Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
Установлены условия существования непрерывных периодических решений систем линейных разностных уравнений и разработан метод их построения.
Збережено в:
Дата: | 2011 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | Ukrainian |
Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
Назва видання: | Нелінійні коливання |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175517 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом / Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 291-298. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-175517 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1755172021-02-02T01:29:01Z Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом Богай, Н.А. Установлены условия существования непрерывных периодических решений систем линейных разностных уравнений и разработан метод их построения. We find conditions for existence of continuous periodic solutions to systems of linear difference equations, and develop a method for constructing such solutions. 2011 Article Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом / Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 291-298. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175517 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
description |
Установлены условия существования непрерывных периодических решений систем линейных разностных уравнений и разработан метод их построения. |
format |
Article |
author |
Богай, Н.А. |
spellingShingle |
Богай, Н.А. Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом Нелінійні коливання |
author_facet |
Богай, Н.А. |
author_sort |
Богай, Н.А. |
title |
Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом |
title_short |
Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом |
title_full |
Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом |
title_fullStr |
Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом |
title_full_unstemmed |
Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом |
title_sort |
періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2011 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175517 |
citation_txt |
Періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом / Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 291-298. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
series |
Нелінійні коливання |
work_keys_str_mv |
AT bogajna períodičnírozvâzkisistemlíníjnihríznicevihrívnânʹzneperervnimargumentom |
first_indexed |
2025-07-15T12:50:15Z |
last_indexed |
2025-07-15T12:50:15Z |
_version_ |
1837717326766538752 |
fulltext |
УДК 517.9
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ
РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З НЕПЕРЕРВНИМ АРГУМЕНТОМ
Н. А. Богай
Галиц. iн-т iм. В. Чорновола
Україна, 46020, Тернопiль, вул. Вербицького, 1/39
We find conditions for existence of continuous periodic solutions to systems of linear difference equations,
and develop a method for constructing such solutions.
Установлены условия существования непрерывных периодических решений систем линейных
разностных уравнений и разработан метод их построения.
Системи рiзницевих рiвнянь вигляду
x(t+ 1) =
k∑
j=0
Aj(t)x(t+ ∆j) + F (t), (1)
де t ∈ R, всi елементи матриць Aj(t), j = 0, 1, . . . , k, i вектора F (t) є неперервними функ-
цiями, ∆0 = 0, ∆j , j = 1, . . . , k, — довiльнi дiйснi числа, вивчалися багатьма математика-
ми (див. [1 – 3] i наведену в них бiблiографiю). Зокрема, в [4 – 7] досить детально дослiдже-
но питання про iснування неперервних перiодичних розв’язкiв окремих класiв рiзницевих
рiвнянь вигляду (1). Продовжуючи цi дослiдження, в данiй роботi також будемо вивчати
питання про iснування перiодичних розв’язкiв системи (1). При цьому припускатимемо
виконаними наступнi умови:
1) всi елементи матрицьAj(t), j = 0, 1, . . . , k, i вектораF (t) є неперервними T -перiодич-
ними функцiями (T — довiльне додатне число);
2) ‖Aj(t)‖ ≤ a∗j , j = 0, 1, . . . , k, a∗0 < 1, де ‖Aj(t)‖ = max
t
|Aj(t)|;
3)
1
1− a∗0
k∑
j=1
a∗j = ` < 1.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 1. Нехай виконуються умови 1 – 3. Тодi система рiвнянь (1) має неперервний
T -перiодичний розв’язок.
Доведення. Покажемо, що система рiвнянь (1) має неперервний T -перiодичний розв’я-
зок у виглядi ряду
x(t) =
∞∑
i=0
xi(t), (2)
c© Н. А. Богай, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3 291
292 Н. А. БОГАЙ
де xi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi, поки що не визначенi, неперервнi T -перiодичнi вектор-
функцiї.
