, что состояние равновесия данной системы является подвижным. Подвиж-
ность состояния равновесия, т. е. изменение его координат x и y, вызвано изменением
значений параметра. Это означает, что если для некоторого фиксированного значения
параметра p найдено соответствующее состояние равновесия исследуемой системы, то
при другом фиксированном значении параметра будем иметь, возможно, другое состоя-
ние равновесия, т. е. состояние равновесия сдвинется, поменяет свое местоположение.
Приведем определение абсолютной параметрической устойчивости неточной систе-
мы.
Определение 1. Неточная cистема дифференциальных уравнений называется аб-
солютно параметрически устойчивой относительно области P ⊆ Rl, если для всех
p ∈ P выполняются следующие условия:
1) существует единственное состояние равновесия xe(p) рассматриваемой сис-
темы;
2) xe(p) глобально асимптотически устойчиво.
Введем в исходную систему управление таким образом, чтобы обеспечить абсолют-
ную устойчивость подвижного состояния равновесия этой системы. Рассмотрим получен-
ную систему
ẋ = f1(x, y, p) +B1(p)u,
(1)
µẏ = f2(x, y, p) +B2(p)u,
где B1(p) ∈ Rn×k, B2(p) ∈ Rm×k имеют элементы, непрерывно зависящие от векторного
параметра p. Управление u ∈ Rk будем рассматривать в виде u = K1x + K2y, где K1 ∈
∈ Rk×n, K2 ∈ Rk×m — некоторые постоянные матрицы. Предположим, что для системы
(1) справедлива теорема о существовании и единственности решения начальной задачи.
Использовав формулу конечных приращений Лагранжа для функций f1(x, y, p) и
f2(x, y, p) в окрестности нулевых значений переменных x и y, систему (1) приведем к виду
ẋ = A11(x̃, ỹ, p)x+A12(x̃, ỹ, p)y + C1(p) +B1(p)(K1x+K2y),
(2)
µẏ = A21(˜̃x, ˜̃y, p)x+A22(˜̃x, ˜̃y, p)y + C2(p) +B2(p)(K1x+K2y),
где
A11(x̃, ỹ, p) =
∂f1(x, y, p)
∂x
∣∣∣∣
x=x̃
y=ỹ
, A12(x̃, ỹ, p) =
∂f1(x, y, p)
∂y
∣∣∣∣
x=x̃
y=ỹ
,
A21(˜̃x, ˜̃y, p) =
∂f2(x, y, p)
∂x
∣∣∣∣
x=˜̃x
y=˜̃y
, A22(˜̃x, ˜̃y, p) =
∂f2(x, y, p)
∂y
∣∣∣∣
x=˜̃x
y=˜̃y
,
C1(p) = f1(0, 0, p), C2(0, 0, p) = f2(0, 0, p), x̃ ∈ Rn, ˜̃x ∈ Rn, ỹ ∈ Rm, ˜̃y ∈ Rm — некоторые
точки соответствующих пространств.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
240 А. А. МАРТЫНЮК, А. С. ХОРОШУН
Относительно системы (2) сделаем следующие предположения.
Предположение 1. Пусть система уравнений (2) такова, что:
1) существует значение параметра p = p∗ такое, при котором существует состо-
яние равновесия x = x∗, y = y∗ рассматриваемой системы;
2) существуют такие положительные числа α, β, γ, δ < +∞, что выполняются
следующие оценки:
‖A11(x, y, p)−A11(x∗, y∗, p∗)‖ ≤ α, ‖A12(x, y, p)−A12(x∗, y∗, p∗)‖ ≤ β,
‖A21(x, y, p)−A21(x∗, y∗, p∗)‖ ≤ γ, ‖A22(x, y, p)−A22(x∗, y∗, p∗)‖ ≤ δ
для всех x ∈ Rn, y ∈ Rm, p ∈ Rl;
3) матрицы A11(x∗, y∗, p∗) + B1(p∗)K1 и A22(x∗, y∗, p∗) + B2(p∗)K2 устойчивы, а мат-
рица
A = A22(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K2 − (A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1)×
× (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1(A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2)
невырождена.
Замечание 1. Отметим, что здесь и далее используется спектральная норма для мат-
риц и евклидова норма для векторов.
Отметим, что система, сходная с системой (2), рассматривалась в работе [8], где был
установлен вид управления u, которое обеспечивает практическую устойчивость исход-
ной системы при всех значениях параметров из некоторой ограниченной наперед задан-
ной области. В данной работе синтезировано в явном виде управление u, которое при
выполнении некоторых условий на функции f1(x, y, p), f2(x, y, p) обеспечивает абсолют-
ную параметрическую устойчивость подвижного состояния равновесия сингулярно воз-
мущенной системы (1) относительно некоторой области в пространстве параметров Rl.
Указанная область также будет определена исходя лишь из общего вида системы (1).
