Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами
Доведена розв’язнiсть багатоточкових задач з параметрами для нелiнiйних коливних систем за допомогою методу усереднення. Встановлено також оцiнки вiдхилення розв’язкiв вихiдних i усереднених задач....
Збережено в:
| Дата: | 1999 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175537 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами / А.М. Самойленко, Я.Р. Петришин // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 231-240. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175537 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755372021-02-02T01:26:29Z Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами Самойленко, А.М. Петришин, Я.Р. Доведена розв’язнiсть багатоточкових задач з параметрами для нелiнiйних коливних систем за допомогою методу усереднення. Встановлено також оцiнки вiдхилення розв’язкiв вихiдних i усереднених задач. By using the averaging method, we prove the solvability of multipoint problems with the parameters for nonlinear oscillation systems. The deviation of solutions of original and averaged problems is estimated. 1999 Article Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами / А.М. Самойленко, Я.Р. Петришин // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 231-240. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175537 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Доведена розв’язнiсть багатоточкових задач з параметрами для нелiнiйних коливних систем за допомогою методу усереднення. Встановлено також оцiнки вiдхилення розв’язкiв вихiдних i усереднених задач. |
| format |
Article |
| author |
Самойленко, А.М. Петришин, Я.Р. |
| spellingShingle |
Самойленко, А.М. Петришин, Я.Р. Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами Нелінійні коливання |
| author_facet |
Самойленко, А.М. Петришин, Я.Р. |
| author_sort |
Самойленко, А.М. |
| title |
Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами |
| title_short |
Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами |
| title_full |
Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами |
| title_fullStr |
Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами |
| title_full_unstemmed |
Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами |
| title_sort |
багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175537 |
| citation_txt |
Багатоточкові задачі для коливних систем з повільно змінними частотами / А.М. Самойленко, Я.Р. Петришин // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 231-240. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT samojlenkoam bagatotočkovízadačídlâkolivnihsistemzpovílʹnozmínnimičastotami AT petrišinâr bagatotočkovízadačídlâkolivnihsistemzpovílʹnozmínnimičastotami |
| first_indexed |
2025-07-15T12:51:21Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:51:21Z |
| _version_ |
1837717396899495936 |
| fulltext |
т. 2 •№ 2 • 1999
УДК 517.9
БАГАТОТОЧКОВI ЗАДАЧI ДЛЯ КОЛИВНИХ СИСТЕМ
З ПОВIЛЬНО ЗМIННИМИ ЧАСТОТАМИ
А.М. Самойленко
Iн-т математики HAH України,
Україна, 252601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: imath2@mail.kar.net
Я.Р. Петришин
Чернiв. ун-т,
Україна, 274012, Чернiвцi, вул. Коцюбинського, 2
By using the averaging method, we prove the solvability of multipoint problems with the parameters for
nonlinear oscillation systems. The deviation of solutions of original and averaged problems is estimated.
Доведена розв’язнiсть багатоточкових задач з параметрами для нелiнiйних коливних систем
за допомогою методу усереднення. Встановлено також оцiнки вiдхилення розв’язкiв вихiдних
i усереднених задач.
Розглядається типова для багатьох задач нелiнiйної механiки [1, 2] багаточастотна колив-
на система звичайних диференцiальних рiвнянь
dx
dτ
= a(x, ϕ, τ, µ),
dϕ
dτ
=
ω(τ)
ε
+ b(x, ϕ, τ, µ), (1)
права частина якої визначена при x ∈ D ⊂ Rn, ϕ ∈ Rm, τ ∈ [0, L], µ ∈ G ⊂ Rs, ε ∈ (0, ε0],
D i G обмеженi областi, ε0 << 1.
Задамо для рiвнянь (1) багатоточковi крайовi умови вигляду
F (x|τ=τ1 , . . . , x|τ=τr , ϕ|τ=τ1 , . . . , ϕ|τ=τr , µ, ε) = 0, (2)
де F (p1, . . . , pr, q1, . . . , qr, µ, ε) (n+m+ s)-вимiрна вектор-функцiя змiнних pj ∈ D, qj ∈
∈ Rm, µ ∈ G, ε ∈ (0, ε0], j = 1, r; 0 ≤ τ1 < τ2 < · · · < τr ≤ L, r ≥ 2.
