Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом

Установлены условия существования непрерывных периодических решений систем линейных разностных уравнений и разработан метод их построения.

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2011
Автор: Богай, Н.А.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2011
Назва видання:Нелінійні коливання
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175517
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом / Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 291-298. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-175517
record_format dspace
spelling irk-123456789-1755172021-02-02T01:29:01Z Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом Богай, Н.А. Установлены условия существования непрерывных периодических решений систем линейных разностных уравнений и разработан метод их построения. We find conditions for existence of continuous periodic solutions to systems of linear difference equations, and develop a method for constructing such solutions. 2011 Article Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом / Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 291-298. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175517 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Установлены условия существования непрерывных периодических решений систем линейных разностных уравнений и разработан метод их построения.
format Article
author Богай, Н.А.
spellingShingle Богай, Н.А.
Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
Нелінійні коливання
author_facet Богай, Н.А.
author_sort Богай, Н.А.
title Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
title_short Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
title_full Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
title_fullStr Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
title_full_unstemmed Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
title_sort періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2011
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175517
citation_txt Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом / Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 291-298. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT bogajna períodičnírozvâzkisistemlíníjnihríznicevihrívnânʹzneperervnimargumentom
first_indexed 2025-07-15T12:50:15Z
last_indexed 2025-07-15T12:50:15Z
_version_ 1837717326766538752
fulltext УДК 517.9 ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З НЕПЕРЕРВНИМ АРГУМЕНТОМ Н. А. Богай Галиц. iн-т iм. В. Чорновола Україна, 46020, Тернопiль, вул. Вербицького, 1/39 We find conditions for existence of continuous periodic solutions to systems of linear difference equations, and develop a method for constructing such solutions. Установлены условия существования непрерывных периодических решений систем линейных разностных уравнений и разработан метод их построения. Системи рiзницевих рiвнянь вигляду x(t+ 1) = k∑ j=0 Aj(t)x(t+ ∆j) + F (t), (1) де t ∈ R, всi елементи матриць Aj(t), j = 0, 1, . . . , k, i вектора F (t) є неперервними функ- цiями, ∆0 = 0, ∆j , j = 1, . . . , k, — довiльнi дiйснi числа, вивчалися багатьма математика- ми (див. [1 – 3] i наведену в них бiблiографiю). Зокрема, в [4 – 7] досить детально дослiдже- но питання про iснування неперервних перiодичних розв’язкiв окремих класiв рiзницевих рiвнянь вигляду (1). Продовжуючи цi дослiдження, в данiй роботi також будемо вивчати питання про iснування перiодичних розв’язкiв системи (1). При цьому припускатимемо виконаними наступнi умови: 1) всi елементи матрицьAj(t), j = 0, 1, . . . , k, i вектораF (t) є неперервними T -перiодич- ними функцiями (T — довiльне додатне число); 2) ‖Aj(t)‖ ≤ a∗j , j = 0, 1, . . . , k, a∗0 < 1, де ‖Aj(t)‖ = max t |Aj(t)|; 3) 1 1− a∗0 k∑ j=1 a∗j = ` < 1. Має мiсце наступна теорема. Теорема 1. Нехай виконуються умови 1 – 3. Тодi система рiвнянь (1) має неперервний T -перiодичний розв’язок. Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (1) має неперервний T -перiодичний розв’я- зок у виглядi ряду x(t) = ∞∑ i=0 xi(t), (2) c© Н. А. Богай, 2011 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3 291 292 Н. А. БОГАЙ де xi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi, поки що не визначенi, неперервнi T -перiодичнi вектор- функцiї. Пiдставляючи (2) в (1), можна переконатися, що якщо вектор-функцiї xi(t), i= 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь x0(t+ 1) = A0(t)x0(t) + F (t), (30) xi(t+ 1) = A0(t)xi(t) + k∑ j=1 Aj(t)xi−1(t+ ∆j), i = 1, 2, . . . , (3i) то ряд (2) є формальним розв’язком системи рiвнянь (1). Отже, спочатку покажемо, що системи рiвнянь (3i), i = 0, 1, . . . , мають неперервнi T -перiодичнi розв’язки xi(t), i = = 0, 1, . . . . Дiйсно, якщо розв’язок системи рiвнянь (30) шукати у виглядi ряду x0(t) = ∞∑ m=1 Cm(t)F (t−m), (40) де Cm(t), m = 1, 2, . . . , — деякi, поки що не визначенi, неперервнi T -перiодичнi матричнi функцiї, то, пiдставляючи (40) в (30), приходимо до висновку, що ряд (40) буде формаль- ним розв’язком системи (30) у випадку, коли виконуються рiвностi C1(t+ 1) = E, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cm(t+ 1) = A0(t)Cm−1(t), m = 2, 3, . . . , звiдки безпосередньо отримуємо C1(t) = E, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5) Cm(t) = m−1∏ j=1 A0(t− j), m = 2, 3, . . . . Отже, ряд (40), коефiцiєнти Cm(t), m = 1, 2, . . . , якого визначаються за допомогою спiв- вiдношень (5), є формальним розв’язком системи рiвнянь (30). Крiм цього, беручи до уваги умови 1 – 3 i спiввiдношення (5), приходимо до висновку, що ряд (40) рiвномiрно збiгається до деякої неперервної T -перiодичної вектор-функцiї x0(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (30) i задовольняє умову |x0(t)| ≤ M 1− a∗0 = M ′, (60) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3 ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 293 де M = maxt |F (t)|. Взявши до уваги (4), послiдовно можна переконатися, що ряди xi(t) = ∞∑ m=1 Cm(t)  k∑ j=1 Aj(t−m)xi−1(t−m+ ∆j)  , i = 1, 2, . . . , (4i) де матрицi Cm(t), m = 1, 2, . . . , визначаються спiввiдношеннями (5), є формальними роз- в’язками вiдповiдних систем (3i), i = 1, 2, . . . . Доведемо, що вони рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних T -перiодичних вектор-функцiй xi(t), i = 1, 2, . . . . Дiйсно, враховуючи (5), (60), (4i), i = 1, 2, . . . , i умови теореми, за iндукцiєю знаходимо |x1(t)| ≤ ∞∑ m=1 a∗m−10  k∑ j=1 a∗j M ′ = M ′ ∑k j=1 a ∗ j 1− a∗0 = M ′`, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6i) |xi(t)| ≤ M ′`i, i = 1, 2, . . . . Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (2), в якому вектор-функцiї xi(t), i = 0, 1, . . . , ви- значаються формулами (4i), i = 0, 1, . . . , i задовольняють умови (6i), i = 0, 1, . . . , рiвно- мiрно збiгається при t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної вектор-функцiї x(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (1) i задовольняє умову |x(t)| ≤ M ′ 1− ` . Теорему доведено. Зауваження 1. Легко показати, що при виконаннi умов теореми 1 побудований вище неперервний T -перiодичний розв’язок системи рiвнянь (1) є єдиним. Отриманi вище умови iснування неперервного T -перiодичного розв’язку системи рiв- нянь (1) не є, очевидно, єдиними. Пiдтвердженням цього є наступна теорема, в якiй дають- ся новi умови iснування неперервного T -перiодичного розв’язку системи рiвнянь (1). Теорема 2. Нехай виконуються умови: 1) всi елементи матриць Aj(t), j = 0, 1, . . . , k, i вектора F (t) є неперервними T -перiодичними функцiями (T — довiльне додатне число); 2) det A0(t) 6= 0, |Aj(t)| ≤ a∗j , j = 1, . . . , k, t ∈ R, |A−10 (t)| ≤ a∗ < 1; 3) a∗ 1− a∗ k∑ j=1 a∗j = ˜̀< 1. Тодi система рiвнянь (1) має єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок. Для доведення теореми достатньо, очевидно, показати, що система рiвнянь (1) має не- перервний T -перiодичний розв’язок у виглядi ряду (2). А для цього, в свою чергу, необхiд- но спочатку показати, що послiдовнiсть систем рiвнянь (3i), i = 0, 1, . . . , має неперервнi T -перiодичнi розв’язки xi(t), i = 0, 1, . . . . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3 294 Н. А. БОГАЙ Розглянемо спочатку систему рiвнянь (30) i покажемо, що вона має неперервний T -перiодичний розв’язок x0(t) у виглядi ряду x0(t) = ∞∑ m=0 C̃m(t)F (t+m), (70) де C̃m(t), m = 0, 1, . . . , — деякi, поки що не вiдомi, неперервнi T -перiодичнi матричнi функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (70) в (30), отримуємо спiввiдношення ∞∑ m=0 C̃m(t+ 1)F (t+ 1 +m) = A0(t) ∞∑ m=0 Cm(t)F (t+m) + F (t), яке, очевидно, виконуватиметься у випадку, коли матрицi C̃m(t), m = 0, 1, . . . , є розв’яз- ками послiдовностi систем рiвнянь A0(t)C̃0(t) + E = 0, A0(t)C̃1(t) = C̃0(t+ 1), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A0(t)C̃m(t) = C̃m−1(t+ 1), m = 1, 2, . . . . Звiдси i з умов теореми знаходимо C̃m(t) = − m∏ j=0 A−10 (t+ j), m = 0, 1, . . . . (8) Таким чином, ряд (70), в якому коефiцiєнти C̃m(t), m = 0, 1, . . . , визначаються формулами (8), є формальним розв’язком системи рiвнянь (30). Оскiльки всi елементи матриць C̃m(t), m = 0, 1, . . . , i вектора F (t) є неперервними T -перiодичними функцiями, то за умовами теореми маємо |C̃m(t)| ≤ am+1 ∗ , m = 0, 1, . . . , i, отже, ряд (70) рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної вектор-функцiї x0(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (30) i задовольняє умову |x0(t)| ≤ ∞∑ m=0 am+1 ∗ |F (t+m)| ≤ M a∗ 1− a∗ = M ′′, (90) де M = maxt |F (t)|. Враховуючи (70), (90) i умови 2, 3 теореми 2, можна по iндукцiї показати, що ряди xi(t) = ∞∑ m=0 C̃m(t)  k∑ j=1 Aj(t+m)xi−1(t+m+ ∆j)  , i = 1, 2, . . . , (7i) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3 ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 295 де матрицi C̃m(t), m = 0, 1, . . . , визначаються формулами (8), рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних T -перiодичних вектор-функцiй xi(t), i = 1, 2, . . . , якi є розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (3i), i = 1, 2, . . . , i задовольняють умови |xi(t)| ≤ M ′′ẽi, i = 1, 2, . . . . (9i) Згiдно з (9i), i = 0, 1, . . . , ряд (2), в якому вектор-функцiї xi(t), i = 0, 1, . . . , визначаються формулами (7i), i = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається при t ∈ R до деякої вектор-функцiї x(t), яка є неперервним T -перiодичним розв’язком системи рiвнянь (1) i задовольняє умо- ву |x(t)| ≤ M ′′ 1− ˜̀ . Припустимо тепер, що iснує ще один неперервний T -перiодичний розв’язок y(t) сис- теми рiвнянь (1) такий, що y(t) 6= x(t). Оскiльки в цьому випадку x(t) ≡ A−10 (t)x(t+ 1)−A−10 (t) k∑ j=1 Aj(t)x(t+ ∆j)−A−10 (t)F (t), y(t) ≡ A−10 (t)y(t+ 1)−A−10 (t) k∑ j=1 Aj(t)y(t+ ∆j)−A−10 (t)F (t), то, беручи до уваги умови теореми, знаходимо |x(t)− y(t) ≤ |A−10 (t)| |x(t+ 1)− y(t+ 1)|+ + |A−10 (t)| k∑ j=1 |Aj(t)| |x(t+ ∆j)− y(t+ ∆j)| ≤ a∗ + a∗ k∑ j=1 a∗j  ‖x(t)− y(t)‖ ≤ ≤ ( a∗ + a∗ ˜̀ 1− a∗ a∗ ) ‖x(t)− y(t)‖ ≤ [ a∗ + (1− a∗)˜̀ ] ‖x(t)− y(t)‖, де ‖x(t)− y(t)‖ = max t |x(t)− y(t)|. Звiдси випливає спiввiдношення ‖x(t)− y(t)‖ ≤ [ a∗ + (1− a∗)˜̀ ] ‖x(t)− y(t)‖, яке (за умовою a∗ + (1 − a∗)˜̀ < 1) може виконуватись лише у випадку, коли x(t) ≡ y(t). Отримана суперечнiсть завершує доведення теореми. Розглянемо тепер систему лiнiйних рiзницевих рiвнянь вигляду x(t+ 1) = A1(t)x(t) + k∑ j=1 A1 j (t)x(t+ ∆j) + k∑ j=1 B1 j (t)y(t+ ∆j) + F 1(t), (10) y(t+ 1) = A2(t)y(t) + k∑ j=1 A2 j (t)y(t+ ∆j) + k∑ j=1 B2 j (t)y(t+ ∆j) + F 2(t) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3 296 Н. А. БОГАЙ при наступних припущеннях: 1) всi елементи матриць A1(t), A2(t), A 1 j (t), B 1 j (t), A2 j (t), B 2 j (t), j = 1, . . . , k, i векторiв F 1(t), F 2(t) є неперервними T -перiодичними функцiями; 2) 0 < ‖A1(t)‖ ≤ a∗1 < 1, ‖A−12 (t)‖ ≤ a∗2 < 1, ‖A1 j (t)‖ ≤ a1j , ‖A2 j (t)‖ ≤ a2j , ‖B1 j (t)‖ ≤ b1j , ‖B2 j (t)‖ ≤ b2j , j = 1, 2, . . . , k, де ‖A(t)‖ = max t |A(t)|; 3) ∆ = max { a∗1 + k∑ j=1 (a1j + b1j ), a ∗ 2 + a∗2 k∑ j=1 (a2j + b2j ) } < 1. Легко переконатися, що в цьому випадку матриця A(t) = diag (A1(t), A2(y)) не задо- вольняє, взагалi кажучи, умови теорем 1, 2. Проте має мiсце наступна теорема. Теорема 3. Нехай виконуються умови 1 – 3. Тодi система рiвнянь (10) має єдиний не- перервний T -перiодичний розв’язок. Доведення теореми можна провести за допомогою методу послiдовних наближень, якi в даному випадку визначаються спiввiдношеннями x0(t) = 0, y0(t) = 0, xm(t) = A1(t− 1)xm−1(t− 1) + k∑ j=1 A1 j (t− 1)xm−1(t− 1 + ∆j)+ + k∑ j=1 B1 j (t− 1)ym−1(t− 1 + ∆j) + F 1(t− 1), ym(t) = A−12 (t)ym−1(t+ 1)−A−12 (t) k∑ j=1 A2 j (t)xm−1(t+ ∆j)− −A−12 (t) k∑ j=1 B2 j (t)ym−1(t+ ∆j −A−12 (t)F 2(t), m = 1, 2, . . . . У зв’язку iз доведеними вище теоремами природно виникає питання про iснування iнших неперервних (наприклад, при t ∈ R) розв’язкiв. Часткову вiдповiдь на нього дає теорема 4, яка буде наведена нижче. Розглянемо систему рiвнянь (1) i припустимо, що для неї виконуються умови 1 – 3 тео- реми 1 i ∆j < 0, j = 1, . . . , k. Оскiльки в цьому випадку, згiдно з теоремою 1, iснує єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок γ(t), то, виконуючи в (1) взаємно однозначну замi- ну змiнних x(t) = y(t) + γ(t), (11) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3 ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 297 отримуємо систему рiвнянь y(t+ 1) = A(t)y(t) + k∑ j=1 Aj(t)y(t+ ∆j), (12) де A(t) = A0(t), для якої має мiсце наступна теорема. Теорема 4. Нехай виконуються умови 1 – 3 теореми 1 i ∆j < 0, j = 1, . . . , k. Тодi сис- тема рiвнянь (12) має сiм’ю неперервних при t ≥ −∆∗ (∆∗ = max1≤j≤k |∆j |) розв’язкiв, що залежать вiд довiльної неперервної при t ∈ [−∆∗, 1) вектор-функцiї ϕ(t). Доведення. Оскiльки для довiльного t ∈ R+ виконується рiвнiсть t = [t] + τ, де [t] — цiла частина t i τ = t− [t] ∈ [0, 1), то при побудовi розв’язкiв системи рiвнянь (12) можна скористатися методом крокiв. Дiйсно, покладемо y(t) = ϕ(t) при t ∈ [−∆∗, 1), (13) де ϕ(t) — довiльна неперервна при t ∈ [−∆∗, 1) вектор-функцiя, що задовольняє умови lim t→1−0 ϕ(t) = ϕ1 6= ∞, (14) ϕ1 = A0ϕ0 + k∑ j=1 Aj(0)ϕ(∆j). Тодi безпосередньо iз (12) послiдовно отримуємо y(τ + 1) = A(τ)ϕ(τ) + k∑ j=1 Aj(τ)ϕ(τ + ∆j), y(τ + 2) = A(τ + 1)y(τ + 1) + k∑ j=1 Aj(τ + 1)y(τ + 1 + ∆j), (15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y(τ + [t]) = y(t) = A(τ + [t]− 1)y(τ + [t]− 1) + k∑ j=1 Aj(τ + [t]− 1)y(τ + [t]− 1 + ∆j). Легко переконатися, що при виконаннi умов (14) всi розв’язки системи рiвнянь (12), якi визначаються формулами (13), (15), є неперервними. Теорему 4 доведено. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3 298 Н. А. БОГАЙ Зауваження 2. При деяких додаткових умовах усi неперервнi розв’язки системи рiв- нянь (12), якi визначаються формулами (13) – (15), мають ряд цiкавих властивостей. На- приклад, якщо ∆j = 0, j = 1, . . . , k, то всi вони задовольняють умову lim t→+∞ y(t) = 0. 1. Kucrma M. Functional equations in a single variable. — Warsawa, 1968. — 383 p. 2. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. — Киев: Наук. думка, 1986. — 280 с. 3. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с пе- риодическими и условно-периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1985. – 216 с. 4. Пелюх Г. П. Общее решение одного класса систем линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. — 1994. — 30, № 3. — С. 514 – 519. 5. Пелюх Г. П. О периодических решениях разностных уравнений с непрерывным аргументом // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 1. — С. 140 – 155. 6. Пелюх Г. П. О существовании периодических решений нелинейных разностных уравнений // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 12. — С. 1626 – 1633. 7. Пелюх Г. П., Богай Н. А. Про асимптотично перiодичнi розв’язки систем лiнiйних рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом // Доп. НАН України. — 2006. — № 11. — С. 19 – 22. Одержано 22.03.10 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3