Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка
Для звичайного диференцiального рiвняння другого порядку, яке мiстить у правiй частинi суму доданкiв з правильно мiнливими вiдносно невiдомої функцiї та iї похiдної першого порядку нелiнiйностями, встановлено необхiднi та достатнi умови iснування широкого класу монотонних розв’язкiв, а також точнi а...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175498 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка / А.А. Козьма // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 468-481. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175498 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1754982021-02-02T01:29:07Z Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка Козьма, А.А. Для звичайного диференцiального рiвняння другого порядку, яке мiстить у правiй частинi суму доданкiв з правильно мiнливими вiдносно невiдомої функцiї та iї похiдної першого порядку нелiнiйностями, встановлено необхiднi та достатнi умови iснування широкого класу монотонних розв’язкiв, а також точнi асимптотичнi зображення для розв’язкiв з цього класу в околi особливої точки. For an ordinary second order differential equation containing, in the right-hand side, a sum of terms with nonlinearities that regularly vary with respect to the unknown function and its derivatives, we find necessary and sufficient conditions for existence of a broad class of monotone solutions, together with exact asymptotic representations of solutions in this class in a neighborhood of the singular point. 2011 Article Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка / А.А. Козьма // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 468-481. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175498 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для звичайного диференцiального рiвняння другого порядку, яке мiстить у правiй частинi суму доданкiв з правильно мiнливими вiдносно невiдомої функцiї та iї похiдної першого порядку нелiнiйностями, встановлено необхiднi та достатнi умови iснування широкого класу монотонних розв’язкiв, а також точнi асимптотичнi зображення для розв’язкiв з цього класу в околi особливої точки. |
| format |
Article |
| author |
Козьма, А.А. |
| spellingShingle |
Козьма, А.А. Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка Нелінійні коливання |
| author_facet |
Козьма, А.А. |
| author_sort |
Козьма, А.А. |
| title |
Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_short |
Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full |
Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_fullStr |
Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_sort |
асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175498 |
| citation_txt |
Асимптотическое поведение одного класса решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка / А.А. Козьма // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 468-481. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kozʹmaaa asimptotičeskoepovedenieodnogoklassarešenijnelinejnyhneavtonomnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-15T12:49:09Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:49:09Z |
| _version_ |
1837717259956518912 |
| fulltext |
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
А. А. Козьма
Одес. гос. эконом. ун-т
Украина, 65026, Одесса, ул. Преображенская, 8
e-mail: sanjakos@ukr.net
For an ordinary second order differential equation containing, in the right-hand side, a sum of terms
with nonlinearities that regularly vary with respect to the unknown function and its derivatives, we find
necessary and sufficient conditions for existence of a broad class of monotone solutions, together with
exact asymptotic representations of solutions in this class in a neighborhood of the singular point.
Для звичайного диференцiального рiвняння другого порядку, яке мiстить у правiй частинi суму
доданкiв з правильно мiнливими вiдносно невiдомої функцiї та iї похiдної першого порядку нелi-
нiйностями, встановлено необхiднi та достатнi умови iснування широкого класу монотонних
розв’язкiв, а також точнi асимптотичнi зображення для розв’язкiв з цього класу в околi особ-
ливої точки.
1. Постановка задачи. Рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка
y′′ =
m∑
i=1
αipi(t)[1 + ri(t)]ϕi0(y)ϕi1(y′), (1.1)
в котором αi ∈ {−1, 1}, i = 1, . . . ,m, pi : [a, ω) → (0,+∞), i = 1, . . . ,m, −∞ < a <
< ω ≤ +∞1, — непрерывно дифференцируемые функции, ri : [a, ω) → R, i = 1, . . . ,m,
— непрерывные функции, удовлетворяющие условиям
lim
t↑ω
ri(t) = 0, i = 1, . . . ,m, (1.2)
ϕik : ∆k → (0,+∞), k = 0, 1, i = 1, . . . ,m, — непрерывно дифференцируемые функции,
∆k =
{
либо [yk, Yk),
либо (Yk, yk],
yk ∈ R, Yk =
{
либо 0,
либо ±∞, k = 0, 12, (1.3)
причем ϕik такие, что при k = 0, 1, i = 1, . . . ,m
lim
z→Yk
z∈∆k
ϕik(z) = ϕ0
ik, 0 ≤ ϕ0
ik ≤ +∞ (1.4)
1 При ω = +∞ считаем, что a > 0.
2 При Yk = +∞ (Yk = −∞) считаем, что yk > 0 (yk < 0).
c© А. А. Козьма, 2011
468 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 469
и
lim
z→Yk
z∈∆k
zϕ′ik(z)
ϕik(z)
= σik = const. (1.5)
Положим
πω(t) =
{
t при ω = +∞,
t− ω при ω < +∞.