Пiд розв’язком задачi (1), (2) будемо розумiти неперервно диференцiйовну вектор-
функцiю (x;ϕ) = (x(τ, ε);ϕ(τ, ε)) змiнної τ i такi значення невiдомих параметрiв: µ =
= µ(ε) = (µ1, . . . , µs), тобто сукупнiсть {x(τ, ε);ϕ(τ, ε);µ(ε)} ∈ D × Rm ×G, яка задоволь-
няє рiвняння (1) для всiх (τ ; ε) ∈ [0, L] × (0, ε0] i крайовi умови (2). Згiдно з прийнятою
термiнологiєю, задача (1), (2) називається крайовою задачею з параметрами. Зазначимо,
що в даний час вiдомi рiзнi пiдходи до розв’язання таких задач. Зокрема, в монографiї [3]
розглядаються проекцiйно-iтеративнi методи, а в роботi [4] чисельно-аналiтичнi.
В данiй статтi продовжуються дослiдження, розпочатi в роботах [5, 6]. Для розв’язан-
ня задачi (1), (2) використаємо метод усереднення за всiма швидкими змiнними ϕ =
c© А.М. Самойленко, Я.Р. Петришин, 1999 231
= (ϕ1, . . . , ϕm). Така схема усереднення викликає значнi труднощi, оскiльки коливна сис-
тема (1) мiстить повiльнi та швидкi змiннi i їй властиве явище резонансу [7].
Припустимо, що:
а) функцiя c(x, ϕ, τ, µ) = (a(x, ϕ, τ, µ); b(x, ϕ, τ, µ)) має неперервнi i обмеженi сталою σ1
частиннi похiднi по (x, ϕ, τ, µ) ∈ D × Rm × [0, L]×G до другого порядку включно, майже
перiодична по ϕν , ν = 1,m, причому
c(x, ϕ, τ, µ) =
∞∑
k=0
(ak(x, τ, µ); bk(x, τ, µ))ei(λk,ϕ),
де i уявна одиниця, λ0 = 0, λk 6= 0 при k ≥ 1, (λk, ϕ) скалярний добуток векторiв λk =
= (λ(1)
k , . . . , λ
(m)
k ) i ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm), а функцiї ck = (ak(x, τ, µ); bk(x, τ, µ)) задовольняють
нерiвнiсть
sup ‖c0‖+ sup
∥∥∥∥∂c0
∂x
∥∥∥∥+ sup
∥∥∥∥∂c0
∂µ
∥∥∥∥+
n∑
j=1
(
sup
∥∥∥∥ ∂2c0
∂x∂xj
∥∥∥∥+ sup
∥∥∥∥ ∂2c0
∂µ∂xj
∥∥∥∥)+
+
∞∑
k=1
[(
‖λk‖+
1
‖λk‖
)
sup ‖ck‖+
(
1 +
1
‖λk‖
)(
sup
∥∥∥∥∂ck∂x
∥∥∥∥+ sup
∥∥∥∥∂ck∂τ
∥∥∥∥+
+ sup
∥∥∥∥∂ck∂µ
∥∥∥∥)+
1
‖λk‖
n∑
j=1
(
sup
∥∥∥∥ ∂2ck
∂x∂xj
∥∥∥∥+ sup
∥∥∥∥ ∂2ck
∂τ∂xj
∥∥∥∥+ sup
∥∥∥∥ ∂2ck
∂µ∂xj
∥∥∥∥)+
+ sup
∥∥∥∥ ∂2ck
∂µ∂τ
∥∥∥∥)] ≤ σ1;
тут супремум береться по всiх (x, τ, µ) ∈ D × [0, L] × G, а пiд нормою матрицi розумiємо
суму модулiв її елементiв;
б) ω(τ) = (ω1(τ), . . . , ωm(τ)) ∈ Cm−1+l
[0,L] , а вронскiан функцiй ω1(τ), . . . , ωm(τ) має на
вiдрiзку [0, L] нулi кратностi не бiльшої l;
в) F (Q, ε) i
∂
∂Q
F (Q, ε) рiвностайно по ε рiвномiрно неперервнi по Θ = (p1, . . . , pr, q1, . . .
. . . , qr, µ) ∈ K = D × . . .×D × Rm × . . .× Rm ×G i
∥∥∥∥ ∂
∂Q
F (Q, ε)
∥∥∥∥ ≤ σ2 = const.
Розглянемо усереднену за всiма змiнними ϕ задачу
dx
τ
= a(x, τ, µ), (31)
dϕ
∂τ
=
ω(τ)
ε
+ b(x, τ, µ), (32)
F (x|τ=τ1 , . . . , x|τ=τr , ϕ|τ=τ1 , . . . , ϕ|τ=τr , µ, ε) = 0, (33)
де
(a; b) = lim
T→∞
T−m
T∫
0
· · ·
T∫
0
(a(x, ϕ, τ, µ); b(x, ϕ, τ, µ))dϕ1 . . . dϕm ≡
≡ (a0(x, τ, µ); b0(x, τ, µ)) = c0(x, τ, µ).
