Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений
The asymptotic forms of solutions of singularly perturbed differential equation of the third order with a pseudodifferential turning point is constructed.
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175530 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений / В.Н. Бобочко, В.А. Болилый // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 170-176. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175530 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755302021-02-02T01:27:25Z Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений Бобочко, В.Н. Болилый, В.А. The asymptotic forms of solutions of singularly perturbed differential equation of the third order with a pseudodifferential turning point is constructed. Побудовано рiвномiрну асимптотику сингулярно збуреного диференцiального рiвняння третього порядку з псевдодиференцiальною точкою звороту. 1999 Article Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений / В.Н. Бобочко, В.А. Болилый // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 170-176. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175530 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
The asymptotic forms of solutions of singularly perturbed differential equation of the third order with a pseudodifferential turning point is constructed. |
| format |
Article |
| author |
Бобочко, В.Н. Болилый, В.А. |
| spellingShingle |
Бобочко, В.Н. Болилый, В.А. Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бобочко, В.Н. Болилый, В.А. |
| author_sort |
Бобочко, В.Н. |
| title |
Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений |
| title_short |
Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений |
| title_full |
Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений |
| title_fullStr |
Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений |
| title_full_unstemmed |
Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений |
| title_sort |
псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175530 |
| citation_txt |
Псевдодифференциальная точка поворота в теории сингулярных возмущений / В.Н. Бобочко, В.А. Болилый // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 170-176. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT bobočkovn psevdodifferencialʹnaâtočkapovorotavteoriisingulârnyhvozmuŝenij AT bolilyjva psevdodifferencialʹnaâtočkapovorotavteoriisingulârnyhvozmuŝenij |
| first_indexed |
2025-07-15T12:50:57Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:50:57Z |
| _version_ |
1837717371453702144 |
| fulltext |
т. 2 •№ 2 • 1999
УДК 517.9
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧКА ПОВОРОТА
В ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В.Н. Бобочко, В.А. Болилый
Кировоград. пед. ун-т,
Украина, 316050, Кировоград, ул. Шевченко, 1
e-mail: bobochv@kspu.kr.ua;
basilb@kspu.kr.ua
The asymptotic forms of solutions of singularly perturbed differential equation of the third order with
a pseudodifferential turning point is constructed.
Побудовано рiвномiрну асимптотику сингулярно збуреного диференцiального рiвняння
третього порядку з псевдодиференцiальною точкою звороту.
1. Введение. Рассмотрим сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение
(СВДУ)
Lεy(x, ε) ≡ ε3y′′′(x, ε) + ε2a(x)y′′(x, ε) + εb(x)y′(x, ε) + c(x)y(x, ε) = 0 (1)
при ε→ +0, x ∈ I = [0; l].
Сингулярно возмущенное уравнение (1) будем исследовать при выполнении таких
условий:
1) a(x), b(x), c(x) ∈ C∞[I];
2) корни характеристического уравнения
k3 + a(x)k2 + b(x)k + c(x) = 0
удовлетворяют условиям
k3(x) < 0, k1,2(x) = ±ı
√
xk̃(x),
причем k̃(x) > 0 для всех x ∈ [0; l].
Из условия 2 следует, что точка x = 0 является точкой поворота для СВДУ (1).
В настоящее время скалярные и векторные СВДУ с точкой поворота изучены до-
статочно хорошо [1 10]. Разработаны методы построения равномерной асимптотики
решения этих уравнений. Классическим методом построения равномерной асимптотики
решения уравнения Лиувилля является метод Лангера [1 3]. Одним из авторов данной
работы разработан метод исследования и построения равномерной асимптотики реше-
ния различных задач как для скалярных уравнений Лиувилля и Орра Зоммерфельда,
так и для систем СВДУ с точкой поворота вида
εW ′′(x, ε)−AW (x, ε) = h(x), (2)
170 c© В.Н. Бобочко, В.А. Болилый, 1999
где A линейный оператор, заданный в Rn, а W (x, ε) искомая вектор-функция (см.,
например, [7 10]).
