Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем
Дослiджується операторне рiвняння теорiї дискретних динамiчних систем
Збережено в:
Дата: | 1999 |
---|---|
Автори: | , , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1999
|
Назва видання: | Нелінійні коливання |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175538 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем / А.М. Самойленко, В.Е. Слюсарчук, В.В. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 241-251. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-175538 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1755382021-02-02T01:26:48Z Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем Самойленко, А.М. Слюсарчук, В.Е. Слюсарчук, В.В. Дослiджується операторне рiвняння теорiї дискретних динамiчних систем We investigate operator equation of the theory of discrete dynamic systems. 1999 Article Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем / А.М. Самойленко, В.Е. Слюсарчук, В.В. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 241-251. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175538 517.91 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
description |
Дослiджується операторне рiвняння теорiї дискретних динамiчних систем |
format |
Article |
author |
Самойленко, А.М. Слюсарчук, В.Е. Слюсарчук, В.В. |
spellingShingle |
Самойленко, А.М. Слюсарчук, В.Е. Слюсарчук, В.В. Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем Нелінійні коливання |
author_facet |
Самойленко, А.М. Слюсарчук, В.Е. Слюсарчук, В.В. |
author_sort |
Самойленко, А.М. |
title |
Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем |
title_short |
Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем |
title_full |
Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем |
title_fullStr |
Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем |
title_full_unstemmed |
Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем |
title_sort |
об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
1999 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175538 |
citation_txt |
Об одном операторном уравнении теории дискретных динамических систем / А.М. Самойленко, В.Е. Слюсарчук, В.В. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 241-251. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
series |
Нелінійні коливання |
work_keys_str_mv |
AT samojlenkoam obodnomoperatornomuravneniiteoriidiskretnyhdinamičeskihsistem AT slûsarčukve obodnomoperatornomuravneniiteoriidiskretnyhdinamičeskihsistem AT slûsarčukvv obodnomoperatornomuravneniiteoriidiskretnyhdinamičeskihsistem |
first_indexed |
2025-07-15T12:51:25Z |
last_indexed |
2025-07-15T12:51:25Z |
_version_ |
1837717400830607360 |
fulltext |
т. 2 •№ 2 • 1999
УДК 517.91
ОБ ОДНОМ ОПЕРАТОРНОМ УРАВНЕНИИ
ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.М. Самойленко
Ин-т математики HAH Украины,
Украина, 252601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
e-mail: sam@imath.kiev.ua
В.Е. Слюсарчук
Ривнэн. техн. ун-т,
Украина, 266000, Ривнэ, ул. Соборная, 11
e-mail: admi@usawm.rovno.ua
В.В. Слюсарчук
Ин-т математики НАН Украины,
Украина, 252601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
We investigate operator equation of the theory of discrete dynamic systems.
Дослiджується операторне рiвняння теорiї дискретних динамiчних систем.
Пусть E бесконечномерное банахово пространство и Tm m-мерный тор.
Рассмотрим динамическую систему, заданную разностным уравнением
x(n+ 1) = X(x(n)), n ≥ 0, (1)
где X:X → X Cr-отображение, r ≥ 2. Предположим, что эта система имеет инва-
риантное многообразие M = {x ∈ E:x = f(ϕ), ϕ ∈ Tm} класса Cr, которое заполнено
квазипериодическими траекториями
x(n, f(ϕ)) = f(nω + ϕ), n ≥ 0, ϕ ∈ Tm,
(ω = (ω1, . . . , ωm) частотный базис квазипериодической функции f(tω)). Потребуем,
чтобы многообразие M было диффеоморфным тору Tm.
Пусть dfϕ производная отображения f : Tm → E в точке ϕ, а T (Tm)ϕ и TMf(ϕ)
касательные пространства к многообразиям Tm и M соответственно в точках ϕ и f(ϕ).
Представим банахово пространство E для каждого ϕ ∈ Tm в виде прямой суммы TMf(ϕ)
и некоторого подпространства Eϕ:
E = TMf(ϕ) + Eϕ.