232 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Усереднена задача часто буває значно простiша, нiж вихiдна, оскiльки рiвняння для
повiльних змiнних x розв’язуються незалежно вiд швидких змiнних ϕ, пiсля чого ϕ визна-
чається iнтегруванням.
Надалi через (x(τ, y, ψ, µ, ε);ϕ(τ, y, ψ, µ, ε)) i (x(τ, y, µ);ϕ(τ, y, ψ, µ, ε)) позначатимемо
тi розв’язки систем вiдповiдно (1) i (31), (32), якi при τ = 0 набувають значення (y;ψ) ∈
∈ D × Rm, а через Dρ × Gρ множину тих точок (y;µ) ∈ D × G, для яких крива x =
= x(τ, y, µ) лежить в D разом iз своїм ρ-околом для τ ∈ [0, L]. Вважатимемо, що при
деякому ρ0 > 0 множина Dρ0 ×Gρ0 непорожня.
Лема 1. Якщо виконуються умови а), б), то при досить малому ε0 > 0 для всiх
(τ, y, ψ, µ, ε) ∈ [0, L]×Dρ0 × Rm ×Gρ0 × (0, ε0] ≡ B виконується нерiвнiсть
‖u‖+
∥∥∥∥∂u∂y
∥∥∥∥+
∥∥∥∥ ∂u∂ψ
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∂u∂µ
∥∥∥∥ ≤ σεα, α =
1
m+ l
, (4)
де u = (x(τ, y, ψ, µ, ε) − (x(τ, y, µ);ϕ(τ, y, ψ, µ, ε)) − ϕ(τ, y, ψ, µ, ε)), σ стала, незалежна
вiд ε.
Доведення. При зроблених припущеннях нерiвностi вигляду
‖u‖ ≤ σ1ε
α,
∥∥∥∥∂u∂y
∥∥∥∥ ≤ σ1ε
α,
∥∥∥∥ ∂u∂ψ
∥∥∥∥ ≤ σ1ε
α (5)
доведенi в роботi [7], тому встановимо оцiнку∥∥∥∥∂u∂µ
∥∥∥∥ ≤ σ1ε
α. (6)
Iз рiвнянь (1), (31), (32) для
∂u
∂µ
≡ v(τ) випливає зображення
v(τ) =
τ∫
0
[
A1v(t) +A2
∂ϕ
∂µ
+A3
∂x
∂µ
+A4
]
dt, (7)
в якому
A1 =
∂c
∂x
, A2 =
∂c
∂ϕ
, A3 =
∂
∂x
(c− c), A4 =
∂
∂µ
(c− c),
c = c(x, ϕ, t, µ), c = c0(x, t, µ), x = x(t, y, ψ, µ, ε),
ϕ = ϕ(t, y, ψ, µ, ε), x = x(t, y, µ), ϕ = ϕ(t, y, ψ, µ, ε).
Оскiльки середнє по ϕ матрицi A2 тотожно дорiвнює нулю, а норми матриць
∂ϕ
∂µ
i
d
dt
∂ϕ
∂µ
, згiдно з рiвняннями (1), обмеженi для всiх t ∈ [0, L], то, використовуючи умови а),
б) та рiвномiрнi оцiнки осциляцiйних iнтегралiв [7], дiстаємо нерiвнiсть∥∥∥∥∥∥
τ∫
0
A2
∂ϕ
∂µ
dt
∥∥∥∥∥∥ ≤ σ(1)εα ∀ (t, y, ψ, µ, ε) ∈ B. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 233
Подамо далi A3 у виглядi
A3 =
∂
∂x
(c(x, ϕ, t, µ)− c(x, ϕ, t, µ)) +
∂
∂x
(c(x, ϕ, t, µ)− c(x, t, µ)). (9)
Перший доданок у правiй частинi (9) завдяки умовi гладкостi а) i нерiвностям (5) оцi-
нюється зверху величиною σ1σ1ε
α, а середнє по ϕ вiд другого доданка є тотожним нулем,
тому iснує така стала σ(2), незалежна вiд ε, що∥∥∥∥∥∥
τ∫
0
A3
∂x
∂µ
dt
∥∥∥∥∥∥ ≤ σ(2)εα ∀ (t, y, ψ, µ, ε) ∈ B. (10)
Аналогiчно встановлюється оцiнка∥∥∥∥∥∥
τ∫
0
A4 dt
∥∥∥∥∥∥ ≤ σ(3)εα ∀ (t, y, ψ, µ, ε) ∈ B. (11)
Враховуючи нерiвностi (8), (10), (11), iз рiвностi (7) за допомогою леми Гронуолла
Беллмана виводимо оцiнку (6). Лему доведено.