Следовательно, можно утверждать, что основные результаты по исследованию ска-
лярных и векторных уравнений вида (2) получены. Для систем СВДУ общего вида В. Ва-
зовым получены определенные результаты (см. [4], гл. 8).
Р. Лангер, получив фундаментальные результаты по исследованию уравнения Лиу-
вилля, приступил к исследованию однородного уравнения (1). В работе [2] была постро-
ена фундаментальная система решений (ФСР) уравнения (1). Однако, следует заметить,
что результаты работы [2] так и не были обобщены на системы СВДУ.
Целью настоящей работы является обобщение метода, разработанного для скаляр-
ных и векторных уравнений вида (2) (см. [7 10]), на общий случай скалярных и век-
торных СВДУ. Трудность исследования СВДУ (1) по сравнению с известными исследова-
ниями классического уравнения Лиувилля состоит в следующем. Уравнение Лиувилля и
система (2) содержат алгебраическую точку поворота. В исследуемом случае в точке по-
ворота x = 0 обращается в нуль не только функция c(x), а и коэффициент возле первой
производной, т. е. функция b(x).
Исходя из изложенного, точку x = 0 будем называть псевдодифференциальной точ-
кой поворота первого порядка.
На трудности исследования СВДУ с дифференциальными точками поворота указано
и в монографии [5, с. 52 64], в которой строится асимптотика решений СВДУ второго
порядка методом согласования асимптотических разложений.
2. Понижение порядка СВДУ. Согласно классической теории Шлезингера Биркго-
фа, можно построить одно частное решение y3(x, ε) однородного уравнения (1), соответ-
ствующее стабильному корню k3(x). Поскольку в дальнейшем мы будем использовать
решение y3(x, ε), запишем его в явном виде
y3(x, ε) = exp
1
ε
x∫
0
k3(x)dx
∞∑
s=0
εsZ3s(x), (3)
где Z3s(x) решения дифференциальных уравнений
dP (k3)
dk3
Z ′3s(x) + k′3(x)(3k3(x) + a(x))Z3s(x) = −3k3(x)Z ′′3(s−1)(x)−
−3k′3(x)Z ′3(s−1)(x)− k′′3(x)Z3(s−1)(x)− a(x)Z3(s−1)(x)− Z ′′′3(s−1)(x),
при s = 0,∞.
Введем замену
y(x, ε) = y3(x, ε)
x∫
0
Ũ(x, ε)dx (4)
(Ũ(x, ε) новая неизвестная функция).
Подставляя (4) в уравнение (1) и учитывая тот факт, что Lεy3(x, ε) ≡ 0, для определе-
ния неизвестной функции U(x, ε) получим дифференциальное уравнение
ε2Ũ ′′(x, ε) + εp(x, ε)Ũ ′(x, ε) + q(x, ε)Ũ(x, ε) = 0, (5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 171
где
p(x, ε) ≡ −k3(x) + 3ε
y′3(x, ε)
y3(x, ε)
, q(x, ε) = xk̃(x)− 2εk3(x)
y′3(x, ε)
y3(x, ε)
+ 3ε2 y
′′
3(x, ε)
y3(x, ε)
. (6)
Исследуем более детально полученные коэффициенты уравнения (5). С учетом част-
ного решения y3(x, ε) (см. (3)) можно получить равенства
y′3(x, ε)
y3(x, ε)
=
k3(x)
ε
+
∞∑
s=0
εsỹ3s(x),
y′′3(x, ε)
y3(x, ε)
=
k2
3(x)
ε2
+
∞∑
s=−1
εs˜̃y3(x). (7)
Тогда коэффициенты уравнения (5) имеют вид
p(x, ε) = 2k3(x) +
∞∑
s=1
εsps(x), q(x, ε) = xk̃(x) + k3(x) +
∞∑
s=1
qs(x). (8)
Вывод 1. Таким образом, для определения остальных двух частных решений уравне-
ния (1) нами получено дифференциальное уравнение (5) второго порядка, коэффициен-
ты которого определяются равенствами (8).
