Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним
Побудована система, спряжена до лiнiйної однорiдної системи з виродженим iмпульсним впливом. Знайдено умови iснування та побудови оператора Грiна цiєї задачi.
Збережено в:
| Дата: | 1999 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175542 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 285-289. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175542 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755422021-02-02T01:26:27Z Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. Побудована система, спряжена до лiнiйної однорiдної системи з виродженим iмпульсним впливом. Знайдено умови iснування та побудови оператора Грiна цiєї задачi. The existence conditions, dual system and generalized Green operator are obtained to construct the solutions of linear systems of ordinary differential equations with singular impulse action. This problem has some characteristic features by which it differs fundamentally from a similar problem with nonsingularly impulsively perturbed differential system. Above all it is the fact that not all solutions can be continued from left to right length of interval on which solutions of linear systems with singular impulse action exists. 1999 Article Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 285-289. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175542 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Побудована система, спряжена до лiнiйної однорiдної системи з виродженим iмпульсним впливом. Знайдено умови iснування та побудови оператора Грiна цiєї задачi. |
| format |
Article |
| author |
Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. |
| spellingShingle |
Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним Нелінійні коливання |
| author_facet |
Чуйко, С.М. Чуйко, Е.В. |
| author_sort |
Чуйко, С.М. |
| title |
Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним |
| title_short |
Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним |
| title_full |
Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним |
| title_fullStr |
Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним |
| title_full_unstemmed |
Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним |
| title_sort |
линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175542 |
| citation_txt |
Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 285-289. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čujkosm linejnyesistemysvyroždennymimpulʹsnymvozdejstviemisoprâžennyeknim AT čujkoev linejnyesistemysvyroždennymimpulʹsnymvozdejstviemisoprâžennyeknim |
| first_indexed |
2025-07-15T12:51:39Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:51:39Z |
| _version_ |
1837717415850409984 |
| fulltext |
т. 2 •№ 2 • 1999
УДК 517.9
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ВЫРОЖДЕННЫМ
ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
И СОПРЯЖЕННЫЕ К НИМ
С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко
Славян. пед. ин-т,
Украина, 343206, Донецкая обл., Славянск
e-mail: office@sldpi.donetsk.ua
The existence conditions, dual system and generalized Green operator are obtained to construct the soluti-
ons of linear systems of ordinary differential equations with singular impulse action. This problem has
some characteristic features by which it differs fundamentally from a similar problem with nonsingularly
impulsively perturbed differential system. Above all it is the fact that not all solutions can be continued
from left to right length of interval on which solutions of linear systems with singular impulse action exists.
Побудована система, спряжена до лiнiйної однорiдної системи з виродженим iмпульсним впли-
вом. Знайдено умови iснування та побудови оператора Грiна цiєї задачi.
1. Однородная система с вырожденным импульсным воздействием. Исследуем задачу о
нахождении решений z(·) ∈ C1{[0, T ] \ {τi}I} однородной системы [1 5]
dz
dt
= A(t) z, t 6= τi, (1)
с вырожденным (rank (In + Si) ≤ n) импульсным воздействием
∆z(τi) = Siz(τi − 0), i = 1, ..., p. (2)
Здесь A(t) (n × n)-мерная матрица, элементы которой непрерывные на отрезке
[0, T ] функции, Si постоянные (n×n)-мерные матрицы, In единичная (n×n)-мерная
матрица.
Как известно [4, 5], система (1), (2) имеет решение z(t, c) = X(t)c, гдеX(t) нормаль-
ная (X(0) = In фундаментальная матрица
X(t) =
X0(t), t ∈ [0, τ1[,
X0(t)Y1, t ∈ [τ1, τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)Yp, t ∈ [τp, T ],
(3)
системы (1), (2), Y1 = X−1
0 (τ1)(In+S1)X0(τ1), ..., Yp = X−1
0 (τp)(In+Sp)X0(τp)Yp−1 (n×n)-
мерные матрицы, X0(t) нормальная (X0(0) = In) фундаментальная матрица систе-
мы (1).
В отличие от систем вида (1), (2) с невырожденным импульсным воздействием [1],
в случае вырождения хотя бы одной из матриц In + Si, i = 1, ..., p, количество линейно
c© С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко, 1999 285
независимых решений меньше n и при условии In + Si = 0, либо в случае нескольких
вырожденных импульсных воздействий размерность решений на некотором промежут-
ке [τ,τi+1[⊂ [0, T ] может быть нулевой. Поскольку количество линейно независимых ре-
шений системы (1), (2) вдоль отрезка [0, T ] не возрастает, на отрезке [τi+1, T ] решение
окажется тривиальным. В этом случае решение неоднородной системы с вырожденным
импульсным воздействием и условия его существования можно найти методом, предло-
женным в [4]. В данной же работе предположим, что ρ = rankYp > 0 и зададимся целью
построить частное решение системы (1), (2), размерность которого на всем промежутке
[0, T ] была бы равна ρ. Обозначим через X(p)
ρ (ρ×n)-мерную матрицу, составленную из ρ
линейно независимых столбцов матрицы X0(t)Yp, и из условия (2) найдем (ρ×n)-мерную
матрицу полного ранга
X(p−1)
ρ (t) = X0(t)X−1
0 (τp)(In + Sp)+X(p)
ρ (τp),
составленную из решений системы (1), (2) на промежутке [τp−1, τp[.
