Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах
Исследуется нелинейная эволюционная система уравнений гидродинамического типа, описывающая трехмерный многоподрешеточный магнетик. Получен явный вид функции плотности энергии для магнитных систем, плотность энергии котоpых инвариантна относительно правых и левых спиновых вращений. Для квадратично-би...
Gespeichert in:
Datum: | 1998 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
1998
|
Schriftenreihe: | Физика низких температур |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175487 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах / Е.А. Иванченко // Физика низких температур. — 1998. — Т. 24, № 5. — С. 468-473. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-175487 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1754872021-02-02T01:28:23Z Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах Иванченко, Е.А. Низкоразмерные и неупорядоченные системы Исследуется нелинейная эволюционная система уравнений гидродинамического типа, описывающая трехмерный многоподрешеточный магнетик. Получен явный вид функции плотности энергии для магнитных систем, плотность энергии котоpых инвариантна относительно правых и левых спиновых вращений. Для квадратично-биквадратичной зависимости плотности энергии (в терминах инвариантных функций Картана) в трехмерном случае найдены точные решения для спиновой плотности в виде спиральных волн, а также решения для магнонных полей, индуцирующих такие волны. Предсказаны обратные спиральные волны. A nonlinear evolution system of hydrodynamic-type equations describing a three-dimensional multisublattice magnet is studied. An explicit expression is obtained for the energy density function of magnetic systems whose energy density is invariant to right- and left-spin rotations. Exact solutions for spin density are obtained in the form of helical waves for quadratic–biquadratic dependence of the energy density (in terms of Cartan’s invariant functions) in three-dimensional case. Solutions are also obtained for magnon fields inducing such waves. The existence of backward helical waves is predicted. 1998 Article Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах / Е.А. Иванченко // Физика низких температур. — 1998. — Т. 24, № 5. — С. 468-473. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0132-6414 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175487 PACS: 75.10.-b ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
spellingShingle |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Иванченко, Е.А. Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах Физика низких температур |
description |
Исследуется нелинейная эволюционная система уравнений гидродинамического типа, описывающая трехмерный многоподрешеточный магнетик. Получен явный вид функции плотности энергии для магнитных систем, плотность энергии котоpых инвариантна относительно правых и левых спиновых вращений. Для квадратично-биквадратичной зависимости плотности энергии (в терминах инвариантных функций Картана) в трехмерном случае найдены точные решения для спиновой плотности в виде спиральных волн, а также решения для магнонных полей, индуцирующих такие волны. Предсказаны обратные спиральные волны. |
format |
Article |
author |
Иванченко, Е.А. |
author_facet |
Иванченко, Е.А. |
author_sort |
Иванченко, Е.А. |
title |
Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах |
title_short |
Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах |
title_full |
Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах |
title_fullStr |
Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах |
title_full_unstemmed |
Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах |
title_sort |
обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах |
publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
publishDate |
1998 |
topic_facet |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175487 |
citation_txt |
Обратные спиральные волны в пространственно неупорядоченных магнитных средах / Е.А. Иванченко // Физика низких температур. — 1998. — Т. 24, № 5. — С. 468-473. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
