О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил
Отримано два нових класи прецесiйних рухiв гiростата з нерухомою точкою, що описуються диференцiальними рiвняннями Кiрхгофа. Для першого класу швидкостi прецесiї i власного обертання рiвнi мiж собою i заданi у виглядi тригонометричного многочлена першого степеня вiдносно кута власного обертання. Для...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175348 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / Е.К. Щетинина // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 281-288. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175348 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1753482021-02-01T01:29:01Z О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Щетинина, Е.К. Отримано два нових класи прецесiйних рухiв гiростата з нерухомою точкою, що описуються диференцiальними рiвняннями Кiрхгофа. Для першого класу швидкостi прецесiї i власного обертання рiвнi мiж собою i заданi у виглядi тригонометричного многочлена першого степеня вiдносно кута власного обертання. Для другого класу швидкостi прецесiї й обертання не збiгаються мiж собою i визначенi спецiальними залежностями вiд кута власного обертання. Данi класи прецесiй описуються новими розв’язками рiвнянь Кiрхгофа. We find two new classes of precession motions of a gyrostat with a fixed point. The motions are described by Kirchhoff’s differential equations. For the first class, the precession velocity and the eigen rotation velocity are equal and given by a first order trigonometric polynomial in the angle of the eigen rotation. For the second class, the procession and the rotation velocities do not coincide, and are given by special functions of the angle of proper rotations. These classes are described in terms of new solutions of Kirchhoff’s equations. 2011 Article О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / Е.К. Щетинина // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 281-288. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175348 531.38 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Отримано два нових класи прецесiйних рухiв гiростата з нерухомою точкою, що описуються диференцiальними рiвняннями Кiрхгофа. Для першого класу швидкостi прецесiї i власного обертання рiвнi мiж собою i заданi у виглядi тригонометричного многочлена першого степеня вiдносно кута власного обертання. Для другого класу швидкостi прецесiї й обертання не збiгаються мiж собою i визначенi спецiальними залежностями вiд кута власного обертання. Данi класи прецесiй описуються новими розв’язками рiвнянь Кiрхгофа. |
| format |
Article |
| author |
Щетинина, Е.К. |
| spellingShingle |
Щетинина, Е.К. О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Нелінійні коливання |
| author_facet |
Щетинина, Е.К. |
| author_sort |
Щетинина, Е.К. |
| title |
О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_short |
О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full |
О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_fullStr |
О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full_unstemmed |
О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_sort |
о двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175348 |
| citation_txt |
О двух классах прецессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / Е.К. Щетинина // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 2. — С. 281-288. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT ŝetininaek odvuhklassahprecessionnyhdviženijgirostatapoddejstviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil |
| first_indexed |
2025-07-15T12:36:02Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:36:02Z |
| _version_ |
1837716432835575808 |
| fulltext |
УДК 531.38
О ДВУХ КЛАССАХ ПРЕЦЕССИОННЫХ ДВИЖЕНИЙ ГИРОСТАТА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
Е. К. Щетинина
Донец. гос. ун-т экономики и торговли им. М. Туган-Барановского
Украина, 83050, Донецк, ул. Щорса, 31
We find two new classes of precession motions of a gyrostat with a fixed point. The motions are described by
Kirchhoff ’s differential equations. For the first class, the precession velocity and the eigen rotation velocity
are equal and given by a first order trigonometric polynomial in the angle of the eigen rotation. For the
second class, the procession and the rotation velocities do not coincide, and are given by special functions
of the angle of proper rotations. These classes are described in terms of new solutions of Kirchhoff ’s
equations.
Отримано два нових класи прецесiйних рухiв гiростата з нерухомою точкою, що описуються
диференцiальними рiвняннями Кiрхгофа. Для першого класу швидкостi прецесiї i власного обер-
тання рiвнi мiж собою i заданi у виглядi тригонометричного многочлена першого степеня вiд-
носно кута власного обертання. Для другого класу швидкостi прецесiї й обертання не збiга-
ються мiж собою i визначенi спецiальними залежностями вiд кута власного обертання. Данi
класи прецесiй описуються новими розв’язками рiвнянь Кiрхгофа.
