Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями
Встановлено умови iснування розв’язкiв квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з квазiлiнiйними обмеженнями i наведено обґрунтування застосування до них iтерацiйного методу....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175508 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.Ф. Мельничук // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 496-506. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175508 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755082021-02-03T01:28:43Z Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. Встановлено умови iснування розв’язкiв квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з квазiлiнiйними обмеженнями i наведено обґрунтування застосування до них iтерацiйного методу. We find conditions for existence of solutions of quasilinear integral equations with quasilinear constraints, and substantiate the possibility of solving them by applying an iteration method. 2011 Article Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.Ф. Мельничук // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 496-506. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175508 517.968 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Встановлено умови iснування розв’язкiв квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з квазiлiнiйними обмеженнями i наведено обґрунтування застосування до них iтерацiйного методу. |
| format |
Article |
| author |
Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. |
| spellingShingle |
Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями Нелінійні коливання |
| author_facet |
Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. |
| author_sort |
Лучка, А.Ю. |
| title |
Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями |
| title_short |
Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями |
| title_full |
Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями |
| title_fullStr |
Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями |
| title_full_unstemmed |
Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями |
| title_sort |
iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175508 |
| citation_txt |
Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.Ф. Мельничук // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 496-506. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT lučkaaû iteracijnijmetoddlâkvazilinijnihintegralʹnihrivnânʹzobmežennâmi AT melʹničukvf iteracijnijmetoddlâkvazilinijnihintegralʹnihrivnânʹzobmežennâmi |
| first_indexed |
2025-07-15T12:49:43Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:49:43Z |
| _version_ |
1837717294147436544 |
| fulltext |
УДК 517.968
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ
IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ
А. Ю. Лучка, В. Ф. Мельничук
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
We find conditions for existence of solutions of quasilinear integral equations with quasilinear constraints,
and substantiate the possibility of solving them by applying an iteration method.
Встановлено умови iснування розв’язкiв квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з квазiлiнiйними
обмеженнями i наведено обґрунтування застосування до них iтерацiйного методу.
1. Об’єкт дослiдження. Iнтегральнi рiвняння з обмеженнями належать до класу нетерових
задач, яким присвячено багато робiт, в тому числi i [1]. У працях [2 – 6] дослiджувались пи-
тання iснування та побудови розв’язкiв лiнiйних та нелiнiйних iнтегральних рiвнянь лише
з лiнiйними обмеженнями. В данiй статтi висвiтлюється застосування iтерацiйного мето-
ду до квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з параметрами та квазiлiнiйними обмеженнями.
Будемо розглядати квазiлiнiйне iнтегральне рiвняння вигляду
y(t) = f(t) + u(t) +
b∫
a
K(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, y(s)) ds, t ∈ [a, b]. (1)
Поставимо задачу: знайти такi функцiї y(t) та u(t) iз класу L2([a, b]), щоб справджувались
рiвняння (1) та обмеження
b∫
a
S(t)y(t) dt = α+ ε
b∫
a
J(t, y(t)) dt. (2)
Зупинимось на випадку, коли керування
u(t) = C(t)λ, (3)
де λ ∈ Rl — шуканий параметр. Припустимо, що заданi величини задовольняють такi
умови: f ∈ L2([a, b]), елементи (1 × l)-матрицi C(t) та (l × 1)-матрицi S(t) i ядра K(t, s)
та H(t, s) сумовнi з квадратом на вiдрiзку [a, b] i в областi [a, b] × [a, b] вiдповiдно, ε ∈ R
— невiд’ємний параметр i α ∈ Rl. Функцiї F : [a, b] × R → R та J : [a, b] × R → R
задовольняють умову Лiпшиця за другою змiнною, тобто
|F (t, ξ)− F (t, η)| ≤ q(t)|ξ − η|, |J(t, ξ)− J(t, η)| ≤ p(t)|ξ − η| ∀{ξ, η} ⊂ R, (4)
де {p, q} ⊂ L2([a, b]).
c© А. Ю. Лучка, В. Ф. Мельничук, 2011
496 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 497
2. Зведення задачi до iнтегрального рiвняння без обмежень. Дослiдження задачi (1) –
(3) зводиться до дослiдження квазiлiнiйного iнтегрального рiвняння без обмежень. При
цьому важливу роль вiдiграє допомiжна задача
y(t) = u(t) + z(t) + εw(t), (5)
b∫
a
S(t)y(t)dt = α+ εβ. (6)
Будемо припускати, що задача (5), (6), в якiй функцiя u(t) зображується формулою
(3), має єдиний розв’язок при довiльно заданих значеннях функцiй z(t) та w(t) iз класу
L2([a, b]) та вектора β ∈ Rl.