Такое представление возможно в силу конечномерности пространства TMf(ϕ). Выбор
пространства Eϕ осуществим таким образом, чтобы проектор P (ϕ) на Eϕ параллельно
c© А.М. Самойленко, В.Е. Слюсарчук, В.В. Слюсарчук, 1999 241
TMf(ϕ) [1] был Cr-отображением (это возможно на основании конечномерности, ком-
пактности и принадлежности классу Cr многообразия M). Соответствующие расщеп-
ления пространства E на подпространства TMf(ϕ) и Eϕ (ϕ ∈ Tm) порождают Cr−1-
отображение F , которое каждой паре (ϕ, h) элементов ϕ ∈ Tm и h ∈ Eϕ ставит в со-
ответствие вектор x ∈ E:
x = f(ϕ) + P (ϕ)h.
Это отображение имеет обратное отображение, а именно: если Gδ = {(ϕ, h):ϕ ∈ Tm,
h ∈ Eϕ, ||h|| < δ} и Uδ = {x ∈ E: inf
y∈M
||x − y|| < δ}, то найдется такое число ε > 0,
что FGε ⊃ Uµ для некоторого числа µ > 0 и отображения F :Gε → FGε является Cr−1-
диффеоморфизмом [2].
Следовательно, можно ввести вблизи многообразия M систему координат относи-
тельно переменных (ϕ, h) (см. также [3, с. 324 333]), представить систему (1) относи-
тельно этих новых переменных (система примет более удобный для исследования вид) и
провести соответствующие исследования.
В статье [4] показано, что при естественных ограничениях в достаточно малой
окрестности многообразия M система (1) относительно переменных (ϕ, h) ∈ Tm × Eϕ
принимает вид
ϕ(n+ 1) = ϕ(n) + ω,
h(n+ 1) = C(ϕ(n), h(n))h(n), n ≥ 0,
(2)
где C(ϕ, h) линейное для каждых (ϕ, h) ∈ Gδ (δ достаточно малое число) непрерыв-
ное отображение, действующее из Eϕ в Eϕ+ω, являющееся Cr−1-отображением и удовле-
творяющее соотношению
sup
ϕ∈Tm
||C(ϕ, h)− P (ϕ+ ω)(dX)f(ϕ)P (ϕ)|| = o(h) при h→ 0.
При переходе от системы (1) к системе (2) важную роль играет операторное уравне-
ние
Y (ϕ, h) = A(ϕ, h) + Y (ϕ+ ω +A(ϕ, h)h,B(ϕ, h))B(ϕ, h), (3)
где A(ϕ, h) и (ϕ, h) линейные при фиксированных (ϕ, h) ∈ Gε (ε достаточно малое
число) ограниченные отображения, действующие из Eϕ соответственно в Rm и E, явля-
ющиеся Cr−1-отображениями и удовлетворяющие условиям
(ϕ+ ω +A(ϕ, h)h,B(ϕ, h)h) ∈ Tm × Eϕ+ω+A(ϕ,h)h,
∥∥A(ϕ, h)− (df)−1
ϕ+ω(I − P (ϕ+ ω))(dX)f(ϕ)P (ϕ)
∥∥ = o(h) при h→ 0, (4)
∥∥B(ϕ, h)− P (ϕ+ ω)(dX)f(ϕ)P (ϕ)
∥∥ = o(h) при h→ 0 (5)
для всех (ϕ, h) ∈ Gε, a Y (ϕ, h) искомое решение, также представляющее собой для
каждых фиксированных (ϕ, h) ∈ Gε линейное отображение, действующее из Eϕ в Rm
(см. [4]).
242 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Заметим, что решение Y (ϕ, h) уравнения (3) определяет отображение, осуществляю-
щее переход от системы (1) к системе (3) (см. п. 5 работы [4]). Существование решений
этого уравнения установлено в [4] в случае выполнения соотношения
sup
ϕ∈Tm
‖B(ϕ, 0)‖ < 1
(случай dimE < ∞ рассмотрен в [5]). Принадлежность этого решения классу Cr−1 обес-
печивается выполнением требования достаточной малости величины
sup
ϕ∈Tm
r−1∑
k=1
||(dkB)(ϕ,0)||. (6)
В данной статье мы приведем более общие достаточные условия существования ре-
шений уравнения (3). Сначала приведем ряд вспомогательных утверждений. Пусть
ϕ0 = ϕ,
h0 = h,
ϕn = ϕn−1 + ω +A(ϕn−1, hn−1)hn−1,
(7)
hn = B(ϕn−1, hn−1)hn−1, n ≥ 1, (8)
и
Bn(ϕ, h) = B(ϕn−1, hn−1)B(ϕn−2, hn−2) . . . B(ϕ0, h0), n ≥ 1.