Пiдставляючи (2) в (1), можна переконатися, що якщо вектор-функцiї xi(t), i= 0, 1, . . . ,
є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь
x0(t+ 1) = A0(t)x0(t) + F (t), (30)
xi(t+ 1) = A0(t)xi(t) +
k∑
j=1
Aj(t)xi−1(t+ ∆j), i = 1, 2, . . . , (3i)
то ряд (2) є формальним розв’язком системи рiвнянь (1). Отже, спочатку покажемо, що
системи рiвнянь (3i), i = 0, 1, . . . , мають неперервнi T -перiодичнi розв’язки xi(t), i =
= 0, 1, . . . .
Дiйсно, якщо розв’язок системи рiвнянь (30) шукати у виглядi ряду
x0(t) =
∞∑
m=1
Cm(t)F (t−m), (40)
де Cm(t), m = 1, 2, . . . , — деякi, поки що не визначенi, неперервнi T -перiодичнi матричнi
функцiї, то, пiдставляючи (40) в (30), приходимо до висновку, що ряд (40) буде формаль-
ним розв’язком системи (30) у випадку, коли виконуються рiвностi
C1(t+ 1) = E,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cm(t+ 1) = A0(t)Cm−1(t), m = 2, 3, . . . ,
звiдки безпосередньо отримуємо
C1(t) = E,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)
Cm(t) =
m−1∏
j=1
A0(t− j), m = 2, 3, . . . .
Отже, ряд (40), коефiцiєнти Cm(t), m = 1, 2, . . . , якого визначаються за допомогою спiв-
вiдношень (5), є формальним розв’язком системи рiвнянь (30). Крiм цього, беручи до
уваги умови 1 – 3 i спiввiдношення (5), приходимо до висновку, що ряд (40) рiвномiрно
збiгається до деякої неперервної T -перiодичної вектор-функцiї x0(t), яка є розв’язком
системи рiвнянь (30) i задовольняє умову
|x0(t)| ≤
M
1− a∗0
= M ′, (60)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 293
де M = maxt |F (t)|.
Взявши до уваги (4), послiдовно можна переконатися, що ряди
xi(t) =
∞∑
m=1
Cm(t)
k∑
j=1
Aj(t−m)xi−1(t−m+ ∆j)
, i = 1, 2, . . . , (4i)
де матрицi Cm(t), m = 1, 2, . . . , визначаються спiввiдношеннями (5), є формальними роз-
в’язками вiдповiдних систем (3i), i = 1, 2, . . . . Доведемо, що вони рiвномiрно збiгаються
до деяких неперервних T -перiодичних вектор-функцiй xi(t), i = 1, 2, . . . .
Дiйсно, враховуючи (5), (60), (4i), i = 1, 2, . . . , i умови теореми, за iндукцiєю знаходимо
|x1(t)| ≤
∞∑
m=1
a∗m−10
k∑
j=1
a∗j
M ′ = M ′
∑k
j=1 a
∗
j
1− a∗0
= M ′`,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6i)
|xi(t)| ≤ M ′`i, i = 1, 2, . . . .
Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (2), в якому вектор-функцiї xi(t), i = 0, 1, . . . , ви-
значаються формулами (4i), i = 0, 1, . . . , i задовольняють умови (6i), i = 0, 1, . . . , рiвно-
мiрно збiгається при t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної вектор-функцiї x(t), яка
є розв’язком системи рiвнянь (1) i задовольняє умову
|x(t)| ≤ M ′
1− `
.
Теорему доведено.
Зауваження 1. Легко показати, що при виконаннi умов теореми 1 побудований вище
неперервний T -перiодичний розв’язок системи рiвнянь (1) є єдиним.
Отриманi вище умови iснування неперервного T -перiодичного розв’язку системи рiв-
нянь (1) не є, очевидно, єдиними. Пiдтвердженням цього є наступна теорема, в якiй дають-
ся новi умови iснування неперервного T -перiодичного розв’язку системи рiвнянь (1).
Теорема 2. Нехай виконуються умови:
1) всi елементи матриць Aj(t), j = 0, 1, . . . , k, i вектора F (t) є неперервними
T -перiодичними функцiями (T — довiльне додатне число);
2) det A0(t) 6= 0, |Aj(t)| ≤ a∗j , j = 1, . . . , k, t ∈ R, |A−10 (t)| ≤ a∗ < 1;
3)
a∗
1− a∗
k∑
j=1
a∗j = ˜̀< 1.
