Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь
Запропоновано модифiкацiю чисельно-аналiтичного методу А.М. Самойленка розв’язування злiченноточкових крайових задач у просторi M.
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175539 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь / Ю.В. Теплінський, В.А. Недокіс // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 252-266. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175539 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755392021-02-02T01:26:28Z Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. Запропоновано модифiкацiю чисельно-аналiтичного методу А.М. Самойленка розв’язування злiченноточкових крайових задач у просторi M. We propose a modification of A.M. Samoilenko’s numerical-analytic method of solution of cout-point boundary value problems in the M space. 1999 Article Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь / Ю.В. Теплінський, В.А. Недокіс // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 252-266. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175539 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Запропоновано модифiкацiю чисельно-аналiтичного методу А.М. Самойленка розв’язування злiченноточкових крайових задач у просторi M. |
| format |
Article |
| author |
Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. |
| spellingShingle |
Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. |
| author_sort |
Теплінський, Ю.В. |
| title |
Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь |
| title_short |
Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь |
| title_full |
Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь |
| title_fullStr |
Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь |
| title_sort |
про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175539 |
| citation_txt |
Про зліченноточкові крайові задачі для зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь / Ю.В. Теплінський, В.А. Недокіс // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 252-266. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT teplínsʹkijûv prozlíčennotočkovíkrajovízadačídlâzlíčennihsistemzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT nedokísva prozlíčennotočkovíkrajovízadačídlâzlíčennihsistemzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T12:51:29Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:51:29Z |
| _version_ |
1837717404437708800 |
| fulltext |
т. 2 •№ 2 • 1999
УДК 517.9
ПРО ЗЛIЧЕННОТОЧКОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI
ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
Ю.В. Теплiнський, В.А. Недокiс
Кам’янець-Подiл. пед. ун-т,
Україна, 281900, Хмельницька обл.,
м. Кам’янець-Подiльський, вул. Огiєнка, 61
e-mail: univer@kp.khmelnitskiy.ua
We propose a modification of A.M. Samoilenko’s numerical-analytic method of solution of cout-point
boundary value problems in the M space.
Запропоновано модифiкацiю чисельно-аналiтичного методу А.М. Самойленка розв’язування
злiченноточкових крайових задач у просторi M.
В останнi роки питанням розв’язуваностi крайових задач для рiзноманiтних систем зви-
чайних диференцiальних рiвнянь, в тому числi й злiченних, присвячена значна кiлькiсть
дослiджень. В багатьох з них (див., наприклад, [1 5]) вирiшальну роль вiдiграє застосу-
вання чисельно-аналiтичного методу послiдовних наближень, запропонованого А.М. Са-
мойленком [6, 7].
У цiй статтi наведено результати застосування вказаного методу до дослiдження iсну-
вання i наближеної побудови розв’язкiв злiченноточкових крайових задач для диферен-
цiальних рiвнянь у просторi обмежених числових послiдовностей. Розглянуто питання
про редукцiю цих задач до скiнченновимiрного випадку, вивчено умови їх розв’язувано-
стi, знайдено оцiнки похибки обчислення початкового значення розв’язку. Теоретичнi ре-
зультати проiлюстровано прикладом застосування методу до конкретної злiченноточко-
вої крайової задачi.
1. Рiвномiрна збiжнiсть послiдовних наближень до точного розв’язку. В просторi M
обмежених числових послiдовностей x = (x1, x2, ...) з нормою ‖x‖ = sup
n
{|xn|} розгляне-
мо крайовi задачi для диференцiального рiвняння
dx
dt
= f(t, x), (1)
зi злiченноточковою
A0x(0) +
∞∑
i=1
Aix(ti) + Cx(T ) = d (2)
252 c© Ю.В. Теплiнський, В.А. Недокiс, 1999
та скiнченноточковою
A0x(0) +
p∑
i=1
Aix(ti) + Cx(T ) = d (3)
крайовими умовами. Тут x, d ∈ M; Ai = [a(i)
jk ]∞j,k=1, i = 0, 1, 2, ..., i C = [cjk]∞j,k=1 нескiн-
ченнi матрицi; множина точок {ti}∞i=1 ⊂ [0, T ].
Вважатимемо, що функцiя f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), ...) визначена i неперервна в
областi
(t, x) ∈ D0 = [0, T ]×D, (4)
де D ⊂M замкнена, обмежена множина, причому
‖f(t, x)‖ ≤M,
∥∥f(t, x′)− f(t, x′′)
∥∥ ≤ K ∥∥x′ − x′′∥∥ (5)
для всiх x′, x′′ ∈ D, t ∈ [0, T ], K = const <∞.
Узгодивши норму матрицi A = [aij ]∞i,j=1 з векторною нормою простору M формулою
‖A‖ = sup
i
∞∑
i=1
|aij |, накладемо на крайову задачу (1), (2) наступнi умови:
а) матрицi AI , i = 0, 1, 2, ..., i C обмеженi за нормою, причому ряд
∞∑
i=1
‖Ai‖ збiжний i
для матрицi
∞∑
i=1
ti
T
Ai + C iснує обернена матриця H ;
б) множина Dβ елементiв x0 ∈M, що належать областi D разом зi своїм β-околом, де
β(x0) =
T
2
M + β1(x0), β1(x0) =
∥∥∥∥∥H
[
d−
( ∞∑
i=0
Ai + C
)
x0
] ∥∥∥∥∥+
∞∑
i=1
‖HAi‖α1(ti)M,
α1(t) = 2t
(
1− t
T
)
,
є непорожньою:
Dβ 6= ∅; (6)
в) Q =
KT
2
[
1 +
∞∑
i=1
‖HAi‖
]
< 1.
