Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем

Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем

Исследованы вопросы асимптотического соответствия с вероятностью 1 и в среднем квадратическом между решениями стохастической системы и соответствующей ей линейной детерминированной системы....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2011
Автор: Новак, I.Г.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2011
Назва видання:Нелінійні коливання
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175347
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем / I.Г. Новак // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 255-266. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-175347
record_format dspace
spelling irk-123456789-1753472021-02-02T01:26:24Z Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем Новак, I.Г. Исследованы вопросы асимптотического соответствия с вероятностью 1 и в среднем квадратическом между решениями стохастической системы и соответствующей ей линейной детерминированной системы. We study asymptotic correspondence with probability one and in mean square between solutions of a stochastic system and the corresponding linear deterministic system. 2011 Article Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем / I.Г. Новак // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 255-266. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175347 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Исследованы вопросы асимптотического соответствия с вероятностью 1 и в среднем квадратическом между решениями стохастической системы и соответствующей ей линейной детерминированной системы.
format Article
author Новак, I.Г.
spellingShingle Новак, I.Г.
Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем
Нелінійні коливання
author_facet Новак, I.Г.
author_sort Новак, I.Г.
title Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем
title_short Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем
title_full Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем
title_fullStr Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем
title_full_unstemmed Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем
title_sort про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2011
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175347
citation_txt Про асимптотичну поведiнку розв’язкiв слабко нелiнiйних стохастичних систем / I.Г. Новак // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 255-266. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT novakig proasimptotičnupovedinkurozvâzkivslabkonelinijnihstohastičnihsistem
first_indexed 2025-07-15T12:35:58Z
last_indexed 2025-07-15T12:35:58Z
_version_ 1837716429084819456