Введение. Прецессионные движения гиростата с неподвижной точкой O характеризуют-
ся постоянством угла между двумя осями l1 и l2 с началом в точке O: ось l1 неизменно
связана с гиростатом, ось l2 неподвижна в пространстве [1, 2]. Если ось l2 направлена по
вектору, характеризующему ось симметрии силового поля, то прецессионное движение
называется прецессией относительно вертикали. Обзор основных результатов, получен-
ных при изучении прецессий в различных задачах динамики, представлен в работе [2].
В результате применения метода годографов прямого кинематического истолкова-
ния движения твердого тела с неподвижной точкой, основанного на кинематических урав-
нениях П. В. Харламова [3], был выделен важный класс изоконических движений [2]. Для
изоконических движений подвижный и неподвижный годографы вектора угловой ско-
рости конгруэнтны друг другу относительно касательной к ним плоскости. Другие типы
годографов в частных решениях уравнений динамики твердого тела проанализированы
в работе [4].
Прецессионно-изоконические движения гиростата имеют как свойство прецессии от-
носительно вертикали, так и свойство изоконичности годографов вектора угловой ско-
рости. В задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических
сил условия существования таких движений рассмотрены в работах [2, 5, 6].
Данная статья посвящена изучению условий существования двух специальных клас-
сов прецессионных движений, описываемых уравнениями Кирхгофа [7, 8]. Для первого
класса скорости прецессии и собственного вращения гиростата равны и заданы в виде
тригонометрического многочлена первой степени относительно угла собственного вра-
щения. Для второго класса эти скорости не совпадают и определены тригонометрически-
c© Е. К. Щетинина, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2 281
282 Е. К. ЩЕТИНИНА
ми многочленами первой степени специального вида. Построены новые решения урав-
нений Кирхгофа.
Постановка задачи. Первый класс прецессионных движений гиростата. Рассмотрим
задачу о движении гиростата с неподвижной точкой в постановке [8]
Aω̇ = (Aω + λ)× ω + ω ×Bν + s× ν + ν × Cν, ν̇ = ν × ω, (1)
где ω = (ω1, ω2, ω3) — вектор угловой скорости тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) — единич-
ный вектор оси симметрии силовых полей (магнитного, электрического и центрального
ньютоновского); λ = (λ1, λ2, λ3) — гиростатический момент, характеризующий движе-
ние симметричных носимых тел; s = (s1, s2, s3) — вектор, сонаправленный с вектором
обобщенного центра масс гиростата; A = {Aij}— тензор инерции, вычисленный в непо-
движной точкеO;B = {Bij}, C = {Cij}— постоянные симметричные матрицы третьего
порядка; точка над переменными обозначает производную по времени t.
Уравнения (1) имеют первые интегралы
Aω · ω − 2 (s · ν) + Cν · ν = 2E, ν · ν = 1,
(2)
(Aω + λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k.
Здесь E и k — произвольные постоянные.
Свяжем с осью l1 единичный вектор a, а ось l2 направим по вектору ν. Прецессию
гиростата относительно вектора ν можно описать двумя инвариантными соотношения-
ми [2]
a · ν = a0, ω = ϕ̇a+ ψ̇ν (a0 = cos θ0, θ0 = ∠ (a,ν)) , (3)
где ϕ̇ и ψ̇ — скорости собственного вращения и прецессии гиростата.
Предположим, что кроме свойства прецессионности движения имеет место свойство
изоконичности подвижного и неподвижного годографов вектора угловой скорости. Тог-
да должно выполняться условие [2]
ω · (ν − c) = 0, (4)
где c— единичный вектор, неизменно связанный с гиростатом.
При исследовании прецессий, как правило, подвижная система координат выбирается
так, что a = (0, 0, 1). Тогда подстановка второго соотношения из системы (3) в кинемати-
ческое уравнение из (1) позволяет с учетом первого равенства из (3) и геометрического
интеграла из (2) для компонент вектора ν получить выражения [2]
ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0
(
a′0 = sin θ0, a0 = cos θ0
)
. (5)
Если внести выражение для ω из (3) в инвариантное соотношение (4), то при a =
= c получим равенство ψ = ϕ + ψ0, где ψ0 — постоянная. В данной работе примем это
условие и положим
ψ̇ = ϕ̇ = α+ β sinϕ, (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
О ДВУХ КЛАССАХ ПРЕЦЕССИОННЫХ ДВИЖЕНИЙ ГИРОСТАТА . . . 283
где α и β — постоянные, подлежащие определению. Класс прецессионно-изоконических
движений вида (6) отнесем к первому классу прецессий, который будет изучаться в дан-
ной статье.