Тодi система рiвнянь (1) має єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок.
Для доведення теореми достатньо, очевидно, показати, що система рiвнянь (1) має не-
перервний T -перiодичний розв’язок у виглядi ряду (2). А для цього, в свою чергу, необхiд-
но спочатку показати, що послiдовнiсть систем рiвнянь (3i), i = 0, 1, . . . , має неперервнi
T -перiодичнi розв’язки xi(t), i = 0, 1, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
294 Н. А. БОГАЙ
Розглянемо спочатку систему рiвнянь (30) i покажемо, що вона має неперервний
T -перiодичний розв’язок x0(t) у виглядi ряду
x0(t) =
∞∑
m=0
C̃m(t)F (t+m), (70)
де C̃m(t), m = 0, 1, . . . , — деякi, поки що не вiдомi, неперервнi T -перiодичнi матричнi
функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (70) в (30), отримуємо спiввiдношення
∞∑
m=0
C̃m(t+ 1)F (t+ 1 +m) = A0(t)
∞∑
m=0
Cm(t)F (t+m) + F (t),
яке, очевидно, виконуватиметься у випадку, коли матрицi C̃m(t), m = 0, 1, . . . , є розв’яз-
ками послiдовностi систем рiвнянь
A0(t)C̃0(t) + E = 0,
A0(t)C̃1(t) = C̃0(t+ 1),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A0(t)C̃m(t) = C̃m−1(t+ 1), m = 1, 2, . . . .
Звiдси i з умов теореми знаходимо
C̃m(t) = −
m∏
j=0
A−10 (t+ j), m = 0, 1, . . . . (8)
Таким чином, ряд (70), в якому коефiцiєнти C̃m(t), m = 0, 1, . . . , визначаються формулами
(8), є формальним розв’язком системи рiвнянь (30). Оскiльки всi елементи матриць C̃m(t),
m = 0, 1, . . . , i вектора F (t) є неперервними T -перiодичними функцiями, то за умовами
теореми маємо
|C̃m(t)| ≤ am+1
∗ , m = 0, 1, . . . ,
i, отже, ряд (70) рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної
вектор-функцiї x0(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (30) i задовольняє умову
|x0(t)| ≤
∞∑
m=0
am+1
∗ |F (t+m)| ≤ M
a∗
1− a∗
= M ′′, (90)
де M = maxt |F (t)|.
Враховуючи (70), (90) i умови 2, 3 теореми 2, можна по iндукцiї показати, що ряди
xi(t) =
∞∑
m=0
C̃m(t)
k∑
j=1
Aj(t+m)xi−1(t+m+ ∆j)
, i = 1, 2, . . . , (7i)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 295
де матрицi C̃m(t), m = 0, 1, . . . , визначаються формулами (8), рiвномiрно збiгаються до
деяких неперервних T -перiодичних вектор-функцiй xi(t), i = 1, 2, . . . , якi є розв’язками
вiдповiдних систем рiвнянь (3i), i = 1, 2, . . . , i задовольняють умови
|xi(t)| ≤ M ′′ẽi, i = 1, 2, . . . . (9i)
Згiдно з (9i), i = 0, 1, . . . , ряд (2), в якому вектор-функцiї xi(t), i = 0, 1, . . . , визначаються
формулами (7i), i = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається при t ∈ R до деякої вектор-функцiї
x(t), яка є неперервним T -перiодичним розв’язком системи рiвнянь (1) i задовольняє умо-
ву
|x(t)| ≤ M ′′
1− ˜̀
.