Определение 1.1. Решение y уравнения (1.1), заданное на промежутке [t0, ω) ⊂ [a, ω),
будем называть Πω(Y0, Y1, µ0)-решением, где −∞ ≤ µ0 ≤ +∞, если оно удовлетворяет
следующим условиям:
y(k) : [t0, ω) → ∆k, lim
t↑ω
y(k)(t) = Yk, k = 0, 1, (1.6)
lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
= µ0, lim
t↑ω
y′′(t)y(t)
[y′(t)]2
= 1 при µ0 = ±∞. (1.7)
В настоящей работе для µ0 ∈ R приведены условия, при выполнении которых на
любом Πω(Y0, Y1, µ0)-решении уравнения (1.1) правая его часть асимптотически эквива-
лентна одному слагаемому. При выполнении этих условий в случае µ0 ∈ R \ {−1, 0} уста-
новлены необходимые и достаточные признаки существования Πω(Y0, Y1, µ0)-решений, а
также получены асимптотические представления для таких решений и их производных
первого порядка при t ↑ ω. Аналогичные результаты при более жестких условиях на
функции ϕik, k = 0, 1, i = 1, . . . ,m, содержатся в работах [1 – 3].
Отметим, что признаки существования и асимптотика Πω(Y0, Y1, µ0)-решений уравне-
ния (1.1) при ϕi1 ≡ 1 были указаны В. М. Евтуховым и В. А. Касьяновой в [4, 5], а при
m = 1 — В. М. Евтуховым и М. А. Белозеровой в [6, 7].
2. Некоторые априорные свойства Πω(Y0, Y1, µ0)-решений. ОбозначимM = {1, . . . ,m}
и покажем, что имеет место следующее утверждение.
Лемма 2.1. Пусть µ0 ∈ R и для некоторых i ∈ M и j ∈ M \ {i} выполняется условие
lim sup
t↑ω
|πω(t)|
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
]
< ξ0
ij , (2.1)
где
ξ0
ijsignπω(t) = (1 + µ0)(σi0 − σj0) + µ0(σi1 − σj1).
Тогда для каждого Πω(Y0, Y1, µ0)-решения уравнения (1.1) выполняется предельное со-
отношение
lim
t↑ω
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)ϕi0(y(t))ϕi1(y′(t))
= 0. (2.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
470 А. А. КОЗЬМА
Доказательство. Пусть y : [t0, ω) → ∆0 — произвольное Πω(Y0, Y1, µ0)-решение урав-
нения (1.1). Обозначим
zj(t) =
pj(t)ϕj0(y(t))ϕj1(y′(t))
pi(t)ϕi0(y(t))ϕi1(y′(t))
,
тогда
z′j(t) = zj(t)
[
p′j(t)
pj(t)
− p
′
i(t)
pi(t)
+
y′(t)ϕ′j0(y(t))
ϕj0(y(t))
+
y′′(t)ϕ′j1(y′(t))
ϕj1(y′(t))
− y
′(t)ϕ′i0(y(t))
ϕi0(y(t))
− y
′′(t)ϕ′i1(y′(t))
ϕi1(y′(t))
]
.
Запишем последнее соотношение в виде
z′j(t) =
zj(t)
|πω(t)|
[ |πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
− |πω(t)|y′(t)
y(t)
×
×
(
y(t)ϕ′i0(y(t))
ϕi0(y(t))
−
y(t)ϕ′j0(y(t))
ϕj0(y(t))
)
− |πω(t)|y′′(t)
y′(t)
(
y′(t)ϕ′i1(y′(t))
ϕi1(y′(t))
−
y′(t)ϕ′j1(y′(t))
ϕj1(y′(t))
)]
.
В силу условий (1.5), (1.6)
lim
t↑ω
y(k)(t)ϕ′lk(y
(k)(t))
ϕlk(y(k)(t))
= σlk, k = 0, 1, l = 1, . . . ,m. (2.3)
Кроме того, согласно условию (1.7) и результатам работ [4, 5] имеют место предельные
соотношения
lim
t↑ω
πω(t)y(k+1)(t)
y(k)(t)
= 1− k + µ0, k = 0, 1. (2.4)
Из (2.1), (2.3) и (2.4) вытекает существование постоянных z0
j < 0 и t1 ∈ [t0, ω) таких, что
выполняется неравенство
z′j(t) ≤
z0
j · zj(t)
|πω(t)|
при t ∈ [t1, ω),
откуда следует, что
ln
∣∣∣∣ zj(t)zj(t1)
∣∣∣∣ ≤ z0
j signπω(t) ln
∣∣∣∣ πω(t)
πω(t1)
∣∣∣∣ при t ∈ [t1, ω).
Поскольку выражение, стоящее справа, стремится к −∞ при t ↑ ω, то
lim
t↑ω
zj(t) = 0.
Из этого предельного соотношения следует справедливость (2.2).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 471
3. Основные результаты. Введем вспомогательные обозначения
Ii1(t) =
t∫
I0
i1
pi(s)|πω(s)|σi0ds I0
i1 =
a, если
∫ ω
a
pi(s)|πω(s)|σi0ds = +∞,
ω, если
∫ ω
a
pi(s)|πω(s)|σi0ds < +∞.
