Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае
Розглядається питання про стiйкiсть критичних станiв рiвноваги нелiнiйної системи диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю в одному окремому випадку. Дослiдження стiйкостi проводиться на основi прямого методу Ляпунова з використанням двох допомiжних функцiй....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175514 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае / А.И. Двирный, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 445-467. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175514 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755142021-02-02T01:28:53Z Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае Двирный, А.И. Слынько, В.И. Розглядається питання про стiйкiсть критичних станiв рiвноваги нелiнiйної системи диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю в одному окремому випадку. Дослiдження стiйкостi проводиться на основi прямого методу Ляпунова з використанням двох допомiжних функцiй. We study the question of stability of critical equilibrium positions for a nonlinear impulsive differential system in a particular case. The study is carried out via the direct Lyapunov method with a use of two auxiliary functions. 2011 Article Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае / А.И. Двирный, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 445-467. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175514 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядається питання про стiйкiсть критичних станiв рiвноваги нелiнiйної системи диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю в одному окремому випадку. Дослiдження стiйкостi проводиться на основi прямого методу Ляпунова з використанням двох допомiжних функцiй. |
| format |
Article |
| author |
Двирный, А.И. Слынько, В.И. |
| spellingShingle |
Двирный, А.И. Слынько, В.И. Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае Нелінійні коливання |
| author_facet |
Двирный, А.И. Слынько, В.И. |
| author_sort |
Двирный, А.И. |
| title |
Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае |
| title_short |
Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае |
| title_full |
Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае |
| title_fullStr |
Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае |
| title_sort |
об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175514 |
| citation_txt |
Об устойчивости решений нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в одном критическом случае / А.И. Двирный, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 445-467. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT dvirnyjai obustojčivostirešenijnelinejnyhnestacionarnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenijsimpulʹsnymvozdejstviemvodnomkritičeskomslučae AT slynʹkovi obustojčivostirešenijnelinejnyhnestacionarnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenijsimpulʹsnymvozdejstviemvodnomkritičeskomslučae |
| first_indexed |
2025-07-15T12:50:04Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:50:04Z |
| _version_ |
1837717315967254528 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
В ОДНОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
А. И. Двирный, В. И. Слынько
Ин-т механики НАН Украины
Украина, 03057, Киев, ул. Нестерова, 3
e-mail: dvirny@mail.ru
vitstab@ukr.net
We study the question of stability of critical equilibrium positions for a nonlinear impulsive differential
system in a particular case. The study is carried out via the direct Lyapunov method with a use of two
auxiliary functions.
Розглядається питання про стiйкiсть критичних станiв рiвноваги нелiнiйної системи дифе-
ренцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю в одному окремому випадку. Дослiдження стiйкостi про-
водиться на основi прямого методу Ляпунова з використанням двох допомiжних функцiй.
1. Введение. Математическими моделями физических и технических процессов, в кото-
рых вектор состояния претерпевает мгновенные изменения в некоторые моменты вре-
мени, являются дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Теория устой-
чивости решений систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием рас-
смотрена в работах [1 – 7]. В монографии [1] доказаны утверждения об устойчивости ре-
шений для этого класса систем по линейному приближению. Случай, когда линейное
приближение системы не позволяет судить об устойчивости или неустойчивости реше-
ния системы, называют критическим. Исследование этих случаев требует привлечения
нелинейных членов и проводится с помощью прямого метода Ляпунова. Для систем диф-
ференциальных уравнений с импульсным воздействием проблема устойчивости решений
в критических случаях является малоизученной [8, 9]. Следует отметить, что в случае,
когда моменты импульсного воздействия равноудалены, исследование устойчивости ре-
шений в критическом случае может быть сведено к исследованию неподвижной точки
отображения Пуанкаре [10 – 12].
Целью настоящей работы является исследование одного специального критического
случая. Основным методом исследования выбран прямой метод Ляпунова на основе двух
вспомогательных функций. Такой подход позволяет охватить те случаи, когда состояние
равновесия соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений и
неподвижная точка отображения скачка являются одновременно неустойчивыми.
Предложенный подход позволил получить новые достаточные условия устойчивости
решений системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в крити-
ческом случае.
2. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравне-
c© А. И. Двирный, В. И. Слынько, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4 445
446 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
ний с импульсным воздействием
dy
dt
= Ay(t) +
∑
|ν|=2r+1
fν(t)yν , t 6= τk,
(2.1)
∆y(t) = Bky(t) +
∑
|ν|=2r+1
gkνy
ν(t), t = τk,
где y ∈ Rn, A ∈ Rn×n, fν ∈ C([a,∞);Rn), ν ∈ Zn+, |ν| =
∑n
k=1 νk, a ∈ R, yν = yν11 . . . yνnn ,
∆y(t) = y(t+0)−y(t), Bk ∈ Rn×n, {τk}∞k=1 — последовательность моментов импульсного
воздействия, относительно которых предположим, что выполняются неравенства
0 ≤ θ1 ≤ τk+1 − τk ≤ θ2 ≤ +∞.
Относительно матриц I + Bk предположим, что они невырождены, тогда задача Коши
для системы дифференциальных уравнений (2.1) имеет единственное решение. Для сис-
темы (2.1) рассмотрим систему линейного приближения
dx
dt
= Ax(t), t 6= τk,
(2.2)
∆x(t) = Bkx(t), t = τk.
Условия устойчивости состояния равновесия x = 0 системы (2.1) по линейному прибли-
жению приведены в [1]. Далее будем рассматривать систему (2.1) в двух случаях:
1) матрицант Ωt
t0 системы (2.2) удовлетворяет условиям: существуют положительные
функции ci(t), i = 1, 2, такие, что
‖Ωt
t0‖ ≤ c1(t0), ‖(Ωt
t0)−1‖ ≤ c2(t0), t ≥ t0;
2) существует симметричная положительно определенная матрица P0, для которой
матрица ATP0 + P0A = 0, а матрицы
BT
k P0 + P0Bk +BT
k P0Bk, k = 1, 2, . . . ,
являются отрицательно-полуопределенными.
Отметим, что в первом случае систему (2.1) можно привести к системе без линейного
приближения. Введем замену переменных
x = (Ωt
t0)−1y, y = Ωt
t0x,
тогда
dy
dt
=
dΩt
t0
dt
x+ Ωt
t0
dx
dt
= AΩt
t0x+
∑
|ν|=2r+1
fν(t)(Ωt
t0x)ν , t 6= τk.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 447
Введем функции f̃ν(t), |ν| = 2r + 1 так, что∑
|ν|=2r+1
f̃ν(t)xν = (Ωt
t0)−1
∑
|ν|=2r+1
fν(t)(Ωt
t0x)ν .