2. Анализ существования состояния равновесия исследуемой системы. Состояние рав-
новесия системы (2), суть состояние равновесия системы (1), если оно существует, явля-
ется решением системы алгебраических уравнений
0 = A11(x̃, ỹ, p)x+A12(x̃, ỹ, p)y + C1(p) +B1(p)(K1x+K2y),
(3)
0 = A21(˜̃x, ˜̃y, p)x+A22(˜̃x, ˜̃y, p)y + C2(p) +B2(p)(K1x+K2y).
Перепишем ее в следующем виде:
0 = (A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)x+ (A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2)y + C1(p),
(4)
0 = (A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1)x+ (A22(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K2)y + C2(p).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА . . . 241
Если квадратная матрица A11(x̃, ỹ, p) + B1(p)K1 размерности n × n невырождена при
некоторых значениях x̃, ỹ и p, то из первого уравнения системы (4) можем выразить пе-
ременную x в виде
x = −
(
A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1
)−1(
(A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2)y + C1(p)
)
. (5)
Определим область P1 = {p ∈ Rl | ‖p − p∗‖ ≤ a} ⊆ Rl, где a ∈ R+, и ограничения
на матрицу A11(x, y, p), суть на производную функции f1(x, y, p), при которых матрица
A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1 невырождена.
Представим эту матрицу с учетом невырожденности матрицыA11(x∗, y∗, p∗)+B1(p∗)K1
в следующем виде:
A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1 = A11(x∗, y∗, p∗) + (A11(x̃, ỹ, p)−
−A11(x∗, y∗, p∗)) + (B1(p)−B1(p∗))K1 +B1(p∗)K1 =
= (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)(In×n + (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1×
× [(A11(x̃, ỹ, p)−A11(x∗, y∗, p∗) + (B1(p)−B1(p∗))K1]),
где In×n — единичная матрица соответствующей размерности.
Поскольку матрица A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1 невырождена, невырожденность исход-
ной матрицы эквивалентна невырожденности матрицы
In×n + (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1 [(A11(x̃, ỹ, p)−A11(x∗, y∗, p∗) + (B1(p)−B1(p∗))K1] ,
что будет иметь место, если выполняется соотношение∥∥∥(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1 [(A11(x̃, ỹ, p)−A11(x∗, y∗, p∗) + (B1(p)−B1(p∗))K1]
∥∥∥ < 1.
(6)
Учитывая оценку∥∥∥(A11(x∗, y∗, p∗) + B1(p∗)K1)−1 [(A11(x̃, ỹ, p)−A11(x∗, y∗, p∗) + (B1(p)−B1(p∗))K1]
∥∥∥ ≤
≤
∥∥∥(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥×
×
(
‖A11(x̃, ỹ, p)−A11(x∗, y∗, p∗)‖+ max
p∈P1
‖B1(p)−B1(p∗)‖‖K1‖
)
≤
≤
∥∥∥(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥ (α+ max
p∈P1
‖B1(p)−B1(p∗)‖‖K1‖),
убеждаемся, что если выполняется неравенство∥∥∥(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥ (α+ max
p∈P1
‖B1(p)−B1(p∗)‖‖K1‖) < 1, (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
242 А. А. МАРТЫНЮК, А. С. ХОРОШУН
то выполняется неравенство (6), т. е. исследуемая матрица невырождена. Таким образом,
с помощью соотношения (7) можно оценить область P1 и величину α, при которых исход-
ная матрица невырождена.
Подставляя соотношение (5) во второе уравнение системы (4), получаем уравнение
для определения переменной y :
0 = (A22(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K2)y + C2(p)− (A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1)(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1×
× ((A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2)y + C1(p)),
или, преобразовав его,(
A22(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K2 − (A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1) ×
×(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1(A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2)
)
y =
= (A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1)(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1C1(p)− C2(p).
Существование решения этого уравнения при некоторых значениях ˜̃x, ˜̃y, x̃, ỹ, p эквива-
лентно невырожденности матрицы
A22(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K2−
− (A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1)(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1(A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2)
при этих значениях параметров. Определим область P2 = {p ∈ Rl | ‖p− p∗‖ ≤ b} и огра-
ничения на матрицы A11(x, y, p), A12(x, y, p), A21(x, y, p), A22(x, y, p), при которых данная
матрица невырождена.
Перепишем эту матрицу в следующем виде:
A
(
Im×m +A−1
(
(A22(˜̃x, ˜̃y, p)−A22(x∗, y∗, p∗)) + (B2(p)−B2(p∗))K2+
+ (A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1)(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1(A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2)−
− (A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1)(A11(x∗, y∗, p∗)+
+B1(p∗)K1)−1(A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2)
))
.
