Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією
Вивчається питання стiйкостi тривiального розв’язку лiнiйної однорiдної системи другого порядку з постiйними коефiцiєнтами, яка пiддається iмпульснiй дiї при досягненнi траєкторiєю деякої прямої, що проходить через початок координат....
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175531 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією / С.І. Гургула, В.І. Горгула // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 177-179. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175531 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755312021-02-02T01:26:34Z Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією Гургула, С.І. Горгула, В.І. Вивчається питання стiйкостi тривiального розв’язку лiнiйної однорiдної системи другого порядку з постiйними коефiцiєнтами, яка пiддається iмпульснiй дiї при досягненнi траєкторiєю деякої прямої, що проходить через початок координат. This article relates to studying of problem for stability of ordinary solution of uniformity system linear secound order equations with constant coefficients, that is when the trajectory attaines to fome line passing thraugh the beginning of coordinates. 1999 Article Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією / С.І. Гургула, В.І. Горгула // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 177-179. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175531 517.925.3 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Вивчається питання стiйкостi тривiального розв’язку лiнiйної однорiдної системи другого порядку з постiйними коефiцiєнтами, яка пiддається iмпульснiй дiї при досягненнi траєкторiєю деякої прямої, що проходить через початок координат. |
| format |
Article |
| author |
Гургула, С.І. Горгула, В.І. |
| spellingShingle |
Гургула, С.І. Горгула, В.І. Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією Нелінійні коливання |
| author_facet |
Гургула, С.І. Горгула, В.І. |
| author_sort |
Гургула, С.І. |
| title |
Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією |
| title_short |
Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією |
| title_full |
Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією |
| title_fullStr |
Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією |
| title_full_unstemmed |
Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією |
| title_sort |
про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175531 |
| citation_txt |
Про стійкість положення рівноваги однієї системи з імпульсною дією / С.І. Гургула, В.І. Горгула // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 177-179. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT gurgulasí prostíjkístʹpoložennârívnovagiodníêísistemizímpulʹsnoûdíêû AT gorgulaví prostíjkístʹpoložennârívnovagiodníêísistemizímpulʹsnoûdíêû |
| first_indexed |
2025-07-15T12:51:00Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:51:00Z |
| _version_ |
1837717374945460224 |
| fulltext |
т. 2 •№ 2 • 1999
УДК 517.925.3
ПРО СТIЙКIСТЬ ПОЛОЖЕННЯ РIВНОВАГИ
ОДНIЄЇ СИСТЕМИ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
С.I. Гургула, В.I. Горгула
Iвано-Франкiв. техн. ун-т нафти i газу,
Україна, 284019, Iвано-Франкiвськ, вул. Карпатська, 15
This article relates to studying of problem for stability of ordinary solution of uniformity system linear
secound order equations with constant coefficients, that is when the trajectory attaines to fome line passing
thraugh the beginning of coordinates.
Вивчається питання стiйкостi тривiального розв’язку лiнiйної однорiдної системи другого
порядку з постiйними коефiцiєнтами, яка пiддається iмпульснiй дiї при досягненнi траєкто-
рiєю деякої прямої, що проходить через початок координат.
Розглядається лiнiйна система диференцiальних рiвнянь другого порядку з iмпульсною
дiєю вигляду
dx
dt
= Ax, x /∈ l,
∆x|x∈l = Bx,
(1)
де x = (x1;x2), A = (aij), B = (bij) дiйснi сталi (2 × 2)-матрицi; l деяка пряма, що
задається рiвнянням вигляду k1x1 + k2x2 = 0.
Дослiдимо питання стiйкостi за Ляпуновим тривiального розв’язку такої системи.
Зрозумiло, що образи всiх точок прямої l при дiї оператора, заданого матрицею E+B, де
E одинична матриця другого порядку, утворюють нову пряму l1, рiвняння якої неважко
одержати. Будемо вважати, що прямi l i l1 спiвпадають. Це буде мати мiсце, якщо пряма l
спiвпадає з одним iз власних напрямiв оператора, заданого матрицею B. Отже, якщо цей
напрям належить власному значенню α, то для x ∈ l маємо
x+ ∆x = x+Bx = (1 + α)x .
Питання стiйкостi тривiального розв’язку системи (1) вирiшуватиметься, очевидно,
в залежностi вiд власних значень матрицi A. У випадку, коли цi власнi значення дiйснi,
питання вирiшується просто, тому далi вважатимемо, що власнi значення матрицi A ком-
плекснi. В системi (1) зручно перейти до полярних координат r,ϕ: x1 = r cosϕ, x2 = r sinϕ,
яка при цьому набуває вигляду
dr
dt
= r(a11 cos2 ϕ+ (a12 + a21) cosϕ sinϕ+ a22 sin2 ϕ),
dϕ
dt
= a21 cos2 ϕ+ (a22 − a11) cosϕ sinϕ− a12 sin2 ϕ, ϕ 6= ϕ0 + nπ, (2)
∆r|ϕ=ϕ0+nπ = (|1 + α| − 1)r,
c© С.I. Гургула, В.I. Горгула, 1999 177
де ϕ0 кут, який утворює пряма l з вiссю Ox1, n = 1, 2, . . . .