Побудуємо цей розв’язок. Для визначення невiдомого параметра λ ∈ Rl, пiдставивши
вираз для y(t) iз (5) у рiвнiсть (6), одержимо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
Dλ = α+ εβ −
b∫
a
S(t)z(t) dt− ε
b∫
a
S(t)w(t) dt, (7)
де стала (l × l)-матриця
D =
b∫
a
S(t)C(t) dt (8)
згiдно з припущенням щодо задачi (5), (6) є невиродженою. Застосувавши до рiвняння (7)
матрицю D−1, отримаємо
λ = D−1
α+ εβ −
b∫
a
S(t)z(t) dt− ε
b∫
a
S(t)w(t) dt
. (9)
Пiдставивши (9) у (3), будемо мати
u(t) = C(t)D−1
α+ εβ −
b∫
a
S(t)z(t) dt− ε
b∫
a
S(t)w(t) dt
. (10)
Ввiвши позначення
P (t) = C(t)D−1, r(t) = P (t)α, R(t, s) = P (t)S(s), (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
498 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
формулу (10) запишемо у виглядi
u(t) = r(t)−
b∫
a
R(t, s)z(s) ds+ εP (t)β − ε
b∫
a
R(t, s)w(s) dt. (12)
На основi формул (12) та (5) дiстанемо
y(t) = r(t) + z(t)−
b∫
a
R(t, s)z(s) ds+ ε
P (t)β + w(t)−
b∫
a
R(t, s)w(s) dt
. (13)
Покладемо тепер
z(t) = f(t) +
b∫
a
K(t, s)y(s) ds, (14)
w(t) =
b∫
a
H(t, s)F (s, y(s)) ds, (15)
β =
b∫
a
J(t, y(t)) dt. (16)
Тодi задача (1) – (3) набере вигляду допомiжної задачi (5), (6), i її єдиний розв’язок можна
знайти за формулами (12), (13).
Пiдставивши вирази (14), (16) у (13), отримаємо iнтегральне рiвняння
y(t) = h(t) +
b∫
a
M(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
Q(t, s)F (s, y(s)) ds+ ε
b∫
a
P (t)J(s, y(s)) ds, (17)
в якому
h(t) = r(t) + f(t)−
b∫
a
R(t, ξ)f(ξ) dξ, (18)
M(t, s) = K(t, s)−
b∫
a
R(t, ξ)K(ξ, s) dξ, (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 499
Q(t, s) = H(t, s)−
b∫
a
R(t, ξ)H(ξ, s) dξ. (20)
Формула (12) з урахуванням (14) – (16) набере вигляду
u(t) = g(t)−
b∫
a
Υ(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
P (t)J(s, y(s)) ds− ε
b∫
a
Ξ(t, s)F (s, y(s)) ds, (21)
де
g(t) = h(t)− f(t), Υ(t, s) =
b∫
a
R(t, ξ)K(ξ, s) dξ, Ξ(t, s) =
b∫
a
R(t, ξ)H(ξ, s) dξ. (22)
Отже, дослiдження iснування розв’язкiв задачi (1) – (3) звелося до задачi iснування
розв’язкiв iнтегрального рiвняння (17).
Зауважимо, що замiсть припущення однозначної розв’язностi задачi (5), (6) можна
вимагати, щоб матриця D, яка визначається формулою (8), була невиродженою.
Використавши вiдому методику дослiдження рiвнянь iз обмеженнями, неважко вста-
новити наступне твердження.
Теорема 1. Якщо матриця D невироджена, то розв’язок задачi (1) – (3) iснує тодi i
тiльки тодi, коли iснує розв’язок iнтегрального рiвняння (17). Задача (1) – (3) i рiвняння
(17) одночасно мають єдинi розв’язки.
Питанням iснування розв’язкiв iнтегрального рiвняння (17) присвячено багато робiт.