Поскольку матрица A невырождена согласно п. 3 предположения 1, невырожденность
исследуемой матрицы следует из невырожденности матрицы
Im×m +A−1
(
(A22(˜̃x, ˜̃y, p)−A22(x∗, y∗, p∗)) + (B2(p)−B2(p∗))K2+
+ (A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1)(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1(A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2)−
− (A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1)(A11(x∗, y∗, p∗)+
+B1(p∗)K1)−1(A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2)
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА . . . 243
что будет иметь место, если выполняется соотношение
∥∥∥A−1
(
(A22(˜̃x, ˜̃y, p)−A22(x∗, y∗, p∗)) + (B2(p)−B2(p∗))K2+
+ (A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1)(A11(x̃, ỹ, p)+
+B1(p)K1)−1(A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2)−
− (A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1)(A11(x∗, y∗, p∗)+
+B1(p∗)K1)−1(A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2)
)∥∥∥ < 1. (8)
Оценим величину нормы в левой части неравенства (8). Рассмотрим разность
(A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1)(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1(A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2)−
− (A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1)(A11(x∗, y∗, p∗)+
+B1(p∗)K1)−1(A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2) =
=
[
(A21(˜̃x, ˜̃y, p)−A21(x∗, y∗, p∗)) + (B2(p)−B2(p∗))K1
]
×
×
[
(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
]
×
×
[
(A12(x̃, ỹ, p)−A12(x∗, y∗, p∗)) + (B1(p)−B1(p∗))K2
]
+
+
[
(A21(˜̃x, ˜̃y, p)−A21(x∗, y∗, p∗)) + (B2(p)−B2(p∗))K1
]
×
×
(
A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1
)−1
×
×
[
(A12(x̃, ỹ, p)−A12(x∗, y∗, p∗)) + (B1(p)−B1(p∗))K2
]
+
+
[
(A21(˜̃x, ˜̃y, p)−A21(x∗, y∗, p∗)) + (B2(p)−B2(p∗))K1
]
×
×
[
(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
]
×
×
(
A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2
)
+
+
[
(A21(˜̃x, ˜̃y, p)−A21(x∗, y∗, p∗)) + (B2(p)−B2(p∗))K1
]
×
×
(
A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1
)−1(
A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2
)
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
244 А. А. МАРТЫНЮК, А. С. ХОРОШУН
+
(
A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1
)
×
×
[
(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
]
×
×
[
(A12(x̃, ỹ, p)−A12(x∗, y∗, p∗)) + (B1(p)−B1(p∗))K2
]
+
+
(
A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1
)(
A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1
)−1
×
×
[
(A12(x̃, ỹ, p)−A12(x∗, y∗, p∗)) + (B1(p)−B1(p∗))K2
]
+
+
(
A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1
)
×
×
[
(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
]
×
×
(
A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2
)
. (9)
Тогда, учитывая (9), можем оценить величину нормы в левой части неравенства (8):∥∥∥A−1
(
(A22(˜̃x, ˜̃y, p)−A22(x∗, y∗, p∗)) + (B2(p)−B2(p∗))K2+
+ (A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1)(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1(A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2)−
− (A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1)(A11(x∗, y∗, p∗)+
+B1(p∗)K1)−1(A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2)
)∥∥∥ ≤
≤ ‖A−1‖
(
δ + ‖B2(p)−B2(p∗)‖‖K2‖
)
+ ‖A−1‖
[(
γ + ‖B2(p)−B2(p∗)‖ ‖K1‖
)
×
×
[
(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
]
×
×
(
β + ‖B1(p)−B1(p∗)‖ ‖K2‖
)
+
(
γ + ‖B2(p)−B2(p∗)‖ ‖K1‖
)
×
×
∥∥∥(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥(β + ‖B1(p)−B1(p∗)‖ ‖K2‖
)
+
+
(
γ + ‖B2(p)−B2(p∗)‖ ‖K1‖
)
×
×
∥∥∥(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥×
×
∥∥∥A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2
∥∥∥+
(
γ + ‖B2(p)−B2(p∗)‖‖K1‖
)
×
×
∥∥∥(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥∥∥∥A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2
∥∥∥+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА . . . 245
+
∥∥∥A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1
∥∥∥×
×
∥∥∥(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥×
×
(
β + ‖B1(p)−B1(p∗)‖ ‖K2‖
)
+
∥∥∥A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1
∥∥∥×
×
∥∥∥(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥(β + ‖B1(p)−B1(p∗)‖ ‖K2‖
)
+
+
∥∥∥A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1
∥∥∥×
×
∥∥∥(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥×
×
(
A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2
)]
. (10)
Оценим величину
∥∥∥(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥.