Зауважимо, що правi частини рiвнянь системи (2) мiстять квадратичнi форми вiд cosϕ,
sinϕ, заданi матрицями
AH =
1
2
(A+AT ), A′ =
1
2
(
2a21 a22 − a11
a22 − a11 −2a12
)
.
Позначимо через λ1 i Λ1 вiдповiдно менше i бiльше власнi значення матрицiAH . Зауважи-
мо, що якщо власнi значення матрицiA комплекснi, то власнi значення матрицiA′ одного
знаку. Позначимо для зручностi через λ2 i Λ2 вiдповiдно менше i бiльше за модулем власнi
значення матрицi A′ (тобто 0 < λ2 ≤ Λ2, або Λ2 ≤ λ2 < 0). Звiдси, зокрема, випливає, що
dϕ
dt
зберiгає знак, отже, будь-яка траєкторiя, де б вона не починалась, попаде на пряму
l. Будемо розглядати траєкторiї, якi починаються на прямiй l, тобто виконанi початковi
умови
r (t0) = r0, ϕ (t0) = ϕ0 .
Нехай ця траєкторiя знову попадає на пряму l в деякий момент часу t1. Тодi, враховуючи,
що |ϕ(t1)− ϕ0| = π, при зроблених припущеннях iз (2) легко одержати
r0e
λ1(t1−t0) ≤ r(t1) ≤ r0e
Λ1(t1−t0), (3)
π
|Λ2|
≤ t1 − t0 ≤
π
|λ2|
. (4)
В цей момент часу точка миттєво перекидається iз положення (r(t1);ϕ0±π) в положення
(r(t1 + 0);ϕ0 ± π); при цьому r(t1 + 0) = |1 + α| r(t1), або на пiдставi (3)
|1 + α| r0e
λ1(t1−t0) ≤ r(t1 + 0) ≤ |1 + α| r0e
Λ1(t1−t0). (5)
Оскiльки далi рух вiдбувається аналогiчно, то для з’ясування питання стiйкостi тривiаль-
ного розв’язку системи (1) досить порiвняти r0 i r(t1 + 0). Очевидно, цей розв’язок буде
стiйким, якщо r(t1 + 0) ≤ r0, асимптотично стiйким, якщо r(t1 + 0) ≤ γ1r0 при деякому
додатному γ1 < 1, i нестiйким, якщо r(t1 + 0) ≥ γ2r0 при деякому γ2 > 1.
Iз (4) i (5) легко одержати оцiнки:
r(t1 + 0) ≤ |1 + α| r0 exp
(
Λ1
|λ2|
π
)
при Λ1 ≥ 0, або
r(t1 + 0) ≤ |1 + α| r0 exp
(
Λ1
|Λ2|
π
)
при Λ1 < 0, а також
r(t1 + 0) ≥ |1 + α| r0 exp
(
λ1
|λ2|
π
)
при λ1 ≤ 0, або
r(t1 + 0) ≥ |1 + α| r0 exp
(
λ1
|Λ2|
π
)
178 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
при λ1 > 0. Порiвнюючи правi частини цих нерiвностей з r0, одержуємо достатнi умови
стiйкостi, асимптотичної стiйкостi i нестiйкостi розв’язку x = 0 системи (1). Отже, дове-
дено таку теорему.
Теорема. Нехай задано систему диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю (1), в
якiй пряма l спiвпадає з власним напрямом оператора, заданого матрицею B, що на-
лежить власному значенню α цiєї матрицi. Нехай власнi значення матрицi A ком-
плекснi. Позначимо через λ1 i Λ1 вiдповiдно менше i бiльше власнi значення матрицi
AH =
1
2
(A + AT ), а через λ2 i Λ2 вiдповiдно менше i бiльше за модулем власнi значен-
ня матрицi
A′ =
1
2
(
2a21 a22 − a11
a22 − a11 −2a12
)
,
де aij , i = 1, 2; j = 1, 2 елементи матрицi A.
Тодi тривiальний розв’язок системи (1) стiйкий за Ляпуновим, якщо виконана нерiв-
нiсть
|1 + α| exp
(
Λ1
|λ2|
π
)
≤ 1
при Λ1 ≥ 0, або нерiвнiсть
|1 + α| exp
(
Λ1
|Λ2|
π
)
≤ 1
при Λ1 < 0, причому в обох випадках стiйкiсть буде асимптотичною, якщо нерiвностi
строгi.
Цей розв’язок буде нестiйким, якщо виконана нерiвнiсть
|1 + α| exp
(
λ1
|λ2|
π
)
> 1
при λ1 ≤ 0, або нерiвнiсть
|1 + α| exp
(
λ1
|Λ2|
π
)
> 1
при λ1 > 0.
1. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импульс-
ным воздействием // Дифференц. уравнения. 1977. 13, № 11. С. 1981 1991.
2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Об устойчивости решений систем с импульсным воздействием //
Там же. 1981. 17, № 11. С. 1995 2001.
3. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Ки-
ев: Выща шк., 1987. 288 с.
Одержано 30.12.98
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 179
|