Наведемо одну iз достатнiх умов iснування та єдиностi розв’язку. Для цього використаємо
нерiвностi
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
M(t, s)z(s) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ ν2
b∫
a
|z(s)|2 ds, (23)
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
|Q(t, s)q(s)| z(s) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ χ2
b∫
a
|z(s)|2 ds, (24)
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
|P (t)p(s)| z(s) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ ζ2
b∫
a
|z(s)|2ds ∀z ∈ L2([a, b]), (25)
у яких iснування мiнiмальних додатних констант ν, χ та ζ випливає iз наведених вище
умов.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
500 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
На основi нерiвностей (4), (23) – (25) неважко встановити, що оператор
(Ωy)(t) =
b∫
a
M(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
Q(t, s)F (s, y(s)) ds+ ε
b∫
a
P (t)J(s, y(s)) ds (26)
задовольняє умову Лiпшиця, тобто
‖ Ωy − Ωz ‖≤ ρ ‖ y − z ‖ ∀{y, z} ⊂ L2([a, b]), (27)
де
ρ = ν + ε(χ+ ζ). (28)
Справдi, врахувавши вигляд оператора Ω (26), одержимо
‖ Ωy − Ωz ‖ ≤
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
M(t, s)(y(s)− z(s)) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt
1
2
+
+ ε
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
Q(t, s)(F (s, y(s))− F (s, z(s)))ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt
1
2
+
+ ε
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
P (t)(J(s, y(s))− J(s, z(s))) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt
1
2
, (29)
а використавши формули (4), (23) – (25), неважко встановити нерiвностi
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
M(t, s)(y(s)− z(s)) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ ν2
b∫
a
|y(s)− z(s)|2 ds, (30)
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
Q(t, s)(F (s, y(s))− F (s, z(s))) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ χ2
b∫
a
|y(s)− z(s)|2 ds, (31)
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
P (t)(J(s, y(s))− J(s, z(s))) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ ζ2
b∫
a
|y(s)− z(s)|2 ds. (32)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 501
Iз спiввiдношень (29) – (32) очевидним чином випливає нерiвнiсть (27).
Як вiдомо, за умови ρ < 1 оператор Ω (26) є оператором стиску, отже, рiвняння (17)
має єдиний розв’язок, а згiдно з теоремою 1 задача (1) – (3) за цiєї умови має єдиний
розв’язок, який можна побудувати методом послiдовних наближень.
Зазначимо, що за вiдомим розв’язком y(t) рiвняння (17) керування u(t) обчислюється
за формулою (21).
Проiлюструємо теоретичнi висновки на простому прикладi
y(t) = u(t)−
√
t+
1∫
0
(
4
√
ts+ 21
)
y(s) ds+ ε
1∫
0
(
√
ts+ 5) cos(π(1− 2
√
sy(s))) ds, (33)
1∫
0
5ty(t) dt = 2 + ε
1∫
0
sin(2π
√
ty(t)) dt, u(t) = 2λ, t ∈ [0, 1]. (34)
У даному прикладi
f(t) = −
√
t, C(t) = 2, S(t) = 5t, K(t, s) = 4
√
ts+ 21, H(t, s) =
√
ts+ 5,
F (s, ξ) = cos(π(1− 2
√
sξ)), J(t, ξ) = sin(2π
√
tξ), α = 2.
Зведемо задачу (33), (34) до iнтегрального рiвняння. Для цього використаємо допомiж-
ну задачу
y(t) = u(t) + z(t) + εw(t),
1∫
0
5ty(t) dt = 2 + εβ, u(t) = 2λ, (35)
яка має єдиний розв’язок, оскiльки тут D = 5. Розв’язавши задачу (36), отримаємо
y(t) =
4
5
+ z(t)−
1∫
0
2sz(s) ds+ ε
2
5
β + w(t)−
1∫
0
2sw(s) ds
, (36)
u(t) =
4
5
−
1∫
0
2sz(s) ds+ ε
2
5
β −
1∫
0
2sw(s) ds
. (37)
Поклавши тепер у формулах (36), (37)
z(t) = −
√
t+
1∫
0
(
4
√
ts+ 21
)
y(s) ds, (38)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
502 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
w(t) =
1∫
0
(
√
ts+ 5) cos(π(1− 2
√
sy(s))) ds, (39)
β =
1∫
0
sin(2π
√
ty(t)) dt (40)
i виконавши нескладнi обчислення, будемо мати
y(t) =
8
5
−
√
t+
1∫
0
(
4
√
ts− 16
5
√
s
)
y(s) ds+
+ ε
1∫
0
(√
ts− 4
5
s
)
cos(π(1− 2
√
sy(s))) ds+
1∫
0
2
5
sin(2π
√
ty(t)) ds
, (41)
u(t) =
8
5
−
1∫
0
(
16
5
√
s+ 21
)
y(s) ds+
+ ε
1∫
0
(
4
5
s+ 5
)
cos(π(1− 2
√
sy(s))) ds+
1∫
0
2
5
sin(2π
√
ty(t)) ds
. (42)
Таким чином, задачу (33), (34) зведено до рiвнозначного iнтегрального рiвняння (41),
в якому з урахуванням позначень (11), (18) – (20)
h(t) =
4
5
−
√
t, M(t, s) = 4
√
ts− 16
5
√
s, Q(t, s) =
√
ts− 4
5
s, P (t) =
2
5
. (43)
Неважко переконатися, виконавши нескладнi обчислення, з урахуванням формул (43),
що виконуються нерiвностi (23) – (25), у яких
ν2 =
44
75
, χ2 =
11
150
π2, ζ2 =
8
25
π2.
