Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi
Приведены примеры абстрактных задач Коши, доказывающие строгость включений ряда функциональных классов и опровергающие опубликованное ранее достаточное условие разрешимости задачи Коши....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175513 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi / А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 400-406. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175513 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755132021-02-02T01:29:04Z Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi Чайковський, А.В. Приведены примеры абстрактных задач Коши, доказывающие строгость включений ряда функциональных классов и опровергающие опубликованное ранее достаточное условие разрешимости задачи Коши. We give examples of abstract Cauchy problems proving that the inclusions in the chain of function classes are strict, and disproving sufficient conditions for solvability of a Cauchy problem published earlier. 2011 Article Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi / А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 400-406. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175513 517.98 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Приведены примеры абстрактных задач Коши, доказывающие строгость включений ряда функциональных классов и опровергающие опубликованное ранее достаточное условие разрешимости задачи Коши. |
| format |
Article |
| author |
Чайковський, А.В. |
| spellingShingle |
Чайковський, А.В. Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi Нелінійні коливання |
| author_facet |
Чайковський, А.В. |
| author_sort |
Чайковський, А.В. |
| title |
Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi |
| title_short |
Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi |
| title_full |
Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi |
| title_fullStr |
Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi |
| title_full_unstemmed |
Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi |
| title_sort |
про деякi приклади в теорiї абстрактних задач кошi |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175513 |
| citation_txt |
Про деякi приклади в теорiї абстрактних задач Кошi / А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 400-406. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čajkovsʹkijav prodeâkiprikladivteoriíabstraktnihzadačkoši |
| first_indexed |
2025-07-15T12:50:00Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:50:00Z |
| _version_ |
1837717312274169856 |
| fulltext |
УДК 517.98
ПРО ДЕЯКI ПРИКЛАДИ В ТЕОРIЇ АБСТРАКТНИХ ЗАДАЧ КОШI
А. В. Чайковський
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 7
We give examples of abstract Cauchy problems proving that the inclusions in the chain of function classes
are strict, and disproving sufficient conditions for solvability of a Cauchy problem published earlier.
Приведены примеры абстрактных задач Коши, доказывающие строгость включений ряда функ-
циональных классов и опровергающие опубликованное ранее достаточное условие разрешимос-
ти задачи Коши.
1. Вступ. Нехай (B, ‖ · ‖) — комплексний банахiв простiр, I — одиничний оператор у B.
Велика кiлькiсть диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними параболiчного ти-
пу та їх систем зводяться до диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi вигляду
x′(t) +Ax(t) = y(t),
де t ∈ U (U — вiдрiзок, пiввiсь або вся дiйсна вiсь), y : U → B — вiдома функцiя, x : U →
→ B — невiдома функцiя, A : D(A) ⊂ B → B — операторний коефiцiєнт.
У багатьох випадках оператор A при цьому секторiальний. Нагадаємо, що лiнiйний
оператор A : D(A) ⊂ B → B називають секторiальним, якщо множина D(A) скрiзь
щiльна в B та iснують такi сталi a∈ R, ϕ ∈ (0, π/2), що для множини
Sa,ϕ := {z ∈ C | z 6= a, | arg(z − a)| < ϕ}
виконуються умови:
1) σ(A) ⊂ Sa,ϕ;
2) ∃C > 0 ∀λ∈ C\Sa,ϕ, λ 6= a : ‖(A− λI)−1‖ ≤ C
|λ− a|
.
У подальшому A — секторiальний оператор.
Властивостi секторiальних операторiв, зокрема дослiдження операторної експонен-
ти K(t) := e−At, t > 0, теорiю диференцiальних рiвнянь з секторiальним операторним
коефiцiєнтом та її застосування, викладено, наприклад, в [1 – 4]. Зокрема, детально ви-
вчається задача Кошi
x′(t) +Ax(t) = f(t), t ∈ (0, T ], x(0) = x0, (1)
де T > 0, f ∈ C([0, T ], B), x0 ∈ B. Зауважимо, що якщо iснує розв’язок задачi Кошi
x′(t) +Ax(t) = f(t), t ∈ (0, T ], x(0) = 0, (2)
то розв’язок задачi Кошi (1) можна отримати з нього додаванням величини K(t)x0. Тому
далi будемо розглядати задачу (2).