series |
Физика низких температур |
work_keys_str_mv |
AT ivančenkoea obratnyespiralʹnyevolnyvprostranstvennoneuporâdočennyhmagnitnyhsredah |
first_indexed |
2025-07-15T12:48:32Z |
last_indexed |
2025-07-15T12:48:32Z |
_version_ |
1837717220012064768 |
fulltext |
��������� ��
������
��������������������������� ����!"�#��$�%�&'� (*)"� +�$,&�-�!�.�&�/�0
132547698;:=<?>*@9ACBD4E69F�GH:C<I>KJMLNF�:D< JOAD4EL=@P8Q476R:M@P8;JE>S:=:ML
:7>ET=AML549U;VDLRW7>S:9:=<YX[Z\65]^:=B;8;:=<_X`@74N>EVD69X
a;b�c�b^d7e�fhg^i�jkg"l�m
nkoqp,r sut,owvqxyt z|{�tuou}�~wtqz�{hp ��t����h�u��ou�#x��ws��y���ur�{h��r,��r��us���������tur�~u�����ur�{hr t,����r ��}����y����w� o,r�t,ou�����������y�,�����
��ou�#xy�usu����},v��,���uo, ,�¢¡�r�~������wou£ ���¤�¥§¦�¨�©«ª¬�® ¯�°,±q¯�²,®u³�´�© µ ¶�· ´�¸�¨�¹¢´�ºu°�· »�¨
¼�½�¾y½�¿�ÀhÁ�Â�Ã�½ÅÄ�Á Æ�Ç,¾^È^É�ÊÅË ¾uÌ,Í�Æ,Î9ÏkÐ�ÂyÀ Ñuµ,ÀQÒ�ÓuÓ Ô"Õ�·×Ö�Á ÂuÃ�ÇqÊØÁ�Ê�É�Ê�É ¾yÑ�Âq½�Ì,ÆQÒÅÓ^Ë ÊyÌ,¾�ÑuÉqÀÙÒ�Ó�Ó�Ô^Õu·
Ú"Ã�ÃyÇ�Ê�Ë�Ä#Êy½�ÃyÀ Ð�ÊuÇ Æ�Ð�ÊyÛ�Ð�¾�À Ü�È,Â,Ç�Î�Í�Æ�Â,Ð�Ð�¾yÀ Ã�Æ�Ãy½�ÊyÝ�¾ÞÄ�É�¾uÈ,Ð ÊuÐ�Æ�Û Õ�Æ�Ë�É�Â,Ë�Æ Ð�¾uÝ�Æ�ßqÊ�Ã�Ì�Â�Õ�Âà½yÆ�Á ¾
Ö
Â,Á�Æ�Ã�á�Èq¾�Î�â^¾yÀ7½�É�Êuã Ý�ÊyÉ�Ð�á�ÛEÝ�Ð�Â,Õ�Â,Á�ÂwË#É�Êyä^Ê�½yÂ,ß Ð�á�ÛEÝå¾�Õ�Ð�Êy½�Æ�Ì�·�æ�Â,Ç�Ä�ß,Ê�ÐçÀ#ÈuÐ�á�Û7ÈqÆ,Ë7è�Ä Ð�Ì�Í�Æ�ÆEÁ�Ç�Â,½�Ð�ÂqÃ�½�Æ
Ü�Ð�ÊyÉ�Õ�Æ Æ�Ë�Ç,À�Ý�¾uÕ�Ð�Æ�½�Ð�á�ã�Ã�Æ�Ã�½yÊ�Ý�Ö"Á�Ç�Â,½�Ð�ÂqÃ�½�¿9ÜyÐ�Ê�É�Õ�Æ�Æ�Ì Â,½yÂ,µ�á�ã�Æ�Ð�È�¾qÉ Æ�¾uÐ�½�Ð�¾� ½yÐ Â�Ã�Æ�½yÊ�Ç�¿uÐ�Â9Á�É�¾uÈ,á�ãéÆ
Ç ÊuÈuá�ãSÃyÁ�Æ�Ð�Â,È,á�ãSÈ,É�¾uâ^ÊyÐ�Æ�Û ·ëê�Ç�ÀSÌ�È,¾yË#É�¾u½�Æ�ßqÐ�Â,¥�Ñ Æ�Ì Èq¾�Ë�É�¾u½�Æ�ß,Ð�ÂqÛíì�¾uÈ,Æ�ÃyÆ�Ý�Â,Ãu½�ÆSÁ�Ç�Â,½yÐ�Â,Ã�½yÆSÜ�Ð�ÊuÉ Õ�Æ�Æïî�È
½�ÊyÉ�Ý Æ�Ð�¾uãRÆ�Ð�È,¾uÉ�Æ ¾,Ð�½�Ð�á�ãïè�Ä#Ð�Ì�Í�Æ�Ûñð�¾uÉ�½�¾uÐ�¾�ò7ÈS½�É�Êuã ÝåÊ�É�Ð�Â,ÝóÃ�Ç�Ä�ß,¾uÊ=Ð�¾uÛ�Ë#ÊyÐ�áô½y ß,Ð�á�ÊCÉ Êuä�ÊuÐ Æ�ÀSË�Ç�À
Ã�Á�Æ�Ð�Â,È,Â,ÛëÁ�Ç Â�½�Ð�Â�Ã�½�ÆhÈ'È,ÆqË#Ê�ÃuÁ�Æ�É�¾�Ç�¿uÐ�á�ãëÈ,Â,Ç�Ð�Ö�¾^½�¾uÌ�õ�ÊØÉ�Êyä^Ê�Ð�ÆqÀhË�Ç,À�Ý�¾uÕ�Ð�Â,Ð�Ð�á�ãhÁ�Â,Ç�ÊyÛ�Ö�Æ�Ð,Ë�Ä�Í�Æ�É�Ä Î�âØÆ�ã
½�¾uÌ�Æ�Ê^È,Â,Ç�Ð�á^·�æ�É�Ê�Ë�ÃuÌ ¾uìy¾�Ð�áCÂ,Ñ,É�¾u½�Ð�á�Ê'Ã�Á�Æ�É�¾,Ç�¿,Ð�á�ÊkÈuÂ�Ç Ð�á^·
ê�Â,ÃyÇ�© Ë�õ�Ä#öu½�¿uÃ�À÷Ð�Ê�Ç�©øÐ�©«Û�Ð�¾ôÊuÈu Ç�Î�Í�©«Û�Ð�¾ôÃuÆ Ãu½yÊ�Ý�¾ôÉ�©øÈ,Ð�À#Ð�¿ùÕ�© Ë�É�ÂuË�Æ�Ð ¾,Ý�©øß Ð� Õ�Âù½yÆ Á�Ä�Ö9À�Ì ¾?Â�Á�Æ�Ã�Ä�ö
½�µ�Æ�È,Æ�Ý�©«µ�Ð�Æ�ÛSÑ,¾qÕ�¾�½yÂ,Á�© Ë�Õ�É�¾u½�Ì�Â,È,Æ�ÛSÝ�¾uÕ�Ð�Êy½�Æ�Ì�·ûú�Ë�Ê�É�õ�¾uÐ�ÂCÀ È,Ð�Æ�ÛSÈ,Æ�Õ�ÇqÀ Ëíè�Ä#Ð�Ì�Í�©«üûÕÅÄ Ãu½yÆ Ð�ÆSÊuÐ�Ê�É�Õ�©×ühË�Ç�À
Ý�¾�Õ�Ð�©ø½�Ð�Æ�ãûÃuÆ Ãu½yÊ�Ý�Ö
Ä�Ì� ½yÉ Æ�ãûÕÅÄ�Ã�½yÆ�Ð�¾hÊ�Ð�Ê�É�Õ�©øü�©øÐ�Èu¾,É#©×¾uÐ�½�Ð�¾hÈ © Ë#Ð�Â,ÃyÐ�Â�Á�É�¾,ÈuÆ�ãû½�¾hÇ�©«ÈqÆ�ã�ÃyÁ�©«Ð�Â,ÈqÆ�ã�ÂqÑ,ÊuÉ ½y¾,Ð ¿
·
ê�Ç,À?Ì Èq¾�Ë�É�¾u½�Æ�ß,Ð�Âq¥ýÑ�©§Ì�Èu¾uË�É ¾,½yÆ ß�Ð� ü�ì�¾uÇ�Ê�õ�Ð�Â,Ãy½�þEÕÅÄ�Ã�½yÆ�Ð�ÆYÊyÐ�Ê�É�Õ�©øü=î�È_½�Êyµ�Ý�©«Ð�¾uãô©«Ð�È,¾uÉ�©ø¾�Ð�½yÐ�Æ ã?è�Ä#Ð�Ì�Í�©«Û
ð�¾uÉ�½�¾uÐ�¾�òíÈó½�É�Æ�È,Æ�Ý�©øÉ�Ð�Â,Ý
ÄôÈ,Æ�Á�¾yË#ÌqÄôì�Ð�¾,ÛqË#ÊuÐ�Â?½�Â,ß,Ð�©�É�Â,ìyÈ�ÿ À#ìyÌ Æ\Ë#ÇqÀôÃ�Á�©øÐ�Â,È,Â,üCÕÅÄ Ãu½�Æ�Ð�Æ?ÄôÈuÆ�Õ�Ç�À Ë�©
Ã�Á�þøÉ�¾�Ç�¿uÐ�Æ�ãEã�È,Æ�Ç�¿�Ö�¾û½�¾uÌ� õïÉ�Â,ìyÈ�ÿ À#ìyÌ ÆPË#Ç�ÀEÝ�¾,Õ�Ð� Ð�Ð�Æ�ãEÁ Â�Ç�©§È�Ö�À�Ì#©�è�ÂqÉ�Ý�Ä Î�½�¿û½�¾uÌ�©�ã È,Æ�Ç�©·�æ�Ê�É�Ê�Ë#Ñ,¾uß�Ê�Ð�Â
ì�ÈuÂ�É Â�½�Ð�©�ÃyÁ�Æ�É�¾uÇ�¿�Ð�©åã�È,Æ�Ç�©¢·
��������¬��
���
��������
������������� �
!#"�$�%�&('�$�)�*�&(',+�-�* *�%.*�-(/�"�%�$�0�1�%32�-�*�* 4�56&�$�-,1 ),5�7
'8)�9�:�5 9�)�9 ;<*�%�=
%�"�%�1 $�-�>?-(',%32�*�4�- ;<),=@*�-,'�:�9�:A7
&8+B-8$�5�',-89�/�2�:�-DC?),E84F=G-,H�:�0 I�JA7K&8"�:�*�%�+34�-D&,'@-�9�H�)D:
1 $ALM7N"�$�: :�E,/�2�-8*�:�: &�" :�*�%�+�4�5 +B%3E,O3/�P?1�-�*�:�Q
:�&�"�%�H R�E,/�-(',&S0T=(:�"�%3',-(E�)U%D&�"�%�*�'�)�*�*�%3;V*�)�$�/ >?-�*�:�:
&8:�;�;W-,'8$�:�: &,%�&,',%�0 * :�0 &,'8),'�:�&,'8:X2�-,&�9�%3=@%
$ )�+�*�%�+�-,&8:�0DY,Z37\[�]SL_^`)a%3&�*�%�+3)�*�:�:Ub,'(%�QU=@: "X%�'S-(E�4c+
$ ),O�%�',-dYeJ�]fO�4�Hg"�$�-(1�H %�Ph-8*i=(:�1 $�%�1�:�*�)�;�:�2�-,&89�:�Q
"�%�1�5 %�1�7 & "�%�;�%�jhR�k 9�%�'(%�$�%�=@% /�1 ),H�%�&�R
&8Cl%�$�;�/�H : $X%X+�),'8Rm1 : *�),;n:�23-,&�9�:�-o/�$�)�+3*�-�* :�0p1�H�0
;n),=,*�:�'�*�4�5U&�$�-,1q&,%r&8"X%X*X'8)�*�*�%q*�)�$�/ >?-�*�*�%�Qs&8:�;�;tI
-('�$�:�-8Q %�'�*�%�&8:X'(-,H R3*X% &�"�:�*�%�+34�5 +�$ )�ju-8*�:�QnL
vu:�*�-�Q *�4�-w1X:�*�)B;t:�2�-,&�9�:�-x/X$�)3+3*X-8*�:�0 "�%�H /�2�-�*�4