Учитывая свойство фундаментальной матрицы
dΩt
t0
dt
= AΩt
t0 , t 6= τk, получаем
dx
dt
=
∑
|ν|=2r+1
f̃ν(t)xν , t 6= τk.
Аналогично, определим коэффициенты g̃kν так, что∑
|ν|=2r+1
g̃kνx
ν = (Ωτk
t0
)−1
∑
|ν|=2r+1
gkν (Ωτk
t0
x)ν .
Тогда
∆x =
∑
|ν|=2r+1
g̃kνx
ν , t = τk.
Далее, в случае 1 вместо системы (2.1) будем рассматривать систему дифференциальных
уравнений
dx
dt
=
∑
|ν|=2r+1
f̃ν(t)xν , t 6= τk,
(2.3)
∆x(t) =
∑
|ν|=2r+1
g̃kνx
ν(t), t = τk.
Отметим, что устойчивость (асимптотическая устойчивость) состояния равновесия x = 0
системы (2.3) влечет за собой устойчивость (асимптотическую устойчивость) состояния
равновесия y = 0 системы (2.1). В случае, когда функции ci(t0), i = 1, 2, можно выбрать
не зависящими от t0, из равномерной асимптотической устойчивости по t0 ∈ R+ состоя-
ния равновесия x = 0 следует равномерная устойчивость по t0 ∈ R+ состояния равнове-
сия y = 0.
Рассмотрим вопрос о выборе вспомогательной функции Ляпунова. В первом случае
выбор вспомогательной функции ограничен лишь общими свойствами функций Ляпу-
нова, а также условиями устойчивости (асимптотической устойчивости). Целесообразно
функцию Ляпунова выбрать в виде квадратичной формы v(y) = yTPy, где P — симмет-
ричная положительно определенная матрица. Во втором случае выбор функции ограни-
чен свойствами первого приближения, поэтому целесообразно выбрать v(y) = yTPy, где
P = P0 — матрица из условия 2.
3. Теорема об устойчивости. Для исследования устойчивости нулевого решения систе-
мы (2.3) в критическом случае приведем некоторую модификацию теоремы об устойчи-
вости на основе двух вспомогательных функций [7].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
448 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием
dy
dt
= f(t, y), t 6= τk,
(3.1)
∆y(t) = gk(y(t)), t = τk,
где y ∈ Rn, f ∈ C([a,∞)×Ω;Rn), gk ∈ C(Ω;Rn), Ω — открытая связная окрестность точ-
ки y = 0, ∆y = y(t + 0) − y(t), f(t, 0) = 0, gk(0) = 0 и точка y = 0 является изолирован-
ным состоянием равновесия системы (3.1). Последовательность моментов импульсного
воздействия {τk}∞k=1 ⊂ [a,∞) удовлетворяет неравенству
0 < θ1 ≤ τk+1 − τk ≤ θ2 < ∞.
Предположим, что задача Коши для дифференциального уравнения с импульсным воз-
действием (3.1) имеет единственное решение y(t; t0, y0) и функция f(t, y) удовлетворяет
условию Липшица по y равномерно по t ∈ [a,∞), т. е.
‖f(t, y1)− f(t, y2)‖ ≤ L‖y1 − y2‖.
Пусть v(y) ∈ C1(D), w(y) ∈ C1(D) — некоторые вспомогательные функции, D ⊂ Ω
— открытая связная окрестность состояния равновесия y = 0, v(0) = w(0) = 0. Введем
обозначения
G+ = {y ∈ Rn : w(y) > 0},
∂G+ — граница множества G+ и G− = Rn \G+
— внешность множества G+.
Всюду далее Kr обозначает открытый шар с центром в точке 0 радиуса r.
Предположение 3.1. Пусть вспомогательные функции v(y) и w(y) таковы, что:
1)
dw
dt
∣∣∣∣
(3.1)
> 0 при всех y ∈ ∂G+ ∩D = ∂G− ∩D;
2) существуют функции сравнения класса Хана ϕ1, ϕ2 ∈ K такие, что:
a)
dv
dt
∣∣∣∣
(3.1)
≤ ϕ1(v(y)) при всех y ∈ G+ ∩D, t 6= τk,
б)
dv
dt
∣∣∣∣
(3.1)
≤ −ϕ2(v(y)) при всех y ∈ G− ∩D, t 6= τk;
3) существуют функции сравнения класса Хана ψ1, ψ2 ∈ K[0,r0], Kr0 ⊂ D, такие,
что:
a) v(y + gk(y)) ≤ ψ1(v(y))) при всех y ∈ G+ ∩D, t 6= τk,
б) v(y + gk(y)) ≤ ψ2(v(y)) при всех y ∈ G− ∩D, t 6= τk.
Предположение 3.1 позволяет сформулировать следующие условия устойчивости (асимп-
тотической устойчивости) по Ляпунову.
Теорема 3.1. Пусть система уравнений (3.1) такова, что:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 449
1) существует открытая связная окрестность D состояния равновесия y = 0 и
функция v(y) является положительно определенной в области D, т. е. существует
функция a класса Хана такая, что выполняются условия предположения 3.1 и
v(y) ≥ a(‖y‖)
при всех y ∈ D;
2) существует постоянная a0 > 0 такая, что выполняются неравенства
ψ2(a)∫
a
ds
ϕ2(s)
≤ θ1,
a∫
ψ1(a)
ds
ϕ1(s)
≥ θ2
при всех a ∈ (0, a0].
Тогда состояние равновесия y = 0 системы (3.1) устойчиво.
Если выполняются условия 1, 2 и существует постоянная γ > 0 такая, что
ψ2(a)∫
a
ds
ϕ2(s)
+ γ ≤ θ1,
a∫
ψ1(a)
ds
ϕ1(s)
≥ θ2 + γ
при всех a ∈ (0, a0], то состояние равновесия y = 0 системы (3.1) асимптотически
устойчиво.
Доказательство. Устойчивость. Пусть ε > 0 и t0 ∈ R+ заданы, t0 ∈ (τj−1, τj ], R
— положительное число, такое, что KR ⊂ Kr0 ∩ D. Выберем γ̃ < min (a(ε), a(R), a0).
При заданных ε и t0, учитывая непрерывность функции v(y), можно выбрать δ так, что
v(y) < l при ‖y‖ < δ, где l = min {γ̃, ψ1(γ̃)}. Пусть решение y(t; t0, y0) системы (2.3)
начинается в области Kδ = {y ∈ Rn : |‖y‖ < δ}, т. е. y0 ∈ Kδ при t = t0 ∈ (τj−1, τj ].
Рассмотрим поведение решения y(t) в двух случаях:
1) начальные значения y0 ∈ G
+ ∩D;
2) начальные значения y0 ∈ G
− ∩D.