Позначимо через P (ε) квадратну (n+m+ s)-вимiрну матрицю r∑
j=1
∂F 0
∂pj
x(τj , x0, µ0)
∂x0
+
∂F 0
∂qj
τj∫
0
∂b(x(τ, x0, µ0), τ, µ0)
∂x
∂x(τ, x0, µ0)
∂x0
dτ
;
r∑
j=1
∂F 0
∂qj
;
r∑
j=1
∂F 0
∂pj
∂x(τj , x0, µ0)
∂µ0
+
∂F 0
∂qj
τj∫
0
∂b(x(τ, x0, µ0), τ, µ0)
∂x
∂x(τ, x0, µ0)
∂µ0
dτ
+
∂F 0
∂µ0
,
де
∂F 0
∂pj
,
∂F 0
∂qj
i
∂F 0
∂µ0
значення матриць частинних похiдних функцiї
F (p1, . . . , pr, q1, . . . , qr, µ, ε) при pk = x(τk, x0, µ0), qk = ϕ(τk, x0, ϕ0, µ0, ε), µ = µ0,
k = 1, r.
Теорема 1. Нехай: 1) виконуються умови а) в); 2) при кожному ε ∈ (0, ε0] iснує єди-
ний розв’язок {x(τ, x0, µ0);ϕ(τ, x0, ϕ0, µ0, ε);µ0} уcepeднeнoї задачi (31 ) (33 ), для якого
x0 = x0(ε) ∈ Dρ0 , ϕ0 = ϕ0(ε) ∈ Rm, µ0 = µ0(ε) ∈ Gρ0 ; 3) ‖P−1(ε)‖ ≤ σ0 = const. Тодi для
кожного ε ∈ (0, ε0] (ε0 > 0 досить мале) iснує єдиний розв’язок {x(τ, ε);ϕ(τ, ε);µ(ε)}
крайової задачi (1), (2), який задовольняє нерiвнiсть
‖x(τ, ε)− x(τ, x0, µ0)‖+ ‖ϕ(τ, ε)− ϕ(τ, x0, ϕ0, µ0, ε)‖+ ‖µ(ε)− µ0‖ ≤ σ3ε
α
∀ (τ, ε) ∈ [0, L]× (0, ε0]
(12)
зi сталою σ3, незалежною вiд ε.
Доведення. Розв’язок задачi (1), (2) шукаємо у виглядi
{x(τ, ε);ϕ(τ, ε);µ(ε)} = {x(τ, x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε);
ϕ(τ, x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε); µ0 + ∆}, (13)
234 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
а невiдомi параметри y ∈ Rn, ψ ∈ Rm i ∆ ∈ Rs визначаємо iз крайових умов (2). Якщо
позначити z = (y, ψ,∆), то одержимо рiвнiсть
z = −P−1(ε){[F − F ] + [F − P (ε)z]} ≡M(z, ε), (14)
в якiй F = F (x(τ1, x
0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε), . . . , ϕ(τr, x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε), µ0 + ∆, ε),
F = F (x(τ1, x
0 + y, µ0 + ∆), . . . , ϕ(τr, x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε), µ0 + ∆, ε).
Враховуючи обмеження в) i оцiнку (4), дiстаємо нерiвнiсть
‖F‖ ≤ σ2σε
α. (15)
Iз умов гладкостi правих частин усереднених рiвнянь (31), (32) випливають рiвностi
x(τ, x0 + y, µ0 + ∆) = x(τ, x0, µ0) +
∂x(τ, x0, µ0)
∂x0
y +
∂x(τ, x0, µ0)
∂µ0
∆ +X(τ, y,∆),
(16)
ϕ(τ, x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε) = ϕ(τ, x0, ϕ0, µ0, ε) + ψ +
+
τ∫
0
∂b(x(τ, x0, µ0), τ, µ0)
∂x
∂x(τ, x0, µ0)
∂x0
dτy +
+
τ∫
0
[
∂b(x(τ, x0, µ0), τ, µ0)
∂x
∂x(τ, x0, µ0)
∂µ0
+
∂b(x(τ, x0, µ0), τ, µ0)
∂µ0
]
dτ∆ + Y (τ, y,∆),
в яких
‖X(τ, y,∆)‖+ ‖Y (τ, y,∆)‖ ≤ σ̃3, σ̃3 = const,
∥∥∥∥ ∂
∂x0
x(τ, x0, µ0)
∥∥∥∥ ≤ neσ1L,
∥∥∥∥ ∂
∂µ0
x(τ, x0, µ0)
∥∥∥∥ ≤ Lsσ1e
Lsσ1 .