Пусть A11(x̃, ỹ, p) + B1(p)K1 = (A11(x∗, y∗, p∗) + B1(p∗)K1) + E. Тогда, согласно формуле
5.8.2 из [9],
∥∥∥(A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1
∥∥∥ =
=
∥∥∥(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1 − (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1 + E)−1
∥∥∥ ≤
≤
∥∥(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1((A11(x̃, ỹ, p)−A11(x∗, y∗, p∗)) + (B1(p)−B1(p∗))K1)
∥∥
1−‖(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1((A11(x̃, ỹ, p)−A11(x∗, y∗, p∗))+(B1(p)−B1(p∗))K1)‖
×
× ‖(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)‖ ≤
≤
‖(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1‖2(α+ max
p∈P2
‖B1(p)−B1(p∗)‖‖K1‖)
1− ‖(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1‖(α+ max
p∈P2
‖B1(p)−B1(p∗)‖ ‖K1‖)
= M(α), (11)
если
‖(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1‖(α+ max
p∈P2
‖B1(p)−B1(p∗)‖‖K1‖) < 1. (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
246 А. А. МАРТЫНЮК, А. С. ХОРОШУН
Таким образом, из (8), (10) – (12) получим, что если выполняются неравенства
‖A−1‖(δ + max
p∈P2
‖B2(p)−B2(p∗)‖‖K2‖)+
+ ‖A−1‖
[(
γ + max
p∈P2
‖B2(p)−B2(p∗)‖‖K1‖
)
M(α)
(
β + max
p∈P2
‖B1(p)−B1(p∗)‖‖K2‖
)
+
+
(
γ + max
p∈P2
‖B2(p)−B2(p∗)‖‖K1‖
)
‖(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1‖×
×
(
β + max
p∈P2
‖B1(p)−B1(p∗)‖ ‖K2‖
)
+
(
γ + max
p∈P2
‖B2(p)−B2(p∗)‖‖K1‖
)
×
×M(α)‖(A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2)‖+
(
γ + max
p∈P2
‖B2(p)−B2(p∗)‖‖K1‖
)
×
× ‖(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1‖‖(A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2)‖+
+ ‖(A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1)‖M(α)
(
β + max
p∈P2
‖B1(p)−B1(p∗)‖ ‖K2‖
)
+
+ ‖(A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1)‖ ‖(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)−1‖×
×
(
β + max
p∈P2
‖B1(p)−B1(p∗)‖ ‖K2‖
)
+
+ ‖(A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1)‖M(α)‖(A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2)‖ < 1 (13)
и (12), то выполняется неравенство (8), т. е. исследуемая матрица невырождена. Таким
образом, с помощью соотношений (12), (13) можно оценить область P2 и величины α,
β, γ и δ. Значит, оценив область Ωp = P1 ∩ P2 и выбрав величины α, β, γ и δ так, что-
бы выполнялись соотношения (7) и (13) (условие (12) совпадает с условием (7), поэтому
оно опущено), получим, что для всех p ∈ Ωp и функций f1(x, y, p), f2(x, y, p) таких, что
выполняются оценки из п. 2 предположения 1, где α, β, γ и δ выбраны выше, существует
единственное состояние равновесия системы (2), суть системы (1).
Замечание 2. Поскольку при p = p∗ и значениях α = β = γ = δ = 0 соотношения (7),
(13) выполняются и функции, входящие в эти соотношения, предполагаются непрерыв-
ными по параметру p, то область Ωp и величины α > 0, β > 0, γ > 0, δ > 0 всегда могут
быть определены.
3. Анализ параметрической устойчивости подвижного состояния равновесия. Пусть
для системы (2) выполняются условия предположения 1. Введем обозначения. Пусть
((xe(p))T , (ye(p))T )T — состояние равновесия системы (2), соответствующее некоторо-
му значению параметра p, Q1 ∈ Rn×n, Q2 ∈ Rm×m — симметрические положительно
определенные матрицы, P ∗1 ∈ Rn×n, P ∗2 ∈ Rm×m — симметрические положительно опре-
деленные матрицы, являющиеся решениями алгебраических уравнений Ляпунова
(A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1)TP ∗1 + P ∗1 (A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1) = −Q1,
(A22(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K2)TP ∗2 + P ∗2 (A22(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K2) = −Q2
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА . . . 247
соответственно, согласно п. 3 предположения 1 матрицы P ∗1 и P ∗2 существуют.
Сформулируем и докажем теорему, которая определяет достаточные условия абсо-
лютной параметрической устойчивости [6] нелинейной неточной сингулярно возмущен-
ной системы относительно некоторой области в пространстве параметров.