Кроме того, введем функции ψik(z) =
ϕik(z)
|z|σik
, k = 0, 1, которые в силу соотношения
(1.5) имеют следующее свойство:
lim
z→Yk
z∈∆k
zψ′ik(z)
ψik(z)
= 0.
Теорема 3.1. Пусть µ0 ∈ R \ {−1, 0} и для некоторого i ∈ M при всех j ∈ M \ {i}
выполняется условие (2.1). Положим, кроме того, что выполняется неравенство σi0 +
+σi1 6= 1. Тогда для существования Πω(Y0, Y1, µ0)-решений уравнения (1.1) необходимо,
а если выполняется одно из двух условий
µ0(σi1 − 2) 6= 1, µ0(σi1 − 2) = 1 и (σi1 − 1)(σi0 + σi1 − 1) > 0, (3.1)
то и достаточно, чтобы
Yk =
±∞, если lim
t↑ω
|πω(t)|1−k+µ0 = +∞,
0, если lim
t↑ω
|πω(t)|1−k+µ0 = 0,
k = 0, 1, (3.2)
при t ∈ (a, ω) выполнялись неравенства
αi(1− σi0 − σi1)Ii1(t)y1 > 0, (1 + µ0)πω(t)y0y1 > 0 (3.3)
и имело место предельное соотношение
lim
t↑ω
πω(t)I ′i1(t)
Ii1(t)
= µ0(1− σi0 − σi1). (3.4)
Кроме того, каждое из таких решений допускает при t ↑ ω асимптотические пред-
ставления
|y′(t)|1−σi0−σi1sign y′(t)
ψi0(y(t))ψi1(y′(t))
=
αi(1− σi0 − σi1)
|1 + µ0|σi0
Ii1(t)[1 + o(1)],
y′(t)
y(t)
=
1 + µ0
πω(t)
[1 + o(1)].
(3.5)
Доказательство. Необходимость. Пусть y : [t0, ω) → ∆0 — произвольное Πω(Y0, Y1, µ0)-
решение уравнения (1.1). Поскольку µ0 ∈ R \ {−1, 0}, из соотношений (2.4) следует спра-
ведливость (3.2), второго из неравенств (3.3) и второго из асимптотических представле-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
472 А. А. КОЗЬМА
ний (3.5). В силу выполнения условий (1.2) и (2.1) из уравнения (1.1) с учетом леммы 2.1
получаем
y′′(t) = αipi(t)ϕi0(y(t))ϕi1(y′(t))[1 + 0(1)] при t ↑ ω
или, с учетом соотношений (2.4) и определения функций ψik, k = 0, 1,
y′′(t)|y′(t)|−σi0−σi1
ψi1(y′(t))ψi0(y(t))
=
αi
|1 + µ0|σi0
pi(t)|πω(t)|σi0 [1 + o(1)] при t ↑ ω, (3.6)
|y′(t)|1−σi0−σi1sign y′(t)
ψi1(y′(t))ψi0(y(t))
=
αi
µ0|1 + µ0|σi0
pi(t)|πω(t)|σi0πω(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.7)
Покажем, с учетом условия σi0 + σi1 6= 1, что имеет место асимптотическое представле-
ние
|y′(t)|1−σi0−σi1sign y′(t)
ψi1(y′(t))ψi0(y(t))
=
αi(1− σi0 − σi1)
|1 + µ0|σi0
Ii1(t)[1 + o(1)]. (3.8)
Поскольку(
|y′(t)|1−σi0−σi1sign y′(t)
ψi1(y′(t))ψi0(y(t))
)′
=
|y′(t)|−σi0−σi1y′′(t)
ψi1(y′(t))ψi0(y(t))
×
×
(
1− σi0 − σi1 −
y′(t)ψ′i1(y′(t))
ψi1(y′(t))
− (y′(t))2
y(t)y′′(t)
y(t)ψ′i0(y(t))
ψi0(y(t))
)
,
принимая во внимание (1.5) – (1.7), свойство функций ψik, k = 0, 1, и (3.6), имеем(
|y′(t)|1−σi0−σi1sign y′(t)
ψi1(y′(t))ψi0(y(t))
)′
=
αi(1− σi0 − σi1)
|1 + µ0|σi0
pi(t)|πω(t)|σi0 [1 + o(1)] при t ↑ ω.
Интегрируя последнее соотношение от t0 до t (t ∈ (t0, ω)) с учетом определения функции
Ii1(t), получаем
|y′(t)|1−σi0−σi1sign y′(t)
ψi1(y′(t))ψi0(y(t))
= ci +
αi(1− σi0 − σi1)
|1 + µ0|σi0
Ii1(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Если I0
i1 = t0, то справедливо (3.8). Покажем, что ci = 0 при I0
i1 = ω. Предположим
противное, тогда
|y′(t)|1−σi0−σi1sign y′(t)
ψi1(y′(t))ψi0(y(t))
= ci + o(1),
и в силу (3.6)
y′′(t)
y′(t)
=
αi
|1 + µ0|σi0
pi(t)|πω(t)|σi0
[
1
ci
+ o(1)
]
при t ↑ ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 473
Интегрируя последнее выражение от t0 до t (t ∈ (t0, ω)), находим
ln |y′(t)| = Ci +
αi
|1 + µ0|σi0
Ii1(t)
[
1
ci
+ o(1)
]
при t ↑ ω.