fulltext УДК 517.9 ПРО АСИМПТОТИЧНУ ПОВЕДIНКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ I. Г. Новак Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка Україна, 01601, Київ, вул. Володимирська, 64 We study asymptotic correspondence with probability one and in mean square between solutions of a stochastic system and the corresponding linear deterministic system. Исследованы вопросы асимптотического соответствия с вероятностью 1 и в среднем квадра- тическом между решениями стохастической системы и соответствующей ей линейной детер- минированной системы. 1. Вступ. У данiй роботi дослiджується асимптотична поведiнка розв’язкiв стохастичної системи Iто на пiвосi. Для цього використовується метод асимптотичної вiдповiдностi, який полягає у вiдшуканнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь, асимптотична поведiнка розв’язкiв якої подiбна до поведiнки розв’язкiв стохастичної системи. Вперше такий метод для звичайних диференцiальних рiвнянь зустрiчається в роботах [1 – 3]. У роботах [4, 5] цей метод розповсюджено на стохастичнi системи. Однак у цих робо- тах припускалося, що розв’язки вiдповiдної детермiнованої системи обмеженi при t ≥ 0. В данiй роботi розглянуто випадок, коли детермiнована система може мати i необмеженi розв’язки. 2. Постановка задачi. Розглянемо систему звичайних диференцiальних рiвнянь dx = F (t, x)dt (1) з початковою умовою x(0) = x0, t ≥ 0, x ∈ Rn, F (t, x) ∈ C(R+, R n) — n-вимiрна функцiя. Поряд iз системою (1) розглянемо систему стохастичних диференцiальних рiвнянь dy = G(t, y)dt+ σ(t, y) dW (t), (2) де G(t, y), σ(t, y) — неперервнi за сукупнiстю аргументiв n-вимiрнi функцiї, W (t) — стан- дартний скалярний вiнерiвський процес, визначений для t ≥ 0, на ймовiрнiсному просторi (Ω, F,P); {Ft : t ≥ 0}— потiк σ-алгебр, вiдносно якого узгоджено процес W (t). Будемо вважати, що система (2) має потраєкторно єдиний розв’язок y(t) = y(t, ω) ∈ ∈ Rn з початковою умовою y(0) = y0, де y0 ∈ F0 — вимiрна випадкова величина i E|y0|2 < ∞. Вважатимемо також, що всi розв’язки системи (1) необмежено продовжу- ванi вправо. Означення 1. Якщо кожному розв’язку y(t) системи (2) можна поставити у вiдпо- вiднiсть розв’язок x(t) системи (1) такий, що lim t→∞ E|x(t)− y(t)|2 = 0, c© I. Г. Новак, 2011 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 255 256 I. Г. НОВАК то систему (1) назвемо асимптотично вiдповiдною до системи (2) в середньому квад- ратичному. Означення 2. Якщо кожному розв’язку y(t) системи (2) можна поставити у вiдпо- вiднiсть розв’язок x(t) системи (1) такий, що з iмовiрнiстю 1 lim t→∞ |x(t)− y(t)| = 0, то систему (1) назвемо асимптотично вiдповiдною до системи (2) з iмовiрнiстю 1. Далi в роботi встановлено умови асимптотичної вiдповiдностi мiж системою (2), де функцiя G(t, x) має спецiальний вигляд, та вiдповiдною їй детермiнованою системою (1) з iмовiрнiстю одиниця та в середньому квадратичному. 3. Основний результат. Розглянемо стохастичну диференцiальну систему Iто (2), де функцiя G(t, y) = Ay + f(t, y), та систему (1), де функцiя F (t, x) = Ax, тобто маємо dy = (Ay + f(t, y))dt+ σ(t, y) dW (t), (3) де t ≥ 0, y ∈ Rn, A — детермiнована стала n-вимiрна квадратна матриця з нормою ‖A‖ = √√√√ n∑ i,j=1 a2 i,j = b. Функцiї f(t, y) i σ(t, y) неперервнi за сукупнiстю змiнних при t ≥ 0, y ∈ Rn i задоволь- няють за змiнною y глобальну умову Лiпшиця. Розв’язки стохастичної системи (3) будемо порiвнювати з розв’язками детермiнованої системи dx = Axdt. (4) Далi вiдносно нелiнiйностей f i σ будемо вважати виконуваними умови: iснують не- вiд’ємнi неперервнi при t ≥ 0 функцiї ν(t) та ρ(t) такi, що для всiх t ≥ 0, x ∈ Rn |f(t, x)| ≤ ν(t)|x|, |σ(t, x)| ≤ ρ(t)|x|. Без