Для исследования условий существования соотношений (6) у уравнений (1) использу-
ем уравнения [2], которые получены из уравнений (1) и интегралов (2):
h1(ϕ)ϕ̇+ h2(ϕ)ψ̇ = f2(ϕ), (7)
ϕ̇2A33 + 2ϕ̇ψ̇h1(ϕ) + ψ̇2h2(ϕ) = g2(ϕ), (8)
ϕ̈H1(ϕ)+ψ̈H2(ϕ)+a
′
0
2
ϕ̇ψ̇Sp(A)+h1(ϕ)(ϕ̇
2+2a0ϕ̇ψ̇+ψ̇
2)+ϕ̇P1(ϕ)+ψ̇Q1(ϕ)+R1(ϕ) = 0, (9)
где
h1(ϕ) = α1 cosϕ+ α′1 sinϕ+ α0,
h2(ϕ) = A2 cos 2ϕ+A′2 sin 2ϕ+A1 cosϕ+A′1 sinϕ+A0,
f2(ϕ) = b2 cos 2ϕ+ b′2 sin 2ϕ+ b1 cosϕ+ b′1 sinϕ+ b0,
g2(ϕ) = c2 cos 2ϕ+ c′2 sin 2ϕ+ c1 cosϕ+ c′1 sinϕ+ c0,
H1(ϕ) = α′1 cosϕ− α1 sinϕ,
(10)
H2(ϕ) = A′2 cos 2ϕ−A2 sin 2ϕ+
A′1
2
cosϕ− A1
2
sinϕ,
P1(ϕ) = p1 cosϕ+ p′1 sinϕ+ p0,
Q1(ϕ) = q1 cosϕ+ q′1 sinϕ+ q0,
R1(ϕ) = r1 cosϕ+ r′1 sinϕ+ r0.
В выражениях (10) введены следующие обозначения:
α1 = a′0A23, α′1 = a′0A13, α0 = a0A33, A2 =
a′0
2
2
(A22 −A11) , A′2 = a′0
2
A12,
A1 = 2a0a
′
0A23, A′1 = 2a0a
′
0A13, A0 =
1
2
[
a′0
2
(A11 +A22) + 2a20A33
]
,
b2 =
a′0
2
4
(B22 −B11) , b′2 =
a′0
2
2
B12, b1 = a′0(a0B23 − λ2), b′1 = a′0(a0B13 − λ1),
b0 =
1
4
[
a′0
2
(B11 +B22) + 2a20B33
]
− a0λ3 + k, c2 =
a′0
2
2
(C11 − C22) ,
(11)
c′2 = −a′0
2
C12, c1 = 2a′0(s2 − a0C23), c′1 = 2a′0(s1 − a0C13),
c0 = 2E + 2a0s3 −
1
2
[
a′0
2
(C11 + C22) + 2a20C33
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
284 Е. К. ЩЕТИНИНА
p1 = a′0(λ2 − a0B23), p′1 = a′0(λ1 − a0B13), p0 = 2(a0λ3 − k)− a20B33,
q1 = a′0(a0λ2 −B23), q′1 = a′0(a0λ1 −B13), q0 = λ3(1 + a20)− a0B33 − 2a0k,
r1 = a′0(a0s2 − C23), r′1 = a′0(a0s1 − C13), r0 = s3(1 + a20)− a0C33 − 2a0E.
Таким образом, ставится задача определения условий существования у уравнений (7) –
(9) решений (6).
Исследование условий существования первого класса прецессий (6). Внесем выраже-
ния (6) в уравнение (7):
(α+ β sinϕ)(h1(ϕ) + h2(ϕ))− f2(ϕ) = 0. (12)
Случай h1(ϕ) + h2(ϕ) ≡ 0, f2(ϕ) ≡ 0 рассмотрен в работе [5]. В ней показано, что для
значения θ0 выполняется равенство
cos θ0 =
A11
A11 −A33
,
для которого решение (6) действительно только в случае, когда неравенства треугольни-
ка на моменты инерции не выполняются, т. е. решение [5] справедливо лишь в задаче о
движении гиростата. В данной работе рассмотрим более общий случай.