Лемма 1. Если
sup
ϕ∈Tm
‖Bp(ϕ, 0)‖ < 1 (9)
для некоторого p ∈ N, то найдутся числа γ > 0, M ≥ 1 и q ∈ (0, 1) такие, что для по-
следовательности {(ϕn, hn)}n≥0, определенной равенствами (7) и (8), где (ϕ0, h0) ∈ Gγ ,
выполняется соотношение
||hn|| ≤Mqn||h0||, n ≥ 1. (10)
Доказательство. Пусть выполняется соотношение (9). Согласно соотношениям (4)
и (5), а также компактности множеств
{A(ϕ, 0):ϕ ∈ Tm},
{B(ϕ, 0):ϕ ∈ Tm}
найдется такое число δ > 0, что
sup
(ϕ,h)∈Gδ
(||A(ϕ, h)||+ ||B(ϕ, h)||) <∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 243
Поэтому на основании (4), (5) и (9)
sup
(ϕ,h)∈Gγ
||Bp(ϕ, h)|| < µ < 1 (11)
для некоторых чисел γ ∈ (0, δ) и µ. Тогда ||hp|| < µγ < γ и, следовательно,
(ϕp, hp) ∈ Gγ . (12)
Поэтому согласно соотношению (8) и определению Bn(ϕ, h) выполняется равенство
B2p(ϕ, h) = Bp(ϕp, hp).
Аналогично
Bkp(ϕ, h) = Bp(ϕ(k−1)p, h(k−1)p)
и
(ϕ(k−1)p, h(k−1)p) ∈ Gγ (13)
для каждого k ≥ 3.
Очевидно, что
Bkp(ϕ, h) = Bp(ϕ(k−1)p, h(k−1)p)Bp(ϕ(k−2)p, h(k−2)p) . . . Bp(ϕ0, h0).
Отсюда с учетом (12) и (13) получаем
||hkp|| ≤ µk||h0||, k ≥ 1. (14)
Пусть
q = µ
1
p (15)
и
M = max
{
sup
(ϕ,h)∈Gγ ,k=1,p−1
q−k||Bk(ϕ, h)||, 1
}
. (16)
Поскольку для каждого n ∈ N
hn = Bs(ϕr, hr)hr,
где r = p
[
n
p
]
([x] целая часть числа x), s = n − r и Bs(ϕr, hr) единичный оператор,
если s = 0, то согласно (14), (15) и (16) выполняется соотношение (10).
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если отображение B(ϕ, 0):Eϕ → Eϕ+ω для каждого ϕ ∈ Tm имеет ограни-
ченное обратное, то в достаточно малой окрестности множества Tm × {0} отобра-
жение
P (ϕ, h) = (ϕ+ ω +A(ϕ, h)h,B(ϕ, h)h) (17)
имеет обратное Cr−1-omoбpaжeнue.
244 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Доказательство. Заметим, что отображение P является Cr−1-отображением, по-
скольку аналогичное свойство имеют отображения A и B, а производная Фреше ото-
бражения P в точках множества Tm × {0} имеет вид
(dP )(ϕ,0)(ψ, h) = (ψ +A(ϕ, 0)h,B(ϕ, 0)h). (18)
Из условий леммы и равенства (18) следует, что линейное отображение (dP )(ϕ,0) имеет
непрерывное обратное ((dP )(ϕ,0))−1 для каждого ϕ ∈ Tm. Это отображение представля-
ется равенством
((dP )(ϕ,0))
−1(ψ, h) = (ψ −A(ϕ, 0)B−1(ϕ, 0)h,B−1(ϕ, 0)h).
