Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку)
Описано пiдхiд до розв’язання граничної задачi для елiптичного диференцiального рiвняння оптимальним методом скiнченних елементiв (ОМСЕ), в якому базиснi функцiї не задаються наперед, а знаходяться як сталi в методi Рiтца з умови мiнiмiзацiї вiдповiдного функцiонала....
Збережено в:
| Дата: | 1999 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175535 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) / О.М. Литвин, К.В. Носов, О.П. Трофименко // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 217-224. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175535 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755352021-02-02T01:26:48Z Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) Литвин, О.М. Носов, К.В. Трофименко, О.П. Описано пiдхiд до розв’язання граничної задачi для елiптичного диференцiального рiвняння оптимальним методом скiнченних елементiв (ОМСЕ), в якому базиснi функцiї не задаються наперед, а знаходяться як сталi в методi Рiтца з умови мiнiмiзацiї вiдповiдного функцiонала. We describe an approach for solving of boundary value problem for elliptic equation by Optimum Finite Element Method (OFEM). In OFEM basis functions are found by same way, as constants ih the Rietz method form conditions of minimization of corresponding functional. 1999 Article Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) / О.М. Литвин, К.В. Носов, О.П. Трофименко // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 217-224. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175535 519.3 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Описано пiдхiд до розв’язання граничної задачi для елiптичного диференцiального рiвняння оптимальним методом скiнченних елементiв (ОМСЕ), в якому базиснi функцiї не задаються наперед, а знаходяться як сталi в методi Рiтца з умови мiнiмiзацiї вiдповiдного функцiонала. |
| format |
Article |
| author |
Литвин, О.М. Носов, К.В. Трофименко, О.П. |
| spellingShingle |
Литвин, О.М. Носов, К.В. Трофименко, О.П. Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) Нелінійні коливання |
| author_facet |
Литвин, О.М. Носов, К.В. Трофименко, О.П. |
| author_sort |
Литвин, О.М. |
| title |
Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) |
| title_short |
Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) |
| title_full |
Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) |
| title_fullStr |
Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) |
| title_full_unstemmed |
Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) |
| title_sort |
оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175535 |
| citation_txt |
Оптимальний метод скінченних елементів для областей складної форми (задача Діріхлє для рівняння з еліптичним диференціальним оператором 2-го порядку) / О.М. Литвин, К.В. Носов, О.П. Трофименко // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 217-224. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT litvinom optimalʹnijmetodskínčennihelementívdlâoblastejskladnoíformizadačadíríhlêdlârívnânnâzelíptičnimdiferencíalʹnimoperatorom2goporâdku AT nosovkv optimalʹnijmetodskínčennihelementívdlâoblastejskladnoíformizadačadíríhlêdlârívnânnâzelíptičnimdiferencíalʹnimoperatorom2goporâdku AT trofimenkoop optimalʹnijmetodskínčennihelementívdlâoblastejskladnoíformizadačadíríhlêdlârívnânnâzelíptičnimdiferencíalʹnimoperatorom2goporâdku |
| first_indexed |
2025-07-15T12:51:15Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:51:15Z |
| _version_ |
1837717389876133888 |
| fulltext |
т. 2 •№ 2 • 1999
УДК 519.3
ОПТИМАЛЬНИЙ МЕТОД СКIНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТIВ
ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ СКЛАДНОЇ ФОРМИ (ЗАДАЧА ДIРIХЛЕ
ДЛЯ РIВНЯННЯ З ЕЛIПТИЧНИМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИМ
ОПЕРАТОРОМ 2-ГО ПОРЯДКУ)
О.М. Литвин, К.В. Носов
Укр. iнж.-пед. академiя,
Україна, 310003, Харкiв, вул. Унiверситетська, 16
e-mail: docents@uenpa.kharkov.ua;
konstantin.v.nosov@univer.kharkov.ua
О.П. Трофименко
Вiйськ. iн-т льотчикiв
We describe an approach for solving of boundary value problem for elliptic equation by Optimum
Finite Element Method (OFEM). In OFEM basis functions are found by same way, as constants ih
the Rietz method form conditions of minimization of corresponding functional.