Введемо лiнiйнi оператори
Sf(t) =
1
T
T∫
0
f(t)dt, Lf(t) =
t∫
0
(f(s)− Sf(t)) ds
i задамо послiдовнiсть функцiй xm(t, x0) рекурентним спiввiдношенням
x0(t, x0) ≡ x0, xm(t, x0) = x0 + Lf(t, xm−1(t, x0))+
+
t
T
H
{
d−
( ∞∑
i=0
Ai + C
)
x0 −
∞∑
i=1
AiLf(ti, xm−1(t, x0))
}
,
m = 1, 2, ... .
(7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 253
Застосовуючи чисельно-аналiтичний метод послiдовних наближень, одержуємо таке
твердження.
Теорема 1. Нехай для крайової задачi (1), (2) в областi (4) виконуються умови (5) i
а) в). Тодi для довiльного x0 ∈ Dβ iснує єдиний керуючий параметр ∆(x0) ∈ M, при
якому розв’язок x∗ = x∗(t, x0) рiвняння
dx
dt
= f(t, x) + ∆(x0)
такий, що x∗(0, x0) = x0, задовольняє крайовi умови (2). Для того щоб функцiя x∗(t, x0)
була розв’язком крайової задачi (1), (2), необхiдно i досить, щоб елемент x0 був розв’яз-
ком рiвняння
∆(x0) = 0. (8)
При цьому
∆(x0) =
1
T
H
{
d−
( ∞∑
i=0
Ai + C
)
x0 −
∞∑
i=1
AiLf(t, x∗(t, x0))
}
− Sf(t, x∗(t, x0)), (9)
а x∗(t, x0) є граничною функцiєю послiдовностi (7).
Розглядаючи крайову задачу (1), (3), накладаємо такi обмеження:
г) матрицiAi, i = 0, 1, 2, ..., p, iC обмеженi за нормою, причому для матрицi
p∑
i=1
ti
T
Ai+C
iснує обернена матриця Hp;
д) множина Dβp елементiв x0 ∈ M, що належать областi D разом зi своїм βp-околом,
де
βp(x0) =
T
2
M + β1p(x0), β1p(x0) =
∥∥∥∥∥Hp
[
d−
( p∑
i=0
Ai + C
)
x0
] ∥∥∥∥∥+
p∑
i=1
HpAi‖α1(ti)M,
є непорожньою:
Dβp 6= ∅; (10)
е) Qp =
KT
2
[
1 +
p∑
i=1
‖HpAi‖
]
< 1.
Побудувавши послiдовнiсть {xpm(t, x0)} вигляду
xp0(t, x0) ≡ x0, xpm(t, x0) = x0 + Lf(t, xpm−1(t, x0))+
+
t
T
Hp
{
d−
( p∑
i=0
Ai + C
)
x0 −
p∑
i=1
AiLf(ti, xpm−1(t, x0))
}
,
m = 1, 2, ... ,
(11)
пiсля застосування чисельно-аналiтичного методу отримуємо наступне твердження, ана-
логiчне до теореми 1.
254 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Теорема 2. Якщо для крайової задачi (1), (3) в областi (4) виконуються умови (5) i
г) е), то для довiльного x0 ∈ Dβp iснує єдиний керуючий параметр ∆p(x0) ∈ M, при
якому розв’язок xp = xp(t, x0) рiвняння
dx
dt
= f(t, x) + ∆p(x0)
такий, що xp(0, x0) = x0, задовольняє крайовi умови (3). Для того щоб функцiя xp(t, x0)
була розв’язком крайової задачi (1), (3), необхiдно i досить, щоб ∆p(x0) = 0. При цьому
∆p(x0) =
1
T
Hp
{
d−
( p∑
i=0
Ai + C
)
x0 −
p∑
i=1
AiLf(ti, xp(t, x0))
}
− Sf(t, xp(t, x0)),
а xp(t, x0) є граничною функцiєю послiдовностi (11).
2. Редукцiя до випадку скiнченновимiрної крайової задачi. Розглянемо тепер поряд з
крайовими задачами (1), (2) та (1), (3) у просторi M крайову задачу у просторi Rn для
рiвняння
d
(n)
x
dt
=
(n)
f (t,
(n)
x ) (12)
з крайовою умовою вигляду
(n)
A 0
(n)
x (0) +
p∑
i=1
(n)
A i
(n)
x (ti) +
(n)
C
(n)
x (T ) =
(n)
d , (13)
де
(n)
x = (x1, x2, ..., xn),
(n)
d = (d1, d2, ..., dn),
(n)
f = (f1, f2, ..., fn),
f(t,
(n)
x ) = f(t, x1, x2, ..., xn, 0, 0, ...),
(n)
A i =
[
(i)
a jk
]n
j,k=1
,
(n)
C = [cjk]
n
j,k=1.