Поэтому отображение P локально обратимо в каждой точке (ϕ, 0) множества Tm×{0}. В
силу этого свойства и компактности множества Tm можно найти такое достаточно малое
число δ > 0, чтобы P (ϕ1, h1) 6= P (ϕ2, h2), если только 0 < ||ϕ1 − ϕ2|| − ||h1 − h2|| < δ. По-
кажем далее, что различные точки (ϕ′1, h
′
1), (ϕ′2, h
′
2) достаточно малой окрестности мно-
жества Tm × {0} отображением P не могут отображаться в одну и ту же точку. Отсюда
будет вытекать глобальная обратимость отображения P в достаточно малой окрестно-
сти множества Tm × {0}.
Пусть ε такое положительное число, что
sup
(ϕ,h)∈Gε
(||A(ϕ, h)||+ ||B(ϕ, h)||) <∞.
Это соотношение выполняется при достаточно малом ε в силу (4), (5) и компактности
множества Tm. Возьмем такое число γ ∈ (0, ε), чтобы
(a+ b+ 2)γ < δ, (19)
где
a = sup
(ϕ,h)∈Gε
||A(ϕ, h)||,
b = sup
(ϕ,h)∈Gε
||B(ϕ, h)||.
Пусть (ϕ′1, h
′
1), (ϕ′2, h
′
2) ∈ Gγ , (ϕ′1, h
′
1) 6= (ϕ′2, h
′
2) и P (ϕ′1, h
′
1) = P (ϕ′2, h
′
2). Тогда
ϕ′1 − ϕ′2 = A(ϕ′2, h
′
2)h′2 −A(ϕ′1, h
′
1)h′1.
Поэтому
0 ≤ ||ϕ′1 − ϕ′2||+ ||h′1 + h′2|| ≤ ||A(ϕ′2, h
′
2)h′2||+ ||A(ϕ′1, h
′
1)h′1||+
+||h′1||+ ||h′2|| ≤ aγ + bγ + γ + γ < δ
(здесь учтено соотношение (19)), что противоречит локальной обратимости отображе-
ния P в точке (ϕ′1, 0).
Итак, отображение P в достаточно малой окрестности имеет обратное отображение
P−1, которое, как и отображение P , является Cr−1-отображением.
Лемма 2 доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 245
Замечание 1. Утверждение леммы 2 означает, что отображение X:E → E, порожда-
ющее дискретную динамическую систему (1), обратимо в достаточно малой окрестности
многообразияM . Рассмотрим еще одно вспомогательное утверждение, аналогичное лем-
ме 1.
Лемма 3. Пусть отображение B(ϕ, 0):Eϕ → Eϕ+ω имеет ограниченное обратное
отображение для каждого ϕ ∈ Tm и выполняется соотношение
sup
ϕ∈Tm
||B−1
p (ϕ, 0)|| < 1. (20)
Тогда найдутся числа γ > 0, M ≥ 1 и q ∈ (0, 1) такие, что для последовательности
{(ϕ−n, h−n)}n≥1, определенной равенствами
(ϕ−n, h−n) = P−1(ϕ−n+1, h−n+1), n ≥ 1, (21)
где (ϕ0, h0) ∈ Gγ , выполняется соотношение
||h−n|| ≤Mqn||h0||, n ≥ 1. (22)
Доказательство. С помощью равенства (17) убеждаемся в том, что соотношение (21)
равносильно следующей системе соотношений:
ϕ−n = ϕ−n+1 − ω − Ã(ϕ−n+1, h−n+1)h−n+1, (23)
h−n = B̃(ϕ−n+1, h−n+1)h−n+1, n ≥ 1, (24)
где
Ã(ϕ, h) = A(P−1(ϕ, h))B−1(P−1(ϕ, h)), (25)
B̃(ϕ, h) = B−1(P−1(ϕ, h)), (26)
причем
Ã(ϕ, 0) = A(ϕ− ω, 0)B−1(ϕ− ω, 0),
B̃(ϕ, 0) = B−1(ϕ− ω, 0).