Описано пiдхiд до розв’язання граничної задачi для елiптичного диференцiального рiвняння
оптимальним методом скiнченних елементiв (ОМСЕ), в якому базиснi функцiї не задаються
наперед, а знаходяться як сталi в методi Рiтца з умови мiнiмiзацiї вiдповiдного функцiонала.
1. У роботах [1 5] ОМСЕ застосовується для випадку, коли областьD, в якiй знаходиться
розв’язок крайової задачi, складається або з прямокутникiв, або з трикутникiв.
В данiй роботi для елiптичного рiвняння 2-го порядку вперше викладено метод знахо-
дження оптимальних координатних функцiй у випадку довiльної областi.
2. Знайдемо наближений розв’язок задачi
Au(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ D, (1)
u(x, y)|∂Ω = 0, (2)
де ∂Ω границя D, A самоспряжений елiптичний диференцiальний оператор 2-го по-
рядку
Au = − ∂
∂x
(
p1(x, y)
∂u
∂x
)
− ∂
∂y
(
p2(x, y)
∂u
∂y
)
+ c(x, y)u.
Вважаємо, що D довiльна однозв’язна область, границя якої складається з дуг вiдо-
мих кривих, pi(x, y) ∈ C(1)(D), i = 1, 2, c(x, y) ∈ C(D).
Розiб’ємо D на елементи прямими
x = xk, k = 0,m; y = yl, l = 0, n. (3)
c© О.М. Литвин, К.В. Носов, О.П. Трофименко, 1999 217
Вважаємо, що в результатi D розiб’ється на такi елементи:
Πkl = {(x, y)|xk ≤ x ≤ xk+1, yl ≤ y ≤ yl+1} ,
T1,k,l = {(x, y)|xk ≤ x ≤ xk+1, yl ≤ y ≤ ϕ1,k,l(x), yl = ϕ1,k,l(xk+1)},
T2,k,l = {(x, y)|xk−1 ≤ x ≤ xk, yl ≤ y ≤ ϕ2,k,l(x), yl = ϕ2,k,l(xk−1)},
T3,k,l = {(x, y)|xk−1 ≤ x ≤ xk, ϕ3,k,l(x) ≤ y ≤ yl, yl = ϕ3,k,l(xk−1)},
T4,k,l = {(x, y)|xk ≤ x ≤ xk+1, ϕ4,k,l(x) ≤ y ≤ yl, yl = ϕ4,k,l(xk+1)},
G1,k,l = {(x, y)|xk ≤ x ≤ xk+1, yl ≤ y ≤ ϕ1,k,l(x), ϕ1,k,l(x) > yl, x ∈ [xk, xk+1]},
G2,k,l = {(x, y)|xk ≤ x ≤ xk+1, ϕ2,k,l(x) ≤ yl ≤ y, ϕ2,k,l(x) < yl, x ∈ [xk, xk+1]},
G3,k,l = {(x, y)|yl ≤ x ≤ yl+1, xk ≤ x ≤ ψ1,k,l(y), ψ1,k,l(y) > xk, y ∈ [yl, yl+1]},
G4,k,l = {(x, y)|yl ≤ x ≤ yl+1, ψ2,k,l(y) ≤ x ≤ xk, ψ2,k,l(y) < xk, y ∈ [yl, yl+1]}.
Також припустимо, що функцiї ϕj,k,l, j = 1, 4, в Tj,k,l монотоннi, а ψj,k,l = ϕ−1
j,k,l обер-
ненi до них.