Крайова задача (12), (13) є скiнченновимiрною i детально вивчена [4, 6]. Зокрема,
припустивши виконання умов:
є) для матрицi
p∑
i=1
ti
T
(n)
A i +
(n)
C iснує обернена матриця
(n)
H p;
ж) множина D(n)
βp
точок
(n)
x = (x01, ..., x0n) ∈ Rn таких, що вiдповiднi точки
(x01, ..., x0n, 0, 0, ...) належать областi D разом зi своїм
(n)
β p-околом, де
(n)
β p =
T
2
M +
(n)
β 1p(
(n)
x0),
(n)
β 1p(
(n)
x0) =
∥∥∥∥∥(n)
H p
[
(n)
d −
( p∑
i=0
(n)
A i +
(n)
C
)(n)
x0
] ∥∥∥∥∥+
p∑
i=1
∥∥∥∥(n)
H p
(n)
A i
∥∥∥∥ α1(ti)M,
є непорожньою:
D(n)
β p
6= ∅; (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 255
з)
(n)
Q p =
KT
2
[
1 +
p∑
i=1
∥∥∥(n)
H p
(n)
A i
∥∥∥ ] < 1,
легко перевiрити справедливiсть наступного твердження, що випливає з теорем 7.1, 8.1,
8.2, доведених у [4].
Теорема 3. Нехай для крайової задачi (12), (13) виконуються умови (5) i є) з). Тодi
для довiльної точки
(n)
x0 = (x01, ..., x0n) такої, що точка x0 = (x01, ..., x0n, 0, 0, ...) нале-
жить множинiD(n)
βp
, iснує єдиний керуючий параметр
(n)
∆ p(
(n)
x0) ∈ Rn, при якому розв’язок
(n)
x p =
(n)
x p(t,
(n)
x0) рiвняння
d
(n)
x
dt
=
(n)
f (t,
(n)
x ) +
(n)
∆ p(
(n)
x0)
такий, що
(n)
x p(0,
(n)
x0) =
(n)
x0, задовольняє крайову умову (13). Для того щоб функцiя
(n)
x p(t,
(n)
x0) була розв’язком крайової задачi (12), (13), необхiдно i досить, щоб
(n)
∆ p(
(n)
x0) =
= 0. При цьому
(n)
∆ p(
(n)
x0) =
1
T
(n)
H p
{
(n)
d −
( p∑
i=0
(n)
A i +
(n)
C
)(n)
x0 −
p∑
i=1
(n)
A iL
(n)
f (ti,
(n)
x p, (t,
(n)
x0))
}
−
−S
(n)
f (t,
(n)
x p, (t,
(n)
x0)),
а
(n)
x p(t,
(n)
x0) є граничною функцiєю послiдовностi
(n)
x pm(t,
(n)
x0) =
(n)
x0 +
1
T
(n)
H p
{
(n)
d −
( p∑
i=0
(n)
A i +
(n)
C
)(n)
x0
p∑
i=1
(n)
A iL
(n)
f (ti,
(n)
x pm−1 , (t,
(n)
x0))
}
,
m = 1, 2, ... .
Для того щоб здiйснити редукцiю крайової задачi (1), (2) до задачi (12), (13), накладе-
мо на функцiю f(t, x) в областi D0 умову належностi простору ĈLip(x):∥∥f(t, x′)− f(t, x′′)
∥∥ ≤ γ(t)ε(m)
∥∥x′ − x′′∥∥ ,
де x′ = (x1, ..., xm, x
′
m+1, x
′
m+2, ...), x′′ = (x1, ..., xm, x
′′
m+1, x
′′
m+2, ...) двi довiльнi то-
чки областi D0, першi m координат яких спiвпадають, γ(t) неперервна функцiя вiд
t, ε(m)→ 0 при m→ 0. Замiсть виконання умов в), е), з) вимагатимемо виконання вiдпо-
вiдно умов
в1) Q′ =
KT
2
[
1 + ‖H‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
]
< 1;
е1) Q′p =
KT
2
[
1 + ‖Hp‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
]
< 1;
256 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
з1)
(n)
Q ′p =
KT
2
[
1 + ‖
(n)
H p‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
]
< 1.
Введемо позначення
β∗(x) =
2/KT − 1
∞∑
i=1
‖Ai‖
(
‖d‖+
( ∞∑
i=0
‖Ai‖+ ‖C‖
)
‖x‖
)
+
M
K
. (15)
Оскiльки β(x) ≤ β∗(x), βp(x) ≤ β∗(x),
(n)
β p(
(n)
x ) ≤ β∗(x) при довiльних натуральних p i n,
то з (15) неважко встановити, що iз спiввiдношення
Dβ∗ 6= ∅ (16)
випливає справедливiсть спiввiдношень (6), (10), (14) при p, n ∈ N .
Застосовуючи до крайової задачi (1), (2) iдею вкорочення, розвинену в [8], одержуємо
таке твердження.
Теорема 4. Припустимо, що f(t, x) ∈ ĈLip(x) в областi D0, виконується спiввiдно-
шення (15) i для всiх натуральних p ≥ p0, n ≥ n0 виконуються умови теорем 1 3. Якщо
при цьому
‖Hp −H‖ ≤ ν(p), (17)
де ν(p)→ 0 при p→∞, то справедливi граничнi спiввiдношення
xp(t, x0) = lim
n→∞
(n)
x p(t,
(n)
x0), x∗(t, x0) = lim
p→∞
xp(t, x0),
i, як наслiдок,
x∗(t, x0) = lim
p→∞
(
lim
n→∞
(n)
x p(t,
(n)
x0)
)
, (18)
де збiжнiсть по n здiйснюється покоординатно, а збiжнiсть по p за нормою, причому
повторна границя у правiй частинi (18) має властивiсть комутативностi.