Поскольку отображения Ã(ϕ, h) и B̃(ϕ, h) в достаточно малой окрестности множества
Tm×{0} являются Cr−1-отображениями, что следует из соотношений (25), (26) и принад-
лежности отображений A(ϕ, h), B−1(ϕ, h) и P1 классу Cr−1, то в силу компактности тора
Tm справедливы соотношения
sup
(ϕ,h)∈Gε
||Ã(ϕ, h)−A(ϕ− ω, 0)B−1(ϕ− ω, 0)|| = o(ε) при ε→ 0,
sup
(ϕ,h)∈Gε
||B̃(ϕ, h)−B−1(ϕ− ω, 0)|| = o(ε) при ε→ 0,
246 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
аналогичные соотношениям (4) и (5). Поэтому на основании (20), (23) и (24) для
B̃p(ϕ, h) = B̃(P−p+1(ϕ, h))B̃(P−p+2(ϕ, h)) . . . B̃(P−1(ϕ, h))B̃(ϕ, h)
выполняется соотношение
sup
(ϕ,h)∈Gγ
||B̃(ϕ, h)|| < µ < 1
с некоторыми положительными числами γ и µ.
Рассуждая далее аналогичным образом, как и при доказательстве леммы 1, заменив
Bn(ϕ, h), ϕn и hn соответственно на B̃(ϕ, h), ϕ−n и h−n, получим соотношение (22).
Замечание 2. Из утверждений лемм 1 и 3 вытекает, что в случае выполнения соотно-
шения (9) многообразие M является аттрактором [6] системы (1), а в случае выполнения
соотношения (20) репеллером [6] этой же системы.
Рассмотрим теперь задачу существования решений уравнения (3).
Теорема 1. Если для некоторого p ∈ N выполняется соотношение (9), то найдется
число γ > 0 такое, что уравнение (3) имеет единственное определенное на Gγ решение
V (ϕ, h) класса C0. Это решение представляется в виде
V (ϕ, h) = A(ϕ, h) +
∞∑
n=1
A(ϕn, hn)B(ϕ, h). (27)
При достаточно малых γ и величине (6) решение V (ϕ, h) является Cr−1-
отображением.
Доказательство. Согласно (4) и утверждению леммы 1 найдутся числа γ > 0, M ≥ 1,
q ∈ (0, 1), p ∈ N и a > 0 такие, что
sup
(ϕ,h)∈Gγ , n≥1
||A(ϕn, hn)|| ≤ a,
(28)
sup
(ϕ,h)∈Gγ
||Bn(ϕ, h)|| ≤Mqn, n ≥ 1,
и
Mqp < 1. (29)
Поэтому операторный ряд (27), где (ϕ, h) ∈ Gγ , мажорируется сходящимся рядом
a+
∞∑
n=1
aMqn.
Следовательно, операторная функция V (ϕ, h), определенная равенством (27), непрерыв-
на по (ϕ, h) на Gγ . Подстановкой отображения V (ϕ, h) в уравнение (3) убеждаемся в том,
что это отображение является решением класса C0 исследуемого уравнения.
Единственность решения V (ϕ, h) уравнения (3) вытекает из того, что соответствую-
щее линейное однородное уравнение
Y (ϕ, h) = Y (ϕ+ ω +A(ϕ, h)h,B(ϕ, h)h)B(ϕ, h) (30)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 247
имеет только нулевое решение. Действительно, каждое решение уравнения (30) является
решением уравнения
Y (ϕ, h) = Y (ϕp, hp)Bp(ϕ, h).
А согласно (28) и (29)
0 ≤ sup
(ϕ,h)∈Gγ
||Y (ϕ, h)|| = sup
(ϕ,h)∈Gγ
||Y (ϕp, hp)Bp(ϕ, h)|| ≤
≤ sup
(ϕ,h)∈Gγ
||Y (ϕp, hp)|| sup
(ϕ,h)∈Gγ
||Bp(ϕ, h)|| ≤ sup
(ϕ,h)∈Gγ
||Y (ϕ, h)||Mqp.
Отсюда на основании (29) получаем
sup
(ϕ,h)∈Gγ
||Y (ϕ, h)|| = 0.
Итак, первая часть утверждения теоремы 1 доказана.