+yY{z|7~}�]S7�)�/�2�-,'�*�-(H�: *�-�Q�*�%�Q�1 :�*�),;<: 9�:.+D;W-,',%�1�-
C_-�*�%3;�-8*X%�H�%�=@:�2�-(&�9�:�5 H )B=�$�)3*�P`:�)�*�%�+ "�$�%�+�-,1�-�*
+�Y��|7\��],7c+�=(),;<:�H�R,'(%�*�%�+�%�; C�%�$�;<),H�:�E(;�- � +
$ ),O�%�',-�Y���]SL���"�%�;A0�*X/�'�4�-K&�:�&(',-,;n4f%�O�H�),1 )�k�'�$�0X1�%�;
: *�',-�$�-(&�*�4�5w&8+B%�Q�&('(+�7�" $X-(1�&�9�),E�)�*�:�k %�1�*�%3=@%�:�E
9�%�'@%�$�4�5�"�%3&�+,0 jh-�*�)K*�)B&('S%30 jh)S0�$�),O�%�'8)�L
�_:�*�)�;�:�2�-,&89�:�- "�-�$�-(;�-�* *�4�-�7 %�"�:�&�4�+3)�k?jh:�-
*�-�$�)�+3*�%�+B-(&�*�%3-?&(%�&,'@%�0 *�:�-l;<),=(*�-,'8:�9�%X+u&(%�&8"�%�*�'�)�*�*�%
* )�$�/�>?-8*�*�%�Q &�:�;�;�-('($�:�-�Q�7w+39�H�k�2�)�kl' + &,-,O�0
"�H�%�'(*�%�&('�R�&�"�:�*�)��
α( � ) � α = � 7��<�����D:V"�)�$�),;�-('�$
"�%�$�0�1 9�)�� %�$�'(%�=@%�*�),H�R�*�/�k ;<),'8$�:� �/¡"�%�+�%�$�%�'8)
¢
αβ(� ) � ¢�£�¢ =
Z8��7D* ),O�%�$m&89�%�O3%�9�¤_/�)�&,&(%�* )¥1�H�0
9�%�'(%�$�4�5�:�;W-,-,'�+�:�1
¦ �
α( � )
7 �
β(� ′) § = ¨ αβγ
�
γ( © )δ(� − � ′)
7
¦ �
α( � )
7 ¢
βγ( � ′) § = ¨ αγρ
¢
βρ( � )δ( � − � ′)
7 � Z8�
¦ ¢
αβ( � )
7 ¢
γρ(� ′) § = ª L
«�&(&,H�-,1�/�-(; 1 : *�),;n:�9�/ + 1�H�:�* *�%�+B%3H�*�%�+�%3;
"�$�-(1�-(H�-�7�9�%�=@1 )�"�$�%3&,'8$�)�*�&,'8+B-8*�*�4�-`*�-,%�1�*�%�$�%�1 *�%�&('�:
1 :�*�),;<:�2�-(&�9�:�5 "�-8$�-,;W-�* *�4�5 ;n),H�4�7 : /�2�'@-(;
+�%�E@;�%�Ph* 4�- *�-,H :�*�-8Q�*�4�- +�E�)�:�;�%�1�-�Q�&('�+3:�0
&�" :�*�%�+�4�5 +�%�H * *�) %3&�*�%�+�- :�&�"�%�H R�E@%�+�)�* :�0
9�%�* �-8"� :�:�&�"�%�*�'�)�* *�%�=
%T*�)�$�/�>?-8*�:�0c¬� � J��@I�&�:�;A;<I-,'8$�:�:K&�"�:�*�%�+34�5®+3$�)�jh-�*�:�QA7�%�',*�%�&8:�'(-,H R�*�%¯9�%�',%�$�4�5
%�O3;�-�*�* 4�- +�E()�:�;�%31�-�Q�&,'(+�:�0 0 +�H�0 k�',&@0
:�*�+3)�$�:�)�*�'8*�4�;<:nLq°</�1�-,;±&,2X:X'8),'�R�7�2�',%²"�H�%3'�*�%�&,'8R
b�*�-�$�=@: :�0 +�H�0�-(',&S0³C�/�*�9� �:�-8Q´+�-,H :�2�: * � 7 ¢ 7 ∇ µ :�H�:t7
2�'(%�'@%pP¶-�&8)B;W%�-�7·Cl/X*�9� �:�-�Q +�-,H :�2X:�*��37 ¢ 7
ωα ¸ ( ¢ ) = ¹ ⁄º ¨ αβγ
¢
λγ ∇ ¸ ¢ λβ � H�-�+3)S0 C�%�$�;<)
» )�$�',)3*�)���¼
½ ¾�¿{À�¿@Á Â
Ã�ÄSÅ@Æ8Ä�ÇÉÈ�Ê�Ë�Ì�Ì3Í
ε( � 7 � α( � ′)
7 µ ( � ′)) = ε(
�
α( � )
�
ωα ¸ ( ¢ )
7 ¢ )
7��
= � ��� 7 � L
� [���t)�9 9�)�9 "�H�%�'(*�%3&,'�R b8*�-8$X=�:�: %�O�;�-�*�*�4�5
+�E�)�:�;�%31�-8Q�&,'�+3:�Q : *�+�)3$�:�)3*�'�*�) %�'8*�%3&�:�'S-(H�R�*�%
%�1�*�%�$�%31 *�4�5�"�%�+B%�$�%3',%�+
¦��
α
7
ε § = ª 7 � J��
=@1�-
�
α = ∫ � � � �
α(© )
7
'(%
ε(
� 7 ¢ 7 ω ¸ ) = ε(
� 7�� µ 7
ω ¸ ) = ε(
�
_
7
ω__ ¸ ) L � z��
!�C�%�$�;�/�H�- � z��
�#"�$�%�:�E(+B%�H R3*�)80�%�$�'@%�=
%�*�)�H R�*�)S0
;n),'�$�:� )
� �
_ ≡ ¢ � � ω__α ¸ =
Ò
⁄º ¨ αβγ
¢
βλ ∇ ¸ ¢ γλ
� " $�)�+3)S0
C_%�$�;<)�L «h&�"�%�H�R,E,/�0 &�9�%3O�9�: ¤�/�),&,&(%�*�) � Z3��7/ $�)�+3*�-�*�:�0 1�+3:�Ph-�*�:X0 1�H�0 "�$�%3&,'�$�)3*�&,'�+�-�*�*�%
*�-,/�"�%�$�0�1�%�23-�* *�%�=
% ;n),=,*�-('�:�9�) O3-,E /�2�-('�)
1 :�&,&�:�" )� �:�:x;�%�Ph*�%�E,)3"�:�&8),'�Ro+ =(),;<:�H�R,',%�*�%�+B%�Q
C_%�$�;�-�¼
�.
α =
¦ �
α
7�� § = − ∇ � ∂ωα � ε
7
¢ .
αβ = � ¢ αβ
�
� § = ¢
αρ ¨ ρβγ ∂�
γ
ε
7 � }��
�
= ∫ ��� � ε( � )
�6=(),;<:�H�R,'(%�*�:�)�*�&�:�&,'(-,;t4���'@%�2�9�)?%3E�*�)B2�)�-,'�2�),&('�*�/Xk
" $�%�:�E�+�%�1 *�/Xk�"�% +�$�-,;W-�*�:AL
� 9�%�O�9�:r¤l/ ),&(&,%�*�)K1�H�0�"�-�$�-,;t-�*�*�4�5 �
_α ≡ µ αβ
�
β
7
ω__α ¸ ≡ ¢
αβ ωβ ¸ :�;W-�kl'`+3:�1¦ �
_α( � )
7 �
_β( � ′) § = − ¨ αβγ �_γ( � )δ( � − � ′)
7
¦
ω__α ¸ ( � )
7
ω__β � ( � ′) § = ª 7 � ���
¦ �
_α( � )
7
ω__β ¸ (� ′) § = ¨ ανβ ω__ν ¸ ( � )δ( � −� ′) + δαβ ∇′̧ δ( © − © ′)
L
¤�%�b(',%�;W/ b8+B%�H k? �:�%�* *�4�- /�$�)�+3*�-�* :�0 � }�� +
"�-�$�-,;t-�*�*�4�5 �
_α
7
ω__α ¸ "�$�:�*�:�;<)�k�'�Cl%�$�;W/K/�$�)�+�*�-�*�:�Q&(% &8+80XES0�;<:��q),/�$�-�$ )�� » )�$�'�)�* ) Y���7���]S¼
�
_
.
α = −∇ ¸ ∂ω__α � ε + ¨ αβγ(
�
_β ∂�_γ
ε + ω__β ¸ ∂ω__γ � ε)
7
ω__
.
α ¸ = − ∇ ¸ ∂�_α
ε + ¨ αβγ ω__β ¸ ∂ _γ
ε
7 � ���
∇ ¸ ω__α ! − ∇ ! ω__α � = ¨ αβγ ω__β ¸ ω__γ !
L
!d/ $�)�+3*�-�*�:�0�5 � ��� ω__α =
Ò
⁄ º ¨ αβγ(
¢ . ¢�£ )γβ
� "�$�)�+3)S0
Cl%�$�;t)�7c&8+80�E8)�*�*�)S0 &w+3$X-(;�-�*�*�%�Q "�$�%�:�E(+�%�1 *X%XQ"�
ω__α ≡ −∂ _α
ε
LK«hEU&8:�&('S-(;<4d/ $�)�+3*�-8*�:�Q � ���r&,H�-(1�/�-,'�7
2�'(%´H�%�9�)BH R3*X%®&(%�5 $�)3*�0 kl'@&S0 "�H�%3'�*�%3&,'8R b�*�-8$X=(:�:
ε
:
9�%�;n"�%�*�-�*�'84D:X;n"X/�H R�&�)
π !
¼
ε
.
= −∇ � ∂�_α
ε∂ω__α ¸ ε
7
π
.
α = − ∇ ¸$#%� � 7 � ���
=@1�-
π ! =
�
_α ω__α !