c© А. В. Чайковський, 2011
400 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
ПРО ДЕЯКI ПРИКЛАДИ В ТЕОРIЇ АБСТРАКТНИХ ЗАДАЧ КОШI 401
В роботi [4] показано, що якщо функцiя f гельдерова на [0, T ], то задача (2) має розв’я-
зок з класу C1([0, T ], B). В монографiї [3, с. 59] доведено, що при послабленнi умови на f
до локальної гельдеровостi на (0, T ) i належностi класуL1([0, T ], B), задача (2) має розв’я-
зок з класу C1((0, T ], B) ∩ C([0, T ], B).
Можливiсть подальшого послаблення умов на функцiю f дослiджено в роботi [5].
Отриманi результати зручно сформулювати, ввiвши такi простори (тут V (f, [a, b]) — ва-
рiацiя функцiї f на вiдрiзку [a, b], BV ([a, b], B) — клас функцiй f : [a, b] → B обмеженої
варiацiї):
Y := {f ∈ C([0, T ], B) | ∃x ∈ C([0, T ], B)− розв’язок задачi Кошi (2)} ,
Y1 :=
{
f ∈ C([0, T ], B) | ∃x ∈ C([0, T ], B) ∩ C1((0, T ], B)− розв’язок задачi Кошi (2)
}
,
Y2 :=
{
f ∈ C([0, T ], B) | ∃x ∈ C1([0, T ], B)− розв’язок задачi Кошi (2)
}
,
F :=
f ∈ C([0, T ], B) | ∀t ∈ (0, T ] :
t∫
0
‖f(t− s)− f(t)‖
s
ds < +∞
,
F1 :=
f ∈ C([0, T ], B) | ∀[a, b] ⊂ (0, T ] : sup
t∈[a,b]
δ∫
0
‖f(t− s)− f(t)‖
s
ds → 0, δ → 0+
,
F2 :=
f ∈ C([0, T ], B) | sup
t∈[δ,T ]
δ∫
0
‖f(t− s)− f(t)‖
s
ds → 0, δ → 0+
,
W := {f ∈ C([0, T ], B) | ∀t ∈ (0, T ] ∃δ = δ(t) ∈ (0, t) : V (f, [t− δ, t]) < +∞} ,
W1 := {f ∈ C([0, T ], B) | ∀δ ∈ (0, T ) : V (f, [δ, T ]) < +∞} ,
W2 := C([0, T ], B) ∩BV ([0, T ], B).
В роботi [5] доведено включення
W2 ∪ F2 ⊂ Y2,W1 ∪ F1 ⊂ Y1, W ∪ F ⊂ Y. (3)
Якщо б наведене нижче твердження з роботи [2, c. 111] було правильним, то воно
посилювало б включення F1 ⊂ Y1.
Теорема 1 (Пазi). Нехай A — секторiальний оператор, f ∈ L1([0, T ], B) i для кожно-
го t ∈ (0, T ) iснують δt > 0 i неперервна числова функцiя Wt : [0,+∞) → [0,+∞) така,
що
‖f(t)− f(s)‖ ≤ Wt(|t− s|), s ∈ [0, T ],
i
δt∫
0
Wt(τ)
τ
dτ < +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
402 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Тодi для кожного x0 ∈ B функцiя
x(t) = e−Atx0 +
t∫
0
e−A(t−s)f(s) ds, t ∈ [0, T ],
є класичним розв’язком задачi Кошi (1), тобто x ∈ C([0, T ], B) ∩ C1((0, T ), B), x(t) ∈
∈ D(A), t ∈ (0, T ), i виконано умови (1).
Проте вдалося встановити, що це твердження є хибним. Метою даної роботи є побу-
дова прикладiв, що свiдчать про хибнiсть теореми 1 та дозволяють детальнiше дослiдити
включення (3).