Позначимо ∆1,k = xk+1− xk, ∆2,l = yl+1− yl. Наближений розв’язок ũ(x, y) задамо на
елементах розбиття таким чином:
ũ(x, y)|Πkl = ũΠkl(x, y),
ũ(x, y)|Tj,k,l = ũTj,k,l(x, y), j = 1, 4,
ũ(x, y)|Gj,k,l = ũGj,k,l(x, y), j = 1, 4,
де
ũΠkl(x, y) =
k+1∑
i=k
l+1∑
j=l
uijh1
(
i− k + (1− 2(i− k))
x− xk
∆1,k
)
×
×h2
(
j − l + (1− 2(j − l))y − yl
∆2,l
)
,
ũTj ,k,l(x, y) = ukl
(
(−1)[j/3] y − yl
∆2,l−[j/3]
(1− h2
(
(−1)[j/3]ϕj,k,l(x)− yl
∆2,l−[j/3]
)
−
−h1
(
(−1)j−2[j/3] x− xk
∆1,k−2+(2|j−5/2|+1)/2
)
+ (−1)[j/3] yl+1−2[j/3] − ϕj,k,l(x)
∆2,l−[j/3]
×
×
(
1− h1
(
(−1)j−1−[j/3] ψj,k,l(y)− xk
∆1,k−2+(2|j−5/2|+1)/2
)
+ h2
(
(−1)[j/3] y − yl
∆2,l−[j/3]
)
+
+h1
(
(−1)j−1+[j/3] x− xk
∆1,k−2+(2|j−5/2|+1)/2
)
+ h2
(
(−1)[j/3] y − yl
∆2,l−[j/3]
)
− 1
)
, j = 1, 4
(через [a] позначено цiлу частину числа a),
ũGj,k,l(x, y) = h2
(
y − yl
ϕj,k,l(x)− yl
)(
uklh1
(
x− xk
∆1,k
)
+ uk+1,lh1
(
xk+1 − x
∆1,k
))
при j = 1, 2,
218 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
ũGj,k,l(x, y) = h1
(
x− xk
ψj−2,k,l(y)− xk
)(
uklh2
(
y − yl
∆2l
)
+ uk,l+1h2
(
yl+1 − y
∆2l
))
при j = 3, 4.
Вважаємо, що функцiї h1, h2 задовольняють умови
hµ(γ) = δγ0, µ = 1, 2, γ = 0, 1 (4)
та hµ(t) ∈ W 1
2 (0, 1), µ = 1, 2. При такому визначеннi наближений розв’язок ũ(x, y) точно
задовольняє крайовi умови вихiдної задачi (2), ũ(x, y) ∈ W 1
2 (D) та ũ(x, y) задовольняє
умови
ũ(xk, yl) = ukl ∀ (xk, yl) ∈ D.
Задачу розв’язуємо варiацiйним методом, тобто наближений розв’язок шукаємо з
умови мiнiмiзацiї функцiонала енергiї за сталими ukl та функцiями h1, h2. В роботах
[1 3, 5] розроблялась схема ОМСЕ, у якiй з кожним вузлом розбиття пов’язувалась єдина
система шуканих координатних функцiй. Таким чином, їх число не залежало вiд кiлькостi
елементiв (на вiдмiну вiд роботи [6], де з кожним вузлом розбиття пов’язувалась своя сис-
тема координатних функцiй). В данiй статтi розглядається перший пiдхiд, тобто набли-
жений розв’язок ũ(x, y) будується з використанням всього двох координатних функцiй
h1(x), h2(y).
Функцiонал, що вiдповiдає задачi (1), (2), має вигляд
J(u) =
∫∫
D
(p1(x, y)(u′x(x, y))2 + p2(x, y)(u′y(x, y))2+
+c(x, y)u2(x, y)− 2f(x, y)u(x, y))dxdy.
Для знаходження мiнiмуму функцiонала розв’язуємо систему Рiтца
∂J(ũ)
∂upq
= 0, (xp, yq) ∈ D (5)
сумiсно з системою диференцiально-функцiональних рiвнянь
δhµJ(ũ) = 0, µ = 1, 2, (6)
де через δhµJ(ũ) позначенi першi варiацiї функцiонала J(ũ) за функцiями hµ.