7
# !\¸ = − δ ! ¸ (ε −
�
_α ∂ �_α
ε) + ω__α � ∂ω__α � ε � ���
�d',-8*�E@%�$®"�H�%3'�*�%�&,'8:®"X%�'S%X9�)`:�;<"�/�H�R,&�)�L
��:�&,'@-,;n) /�$�)�+3*�-�* :�Qx%�O�j?-,=@%¡"�%�H�%�P?-8*�:�0 � ���:�&(&,H�-,1�%�+�)�H ),&�R�+®$�),O�%3',-�YSZ�Z8],L<!D*�)�&,'@%�0 j?-�Qr$�),O�%3',-
"�%3H�/�2�-�*�4f)�* ),H :�'�:�2�-(&�9�:�-hCl%�$�;�/�H�4�7�%�"�:�&�4_+3)�klj`:X-
&�" :�$�)�H R�*�4�- +B%3H�*�4 &8"�:�*�%�+�%�Q "�H�%�'�*�%�&,'(: +
'�$�-(5�;W-�$�*�%�; )�*�:�ES%�'�$�%�" *�%�;w;�)�=@*�-,'(:�9�-V&d/�2�-(',%3;
O�:�9�+�),1 $�),'�:�2�* 4�5 +�9�H ),1�%�+6+6"�H�%3'�*�%�&,'8: b�*�-�$�=@: :tL
¤h$�-(1�&89�)�E,)3*�4 %3O�$�),'�*�4�-w&8"�:�$�),H R3*�4�-w&8"�: *�%�+�4�-
+�%�H *�4¶L�! $�),O3%�',- YSZ([�]_+�H ),=($�)�*�P?-8+B%�; "X%�1�5�%31�-�1�H�0
&,H /�2�)S0 9�+3),1 $�)B'(:�2X*X%XQ E()3+�:�&�:�;A%�&,'�: "�H�%3'�*�%�&('�:
b�*�-�$�=@: : � ),;t%�$ Cl* 4�Q ;n),=,*�-('�:�9�� *�)�Q�1�-�* 4
&,%�H�:�'@%�*�*�4�- $�-�>?-�* :�0tLw^�-(H :�*�-�Q *�)S0 1 :�*�),;<:�9�)
;<*�%�=
%X"X%�1�$�-8>u-(',%32�*�4�5 *�-�9�%�H H :�*�-�)3$�*�4�5
)�*�'8:�Cl-�$�$�%�;<),=@*�-,'8:�9�%�+ & ;�%31�/�H�:�$�%�+3)�*�*�%�Q
;<),=(*�:�'(*�%�Q &('�$�/ 9�',/�$�%�Q²+6"�$�:�&,/�'(&,'�+3:�:d+3*X-8>�*�-,=@%
;<),=(*�:�'(*�%3=@%�"�%�H�0�:�E(/�2�),H�),&8RK+´Y@Z@J�],L
&('�� �*)�+3�
,.-�/0)�'01(� '�2314+65�� �*7�8 ���
9t)B&(&,;W%�'�$�:�; *�-(/�"�%�$�0�1�%�2�-8*�*�4_Q ;<),=(*�-,'8:�9t7
"�H�%�'(*�%�&('�R b8*X-8$�=@: : 9�%�'@%�:�%�=
% :�*�+3)�$�:�)�*�',* )
%�'(*�%3&�:�',-(H�R3*�% H�-�+34�5 : "�$�)3+�4�5 &8"�:�*�%�+�4�5
+3$�)3j?-�*�:�QAL�!xb(',%3;�&,H�/�2�),-dC�/ *�9� :�0±"�H�%3'�*�%�&('�:
b�*�-�$�=@: :
ε
/�1�%�+�H�-('�+�%�$�0�-,' "�-�$�-,%�"�$�-,1�-,H�-8*�*�%�Q
&�:�&,'@-,;t-�/�$�)�+3*�-�*�: Q´+�2X),&,'�* 4�5�"�$�%�:�E(+B%�1 *�4�5qY,Z ª ]@¼
¨ αβγ(
�
_β ∂ �_γ
ε + ω__β ¸ ∂ω__γ � ε) = ª L � Z ª �
;hO�j?-,-`$�-�>?-�*�:�-h&8:�&,'(-,;t4 � Z ª �h:X;t-,-,'`+3:�1
ε = < ( �_α
= 7
ω__α >º 7
ω__α ?º 7
ω__α @º �
π>
7
π?
�
π@ )
7 � Z�Z8�
=@1�- < �w" $X%X:XE8+B%3H�R�* )S0TCl/X*�9� :X0D/X9�),E8)�*�*�4�5�)�$�I
=@/�;�-8*X'(%�+�L®¤_%�&�93%�H R�9�/�&8:�&,'@-(;<) � Z ª � :�*�+3)�$�:�)�*�',* )
%�'(*�%3&�:�',-(H�R3*�% =@$�/ "�"�4�"�-8$�-,&('()�*�%�+�%�9#:�*�1�-89�&�)A��7
�-(H�-,&,%�%�O�$�),E8*�% "�-8$X-8Q�'�: 9 &�:�;�;t-,'�$�:�2�-(&�9�:�;
"�-8$�-,;�-8*�* 4�;lL ¤?%3&,H�-pb,'(%�=@% 1�H�0 "�$�)�93'�:�23-,&89�:�5
$�)B&(2�-(',%�+ ;�%3P`*X% %�=@$�)�*�:�2�:�'�R,&S0 &(H�-(1�/�k?jh:�;
+34�$�),P?-8*�:�-,;U1�H�0³"�H�%�'�*�%�&('(:³b8*�-8$X=(:�:n¼
ε = ε ! + ε B 7
+¯9�%�',%�$�%�;
CED4FGD Ç ÃtÄ DHF Ç DGI�J ÆLK M@Æ3N,à JPO N�Ê,Ë{Ì(Ì�Í�Ê J ¿%QSR�ÊUTWV R3X,Ì
ε ! =
Z
[
χ
�
_α
º + ρ[ ω__α ¸º +
Z
z
χ Ò
�
_α
Ï
+
ρ Ò� ω__α ¸
Ï
+
�[ π �
=
� ZS[��� :�E,%3'�$�%�"�*�)S0�:
ε � =
ρ ºz ( ω__α >º ω__α ?º + ω__α>
=
ω__α @º + ω__α ?
=
ω__α @º ) � Z�J��
� )�*�:�ES%�'�$�%�" *�)80 2X),&,'�: b8*�-�$�=@: : � O�-,E /�2�-('�)
1 : ClCl-8$�-�*� :�),H�R�*�4�5®/�$�)3+�*�-8*�:�Q�&�+,0�E�: ;t-,P?1�/
ω__α>
7
ω__α?
7
ω__α@
�3�
χ
�d;<),=@*�:�'8*�)S0³+B%3&�" $�: :�;�2�:�+B%�&,'(R �
ρ
�
9�%�*�&('�)�*�'()���P?-(&,'�9�%3&,'8:����
χ Ò 7 ρ Ò 7 ρ º 7��U�dCl-8*�%�;A-8I
*�%�H %�=(:�2�-(&�9�:�-®9�%�*�&,'8)�*�'84�&�+,0�E�:AL 9t),&,&,;n),'�$�:�+3),-,;�/Xk
;t%�1�-,H�R ;�%3P`*�% :�*�'@-8$�"�$�-,'�: $�%�+3)B'(R 9�)39
9�%�*�'8:�*�/�),H�R�* 4�QD"�$�-,1�-(HD&�:�&('@-,;<4d$�)�&�"�$�-,1�-,H -�*�*�4�5
&8:�;�;W-,'8$�:�2�*�4�5�+B%�H�2X9X%�+�L
���
`����� �
��7
,���� �������
^`)�Q�1�-(; ',%32�*�4�-p*�-,H�:�*�-�Q�* 4�-p$X-8>¶-8*�:�0 &,'8)�I
:�%�*�)�$�*�%3=@% "�$�%�C�:�H�0�7 '�L -�L 9�%�=@1 ) :�&�9�%3;<4�-
C_/�*�9� �:�: �
_α( � 7�� ) 7 ω__α ¸ ( � 7 # ) E8)�+�:�&S0�' %�'
)3+�'S%�;�%�1�-(H�R3*�%�Q6"�-8$�-,;�-8*�*�%�Q�� � − ¨ # � "�)3$�),;�-,'8$ ¨%X"�$�-,1�-(H�0�-('`+B%�E@;�%�Ph*�4�-h&�9�%�$�%3&,'8:´$�),&8"�$�%�&,'($ )�*X-8*�:�0
+�%�E(;A/ j?-�*�:�Q + &8:�&(',-,;W-
�¥+B-89X'(%�$ � &�+,0�E�)�* &
* )�"�$�)�+�H�-�*�:�-,;�$�),&8"�$�%�&(',$ )�*�-�*�:�0�+�%3H�*A7�&(;�L *�:�Ph-���L
! '8$�-,5�;W-�$ *�%�; &(H�/�2X),- O3H�),=@%�1 )�$�0
1 : ClCl-8$�-�*� :�),H�R�*�4�; &8+80XES0�; �s),/ $�-�$�)�� » )�$�'()�*�)
&8:�&(',-,;t) /�$ )�+�*�-8*�:�Q � ��� &�+�%�1 :�'@&@0 9
$ ),&,&(;�%�'8$�-�*�*�%�;W/ + $�),O3%�',- Y,ZGz�]x%�1�*�%�;t-�$�*�%3;�/
&(H�/�2X)�k�L�� '@%¥&(H�-,1�/�-,'V:�E6'@%�=
%iC?)�9�'�)�7q23',% " $�:
E8)�+�:�&�:�;�%�&('(: "�-�$�-,;W-�*�*�4�5
ω__α >
7
ω__α ?