обмеження загальностi вважатимемо, що матриця A має квазiдiагональний виг- ляд A = diag (A1, A2), де матрицiA1, A2 мають розмiрнiсть n1 та n2 вiдповiдно, n = n1 +n2, причому Reλ(A1) ≥ ≥ 0, а Reλ(A2) < 0, де λ(Ai) — власнi числа матриць A1 та A2. Нехай X(t) = diag (etA1 , etA2) — фундаментальна матриця системи (4), яка нормована в нулi, X(0) = En − n-вимiрна одинична матриця. Далi, нехай P1 та P2 — доповнюючi проектори на пiдпростори Rn1 та Rn2 , P1 = = diag (En1 , 0) та P2 = diag (0, En2), де En1 , En2 — одиничнi матрицi порядку n1, n2. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНУ ПОВЕДIНКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ 257 Введемо позначення X1(t) = X(t)P1 = diag (eA1t, 0), X2(t) = X(t)P2 = diag (0, eA2t). (5) Нехай λi(A) — власнi числа матрицi A, λ = max Reλi(A), m — максимальна розмiрнiсть жорданової клiтини з власним числом, що має найбiльшу дiйсну частину, p — максималь- на розмiрнiсть жорданової клiтини з власним числом, для якого Reλi(A1) = 0, i p = 1, якщо таких немає. λ∗ = max Reλi(A2), а m∗ — максимальна розмiрнiсть жорданової клi- тини для власного числа з максимальною вiд’ємною дiйсною частиною. Тодi справджуються оцiнки ‖X(t)‖ ≤ C1e λtΞm(t), ‖X1(−t)‖ ≤ C2Ξp(t), ‖X2(t)‖ ≤ C3e λ∗tΞm∗(t), (6) де t ≥ 0, Ξk(t) = { tk−1, t > 1, 1, 0 ≤ t ≤ 1, Ci — деякi додатнi сталi. Остання нерiвнiсть має мiсце при умовi X2(t) 6= 0. В подальшому нам знадобиться наступна лема. Лема 1. Нехай для матрицi A, функцiй f(t, x) та σ(t, x) виконуються наведенi вище умови, а також a1 := ∞∫ 0 ν(τ)τ2m−2 dτ < ∞, (7) a2 := ∞∫ 0 ρ2(τ)τ2m−2 dτ < ∞. (8) Тодi iснує стала a > 0 така, що для довiльного розв’язку y(t) системи (3) при t ≥ 0 справджується оцiнка E|y(t)|2 ≤ aE|y(0)|2e2λtΞ2m−2(t). (9) Доведення. Розв’язок y(t) задовольняє iнтегральне рiвняння y(t) = X(t)y(0) + t∫ 0 X(t, τ)f(τ, y(τ))dτ + t∫ 0 X(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ), (10) з якого випливає оцiнка E |y(t)|2 ≤ 3‖X(t)‖2E |y(0)|2 + 3E  t∫ 0 X(t, τ)f(τ, y(τ))dτ 2 + + 3 t∫ 0 ‖X(t, τ)‖2‖σ(τ, y(τ))‖2dτ. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 258 I. Г. НОВАК З першої нерiвностi в (6), умов на f та σ маємо E |y(t)|2 ≤ 3C2 1e 2λtΞ2m−2(t)E |y(0)|2+ + 3C2 1 t∫ 0 ν(τ)Ξ2m−2(t− τ)dτ t∫ 0 e2λ(t−τ)ν(τ)Ξ2m−2(t− τ)E |y(τ)|2dτ+ + 3C2 1 t∫ 0 e2λ(t−τ)Ξ2m−2(t− τ)ρ2(τ)E |y(τ)|2dτ, або E|y(t)|2 e2λtΞ2m−2(t) ≤ 3C2 1E |y(0)|2 + 3C2 1 t∫ 0 (ν(τ)a1 + ρ2(τ))Ξ2m−2(τ) E |y(τ)|2 e2λτΞ2m−2(τ) dτ. З нерiвностi Гронуолла – Беллмана отримуємо E|y(t)|2 ≤ 3C2 1E |y(0)|2e2λtΞ2m−2(t)e 3C2 1 ∞∫ 0 (ν(τ)a1+ρ2(τ))Ξ2m−2(τ)dτ . Тодi з урахуванням позначення a := 3C2 1e 3C2 1 ∞∫ 0 (ν(τ)a1+ρ2(τ))Ξ2m−2(τ)dτ маємо оцiнку E|y(t)|2 ≤ aE |y(0)|2e2λtΞ2m−2(t), t ≥ 0. Лему доведено. Дослiдимо асимптотичну поведiнку розв’язкiв системи (3) на пiвосi. Доведемо двi те- ореми про асимптотичну вiдповiднiсть мiж стохастичною та звичайною системами. Теорема 1. Нехай виконуються умови ∞∫ 0 e2λtt2m+2p−4ν2(t)dt < ∞, (11) ∞∫ 0 e2λtt2m+2p−4ρ2(t)dt < ∞. (12) Тодi система (4) асимптотично вiдповiдна в середньому квадратичному до системи (3). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНУ ПОВЕДIНКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ 259 Доведення. Враховуючи еволюцiйну властивiсть матрицанта, рiвняння (10) записуємо у виглядi y(t) = X(t) y(0) + ∞∫ 0 X1(0, τ)f(τ, y(τ))dτ + ∞∫ 0 X1(0, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) + + t∫ 0 X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ + t∫ 0 X2(t, τ)σ(τ, y(σ))dW (τ)− − ∞∫ t X1(t, τ)f(τ, y(τ))dτ − ∞∫ t X1(t, τ)σ(t, y(τ))dW (τ). (13) Кожному розв’язку y(t) системи (3) з початковою умовою y(0) = y0 поставимо у вiдпо- вiднiсть такий розв’язок x(t) системи (4), що x(0) = y(0) + ∞∫ 0 X1(0, τ)f(τ, y(τ))dτ + ∞∫ 0 X1(0, τ)σ(τ, y(τ)) dW (τ). (14) Використовуючи доведену лему, оцiнки (6), мiркуваннями, аналогiчними [4, с. 177], можна встановити збiжнiсть у середньому квадратичному невласних iнтегралiв у (13). Доведемо справедливiсть спiввiдношення E|x(t)− y(t)|2 → 0, t → ∞. (15) З (13) та (14) маємо E |x(t)− y(t)|2 ≤ 4E ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ ∣∣∣∣∣∣ 2 + 4E ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣ 2 + + 4E ∣∣∣∣∣∣ ∞∫ t X1(t, τ)f(τ, y(τ))dτ ∣∣∣∣∣∣ 2 + 4E ∣∣∣∣∣∣ ∞∫ t X2(t, τ)σ(τ, y(τ)) dW (τ) ∣∣∣∣∣∣ 2 . (16) Для першого доданка в (16) одержуємо E ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 X2(t, τ)f(τ, y(τ)) dτ ∣∣∣∣∣∣ 2 ≤ C2 3 (e2λ∗tΞ2m∗−2(t) + 1)aE|y(0)|2× ×  ∞∫ 0 ν(τ)e2λτΞ2m−2(τ)dτ 2 ∞∫ 0 ν(τ)Ξm−1(τ) dτ → 0 при t → ∞. (17) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 260 I. Г. НОВАК Для другого доданка в (16) маємо E ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣ 2 ≤ C2 3aE |y(0)|2Ξ2 m∗(t)e 2λ∗t× × ∞∫ 0 ρ2(τ)e2λτΞ2m−2(τ)dτ → 0 при t → ∞. (18) Для третього доданка в (16), використовуючи при τ ≥ t нерiвнiсть ‖X1(t, τ)‖ ≤ C1Ξp(τ, t) ≤ C1Ξp(τ), (19) нерiвнiсть Кошi – Буняковського та лему, отримуємо E ∣∣∣∣∣∣ ∞∫ t X1(τ, y(τ))f(τ, y(τ))dτ ∣∣∣∣∣∣ 2 ≤ E  ∞∫ t C2Ξp(τ)ν(τ)y(τ)dτ 2 ≤ ≤ C2 2aE |y(0)|2 ∞∫ t Ξp(τ)ν(τ)dτ× × ∞∫ t Ξp(τ)ν(τ)e2λττ2m−2dτ → 0 при t → ∞. (20) Оцiнимо нарештi останнiй доданок: E ∣∣∣∣∣∣ ∞∫ t X1(τ, y(τ))σ(τ, y(τ))dτ ∣∣∣∣∣∣ 2 ≤ ≤ C2 1aE |y(0)|2 ∞∫ t ρ2(τ)e2λτΞ2p+2m−4(τ)dτ → 0 при t → ∞. (21) З оцiнок (17) – (21) випливає доведення теореми. Теорема 2. Нехай виконуються умови ∞∫ 0 e2λtt2m+2p−4ν2(t) dt < ∞, (22) ∞∫ 0 e2λtt2m+2p−4+αρ2(t) dt < ∞ (23) для деякого α > 1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНУ ПОВЕДIНКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ 261 Тодi система (4) асимптотично вiдповiдна з iмовiрнiстю 1 до системи (3). Доведення. Виберемо послiдовнiсть {nk|k ≥ 1} так, щоб nk > k, k ≥ 1, i ∞∫ nk e2λtν2(t)t2m+2p−4dt ≤ 1 2k , k ≥ 1, та послiдовнiсть {mk|k ≥ 1} так, щоб mk > k, k ≥ 1, i ∞∫ mk e2λtt2m+2p−4+αρ2(t)dt ≤ 1 2k , k ≥ 1. Внаслiдок (22) i (23) такий вибiр можливий. За послiдовностями {nk} i {mk} побудуємо послiдовнiсть lk таку, що lk = 2 max{nk,mk}, k ≥ 1. Тодi очевидними є оцiнки ∞∫ lk 2 e2αtt2m+2p−4ν2(t)dt ≤ 1 2k , k ≥ 1, (24) ∞∫ lk 2 e2atρ2(t)t2p+2m−4+αdt ≤ 1 2k , k ≥ 1. (25) Для довiльного розв’язку y(t) системи (3), що стартує з точки 0, та вiдповiдного йому розв’язку x(t) системи (4), визначеного формулою (14), отримуємо P { sup t≥lk |x(t)− y(t)| > 1 k } ≤ P sup t≥lk ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 X2(t, τ)f(τ, y(τ))dτ ∣∣∣∣∣∣ > 1 4k + + P sup t≥lk ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣ > 1 