Продолжая рассуждения, на промежутке [0, τ1[ находим (n × ρ)-мерную матрицу, со-
ставленную из ρ линейно независимых решений системы (1), (2):
X(0)
ρ (t) = X0(t)X−1
0 (τ1)(In + S1)+X(1)
ρ (τ1);
здесь (In + S1)+ (n× n)-мерная марица, псевдообратная к матрице (In + S1) по Муру
Пенроузу [3].
Лемма 1. При условии ρ > 0 (1), (2) с вырожденным импульсным воздействием имеет
частное решение
z(t, cρ) = Xρ(t)cρ, cρ ∈ Rρ, (4)
c (n× ρ)-мерной матрицей полного ранга
Xρ(t) =
X
(0)
ρ = X0(t)X−1
0 (τ1(In + S1)+X
(1)
ρ (τ1), t ∈ [0, τ1[,
X
(1)
ρ = X0(t)X−1
0 (τ2(In + S1)+X
(2)
ρ (τ2), t ∈ [τ1, τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X
(p)
ρ (t), t ∈ [τp, T ].
(5)
В случае невырожденности импульсного воздействия (2) решение (4) обращается в
решение системы (1), (2) вида [1].
2. Система, сопряженная к линейной однородной системе с вырожденным импуль-
сным воздействием. Рассмотрим систему однородных уравнений
dy
dt
= −A∗(t)y, t ∈ [0, T ], t 6= τ1 ∈ [0, T ], (6)
с вырожденным импульсным воздействием
∆y(τi) = −(In + S∗i )+S∗i y (τi − 0). (7)
Как и в предыдущем пункте, для системы (6), (7) может быть построено частное решение
y (t, cρ) = Hρ(t)cρ , cρ ∈ Rρ ,
286 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
гдеHρ(t) (n×ρ)-мерная матрица полного ранга, составленная из решений системы (6),
(7). Пусть P(In+Si) (n× n)-мерная матрица-ортопроектор Rn → N(In + Si) [3].
Лемма 2. Матрицы Xρ(t) и Hρ(t) решений систем (1), (2) и (6), (7) при условии
X∗ρ(τi − 0)P(In+Si)S
∗
i = 0 (8)
удовлетворяют соотношению X∗ρ(t)Hρ(t) = C, где C постоянная (ρ× ρ)-мерная ма-
трица.
Поскольку производная произведения X∗ρ(t)Hρ(t) равна нулю на каждом из промежу-
тков [τi, τi+1[, то X∗ρ(t)Hρ(t) = Ci, где Ci постоянные (ρ × ρ)-мерные матрицы. Пока-
жем, что эти матрицы суть одна (ρ × ρ)-мерная матрица C. Для этого найдем скачок
матрицы X∗ρ(t)Hρ(t) при переходе через произвольную точку τi, i = 1, . . . , p:
X∗ρ(τi + 0)Hρ(τi + 0)−X∗ρ(τi − 0)Hρ(τi − 0) =
= X∗ρ(τi − 0)(In + S∗i ) [In − (In + S∗i )+S∗i ] Hρ(τi − 0)−
−X∗ρ(τi − 0)Hρ(τi − 0) = X∗ρ(τi − 0)P(In+Si)S
∗
iHρ(τi − 0) .
Таким образом, при условии (8) произведение X∗ρ(t)Hρ(t) постоянно на всем промежутке
[0, T ], что и доказывает равенство X∗ρ(t)Hρ(t) = C.
Доказательство следующих утверждений аналогично доказательству леммы 2.
Следствие 1. Пусть матрица A постоянна и приведена к жордановой форме; тогда
X∗ρ(t)Hρ(t) = Iρ, где Iρ единичная (ρ× ρ)-мерная матрица.
Определение. Систему (6), (7) при условии (8) будем называть сопряженной к систе-
ме (1), (2) с вырожденным импульсным воздействием.
Лемма 3. При условии (8) нормальные фундаментальные матрицы X(t) и H(t) со-
пряженных систем (1), (2) и (6), (7) удовлетворяют соотношению X∗(t)H(t) = C, где
C постоянная (n× n)-мерная матрица.
Следствие 2. Пусть матрица A постоянна и приведена к жордановой форме; тогда
X∗(t)H(t) = In, где In единичная (n× n)-мерная матрица.
Поскольку неособенной заменой неизвестной постоянная матрица A всегда легко
приводится к жордановой форме, следствия 1 и 2 могут быть использованы для нахо-
ждения матриц Hρ(t) и H(t) без построения сопряженной системы (6), (7).