Теорема 1. Пусть выполняются условия предположения 1 и функции f1(x, y, p),
f2(x, y, p), входящие в систему (1), таковы, что для всех x ∈ Rn, y ∈ Rm, p ∈ P ⊆ Rl
∥∥∥∥ ∂f1(x, y, p)
∂x
∣∣∣∣
x
− ∂f1(x, y, p)
∂x
∣∣∣∣
(x∗,y∗,p∗)
∥∥∥∥∥ ≤ α1 <
< min
α,
λmin(Q1)− 2‖P ∗1 ‖‖K1‖ max
p∈Ωp1
‖B1(p)−B1(p∗)‖
2‖P ∗1 ‖
, (14)
область Ωp1 = {p ∈ Rl | ‖p− p∗‖ ≤ b1} такова, что
2‖P ∗1 ‖‖K1‖ max
p∈Ωp1
‖B1(p)−B1(p∗)‖ < λmin(Q1),
∥∥∥∥∥ ∂f1(x, y, p)
∂y
∣∣∣∣
(x,y,p)
− ∂f1(x, y, p)
∂y
∣∣∣∣
(x∗,y∗,p∗)
∥∥∥∥∥ ≤ β,
∥∥∥∥∥ ∂f2(x, y, p)
∂x
∣∣∣∣
(x,y,p)
− ∂f2(x, y, p)
∂x
∣∣∣∣
(x∗,y∗,p∗)
∥∥∥∥∥ ≤ γ,
∥∥∥∥∥ ∂f2(x, y, p)
∂y
∣∣∣∣
(x,y,p)
− ∂f2(x, y, p)
∂y
∣∣∣∣
(x∗,y∗,p∗)
∥∥∥∥∥ ≤ δ1 <
< min
δ,
λmin(Q2)− 2‖P ∗2 ‖‖K2‖ max
p∈Ωp2
‖B2(p)−B2(p∗)‖
2‖P ∗2 ‖
, (15)
область Ωp2 = {p ∈ Rl | ‖p− p∗‖ ≤ b2} такова, что
2 ‖P ∗2 ‖‖K2‖ max
p∈Ωp2
‖B2(p)−B2(p∗)‖ < λmin(Q2),
величины α, β, γ, δ и область Ωp определены из условий (7) и (13) и для всех p ∈ P ⊆
⊆ (Ωp ∩ Ωp1 ∩ Ωp2) выполняется условие
AC > BD, (16)
где
A = −λmin(Q1) + 2‖P ∗1 ‖(α1 + ‖K1‖‖B1(p)−B1(p∗)‖),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
248 А. А. МАРТЫНЮК, А. С. ХОРОШУН
B = 2‖P ∗1 ‖(‖A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2‖+ β + ‖K2‖‖B1(p)−B1(p∗)‖),
C = −λmin(Q2) + 2‖P ∗2 ‖(δ1 + ‖K2‖‖B2(p)−B2(p∗)‖),
D = 2‖P ∗2 ‖(‖A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1‖+ γ + ‖K1‖‖B2(p)−B2(p∗)‖).
Тогда система (1) при управлении u = K1x+K2y абсолютно параметрически устойчива
относительно области P для всех µ ∈ (0, 1].
Замечание. Теорему 1 можно сформулировать следующим образом. При выполнении
условий теоремы 1 управление u = K1x + K2y, где K1 и K2 выбираются согласно п. 3
предположения 1, абсолютно параметрически стабилизирует систему (1).
Доказательство. Поскольку область P ⊆ (Ωp∩Ωp1Ωp2) и величины α, β, γ, и δ удовлет-
воряют условиям (7) и (13), то, как показано в п. 2, для всех p ∈ P существует единствен-
ное состояние равновесия системы (1). Покажем, что для всех значений параметра из
указанной области соответствующее состояние равновесия будет глобально асимптоти-
чески устойчиво. Пусть p — произвольное значение параметра из области P и ((xe(p))T ,
(ye(p))T )T — соответствующее ему состояние равновесия. Рассмотрим векторную функ-
цию
V (x, y) = (v1(x), v2(y))T , (17)
где v1(x) = (x − xe)TP ∗1 (x − xe), v2(y) = (y − ye)TP ∗2 (y − ye), и оценим производные ее
компонент вдоль решений системы (1):
dv1(x)
dt
∣∣∣∣
(1)
= ẋTP ∗1 (x− xe) + (x− xe)TP ∗1 ẋ =
=
(
A11(x̃, ỹ, p)x+A12(x̃, ỹ, p)y + C1(p) +B1(p)(K1x+K2y)
)T
P ∗1 (x− xe)+
+ (x− xe)TP ∗1
(
A11(x̃, ỹ, p)x+A12(x̃, ỹ, p)y + C1(p) +B1(p)(K1x+K2y)
)
=
= (x− xe)T
(
A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1
)T
P ∗1 (x− xe)+
+ (y − ye)T
(
A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2
)T
P ∗1 (x− xe)+
+ (x− xe)TP ∗1
(
A11(x̃, ỹ, p) +B1(p)K1
)
(x− xe)+
+ (x− xe)TP ∗1
(
A12(x̃, ỹ, p) +B1(p)K2
)
(y − ye), (18)
где учтено, что A11(x̃, ỹ, p)xe + A12(x̃, ỹ, p)ye + C1(p) + B1(p)(K1x
e + K2y