В данном соотношении левая часть при t ↑ ω стремится к бесконечности, а правая —
к константе. Полученное противоречие доказывает справедливость (3.8) в случае, когда
I0
i1 = ω.
Из (3.8) следует выполнение первого из неравенств (3.3) и первого из асимптотиче-
ских представлений (3.5). Кроме того, в силу (3.7) и (3.8) имеет место предельное соотно-
шение (3.4).
Достаточность. Пусть для некоторого i ∈ M выполняются условия теоремы и
(3.1) – (3.4). Зафиксировав с помощью (3.2), (3.3) значения Yk и окрестности ∆k, k = 0, 1,
докажем, с учетом идей, заложенных в работах В. М. Евтухова и Е. С. Владовой, су-
ществование хотя бы одного Πω(Y0, Y1, µ0)-решения уравнения (1.1), допускающего при
t ↑ ω асимптотические представления (3.5).
Рассмотрим сначала систему соотношений вида
|y′(t)|
1
Λi
ψi0(y(t))ψi1(y′(t))
=
|Ii1(t)|
|Λi| |1 + µ0|σi0
[1 + v1],
y′(t)
y(t)
=
1 + µ0
πω(t)
[1 + v2], (3.9)
в которой Λi = 1/(1 − σi0 − σi1), и установим, что она однозначно определяет заданные
на множестве D0 = [t0, ω) × V0, где t0 ∈ [a, ω), V0 = {(v1, v2) : |vk| ≤ 0, 5, k = 1, 2}
непрерывно дифференцируемые неявные функции y(k) = Yik(t, v1, v2), k = 0, 1, вида
Yik(t, v1, v2) = y0
k|πω(t)|1−k+µ0+zk+1(t,v1,v2), k = 0, 1, (3.10)
где y0
k = sign yk, |zk+1(t, v1, v2)| ≤ |1− k + µ0|/2 при (t, v1, v2) ∈ D0 и lim
t↑ω
zk+1(t, v1, v2) = 0
равномерно по (v1, v2) ∈ V0. Для этого, полагая в (3.9)
y(k) = y0
k|πω(t)|1−k+µ0+zk+1 , (3.11)
получаем, с учетом знаковых условий (3.3), систему соотношений вида
|πω(t)|
µ0+z2
Λi =
|Ii1(t)|[1 + v1]
|Λi||1 + µ0|σi0
1∏
k=0
ψik(y
0
k|πω(t)|1−k+µ0+zk+1),
(3.12)
|πω(t)|z2−z1 = |1 + µ0|[1 + v2].
Поскольку в силу условия (3.4) |Ii1(t)| = |πω(t)|
µ0
Λi
+u(t)
, где u(t) — непрерывная функция,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
474 А. А. КОЗЬМА
стремящаяся к нулю при t ↑ ω, систему (3.12) можно записать в виде
z2 = Λi
u(t) +
ln
∣∣∣∣ 1+v1
|Λi||1+µ0|σi0
1∏
k=0
ψik(y
0
k|πω(t)|1−k+µ0+zk+1)
∣∣∣∣
ln |πω(t)|
,
(3.13)
z2 − z1 =
ln |(1 + µ0)[1 + v2]|
ln |πω(t)|
.
Частично разрешая эту систему относительно z1, z2 (как линейную неоднородную), по-
лучаем
zk = ak(t) + bk(t, v1, v2) + Z(t, z1, z2), k = 1, 2,
где
a1(t) = Λiu(t)− Λi ln(|Λi| |1 + µ0|1−σi1)/ ln |πω(t)|,
a2(t) = Λiu(t)− Λi ln(|Λi| |1 + µ0|σi0)/ ln |πω(t)|,
b1(t, v1, v2) = Λi
ln
(
[1 + v1][1 + v2]
− 1
Λi
)
ln |πω(t)|
, b2(t, v1, v2) = Λi
ln[1 + v1]
ln |πω(t)|
,
Z(t, z1, z2) = Λi ln
[
2∏
k=1
ψik(y
0
k|πω(t)|1−k+µ0+zk+1)
]
/ ln |πω(t)|.
В силу свойств функций u, Ii, ψik, k = 0, 1, и условий (3.2), (3.3) имеют место предельные
соотношения
lim
t↑ω
ak(t) = 0, k = 1, 2, lim
t↑ω
bk(t, v1, v2) = 0, k = 1, 2,равномерно по (v1, v2) ∈ V0,
(3.14)
lim
t↑ω
Z(t, z1, z2) = 0, lim
t↑ω
∂Z(t, z1, z2)
∂zk
= 0, k = 1, 2, равномерно по (z1, z2) ∈ Z0,
где Z0 = {(z1, z2) : |zk+1| ≤ |1− k + µ0|/2, k = 0, 1}.