7
ω__α @
%�'
� � − ¨ # &�+,0�E�:
∇ ¸ ω__α ! − ∇ � ω__α � = ¨ αβγ ω__β ¸ ω__γ ! � Z�z��
0�+BH�0 k�'(&S0®=G%�H�%�*�%�;�* 4�;<:A7�'�L -�LW:�*�'@-(=,$�: $X/�-,;<4�;<:A¼
ω__α � =
� ?�
> ω__α � 7
ω__α � =
� @�
> ω__α � L � ZS}��
�A-�"�-8$�RK:�&,5�%�1 *�)S0®&�:�&(',-,;n) � ����"�$�:�*�:�;t)�-,'`+�:�1
−̈ (
�
_α )′ = − � > (∂ω__α � ε)′
7
� ZS���
−̈ ( ω__α � )′ = −
� � (∂�_α
ε)′ + ¨ αβγ ω__β> ∂�_γ
ε
7
�
′ ≡
���
�
(
� � − ¨ # )
L
«hEh&�:�&('@-,;<4 � Z����?*�-�"�%�&8$X-(1�&,'�+�-�*�*�% &(H�-(1�/�-,'�7�2�',%
− ¨_�_α + ρ
__
ω__α > = � α
7
¨_ ≡ ¨ −
�
>�� � π 7
ρ
__
≡
�
>�� ρ +
�
>
� º ρ � +
� � º � ? º +
�
> º � @ º +
�
?
= �
@ º�
>
Ï ρ º
ω__α�º 7
� Z(���
� ≡
� º
�
> º
7
π ≡
�
_α ω__α>
7
=@1�- � α
� 9�%X*X&('�)�*�'�4f:�*�'S-(=($�: $�%�+3)�*�:�0�L���"�%�;W%�jhR�k
/�$ )�+�*�-�* :�Q � Z(���®+r&�:�&,'(-,;W- � Z(����H�-(=,9�% :�&89XH kl2�:�'8R
*�-8:�E�+�-,&,'8*�4�-UCl/X*�9� �:�:
ω__α >
L! W)�;A-('�:�;y'8)�9XP�-�7�2�',%
+�-,H�:�2�:�* 4
π
:
ω__α >º 0�+BH�0 k�'(&S0 C�/ *�9� �:�0�;<: �
_α
º :
� α
�
_α � &,;�L�¤�$�:�H�%�P?-8*�:�-���L;`9�%�*�2�),',-(H�R3*�%A7 +34l"�%�H *�:�+ ;n),&�>¶'()�O�*�%�-
"�$�-(%�O�$�),E(%�+�)�*�:�-
ξ =
(
� � − ¨ # ) " #%$
− ¨_º χ
__
+ ρ
__ 7 � Z(���
+¯9�%�',%�$�%�;q',-�"�-8$�RK+�%�&8"�$�:�:�;�2�:�+�%�&('�R
χ
__ $ )�+�*�)
Z
χ
__ ≡
Z
χ
+
Z
χ Ò
�
_α
º 7 � Z ���
"�$�:�5�%31 :�; 9aH�: *�-�Q�*�%�Qa&8:�&(',-,;W-¯/�$�)�+3*�-8*�: Q&��Q�H -�$�)
1�H�0�"�$�)�+�%�Q®Cl%�$�;<4 �
_α
¼
�
�
ξ
�
_α = ¨ αβγ ' β
�
_γ
7 ' α ≡
� α
$ # $
L � [ ª �
9W-�>?-�* :�-�&�:�&(',-,;n4 � [ ª ��:�;W-,-('K+3:X1
�
_α(ξ) = ( αβ
�
_β(ξ ) ) 7 � [|Z8�
=@1�-®%�$�',%3=@%�* ),H�R�*�)S0 ;<),'8$�:� )a"�%�+�%�$�%�'() ( � ( £�* =
Z8�
$�)�+3*�)
( αβ = +-,/. ξ δαβ + (
Z
− +0,1. ξ) ' α ' β − 2-354 ξ ¨ αβγ 6 γ
7
� [�[���
_β(ξ 7 ) � 9�%�*�&,'()�*�'84D:�*�'@-,=($�:�$�%�+3)3*�:�0�L
8w"�%�;t%�j`R�k�*�)�Q�1�-�*�*�%3=@% 1�H�0 "�$�)�+�%�Q C�%�$�;<4
:�-�>h-�*�:X0 � [|Z�� ;W%�Ph*�% %�"�$�-,1�-,H :�'�R &8"�:�*�%�+B/ k
"�H�%�'(*�%�&('�R
�
α = ¢
βα �_β
L � [�J �
;`$�',%�=G%�*�),H�R�*�)S0 ;<),'8$�: �) "�%�+B%�$�%3'�) ¢
αβ/�1�%�+�H�-,'�+�%�$X0�-(' "�-�$�-,%�"�$�-,1�-(H�-8*�*�%�Q &�:�&,'@-,;�-
/�$ )�+�*�-�* :�Q
ω__α =
Z
9 ¨ αβγ
¢
βλ
¢ .
γλ
7
� [�z �
R;:=< CED4FHD Ç Ã�Ä DSF Ç DGI J Æ3K�MSÆLN,à JPO N�Ê8Ë�Ì,Ì8Í�Ê J ¿%QHR�ÊGTWV
ω__α ¸ =
�
[ ¨ αβγ
¢
βλ ∂ ¸ ¢ γλ
7
�
= � 7
� 7 � 7
:�&,%�%3'�*�%�>?-8*�:�0�; � Z(}��BL¤h$�: $�-�>?-8*�: : &8:�&('S-(;<4 � [�z � %3'�*�%�&8:�',-,H�R�*�%
;<),'8$�: �4 ¢
αβ
:�&�"�%�H�R,E,/�-(;D"�)�$�),;t-,'($�:�E�)� :�k /�=
H�),;<:
� QXH -�$�)�YSZ(}�],¼
¢ =
+0,1. ψ +0, . ϕ − ���/2 θ .���� ψ .�� � ϕ
− .�� � ψ + ,�. ϕ − �
�12 θ +0,�. ψ 2;354 ϕ
.�� � θ .�� � ϕ
+-,/. θ 2 3 4 ψ +/,�. ϕ + �
�12 ψ 2;354 ϕ
+ ,�. θ +0,�. ψ + ,�. ϕ − .�� � ψ .���� ϕ
− .�� � θ +-,/. ϕ
.�� � θ .
�
� ψ
.���� θ +0,�. ψ
����2 θ
L � [�}��
! "�-�$�-(;�-�* *�4�5
ψ
7
θ
7
ϕ
&�:�&('@-,;<) � [�z �_"�$�: *�:�;<),-,'�+3:�1
ω__ Ò = − θ
. +-,/. ψ − ϕ
. 20354 θ .
��� ψ
7
ω__ º = θ
. .�� � ψ − ϕ
. .�� � θ +-,/. ψ
7
ω__ � = − ψ
.
− ϕ
. +-,�. θ
7
� [����
ω__ Ò � = − θ̧ +0,1. ψ − ϕ ¸ .���� θ .�� � ψ
7
ω__ º � = θ ¸ .�� � ψ − ϕ ¸ .�� � θ + ,�. ψ
7
ω__ � � = − ψ � − ϕ ¸ +-,�. θ
7
ω__α � =
�
?�
> ω__α >
7
ω__α � =
�
@�
> ω__α >
L
9t),&,&,;t%�'8$�:�; &,H�/�2�)�QA7®9�%3=S1 )��
= ( ª 7 ª 7 −
Z
)
7�'�L -�L
� ��� ª : �
_(ξ 7 ) = ( � ¹
7 ª 7�� � ) L �W%�2�*�%�- $�-�>?-8*�:�-
"�-�$�-,%X"�$�-(1�-(H�-8*�*�%�Qq&�:�&('@-,;<4 � [����KH�-,=(9�%r* )�Q�'(:U" $�:
ϕ = ϕ 7 = +0,���.�� L�¤u$�:s/�9�),E�)�* *�4�5 /�&(H�%�+�:�0�5 &�:�&('@-,;<)
� [�����&?/�2�-,',%3; � Z�����7 � [�Z3��&,%�1�-8$�Ph:�'�:�*�',-(=($�:�$�/�-,;�/Xk"�%�1�&8:�&,'@-(;�/
− θ
. +0,1. ψ = −
Z
χ
__ +
� � π�
� Ò +-,/. ξ
7
θ
. .���� ψ =
Z
χ
__ +
� � π �
� ¹ .�� � ξ
7
− ψ
.