Оскiльки
∂
∂Q
F (Q, ε) рiвностайно по ε ∈ (0, ε0] рiвномiрно неперервна по Q ∈ K, то для
довiльної точки Q0 i додатного числа δ1 (його ми означимо нижче) iснує таке δ2 > 0,
незалежне вiд Q0 i ε, що∥∥∥∥ ∂
∂Q
F (Q0 +Q, ε)− ∂
∂Q
F (Q0, ε)
∥∥∥∥ ≤ δ1 при ‖Q‖ < δ2. (17)
Тодi, враховуючи рiвностi
F (Q0 +Q, ε) = F (Q0, ε) +
∂
∂Q
F (Q0, ε)Q+ F1,
F1 =
1∫
0
[
∂
∂Q
F (Q0 + tQ, ε)− ∂
∂Q
F (Q0, ε)
]
dtQ
i крайову умову (33), для F можна записати зображення
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 235
F = P (ε)z + L1(z, ε), (18)
в якому
‖L1(z, ε)‖ ≤ δ1σ4‖z‖, ‖z‖ ≤ δ2σ
−1
4 ,
σ4 = r
[
eLsσ1(n+ Lsσ1)(1 + Lnσ1) + Lsσ1 + 1 + σ̃3
]
.
Таким чином, iз рiвностей (14), (18) i нерiвностi (15) одержимо оцiнку ‖M(z, ε)‖ ≤
≤ (σσ2ε
α + δ1σ4‖z‖)σ0 для всiх ε ∈ (0, ε0] i ‖z‖ ≤ δ2σ
−1
4 . Звiдси випливає, що M(z, ε) вi-
дображає множину U = {z: z ∈ Rn+m+s, ‖z‖ ≤ σ5ε
α}, σ5 = 2σ0σσ2, в себе, якщо вибрати
δ1 ≤
1
4σ0σ4
, ε0 ≤ [δ−1
2 σ4σ5]−
1
α .
Покажемо, що M :U → U є вiдображенням стиску. Iз (14) маємо
∂M(z, ε)
∂z
= −P−1(ε)
r∑
j=1
[
∂F
∂pj
(
∂x
∂y
+
∂x̃
∂y
)
+
∂F
∂qj
(
∂ϕ
∂y
+
∂ϕ̃
∂y
)]
;
r∑
j=1
[
∂F
∂pj
∂x̃
∂ψ
+
∂F
∂qj
+
∂F
∂qj
∂ϕ̃
∂ψ
]
;
r∑
j=1
[
∂F
∂pj
(
∂x
∂∆
+
∂x̃
∂∆
)
+
∂F
∂qj
(
∂ϕ
∂∆
+
∂ϕ̃
∂∆
)]
+
∂F
∂µ0
− P (ε)
, (19)
де
x = x(τj , x0 + y, µ0 + ∆), ϕ = ϕ(τj , x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε),
x̃ = x(τj , x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε)− x, ϕ̃ = ϕ(τj , x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε)− ϕ.
Враховуючи рiвностi (16) i нерiвностi (4), (17), одержуємо спiввiдношення
∂F
∂pj
=
∂F 0
∂pj
+ F
(1)
j ,
∂F
∂qj
=
∂F 0
∂qj
+ F
(2)
j ,
∂F
∂µ0
=
∂F 0
∂µ0
+ F (3), (20)
в яких ‖F (1)
j ‖+ ‖F (2)
j ‖+ ‖F (3)‖ < δ1 при[
reσ1L(n+ Lsσ1 + (Lnσ1 + 1)(Lsσ1 + 1)) + 1
]
‖z‖+ 2rσεα ≤ δ2.
Оскiльки ‖z‖ ≤ σ5ε
α, то останню нерiвнiсть можна задовольнити за рахунок досить ма-
лого ε0 > 0.
Розглянемо далi усередненi рiвняння (31), (32). Згiдно з припущеннями, функцiї a
i b мають обмеженi частиннi похiднi по x, ϕ, µ до другого порядку включно i z ∈ U ,
236 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
тому можна вказати таку сталу σ6, незалежну вiд ε, що функцiя v(τ, a, θ, µ, ε) =
= (x(τ, a, µ);ϕ(τ, a, θ, µ, ε)) справджує нерiвнiсть∥∥∥∥ ∂
∂x0
v(τ, x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε)− ∂
∂x0
v(τ, x0, ϕ0, µ0, ε)
∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥ ∂
∂µ0
v(τ, x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε)− ∂
∂µ0
v(τ, x0, ϕ0, µ0, ε)
∥∥∥∥ ≤ σ6ε
α (21)
∀ (τ, ε) ∈ [0, L]× (0, ε0].