Поскольку выполняется (3.14), существует число t0 ∈ [a, ω) такое, что на множестве
[t0, ω)× Z0 × V0 выполняются неравенства
|ak(t) + bk(t, v1, v2) + Z(t, z1, z2)| ≤ β0/4, k = 1, 2, (3.15)
где β0 = min{|1 + µ0|, |µ0|}, и условия Липшица
|Z(t, z2
1 , z
2
2)− Z(t, z1
1 , z
1
2)| ≤ 1
3
2∑
l=1
|z2
l − z1
l |. (3.16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 475
Зафиксировав число t0, обозначим через B банахово пространство непрерывных и огра-
ниченных на множестве Ω = [t0, ω)× V0 вектор-функций z = (z1, z2) : Ω → Rn с нормой
‖z‖ = sup
{
2∑
k=1
|zk(t, v1, v2)| : (t, v1, v2) ∈ Ω
}
.
Выберем из него подпространство B0 таких функций из B, для которых ‖z‖ ≤ β0/2, и
рассмотрим на B0, выбрав произвольное число ν ∈ (0, 1), оператор Φ = (Φ1,Φ2), опреде-
ленный соотношениями
Φk(z)(t, v1, v2) = zk(t, v1, v2)− ν|zk(t, v1, v2)− ak(t)− bk(t, v1, v2)−
− Z(t, z1(t, v1, v2), z2(t, v1, v2))|, k = 1, 2. (3.17)
Для любого z ∈ B0 в силу условия (3.15) имеем
|Φk(z)(t, v1, v2)| ≤ (1− ν)|zk(t, v1, v2)|+ νβ0
4
, k = 1, 2, при (t, v1, v2) ∈ Ω.
Поэтому на множестве Ω
2∑
k=1
|Φk(z)(t, v1, v2)| ≤ (1− ν)
2∑
k=1
|zk(t, v1, v2)|+ νβ0
2
≤
≤ (1− ν)||z||+ νβ0
2
≤ (1− ν)
β0
2
+
νβ0
2
=
β0
2
.
Отсюда вытекает, что ||Φ(z)|| ≤ β0/2 и, следовательно, Φ(B0) ⊂ B0.
Пусть теперь z1, z2 ∈ B0. Тогда в силу (3.16) при (t, v1, v2) ∈ Ω
|Φk(z
2)(t, v1, v2)− Φk(z
1)(t, v1, v2)| ≤ (1− ν)|z2
k(t, v1, v2)− z1
k(t, v1, v2)|+
+ ν|Z(t, z2
1 , z
2
2)− Z(t, z1
1 , z
1
2)| ≤
≤ (1− ν)|z2
k(t, v1, v2)− z1
k(t, v1, v2)|+
+
ν
3
2∑
l=1
|z2
l (t, v1, v2)− z1
l (t, v1, v2)|, k = 1, 2.
Значит, на множестве Ω
2∑
k=1
|Φk(z
2)(t, v1, v2)− Φk(z
1)(t, v1, v2)| ≤
≤
(
1− ν
3
) 2∑
k=1
|z2
k(t, v1, v2)− z1
k(t, v1, v2)| ≤
(
1− ν
3
)
‖z2 − z1‖,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
476 А. А. КОЗЬМА
откуда следует, что
‖Φ(z2)− Φ(z1)‖ ≤
(
1− ν
3
)
‖z2 − z1‖.
Таким образом, показано, что оператор Ф отображает пространство B0 в себя и является
на нем оператором сжатия. Тогда, согласно принципу сжатых отображений, существует
единственная вектор-функция z ∈ B0 такая, что z = Φ(z). В силу (3.17) эта непрерывная
на множестве Ω функция является единственным решением системы (3.13), удовлетворя-
ющим условию ‖z‖ ≤ β0/2. Из (3.13) с учетом (3.14) следует, что компоненты данного
решения стремятся к нулю при t ↑ ω равномерно по (v1, v2) ∈ V0. Непрерывная диф-
ференцируемость этого решения на множестве Ω непосредственно следует из известной
локальной теоремы о существовании неявных функций, определенных системой соотно-
шений. В силу замены (3.11) полученной вектор-функции (z1, z2) соответствует вектор-
функция (Yi0, Yi1) с компонентами вида (3.10), которая является решением системы (3.9),
причем с учетом (3.2), (3.3)
lim
t↑ω
Yik(t, v1, v2) = Yk равномерно по (v1, v2) ∈ V0, k = 0, 1,
(3.18)
Yik(t, v1, v2) ⊂ ∆k при (v1, v2) ∈ V0, t ∈ [t1, ω), где t1 ∈ [t0, ω), k = 0, 1.