Нехай (xk, yl) ∈ D один з внутрiшнiх вузлiв розбиття. Позначимо через Φ1,k,l ви-
значений вище скiнченний елемент, який належить до прямокутника [xk, xk+1]× [yl, yl+1],
тобто Φ1,k,l один з елементiв Πkl, T1,k,l, або G1,k,l. По аналогiї вважаємо за Φ2,k,l той iз
скiнченних елементiв, що належить до [xk−1, xk]× [yl, yl+1], тобто Πk−1,l, T2,k,l, або G2,k,l.
Таким же чином визначаються i Φν,k,l при ν = 3, 4. Тодi ũ(x, y) допускає зображення у
виглядi
ũ(x, y) =
∑
(xk,yl)∈D
uklϑkl(x, y),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 219
де ϑkl(x, y) функцiї з обмеженим носiєм, що спiвпадає з
4⋃
ν=1
Φν,k,l для кожного внутрi-
шнього вузла розбиття (xk, yl) ∈ D, якi в залежностi вiд конкретного вигляду Φν,k,l, ν =
= 1, 4, визначаються таким чином:
для j = 1, 2:
ϑkl(x, y) =
h1
(
(−1)j−1 x− xk
∆1,k+1−j
)
h2
(
y − yl
∆2,l
)
при (x, y) ∈ Φj,k,l = Πk+1−j,l;
y − yl
∆2,l
(
1− h2
(
ϕj,k,l(x)− yl
∆2,l
)
− h1
(
(−1)j−1 x− xk
∆1,k+1−j
))
+
+
yl+1 − ϕj,k,l(x)
∆2,l
(
1− h1
(
(−1)jψj,k,l(y)− xk+1−j
∆1,k+1−j
)
−
−h2
(
y − yl
∆2,l
))
+ h1
(
(−1)j
x− xk
∆1,k+1−j
)
+ h2
(
y − yl
∆2,l
)
− 1
при (x, y) ∈ Φj,k,l = Tj,k,l;
h1
(
(−1)j−1 x− xk
∆1,k+1−j
)
h2
(
y − yl
ϕ1,k+1−j,l(x)− yl
)
при (x, y) ∈ Φj,k,l = G1,k+1−j,l;
h1
(
x− xk
ψj,k,l(y)− xk
)
h2
(
y − yl
∆2l
)
при (x, y) ∈ Φj,k,l = G2+j,k,l,
для j = 3, 4:
ϑkl(x, y) =
h1
(
(−1)j−3 xk − x
∆1,k−4+j
)
h2
(
yl − y
∆2,l−1
)
при (x, y) ∈ Φj,k,l = Πk−4+j,l−1;
yl − y
∆2,l−1
(
1− h2
(
yl − ϕj,k,l(x)
∆2,l−1
)
− h1
(
(−1)j−2 xk − x
∆1,k−4+j
))
+
+
ϕj,k,l(x)− yl−1
∆2,l−1
(
1− h1
(
(−1)j−3xk − ψ3,k,l(y)
∆1,k−1
)
−
−h2
(
yl − y
∆2,l−4+j
))
+ h1
(
xk − x
∆1,k−1
)
+ h2
(
yl − y
∆2,l−1
)
− 1
при (x, y) ∈ Φj,k,l = Tj,k,l;
h1
(
(−1)j−3 x− xk
∆1,k+3−j
)
h2
(
y − yl
ϕ2,k+3−j,l(x)− yl
)
при (x, y) ∈ Φ7−j,k,l = G2,k+3−j,l;
h1
(
x− xk
ψj−2,k,l−1(y)− xk
)
h2
(
yl − y
∆2,l−1
)
при (x, y) ∈ Φ7−j,k,l = Gj,k,l−1.
Тодi система Рiтца (5) запишеться у виглядi∑
(xk,yl)∈D
ukl
∫∫
D
(p1(x, y)ϑ′pq,x(x, y)ϑ′kl,x(x, y) + p2(x, y)ϑ′pq,y(x, y)ϑ′kl,y(x, y)+
+c(x, y)ϑpq(x, y)ϑkl(x, y))dxdy =
∫∫
D
f(x, y)ϑpq(x, y))dxdy, (xp, yq) ∈ D.