Використовуючи рiвностi (20) i оцiнки (4), (21), iз (19) дiстаємо нерiвнiсть∥∥∥∥∂M(z, ε)
∂z
∥∥∥∥ ≤ 6σ0σ2r(σ + σ6)εα + σ7δ1,
де
σ7 = σ0r
[
2 + neσ1L(1 + Lnσ1) + Lsσ1e
Lsσ1(1 + L+ Lnσ1)
]
.
Виберемо ε0 > 0 настiльки малим, щоб
6σ0σ2r(σ + σ6)εα0 ≤ σ7δ1,
i покладемо в (17)
δ1 =
1
4
min
{
1
σ0σ4
;
1
σ7
}
.
Тодi ∥∥∥∥∂M(z, ε)
∂z
∥∥∥∥ ≤ 2σ7δ1 ≤
1
2
,
тобто M :U → U є вiдображенням стиску. Тому iснує єдиний розв’язок z(ε) ≡
≡ {y(ε);ψ(ε); ∆(ε)} ∈ U рiвняння (14), а значить, i єдиний розв’язок крайової зада-
чi (1), (2), який можна задати формулою (13) при y = y(ε), ψ = ψ(ε), ∆ = ∆(ε) i який
лежить в малому околi розв’язку усередненої задачi (31) (33). Оцiнка (12) зi сталою
σ3 = σ + Lσ1σ5e
Lσ1 випливає iз обмеження z(ε) ∈ U i нерiвностi (4). Зазначимо, що коли
покласти εα0 ≤
ρ
2σ3
, то крива x = x(τ, ε) лежатиме в D разом зi своїм
1
2
ρ-околом для всiх
(τ, ε) ∈ [0, L]× (0, ε0]. Теорему доведено.
Зауваження. Отриманий вище результат встановлений при суттєвому припущеннi
‖P−1(ε)‖ ≤ σ0. Вiдмiтимо, що аналогiчне теоремi 1 твердження справедливе в тому ви-
падку, коли
‖P−1(ε)‖ ≤ σ0ε
−β ∀ε ∈ (0, ε0], (22)
а матриця
∂
∂Q
F (Q, ε) справджує умову Гельдера∥∥∥∥ ∂
∂Q
F (Q, ε)− ∂
∂Q
F (Q1, ε)
∥∥∥∥ ≤ σ0‖Q−Q1‖l (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 237
для всiх Q,Q1 ∈ K, ε ∈ (0, ε0]. Тут σ, σ0, β, l (l ≤ 1) додатнi сталi, причому
β <
l
l + 1
α. (24)
Доведення наступної теореми по сутi повторює доведення теореми 1.
Теорема 2. Якщо виконуються умови 1, 2 теореми 1 i нерiвностi (22) (24), то при
досить малому ε0 > 0 для кожного ε ∈ (0, ε0] iснує єдиний розв’язок {x(τ, ε);ϕ(τ, ε);µ(ε)}
задачi (1), (2), який лежить в σ3ε
α−β-околi розв’язку усередненої задачi (31 ) (33 ) для
всiх (τ, ε) ∈ [0, L]× (0, ε0].
Задамо тепер для рiвнянь (1) крайовi умови
Φ(x|τ=ν1 , . . . , x|τ=νr , µ, ε) = 0, (25)
r∑
j=1
Bj(ε)ϕ|τ=νj = C(ε), (26)
в яких ν = (ν1, . . . , νr) i µ = (µ1, . . . , µs) невiдомi параметри, r ≥ 2, 0 ≤ νj ≤ L, Φ
(n+ s+ r)-вимiрна вектор-функцiя, Bj(ε) i C(ε) вiдповiдно (m×m)- i (m× 1)-матрицi.
Iстотна вiдмiннiсть задачi (1), (23), (26) вiд задачi (1), (2) полягає в тому, що в першiй
з них невiдомi параметри νj , j = 1, r, пов’язанi з часовою змiнною τ . В цьому випадку
значно ускладнюється розв’язання крайової задачi, оскiльки
dϕk
dτ
∼ 1
ε
, k = 1,m, тобто
мала змiна часової змiнної τ породжує, взагалi кажучи, велику змiну величини ϕk. Цим
обумовлений один з найпростiших варiантiв крайових умов (26) для змiнних ϕ.
Припустимо, що
г) Φ(S, ε) i
∂
∂S
Φ(S, ε) рiвностайно по ε рiвномiрно неперервнi по S = (p1, . . . , pr, µ) ∈
∈ D × · · · ×D ×G ≡ K̃ i∥∥∥∥ ∂∂SΦ(S, ε)
∥∥∥∥ ≤ σ2 = const.