Рассмотрим некоторые свойства функций Yik, k = 0, 1. В силу (3.18) и свойства функ-
ций ψjk при j ∈ M, k = 0, 1 равномерно по (v1, v2) ∈ V0 имеют место предельные соотно-
шения
lim
t↑ω
Gjk(t, v1, v2) = 0, где Gjk(t, v1, v2) =
Yik(t, v1, v2)ψ′jk(Yik(t, v1, v2))
ψjk(Yik(t, v1, v2))
. (3.19)
Теперь в системе (3.9) положим y(k) = Yik(t, v1, v2), k = 0, 1, и продифференцируем полу-
ченные соотношения по t. В результате получим систему уравнений, линейных относи-
тельно (Yi0)′t и (Yi1)′t :
− ψ′i0(Yi0(t, v1, v2))
ψi0(Yi0(t, v1, v2))
(Yi0)′t +
(
1
ΛiYi1(t, v1, v2)
− ψ′i1(Yi1(t, v1, v2))
ψi1(Yi1(t, v1, v2))
)
(Yi1)′t =
I ′i1(t)
Ii1(t)
,
(3.20)
− Yi1(t, v1, v2)
Y 2
i0(t, v1, v2)
(Yi0)′t +
1
Yi0(t, v1, v2)
(Yi1)′t = −1 + µ0
π2
ω(t)
[1 + v2].
Из данной системы с учетом неравенства 1− σi0 − σi1 6= 0, условия (3.19) и вида функции
Yi0 получим, что на множестве [t2, ω)× V0, t2 ∈ [t1, ω), справедливы формулы
(Yi0(t, v1, v2))′t =
Yi0(t, v1, v2)I ′i1(t)
Ii1(t)
+
1 + µ0
π2
ω(t)
[1 + v2]
Y 2
i0(t, v1, v2)
Yi1(t, v1, v2)
(
1
Λi
−Gi1(t, v1, v2)
)
1
Λi
−Gi0(t, v1, v2)−Gi1(t, v1, v2)
,
(Yi1(t, v1, v2))′t =
Yi1(t, v1, v2)I ′i1(t)
Ii1(t)
+
1 + µ0
π2
ω(t)
[1 + v2]Yi0(t, v1, v2)Gi0(t, v1, v2)
1
Λi
−Gi0(t, v1, v2)−Gi1(t, v1, v2)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 477
В свою очередь, из представлений для (Yi0)′t, (Yi1)′t и условия (3.4) следует, что равномерно
по (v1, v2) ∈ V0 справедливы равенства
lim
t↑ω
πω(t)(Yi0(t, v1, v2))′t
Yi0(t, v1, v2)
= 1 + µ0, lim
t↑ω
πω(t)(Yi1(t, v1, v2))′t
Yi1(t, v1, v2)
= µ0. (3.21)
Поскольку предельные соотношения (3.19) и (3.21) выполняются равномерно по (v1, v2) ∈
∈ V0, воспользовавшись схемой доказательства леммы 2.1, убедимся, что равенство
lim
t↑ω
Hi(t, v1, v2) = 1, (3.22)
где
Hi(t, v1, v2) = αi
m∑
j=1
αj [1 + rj(t)]
pj(t)ϕj0(Yi0(t, v1, v2))ϕj1(Yi1(t, v1, v2))
pi(t)ϕi0(Yi0(t, v1, v2))ϕi1(Yi1(t, v1, v2))
,
также выполняется равномерно по (v1, v2) ∈ V0. Кроме того, так как вектор-функция
(Yi0, Yi1) удовлетворяет системе соотношений (3.9), имеет место равенство
ϕi0(Yi0(t, v1, v2))ϕi1(Yi1(t, v1, v2))
Yi1(t, v1, v2)
= αiΛi
|πω(t)|σi0
Ii1(t)
1
[1 + v1][1 + v2]σi0
. (3.23)
Теперь, применяя к уравнению (1.1) преобразование
y(k)(t) = Yik(t, v1(x), v2(x)), k = 0, 1, x = β ln |πω(t)|,
(3.24)
β =
{
1, если ω = +∞,
−1, если ω < +∞,
и учитывая, что вектор-функция (Yi0, Yi1) при t ∈ [t2, ω) и (v1(x), v2(x)) ∈ V0 удовлетво-
ряет соотношениям
|y′(t)|
1
Λi
ψi0(y(t))ψi1(y′(t))
=
|Ii1(t)|
|Λi| |1 + µ0|σi0
[1 + v1(x)],
y′(t)
y(t)
=
1 + µ0
πω(t)
[1 + v2(x)], (3.25)
получаем, с учетом (3.23), систему дифференциальных уравнений вида
v′1 = β[−hi(t)[1 + v1]− (1 + µ0)Gi0(t, v1, v2)[1 + v1][1 + v2]+
+ (1− ΛiGi1(t, v1, v2))hi(t)Hi(t, v1, v2)[1 + v2]−σi0 ],
(3.26)
v′2 = β
[
[1 + v2]− (1 + µ0)[1 + v2]2 + Λihi(t)Hi(t, v1, v2)
[1 + v2]1−σi0
1 + v1
]
,
в которой hi(t) =
πω(t)I ′i1(t)
Ii1(t)
, t — функция, обратная к x = β ln |πω(t)|. Данную систему
рассмотрим на множестве [x0,+∞)× V0, где x0 = β ln |πω(t2)|.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
478 А. А. КОЗЬМА
Поскольку выполняется (3.22), имеет место равенство
Hi(t, v1, v2) = 1 +Ri1(x, v1, v2), (3.27)
где функция Ri1(x, v1, v2) стремится к нулю при x → +∞ равномерно по (v1, v2) ∈ V0.