Требование, чтобы равенство (12) выполнялось для любых ϕ, при наличии обозначе-
ний (10), (11) приводит к условиям
A12 = A23 = 0, A22 = A11, B12 = 0, λ2 = a0B23,
2β(1 + 2a0)A13 + a′0(B22 −B11) = 0,
(13)
αa′0(1 + 2a0)A13 + β(a20A33 + a′0
2
A11 + a0A33)− a′0(a0B13 − λ1) = 0,
k = a0λ3 + α(a20A33 + a′0
2
A11 + a0A33) +
1
2
a′0(1 + 2a0)A13β +
1
4
a′0
2
(B11 +B22) +
1
2
a20B33.
Уравнение (8) при подстановке в него выражений (6) тоже должно быть тождеством
по ϕ. Это возможно только при условии A13 = 0, т. е. с учетом равенств (13) подвижная
система координат, связанная с вектором a, является главной системой координат. Тогда
условия (13) преобразуются к виду
B22 = B11, β =
a0B13 − a′0λ1
a′0
2A11 + a0(a0 + 1)A33
,
(14)
k = a0λ3 + α(a20A33 + a′0
2
A11 + a0A33) +
1
2
(a′0
2
B11 + a20B33).
Дальнейший анализ уравнения (8) приводит к равенствам
β2[a0(A33 −A11) + (A11 +A33)] = (1− a0)(C22 − C11), C12 = 0, s2 = a0C23,
αβ(1 + a0) [a0(A33 −A11) + (A11 +A33)] = a′0(s1 − a0C13), (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
О ДВУХ КЛАССАХ ПРЕЦЕССИОННЫХ ДВИЖЕНИЙ ГИРОСТАТА . . . 285
2E =
(
α2 +
1
2
β2
)
(1 + a0)[a0(A33 −A11)+
+ (A11 +A33)]− 2a0s3 −
1
2
[a′0
2
(C11 + C22) + 2a0
2C33].
Уравнение (9) при наличии соотношений (6), (14), (15) становится тождеством по ϕ, если
выполнены условия
λ2 = 0, s2 = 0, B23 = 0, C23 = 0,
λ1[a0(A33 −A11) + (A11 +A33)] = (a0 − 1)A11B13,
(16)
1
2
β2[a0(A33 − 2A11) + (2A11 +A33)] + (1− a0)[α2(a0(A33 −A11) +A33)+
+ α(λ3 − a0B33 + (a0 + 1)B11) + s3 + a0(C22 − C33)] = 0,
2αβa′0[a0(A33 −A11) + (A11 +A33)] + βa′0[λ3 − a0B33 + (a0 + 1)B11]+
+ α(a0 + 1)(λ1 −B13) + a0s1 − C13 = 0.
Объединяя равенства (13) – (16) и упрощая ряд из них, получаем
Aij = 0, i 6= j, A22 = A11, B23 = B12 = 0, B22 = B11,
(17)
C23 = C12 = 0, λ2 = 0, s2 = 0,
α =
s1 − a0C13
(a0 + 1)B13
, β = −(a0 + 1)λ1
a′0A11
, (18)
B13 =
λ1
(a0 − 1)A11
[a0(A33 −A11) + (A11 +A33)], C11 − C22 =
(a0 + 1)λ1B13
(1− a0)A11
, (19)
(a0 − 1)A11C13[2a
2
0(A33 −A11) + 3a0A33 + (A11 +A33)]+
+ (1− a0)s1A11[a0(A33 −A11) +A33]+
+ λ1[a0(A33 −A11) + (A11 +A33)] [λ3 − a0B33 + (a0 + 1)B11] = 0, (20)
1
2
β2[a0(A33 − 2A11) + (2A11 +A33)] + (1− a0)[α2(a0(A33 −A11) +A33)+
+ α(λ3 − a0B33 + (a0 + 1)B11) + s3 + a0(C22 − C33)] = 0, (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
286 Е. К. ЩЕТИНИНА
2k = 2a0λ3 + 2α(a0 + 1)[a0(A33 −A11) +A11]− a′0
2
B11 − a20B33,
(22)
2E = α2(a0 + 1)[a0(A33 −A11) + (A11 +A33)]− 2a0s3 + a′0
2
C22 + a20C33.