= −
� � π
� �
ρ
__ −
Z
χ
__ +
� � π �
� � 7
− θ � + ,�. ψ =
� � Ò +-,�. ξ
7
θ > .���� ψ = −
� � Ò .���� ξ
7
− ψ � =
� �
ρ
__ + � � � 7
�
≡
¨_
ρ
__ L
� [����
¤�%�b(',%�;W/±$�-�>?-�* :�- 1�H�0±Cl/X*�9� �:�:
ψ(� 7 # ) +�� � I
" $�%�&,'($�)�*�&('�+�-�%32�-�+3:�1�*�%|¼
ψ( � 7 # ) = −
� �
ρ
__ +
� � �
� © +
+
Z
χ
__ +
� �π�
� � + � �π
� �
ρ
__
�
+ ψ 7 7 � [����
=@1�-
ψ 7 � 9�%�*�&,'8)�*�'8)�L
¤?-8$X-(%�"�$�-,1�-,H -�*�*�%3&,'8R 1X:�C?C�-�$�-�*� �:�)�H�R3*�%�Q
&�:�&,'@-,;n4 � [3���?%�'8*X%�&�:�',-(H�R3*�%®Cl/�* 9� �: :
θ( © 7 # ) H�-(=,9�%/�&('�$�)�*�0�-(',&@0 "�$�: $ )�+B-8*�&,'�+�- Cl/X*�9� :�Q
ξ( © 7 # ) = ψ(� � � ) 7�'�L -�L|"�$�:�/�&,H�%�+3:�0�5
−
� �
ρ
__ +
� � �
=
�
>
� Ò 7
�
χ
__ +
� � π �
� � +
� � π
� �
ρ
__ = −
� Ò ¨ 7
Ò ≡
$ � � $
− ¨_ = χ
__
+ ρ__
7 ρ__ ≡ � � ρ
__ L
� [0���
� %�%�'8*�%�>?-�*�:X0 � [0� � " $�-,1�&,'8)�+BH�0 kl' &,%�O3%�Q
"�-8$�-,%�"�$�-,1�-,H�-8*�*�/ k &8:X&(',-(;�/ ),H�=G-,O�$�)�:�23-,&89�:�5
/�$ )�+�*�-�* :�Q %�'8*�%�&�:�',-(H�R�*�%#"�)�$�),;�-('($�)"!_ 7 /�&,H�%�+3:X-
&,%X+B;W-,&('�*�%3&,'8:®9X%3',%�$�%�Q®:�;W-,-('K+3:X1
!_º −
$ � � $� �
!_
−
ρ__
χ
__ = ª L � J ª �
¤?%3b,'(%�;t/ *�) ;<*�%�P?-(&,'8+B- ��� 7 # ¼ ξ ≠ π9 # � # =
= ª 7 ±
Z�7
±
[|7%$
$�$ § Cl/�*�9� �:�0 θ( � 7 # ) $�)�+3*�)
θ( � 7 # ) = ω # − &�� + θ 7 7 � JAZ8�
=@1�-
& =
� Ò
ρ__
$ � � $[ � � ±
� �ºz'� �º +
ρ__
χ
__
Ò�( =
� 7
ω =
�
χ
__ � Ò + � π � � > ¨_
ρ__
� Ò =
ρ__
� Ò � = &
º −
$ � ��)
� �
& ⋅
�
� = +
+
� � � >
*
⋅
�
� º
− $ � � $ � �
ρ
__ +
� Òº + � �º
� Ò � > & ⋅
�
� º
7
CED4FGD Ç ÃtÄ DHF Ç DGI�J ÆLK M@Æ3N,à JPO N�Ê,Ë{Ì(Ì�Í�Ê J ¿%QSR�ÊUTWV R;:�Ë
� JX[��
θ 7 � 9X%�*�&('�)�*�'�)�L
9W-8>¶-�*�:�0 1�HX0¥"�)�$�)B;W-,'8$�%�+
ϕ
7
θ
7
ψ
%�" $�-,1�-,H�0 kl'
;n),'�$�:� �/ "�%�+B%X$X%3'�) � [�}���: +w&,%3%�'�+�-,'@&('�+3:�:�&
C_%�$�;�/�H�%�Q � [BJ��?"�H�%�'8*�%�&,'(R�&�" :�*�) � α ¼
� Ò = �H� 2;354 ϕ 7 .���� θ + � Ò +0,1. ϕ 7 7
� º = − � � � ��2 ϕ ) .���� θ + � ¹ 2-354 ϕ 7 7 � J�J��
� � = � � +0,�. θ
L
^`)�Q�1�-8*�*�4�-d'@%�2�*�4�- $�-8>?-�*�:X0 � J3J��.0 +�HX0�kl'@&S0
&8"�:�$�),H R3*�4�;t:.+�%�H�*�)B;t: &�+�-�9�',%�$�%3;d&�"�: $�),H�: & :
E8)�9�%�*�%�; 1 :�&8"�-�$�&�: :
ω � J�[��#:p/�1�%�+�H�-(',+�%�$�0 kl'
:�&,5�%�1 *�%�Q &8:X&(',-(;�- � }���L��t&,H : �
= (
Z�7 ª 7 ª )
: ¨E8),;�-�* :�'�R *�)
− ¨ 7 ',% "�%�H�/�2�:�; $�-,E@/�H�R�'()B'
$ ),O�%�'�4�Y,ZGz�]SL
� C?Cl-89�'�: +�*�%�- ;t)�=@*�:�'�*�%�- "X%�H�- �
α
7
C_%�$�;<:�$X/ k_j?-,- &8"�:�$�),H R3*�4�- +B%3H�*�4 &�" :�*�%�+B%�Q
"�H�%�'�*�%�&(',:��
α � J�J ��7K%�"�$�-,1�-(H�0�-('S&@0c:�E�+34�$�),P?-8*�:�0
�
α ≡ ∂�
α
ε
:´$�)�+3*�%
�
α =
�
χ
+
�
χ ¹
( � Òº + � �º )
�
α +
+
� �
� � � �
ρ
__ + ( � Òº + � �º )
� >� º & ⋅⋅ �
×
×
¢ � α � �
ρ
__ +
�
>
� Ò � º & ⋅⋅ � �
α
L � J�z��
��� 7�,01@���_��� '0)���� 23/�����'��0'/��/�) '01(� '�231,�
¤_%K%�" $X-(1�-,H�-�* :�k %�O�$�),'�*�4�;<:¯+�%�H *�),;<:¯*�),E84�+�)�kl'
+�%�H *�%�+�%�Qf"�$�%� �-(&,&�7_9�%�=
1 )r"�-8$�-�*�%3&ab8*�-8$X=(:�: ;t%�Ph-,'
%�&,/�j?-,&('�+�H�0�'(R�&S0 "�%�1 /�=
H %�; O3%�H R�>h:�;
π 9 9
*�)�"�$�)3+BH -�*�:�kr$�)�&�"�$�%�&�'($�)3*�-�*�:�0�+B%�H�*�4¶L
¤_H�%�'8*X%�&�'(R_"�%�'@%�9�)�b�*�-�$�=
:�:�7�&3%�=GH�)�&�*�% � ����73$ )�+3*�)
¸ = ∂�_α
ε ∂ω__α� ε
L � JX}��
�_H�0 *�)3Q�1�-�*�*�4�5U&8"�:�$�),H�R�* 4�5U&�"�:�*�%�+34�5 +�%�H�* b(',%�'
+�-�9�'(%�$®"�$�:�*�:�;<),-('KC�%�$�;�/
�
=
ρ__
χ
__ +
� � ρ__ ω__α>º +
Z
χ
__
� � �_α
º + (
� � π) º
π
7 ª 7 ª
7
� JX���
π =
� � � � + ¨_( � Òº + �S�= )
ρ
__ L
^K)�Q�1�-,; 9�%�&8:�*�/�& /�=@H�) ;W-,Ph1�/ *�)�"�$�)�+�H�-�*�:�-(;
$�)B&8"�$X%�&,'�$�)�*�-�*�:X0 +�%�H *�4 & : *�)�"�$�)�+�H�-�*�:�-(;
"�H�%�'(*�%�&('�:®"�%3',%�9�)�b�*�-�$�=@:�: � ¼
+0,1.
� =
& ⋅
�
" & $;$ � $
L � J����
^�-('($�/�1 *�% "�%�9�),E8),'�R�7 2�',% +�4�$�)�P?-�* :X-
� � � � � + ¨_( � Òº + � �º ) ] ¨_ 1�H�0 ¨_ 7 %X"�$�-(1�-(H�-8*�*�%�=@%
/�$ )�+�*�-�* :�-,; � J ª ��7<"�%�H %�P`:�',-(H R�*�%AL ��)�9�:�;�%�O�$�),E(%�;l7
Cl%�$�;W/�H�) � J�����"�$�:�*�:�;t)�-,'`+�:�1
+-,�. � =
$ � > $
√�
> º +
�
?