Кроме того, допустимы представления
[1 + v2]−σi0 = 1− σi0v2 +R2(v1, v2),
(3.28)
[1 + v2]1−σi0
1 + v1
= 1− v1 + (1− σi0)v2 +R3(v1, v2),
в которых функции Rk(v1, v2), k = 2, 3, имеют свойство lim|v1|+|v2|→0
Rk(v1, v2)
|v1|+ |v2|
= 0. Учи-
тывая (3.27) и (3.28), систему (3.26) можно записать в виде
v′1 = β[f1(x) + c11(x)v1 + c12(x)v2 + V11(x, v1, v2) + V12(x, v1, v2)],
(3.29)
v′2 = β[f2(x) + c21(x)v1 + c22(x)v2 + V21(x, v1, v2) + V22(x, v1, v2)],
где
f1(x) = 0, c11(x) = −hi(t), c12(x) = −σi0hi(t),
f2(x) = −µ0 + Λihi(t), c21(x) = −Λihi(t), c22(x) = −1− 2µ0 + Λi(1− σi0)hi(t),
V11(x, v1, v2) = −(1 + µ0)Gi0(t, v1, v2)[1 + v1][1 + v2]−
− Λihi(t)Gi1(t, v1, v2)Hi(t, v1, v2)[1 + v2]−σi0+
+ (1− ΛiGi1(t, v1, v2))hi(t)Ri1(x, v1, v2)[1 + v2]−σi0 ,
V12(x, v1, v2) = (1− ΛiGi1(t, v1, v2))hi(t)Hi(t, v1, v2)R2(v1, v2),
V21(x, v1, v2) = Λihi(t)Ri1(x, v1, v2)
[1 + v2]1−σi0
1 + v1
,
V22(x, v1, v2) = −(1 + µ0)v2
2 + Λihi(t)Hi(t, v1, v2)R3(v1, v2).
В силу (3.4), (3.27), (3.28), определения Λi и замены независимой переменной имеют место
предельные соотношения
lim
x→+∞
f1(x) = 0, lim
x→+∞
c11(x) = −µ0(1−σi0−σi1), lim
x→+∞
c12(x) = −µ0σi0(1−σi0−σi1),
lim
x→+∞
f2(x) = 0, lim
x→+∞
c21(x) = −µ0, lim
x→+∞
c22(x) = −1− µ0 − µ0σi0,
а функции Vlk(x, v1, v2), l = 1, 2, k = 1, 2, таковы, что
lim
t↑ω
Vl1(x, v1, v2) = 0, l = 1, 2, равномерно по (v1, v2) ∈ V0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 479
lim
|v1|+|v2|→0
Vl2(x, v1, v2)
|v1|+ |v2|
= 0, l = 1, 2, равномерно по x ∈ [x0; +∞).
Таким образом, система (3.29) является квазилинейной системой дифференциальных урав-
нений с почти постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение для пре-
дельной матрицы коэффициентов линейной части имеет вид∣∣∣∣∣∣
−βµ0(1− σi0 − σi1)− λ −βµ0σi0(1− σi0 − σi1)
−βµ0 −β(1 + µ0 + µ0σi0)− λ
∣∣∣∣∣∣ = 0 (3.30)
или
λ2 + β(2µ0 − µ0σi1 + 1)λ+ (1− σi0 − σi1)(µ2
0 + µ0) = 0.
Поскольку выполняется условие (3.1), данное характеристическое уравнение не имеет
корней с нулевой действительной частью. Таким образом, для системы дифференциаль-
ных уравнений (3.29) выполнены все условия теоремы 2.2 работы [8]. Согласно данной
теореме система (3.29) имеет хотя бы одно решение (v1, v2) : [x1,+∞) → R (где x1 ≥ x0),
стремящееся к нулю при x → +∞. Этому решению, с учетом преобразования (3.24), со-
ответствует решение уравнения (1.1) y(t), которое является Πω(Y0, Y1, µ0)-решением (в
силу (3.18), (3.21)) и вместе со своей производной допускает асимптотические представ-
ления (3.5) (с учетом (3.25)).
Заметим, что если наложить некоторые дополнительные ограничения на функции
ϕik, k = 0, 1, то асимптотические представления для Πω(Y0, Y1, µ0)-решений и их про-
изводных первого порядка при t ↑ ω можно записать в явном виде.
Определение 3.1. Будем говорить, что функция ϕjk, j ∈ {1, . . . ,m}, k ∈ {0, 1},
удовлетворяет условию S, если для любой непрерывно дифференцируемой функции L :
∆k → (0; +∞) такой, что lim z→Yk
z∈∆k
zL′(z)
L(z)
= 0, имеет место соотношение ψjk(zL(z)) =
= ψjk(z)[1 + o(1)] при z → Yk, z ∈ ∆k.