Припустимо тепер, що iснує ще один неперервний T -перiодичний розв’язок y(t) сис-
теми рiвнянь (1) такий, що y(t) 6= x(t). Оскiльки в цьому випадку
x(t) ≡ A−10 (t)x(t+ 1)−A−10 (t)
k∑
j=1
Aj(t)x(t+ ∆j)−A−10 (t)F (t),
y(t) ≡ A−10 (t)y(t+ 1)−A−10 (t)
k∑
j=1
Aj(t)y(t+ ∆j)−A−10 (t)F (t),
то, беручи до уваги умови теореми, знаходимо
|x(t)− y(t) ≤ |A−10 (t)| |x(t+ 1)− y(t+ 1)|+
+ |A−10 (t)|
k∑
j=1
|Aj(t)| |x(t+ ∆j)− y(t+ ∆j)| ≤
a∗ + a∗
k∑
j=1
a∗j
‖x(t)− y(t)‖ ≤
≤
(
a∗ + a∗ ˜̀
1− a∗
a∗
)
‖x(t)− y(t)‖ ≤
[
a∗ + (1− a∗)˜̀
]
‖x(t)− y(t)‖,
де ‖x(t)− y(t)‖ = max t |x(t)− y(t)|. Звiдси випливає спiввiдношення
‖x(t)− y(t)‖ ≤
[
a∗ + (1− a∗)˜̀
]
‖x(t)− y(t)‖,
яке (за умовою a∗ + (1 − a∗)˜̀ < 1) може виконуватись лише у випадку, коли x(t) ≡ y(t).
Отримана суперечнiсть завершує доведення теореми.
Розглянемо тепер систему лiнiйних рiзницевих рiвнянь вигляду
x(t+ 1) = A1(t)x(t) +
k∑
j=1
A1
j (t)x(t+ ∆j) +
k∑
j=1
B1
j (t)y(t+ ∆j) + F 1(t),
(10)
y(t+ 1) = A2(t)y(t) +
k∑
j=1
A2
j (t)y(t+ ∆j) +
k∑
j=1
B2
j (t)y(t+ ∆j) + F 2(t)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
296 Н. А. БОГАЙ
при наступних припущеннях:
1) всi елементи матриць A1(t), A2(t), A
1
j (t), B
1
j (t), A2
j (t), B
2
j (t), j = 1, . . . , k, i векторiв
F 1(t), F 2(t) є неперервними T -перiодичними функцiями;
2) 0 < ‖A1(t)‖ ≤ a∗1 < 1, ‖A−12 (t)‖ ≤ a∗2 < 1,
‖A1
j (t)‖ ≤ a1j , ‖A2
j (t)‖ ≤ a2j ,
‖B1
j (t)‖ ≤ b1j , ‖B2
j (t)‖ ≤ b2j , j = 1, 2, . . . , k,
де ‖A(t)‖ = max t |A(t)|;
3) ∆ = max
{
a∗1 +
k∑
j=1
(a1j + b1j ), a
∗
2 + a∗2
k∑
j=1
(a2j + b2j )
}
< 1.
Легко переконатися, що в цьому випадку матриця A(t) = diag (A1(t), A2(y)) не задо-
вольняє, взагалi кажучи, умови теорем 1, 2. Проте має мiсце наступна теорема.
Теорема 3. Нехай виконуються умови 1 – 3. Тодi система рiвнянь (10) має єдиний не-
перервний T -перiодичний розв’язок.
Доведення теореми можна провести за допомогою методу послiдовних наближень,
якi в даному випадку визначаються спiввiдношеннями
x0(t) = 0, y0(t) = 0,
xm(t) = A1(t− 1)xm−1(t− 1) +
k∑
j=1
A1
j (t− 1)xm−1(t− 1 + ∆j)+
+
k∑
j=1
B1
j (t− 1)ym−1(t− 1 + ∆j) + F 1(t− 1),
ym(t) = A−12 (t)ym−1(t+ 1)−A−12 (t)
k∑
j=1
A2
j (t)xm−1(t+ ∆j)−
−A−12 (t)
k∑
j=1
B2
j (t)ym−1(t+ ∆j −A−12 (t)F 2(t), m = 1, 2, . . . .
У зв’язку iз доведеними вище теоремами природно виникає питання про iснування
iнших неперервних (наприклад, при t ∈ R) розв’язкiв. Часткову вiдповiдь на нього дає
теорема 4, яка буде наведена нижче.