=
+ � @ º
×
× .�� �
ρ__
χ
__ +
� � ρ__ ω__α >º +
Z
χ
__ � � �_α
º + (
� � π) º
� Ò
L � J����
¤?%3&�9�%3H�R�9�/�+U$�),&(&,;<),'8$�:�+3)�-,;W%�Q ;�%31�-,H�:f9�%�*�&,'()3*X'8)
;�%3Ph-,' O�4�'8R 9�)39 "X%�H�%�Ph:�'(-,H R�*�%�QA7 '()�9 :
%�'($�:� ),',-,H R3*�%�QA7 "�$ :�5�%31�:�; 9 +�4�+�%�1�/�7 2�',%
&�" :�$�)�H R�*�4�- +�%�H�*�4 +#*�-,%�1�*�%�$�%�1 *�%�;w;<),=(*�-,'8:�9X-
;�%3=@/�' $�),&�" $�%�&('�$�)�*�0�'8R,&S0 + * )�"�$�)�+�H�-�*�: :t7
"�$�%3'�: +B%�"�%3H�%3P`*X%�; * )�"�$�)�+�H�-�*�: k "�-�$�-�*�%�&8)
b�*�-�$�=@: :tLT^`)�" $�:�;�-8$A7D"�$ : +�&,-(5�"�%3H�%3P`:X'(-,H R3*�4�5
Cl-8*X%�;�-�*�%�H�%�=@:�2�-(&�9�:�5c9�%�*�&,'8)�*�'()�5 &8+80XE�:.C_%�$�;�/�H�)
� J����h"�$�: *�:�;<),-('�" $�%�&(',%�Q®+3:X1�¼
+0,1. � =
$ � > $
√�
> º +
�
? º +
�
@
= .�� � � Ò L � J����
¤h$�%� �-(&,&�4.&�%�'8$�:� �)B'@-(H�R�*�%�QU=($X/X"�"�%�+�%�QU&�9�%�$�%3&,'8R�k
:�&(&,H�-,1�%�+�)3*�4 b89�&�"�-�$�:�;t-�*�'�),H�R�*�% Y8Z���] :
',-(%�$�-,'(:�2�-,&�9�: Y8Z���] "�$ : :�E,/�2�-8*�:�: +�%�H�* +B%
+3$�)3jh)�k?j?-�Q�&S0 P`:�1 9�%�&('�:AL ¤_%�1�%�O�*�4�Q b�C�Cl-�9�'
;�%3Ph-,' *�),O�H kl1X)B'(R�&S0 + *�-,/�"�%�$�0�1�%�23-�* *�4�5
;<),=(*�-,'8:�9�),5<L
� ,���)������������
¤?%3b,'8)�"�*�%�-�$�-�>?-�* :X-®&8:�&,'(-,;D/ $�)�+�*�-�*�:�Q "X-8$�+�%�=@%
"�%�$�0�1 9�) � 5�)�$�)�9�',-8$�* )S0 %3&,%�O�-8*�*�%�&,'8R
=(),;<:�H�R,'(%�*�%�+�%�=
% Cl%�$�;t)BH :�E@;<)�L ¤�%�b(',%3;�/ * )
"�$�%3;�-,Ph/�'(%�2X*X%�;fb,'8)�"�-®+�:�1q$�-�>?-8*�:�0 � [|ZB�� �-,H�:�9�%3;%�"�$�-,1�-,H�:�H +34�O�%�$ "�)�$�),;t-,'($�:�E�)� :�: � [�}���7 2�',%
/�" $X%�&,'(:�H�% :�*�',-(=,$�:�$�%�+3)�*�:�-�L
¤h$�:�+�-,1�-�*�*�4�-D'@%�2�*�4�-T*�-(H�: *�-�Q�*�4�-T$�-�>?-�* :�0·+
$�)B&(&,;W%�'�$�-8*�*�%�QD;W%�1�-,H : 0 +�H�0 k�',&@0�7?&(%�=@H )�&�*�% � J�J���7&�" :�$�)�H R�*�4�;<:±+�%�H�*�)�;t:nL�!<9�H�),1#O�:�9�+3)�1�$�),'8:X2X*�4�5
&,H�),=@)�-,;t4�5 +´"�H %�'8*X%�&,'�:®b�*�-�$�=(:�: � Z([��`+B%3E�$�),&('�),-,'K&$�%�&,'(%�; *�)�2�)�H R�*�%�=G% $�),&8"�$�-,1�-,H�-8*�:X0 "�H�%3'�*�%�&('�:
&�" :�*�)K+K&�:�&,'(-,;�-�L W)�+3:�&8:X;t%�&,'(RK%�'�9X%�*�&('()�*�'�4f&8+80XE�:
�d&,%�1�-8$XPu:�',&@0 '@%�H R�9�%²+ 2X),&,',%3',-
ω
&�"�:�$�)�H�R3*�%�Q
+�%�H *�4 &�"�:�*�%�+�%�Q¡"�H�%�'8*X%�&,'(: � J�[ ��7T)±+B%�H *�%�+�%�Q
+�-�9�',%�$ & *�-´E8)�+�:�&�:�'®%�'®b(',%�Q 93%�*�&,'�)�*�'�4¶L�¤�-�$�-�*�%�&
R;:LQ CED4FHD Ç Ã�Ä DSF Ç DGI J Æ3K�MSÆLN,à JPO N�Ê8Ë�Ì,Ì8Í�Ê J ¿%QHR�ÊGTWV
b8*�-8$X=(:�: ;�%3P¶-(' %�&(/�j¶-(&,'(+BH�0�'�R,&@0 "�%�1 /�=@H�%�;
O�%�H�R�>�:�;
π [d9 *�)3"�$�)�+�H�-�*�:�k�$�),&8"�$�%�&,'($ )�*X-8*�:�0
&8"�:�$�),H R3*�%�Q�&�"�:�*�%�+�%�Q®+�%�H *�4¶L
��+�',%�$c"�$�:�E(* ),',-,H�-8* �¶L®!?L®¤�-,H�-,'(;<:�*�&�9�%3;�/yE�)
&('�:�;A/�H :�$�/�k?jh:�-�%3O�&(/�Ph1�-�* :�0tL
9t),O�%�'8)�"�%�1�1�-�$�P`)�*�)��a%�*�1�%3;UCl/X*�1 ),;�-�*�'8),H�R�*�4�5
:�&,&(H�-(1�%�+�)�*�: Q ��9�$ )�:�*�4 � " $�%�-�9�'�[�L z��?J�������L
� 7���)�'��u�B�����
! Cl%�$�;�/�H -
ω__α>º =
� α
=
+
[ ¨_ � α �_α + ¨_ = �_α
º
ρ
__ º � ¤¯Z3�
&�"�%�;�%�j¶R3kD/�&,H %�+3:X0 &,%�+�;W-,&,'8*�%3&,'8:
¨_º − �e¨_ −
ρ__
χ
__ = ª � ¤u[��
:�&�9�H kl2�:�; ρ__
L !#$�-(E,/�H�R,'�),',-T"�%�H�/�2X:�;d/�$ )�+�*�-8*�:�-
>h-,&('S%XQ³&(',-8"X-8*�:
¨_ −
J �{¨_
+ (
J � º − � Ò ) ¨_� + (
9 �
� Ò − � � ) ¨_� −
−
� º � ¹ +
� Òº + � �º
� �º �
¨_ º +
[ �
�W¨_ − � º � = ª 7
� ¤�J��
� ≡
" � � "� �
7 � Ò ≡
� º ρ
χ
__ 7
� ≡
� �º
χ
__ � Y � Ï
ρ Ò + (
�
> º � ? º +
�
>
= �
@ º +
� �
= � @ º )ρ º ]¶L
��$�)3+�*�-�* :�- >?-,&,'(%�Q &,',-8"�-�*�: � ¤_J�� � " $�:%�=@$�)�*�:�2�-�*�:�: � Ò = ± � � �?"�$�-(1�&('()�+3:�;�%�+K+3:�1�-
( ¨_º − �e¨_ − � Ò )( ¨_º − �e¨_ − � º )( ¨_º − �M¨_ − � � ) = ª 7