Случай 1. Пусть для любого t ∈ [t0; τj ] справедливо включение y(t; t0, y0) ∈ G
+
. По-
кажем, что на интервале [t0, τj ] решение y(t; t0, y0) не выходит из множества Kε. Предпо-
ложим, что существует момент времени t∗ ∈ [t0, τj ] такой, что
v(y(t; t0, y0)) < γ̃, t ∈ [t0, t
∗), v(y(t∗; t0, y0)) = γ̃.
Тогда имеет место цепочка неравенств
γ̃∫
ψ1(γ̃)
ds
ϕ1(s)
<
γ̃∫
v(y0)
ds
ϕ1(s)
≤
v(y(t∗;t0,y0))∫
v(y0)
ds
ϕ1(s)
≤ t∗ − t0 ≤ θ2.
Учитывая, что γ̃ < a0, получаем противоречие с условием 2 теоремы 3.1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
450 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Таким образом, a(‖y(t; t0, y0)‖) ≤ v(y(t; t0, y0)) < γ̃ < a(ε), откуда следует, что
‖y(t; t0, y0)‖ < ε и y(t; t0, y0) ∈ D.
Докажем, что v(y(τj + 0; t0, y0)) < l. Из условия 2a) предположения 3.1 следует, что
v(y(τj ;t0,y0))∫
v(y0)
ds
ϕ1(s)
≤ τj − t0 ≤ θ2. (3.2)
Учитывая, что v(y(τj ; t0, y0)) < γ̃, из условия 2 теоремы 3.1 находим
v(y(τj ;t0,y0))∫
ψ1(v(y(τj ;t0,y0)))
ds
ϕ1(s)
≥ θ2. (3.3)
Сопоставляя (3.2) и (3.3), получаем
ψ1(v(y(τj ;t0,y0)))∫
v(y0)
ds
ϕ1(s)
≤ 0.
Таким образом,
v(y(τj + 0; t0, y0)) ≤ ψ1(v(y(τj ; t0, y0))) ≤ v(y0) < l.
Предположим, что существует момент времени τ ∈ [t0, τj ] такой, что y(τ ; t0, y0) ∈ G−.
Вследствие непрерывности функции y(t; t0, y0) на интервале (t0, τj) существует интер-
вал (τ∗ − η, τ∗) такой, что для всех t ∈ (τ∗ − η, τ∗) ⊂ [t0, τj) выполняется включение
y(t; t0, y0) ∈ G− ∩D и y(τ∗ − η; t0, y0) ∈ ∂G− ∩D. По условию
w(y(τ∗ − η; t0, y0)) = 0, ẇ(y(t; t0, y0))|t=τ∗−η > 0,
поэтому w(y(t; t0, y0)) > 0 при всех t ∈ (τ∗− η, τ∗− η+α), α — некоторое малое положи-
тельное число, что противоречит включению y(t; t0, y0) ∈ G−∩D при всех t ∈ (τ∗−η, τ∗).
Таким образом, справедливо включение y(t; t0, y0)) ∈ G
+ ∩D при всех t ∈ [t0, τj ], как
только y0 ∈ G
+ ∩D.
Случай 2. Предположим, что для всех t ∈ [t0, τj ] выполняется включение y(t; t0, y0) ∈
∈ G
−
. Покажем, что на интервале [t0, τj ] решение y(t; t0, y0) не выходит из множества
Kε ∩D. Предположим, что существует момент времени t∗ ∈ [t0, τj ] такой, что
v(y(t; t0, y0)) < γ̃, t ∈ [t0, t
∗), v(y(t∗; t0, y0)) = γ̃,
тогда
v(y(t; t0, y0)) = v(y0) +
t∫
t0
Dv(y(s; t0, y0)) ds ≤ v(y0) < l.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 451
Полученное противоречие доказывает, что y(t; t0, y0) ∈ Kε ∩D при всех t ∈ [t0, τj ].
Докажем, что v(y(τj + 0; t0, y0)) < l. Из условия 2б) предположения 3.1 следует, что
v(y0)∫
v(y(τj ;t0,y0))
ds
ϕ2(s)
≥ τj − t0 ≥ θ1.
Учитывая, что v(y(τj ; t0, y0)) < γ̃, и сопоставляя это неравенство с условием 2 теоре-
мы 3.1
ψ2(v(y(τj ;t0,y0)))∫
v(y(τj ;t0,y0))
ds
ϕ2(s)
≤ θ1,
получаем
v(y0)∫
ψ2(v(y(τj ;t0,y0)))
ds
ϕ2(s)
≥ 0.
Далее, используя условие 3б) предположения 3.1, находим
v(y(τj + 0; t0, y0)) ≤ ψ2(v(y(τj ; t0, y0))) ≤ v(y0) < l.
Пусть теперь существует момент времени τ ∈ (t0, τj) такой, что y(τ ; t0, y0) ∈ G+.
Из непрерывности функции w(y(t; t0, y0)) на интервале (t0, τj) следует, что существует
τ∗ ∈ (t0, τj) — наибольший момент времени, для которого y(t; t0, y0) ∈ G
−
. Покажем,
что y(t; t0, y0) ∈ G+ при всех t ∈ (τ∗, τj ]. Действительно, если при некотором ξ ∈ (τ∗, τj)
выполняется включение y(ξ; t0, y0) ∈ G−, то существует момент времени ξ∗ < ξ такой,
что
y(t; t0, y0) ∈ G−, t ∈ (ξ∗, ξ), y(ξ∗; t0, y0) ∈ ∂G−.
Поскольку
w(y(ξ∗; t0, y0)) = 0, ẇ(y(t; t0, y0))|t=ξ∗ > 0,
то w(y(t; t0, y0)) > 0 при всех t ∈ (ξ∗, ξ∗ + β), β > 0, что противоречит установленному
факту y(t; t0, y0) ∈ G− при всех t ∈ (ξ∗, ξ). Таким образом, существует момент времени
η ∈ [t0, τj) такой, что
y(t; t0, y0) ∈ G
−
, t ∈ [t0, η], y(t; t0, y0) ∈ G+, t ∈ (η, τj ].
Покажем, от противного, что решение y(t; t0, y0) не выходит из множества Kε ∩ D при
всех t ∈ [t0, η]. Предположим, что существует момент времени t∗ ∈ [t0, η) такой, что
v(y(t; t0, y0)) < γ̃, t ∈ [t0, t
∗), v(y(t∗; t0, y0)) = γ̃,
тогда
γ̃ = v(y(t∗; t0, y0)) = v(y0) +
t∗∫
t0
Dv(y(s; t0, y0) ds ≤ v(y0) < l < γ̃.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
452 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Полученное противоречие доказывает включение y(t; t0, y0) ∈ Kε∩D при всех t ∈ [t0, η].
Докажем, далее, что y(t; t0, y0) ∈ Kε ∩D при всех t ∈ (η, τj ].