e) = 0. Из (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА . . . 249
получим
dv1(x)
dt
∣∣∣∣
(1)
= (x− xe)T
[(
A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1
)T
P ∗1 +
+ P ∗1
(
A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1
)]
×
× (x− xe) + (x− xe)T
[(
A11(x̃, ỹ, p)−A11(x∗, y∗, p∗)
)T
P ∗1 +
+ P ∗1
(
A11(x̃, ỹ, p)−A11(x∗, y∗, p∗)
)
+
+
(
(B1(p)−B1(p∗))K1
)T
P ∗1 + P ∗1 (B1(p)−B1(p∗))K1
]
(x− xe)+
+ (y − ye)T
[(
A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2
)T
P ∗1 +
+
(
A12(x̃, ỹ, p)−A12(x∗, y∗, p∗)
)T
P ∗1 +
+
(
(B1(p)−B1(p∗))K2
)T
P ∗1
]
(x− xe)+
+ (x− xe)T
[
P ∗1
(
A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2
)
+
+ P ∗1
(
A12(x̃, ỹ, p)−A12(x∗, y∗, p∗)
)
+ P ∗1 (B1(p)−B1(p∗))K2
]
(y − ye) ≤
≤
[
− λmin(Q1) + 2‖P ∗1 ‖
(
α1 + ‖K1‖‖B1(p)−B1(p∗)‖
)]
‖x− xe‖2+
+ 2‖P ∗1 ‖
(
‖A12(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K2‖+ β+
+ ‖K2‖ ‖B1(p)−B1(p∗)‖
)
‖x− xe‖‖y − ye‖. (19)
Продолжим оценку (19) с учетом того, что λmin(P ∗1 )‖x−xe‖2 ≤ v1(x) ≤ λmax(P ∗1 )‖x−xe‖2,
λmin(P ∗2 )‖y − ye‖2 ≤ v2(y) ≤ λmax(P ∗2 )‖y − ye‖2 :
dv1(x)
dt
∣∣∣∣
(1)
≤ A
v1(x)
λmin(P ∗1 )
+B
v
1
2
1 (x)
λ
1
2
min(P ∗1 )
v
1
2
2 (y)
λ
1
2
min(P ∗2 )
, (20)
dv2(y)
dt
∣∣∣∣
(1)
= ẏTP ∗2 (y − ye) + (y − ye)TP ∗2 ẏ =
=
1
µ
(
A21(˜̃x, ˜̃y, p)x+A22(˜̃x, ˜̃y, p)y + C2(p) +B2(p)(K1x+K2y)
)T
P ∗2 (y − ye)+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
250 А. А. МАРТЫНЮК, А. С. ХОРОШУН
+
1
µ
(y − ye)TP ∗2
(
A21(˜̃x, ˜̃y, p)x+A22(˜̃x, ˜̃y, p)y + C2(p) +B2(p)(K1x+K2y)
)
=
=
1
µ
(y − ye)T
(
A22(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K2
)T
P ∗2 (y − ye)+
+
1
µ
(x− xe)T
(
A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1
)T
P ∗2 (y − ye)+
+
1
µ
(y − ye)TP ∗2
(
A22(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K2
)
(y − ye)+
+
1
µ
(y − ye)TP ∗2
(
A21(˜̃x, ˜̃y, p) +B2(p)K1
)
(x− xe), (21)
где учтено, что A21(˜̃x, ˜̃y, p)xe + A22(˜̃x, ˜̃y, p)ye + C2(p) + B2(p)(K1x
e + K2y
e) = 0. Из (21)
получим
dv2(y)
dt
∣∣∣∣
(1)
=
1
µ
(y − ye)T
[(
A22(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K2
)T
P ∗2 +
+ P ∗2
(
A22(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K2
)]
(y − ye)+
+
1
µ
(y − ye)T
[(
A22(˜̃x, ˜̃y, p)−A22(x∗, y∗, p∗)
)T
P ∗2 +
+ P ∗2
(
A22(˜̃x, ˜̃y, p)−A22(x∗, y∗, p∗)
)
+
+
(
(B2(p)−B2(p∗))K2
)T
P ∗2 + P ∗2 (B2(p)−B2(p∗))K2
]
(y − ye)+
+
1
µ
(x− xe)T
[(
A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1
)T
P ∗2 +
+
(
A21(˜̃x, ˜̃y, p)−A21(x∗, y∗, p∗)
)T
P ∗2 +
(
(B2(p)−B2(p∗))K1
)T
P ∗2
]
(y − ye)+
+
1
µ
(y − ye)T
[
P ∗2
(
A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1
)
+
+ P ∗2
(
A21(˜̃x, ˜̃y, p)−A21(x∗, y∗, p∗)
)
+ P ∗2 (B2(p)−B2(p∗))K1
]
(x− xe) ≤
≤ 1
µ
[
− λmin(Q2) + 2‖P ∗2 ‖
(
δ1 + ‖K2‖‖B2(p)−B2(p∗)‖
)]
‖y − ye‖2+
+
2‖P ∗2 ‖
µ
(
‖A21(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K1‖+ γ+
+ ‖K1‖ ‖B2(p)−B2(p∗)‖
)
‖x− xe‖ ‖y − ye‖. (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА . . . 251
Продолжим оценку (22) с учетом того, что λmin(P ∗1 )‖x− xe‖2 ≤ v1(x) ≤ λmax(P ∗1 )‖x−