� ¤�z��=@1�- � Ò 7 � º 7 � � � 9�%�$�*�:´9�/�OX:X2�-,&�9�%3=@% /�$�)3+�*�-8*�:�0
� � − � Ò � º −
9����
−
� � º = � 7 � ≡
ρ__
χ
__ L � ¤u}��
��)�9�:�;r%3O�$�),E,%�;�7 1�%�9�),E8)�*�%�7�23',% � E�)�+3:�&8:�'?%�' � α
�
_α
7
�
_α
= "�$�:´/�&(H�%X+�:�: � Ò = ±
� � :®"�%�b,'(%�;�/
ω__α >º 7
π
',%�P?-
E�)�+3:�&@0�'�%�' � α
�
_α
7 �
_α
= 7.'�L -�L6*�-�E�)�+3:�&@0�'�%�'
)�+�',%�;W%�1�-,H R3*X%XQa"�-8$�-,;�-8*�*�%�Q � � − ¨ # L ;h'@;�-,'8:X;_7W2�',%%�=@$�)3*�:�23-�*�:�- � ¹ = ±
� � +�4�E8+�)�*�%x/�2�-,',%3; '@%�H R�9�%
O�:�9�+�),1 $�),'�:�2�* 4�5#&,H )�=@),-,;<4�5<7 "�$�%�"�%�$� :�%�*�),H R3*�4�5
ρ Ò 7 ρº 7 O�-(E¶/�2�-,'8)�9�%�'@%�$�4�5 � = � Ò L
Òu·��Ø·��Ø·���º,±uº ª«»��,º,°
Ö���� ? � !�� �! �" Ö�Ò"î�ÒÅÓ 7 ò�·º ·�#�·�##·%$�º,ª�&�'¢¶¢ºu² ¯,Ö)(+*-,/.�,10 !�2�3/4�5 ,�
76#ÖåÒ
Ï�îuÒ�Ó Òwò�·� ·8��·89�·;:�¨�ªøµ ¯�¹�©ø²Q¨�²�&`��·���·<: º�¸�¯�²�� ¯�¹¢±
Ö%�=� ? � ��> 3 .�·�
@?�?�Ö<AuÓ�Aî�ÒÅÓ Ó�ò�·Ï�·���·;9�·;:�¨,ª«µ�¯�¹�© ²E¨�²�&CBé·�DE·��,¨7'�ª×º/EkÖ �=� ? � �;> 3 . ·�FW
" Ö º Ò
Ïî�ÒÅÓ ÔuÔ�ò�·
·GB�·)Dç·8��¨7'�ª«º�EkÖ �H� ? � ��> 3 . ·GF � Ö�ÒuÒ�ÔyÏ�îuÒ�Ó/A 7 ò�· ·^ê^·JI�·JI�ÂuÇ�Ì,ÂuÈ#ÖLK�·MKØ·LN9Ê�Ç�½ÅÄwã�Æ�Ð ÖMO ���u������r,£E��nQP�P�P%R��P���� ru£���r,� ·GS/S�Ö�ÒÅÏ�A,Ô î�ÒÅÓ�A 7 òu·Ô�·GK�·UTÙ·VK�ÐuË�É Ê�ÊyÈ ÖWI�·�Ú�·GXû¾yÉ ßuÊ�Ð�Ì,Â�Ö �LYhn
[Z
��Ö � Óëî�ÒÅÓ�A 7 òu·A�·W9y·�¤�·W\^]¢® ¨uª«º/'¢¸�© ²-'´#©«©�¨y²-&_$Ø·�¤�·G`�º,ª«ºu° ©ø´�Ö�a 4�4 � ��� ? � ·�
�Ö Ôî�ÒÅÓ�A 7 ò�·Ó�·bX;·dc�·Sð�ÂuÈu¾�Ç�Ê�È�Ã�ÌqÆ Û�ÖS¼�·eI�·�æ�Ê�Ç�Ê�½�Ý�Æ ÐqÃ�Ì,Æ,Û�ÖeK�·ef^·g9Æ ä�Ì,Æ�Ð Ö��MY1hiZ " Ö º Ï
î�ÒÅÓ,Ó�Òuò�·Ò 7 ·<XE·<cS·�ð�ÂuÈu¾�Ç�Ê�ÈuÃ�Ì,Æ�Û Ö�¼�·<I�·�æ�ÊyÇ,Ê�½�Ý
Æ Ð�Ã�Ì,Æ�Û�Ö8j)k Y
��
��Ö
Óî�ÒÅÓ,ÓuÏ�ò�·
Ò,Òu·Wl�·GK�·�Ú�Èu¾�Ð�ß�ÊyÐ,Ì,Â�Ö Yhn j ��Ö�Ò
Aëî�Ò�ÓuÓ,Ï�ò�·Ò º ·W��·B�Ø·G9�°,¨u²,ºq°�Ö�m , � !on m 5 � 5�3 0<, 2�2 * 4 ·�Z�S�Ö�Ï � Ô î�ÒÅÓ�A 7 ò�·Ò � ·pK�·pf^·;¼�Ä,Ì,Ãy½�¾�Ð�Ã�Ì,Æ Û
Örq�·sKØ·QÚ È�¾yÐ ÂuÈ�Ö1hut j Y±
��/?�ÖûÓ�Ò�Ï
î�ÒÅÓ,Ó
ò�·Ò�Ï�·Wl�·GK�·�Ú�Èu¾�Ð�ß�ÊyÐ,Ì,Â�Ö�Yhn j Z�Ö�A � 7 î�Ò�ÓuÓ Ôqò�·Ò
·Jv�·JvuÂuÇ�¿yË Ã�½�Ê�Û Ð�ÖMw v ou����r�~������qoy£7¡���� o tqr �uo ÖJx ¾�Ä Ì,¾�ÖJXûÂuÃ�Ì,Èu¾
î�ÒÅÓ Ô
ò�·Ò ·���·�9
�-��¯�¶y'¢ºu²h¨y²-&!�Ø·���¸�©«ª§ª�© µ�'�Ö £ 3 � � * �
[6�ÖGA�Ò^îuÒ�Ó Ôqò�·Ò�Ô�·WD;·3�
·Wz
ºu² ±u»�¯�¶¢¥{:^© ±q± © ²-'yÖ�|��V} � * !�ns~�3[� � ·�Z�
,Ö�Ï
Ò�Ô î�ÒÅÓ A�òu·
�����%���!�������V��� � �G�;���!�����%�p� ���W���W��� �;� ���8� �G�8�o�8���{���
� �<���V���y� � � ����� �
���W���;� �<���������H�<�G�
�_²�º�²�ª§©ø²,¯�¨y¹Q¯�°,º,ª«»�¶�© ºu²e'�®�'¢¶¢¯�¦ùº���¸w®-& ¹º�&q® ²�¨�¦^©
¶�®,µ�¯H¯@¡�»�¨�¶�© ºu²�'�&�¯@'y �¹�©¢� ©«²q±D¨E¶¸,¹�¯�¯�¥o&#© ¦�¯�²�'�© º,²,¨,ª"¦�»#ªø¥
¶�© '»-� ª×¨y¶¢¶¢©£ �¯'¦Ø¨u±u²�¯�¶ ©¢'^© ² °,¯@'¶�© ±,¨�¶¯@& ·���²û¯[¤,µ�ª§©¢ �© ¶^�׺u¹¢¦
�׺u¹�¶ý¸�¯'¯�² ¯�¹¢±w®�&�¯�²-'�© ¶ ®¥�×»,²� �¶�© º,²r�׺�¹�¦�¨�±u²�¯�¶�© !'�®�'¢¶¢¯�¦L'
E�© ¶¢¸�¶�¸�¯Ø¯y²,¯�¹±u®¦&�¯�²�'�© ¶�®�© ²�°,¨�¹�©ø¨�²�¶8E�©«¶�¸�¹¯['¢µ,¯7 �¶�¶�ºh¶ý¸�¯
¹�© ±q¸ ¶�¨u²�&Qª«¯[�×¶M'¢µ#© ²ë¹¢º,¶�¨u¶¢©«ºu²-'�© '�º/� ¶¢¨u© ² ¯@&�·W§
ºu¹�¨!¡ »q¨�&q¥
¹¢¨y¶�© �¥o� ©£¡q» ¨7& ¹¢¨u¶¢©£ �&�¯�µ�¯�²-&�¯�²- �¯Eº���¯�²�¯�¹¢±u®e& ¯�²�'�© ¶�®íî�©ø²
¶¢¯�¹¦¨''º��^©«²q°,¨u¹�© ¨�²�¶_��¨y¹¢¶¢¨y² ÿ '¦�×»�²- �¶�© ºu²�'�ò�© ²E¶�¸ ¯ë¶¢¸ ¹¯�¯�¥
&�© ¦�¯�²-'�© ºu²�¨�ª� �¨['¢¯P¶¢¸,¯Q¯@¤�¨[ �¶©'¢º�ª«»�¶ ©øºu²-'h¨y¹¢¯r&�¯�¹�© °,¯[&7©ø²
¶¢¸q¯��׺u¹¢¦ïºª�M'¢µ�© ¹¢¨,ª�E�¨�°,¯@'!�§ºu¹J'µ#© ²C&,¯�²�'�©«¶×® ·�«�¸�¯©'¢º,ª§»q¥
¶�© ºu²�'�º��h¦�¨y±,²,º,²¬��© ¯�ª£&�'�¶¢º7© ²�&�»- �¯r'¶¢¨�¶�© ºu²�¨�¹®7µ ¹º-��©«ª«¯
E�¨�°,¯@'¬�׺u¹'¢µ�© ²®& ¯�²�'�© ¶�®ï¨�¹Å¯¯�׺�»�²�&ñ¶º�º�·p��¨7 �´-E�¨�¹�&
¸�¯�ª§© y¨�ª%E�¨�°,¯@'�¨y¹¢¯�µ ¹¢¯@&�© �¶¢¯@&�·
CED4FGD Ç ÃtÄ DHF Ç DGI�J ÆLK M@Æ3N,à JPO N�Ê,Ë{Ì(Ì�Í�Ê J ¿%QSR�ÊUTWV R;:�°
|