Предположим, от противного, что существует момент времени t̃ ∈ (η, τj ] такой, что
выполняются условия
v(y(t̃; t0, y0)) = γ̃, v(y(t; t0, y0)) < γ̃, t ∈ [η, t̃).
С учетом того, что v(y(η; t0, y0)) < l, имеет место цепочка неравенств
γ̃∫
ψ1(γ̃)
ds
ϕ1(s)
<
γ̃∫
v(y(η;t0,y0))
ds
ϕ1(s)
≤
v(y(t̃;t0,y0))∫
v(y(η;t0,y0))
ds
ϕ1(s)
< t̃− η ≤ τj − t0 ≤ θ2.
Учитывая, что γ̃ < a0, получаем противоречие с условием 2 теоремы 3.1.
Таким образом, a(‖y(t; t0, x0)‖) ≤ v(y(t; t0, y0)) < γ̃ < a(ε) при t ∈ [η, τj ], откуда
следует, что ‖y(t; t0, y0)‖ < ε при t ∈ [η, τj ].
Докажем далее, что v(y(τj + 0; t0, y0)) < l. Из условия 2a) предположения 3.1 следует,
что
v(y(τj ;t0,y0))∫
v(y(η;t0,y0))
ds
ϕ1(s)
≤ τj − η < τj − t0 ≤ θ2. (3.4)
Учитывая, что v(y(τj ; t0, y0)) < γ̃ < a0, из условия 2 теоремы 3.1 находим
v(y(τj ;t0,y0))∫
ψ1(v(y(τj ;t0,y0)))
ds
ϕ1(s)
≥ θ2. (3.5)
Сопоставляя (3.4) и (3.5), получаем
ψ1(v(y(τj ;t0,y0)))∫
v(y(η;t0,y0))
ds
ϕ1(s)
≤ 0.
Отсюда следует, что
v(y(τj + 0; t0, y0)) ≤ ψ1(v(y(τj ; t0, y0))) ≤ v(y(η; t0, y0)) ≤ v(y0) < l.
Таким образом, решение y(t; t0, y0) не выходит из множества Kε ∩ D на интервале
[t0, τj ] и v(y(τj + 0; t0, y0)) < l, а для завершения доказательства достаточно воспользо-
ваться методом математической индукции.
Притяжение. Пусть ρ = δ(∆, t0) > 0 (см. определение 2.1б)). Покажем, что если
y0 ∈ Kρ, то ‖y(t; t0, y0)‖ → 0 при t → ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 453
Последовательность {v(y(τi; t0, y0))}∞k=j , как следует из доказательства устойчивости,
является убывающей, поэтому существует предел этой последовательности, который
обозначим через ξ и предположим, что ξ > 0. Тогда
v(y(τi + 0; t0, y0)) ≥ ξ, i = j, j + 1, . . . .
Докажем, что для всех k = j + 1, . . . выполняется неравенство
v(y(τk−1 + 0; t0, y0))− v(y(τk + 0; t0, y0)) ≥ γ∗, (3.6)
где γ∗ — положительная постоянная.
По доказанному выше возможны три случая:
1) y(t; t0, y0) ∈ G
+ ∩D при всех t ∈ (τk−1, τk];
2) y(t; t0, y0) ∈ G
− ∩D при всех t ∈ (τk−1, τk];
3) существует момент времени η ∈ (τk−1, τk] такой, что y(t; t0, y0) ∈ G−∪∂G− при всех
t ∈ (τk−1, η] и y(t; t0, y0) ∈ G+ ∪ ∂G+ при всех t ∈ [η, τk].
В первом случае из условия 2а) предположения 3.1 следует неравенство
v(y(τi;t0,y0))∫
v(y(τi−1+0;t0,y0))
ds
ϕ1(s)
≤ τi − τi−1 ≤ θ2.
С другой стороны, из условия теоремы 3.1 следует, что
v(y(τi;t0,y0))∫
ψ1(v(y(τi;t0,y0)))
ds
ϕ1(s)
≥ θ2 + γ.
Отсюда находим
ψ1(v(y(τi;t0,y0)))∫
v(y(τi−1+0;t0,y0))
ds
ϕ1(s)
≤ −γ.
Обозначая c1 = minξ≤s≤a0 ϕ1(s), получаем цепочку неравенств
v(y(τi + 0; t0, y0))− v(y(τi−1 + 0; t0, y0))≤ψ1(v(y(τi; t0, y0)))−v(y(τi−1 + 0; t0, y0))≤−γc1.
В случае 2 обозначим c2 = minξ≤s≤a0 ϕ2(s). Вследствие условия теоремы 3.1 имеем
θ1 ≥
ψ2(v(y(τi;t0,y0)))∫
v(y(τi;t0,y0))
ds
ϕ2(s)
+ γ.
Сопоставляя это неравенство с условием теоремы
−
v(y(τi;t0,y0))∫
v(y(τi−1+0;t0,y0))
ds
ϕ2(s)
≥ τi − τi−1 ≥ θ1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
454 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
получаем
v(y(τi−1+0;t0,y0))∫
ψ2(v(y(τi;t0,y0)))
ds
ϕ2(s)
≥ γ.
Таким образом,
v(y(τi−1 + 0; t0, y0))−v(y(τi + 0; t0, y0))≥ v(y(τi−1 + 0; t0, y0))−ψ2(v(y(τi + 0; t0, y0)))≥ γc2.
В третьем случае аналогично случаю 1 можно получить оценку
v(y(τi + 0; t0, y0))− v(y(η; t0, y0)) < −γc1,
исходя из которой, находим
v(y(τi + 0; t0, y0))− v(y(τi−1 + 0; t0, y0) ≤ v(y(τi + 0; t0, y0))− v(y(η; t0, y0))+
+ v(y(η; t0, y0))− v(y(τi−1 + 0; t0, y0)) ≤
≤ −γc1 +
η∫
τi−1
Dv(s, x(s; t0, x0)) ds ≤ −γc1.
Отсюда можем сделать вывод о выполнении неравенства (3.6) c постоянной
γ∗ = min{γc1, γc2}.
Неравенство (3.6) позволяет сделать вывод, что v(y(τi + 0; t0, y0)) → 0 при i → ∞.
Учитывая условие 1 теоремы 3.1, получаем ‖y(τi; t0, y0)‖ → 0 при i → ∞.
Докажем, что для любого ε > 0 существует число σ(ε, t0, x0) > 0 такое, что
‖y(t; t0, x0)‖ < ε при t ≥ t0 + σ(ε, t0, x0).
По доказанному выше для ω(ε) = εe−Lθ2 существует натуральное число N(ε) такое,
что ‖y(τi+ 0; t0, y0)‖ < εe−Lθ2 при i > N(ε). Пусть σ(ε, t0, y0) = τN(ε)+1− t0. На интервале
времени (τi, τi+1] решение y(t; t0, y0) допускает интегральное представление
y(t; t0, y0) = y(τi + 0; t0, y0) +
t∫
τi
f(s, y(s; t0, y0)) ds.