Теорема 3.2. Пусть выполняются условия теоремы 3.1 и, кроме этого, функции ϕik,
k = 0, 1, имеют свойство S. Тогда при выполнении (3.1) – (3.4) каждое Πω(Y0, Y1, µ0)-
решение уравнения (1.1) при t ↑ ω представимо в виде
|y(t)| = |πω(t)|
(
|(1− σi0 − σi1)Ii1(t)|
|1 + µ0|1−σi1
1∏
k=0
ψik(y
0
k|πω(t)|1−k+µ0)
) 1
1−σi0−σi1
[1 + o(1)], (3.31)
|y′(t)| =
(
|(1− σi0 − σi1)Ii1(t)|
|1 + µ0|σi0
1∏
k=0
ψik(y
0
k|πω(t)|1−k+µ0)
) 1
1−σi0−σi1
[1 + o(1)]. (3.32)
Доказательство. Для начала покажем, что функция
L0(z) =
|y(t(z))|
|πω(t(z))|1+µ0
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
480 А. А. КОЗЬМА
где z = y0
0|πω(t)|1+µ0 , y0
0 = sign y0, является медленно меняющейся при z → Y0, z ∈ ∆0 :
lim
z→Y0
z∈∆0
zL′0(z)
L0(z)
= lim
t↑ω
[
y0
0|πω(t)|1+µ0
1
y0
0(1 + µ0)|πω(t)|µ0signπω(t)
×
× y0
0y
′(t)|πω(t)|1+µ0 − |y(t)|(1 + µ0)|πω(t)|µ0signπω(t)
|πω(t)|2+2µ0
|πω(t)|1+µ0
|y(t)|
]
=
= lim
t↑ω
[
1
1 + µ0
πω(t)y′(t)
y(t)
− 1
]
= 0.
Поскольку функция ϕi0 имеет свойство S, с учетом медленной изменяемости функции L0
при z → Y0 (z ∈ ∆0) и условия (3.2) получим
ψi0(y(t)) = ψi0(y0
0|πω(t)|1+µ0)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.33)
Аналогично доказывается, что функция
L1(z) =
|y′(t(z))|
|πω(t(z))|µ0
,
где z = y0
1|πω(t)|µ0 , y0
1 = sign y1, является медленно меняющейся при z → Y1, z ∈ ∆1, и,
следовательно,
ψi1(y′(t)) = ψi1(y0
1|πω(t)|µ0)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.34)
Принимая во внимание (3.33), (3.34) и (3.3), первое из соотношений (3.5) можно записать
в виде
|y′(t)|1−σi0−σi1 =
|(1− σi0 − σi1)Ii1(t)|
|1 + µ0|σi0
1∏
k=0
ψik(y
0
k|πω(t)|1−k+µ0)[1 + o(1)],
откуда следует асимптотическое представление (3.32). В свою очередь, из (3.32) с учетом
второго из соотношений (3.5) получаем, что имеет место асимптотическое представле-
ние (3.31).
Выводы. В настоящей работе для уравнения (1.1) выделен достаточно широкий класс
Πω(Y0, Y1, µ0)-решений и в случае µ0 ∈ R получены условия, при выполнении которых
на любом таком решении правая часть уравнения (1.1) асимптотически эквивалентна
одному слагаемому. При выполнении этих условий приведены необходимые и достаточ-
ные признаки существования Πω(Y0, Y1, µ0)-решений уравнения (1.1), для которых µ0 ∈
∈ R \ {−1, 0}, а также асимптотические представления таких решений и их производных
первого порядка при t ↑ ω.
1. Козьма А. А. Асимптотические представления одного класса решений существенно нелинейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка // Нелiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 4. — С. 490 – 501.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 481
2. Козьма О. О. Асимптотичне поводження розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцiальних рiвнянь дру-
гого порядку // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2008. — Вип. 374. — С. 55 – 65.
3. Козьма А. А. Признаки существования одного класса решений существенно нелинейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i механiка. — 2009. — 14.
— Вип. 20. — С. 75 – 90.
4. Евтухов В. М., Касьянова В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений существенно
нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн. — 2005. — 57, № 3. —
С. 338 – 355.
5. Касьянова В. О. Асимптотичнi зображення зникаючих розв’язкiв iстотно нелiнiйних диференцiальних
рiвнянь другого порядку // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2004. —Вип. 228 — С. 5 – 19.
6. Белозерова М. А. Асимптотические свойства одного класса решений существенно нелинейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка // Мат. студ. — 2008. —29, № 1. — С. 52 – 62.
7. Белозерова М. А. Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных урав-
нений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным // Нелiнiйнi коливання. — 2009. —
12, № 1. — С. 3 – 15.
8. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений ве-
щественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн.
— 2010. — 62, № 1. — С. 52 – 80.
Получено 20.04.11,
после доработки — 14.07.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
|