−xe‖2, λmin(P ∗2 )‖y − ye‖2 ≤ v2(y) ≤ λmax(P ∗2 )‖y − ye‖2 :
dv2(y)
dt
∣∣∣∣
(1)
≤ 1
µ
C
v2(y)
λmin(P ∗2 )
+
1
µ
D
v
1
2
1 (x)
λ
1
2
min(P ∗1 )
v
1
2
2 (y)
λ
1
2
min(P ∗2 )
. (23)
Таким образом, исходя из оценок (20), (23), для производной векторной функции V (x, y)
в силу системы (1) имеет место оценка относительно конуса R2
+ :
dV (x, y)
dt
∣∣∣∣
(1)
≤
A
v1(x)
λmin(P ∗1 )
+B
v
1
2
1 (x)
λ
1
2
min(P ∗1 )
v
1
2
2 (y)
λ
1
2
min(P ∗2 )
1
µ
C
v2(y)
λmin(P ∗2 )
+
1
µ
D
v
1
2
1 (x)
λ
1
2
min(P ∗1 )
v
1
2
2 (y)
λ
1
2
min(P ∗2 )
. (24)
Воспользовавшись неравенством −az2 + bz ≤ −a
2
z2 +
b2
2a
, продолжим оценку (24):
dV (x, y)
dt
∣∣∣∣
(1)
≤ MV (x, y),
где
M =
1
2
A
λmin(P ∗1 )
B2
λmin(P ∗2 )(−A)
1
µ
D2
λmin(P ∗1 )(−C)
1
µ
C
λmin(P ∗2 )
. (25)
Отметим, что поскольку выполняются условия (14) и (15), то A < 0 и C < 0.
Рассмотрим систему уравнений
du
dt
= Mu, (26)
где матрица M задана в (20), а u = (u1, u2)T ∈ R2
+. Поскольку A < 0 и C < 0, внедиа-
гональные элементы матрицы A положительны и функция f(u) = Mu квазимонотонна
относительно конуса R2
+, т. е. система (26) является системой сравнения для системы (1).
При выполнении условия (16) матрица M устойчива, значит, состояние равновесия u = 0
глобально асимптотически устойчиво. Согласно принципу сравнения состояние равно-
весия ((xe(p))T , (ye(p))T )T системы (1) также глобально асимптотически устойчиво. Так
как p — произвольная точка области P, система (1) абсолютно параметрически устойчи-
ва относительно этой области.
Поскольку все изложенное више имеет место для всех µ ∈ (0, 1], свойство абсолют-
ной параметрической устойчивости также сохраняется для всех µ ∈ (0, 1].
Теорема доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
252 А. А. МАРТЫНЮК, А. С. ХОРОШУН
4. Пример. В качестве примера применения предложенной выше методики рассмот-
рим стабилизацию неточной сингулярно возмущенной системы общего вида третьего по-
рядка
ẋ = f1(x, y, p),
(27)
µẏ = f2(x, y, p).
Здесь x = (x1, x2)T ∈ R2, y ∈ R1, p ∈ R1, f1(x, y, p) ∈ R2, f2(x, y, p) ∈ R1. Введем в
систему (27) управление u = K1x+K2y и рассмотрим полученную систему дифференци-
альных уравнений
ẋ = f1(x, y, p) +B1(p)(K1x+K2y),
(28)
µẏ = f2(x, y, p) +B2(p)(K1x+K2y),
где K1 ∈ R2×2, K2 ∈ R2×1, B1(p) ∈ R2×2, B2(p) ∈ R1×2,.
Относительно системы (28) сделаем следующие предположения. Для значения пара-
метра p∗ = 0 существует состояние равновесия x∗ = 0, y∗ = 0 системы (28). Функции
f1(x, y, p) и f2(x, y, p) таковы, что
A11(x∗, y∗, p∗) =
∂f1(x, y, p)
∂x
∣∣∣∣
(x∗,y∗,p∗)
=
(
1 0
0 1
)
,
A12(x∗, y∗, p∗) =
∂f1(x, y, p)
∂y
∣∣∣∣
(x∗,y∗,p∗)
=
(
1
1
)
,
A21(x∗, y∗, p∗) =
∂f2(x, y, p)
∂x
∣∣∣∣
(x∗,y∗,p∗)
=
(
1
1
)T
,
A22(x∗, y∗, p∗) =
∂f2(x, y, p)
∂y
∣∣∣∣
(x∗,y∗,p∗)
= 1,
и существуют такие положительные числа α, β, γ, δ < +∞, что выполняются соотноше-
ния
‖A11(x, y, p)−A11(x∗, y∗, p∗)‖ ≤ α, ‖A12(x, y, p)−A12(x∗, y∗, p∗)‖ ≤ β,
(29)
‖A21(x, y, p)−A21(x∗, y∗, p∗)‖ ≤ γ, ‖A22(x, y, p)−A22(x∗, y∗, p∗)‖ ≤ δ
для всех x ∈ R2, y ∈ R1, p ∈ Ωp ⊆ R1.