Вiдзначимо, що остання теорема передбачає, взагалi кажучи, справедливiсть всiх
умов теорем 1 3, деякi з яких є, до того ж, посиленими. Проте iнодi вдається обмежитись
умовами, що накладаються лише на вихiдну крайову задачу (1), (2).
Припустимо, що всi елементи матриць Ai, i = 1, 2, . . . , невiд’ємнi, причому∥∥∥∥∥
∞∑
i=1
ti
T
Ai + C − E
∥∥∥∥∥ < 1 (19)
i
KT
2
1 +
∞∑
i=1
‖Ai‖
1−
∥∥∥∥ ∞∑
i=1
ti
T
Ai + C − E
∥∥∥∥
< 1, (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 257
де E нескiнченна одинична матриця. Оскiльки в цьому випадку∥∥∥∥∥
p∑
i=1
ti
T
(n)
A i +
(n)
C −
(n)
E
∥∥∥∥∥ ≤
∥∥∥∥∥
p∑
i=1
ti
T
Ai + C − E
∥∥∥∥∥ ≤
∥∥∥∥∥
∞∑
i=1
ti
T
Ai + C − E
∥∥∥∥∥ < 1 (21)
при довiльних натуральних n i p, то при довiльних натуральних n i p iснують матрицi
H =
∞∑
k=0
(
E −
∞∑
i=1
ti
T
Ai − C
)k
, Hp =
∞∑
k=0
(
E −
p∑
i=1
ti
T
Ai − C
)k
,
(n)
H p =
∞∑
k=0
(
(n)
E −
∞∑
i=1
ti
T
(n)
A i −
(n)
C
)k
.
При цьому, згiдно з теоремою про обернений оператор [9],
‖H‖ ≤ 1
1−
∥∥∥∥ ∞∑
i=1
ti
T
Ai + C − E
∥∥∥∥ = H∗. (22)
Нерiвностi (21) приводять до того, що при довiльних натуральних n i p
‖Hp‖ ≤ H∗, ‖
(n)
H p‖ ≤ H∗. (23)
З оцiнок (19) (23) випливає справедливiсть умов в), е), з).
Таким чином, одержуємо наступний результат.
Теорема 5. Нехай f(t, x) ∈ ĈLip(x) в областiD0, всi елементи матрицьAi, i = 1, 2, 3, ...,
невiд’ємнi, ряд
∞∑
i=1
‖Ai‖ збiжний, виконуються оцiнки (5), (17), (19), (20) i множина Dβ∗
непорожня. Тодi справедливi твердження теорем 1 4.
Окремо розглянемо випадок, коли рiвняння (1) лiнiйне вiдносно x. Позначимо через
P (t) = [pik(t)]∞i,k=1 обмежену за нормою нескiнченну матрицю, елементи якої неперервнi
по t на [0, T ], а через
(n)
P (t) = [pik(t)]ni,k=1 скiнченновимiрну матрицю, одержану з P (t)
видаленням елементiв, для яких хоча б один з номерiв рядка чи стовпця бiльший за n.
Покладемо тепер f(t, x) = P (t)x i розглянемо для рiвняння
dx
dt
= P (t)x (24)
крайовi задачi з крайовими умовами (2), (3), а для рiвняння
d
(n)
x
dt
=
(n)
P (t)
(n)
x (25)
крайову задачу з крайовою умовою (13).
258 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Через M0 позначимо сталу, для якої
max
{
‖P (t)‖t∈[0,T ], sup
i
{‖Ai‖}, sup
p
{‖Hp‖}, ‖d‖
}
≤M0 = const <∞, (26)
i припустимо, що справджується нерiвнiсть
max
{∥∥∥∥P (t)−
(n)
P (t)
∥∥∥∥
t∈[0,T ]
, sup
i
{∥∥∥∥Ai − (n)
A i
∥∥∥∥} ,∥∥∥∥C − (n)
C
∥∥∥∥ ,
sup
p
{∥∥∥∥Hp −
(n)
H p
∥∥∥∥} ,∥∥∥∥d− (n)
d
∥∥∥∥} ≤ β(n), (27)
де β(n)→ 0 при n→∞. Легко переконатись, що в цьому випадку функцiя f(t, x) = P (t)x
при x ∈ Dβ∗ , задовольняє умови (5), де можна взяти, наприклад, K = M0, i при виконан-
нi вiдповiдних умов для задач (24), (2); (24), (3) i (25), (13) справедливi твердження тео-
рем 1 4.
Зберiгаючи попереднiй змiст виразiв
(n)
x p(t,
(n)
x0), xp(t, x0) i x∗(t, x0), сформулюємо ана-
лог теореми 5 для розглядуваних задач.
Теорема 6. Нехай матриця P (t) обмежена i неперервна на вiдрiзку [0, T ], всi елементи
матриць Ai, i = 1, 2, 3, ..., невiд’ємнi, ряд
∞∑
i=1
‖Ai‖ збiжний, виконуються оцiнки (19),
(20), (26), (27) i множина Dβ∗ непорожня. Тодi при будь-якому x0 ∈ Dβ∗ , що задовольняє
нерiвнiсть∥∥∥∥x0 −
(n)
x0
∥∥∥∥ ≤ β(n),
i при довiльних натуральних p, n справедливi твердження теорем 1 5, i збiжнiсть як
по p, так i по n здiйснюється за нормою. При цьому виконується оцiнка∥∥∥∥(n)
x p(t,
(n)
x0)− xp(t, x0)
∥∥∥∥ ≤ β(n)
1 + 2M0 + 3(p+ 2)M2
0 + pM0MT
1−Q
.