Докажем вторую часть утверждения теоремы 1. Рассмотрим уравнение
Y (ϕ, h) = X(ϕ, h) + Y (ϕp, hp)Bp(ϕ, h), (31)
где
X(ϕ, h) = A(ϕ, h) +
p−1∑
n=1
A(ϕp, hp)Bn(ϕ, h).
Очевидно, что V (ϕ, h) решение этого уравнения.
Рассмотрим также банахово пространство L r − 1 раз непрерывно дифференцируе-
мых на Gε0 (ε0 достаточно малое число из интервала (0, γ)) функций Z(ϕ, h) со зна-
чениями в пространстве L(Eϕ,Rm) линейных непрерывных операторов, действующих из
Eϕ в R, с нормой
||Z||L = sup
(ϕ,h)∈Gε0
(||Z(ϕ, h)||L1 + ||(dZ)(ϕ,h)||L2 + . . .+ ||(dr−1Z)(ϕ,h)||Lr),
где
L1 = L(Eϕ,Rm), L2 = L(Eϕ, L1), . . . , Lr(Eϕ, Lr−1).
Равенством
(DZ)(ϕ, h) = X(ϕ, h) + Z(ϕp, hp)Bp(ϕ, h)
определим линейный непрерывный оператор D:L→ L. Учитывая соотношения
(dk(DZ))(ϕ,h) = (dkX)(ϕ,h) +
k∑
l=0
C lk
(
dlZ(ϕp, hp)
)
(ϕ,h)
(
dk−1Bp
)
(ϕ,h)
, k = 1, r − 1,
где Z ∈ L, вытекающие из правил дифференцирования, и ограниченность величин
αl = sup
(ϕ,h)∈Gε0
(‖(dlX)(ϕ,h)‖+ ‖(dlϕp)(ϕ,h)‖+ ‖(dlhp)(ϕ,h)‖), l = 0, r − 1,
248 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
что устанавливается аналогичным образом, как и ограниченность операторных функций
A(ϕ, h) и (ϕ, h) в достаточно малой окрестности множества Tm × {0}, приходим к выводу,
что
‖DZ1 −DZ2‖L ≤ k‖Z1 − Z2‖L (32)
для всех Zi ∈ L, i = 1, 2, где коэффициент k имеет вид
k = sup
(ϕ,h)∈Gε0
‖Bp(ϕ, h)‖+Q(α0, α1, . . . , αr−1) sup
(ϕ,h)∈Gε0
r−1∑
n=1
‖(dnBp)(ϕ,h)‖
(здесь Q(α0, α1, . . . , αr−1) некоторая непрерывная неотрицательная на Rr функция).
В силу соотношения (9) в случае достаточно малой величины (6) (число ε0 также
достаточно малое) коэффициент k будет меньше 1. Поэтому согласно (32) отображение
D:L → L является отображением сжатия. Единственная неподвижная точка этого ото-
бражения принадлежит L. Эта точка совпадает с решением V (ϕ, h) уравнения (31).
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть отображение B(ϕ, 0):Eϕ → Eϕ+ω имеет ограниченное обратное
отображение для каждого ϕ ∈ Tm и выполняется соотношение (20). Тогда найдется
число γ > 0 такое, что уравнение (3) имеет единственное определенное на Gγ решение
V (ϕ, h) класса C0. Это решение представляется в виде
V (ϕ, h) = −
∞∑
k=1
A(P−k(ϕ, h))B−1(P−k(ϕ, h))B−1(P−k(ϕ, h)) · · ·B−1(P−k(ϕ, h)). (33)
При достаточно малых γ и величине (6) решение V (ϕ, h) является Cr−1-
отображением.
Доказательство. Пусть γ такое положительное число, что на множестве GMγ , где
M число, фигурирующее в лемме 3, определены отображения P , P−1 и операторные
функции A(ϕ, h), B(ϕ, h), B−1(ϕ, h). Пусть также выполняется соотношение (22) для всех
(ϕ0, h0) ∈ Gγ . Тогда согласно лемме 3
P−k(ϕ, h) ∈ GMγ ∀(ϕ, h) ∈ Gγ , k ≥ 1. (34)
Поэтому каждый член операторного ряда правой части равенства (33) определен наGγ и,
очевидно, является операторной функцией класса Cr−1. Не ограничивая общности, мож-
но считать, что число γ выбрано настолько малым, что для некоторого положительного
числа a выполняется соотношение
sup
(ϕ,h)∈Gγ , k≥1
||A(P−kϕ, h)|| ≤ a
(это соотношение возможно в силу соотношения (34), компактности множества Tm и
принадлежности A(ϕ, h) классу Cr−1).