2. Основнi приклади. Приклад 1 (необмежена похiдна розв’язку). НехайB =L1([0,+∞))
— простiр iнтегровних за Лебегом на пiвосi комплекснозначних функцiй з нормою ‖y‖ =
=
∫ ∞
0
|y(t)|dt, T = 1. Введемо кiлька допомiжних функцiй. Нехай f0 : (0, 1] → B,
f0(s) = χ[ 1
s
, 1
s
+1], s ∈ (0, 1],
де
χ[a,b](t) :=
{
1, t ∈ [a, b],
0, t /∈ [a, b],
— характеристична функцiя вiдрiзка. Нехай також для довiльних 4 > 0, ε ∈
(
0,
4
2
)
неперервну функцiю f4,ε : R → B визначено таким чином:
f4,ε(s) = f0(s), s ∈ [ε,4− ε];
f4,ε дорiвнює нульовому елементу, якщо аргумент не лежить на вiдрiзку [0,4], i лiнiйна
на вiдрiзках [0, ε], [4− ε,4]. Зауважимо, що
‖f4,ε(s)‖ ≤ 1, s∈ R, 4 > 0, ε ∈
(
0,
4
2
)
. (4)
Визначимо тепер функцiю f для задачi Кошi формулою
f(s) =
∞∑
n=0
δnf2−n−1, εn(2
−n − s), s ∈ [0, 1],
де {δn : n ≥ 1} , {εn : n ≥ 1} — монотонно спаднi до нуля послiдовностi дiйсних чисел,
до того ж
εn < 2−n−3, δn ≤ 2−n, n ≥ 1. (5)
Зауважимо, що
f(s) = δnf2−n−1, εn(2
−n − s), s ∈ [2−n−1, 2−n], n∈ N. (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
ПРО ДЕЯКI ПРИКЛАДИ В ТЕОРIЇ АБСТРАКТНИХ ЗАДАЧ КОШI 403
Звiдси випливає неперервнiсть функцiї f при s > 0.Крiм того, враховуючи (4), (5), маємо
‖f(s)‖ ≤ δn ≤ 2−n ≤ 2s, s ∈ [2−n−1, 2−n], n∈ N, (7)
отже, функцiя f неперервна в нулi.
Доведемо, що функцiя f на кожному вiдрiзку [c, d] ⊂ (0, 1] лiпшицева. З зображен-
ня (6) випливає, що достатньо перевiрити лiпшицевiсть кожної функцiї f2−n−1,εn(s), s ∈
∈ [0, 2−n−1], n∈ N. Для цього, в свою чергу, досить перевiрити лiпшицевiсть функцiї f0 на
кожному з вiдрiзкiв [εn, 2
−n−1 − εn], n∈ N. Скористаємося рiвнiстю
‖f0(s1)− f0(s2)‖ =
∞∫
0
|χ[ 1
s2
, 1
s2
+1](τ)− χ[ 1
s1
, 1
s1
+1](τ)|dτ = 2min
{
1,
∣∣∣∣ 1s1 − 1
s2
∣∣∣∣} , s1, s2 > 0.
Тодi маємо потрiбну лiпшицевiсть:
‖f0(s1)− f0(s2)‖ ≤ 2
|s1 − s2|
ε2n
, s1, s2 ∈ [εn, 2
−n−1 − εn].
Визначимо оператор A формулою
(Ay)(τ) = τy(τ), τ ≥ 0,
для всiх y ∈ B таких, що Ax ∈ B. Тодi A — секторiальний оператор в B i операторна
експонента задається формулою
(K(s)y)(τ) = e−τsy(τ), τ ≥ 0, s > 0.
Тому, згiдно з теоремою 3.2.2 [3, с. 59], функцiя x(t) =
∫ t
0
K(t − s)f(s) ds, t ∈ [0, 1], є
розв’язком задачi Кошi (2) i належить класу Y1.