3. Достатнi та необхiднi умови розв’язуваностi крайової задачi. Поряд з визначальною
функцiєю (9) введемо до розгляду наближену визначальну функцiю
∆m(x0) =
1
T
H
{
d−
( ∞∑
i=0
Ai + C
)
x0 −
∞∑
i=1
AiLf(ti, xm(t, x0))
}
− Sf(t, xm(t, x0)),(28)
i на її основi наближене визначальне рiвняння
∆m(x0) = 0. (29)
Застосовуючи лему 6.4 з [8], одержуємо такий результат.
Теорема 7. Нехай виконуються припущення теореми 1, i, крiм того:
1) для деякого цiлого m, m = 1, 2, ..., вiдображення iснує iзольований розв’язок рiв-
няння (29);
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 259
2) iснує замкнена обмежена множина D1 ⊂ Dβ , що мiстить точку x0, така, що ∆m
топологiчно вiдображає D1 на ∆mD1, переводячи межу ΓD1 множини D1 в Γ∆mD1 ;
3) на ΓD1 виконується нерiвнiсть
inf
x0∈ΓD1
‖∆m(x0)‖ ≥ K
(
1 +
1
2
∞∑
i=1
‖HAi‖
)
Qm
1−Q
β(x0).
Тодi крайова задача (1), (2) має розв’язок x = x∗(t), x∗(0) = x∗0, причому x∗0 ∈ D1.
Для наближеного вiдшукання початкового значення розв’язку крайової задачi (1), (2)
сформулюємо допомiжне твердження.
Лема 1. Якщо для крайової задачi (1), (2) виконуються умови теореми 1, то для
довiльних точок x′0, x
′′
0 ∈ Dβ вiдхилення граничних функцiй x∗(t, x′0), x∗(t, x′′0) послiдов-
ностей xm(t, x′0), xm(t, x′′0) вигляду (7) оцiнюється нерiвнiстю∥∥x∗(t, x′0)− x∗(t, x′′0)
∥∥ ≤ 1 + ‖R‖
1−Q
‖x′0 − x′′0‖,
де R = H
( ∞∑
i=1
Ai + C
)
.
Наступнi теореми неважко перевiрити за схемою, запропонованою в [5].
Теорема 8. При виконаннi припущень теореми 1 визначальна функцiя ∆(x0) вигляду
(9) визначена, неперервна в областi Dβ i для всiх x′0, x
′′
0 ∈ Dβ справедлива оцiнка
∥∥∆(x′0)−∆(x′′0)
∥∥ ≤ { 1
T
‖R‖+K
(
1
2
∞∑
i=1
‖HAi‖+ 1
)
1 + ‖R‖
1−Q
}
‖x′0 − x′′0‖.
З одержаних оцiнок випливає така необхiдна умова розв’язуваностi крайової задачi
(1), (2).
Теорема 9. Припустимо, що виконуються умови теореми 1. Тодi для того щоб деяка
областьD2 ⊂ Dβ мiстила елемент x0 = x∗0, який визначає при t = 0 початкове значення
x∗(0) = x∗0 розв’язку крайової задачi (1), (2), необхiдно, щоб для всiх m i довiльного x0 ∈
∈ D2 виконувалася нерiвнiсть
‖∆m(x0)‖ ≤ sup
x∈D2
{{
1
T
‖R‖+K
(1
2
∞∑
i=1
‖HAi‖+ 1
)1 + ‖R‖
1−Q
}
‖x− x0‖+
+K
(1
2
∞∑
i=1
‖HAi‖+ 1
) Qm
1−Q
β(x0)
}
.
На пiдставi останньої теореми неважко вказати конструктивний алгоритм наближе-
ного вiдшукання початкового значення розв’язку крайової задачi (1), (2), аналогiчний до
сформульованого в [5].
Подiбнi результати можна одержати i для багатоточкової крайової задачi (1), (3).
4. Оцiнка похибки обчислення початкового значення розв’язку. В теоремi 7 вже вка-
зано достатнi умови, при виконаннi яких з iснування iзольованого розв’язку рiвняння (28)
випливає iснування розв’язку точного визначального рiвняння (8). Наведемо умови, при
260 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
виконаннi яких, навпаки, з розв’язуваностi точного випливає розв’язуванiсть наближено-
го визначального рiвняння. Одержано також умови, що забезпечують iснування розв’яз-
кiв наближеного визначального рiвняння.
Застосовуючи до послiдовностi вiдображень {∆m} лему 6.4 з [8], аналогiчно до теоре-
ми 1 з [10] одержуємо такий результат.
Лема 2. Нехай для крайової задачi (1), (2), що задовольняє в областi (4) умови тео-
реми 1, iснує розв’язок x = x∗(t) такий, що задовольняє початкову умову x∗(0) = x∗0, i
при цьому:
1) x∗0 в деякiй кулi
Dδ = {x0 : ‖x0 − x∗0‖ ≤ δ, δ > 0} (30)
є iзольованим розв’язком рiвняння (8);
2) ∆ топологiчно вiдображає Dδ на ∆Dδ ⊂M.