Чтобы выявить особенности решения уравнения (5), необходимо определить и иссле-
довать корни характеристического уравнения. С учетом формул (6) (8) получим следу-
ющие корни характеристического уравнения, соответствующего СВДУ (5):
λ1,2(x) ≡ −k3(x)± ı
√
xk̃(x) ∀ x ∈ [0; l]. (9)
Вывод 2. Мы получили СВДУ (5), для которого λ1(0) = λ2(0) = −p0(x)
2
≡ −k3(0) 6= 0.
Для дальнейших исследований уравнения (5) приведем его к стандартному виду урав-
нения Лиувилля.
С этой целью используем классическую подстановку
Ũ(x, ε) = exp
− 1
2ε
x∫
0
p(x, ε)dx
W (x, ε). (10)
Тогда относительно неизвестной функции W (x, ε) получим уравнение
ε2W ′′(x, ε) + [r(x, ε) + εg(x, ε)]W (x, ε) = 0. (11)
Здесь
r(x, ε) ≡ q(x, ε)− p2(x, ε)
4
≡
∞∑
n=0
εrrn(x), g(x, ε) ≡ −p
′(x, ε)
2
≡
∞∑
n=0
εrgn(x),
где, в свою очередь,
r0(x) ≡ xk̃(x), g0 ≡ −k′3(x).
Анализируя уравнение (11), записанное в классическом виде уравнения Лиувилля,
можно сделать следующие выводы:
а) поскольку r0(0) = 0, то точка x = 0 является точкой поворота и для СВДУ (11);
172 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
б) в зависимости от значения r0(x) при x ∈ (0; l] точка x = 0 будет стабильной точкой
поворота при r0(x) > 0 и нестабильной при r0(x) < 0;
в) поскольку g0(x) ≡ −p
′(x)
2
6≡ 0, т. е. εg(x, ε) = O(ε), уравнение (11) является уравне-
нием Лиувилля с сильной точкой поворота (см. [8]).
В частном случае, когда k′3(x) ≡ 0, имеем εg(x, ε) = O(ε2), т. е. точка x = 0 является
обыкновенной точкой поворота для уравнения (11) и дальнейшие исследования уравне-
ния (11) значительно упрощаются.
Случай сильной точки поворота в уравнении Лиувилля впервые был выделен и иссле-
дован автором в работе [8]. Результат, полученный в упомянутой работе, позволил начать
исследования СВДУ с псевдодифференциальной точкой поворота.
3. Построение ФСР уравнения Лиувилля с сильной точкой поворота. Будем предпо-
лагать, что r0(x) > 0 при x ∈ (0; l], т. е. точка x = 0 является стабильной точкой поворота.
Поскольку формализм построения асимптотики решения уравнения Лиувилля с сильной
точкой поворота изучен, построение ФСР уравнения (11) опишем схематически.
Линейно независимые решения уравнения (11) имеют вид
Wi(x, t, ε) =
∞∑
n=0
µn[Vin(x, µ)Ui(t) + µ2Qin(x, µ)U ′i(t)], µ = 3
√
ε. (12)
Здесь Ui(t) функции Эйри Дородницына (см. [6]), в которых переменная t определя-
ется равенством t = µ−2ϕ(x, µ), где регуляризующая функция ϕ(x, µ) является решением
задачи
ϕ
′2(x, µ)ϕ(x, µ) = r0(x) + εg0(x), ϕ(0, µ) = 0,
т. е.
ϕ(x, µ) ≡
3
2
x∫
0
√
r0(x) + εg0(x) dx
2/3
.