Поскольку также
‖B−1(P−k(ϕ, h))B−1(P−k+1(ϕ, h)) . . . B−1(P−1(ϕ, h))‖ ≤Mqk (35)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 249
для всех (ϕ, h) ∈ Gγ и k ≥ 1 (согласно лемме 3), где M ≥ 1 и q ∈ (0, 1), то операторный
ряд в правой части равенства (33) мажорируется на Cγ сходящимся числовым рядом
∞∑
k=1
aMqk.
Следовательно, рассматриваемый операторный ряд сходится на Gγ и его сумма V (ϕ, h)
является непрерывной по (ϕ, h) на Gγ .
Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция V (ϕ, h) является решением
уравнения (3). Это решение единственное, поскольку линейное однородное уравнение
Y (ϕ, h) = Y (ϕ+ ω +A(ϕ, h)h,B(ϕ, h)h)B(ϕ, h) (36)
имеет только нулевое решение на Gγ . Действительно, уравнение (36) равносильно урав-
нению
Y (ϕ, h) = Y (P−1(ϕ, h))B−1(P−1(ϕ, h)),
где (ϕ, h) ∈ P−1Gγ , а каждое ограниченное на Gγ решение этого уравнения является,
очевидно, решением уравнения
Y (ϕ, h) = Y (P−1(ϕ, h))B−1(P−m(ϕ, h))B−1(P−m+1(ϕ, h)) . . . B−1(P−1(ϕ, h)), (37)
где m такое натуральное число, что согласно (35)
sup
(ϕ,h)∈Gγ
‖B−1(P−m(ϕ, h))B−1(P−m+1(ϕ, h)) . . . B−1(P−1(ϕ, h))‖ ≤ µ (38)
для некоторого числа µ ∈ (0, 1) и
P−m(ϕ, h)Gγ ⊂ Gγ . (39)
Согласно (37) на основании (38) и (39)
0 ≤ sup
(ϕ,h)∈Gγ
‖Y (ϕ, h)‖ ≤ µ sup
(ϕ,h)∈Gγ
‖Y (ϕ, h)‖.
Поэтому
sup
(ϕ,h)∈Gγ
‖Y (ϕ, h)‖ = 0.
Итак, первая часть утверждения теоремы 2 доказана.
Обоснование второй части утверждения теоремы 2 аналогично обоснованию соот-
ветствующей части утверждения теоремы 1. При этом учитывается то, что ограничения
на величину (6) обеспечивают достаточную малость величины
sup
ϕ∈Tm
r−1∑
k=1
∥∥∥(dkB−1)(ϕ,0)
∥∥∥ .
Теорема 2 доказана.
250 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Замечание 3. Теоремы 1 и 2 позволяют улучшить результаты статьи [4] об условиях,
обеспечивающих сведение системы (1) к системе (2), и условиях асимптотической устой-
чивости траекторий системы (1).
1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.
2. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Шерман П.Б. Топологические методы в теории нелинейных фредголь-
мовых операторов. Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1978. 79 с.
3. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985. 376 с.
4. Самойленко А.М., Слюсарчук В.Е., Слюсарчук В.В. Исследование нелинейного разностного уравне-
ния в банаховом пространстве в окрестности квазипериодического решения // Укр. мат. журн. 1997.
49, № 12. С. 1661 1676.
5. Самойленко A.M. Исследование дискретной системы в окрестности квазипериодической траектории
// Там же. 1992. 44, № 12. С. 1702 1711.
6. Аносов Д.В., Арансон С., Арнольд В.И. и др. Динамические системы-1 // Итоги науки и техники. Со-
врем. пробл. математики. Фундамент. направления. М.: ВИНИТИ, 1985. Т.1. 243 с.
Получено 22.01.99
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 251
|