Покажемо, що похiдна x′(t) =
∫ t
0
K ′(t − s)f(s)ds + f(t), t ∈ (0, 1], не може бути не-
перервно довизначеною в нулi. Оскiльки f(s)(τ) ≥ 0, τ ≥ 0, s > 0, то для будь-якого
N ∈ N справджуються оцiнки
−x′(2−N )(τ) + f(2−N )(τ) =
2−N∫
0
τe−(2
−N−s)τf(s)(τ)ds ≥
2−N∫
2−N−1
τe−(2
−N−s)τf(s)(τ)ds =
=
2−N∫
2−N−1
τe−(2
−N−s)τδNf2−N−1,εN (2
−N − s)(τ) ds =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
404 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
= |2−N − s = z| =
2−N−1∫
0
τe−zτδNf2−N−1, εN (z)(τ)dz ≥
≥
2−N−1−εN∫
εN
τe−zτδNf0(z)(τ)dz, τ ≥ 0.
Позначимо a = a(N) := (2−N−1 − εN )−1 + 1, b = b(N) := ε−1N . Внаслiдок умов (5) a < b.
Враховуючи, що при τ > 1 виконується рiвнiсть
f0(z)(τ) =
{
1, τ−1 ≤ z ≤ (τ − 1)−1,
0 в iнших випадках,
маємо
‖ − x′(2−N ) + f(2−N )‖ ≥
b∫
a
∣∣−x′(2−N )(τ) + f(2−N )(τ)
∣∣ dτ ≥
≥
b∫
a
(a−1)−1∫
b−1
τe−zτδNf0(z)(τ) dz
dτ =
=
b∫
a
(τ−1)−1∫
τ−1
τe−zτδN dz
dτ =
= δN
b(N)∫
a(N)
(e−1 − e−τ(τ−1)−1
)dτ = δNIN .
Оскiльки iнтеграл
∫ +∞
0
(e−1− e−τ(τ−1)−1
)dτ розбiжний, то можна пiдiбрати послiдовнiсть
{εn : n ≥ 1} настiльки швидко спадною, що IN ≥ 4N , N → ∞. Тодi покладемо δN :=
:=
√
I−1N , N ≥ 1, i отримаємо, що похiдна розв’язку задачi Кошi необмежена на (0, 1).
Приклад 2 (розривна похiдна розв’язку). Нехай простiр B та оператор A тi самi, що i
в прикладi 1. Розглянемо задачу Кошi
x′1(t) +Ax1(t) = f1(t), t ∈ (0, 2], x1(0) = 0,
де
f1(s) =
{
0, s ∈ [0, 1],
f(s− 1), s ∈ (1, 2],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
ПРО ДЕЯКI ПРИКЛАДИ В ТЕОРIЇ АБСТРАКТНИХ ЗАДАЧ КОШI 405
f — функцiя з прикладу 1. Тодi f1 належить F, вiдповiдний розв’язок задачi Кошi має
вигляд
x1(t) = ~0, t ∈ [0, 1],
x1(t) =
t∫
0
e−A(t−s)f1(s) ds = x(t− 1), t ∈ [1, 2],
де x — розв’язок з прикладу 1. Отже, внаслiдок результатiв iз прикладу 1 функцiя x1 має
розривну в точцi 1 похiдну.
При цьому внаслiдок оцiнки (7) i кускової лiпшицевостi функцiї f на (0, 1] функцiя f1
задовольняє на вiдрiзку [0, 2] умови теореми 1 з лiнiйною для кожного t функцiєю Wt.
Тому за теоремою Пазi похiдна розв’язку повинна бути неперервною на (0, 2).
3. Аналiз розв’язностi задачi Кошi. Бiльш детальний аналiз включень (3) дає така те-
орема.
Теорема 2. Для довiльного α ∈ (0, 1] правильною є наступна дiаграма з включень
функцiональних класiв:
Cα ⊂ F2 ⊂ F1 ⊂ F
∩ ∩ ∩
Y2 ⊂ Y1 ⊂ Y
∪ ∪ ∪
W2 ⊂ W1 ⊂ W,
де Cα — клас функцiй f : [0, T ] → B, гельдерових на [0, T ] з показником α. При цьому
iснують простори B, для яких всi включення строгi. Крiм того, для всiх просторiв
B 6= {0} маємо F2 6⊂ W, W2 6⊂ F.
Доведення. Включення в дiаграмi випливають з результатiв роботи [5].
Покажемо, що у випадку простору B з прикладiв 1 i 2 всi включення є строгими.