Коэффициенты решений (12) определяются из рекуррентных уравнений
dVin(x, µ) = 0, DQin(x, µ) = 0, n = 0, 1,
dVin(x, µ) = 0, DQin(x, µ) = −V ′′i(n−2)(x), n = 2, 3,
dVin(x, µ) = −Q′′i(n−4)(x, µ), DQin(x, µ) = −V ′′i(n−2)(x, µ), n ≥ 4,
(13)
в которых
d ≡ 2ϕ′(x, µ)
d
dx
+ ϕ′′(x, µ), D ≡ ϕ(x, µ)d. (14)
Замечание 1. Поскольку операторы (14) зависят от малого параметра µ > 0, то и
решения уравнений (13) тоже зависят от этого параметра. Однако, следует заметить, что
малый параметр µ > 0 входит в эти функции не произвольно, а как единое многообразие
ϕ(x, µ).
Решая рекуррентную серию дифференциальных уравнений (13), причем при услови-
ях |Qin(0)| < ∞, n ≥ 0, определяем коэффициенты формальных решений (12). Решения
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 173
Vin(x, µ) будут содержать произвольные постоянные множители V 0
in. Используя произ-
вольность множителей V 0
in, однозначно определяем первое решение (12), удовлетворяю-
щее начальному условию W1(0, 0, ε) = 1. Другие произвольные постоянные V 0
in использу-
ем для однозначного определения второго решения (12), удовлетворяющего начальному
условию W ′2(0, 0, ε) = µ−4.
Легко проверить, что
WBp.[Wi(0, 0, ε)] = µ−4[1 +O(µ5)].
Поскольку µ > 0, то WBp.[Wi(0, 0, ε)] 6= 0. Следовательно, формальные решения (12)
образуют ФСР уравнения (11).
Проведем сужение в частных решениях (12) при t = µ−2ϕ(x, ε) ≡ Φ(x, ε). Получим
равенства
Wi(x,Φ(x, ε), ε) =
∞∑
n=0
µn
[
Vin(x, µ)Ui(Φ(x, ε)) + µ2Qin(x, µ)
dUi(Φ(x, ε))
dΦ(x, ε)
]
.
Возвратимся к исходному СВДУ (1). Используя равенства (4) и (10), получаем два
линейно независимых решения уравнения (1) следующего вида:
yi(x, ε) = y3(x, ε)
x∫
0
exp
− 1
2ε
x∫
0
p(x, ε)dx
Wi(x,Φ(x, ε), ε)dx, i = 1, 2. (15)
Покажем, что два полученных частных решения (15) и решение (3) образуют ФСР
рассматриваемого уравнения (1). С этой целью найдем производные и выделим главные
слагаемые в выражениях y(s)
i (0, ε), i, s = 1, 2. Имеем
y′i(x, ε) = y′3(x, ε)
x∫
0
Ũi(x, ε)dx+
+ys(x, ε) exp
− 1
2ε
x∫
0
p(x, ε)dx
Wi(x, ε), i = 1, 2. (16)
Тогда
y1(0, ε) = Z30(0)[1 +O(ε)][V10(0) +O(µ)]. (17)
Определим производную
y′′i (x, ε) = y′′3(x, ε)
x∫
0
Ũi(x, ε)dx+ exp
− 1
2ε
x∫
0
p(x, ε)dx
×
×
[
2y′3(x, ε)Wi(x, ε)− y3(x, ε)
p(x, ε)
2ε
Wi(x, ε) + y3(x, ε)
dWi(x, ε)
dx
]
.
Получим
y′′1(0, ε) =
k3(x)
ε
Z30(0)V10(0, µ)[1 +O(µ)]. (18)
174 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Из равенства (16) при i = 2 определим начальное условие
y′2(0, ε) = Z30(0)Q22(0, µ)[1 +O(µ)], (19)
а из (15) при i = 2 имеем
y′′2(0, ε) =
ϕ′(0, ε)
µ2
Z30(0)V20(0, µ)[1 +O(µ)]. (20)
С учетом равенств (3), (4), (9), (15) и начальных условий (17), (19), (18), (20) определи-
тель Вронского представим в виде
WBp.[yi(0, ε)] = Z3
30(0)V10(0, µ)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 +O(µ)
Q22(0, µ)
µ4
[1 +O(µ)]
k3(0)
ε
[1 +O(µ)]
ϕ′(0, ε)
µ2
V20(0, µ)[1 +O(µ)]
∣∣∣∣∣∣∣∣ ≡
= Z3
30(0)V10(0, µ)
1
µ7
k3(0)Q22(0, µ)[1 +O(µ)]. (21)
Все множители правой части равенства (21) не равны нулю, т. е. WBp. 6= 0. Следова-
тельно, частные решения yi(x, ε), i = 1, 3, образуют ФСР уравнения (1).