220 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Рiвняння (6) наберуть вигляду
aµ,1(t)h′′µ(t) + aµ,2(t)h′′µ(1− t) + bµ,1(t)h′µ(t) + bµ,2(t)h′µ(1− t)+
+cµ,1(t)hµ(t) + cµ,2(t)hµ(1− t) +Wµ(h1, h2, t) = gµ(t), (7)
t ∈ (0, 1), µ = 1, 2,
де
aµi(t) =
∑
Πkl∈D
aµ,i,Πkl(t) +
∑
Tm,k,l∈D
aµ,i,Tm,k,l(t) +
∑
Gm,k,l∈D
aµ,i,Gm,k,l(t),
i = 1, 2, µ = 1, 2,
(8)
тобто aµ,i,Πkl(t), aµ,i,Tm,k,l(t), aµ,i,Gm,k,l(t) можна трактувати як ,,внески” окремих скiнчен-
них елементiв в рiвняння для δhµJ(ũ). Зрозумiло, що в залежностi вiд форми областi i
вигляду розбиття окремi члени в сумi (8) можуть зникати. Функцiї bµi(t), cµi(t), gµ(t) роз-
кладаються аналогiчно. Wµ(h1, h2, t), µ = 1, 2, функцiонали вiд h1, h2, якi залежать вiд t
як вiд параметра i мають вигляд
Wµ(h1, h2, t) =
∑
Tm,k,l⊂D
Wµ,Tm,k,l(hµ, t).
У зв’язку зi складнiстю виразiв ,,внескiв” елементiв Φm,k,l їх запис пропускаємо.
В узагальненому виглядi можна записати
aµ,j(t) = aµ,j(h3−µ, {uij}, {ϕν,k,l}, t), µ = 1, 2, j = 1, 2,
тобто aµ,j(t) функцiонали вiд функцiй h3−µ(t), якi залежать вiд функцiй {ϕν,k,l}, що
задають границю ∂D, вiд сукупностi {uij} вузлових параметрiв i вiд t як числового пара-
метра. Аналогiчно задаються коефiцiєнти bµ,j(t), cµ,j(t), gµ(t).
Функцiонали Wµ(t) залежать вiд функцiй h1(t), h2(t), функцiй, якi задають границi
елементiв Tµ,k,l, та вiд {uij}, якi вiдповiдають вузлам, що належать до Tµ,k,l, i вiд t як вiд
параметрiв:
Wµ = Wµ(h1, h2, {ϕν,k,l}′, {uij}′, t),
де через {ϕν,k,l}′ позначена частина функцiй, яка задає частину границi ∂D, що належить
до елементiв Tµ,k,l, а через {uij}′ частина вузлових параметрiв, що вiдповiдають ву-
злам, якi належать до Tµ,k,l.
Опишемо метод ,,флiп-флоп” сумiсного розв’язання систем (5) та (6) iз урахуванням
граничних умов (4). За перше наближення оптимальних базисних функцiй приймемо лi-
нiйнi функцiї, тобто покладемо
h<1>
µ (t) = 1− t, µ = 1, 2,
де позначення < 1 > вказує на номер iтерацiї методу. Пiдставивши h<1>
µ (t) в систему Рi-
тца (5) i розв’язавши її, отримаємо першi наближення u(1/1)
ij вузлових параметрiв. Позна-
чення (1/1) вказує на те, що данi параметри знайденi з перших наближень координатних
функцiй hµ при µ = 1, 2, тобто з h<1>
µ . Для знаходження подальших наближень вико-
ристовуємо систему (7) при µ = 1. Вiд нелiнiйної системи функцiональних рiвнянь (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 221
переходимо до лiнiйної, замiнюючи пiд знаками iнтегралiв у виразах для aj,i, bj,i, cj,i при
µ = 1 параметри uij на знайденi на першому кроцi u(1/1)
ij та функцiї h2 на h<1>
2 . Пiсля такої
пiдстановки функцiонали вiд функцiй h2(t) a1,i, b1,i, c1,i та сталих uij перетворюються на
функцiї i отримана система буде лiнiйною.