Тодi наближене визначальне рiвняння (29) при досить великих m має в кулi (30)
розв’язок x0 = x0m, причому при m → ∞ послiдовнiсть {x0m} збiжна за нормою до
значення x∗0:
‖x0m − x∗0‖ −→m→∞
0. (31)
При деяких умовах сильної диференцiйовностi для правої частини рiвняння (1) оцiни-
мо швидкiсть збiжностi в (31), а також знайдемо вiдхилення xm(t, x0m) вiд x∗(t, x∗0). Для
довiльної функцiї f(x1, x2, ..., xs) : M×M× · · · ×M︸ ︷︷ ︸
s
7−→M через
∂Φf(x1, x2, ..., xs)
∂Φxi
позна-
чатимемо часткову похiдну Фреше цiєї функцiї по аргументу xi.
Справедливе таке твердження.
Лема 3. Нехай права частина рiвняння (1) задовольняє в областi (4) припущення
теореми 1 i є сильно диференцiйовною по x, причому виконуються спiввiдношення∥∥∥∥∂Φf(t, x)
∂Φx
∥∥∥∥ ≤ K,
∥∥∥∥∂Φf(t, x′(t, x0))
∂Φx0
− ∂Φf(t, x′′(t, x0))
∂Φx0
∥∥∥∥ ≤ K ∥∥∥∥∂Φx
′(t, x0)
∂Φx0
− ∂Φx
′′(t, x0)
∂Φx0
∥∥∥∥ ,
де x, x′(t, x0), x′′(t, x0) ∈ D.
Тодi при x0 ∈ Dβ для похiдних Фреше
∂Φxm(t, x0)
∂Φx0
,
∂Φxp(t, x0)
∂Φx0
,
∂Φ∆m(x0)
∂Φx0
,
∂Φ∆p(x0)
∂Φx0
вiд функцiй (7), (28) справджуються нерiвностi∥∥∥∥∂Φxp(t, x0)
∂Φx0
∥∥∥∥ ≤ βR;
∥∥∥∥∂Φxm(t, x0)
∂Φx0
− ∂Φxp(t, x0)
∂Φx0
∥∥∥∥ ≤ R1p;
∥∥∥∥∂Φ∆p(x0)
∂Φx0
∥∥∥∥ ≤ 1
T
‖R‖+KβRR2,
∥∥∥∥∂Φ∆m(x0)
∂Φx0
− ∂Φ∆p(x0)
∂Φx0
∥∥∥∥ ≤ KR1pR2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 261
де βR =
1 + ‖R‖
1−Q
, R1 = QpβR, R2 =
[
1 +
1
2
∞∑
i=1
‖HAi‖
]
, p,m довiльнi натуральнi числа.
Використовуючи оцiнки останньої леми i теорему про обернений оператор [9], одер-
жуємо такий результат.
Теорема 10. Нехай справедливе твердження леми 3 i для всiх x0, x
′
0, x
′′
0 ∈ Dβ виконую-
ться умови:
1) похiдна
∂Φ∆m(x0)
∂Φx0
визначальної функцiї ∆m(x0) вигляду (28) неперервна по x0;
2) ‖∆m(x′0)−∆m(x′′0)‖ ≥ inf
0≤θ≤1
∥∥∥∥∂Φ∆m(x′0 + θ(x′′0 − x′0))
∂Φx0
∥∥∥∥ ‖x′0 − x′′0‖;
3) при деякому p < m iснують числа q1, q2, 0 < q1, q2 < 1, такi, що виконуються
оцiнки∥∥∥∥E − ∂Φ∆p(x0)
∂Φx0
∥∥∥∥ ≤ q1,
KR1pR2
1− q1
≤ q2,
де E : M 7−→M тотожний оператор.
Тодi:
1) для вiдхилення розв’язкiв x0m i x∗0 вiдповiдно наближеного i точного визначальних
рiвнянь справедлива оцiнка
‖x∗0 − x0m‖ ≤
QmKR2β(x∗0)
(1−Q)(1− q1)(1− q2)
,
i ‖x∗0 − x0m‖ → 0 при m→∞;
2) наближений розв’язок xm(t, x0m) крайової задачi (1), (2), знайдений за рекурен-
тною формулою (7), при m → ∞ рiвномiрно збiжний до її точного розв’язку x∗(t) =
= x∗(t, x0) граничної функцiї послiдовностi (7), причому
‖x∗(t)− xm(t, x0m)‖ ≤ Qm
1−Q
β(x0m)
[
1 +
KR2βR(1 + ‖R‖)
(1−Q)(1− q1)(1− q2)
]
.
Зрозумiло, що з мiркувань практичного обчислення похибки постає питання про кон-
кретну природу похiдної Фреше злiченновимiрної вектор-функцiї f(x) = (f1(x), f2(x), ...)
по x0 ∈M.
Покладемо
∂fi(x)
∂xj
= lim
∆xj→0
fi(x1, x2, ..., xj + ∆xj , xj+1, xj+2, ...)−fi(x1, x2, ..., xj , xj+1, xj+2, ...)