Розглянемо систему рiвнянь (1) i припустимо, що для неї виконуються умови 1 – 3 тео-
реми 1 i ∆j < 0, j = 1, . . . , k. Оскiльки в цьому випадку, згiдно з теоремою 1, iснує єдиний
неперервний T -перiодичний розв’язок γ(t), то, виконуючи в (1) взаємно однозначну замi-
ну змiнних
x(t) = y(t) + γ(t), (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 297
отримуємо систему рiвнянь
y(t+ 1) = A(t)y(t) +
k∑
j=1
Aj(t)y(t+ ∆j), (12)
де A(t) = A0(t), для якої має мiсце наступна теорема.
Теорема 4. Нехай виконуються умови 1 – 3 теореми 1 i ∆j < 0, j = 1, . . . , k. Тодi сис-
тема рiвнянь (12) має сiм’ю неперервних при t ≥ −∆∗ (∆∗ = max1≤j≤k |∆j |) розв’язкiв,
що залежать вiд довiльної неперервної при t ∈ [−∆∗, 1) вектор-функцiї ϕ(t).
Доведення. Оскiльки для довiльного t ∈ R+ виконується рiвнiсть
t = [t] + τ,
де [t] — цiла частина t i τ = t− [t] ∈ [0, 1), то при побудовi розв’язкiв системи рiвнянь (12)
можна скористатися методом крокiв. Дiйсно, покладемо
y(t) = ϕ(t) при t ∈ [−∆∗, 1), (13)
де ϕ(t) — довiльна неперервна при t ∈ [−∆∗, 1) вектор-функцiя, що задовольняє умови
lim
t→1−0
ϕ(t) = ϕ1 6= ∞,
(14)
ϕ1 = A0ϕ0 +
k∑
j=1
Aj(0)ϕ(∆j).
Тодi безпосередньо iз (12) послiдовно отримуємо
y(τ + 1) = A(τ)ϕ(τ) +
k∑
j=1
Aj(τ)ϕ(τ + ∆j),
y(τ + 2) = A(τ + 1)y(τ + 1) +
k∑
j=1
Aj(τ + 1)y(τ + 1 + ∆j),
(15)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y(τ + [t]) = y(t) = A(τ + [t]− 1)y(τ + [t]− 1) +
k∑
j=1
Aj(τ + [t]− 1)y(τ + [t]− 1 + ∆j).
Легко переконатися, що при виконаннi умов (14) всi розв’язки системи рiвнянь (12), якi
визначаються формулами (13), (15), є неперервними.
Теорему 4 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
298 Н. А. БОГАЙ
Зауваження 2. При деяких додаткових умовах усi неперервнi розв’язки системи рiв-
нянь (12), якi визначаються формулами (13) – (15), мають ряд цiкавих властивостей. На-
приклад, якщо ∆j = 0, j = 1, . . . , k, то всi вони задовольняють умову
lim
t→+∞
y(t) = 0.
1. Kucrma M. Functional equations in a single variable. — Warsawa, 1968. — 383 p.
2. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. —
Киев: Наук. думка, 1986. — 280 с.
3. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с пе-
риодическими и условно-периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1985. – 216 с.
4. Пелюх Г. П. Общее решение одного класса систем линейных разностных уравнений с периодическими
коэффициентами // Дифференц. уравнения. — 1994. — 30, № 3. — С. 514 – 519.
5. Пелюх Г. П. О периодических решениях разностных уравнений с непрерывным аргументом // Укр.
мат. журн. — 1996. — 48, № 1. — С. 140 – 155.
6. Пелюх Г. П. О существовании периодических решений нелинейных разностных уравнений // Укр. мат.
журн. — 2002. — 54, № 12. — С. 1626 – 1633.
7. Пелюх Г. П., Богай Н. А. Про асимптотично перiодичнi розв’язки систем лiнiйних рiзницевих рiвнянь
з неперервним аргументом // Доп. НАН України. — 2006. — № 11. — С. 19 – 22.
Одержано 22.03.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
|