Из условия устойчивости матриц A11(x∗, y∗, p∗) +B1(p∗)K1 и A22(x∗, y∗, p∗) +B2(p∗)K2
выберем матрицы K1 =
(
−2 0, 2
0, 1 −2
)
, K2 =
(
−1
−1
)
и убедимся, что матрица A из п. 3
предположения 1 невырождена.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА . . . 253
С помощью подхода, предложенного в п. 2, определим величины α = δ = 0, 101,
β = γ = 0, 1 и область Ωp = {p ∈ R | |p| < 0, 14} такие, что для всех p ∈ Ωp и функ-
ций f1(x, y, p), f2(x, y, p) таких, что выполняются оценки (29), существует единственное
состояние равновесия системы (28).
Выбрав матрицы Q1 =
(
1 0
0 1
)
, Q2 = (1) вычислим матрицы
P1 =
(
0, 508 0, 077
0, 077 0, 515
)
, P2 = (0, 5).
Из соотношений (14), (15) вычислим α1 = δ1 = 0, 1 и убедимся, что Ωp ⊂ Ωp1 и Ωp ⊂ Ωp2,
т. е. Ωp ∩ Ωp1 ∩ Ωp2 = Ωp. Условие (16) выполняется для всех p ∈ Ωp, значит, согласно
теореме 1, система (28) абсолютно параметрически устойчива относительно области Ωp
для всех µ ∈ (0, 1]. Таким образом, указан класс функций, определенный оценками (29),
управление u =
(
−2 0, 2
0, 1 −2
)
(x1, x2)T +
(
−1
−1
)
y, абсолютно параметрически стабили-
зирующее систему (27) и область Ωp = {p ∈ R | |p| ≤ 0, 14} такой стабилизации.
Выбрав
f1(x, y, p) =
x1 − 0, 1 cos
(
x1 +
y√
2
+ p
)
+ y
0, 9x2 + 1000p2 +
(
1− 0, 1√
2
)
x3 + arctan
(
0, 1
(
x2 +
x3√
2
))
,
f2(x, y, p) = x1 + x2 + x3 + p+ 0, 1 ln(x1 +
√
x2
1 + 1),
убедимся, что эти функции удовлетворяют оценкам (29). Заметим, что система (27) при
выбранных выше функциях неустойчива.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
254 А. А. МАРТЫНЮК, А. С. ХОРОШУН
Поведение переменных x = (x1, x2)T , y системы (28) при p = 0, 1, µ = 0, 1, x0 =
= (100, 70)T , y0 = −100 показано на рисунке. Соответствующее выбранному значению
параметра состояние равновесия x = (0, 8789; 11, 0667)T , y = −9, 5866.
6. Заключительные замечания. В работе исследована сингулярно возмущенная систе-
ма общего вида при наличии неопределенных параметров. Построено управление, кото-
рое обеспечивает абсолютную параметрическую устойчивость системы. С помощью ме-
тода сравнения с векторной функцией Ляпунова определены условия такой устойчивости
и область в пространстве параметров, для значений параметров из которой указанный
тип устойчивости сохраняется. В качестве примера рассмотрено применение предложен-
ной методики для сингулярно возмущенной системы третьего порядка.
1. Ikeda M., Ohta Y., Šiljak D. D. Parametric stability // Proc. Univ. Genova. The Ohio State Univ. Joint Conf.
— Boston etc.: Birkhäuser, 1991.
2. Мартынюк А. А., Хорошун А. С. К теории параметрической устойчивости // Доп. НАН України. —
2007. — № 7. — С. 59 – 65.
3. Мартынюк А. А., Хорошун А. С. О параметрической устойчивости крупномасштабных систем //
Прикл. механика. — 2008. — 44, № 5. — С. 104 – 115.
4. Хорошун А. С. Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределен-
ностью // Доп. НАН України. — 2008. — № 2. — С. 36 – 41.
5. Хорошун А. С. Глобальная параметрическая квадратическая стабилизируемость нелинейных систем
с неопределенностью // Прикл. механика. — 2008. — 44, № 6. — С. 126 – 133.
6. Хорошун А. С. Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье // Доп. НАН Укра-
їни. — 2010. — № 5. — С. 64 – 71.
7. Мартынюк А. А., Хорошун А. С. О параметрической устойчивости нелинейных неточных сингуляр-
но возмущенных систем // Прикл. механика. — 2010. — 46, № 10. — С. 106 – 121.
8. Garofalo F., Leitmann G. Nonlinear composite control of a class of nominally linear singularly perturbed
uncertain systems // Deterministic Control of Uncertain Systems / Ed. A. S. I. Zinober. — London: Peter
Peregrinus, 1990. — P. 269 – 288.
9. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. — М.: Мир, 1989. — 655 с.
Получено 30.07.10,
после доработки — 07.12.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
|