Оскiльки розв’язок x, розглянутий у прикладi 1, належить класу Y1 i не належить кла-
су Y2, а розв’язок x1, розглянутий у прикладi 2, належить класу Y i не належить класу Y1,
то включення Y2 ⊂ Y1 ⊂ Y є строгими.
Функцiя f з прикладу 1 є лiпшицевою на кожному вiдрiзку [a, b] ⊂ (0, 1], отже, на-
лежить класу F1 ∩ W1. З iншого боку, вiдповiдний розв’язок має необмежену похiдну,
отже, f 6∈ Y2. Враховуючи, що F2 ∪ W2 ⊂ Y2, маємо f 6∈ F2 ∪ W2, отже, включення
F2 ⊂ F1, W2 ⊂ W1 є строгими.
Функцiя f1 з прикладу 2 є такою, що
∀t ∈ (0, 2] ∃δ = δ(t) ∈ (0, t) : f1 лiпшицева на [t− δ, t].
Тому f1 ∈ F ∩W. З iншого боку, вiдповiдний розв’язок має розривну в точцi 1 похiдну,
отже, f1 6∈ Y1. Враховуючи, що F1 ∪ W1 ⊂ Y1, маємо f 6∈ F1 ∪ W1, отже, включення
F1 ⊂ F, W1 ⊂ W є строгими.
Розглянемо тепер довiльний комплексний банахiв простiр B 6= {0}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
406 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Формулу F2 6⊂ W доводить приклад функцiї f(t) =
(t− 1) sin
1
t− 1
b, t ∈ [0, 1),
~0, t ∈ [1, 2],
де b ∈ B, b 6= 0 — фiксований елемент. Те, що f належить F2, видно з оцiнок∣∣∣∣t sin 1
t
− (t− s) sin 1
t− s
∣∣∣∣ ≤ s+ (t− s)
∣∣∣∣sin 1
t
− sin
1
t− s
∣∣∣∣ ≤
≤ s+ (t− s)min
{∣∣∣∣1t − 1
t− s
∣∣∣∣ , 2} = min
{
s+
s
t
, s+ 2(t− s)
}
≤
≤ 2min
{s
t
, t
}
≤ 2
√
s, t ∈ (0, 1], s ∈ (0, t).
Необмеженiсть варiацiї на вiдрiзку [−δ, 0] при δ ∈ (0, 1) випливає з означення. З формули
F2 6⊂ W випливає також строгiсть включень W2 ⊂ Y2, W1 ⊂ Y1, W ⊂ Y.
Формулу W2 6⊂ F доводить приклад функцiї f(t) =
1
ln(2− 2t)
b, t ∈ [0, 1),
~0, t ∈ [1, 2],
де
b ∈ B, b 6= 0 — фiксований елемент. Включення f ∈ W2 випливає з монотонностi функцiї
1
ln(2− 2t)
, t ∈ [0, 1), а включення f 6∈ F — з розбiжностi iнтеграла
1∫
0
‖f(1− s)− f(1)‖
s
ds =
1∫
0
1
s ln 2s
ds.
З формули W2 6⊂ F випливає також строгiсть включень F2 ⊂ Y2, F1 ⊂ Y1, F ⊂ Y.
Теорему доведено.
4. Висновки. Наведено приклади абстрактних задач Кошi, якi доводять строгiсть вклю-
чень ряду функцiональних класiв, пов’язаних з гладкiстю розв’язку задачi Кошi. Також
показано хибнiсть опублiкованої в [2] теореми про iснування класичного розв’язку задачi
Кошi для лiнiйного диференцiального рiвняння з секторiальним операторним коефiцiєн-
том.
1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. —М.: Мир, 1972. — 740 c.
2. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. — New York: Spri-
nger, 1983. — 279 p.
3. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985. — 376 c.
4. Goldstein J. A. Semigroups of linear operators and applications. —Oxford Univ. Press, 1985. — 245 p.
5. Чайковский А. В. О разрешимости абстрактной задачи Коши // Дифференц. уравнения. — 2010. — 46,
№ 5. — С. 756 – 760.
Одержано 13.10.10,
пiсля доопрацювання — 28.11.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
|