Используя условие Липшица, находим оценку при всех t ∈ (τi, τi+1] :
‖y(t; t0, x0)‖ ≤ ‖y(τi; t0, y0)‖+
t∫
τi
L‖y(s; t0, y0)‖ ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 455
На основе неравенства Гронуолла – Беллмана имеем
‖y(t; t0, y0)‖ ≤ ‖y(τi + 0; t0, y0)‖eL(t−τi) ≤ ‖y(τi + 0; t0, y0)‖eLθ2
при t ∈ (τi, τi+1], поэтому ‖y(t; t0, y0)‖ < εe−Lθ2eLθ2 = ε при t ≥ t0 + σ(ε, t0, y0).
Теорема доказана.
4. Оценки вспомогательной функции и условия устойчивости. Определим операторы
усреднения
Mt{f(t)} = lim
T→∞
1
T
T∫
0
f(s) ds,
Mk{gk} = lim
N→∞
1
N
N∑
k=1
gk
и формы
W1(t, y) =
∑
|ν|=2r+1
(Mt{fν(t)} − fν(t))yν ,
W2(k, y) =
∑
|ν|=2r+1
(yT (Mk{(I +Bk)
TPgkν}−
− (I +Bk)
TPgkν ) + (MT
k {(I +Bk)
TPgkν} − (I +Bk)
TPgkν )y)yν ,
W3(y) =
∑
|ν|=2r+1
(yTPMt{fν(t)}+MT
t {fν(t)}Py)yν ,
W4(y) =
∑
|ν|=2r+1
(yTMk{(I +Bk)
TPgkν}+MT
k {(I +Bk)
TPgkν}y)yν ,
W5(y) =
∑
|ν|=2r+1
(grad yW3(y))TMt{fν(t)}yν .
Для дальнейшего необходимы некоторые предположения относительно введенных форм.
Предположение 4.1. Существуют постоянные L1 > 0, L2 > 0, c0 > 0, ζm, ζM такие,
что
sup
t∈R+
‖W1(t, y)‖ ≤ L1‖y‖2r+1,
sup
k∈Z+
‖W2(k, y)‖ ≤ L2‖y‖2r+2,
ζm ≤
W3(y)
vr+1(y)
≤ ζM ,
‖ grad yW3(y)‖ ≤ c0‖y‖2r+1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
456 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Если ζm < 0, то будем рассматривать отдельно два случая:
A1) существует постоянная δ > 0 такая, что при всех η > 0, η ∈ (−ζM ,−ζm)
(gradyW3(y))TAy ≥ δ‖y‖2r+2
для тех y ∈ D, для которых W3(y) + ηvr+1(y) = 0;
A2) при всех η > 0, η ∈ (−ζM ,−ζm)
(gradyW3(y))TAy ≥ 0
для тех y ∈ D, для которых W3(y) + ηvr+1(y) = 0, и существует постоянная µ > 0
такая, что
W5(y) ≥ µ‖y‖4r+2, y ∈ D.
Рассмотрим однопараметрическое семейство вспомогательных функций
wη(y) = W3(y) + ηvr+1(y), η > 0,
семейства множеств
G+
η = {y ∈ Rn : wη(y) > 0},
G−η = {y ∈ Rn : wη(y) < 0}
и определим функции δ+(η) и δ−(η) :
sup
y∈G+
η
W4(y)
vr+1(y)
= δ+(η), sup
y∈G−
η
W4(y)
vr+1(y)
= δ−(η).
Отметим некоторые, легко проверяемые, свойства семейств множеств G+
η и G−η и функ-
ций δ+(η), δ−(η) :
1) если η1 > η2 и G+
η1 6= Rn, G+
η2 6= Rn, то G+
η1 ⊃ G+
η2 ;
2) если η1 > η2 и G−η1 6= ∅, G−η2 6= ∅, то G−η1 ⊂ G−η2 ;
3) если ζm < 0 и η ∈ (−ζM ,−ζm), η > 0, то G−η 6= ∅ и G+
η 6= ∅, если же ζm ≥ 0, то при
всех η ∈ [0,∞) G−η = ∅;
4) если ζm < 0, то D(δ+) = D(δ−) = (−ζM ,−ζm) ∩ (0,∞) и функция δ+(η) является
возрастающей, а функция δ−(η) — убывающей на множестве D(δ+).
Применим функции v(y) и wη(y) для исследования устойчивости нулевого состояния
равновесия системы (2.1). Рассмотрим условие 1 предположения 3.1. В случае A1 в доста-
точно малой окрестности состояния равновесия y = 0 выполняется неравенство
dwη
dt
∣∣∣∣
(2.1)
≥ δ‖y‖2r+2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 457
В случае A2 в достаточно малой окрестности положения равновесия y = 0 на множестве
∂G+
η = ∂G−η выполняется неравенство
dwη
dt
∣∣∣∣
(2.1)
≥ µ‖y‖4r+2 − η2(r + 1)v2r+1−
− (gradywη(y))T
∑
|ν|=2r+1
(Mt{fν(t)} − fν(t))yν ≥ µ‖y‖4r+2−
− η2λ2r+1
M (P )(r + 1)‖y‖4r+2 − L1‖gradywη(y)‖‖y‖2r+1.
С учетом неравенства
‖gradywη(y)‖ ≤ ‖gradyW3(y)‖+ η‖gradyv
1+r(y)‖ ≤
≤ c0‖y‖2r+1 + η(r + 1)vr(y)‖gradyv(y)‖ ≤ (c0 + 2η(r + 1)‖P‖r+1)‖y‖2r+1
получаем оценку
dwη
dt
∣∣∣∣
(2.1)
≥ (µ− η2λ2r+1
M (P )(r + 1)− L1(c0 + 2η(r + 1)‖P‖r+1))‖y‖4r+2.
Неравенство
µ− η2λ2r+1
M (P )(r + 1)− L1(c0 + 2η(r + 1)‖P‖r+1) > 0
гарантирует выполнение условия 1 предположения 3.1.
Рассмотрим условие 2 предположения 3.1 на множестве G
+
η :
dv
dt
∣∣∣∣
(2.1)
≤ (gradyv(y))T
∑
|ν|=2r+1
Mt{fν(t)}yν−
− (gradyv(y))T
∑
|ν|=2r+1
(Mt{fν(t)} − fν(t))yν ≤ W3(y)+
+ ‖gradyv(y)‖L1‖y‖2r+1 ≤ W3(y) + 2‖P‖L1‖y‖2r+2 ≤
≤
(
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
v1+r.