∆xj
.(32)
Означення. Будемо говорити, що функцiя f(x) = (f1(x), f2(x), ...) належить просто-
ру Ĉ1
Lip(S) на кулi
S(x0, δ) = {x ∈M | ‖x− x0‖ ≤ δ, x0 ∈M} , (33)
якщо на цiй кулi виконуються такi умови:
1) функцiя f(x) обмежена за нормою i задовольняє посилену умову Лiпшiца ‖f(x′) −
−f(x′′)‖ ≤ Lε(m) ‖x′ − x′′‖, де x′, x′′ ∈ S(x0, δ) довiльнi точки, першi m− 1 координат
яких спiвпадають, L > 0 стала, ε(m)→ 0 при m→∞;
262 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
2) всi частковi похiднi
∂fi
∂xj
, i, j = 1, 2, ..., вигляду (32) iснують i матриця
(
∂fi
∂xj
)∞
i,j=1
обмежена за нормою;
3) при довiльному j ∈ N вектор
∂f(x)
∂xj
=
(
∂f1(x)
∂xj
,
∂f2(x)
∂xj
, · · ·
)
задовольняє посилену
умову Гельдера∥∥∥∥∂f(x′)
∂xj
− ∂f(x′′)
∂xj
∥∥∥∥ ≤ K ′ε′(m) ‖x′ − x′′‖α,
де x′, x′′ ∈ S(x0, δ) довiльнi точки, першi m− 1 координат яких спiвпадають, K ′, α
додатнi сталi, ряд
∞∑
m=1
ε′(m) збiжний.
Справедливе таке твердження.
Теорема 11. Нехай функцiя f(x) : M 7−→ M належить простору Ĉ1
Lip(S) на деякiй
кулi (38). Тодi в кожнiй внутрiшнiй точцi x цiєї кулi функцiя f(x) має похiдну Фреше по
x, причому
∂Φf(x)
∂Φx
=
(
∂fi(x)
∂xj
)∞
i,j=1
.
5. Реалiзацiя методу. Проiлюструємо розроблений метод дослiдження i вiдшукання
розв’язкiв крайових задач на конкретному прикладi. Нехай на вiдрiзку t ∈ [0, 1] потрiбно
проiнтегрувати злiченну систему диференцiальних рiвнянь
dxn
dt
=
1− 2t
2n+2
x2
n+1, n = 1, 2, ... , (34)
визначену в областi
D0 = [0, 1]×D = [0, 1]× {x ∈M | ‖x‖ ≤ 2} (35)
при злiченноточковiй крайовiй умовi
A0x(0) +
∞∑
i=1
Aix(ti) + Cx(1) = d, (36)
де крайовi моменти ti, матрицi Ai =
[
aijk
]∞
j,k=1
, i = 1, 2, ..., C = [cjk]
∞
j,k=1, вектор d =
= (d1, d2, ..., dn, ...) мають вигляд
A0 = −E, C = E, aijk =
1
2 · 4i+1
, j = k = i;
0, (j − i)2 + (k − i)2 6= 0,
(37)
di =
1
2 · 4i+1
e
1
2·4i+1 , ti =
1
2
+
√
1
4
− 1
2i+1
, i = 1, 2, ... ,
E нескiнченна одинична матриця.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 263
Неважко перевiрити, що:
1) для злiченновимiрної вектор-функцiї f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), ...), де fn(t, x) =
=
1− 2t
2n+2
x2
n+1, в областi (35) виконуються умови (5) зi сталими M =
1
2
, K =
1
2
;
2) матрицi Ai, i = 1, 2, ..., i C обмеженi в сукупностi за нормою одиницею, ряд
∞∑
i=1
‖Ai‖ =
1
2
∞∑
i=1
1
4i+1
=
1
24
збiжний, i для матрицi
∞∑
i=1
ti
T
Ai + C iснує обернена матриця
H = [hjk]
∞
j,k=1. Елементи останньої мають вигляд
hjk =
(
1 +
1
2 · 4i+1
(
1
2
+
√
1
4
− 1
2i+1
))−1
, j = k = i;
0, j 6= k,
i число ‖H‖ = sup
j
∞∑
k=1
|hjk| = sup
j
|hii| = 1;
3) стала Q =
KT
2
[
1 + ‖H‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
]
=
1
4
[
1 +
1
24
]
=
25
96
< 1.
Визначимо множину точок Dβ , що належать областi D разом зi своїм β-околом, або
хоча б якусь її пiдмножину. З (35) маємо, що Dβ 6= ∅, якщо iснують x0 ∈ D, для яких
‖x0‖+ β(x0) ≤ 2. (38)
З виразу для β(x0), враховуючи наведенi вище значення вхiдних величин, одержуємо
‖x0‖+ β(x0) ≤ ‖x0‖+
T
2
M+
+‖H‖
(
‖d‖+
∥∥∥∥ ∞∑
i=0
Ai + C
∥∥∥∥ ‖x0‖
)
+ ‖H‖
∞∑
i=0
‖Ai‖α1(ti)M ≤
≤ ‖x0‖+
1
4
+
(
1
32
e
1
32 +
1
32
‖x0‖
)
+
+1 · 1
24
· 1
2
· 1
2
=
33
32
‖x0‖+
35
96
+
1
32
e
1
32 ≤ 2.
Очевидно, якщо виконується остання нерiвнiсть, то справджується i нерiвнiсть (38). Тому
досить вимагати виконання оцiнки
33
32
‖x0‖+
25
96
+
1
32
e
1
32 ≤ 2,
звiдки ‖x0‖ ≤ 1, 65560436.
Отже, множина
Dγ = {x0 ∈M | ‖x0‖ ≤ 1, 65560436} ⊂ Dβ . (39)
Тодi в областi [0, 1] × Dγ , згiдно з (39) та теоремою 1, всi умови якої виконуються,
до крайової задачi (1), (2) можна застосувати чисельно-аналiтичний метод послiдовних
наближень.