3. Матрица Коши системы с вырожденным импульсным воздействием. Предположим,
что условие (8) существования сопряженной системы выполнено, и перейдем к изучению
неоднородной системы
dz
dt
= A (t) z + f(t) , t ∈ [0, T ] , t 6= τi , (9)
с вырожденным импульсным воздействием
∆z(τi) = Siz(τi − 0) + ai . (10)
Здесь ai ∈ Rn постоянные вектор-столбцы, f(t) данная вектор-функция, элемен-
ты которой принадлежат классу C{[0, T ] \ {τi}I}; компоненты решения ищем в том же
классе. Пусть ρ > 0, тогда однородная часть системы (9), (10) система (1), (2) имеет
нетривиальное частное решение (5).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 287
Матрицу решений однородной сопряженной системы (6), (7)Hρ(t) будем считать нор-
мированной при t = 0 и (n×ρ)-блоком нормальной фундаментальной матрицыH(t) этой
системы, а именно первыми ρ ее столбцами. Оставшиеся n − ρ столбцов матрицы H(t)
составляют (n× (n− ρ))-блок Hn−ρ(t), таким образом,
H (t) = [Hρ(t), Hn−ρ(t)] .
Условие разрешимости системы (9), (10) и конструкцию решения определяет следующая
теорема.
Теорема. Линейная неоднородная задача Коши z(0) = c для системы (9), (10) при
условии
SiCn−ρXn−ρ(τi − 0)
{ τi∫
0
X−1
n−ρ(s)C
∗
n−ρf(s)ds+
p∑
j=i
X−1
n−ρ(τj + 0)C∗n−ρaj
}
= 0 (11)
разрешима в виде
z(t, c) = X(t)c+
T∫
0
K(t, s)f(s)ds+
p∑
i=1
K(t, τi + 0) ai , (12)
где
K(t, s) =
Xρ(t)H∗ρ (s) + Cn−ρXn−ρ(t)X−1
n−ρ(s)C
∗
n−ρ , 0 ≤ s ≤ t ≤ T ,
0 , 0 ≤ t ≤ s ≤ T ,
матрица Коши системы (9), (10), Xn−ρ(t) нормальная (Xn−ρ(0) = In−ρ) фундамен-
тальная матрица системы
dz
dt
= C∗n−ρACn−ρz , Cn−ρ = Hn−ρ(0) .
Решение (12) удовлетворяет системе (9), что непосредственно проверяется диффе-
ренцированием. Аналогично [6] легко показать невырожденность матрицы [Hρ(t), Cn−ρ],
причем {[Hρ(t), Cn−ρ]∗}−1 = [Hρ(t), Cn−ρ]. Последнее равенство равносильно следующе-
му:
Xρ(t)H∗ρ (t) + Cn−ρC
∗
n−ρ = In.
Обозначим (n − ρ) × (n − ρ)-мерную матрицу S0 = C∗n−ρACn−ρ и покажем, что ACn−ρ =
= Cn−ρS0. Это верно, поскольку C∗n−ρ = C+
n−ρ, поэтому
ACn−ρ − Cn−ρS0 = (In − Cn−ρC+
n−ρ)ACn−ρ = A∗PA∗Cn−ρ = 0 .
Используя условие (11) и равенства
K(τi − 0, τj − 0) = 0, K(τi ± 0, τj + 0) = 0 при i > j,
убеждаемся, что решение (12) удовлетворяет условию (10), определяющему импульсное
воздействие. Таким образом, теорема доказана.
В случае невырожденного импульсного воздействия
Hn−ρ(t) = Cn−ρ = 0,
следовательно, условие (11) выполнено и решение (12) совпадает с известным решением
[1] в случае невырожденного импульсного воздействия. Условие (11) не является необхо-
288 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
димым условием существования решения системы (9), (10). В случае его невыполнения
решение последней системы всегда можно построить методом, изложенным в [4].
1. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Ки-
ев: Выща шк., 1987. 287 с.
2. Sčhwabik S. Differential equations with interface conditions // Čas. pěstov. mat. 1980. 105. P. 391
408.
3. Бойчук А.А., Журавлев В.Ф., Самойленко А.М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые
задачи // Пр. Iн-ту математики НАН України. 1995. Т. 13. 320 с.
4. Бойчук А.А., Чуйко Е.В., Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с вырожденным
импульсным воздействием // Укр. мат. журн. 1996. 48, № 5. С. 588 594.
5. Чуйко Е.В. Слабонелинейные краевые задачи с вырожденным импульсным воздействием // Допов.
НАН України. 1996. № 11. С. 29 34.
6. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.
Получено 04.02.99
До уваги читачiв журналу !
Витяг з „Перелiку № 1 наукових фахових видань України, в яких мо-
жуть публiкуватися результати дисертацiйних робiт на здобуття науко-
вих ступенiв доктора i кандидата наук” (додаток до постанови президiї
ВАК України вiд 9 червня 1999 р. № 1-05/7)
Фаховi видання з фiзико-математичних наук
журнали
18. Нелiнiйнi коливання (Iнститут математики НАНУ) (механiка, ма-
тематика).
|