Розв’язавши систему (7) з урахуванням умов (4) для функцiй h2, одержимо друге на-
ближення h<2>
1 функцiй h1 . Знову пiдставляючи в систему Рiтца (5) координатнi функцiї
h<2>
1 i h<1>
2 , отримуємо наступне наближення для вузлових параметрiв u
(2/1)
ij , де по-
значка (2/1) має попереднiй змiст. Наступний крок аналогiчний до першого замiнюючи
в системi (7) при µ = 2 вузловi параметри на u(2/1)
ij та координатнi функцiї h1 на h<2>
1 , пiс-
ля розв’язання системи отримуємо друге наближення для координатних функцiй h2, якi
позначаємо через h<2>
2 , i т. д. Таким чином, в iтерацiйному процесi на кожному кроцi зна-
ходиться трiйка об’єктiв {h<i>1 , h<µ>2 , u(m/n)
ij }, де iндекси i, j, m, n попарно вiдрiзняються
не бiльше, нiж на одиницю, а на наступному кроцi при фiксацiї двох з них знаходиться
наступне iтерацiйне наближення для третього об’єкта.
Таким чином, отримуємо послiдовнiсть наближених розв’язкiв ũ(1)(x, y), ũ(2)(x, y), . . .
таку, що
J(ũ(1)) ≥ J(ũ(2)) ≥ . . . .
Iтерацiї проводяться до числа M такого, що
‖ũ(M) − ũ(M+1)‖ < ε,
де ε задана точнiсть, ‖ · ‖ одна з норм у просторi, якому належить ũ(j).
Розглянемо частинний випадок рiвнянь (7), колиWµ ≡ 0, коефiцiєнти aµ,j , cµ,j сталi
i bµ,j ≡ 0. Граничнi умови (4) на функцiї hµ задамо в загальному виглядi. Таким чином,
маємо граничну задачу
a1h
′′(t) + a2h
′′(1− t) + b1h(t) + b2h(1− t) = f(t), t ∈ (0, 1), (9)
h(0) = γ1, h(1) = γ2. (10)
Крайовi задачi такого типу для диференцiальних рiвнянь, в якi разом з шуканою
функцiєю вiд аргумента t входить шукана функцiя вiд аргумента 1 − t, дiстали назву
симетрично-граничних або симетрично-крайових [1].
Розв’язання задачi (9), (10) описується наступною теоремою.
Теорема. Розв’язок задачi (9), (10) iснує i є єдиним, коли iснують i є єдиними розв’яз-
ки крайових задач для двох звичайних диференцiальних рiвнянь
(a1 + (−1)ja2)z′′j (t) + (b1 + (−1)jb2)zj(t) = fj(t), t ∈ (0, 1), (11)
zj(0) =
γ1 + (−1)j−1γ2
2
, zj(1) =
γ2 + (−1)j−1γ1
2
, (12)
де fj(t) =
1
2
(f(t) + (−1)j−1f(1− t)), j = 1, 2.
222 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
У випадку, коли не iснує розв’язку хоча б однiєї задачi (11), (12), не iснує i розв’язку
задачi (9), (10). Коли розв’язки задач (11), (12) при j = 1, 2 iснують, але хоча б одна за-
дача має нескiнченну кiлькiсть розв’язкiв, також нескiнченну кiлькiсть розв’язкiв буде
мати задача (9), (10).
Доведення. В рiвняннi (9) зробимо замiну
z1(t) =
h(t) + h(1− t)
2
, z2(t) =
h(t)− h(1− t)
2
.
Виражаючи h(t), h(1 − t) через z1(t), z2(t) i враховуючи єдинiсть розкладу функцiї на
симетричну i антисиметричну частини
(
вiдносно фiксованої точки, в даному випадку вiд-
носно
1
2
)
, задачу (9), (10) роздiляємо на 2 крайовi задачi (11), (12) для симетричної (z1(t))
i антисиметричної (z2(t)) функцiй
(
вiдносно точки
1
2
)
.