Рассмотрим условие 2 предположения 3.1 на множестве G
−
η :
dv
dt
∣∣∣∣
(2.1)
≤ −ηv1+r +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
v1+r =
(
−η +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
v1+r.
Рассмотрим условие 3 предположения 3.1 на множестве G
+
η :
v(y(τk + 0)) ≤ v(y(τk)) +
(
δ+(η) +
L2
λ1+rm (P )
)
v1+r + C1v
2(r+1),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
458 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
где C1 — положительная постоянная. Аналогично на множестве G
−
η справедлива оценка
v(y(τk + 0)) ≤ v(y(τk)) +
(
δ−(η) +
L2
λ1+rm (P )
)
v1+r + C2v
2(r+1),
где C2 — положительная постоянная.
Таким образом, в условиях теоремы 3.1 имеем
ϕ1(s) =
(
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
sr+1, ζM + 2‖P‖L1
λ1+rm (P )
> 0,
εsr+1, ζM + 2‖P‖L1
λ1+rm (P )
≤ 0,
ϕ2(s) =
(
η − 2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
s1+r, η >
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
,
ψ1(s) = s+
(
δ+(η) +
L2
λr+1
m (P )
)
s1+r + C1s
2(r+1),
ψ2(s) = s+
(
δ−(η) +
L2
λr+1
m (P )
)
s1+r + C1s
2(r+1),
где ε — произвольное сколь угодно малое положительное число.
Применение теоремы 3.1 приводит к условиям асимптотической устойчивости состоя-
ния равновесия y = 0 системы (2.1), которые распадаются на несколько случаев.
Случай 1. Предположим, что выполняются условия A1 и неравенства
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
> 0,
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
< η < −ζm, η > −ζM ,
δ−(η) +
L2
λr+1
m (P )
< θ1
(
η − 2‖P‖L1
λr+1
m (P )
)
, (4.1)
−
(
δ+(η) +
L2
λr+1
m (P )
)
> θ2
(
ζM +
2‖P‖L1
λr+1
m (P )
)
. (4.2)
Рассмотрим неравенство (4.1), записанное в виде
θ1η − δ−(η) >
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
.
Поскольку левая часть этого неравенства является возрастающей функцией, из неравен-
ства
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
− δ−
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
>
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 459
следует, что неравенство (4.1) выполняется при всех η >
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
. В этом случае обозна-
чим ηM =
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
. Если выполняется неравенство
−θ1ζm − δ−(−ζm − 0) <
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
,
то неравенство (4.1) не выполняется ни в одной точке интервала
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
,−ζm
)
.В этом
случае положим ηM = −ζm. В случае, когда уравнение
θ1η − δ−(η) =
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
имеет (единственный) корень ηM ∈
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
,−ζm
)
, неравенство (4.1) выполняется при
всех η ∈ (ηM ,−ζm). Рассмотрим неравенство (4.2), записанное в виде
δ+(η) < − L2
λ1+rm (P )
− θ2
(
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
.
Если выполняется неравенство
δ+(−ζm − 0) < − L2
λ1+rm (P )
− θ2
(
ζM +
2L1‖P‖
λ1+rm (P )
)
,
то неравенство (4.2) выполняется при всех η ∈
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
,−ζm
)
. В этом случае положим
ηm = −ζm, если же выполняется неравенство
δ+
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
> − L2
λ1+rm (P )
− θ2
(
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
,
то неравенство (4.2) не может выполняться ни при одном η ∈
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
,−ζm
)
. В этом
случае положим ηm =
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
. В случае, когда уравнение
δ+(η) = − L2
λ1+rm (P )
− θ2
(
ζM +
2L1‖P‖
λ1+rm (P )
)
имеет корни на интервале
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
,−ζm
)
, неравенство (4.2) выполняется при всех η ∈
∈
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
, ηm
)
, где ηm —один из корней.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
460 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Итогом приведенных рассуждений является следующее утверждение.
Теорема 4.1. Предположим, что система дифференциальных уравнений (2.1) удовле-
творяет условиям предположения 4.1 и выполняются условие A1 и неравенства
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
> 0,
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
≤ ηM < ηm ≤ −ζm.
Тогда состояние равновесия y = 0 системы (2.1) асимптотически устойчиво.
Случай 2. Предположим, что выполняются условие A1 и неравенства
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
< 0,
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
< η < −ζm, η > −ζM ,
δ−(η) +
L2
λr+1
m (P )
< θ1
(
η − 2‖P‖L1
λr+1
m (P )
)
, (4.3)
δ+(η) +
L2
λr+1
m (P )
< 0. (4.4)
Рассмотрим неравенство (4.3), записанное в виде
θ1η − δ−(η) >
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
.
Поскольку левая часть этого неравенства является возрастающей функцией, из неравен-
ства
−ζMθ1 − δ−(−ζM + 0) >
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
следует, что неравенство (4.3) выполняется при всех η > −ζM . В этом случае обозначим
ηM = −ζM . Если выполняется неравенство
−θ1ζm − δ−(−ζm − 0) <
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
,
то неравенство (4.3) не выполняется ни в одной точке интервала (−ζM ,−ζm). В этом слу-
чае положим ηM = −ζm. В случае, когда уравнение
θ1η − δ−(η) =
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
имеет (единственный) корень ηM ∈ (−ζM ,−ζm), неравенство (4.3) выполняется при всех
η ∈ (ηM ,−ζm).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 461
Если δ+(−ζm − 0) +
L2
λr+1
m (P )
< 0, то положим ηm = −ζm, если же δ+
(
2‖P‖L1
λr+1
m (P )
)
+
+
L2
λr+1
m (P )
> 0, то положим ηm = −ζM . В случае, когда уравнение
δ+(η) +
L2
λr+1
m (P )
= 0
имеет корень на интервале (−ζM ,−ζm), обозначим этот корень через ηm.
Теорема 4.2. Предположим, что система дифференциальных уравнений (2.1) удовле-
творяет условиям предположения 4.1 и выполняются условие A1 и неравенства
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
< 0, −ζM ≤ ηM < ηm ≤ −ζm.
Тогда состояние равновесия y = 0 системы (2.1) асимптотически устойчиво.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости состояния равновесия x = 0 системы (2.1)
в случае A2.
Случай 3. Предположим, что выполняются неравенства
µ− η2λ2r+1
M (P )(r + 1)− L1(c0 + 2η(r + 1)‖P‖r+1) > 0,
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
> 0,
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
< η < −ζm, η > −ζM ,
(
δ−(η) +
L2
λr+1
m (P )
)
< θ1
(
η − 2‖P‖L1
λr+1
m (P )
)
, (4.5)
−
(
δ+(η) +
L2
λr+1
m (P )
)
> θ2
(
ζM +
2‖P‖L1
λr+1
m (P )
)
, (4.6)
µ− c0L1 + L2
1(r + 1)‖P‖ ≥ 0.