264 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Початкове значення x0 = (x01, x02, ...) розв’язку знайдемо, розв’язавши визначальне
рiвняння нульового наближення, яке одержимо з (28) при m = 0:
∆0(x0) = 0. (40)
Використовуючи одержанi числовi данi, для i-ї координати векторної рiвностi (40) маємо
рiвняння
1
1 +
1
2 · 4i+1
(
1
2
+
√
1
4
− 1
2i+1
){ 1
2 · 4i+1
e
1
2·4i+1 − 1
2 · 4i+1
x0i−
− 1
2 · 4i+1
1
2
+
√
1
4
− 1
2i+1∫
0
[
1− 2t
2i+2
x2
0i+1 −
1∫
0
1− 2s
2i+2
x2
0i+1ds
]
dt
}
−
1∫
0
1− 2t
2i+2
x2
0i+1 dt = 0,
i = 1, 2, . . . ,
яке рiвносильне такiй злiченнiй системi алгебраїчних рiвнянь:
e
1
2·4i+1 − x0i −
1
2 · 4i+1
x2
0i+1 = 0, i = 1, 2, . . . . (41)
З (41) неважко встановити, що
1 < x0i < e
1
2·4i+1 , i = 1, 2, . . . ,
i оскiльки 0 < |x0i − 1| = x0i−1 < e
1
2·4i+1 −1,
(
e
1
2·4i+1 − 1
)
−→
i→∞
0, то за наближене значення
точного розв’язку рiвняння (40) можна взяти вектор x0 = (1, 1, ..., 1, ...) ∈ Dβ .
За рекурентною формулою (7) знаходимо перше наближення до точного розв’яз-
ку крайової задачi (1), (2) вигляду x1(t, x0) = (x11(t, x0), x12(t, x0), ..., x1n(t, x0), ...). Для
x1i(t, x0) з (7) маємо
x1i(t, x0) = 1 +
t− t2
2i+2
+ α1it, i = 1, 2, . . . , (42)
де α1i =
(
e
1
2·4i+1 − 1− 1
2 · 4i+1
)
�
(
2 · 4i+1 +
1
2
+
√
1
4
− 1
2i+1
)
.
Неважко встановити справедливiсть подвiйної нерiвностi
0 < α1i <
12
95 · 64i+1
,
i оскiльки α1i−→
i→∞
0, то для бiльшої зручностi подальших обчислень знехтуємо останнiм
доданком в (42) i вiзьмемо за перше наближення вектор x1(t, x0) з координатами
x1i(t, x0) = 1 +
t− t2
2i+2
, i = 1, 2, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 265
Аналогiчно, для другого наближення x2(t, x0) = (x21(t, x0), x22(t, x0), ..., x2n(t, x0), ...),
згiдно з (7), одержуємо
x2i(t, x0) = 1 +
t− t2
2i+2
+
(
t− t2
2i+2
)2
+
1
3
(
t− t2
2i+2
)3
+ α2it, i = 1, 2, . . . ,
де
α2i =
(
e
1
2·4i+1 − 1− 1
2 · 4i+1
−
(
1
2 · 4i+1
)2
−
−1
3
(
1
2 · 4i+1
)3
)
�
(
2 · 4i+1 +
1
2
+
√
1
4
− 1
2i+1
)
,
α2i−→
t→∞
0,
i т. д.
Можна перевiрити, що точним розв’язком крайової задачi (34) (37) є злiченновимiр-
на вектор-функцiя x∗(t) = (x∗1(t), x∗2(t), ...) така, що
x∗n(t) = exp
(
t− t2
2n+2
)
, n = 1, 2, ... ,
i, виходячи з результатiв, викладених в п. 2 даної статтi, здiйснити редукцiю цiєї задачi до
вiдповiдної скiнченновимiрної багатоточкової задачi вигляду (12), (13).
1. Мартинюк О.М. Дослiдження розв’язкiв крайових задач для злiченних нелiнiйних систем диференцi-
альних рiвнянь: Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. Київ, 1993. 115 с.
2. Мартынюк С.В. Исследование решений краевых задач для счетных систем нелинейных дифферен-
циальных уравнений: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Киев, 1992. 128 с.
3. Перестюк Н.А., Ронто А.Н. Об одном методе построения последовательных приближений для ис-
следования многоточечных краевых задач // Укр. мат. журн. 1995. 47, № 9. С. 1243 1253.
4. Савiна Т.В. Дослiдження розв’язкiв багатоточкових крайових задач чисельно-аналiтичним методом:
Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. Київ, 1995. 114 с.
5. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы в теории краевых задач обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. Киев: Наук. думка, 1992. 280 с.
6. Самойленко А.М. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. I // Укр. мат. журн. 1965. 17, № 4. С. 16 23.
7. Самойленко А.М. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. II // Там же. 1966. 18, № 2. С. 9 18.
8. Самойленко А.М., Теплинский Ю.В. Счетные системы дифференциальных уравнений. Киев: Ин-т
математики НАН Украины, 1993. 308 с.
9. Колмогоров А.М., Фомiн С.В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. Київ: Вища шк.,
1974. 456 с.
10. Вайникко Г.М. О сходимости метода коллокации для нелинейных систем дифференциальных уравне-
ний // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1966. 6, № 1. С. 35 42.
Одержано 13.09.98
266 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
|