Отже, для iнтегрального рiвняння (41) формула (28) набирає вигляду
ρ =
2
√
33
15
+ ε
(√
66
30
+
2
√
2
5
)
π. (44)
Якщо справджується умова
ε <
30− 4
√
33
(
√
66 + 12
√
2)π
, (45)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 503
то очевидно виконується нерiвнiсть ρ < 1. Отже, рiвняння (41) має єдиний розв’язок,
а згiдно з теоремою 1 задача (33), (34) при цiй умовi має єдиний розв’язок, до того ж
керування визначається формулою (42).
3. Iтерацiйний метод. Поряд iз задачею встановлення iснування розв’язку задачi (1) –
(3) важливим є питання вiдшукання наближених розв’язкiв. Знаходження таких розв’яз-
кiв можна проводити за допомогою рiзноманiтних методiв, зокрема iтерацiйних, про-
екцiйних та проекцiйно-iтеративних [2 – 6]. Нижче висвiтлюється суть iтерацiйного ме-
тоду.
Нехай наближення yk−1(t), uk−1(t) вже побудовано. Тодi виконуємо iтерацiї
zk(t) = f(t) +
b∫
a
K(t, s)yk−1(s) ds, (46)
wk(t) =
b∫
a
H(t, s)F (s, yk−1(s)) ds, (47)
βk =
b∫
a
J (s, yk−1(s)) ds (48)
i наступне наближення знаходимо iз задачi
yk(t) = uk(t) + zk(t) + εwk(t),
b∫
a
S(t)yk(t) dt = α+ εβk, uk(t) = C(t)λk. (49)
Початкове наближення визначаємо iз задачi (49) при k = 0, заданих значеннях функ-
цiй z0(t), w0(t) i параметра β0.
Використовуючи методику, описану в п. 2, запропонований метод можна звести до
iтерацiйного методу для квазiлiнiйного iнтегрального рiвняння (17). За припущення, що
матрицяD невироджена, iснує єдиний розв’язок задачi (49) i обчислюється за формулами
yk(t) = r(t) + zk(t)−
b∫
a
R(t, s)zk(s) ds+ ε
P (t)βk + wk(t)−
b∫
a
R(t, s)wk(s) dt
, (50)
uk(t) = r(t)−
b∫
a
R(t, s)zk(s) ds+ εP (t)βk − ε
b∫
a
R(t, s)wk(s) dt. (51)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
504 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
На основi формул (46) – (48) i (50), (51), пiдставивши першi у другi i врахувавши по-
значення (18) – (20) та (22), отримаємо
yk(t) = h(t) +
b∫
a
M(t, s)yk−1(s) ds+ ε
b∫
a
Q(t, s)F (s, yk−1(s)) ds+ ε
b∫
a
P (t)J(s, yk−1(s)) ds,
(52)
uk(t) = g(t)−
b∫
a
Υ(t, s)yk−1(s) ds+ ε
b∫
a
P (t)J(s, yk−1(s)) ds− ε
b∫
a
Ξ(t, s)F (s, yk−1(s)) ds.
(53)
Таким чином, питання збiжностi методу (46) – (49) звелося до питання збiжностi мето-
ду послiдовних наближень (52) для iнтегрального рiвняння (17).
Теорема 2. Якщо матриця D, яка визначається формулою (8), невироджена i вико-
нується умова ρ < 1, де ρ визначається формулою (28), то задача (1) – (3) має єдиний
розв’язок y∗(t), u∗(t), послiдовнiсть наближених розв’язкiв {yk(t), uk(t), k ≥ 0}, побу-
дована за формулами (52), (53), збiгається за нормою в L2([a, b]) до цього розв’язку i
правильними є оцiнки похибки
‖ y∗ − yk ‖≤ ρk ‖ y∗ − y0 ‖, (54)
‖ y∗ − yk ‖≤
ρn
1− ρ
‖ yk−n+1 − yk−n ‖, 1 ≤ n ≤ k, (55)
‖ u∗ − uk ‖≤ σ ‖ y∗ − yk−1 ‖, (56)
де константа σ має вигляд
σ = κ+ ε(ζ + τ). (57)
Справдi, як вiдомо, за умови ρ < 1 iснує єдиний розв’язок y∗(t) iнтегрального рiвняння
(17) i послiдовнiсть {yk(t), k ≥ 0} збiгається до цього розв’язку, а також правильними є
оцiнки (54), (55).