Обозначим
ζ∗ =
−L1(r + 1)‖P‖r+1 +
√
(r + 1)(µ− c0L1)‖P‖1+2r + L2
1(r + 1)2‖P‖2(r+1)
(r + 1)λ2r+1
M (P )
,
ζ∗m = min{−ζm, ζ∗}.
Рассмотрим неравенство (4.5), записанное в виде
θ1η − δ−(η) >
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
462 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
Поскольку левая часть этого неравенства является возрастающей функцией, из неравен-
ства
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
− δ−
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
>
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
следует, что неравенство (4.5) выполняется при всех η >
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
. В этом случае обозна-
чим ηM =
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
. Если выполняется неравенство
θ1ζ
∗
m − δ−(ζ∗m − 0) <
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
,
то неравенство (4.5) не выполняется ни в одной точке интервала
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
, ζ∗m
)
. В этом
случае положим ηM = ζ∗m. В случае, когда уравнение
θ1η − δ−(η) =
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
имеет (единственный) корень ηM ∈
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
, ζ∗m
)
, неравенство (4.5) выполняется при
всех η ∈ (ηM , ζ
∗
m). Рассмотрим неравенство (4.6), записанное в виде
δ+(η) < − L2
λ1+rm (P )
− θ2
(
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
.
Если выполняется неравенство
δ+(ζ∗m − 0) < − L2
λ1+rm (P )
− θ2
(
ζM +
2L1‖P‖
λ1+rm (P )
)
,
то неравенство (4.6) выполняется при всех η ∈
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
, ζ∗m
)
. В этом случае положим
ηm = ζ∗m, если же выполняется неравенство
δ+
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
> − L2
λ1+rm (P )
− θ2
(
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
)
,
то неравенство (4.6) не может выполняться ни при одном η ∈
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
, ζ∗m
)
. В этом
случае положим ηm =
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
. Если уравнение
δ+(η) = − L2
λ1+rm (P )
− θ2
(
ζM +
2L1‖P‖
λ1+rm (P )
)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 463
имеет корень ηm ∈
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
, ζ∗m
)
, неравенство (4.6) выполняется при всех
η ∈
(
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
, ηm
)
.
Теорема 4.3. Предположим, что система дифференциальных уравнений удовлетво-
ряет условиям предположения 4.1 и выполняются неравенства
µ− c0L1 + L2
1(r + 1)‖P‖ > 0,
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
> 0,
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
≤ ηM < ηm ≤ ζ∗m.
Тогда состояние равновесия y = 0 системы (2.1) асимптотически устойчиво.
Случай 4. Предположим, что выполняются условие A2 и неравенства
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
< 0,
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
< η < −ζm, η > −ζM ,
δ−(η) +
L2
λr+1
m (P )
< θ1
(
η − 2‖P‖L1
λr+1
m (P )
)
, (4.7)
δ+(η) +
L2
λr+1
m (P )
< 0. (4.8)
Рассмотрим неравенство (4.7), записанное в виде
θ1η − δ−(η) >
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
.
Поскольку левая часть этого неравенства является возрастающей функцией, из неравен-
ства
−ζMθ1 − δ−(−ζM + 0) >
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
следует, что неравенство (4.7) выполняется при всех η > −ζM . В этом случае обозначим
ηM = −ζM . Если выполняется неравенство
θ1ζ
∗
m − δ−(ζ∗m − 0) <
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
,
то неравенство (4.7) не выполняется ни в одной точке интервала (−ζM , ζ∗m).В этом случае
положим ηM = ζ∗m. В случае, когда уравнение
θ1η − δ−(η) =
L2
λ1+rm (P )
+
2θ1‖P‖L1
λ1+rm (P )
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
464 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
имеет (единственный) корень ηM ∈ (−ζM , ζ∗m), неравенство (4.7) выполняется при всех
η ∈ (ηM , ζ
∗
m).
Если δ+(ζ∗m)+
L2
λr+1
m (P )
< 0, то положим ηm = ζ∗m, если же δ+(−ζM +0)+
L2
λr+1
m (P )
> 0,
то положим ηm = −ζM . В случае, когда уравнение
δ+(η) +
L2
λr+1
m (P )
= 0
имеет корень на интервале (−ζM , ζ∗m), обозначим этот корень через ηm.
Теорема 4.4. Предположим, что система дифференциальных уравнений (2.1) удовле-
творяет условиям предположения 4.1 и выполняются условие A2 и неравенства
µ− c0L1 + L2
1(r + 1)‖P‖ > 0,
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
< 0, −ζM ≤ ηM < ηm ≤ ζ∗m.
Тогда состояние равновесия y = 0 системы (2.1) асимптотически устойчиво.
Рассмотрим отдельно случай ζm ≥ 0. В этом случае состояние равновесия x = 0
системы обыкновенных дифференциальных уравнений является вполне неустойчивым,
а множества G−η = ∅ при всех η > 0, поэтому теорема 3.1 неприменима, но можно при-
менить утверждение теоремы 18.2 [1]. Приведем без доказательства соответствующее
утверждение.
Теорема 4.5. Предположим, что система дифференциальных уравнений (2.1) удовле-
творяет условиям предположения 4.1 и выполняются неравенства
−
(
δ+(0) +
L2
λr+1
m (P )
)
>
(
ζM +
2‖P‖L1
λr+1
m (P )
)
θ2.
Тогда состояние равновесия x = 0 системы (2.1) асимптотически устойчиво.
5. Пример. В качестве приложения полученных результатов рассмотрим систему диф-
ференциальных уравнений с импульсным воздействием
dx1
dt
= (−α+ ε cos t)x31 + ε sin tx32,
dx2
dt
= ε sin tx31 + (
α
2
+ ε cos t)x32, t 6= τk,
(5.1)
∆x1(t) = (cosψ − 1)x1 + sinψx2 + γx31 − δ tgψx32,
∆x2(t) = − sinψx1 + (cosψ − 1)x2 − γ tgψx31 − δx32, t = τk,
где α, β, γ, δ — положительные параметры, причем α > β, δ > γ, cosψ > 0, ε — малый
параметр, {τk}∞k=1 — некоторая последовательность, удовлетворяющая неравенствам
0 < θ1 ≤ τk+1 − τk ≤ θ2 < ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 465
Система уравнений линейного приближения
dx1
dt
= 0,
dx2
dt
= 0, t 6= τk,
∆x1(t) = (cosψ − 1)x1 + sinψx2,
∆x2(t) = − sinψx1 + (cosψ − 1)x2, t = τk,
имеет первый интеграл v(x) =
1
2
(x21 + x22). Нетрудно видеть, что
W1(t, x) = −ε(cos tx31 + sin tx32, sin tx
3
1 + cos tx32)
T , W2(k, x) = 0,
W3(x) = −αx41 + βx42, W4(x) =
1
cosψ
(γx41 − δx42) + o(‖x‖4),
W5(x) = 4α2x61 + 4β2x62.