Лема 2. Нехай: 1) при кожному ε ∈ (0, ε0] iснує єдиний розв’язок x0 = x0(ε) ∈ Dρ0 ,
µ0 = µ0(ε) ∈ Gρ0 , ν0 = (ν0
1 , . . . , ν
0
r ) = ν0(ε) рiвняння
Φ(x(ν0
1 , x
0, µ0), . . . , x(ν0
r , x
0, µ0), µ0, ε) = 0,
для якого
d1 = min
1≤j≤r
inf
ε
ν0
j (ε) > 0, d2 = max
1≤j≤r
sup
ε
ν0
j (ε) < L;
2) det
r∑
j=1
Bj(ε) 6= 0 ∀ε ∈ (0, ε0].
Тодi для кожного ε ∈ (0, ε0] iснує єдиний розв ’язок {x(τ, ε);ϕ(τ, ε);µ0; ν0} усередненої
задачi (31 ), (32 ), (25), (26).
Доведення. Покладемо x(τ, ε) ≡ x(τ, x0, µ0, ), ϕ(τ, ε) = ϕ(τ, x0, ϕ0, µ0, ε), де
ϕ0 =
r∑
j=1
Bj(ε)
−1
C(ε)− 1
ε
r∑
j=1
ν0
j∫
0
(ω(τ) + εb(x(τ, ε), τ, µ0)) dτ
.
238 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Оскiльки x0 ∈ Dρ0 , µ0 ∈ Gρ0 , то крива (x(τ, ε);ϕ(τ, ε)) лежить в D × Rm для всiх (τ, ε) ∈
∈ [0, L]× (0, ε0]. Лему доведено.
Для розв’язання задачi (1), (25), (26) застосуємо схему, яка була запропонована при
доведеннi теореми 1. Якщо розв’язок вказаної задачi шукати у виглядi
{x(τ, ε);ϕ(τ, ε);µ(ε); ν(ε)} ≡ {x(τ, x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε);
ϕ(τ, x0 + y, ϕ0 + ψ, µ0 + ∆, ε);µ0 + ∆; ν0 + h}, (27)
то для визначення невiдомих величин (y; ∆;h) ≡ v ∈ Rn+r+s, згiдно з (25), одержимо
рiвняння
v = −P−1
1 (ε)[(Φ− Φ) + (Φ− P1(ε)v)] ≡M1(v, ψ, ε). (28)
Тут Φ = Φ(x(ν0
1 +h1, x
0+y, ϕ0+ψ, µ0+∆, ε), . . . , x(ν0
r +hr, x0+y, ϕ0+ψ, µ0+∆, ε), µ0+∆, ε),
Φ = Φ(x(ν0
1 + h1, x
0 + y, µ0 + ∆), , . . . , x(ν0
r + hr, x
0 + y, µ0 + ∆), µ0 + ∆, ε), h = (h1, . . . , hr),
а квадратна (n+ r + s)-вимiрна матриця P1(ε) визначається рiвнiстю
P1(ε) =
r∑
j=1
∂Φ0
∂pj
∂x(ν0
j , x
0, µ0)
∂x0
;
r∑
j=1
∂Φ0
∂pj
∂x(ν0
j , x
0, µ0)
∂µ0
+
∂Φ0
∂µ0
;
∂Φ0
∂p1
a(x(ν0
1 , x
0, µ0), ν0
1 , µ
0); . . . ;
∂Φ0
∂pr
a(x(ν0
r , x
0, µ0), ν0
r , µ
0),
)
в якiй через
∂Φ0
∂pj
, j = 1, r, i
∂Φ0
µ0
позначено значення матриць частинних похiдних функцiї
Φ(p1, . . . , pr, µ, ε) при pi = x(ν0
i , x
0, µ0), i = 1, r, µ = µ0.
Нехай
‖P−1
1 (ε)‖ ≤ σ0 = const ∀ε ∈ (0, ε0]. (29)
Як i при доведеннi теореми 1, можна показати, що при досить малому ε0 > 0 для
всiх ε ∈ (0, ε0] i ψ ∈ Rm вiдображення M1:U1 → U1, де U1 = {v: v ∈ Rn+r+s, ‖v‖ ≤ σ8ε
α},
σ8 незалежна вiд ε стала, є стиснутим, тому iснує єдиний розв’язок v = v(ψ, ε) ≡
≡ {y(ψ, ε); ∆(ψ, ε);h(ψ, ε)} ∈ U1 рiвняння (28), який неперервно залежить вiд ψ.