4k + + P sup t≥lk ∣∣∣∣∣∣ ∞∫ t X1(t, τ)f(τ, y(τ))dτ ∣∣∣∣∣∣ > 1 4k + + P sup t≥lk ∣∣∣∣∣∣ ∞∫ t X1(t, τ)σ(τ, y(τ)) dW (τ) ∣∣∣∣∣∣ > 1 4k  = = P1 + P2 + P3 + P4. (26) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 262 I. Г. НОВАК Оцiнимо кожну з iмовiрностей в (26) окремо. Використовуючи аналогiчнi до [4, с. 181] мiркування, отримуємо оцiнку для першого i третього доданкiв у (26): P1 ≤ 32k2C2 2aE|y(0)|2× × ∞∫ 0 ν(t)dt e2λ∗kk2m∗−2 ∞∫ 0 ν(τ)e2λτΞ2m−2(τ)dτ + 1 2k  = I (1) k , (27) P3 ≤ 16k2C2 1aE |y(0)|2 ∞∫ 0 ν(τ)Ξp−1(τ)dτ 1 2k = I (3) k . (28) Оцiнимо тепер доданок P2 в (26). Для цього введемо для натуральнихN послiдовностi подiй AN = ω| sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣ > 1 4k  . Очевидно, що AN — монотонно зростаюча послiдовнiсть множин, причому A = ω| sup t≥lk ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣ > 1 4k  = ⋃ N AN = lim N→∞ AN , а тому P2 = P{A} = lim N→∞ P(AN ). При N > lk маємо P2 ≤ P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣ lk∫ 0 X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣ > 1 8k + + P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣ > 1 8k  . (29) Оцiнимо кожну з iмовiрностей (29). З нерiвностi Чебишова маємо P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣ lk∫ 0 X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣ > 1 8k  ≤ ≤ 64k2E |y(0)|2C2 3a sup lk≤t≤N  lk∫ 0 Ξ2 m∗(t− τ)e2λ∗(t−τ)ν(τ)e2λτΞ2m−2(τ)dτ  ≤ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНУ ПОВЕДIНКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ 263 ≤ 64k2E|y(0)|2C2 3a  lk∫ 0 Ξ2m∗−2(τ)e2λ∗kν(τ)e2λτΞ2m−2(τ)dτ  ≤ ≤ 64k2E |y(0)|2C2 3e 2λ∗kk2m∗−2a  lk∫ 0 ν2(τ)e2λτΞ2m−2(τ)dτ  := Ak. Оцiнимо другий доданок у (29): P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk X2(t, τ)σ(τ, y(τ)) dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣  = = P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk (X2(t, τ)−X2(t, lk) +X2(t, lk))σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣  ≤ ≤ P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk X2(t, lk)σ(τ, y(τ)) dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣ > 1 16k + + P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk (X2(t, τ)−X2(t, lk))σ(τ, y(τ)) dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣ > 1 16k  . (30) Маємо наступнi оцiнки для першої ймовiрностi в (30): P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk X2(t, lk)σ(τ, y(τ)) dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣ > 1 16k  ≤ ≤ 256k2C2 3E |y(0)|2ak2m∗−2 t∫ lk ν(τ)e2λτΞ2m−2(τ)dτ ≤ ≤ 256k2C2 3E |y(0)|2ak2m∗ ∞∫ lk ν(τ)e2λτΞ2m−2(τ) dτ ≤ ≤ 256k2C2 3E |y(0)|2ak2m∗ 1 2k . Оцiнимо другий доданок у (30). При цьому враховуємо, що X2(t, τ), як функцiя друго- го аргументу, задовольняє диференцiальне рiвняння dX2(t, τ) dτ = −X2(t, τ)A(τ). (31) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 264 I. Г. НОВАК Звiдси та з формули змiни порядку iнтегрування в звичайних та стохастичних iнтегралах [6, с. 256] маємо t∫ lk (X2(t, τ)−X2(t, lk))σ(τ, y(τ)) dW (τ) = − t∫ lk  τ∫ lk X2(t, s)A(s)ds)σ(τ, y(τ)  dW (τ) = = − t∫ lk X2(t, s)A(s)  t∫ lk I{s≤τ}σ(τ, y(τ))dW (τ)  ds. Таким чином, отримуємо P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk (X2(t, τ)−X2(t, lk))σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣ > 1 16k  = = P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk X2(t, s)A(s)  t∫ lk I{s≤τ}σ(τ, y(τ))dW (τ)  ds ∣∣∣∣∣∣∣ > 1 16k  ≤ ≤ 256k2E  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk X2(t, s)A(s)  t∫ lk I{s≤τ}σ(τ, y(τ)) dW (τ)  ds ∣∣∣∣∣∣∣  2 ≤ ≤ 256k2E  sup lk≤t≤N  t∫ lk C3e λ∗(t−s)Ξm∗(t− s)‖A(s)‖ ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk I{s≤τ}σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣ ds   2 ≤ ≤ 256k2C2 3b N∫ lk  N∫ s aE |y(0)|2σ(τ, y(τ))e2λτΞ2m−2(τ)dτ  ds ≤ ≤ 256k2m∗C2 3b ∞∫ lk  N∫ s aE |y(0)|2σ(τ, y(τ))e2λτΞ2m−2(τ)dτ  ds ≤ ≤ 256bk2m∗C2 3aE |y(t0)|2 1 2k . Отже, P  sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣ > 1 8k  ≤ 256(b+ 1)k2m∗C2 3aE |y(t0)|2 1 2k := Bk, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 ПРО АСИМПТОТИЧНУ ПОВЕДIНКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ 265 звiдки випливає, що P2 = P ω| sup lk≤t≤N ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 X2(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣ > 1 4k  ≤ Ak +Bk. Спрямовуючи N до нескiнченностi, одержуємо оцiнку для доданка P2 : P2 ≤ Ak +Bk = I2 (k). (32) Залишилось оцiнити ймовiрнiсть P4. Маємо P4 ≤ ∞∑ n=0 P  sup lk+n≤t<lk+n+1 ∣∣∣∣∣∣∣ ∞∫ lk+n X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣ > 1 8k  + + P  sup lk+n≤t<lk+n+1 ∣∣∣∣∣∣∣ t∫ lk+n X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣ > 1 8k   . Для другого доданка з властивостей стохастичного iнтеграла отримуємо оцiнку 64k2aE |y(0)|2C2 2e 2λ(2λ)2m−2 1 2k . Оцiнимо тепер перший доданок: ∞∑ n=0 P  sup lk+n≤t<lk+n+1 ∣∣∣∣∣∣∣ ∞∫ lk+n X1(t, τ)σ(τ, y(τ))dW (τ) ∣∣∣∣∣∣∣ > 1 8k  ≤ ≤ ∞∑ n=0 64k2aE |y(0)|2 ∞∫ lk+n τ2p+2m−4e2λτρ2(τ)dτ ≤ ≤ 64k2aE |y(0)|2C2 2 ∞∑ n=0 1 (lk + n)α ∞∫ lk+n τ2p+2m−4+αe2λτρ2(τ)dτ ≤ ≤ 64k2aE |y(0)|2C2 2 ∞∫ lk+n τ2p+2m−4+αe2λτρ2(τ)dτ ∞∑ n=0 1 (1 + n)α . Ряд ∑∞ n=0 1 (n+ 1)α є збiжним для деякого α > 1. Позначимо його суму через S. Тодi маємо P4 ≤ 64k2aC2 2E |y(0)|2 1 2k e2λ(2λ)2m−2 + 64k2aC2 2E |y(0)|2E |y(0)|2S 1 2k = I (4) k . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 266 I. Г. НОВАК Таким чином, P { sup t≥lk |x(t)− y(t)| > 1 k } ≤ 4∑ i=1 Ii(k) = Ik. Оскiльки ряд ∑∞ k=1 Ik є збiжним, то з леми Бореля – Кантелi отримуємо доведення теореми. 1. Witner A. Linear variations of constants // Amer. J. Math. — 1946. — 68. — P. 185 – 213. 2. Levinson N. The asymptotic nature of solutions of linear systems of differential equations // Duke Math. J. — 1948. — 15. — P. 111 – 126. 3. Yakubovich V. A. On the asymptotic behavior of systems of differential equations // Mat. Sb. — 1951. — 28. — P. 217 – 240. 4. Самойленко А. М., Станжицький О. М. Якiсний та асимптотичний аналiз диференцiальних рiвнянь з випадковими збуреннями. — Київ: Наук. думка, 2009. — 338 с. 5. Креневич А. П. Асимптотична еквiвалентнiсть розв’язкiв лiнiйних стохастичних систем Iто // Укр. мат. журн. — 2006. — 58, № 10. — С. 1368 – 1384. 6. Дороговцев А. Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и стохастических динамических систем. — Киев: Вища шк., 1992. — 320 c. Одержано 18.01.11 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2

Схожі ресурси