Постоянные в предположении 4.1 есть L1 = |ε|, L2 = 0, c0 = 4α2, µ = 4β2 ζm = −α,
ζM = β. Условия устойчивости состояния равновесия x = 0 системы (3.1) сводятся к
совместности системы неравенств
µ− η2λ2r+1
M (P )(r + 1)− L1(c0 + 2η(r + 1)‖P‖r+1) > 0,
ζM +
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
> 0, η >
2‖P‖L1
λ1+rm (P )
,
(
δ−(η) +
L2
λr+1
m (P )
)
< θ1
(
η − 2‖P‖L1
λr+1
m (P )
)
,
−
(
δ+(η) +
L2
λr+1
m (P )
)
> θ2
(
ζM +
2‖P‖L1
λr+1
m (P )
)
.
Выберем η =
α
2
. Нетрудно вычислить
δ−
(α
2
)
=
γ
cosψ
, δ+
(α
2
)
=
γ(4− 2
√
3)− δ(7− 4
√
3)
cosψ
.
Условия устойчивости системы уравнений (5.1) сводятся к проверке совместности систе-
мы неравенств
|ε|
(
4α+
1
2
)
<
15
16
α, 8|ε| < α(δ(7− 4
√
3)− γ(5− 2
√
3))
δ(7− 4
√
3)− γ(3− 2
√
3)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
466 А. И. ДВИРНЫЙ, В. И. СЛЫНЬКО
γ
cosψ
< θ1
(α
2
− 4|ε|
)
,
δ(7− 4
√
3)− γ(4− 2
√
3)
cosψ
> θ2
(α
2
+ 4|ε|
)
,
γ
δ
<
7− 4
√
3
4− 2
√
3
.
6. Обсуждение результатов. Отметим, что в работах [1, 4, 8] приведены теоремы пря-
мого метода Ляпунова для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздей-
ствием. При этом используются непрерывно дифференцируемые вспомогательные функ-
ции. Теоремы 18.1 – 18.3, приведенные в монографии [1], позволяют установить достаточ-
ные условия устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием. Следует, однако, отметить, что эти условия могут
быть применены лишь в случае наличия свойства асимптотической устойчивости нулево-
го состояния равновесия соответствующей системы обыкновенных дифференциальных
уравнений или (и) свойства асимптотической устойчивости нулевой неподвижной точки
отображения скачка. Таким образом, достаточные условия устойчивости в этих теоремах
не могут быть обращены. Обобщение прямого метода Ляпунова на основе кусочно-диф-
ференцируемых функций Ляпунова приведено в монографии [3] и, в некоторых случаях,
допускает обращение (например, для периодических систем [13]). Однако в этом случае
остается открытым вопрос о построении вспомогательной функции, решающей задачу
об устойчивости (см. также [14]). В работе [7] приведено обобщение теорем 18.1 – 18.3,
использующее две вспомогательные функции. Теорема 3.1 обобщает результаты рабо-
ты [7] и применяется при исследовании устойчивости нулевого решения системы (2.1) в
критическом случае. Отметим, что в отличие от результатов работы [7] в теореме 3.1
несколько ослаблены предположения относительно второй вспомогательной функции
w(y).В пункте 4 исследована асимптотическая устойчивость нулевого решения нестацио-
нарной системы с импульсным воздействием в частных случаях, когда все переменные
являются „критическими” или когда система линейного приближения имеет первый ин-
теграл. Эти результаты проиллюстрированы в пункте 5. Отметим, что в этом примере
при достаточно малых |ε| состояние равновесия x = 0 системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений
dx1
dt
= (−α+ ε cos t)x31 + ε sin tx32,
dx2
dt
= ε sin tx31 +
(α
2
+ ε cos t
)
x32
является неустойчивым. Если рассмотреть точечное отображение
x1 = x1 + (cosψ − 1)x1 + sinψx2 + γx31 − δ tgψx32,
x2 = x2 − sinψx1 + (cosψ − 1)x2 − γ tgψx31 − δx32,
то неподвижная точка x = 0 этого отображения будет неустойчивой. Таким образом,
к исследованию устойчивости состояния равновесия x = 0 системы (5.1) нельзя приме-
нить теоремы 18.1 – 18.3 монографии [1]. Теорема 3.1 и результаты пункта 4 позволяют
установить асимптотическую устойчивость состояния равновесия x = 0 в этом случае.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ . . . 467
1. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 288 с.
2. Перестюк Н. А. Устойчивость решений линейных систем с импульсным воздействием // Вестн. Киев.
ун-та. Математика и механика. — 1977. — № 19. — С. 71 – 76.
3. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. — Singapore:
World Sci., 1989. — 275 p.
4. Перестюк Н. А. К вопросу устойчивости положения равновесия импульсных систем // [Год. на ВУЗ :
Прилож. мат.] — София, 1976. — 11, кн. 1. — С. 145 – 150.
5. Ignat’ev A. O., Ignat’ev O. A., Soliman A. A. Asymptotic stability and instability of the solutions of systems
with impulse action // Math. Notes. — 2006. — 80, № 4. — P. 491 – 499.
6. Ignat’ev A. O. On the stability ofinvariant sets of systems withimpulse effect // Nonlinear Anal. — 2008. —
69. — P. 53 – 72.
7. Мартынюк А. А., Слынько В. И. Об устойчивости движения нелинейной импульсной системы // Прикл.
механика. — 2004. — 40, № 2. — С. 112 – 122.
8. Перестюк М. О., Чернiкова О. С. Деякi сучаснi аспекти теорiї диференцiальних рiвнянь з iмпульсною
дiєю // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 1. — С. 81 – 94.
9. Черникова О.C. Принцип сведения для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздей-
ствием // Укр. мат. журн. — 1982. — 34, № 5. — С. 601 – 607.
10. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Динамические сис-
темы-1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — С. 7 – 149.
11. Бабенко С. В., Слынько В. И. Устойчивость движения нелинейных систем с импульсным воздействи-
ем в критических случаях // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 46 – 52.
12. Слынько В. И. Построение отображений Пуанкаре для голономной механической системы с двумя
степенями свободы при наличии ударов // Прикл. механика. — 2008. — 44, № 5. — С. 115 – 122.
13. Gladilina R. I., Ignat’ev A. O. On the stability of periodic impulsive systems // Mat. Notes. — 2004. — 76, № 1.
— P. 41 – 47.
14. Dvirnyi A. I., Slyn’ko V. I. Stabylity of solutions to impulsive differential equations in critical cases // Sib.
Math. J. — 2011. — 52, № 1. — P. 54 – 62.
Получено 22.04.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
|