Пiсля пiдстановки у (26) замiсть v значення v(ψ, ε) одержимо рiвняння для визначен-
ня ψ:
ψ = −
r∑
j=1
Bj(ε)
−1
r∑
j=1
Bj(ε)
{
ϕ
∼
+
1
ε
ν0
j+hj(ψ,ε)∫
ν0
j
[ω(τ) + εb(x(τ, x0 + y(ψ, ε),
µ0 + ∆(ψ, ε)), τ, µ0 + ∆(ψ, ε))] dτ +
ν0
j∫
0
[b(x(τ, x0 + y(ψ, ε),
µ0 + ∆(ψ, ε)), τ, µ0 + ∆(ψ, ε))− b(x(τ, x0, µ0), τ, µ0)] dτ
}
≡M2(ψ, ε), (30)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 239
де ϕ
∼
= ϕ(νj , x0 + y(ψ, ε), ϕ0 + ψ, µ0 + ∆(ψ, ε), ε)− ϕ(νj , x0 + y(ψ, ε), ϕ0 + ψ, µ0 + ∆(ψ, ε), ε),
h(ψ, ε) = (h1(ψ, ε), . . . , hr(ψ, ε)).
При зроблених вище припущеннях iснує така незалежна вiд ε стала σ9, що для всiх
(ψ, ε) ∈ Rm × (0, ε0] виконується нерiвнiсть
‖M2(ψ, ε)‖ ≤
∥∥∥∥∥∥
r∑
j=1
Bj(ε)
−1∥∥∥∥∥∥
r∑
j=1
‖Bj(ε)‖σ9ε
α−1 ≡ f(ε).
Крiм того, вектор-функцiя M2(ψ, ε) неперервна по ψ. Тому, згiдно з теоремою Шауде-
ра [8] про нерухому точку, iснує розв’язок ψ = ψ(ε), ‖ψ(ε)‖ ≤ f(ε), рiвняння (30), тобто
iснує розв’язок
{x(τ, ε);ϕ(τ, ε);µ(ε), ν(ε)} ≡ {x(τ, x0 + y(ψ(ε), ε), ϕ0 + ψ(ε), µ0 + ∆(ψ(ε), ε), ε);
ϕ(τ, x0 + y(ψ(ε), ε), ϕ0 + ψ(ε), µ0 + ∆(ψ(ε), ε), ε);µ0 + ∆(ψ(ε), ε); ν0 + h(ψ(ε), ε)}
крайової задачi (1), (25), (26), який задовольняє нерiвнiсть
‖x(τ, ε)− x(τ, ε)‖+ ‖ϕ(τ, ε)− ϕ(τ, ε)− ψ(ε)‖+ ‖µ(ε)− µ0‖+
+‖ν(ε)− ν0‖ ≤ σ10ε
α ∀(τ, ε) ∈ [0, L]× (0, ε0] (31)
зi сталою σ10, незалежною вiд ε.
Зазначимо, що вибiр малим ε0 > 0 обумовлений також обмеженнями x(τ, ε) ∈ D,
µ(ε) ∈ G ∀(τ, ε) ∈ [0, L] × (0, ε0] i нерiвнiстю σ10ε
α
0 ≤
1
2
min{d1;L − d2}, яка гарантує
належнiсть кожної iз координат νj(ε), j = 1, r, вектора ν(ε) вiдрiзку [0, L].
Таким чином, справедлива така теорема.
Теорема 3. Припустимо, що виконуються умови а), б), г) умови леми 2 i нерiв-
нiсть (29). Тодi можна вказати такi сталi ε0 > 0 i σ10 > 0, що для кожного ε ∈ (0, ε0]
iснує розв’язок {x(τ, ε);ϕ(τ, ε);µ(ε), ν(ε)} крайової задачi (1), (25), (26), який задовольняє
нерiвнiсть (31).
1. Митропольский Ю.А. Адиабатический инвариант для двойного маятника с медленно меняющимися
длинами // Мат. физика и нелинейн. механика. 1990. 14. С. 30 39.
2. Митропольский Ю.А. Нелинейная механика. Асимптотические методы. Киев: Ин-т математики
НАН Украины, 1995. 395 с.
3. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. Киев: Наук. думка, 1993. 288 с.
4. Ронто Н.И., Король И.И. Исследование и решение краевых задач с параметром численно-
аналитическим методом // Укр. мат. журн. 1994. 46, № 8. С. 1031 1043.
5. Самойленко А.М., Петришин Я.Р. Метод усереднення в багатоточкових задачах теорiї нелiнiйних ко-
ливань // Там же. 1996. 48, № 8. С. 1036 1043.
6. Самойленко А.М., Петришин Я.Р. Крайовi задачi з параметрами для багаточастотної коливної систе-
ми // Там же. 1997. 49, № 4. С. 581 589.
7. Петришин Р.I. Дослiдження коливних систем з повiльно змiнними частотами за допомогою методу
усереднення: Дис. . . . д-pa фiз-мат. наук. Київ, 1995. 248 с.
8. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.
Одержано 21.12.98
240 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
|