Таким образом, соотношения (17) – (22) являются условиями существования прецес-
сионно-изоконических движений гиростата в задаче (1) в случае (6).
Равенства (17) показывают, что вектор a принадлежит оси эллипсоида инерции, отно-
сительно которой он является эллипсоидом вращения, а векторы λ и s принадлежат
главной плоскости эллипсоида инерции. Формулы (18) указывают на явную зависимость
параметров прецессионно-изоконического движения (6) через параметры задачи. Равен-
ства (19) используются для определения параметров B13 и C11 –C22 через остальные па-
раметры задачи. Равенство (20) позволяет определить величину λ3, а равенство (21) —
величину s3. Соотношения (22) являются условиями на постоянные первых интегралов
(2). Действительность решения (6) при условиях (17) – (21) следует непосредственно из
структуры формулы (6) и формул (17) – (21).
Определим зависимость переменных ϕ и ψ от времени. В случае α > 0, α2 − β2 > 0
из уравнений (6) следует
ψ(t) = ϕ(t) = arcsin
α(β cos v +
√
α2 − β2 sin v − β)
α2 − β(β cos v +
√
α2 − β2 sin v)
, v =
√
α2 − β2 t, (23)
где принято, что при t = 0 значение ϕ = 0. Из выражений (23) следует, что ϕ(t), ψ(t) —
периодические функции времени с периодом T =
2π√
α2 − β2
.
При α > 0, α2 − β2 < 0 зависимости ϕ(t) и ψ(t) таковы:
ψ(t) = ϕ(t) =
π
2
+ 2 arctg
1−
√
α+β
β−αψ√
β−α
α+β ψ − 1
, ψ = th
√
β2 − α2
2
t. (24)
В случае (24) движение гиростата имеет асимптотический характер: при t → ∞ ψ =
= ϕ → ϕ0, где sinϕ0 = −α
β
.
Если в уравнении α = β, т. е. в силу (18) выполняется условие
a′0A11(s1 − a0C13) + (a0 + 1)2λ1B13 = 0,
то функции ϕ(t), ψ(t) имеют вид
ψ(t) = ϕ(t) = 2 arctg
αt
2− αt
. (25)
При получении (25) полагалось: при t = 0 ϕ = 0. При t → ∞ ψ(t) = ϕ(t) → −π
2
.
Таким образом, в силу (3), (5), (6) решение уравнений (1) можно записать так:
ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0,
ω1 = a′0(α+ β sinϕ) sinϕ, ω2 = a′0(α+ β sinϕ) cosϕ, (26)
ω3 = (α+ β sinϕ)(a0 + 1),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
О ДВУХ КЛАССАХ ПРЕЦЕССИОННЫХ ДВИЖЕНИЙ ГИРОСТАТА . . . 287
где ϕ(t) имеет один из видов (23) – (25) (в зависимости от значений параметров задачи).
Решение (26) описывает движение гиростата, для которого, кроме постоянства угла
между векторами a и ν, подвижный и неподвижный годографы симметричны друг другу
относительно касательной к ним плоскости. Поэтому представляет интерес исследова-
ние свойств этих кривых.
Используя соотношения (26), подвижный годограф можно представить как линию
пересечения конуса и параболического цилиндра
ω2
1 + ω2
2 =
a′0
2ω2
3
(a0 + 1)2
, ω1 =
a′0ω3
β(a0 + 1)
(
ω3
a0 + 1
− α
)
. (27)
Неподвижный годограф запишем, использовав уравнения П. В. Харламова [3]:
ωζ = (a0 + 1)(α+ β sinϕ), ωρ = |a′0(α+ β sinϕ)|, α = ψ(t) + α0. (28)
Из уравнений (28) следует, что проекция неподвижного годографа на горизонтальную
плоскость является улиткой Паскаля, а меридианом поверхности вращения служит пара
пересекающихся прямых.
Исходя из соотношений (23) – (25), (27), (28), можно сделать следующий вывод: при
α > β движение гиростата имеет периодический характер с периодом T =
2π√
α2 − β2
,
при α ≤ β движение гиростата при t → ∞ стремится к равномерному вращению относи-
тельно вектора ν.