Оцiнка (56) безпосередньо випливає iз формул (21), (53), нерiвностей (25) та
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
Υ(t, s)z(s) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ κ2
b∫
a
|z(s)|2 ds,
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
|Ξ(t, s)q(s)| z(s) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ τ2
b∫
a
|z(s)|2 ds ∀z ∈ L2([a, b]),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
IТЕРАЦIЙНИЙ МЕТОД ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 505
у яких iснування мiнiмальних додатних констант κ i τ випливає, з урахуванням позначення
(22), з наведених на початку статтi умов.
Проiлюструємо застосування iтерацiйного методу (46) – (49) до задачi (33), (34). У да-
ному випадку наближенi розв’язки знаходимо iз задачi
yk(t) = uk(t) + zk(t) + εwk(t),
1∫
0
5tyk(t)dt = 2 + εβk, uk(t) = 2λk, (58)
в якiй
zk(t) = −
√
t+
1∫
0
(
4
√
ts+ 21
)
yk−1(s) ds, (59)
wk(t) =
1∫
0
(
√
ts+ 5) cos(π(1− 2
√
syk−1(s))) ds, (60)
βk =
1∫
0
sin(2π
√
tyk−1(t)) dt. (61)
Покладемо ε = 10−2 i зазначимо, що в цьому випадку умова (45) виконується, а ви-
користавши формулу (44), одержимо ρ = 0, 7922 . . . , тобто задача (33), (34) має єдиний
розв’язок
y∗(t) =
√
t, u∗(t) = −14, (62)
в чому можна переконатися, виконавши вiдповiднi обчислення.
Нехай y0(t) = 1, 6 −
√
t. Цю функцiю можна отримати, якщо розв’язати задачу (58)
при k = 0, z0(t) = −
√
t, w0(t) = 0 та β0 = 0. Тодi, пiдрахувавши першу iтерацiю за
формулами (59) – (61), одержимо
z1(t) = 1, 26667
√
t+ 19, 6, w1(t) = 3, 54943 + 0, 36219
√
t, β1 = −0, 14539,
i розв’язавши задачу
y1(t) = u1(t) + 1, 26667
√
t+ 19, 6 + 10−2(3, 54943 + 0, 36219
√
t),
1∫
0
5ty1(t) dt = 2− 0, 00145, u1(t) = 2λ1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
506 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
знайдемо перше наближення
y1(t) = 1, 27029
√
t− 0, 22454, u1(t) = −19, 86003. (63)
Продовжуючи цей процес далi, можна отримати друге i вищi наближення, зокрема
y2(t) = 0, 94147
√
t+ 0, 04742, u2(t) = −13, 01654, (64)
y3(t) = 1, 00947
√
t− 0, 00774, u3(t) = −14, 18516. (65)
Щоб оцiнити, наскiльки вiдхиляються побудованi наближення вiд точного розв’язку
задачi (33), (34), слiд порiвняти формули (62) – (65).
1. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 319 с.
2. Лучка А. Ю. Интегральные уравнения с ограничениями и методы их решения // Кибернетика и систем.
анализ. — 1996. — № 3. — С. 82 – 96.
3. Лучка А. Ю. Методи розв’язання рiвнянь з обмеженнями i проекцiйно-iтеративний метод Ю. Д. Соко-
лова // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 11. — С. 1501 – 1509.
4. Ковтун О. I. Проекцiйно-iтеративнi методи для iнтегральних рiвнянь зi слабкою нелiнiйнiстю i додат-
ковими умовами // Нелiнiйнi коливання. — 2000. — 3, № 3. — С. 365 – 374.
5. Лучка А. Ю., Кучерук Т. А. Iтерацiйний метод побудови розв’язкiв лiнiйних рiвнянь з обмеженнями //
Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 4. — С. 472 – 482.
6. Лучка А. Ю., Вознюк О. М. Iтерацiйний метод для iнтегральних рiвнянь з обмеженнями // Нелiнiйнi
коливання. — 2002. — 5, № 2. — С. 179 – 192.
Одержано 03.09.10,
пiсля доопрацювання — 09.03.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
|