Очевидно, що коли h(t) задовольняє умови (9), (10), то z1(t), z2(t) задовольняють
умови (11), (12), i навпаки, коли (11), (12) при j = 1, 2 мають розв’язки z1(t), z2(t),
h(t) = z1(t) + z2(t) задовольняє умови (9), (10).
Таким чином, встановлено еквiвалентнiсть задачi (9), (10) двом задачам (11), (12) при
j = 1, 2.
Подамо задачу (11), (12) в узагальненому виглядi
ay′′(t) + by(t) = f(t), t ∈ (0, 1), (13)
y(0) = β1, y(1) = β2. (14)
Розв’язок задачi (13), (14) iснує i є єдиним, коли:
a) a/b < 0;
b) a 6= 0, b = 0;
c) b/a > 0 при умовi
√
a/b 6= kπ, k = 1, 2, . . . .
В iнших випадках розв’язки можуть iснувати або не iснувати, а у випадку iснування
єдинiсть може порушуватися. Взагалi можливi такi випадки:
a) a = 0, b 6= 0; розв’язок iснує i є єдиним, коли
f(0)
b
= β1,
f(1)
b
= β2; в iншому випадку
розв’язок не iснує;
b) a = 0, b = 0, f(t) 6≡ 0; розв’язок не iснує;
с) a = 0, b = 0, f(t) ≡ 0; при цьому граничнi умови (14) залишаються, i розв’язком
(13), (14) може бути будь-яка функцiя y(t), яка задовольняє умови симетричностi (або
антисиметричностi), а також граничнi умови.
Доведення спирається на зображення загального розв’язку рiвняння (13) у виглядi
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + yчаст.(t),
де yi(t), i = 1, 2, фундаментальна система розв’язкiв однорiдного рiвняння, яке вiдповi-
дає (13), yчаст.(t) частинний розв’язок (13).
На пiдставi перерахованих випадкiв, якi описують розв’язки задачi (13), (14), та вста-
новленої еквiвалентностi задач (9), (10) та (11), (12) при j = 1, 2 твердження теореми
вважаємо доведеним.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 223
1. Литвин О.Н. Оптимальные схемы МКЭ. Теоретические и прикладные вопросы дифференциальных
уравнений и алгебра. Киев: Наук. думка, 1978. С. 160 165.
2. Литвин О.Н. К вопросу о построении оптимальных схем МКЭ // 2-я Респ. конф. ,,Вычислитель-
ная математика в современном научно-техническом прогрессе”. Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1978.
С. 21 22.
3. Литвин О.Н. О построении оптимальных схем метода конечных элементов // Динамика и устойчи-
вость сложных систем: Сб. научн. тр. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981. С. 116 128.
4. Литвин О.Н. Нелинейная обобщенная интерполяция на треугольнике и решение краевых задач //
Докл. АН УССР. Сер. А. 1982. № 3. С. 12 16.
5. Литвин О.Н. Оптимальные координатные функции в методе конечных элементов // Дифференц.
уравнения. 1984. 20, № 4. С. 677 688.
6. Литвин О.Н. Обобщенная нелинейная интерполяция и решение краевых задач // Там же. 1983.
19, № 3. С. 508 515.
7. Литвин О.Н. Оптимальные схемы метода конечных элементов (треугольные элементы) // Матема-
тические методы анализа динамических систем. 1983. 10, № 6. С. 77 81.
8. Баранова Т.А., Литвин О.М., Федько В.В. Про чисельну реалiзацiю оптимального методу скiнченних
елементiв (задача Дiрiхле для рiвняння Пуассона, прямокутнi елементи) // Вiсн. ун-ту “Львiв. полiтех-
нiка”. Прикл. математика. 1997. 2, № 337. С. 294 296.
9. Литвин О.Н., Трофименко О.П. Точное решение симметрично-граничной краевой задачи // Нели-
нейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев: Ин-т математики НАН
Украины. 1995. С. 157 159.
Одержано 30.12.98
224 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
|