Исследование условий существования второго класса прецессий. Зададим второй класс
прецессий в виде
ϕ̇ = p0 + q0 sin
ϕ
2
+ r0 cos
ϕ
2
, ψ̇ = b0 + c0 sin
ϕ
2
+ d0 cos
ϕ
2
. (29)
Используя уравнения (7) – (9) и обозначения (10), (11), получаем
ϕ̇ = −2a0
(
c0 sin
ϕ
2
+ d0 cos
ϕ
2
)
. (30)
Зависимость ψ̇ из (29) не изменяется. Условия существования прецессий (29) можно за-
писать в виде
Aij = 0, i 6= j, A22 = A11, Bij = 0, i 6= j, B22 = B11,
(31)
C12 = 0, C22 = C11,
λ2 = λ1 = 0, tg2 θ0 =
A33
A11
, s1 =
2a30C13
a20 + 1
, s2 =
2a30C23
a20 + 1
, (32)
b0 =
a′0
2
2a30A33
[λ3 − a0(B11 +B33)] , (33)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
288 Е. К. ЩЕТИНИНА
c20 =
a′0
3(C23 ±
√
C2
13 + C2
23)
a0(a20 + 1)A33
, d0 = − a′0
3C13
a0(a20 + 1)c0A33
, (34)
s3 =
1
a′0
2
[
a0a
′
0
2
(C33 − C11)− a0b0(a′0
2
B11 − a20B33) +
a0(c
2
0 + d20)A33
2
− a0b20A33
]
, (35)
k = a0λ3 + 2a20b0A33 −
1
2
(a′0
2
B11 + a20B33),
(36)
2E = a′0
2
C11 + a20C33 − 2a0s3 + a20(2b
2
0 + c20 + d20)A33.
Условия (31) являются ограничениями на матрицы A, B, C. Равенства (32) дают условия
коллинеарности векторов a и λ, определяют значения угла θ0 через моменты инерции
гиростата и зависимость величин s1, s2 через угол θ и величины C13, C23. Выражение
(33) указывает значение свободного члена в выражении для ψ̇ из системы (29). Формулы
(34) дают явные значения параметров c0, d0 через параметры задачи. Соотношение (35)
можно рассматривать как условие на параметр s3. Постоянные первых интегралов (2)
определены соотношениями, которые можно получить из формул (36) подстановкой в
них b0, c0, d0, s3.
Зависимости ϕ(t) можно найти из (30) по аналогии с формулами (23), (24), а зависи-
мость ψ(t) такова:
ψ(t) = b0t−
ϕ(t)
2a0
. (37)
Зависимости переменных ωi и νi от времени можно найти, используя формулы (3), (5),
(37). Они определяют новое решение уравнений (1).
1. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante
asimmetrico // Ann. mat. pura ed appl. — 1947. — 26, № 3 – 4. — P. 271 – 281.
2. Горр Г. В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных твердых
тел // Прикл. математика и механика. — 2003. — 67, вып. 4. — С. 573 – 587.
3. Харламов П. В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку // Прикл.
математика и механика. — 1964. — 28, вып. 3. — С. 502 – 507.
4. Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А. Классические задачи динамики твердого тела. Развитие
и современное состояние. — Киев: Наук. думка, 1978. — 296 с.
5. Верховод Е. В., Горр Г. В. Прецессионно-изоконические движения твердого тела с неподвижной точ-
кой // Прикл. математика и механика. — 1993. — 57, вып. 4. — С. 31 – 39.
6. Узбек Е. К. Новый класс прецессионно-изоконических движений гиростата под действием потенци-
альных и гироскопических сил // Докл. НАН Украины. — 2005. — № 7. — С. 46 – 51.
7. Харламов П. В., Мозалевская Г. В., Лесина М. Е. О различных представлениях уравнений Кирхгофа //
Механика твердого тела. — 2001. — Вып. 31. — С. 3 – 17.
8. Yehia H. M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces // J. Theor. and
Appl. Mech. — 1986. — 5, № 5. — P. 755 – 762.
Получено 07.04.06,
после доработки — 16.09.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 2
|