Замечание 2. При необходимости соответствующие начальные значения, входящие в
(21), всегда можно выбрать таким образом, чтобы
WBp.[yi(0, ε)] =
k3(0)
µ7
[1 +O(µ)].
Запишем частные решения (12) в виде тождеств
Wi(x, t, ε) ≡Wip(x, t, ε) + µp+1ξi(p+1)(x, t, ε), i = 1, 2, (22)
где Wip(x, t, ε) p-частичная сумма ряда (12), а µp+1ξi(p+1)(x, t, ε) остаточный член
этого ряда.
Проведем сужение в тождестве (22) при t = Φ(x, ε). В результате получим тождества
Wi(x,Φ(x, ε), ε) ≡Wip(x,Φ(x, ε), ε) + µp+1ξi(p+1)(x,Φ(x, ε), ε). (23)
Известно, что при достаточно малых значениях параметра ε > 0 справедливы оценки
‖ξi(p+1)(x,Φ(x, ε), ε)‖ ≤ Ki, (24)
где постоянные Ki не зависят от малого параметра ε > 0 и x ∈ I .
Для частного решения y3(x, ε), согласно теореме Шлезингера Биркгофа, имеет ме-
сто асимптотическое равенство
y3(x, ε) = exp
1
ε
x∫
0
k3(x)dx
[Z3p(x, ε) +O(εp+1)], (25)
где
Z3p(x, ε) =
p∑
s=0
εpZ3s(x).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 175
С учетом соотношений (23) (25) получим два линейно независимых решения урав-
нения (1) в виде
yi(x, ε) = exp
1
ε
x∫
0
k3(x)dx
[ p∑
s=0
εpZ3s(x) +O(εp+1)
]
×
×
x∫
0
exp
− 1
2ε
x∫
0
p(x, ε)dx
[
Wip(x,Φ(x, ε), ε) +O
(
ε
p+1
3
)]
, i = 1, 2. (26)
Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.
Теорема. Пусть выполняются условия 1 и 2. Тогда при достаточно малых значени-
ях параметра ε > 0 на отрезке I = [0; l] существуют три линейно независимых решения
уравнения (1), описываемые формулами (3), (15), (26).
1. Langer R. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equation of the second order with special
reference to a turning point // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. 67. P. 461 490.
2. Langer R. On the asymptotic forms of ordinary linear differencial equations of the third order in a region
containing a turning point // Ibid. 1955. 80. P. 93 123.
3. Langer R. The solutions of a class of ordinary linear differencial equations of the third order in a region
containing a multiple turning point // Duke Math. J. 1956. 23. P. 93 110.
4. Вазов В. Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.
464 с.
5. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
336 с.
6. Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых
особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // Успехи мат. наук. 1952. 7, № 6.
С. 3 96.
7. Бобочко В.Н. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с точкой по-
ворота // Дифференц. уравнения. 1991. 27, № 9. С. 1505 1515.
8. Бобочко В.Н., Матвеев Н.М. Уравнение Лиувилля с сильной точкой поворота // Качественная теория
сложных систем. СПб., 1994. С. 39 49.
9. Бобочко В.Н. Системы дифференциальных уравнений с сильной точкой поворота // Укр. мат. журн.
1997. 49, № 11. С. 1543 1547.
10. Бобочко В.Н. Система дифференциальных уравнений с точкой поворота в случае недиагонализируе-
мого предельного оператора // Дифференц. уравнения. 1998. 34, № 10. С. 1304 1312.
Получено 11.11.98
176 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
|