Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь
Предложен метод нахождения периодических решений линейных систем дифференциальных уравнений с вырождениями, в которых нулевые собственные числа матрицы при производной являются простыми. Рассмотрен вопрос решения краевых задач для таких систем....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175562 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь / А.А. Чечель // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 569-573. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175562 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755622021-02-02T01:27:56Z Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь Чечель, А.А. Предложен метод нахождения периодических решений линейных систем дифференциальных уравнений с вырождениями, в которых нулевые собственные числа матрицы при производной являются простыми. Рассмотрен вопрос решения краевых задач для таких систем. We propose a method for finding periodic solutions of linear differential systems with degeneracies in the case where the zero eigen values of the matrix at the derivatives are simple. We also consider solution of boundary-value problems for such systems. 2011 Article Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь / А.А. Чечель // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 569-573. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175562 517.926 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Предложен метод нахождения периодических решений линейных систем дифференциальных уравнений с вырождениями, в которых нулевые собственные числа матрицы при производной являются простыми. Рассмотрен вопрос решения краевых задач для таких систем. |
| format |
Article |
| author |
Чечель, А.А. |
| spellingShingle |
Чечель, А.А. Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Чечель, А.А. |
| author_sort |
Чечель, А.А. |
| title |
Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь |
| title_short |
Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь |
| title_full |
Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь |
| title_fullStr |
Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь |
| title_sort |
періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175562 |
| citation_txt |
Періодичні розв'язки вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь / А.А. Чечель // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 569-573. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čečelʹaa períodičnírozvâzkivirodženihlíníjnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T12:52:40Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:52:40Z |
| _version_ |
1837717479297646592 |
| fulltext |
УДК 517.926
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ВИРОДЖЕНИХ ЛIНIЙНИХ СИСТЕМ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
А. А. Чечель
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
We propose a method for finding periodic solutions of linear differential systems with degeneracies in the
case where the zero eigen values of the matrix at the derivatives are simple. We also consider solution of
boundary-value problems for such systems.
Предложен метод нахождения периодических решений линейных систем дифференциальных
уравнений с вырождениями, в которых нулевые собственные числа матрицы при производной
являются простыми. Рассмотрен вопрос решения краевых задач для таких систем.
1. Вступ. Питання про перiодичнi розв’язки лiнiйних диференцiальних систем з виродже-
ною матрицею при похiднiй розглядалося в роботах [1 – 4]. Для його вирiшення застосо-
вувались методи зниження порядку вихiдної системи та зведення її до нормальної форми.
При цьому вимагалося виконання рiзних умов, таких як сталiсть рангу матрицi при похiд-
нiй [2], зведення системи до центральної канонiчної форми [4] та iн. Проблеми розробки
конструктивних методiв аналiзу лiнiйних й слабколiнiйних крайових задач для широко-
го класу систем диференцiальних рiвнянь дослiджувались у [5 – 8]. У роботi [9] отримано
критерiї розв’язностi й структуру розв’язку лiнiйних нетерових задач для рiзних класiв
систем функцiонально-диференцiальних рiвнянь. У статтi [10] було сформульовано кри-
терiй iснування розв’язкiв вироджених неоднорiдних нетерових задач для систем звичай-
них диференцiальних рiвнянь у припущеннi, що вироджена система диференцiальних рiв-
нянь зводиться до центральної канонiчної форми. У роботах [11] i в данiй умова звiдностi
виродженої системи до центральної канонiчної форми не є необхiдною.
2. Перiодичнi розв’язки вироджених лiнiйних систем. Розглянемо лiнiйну систему
N(t)
dV
dt
= M(t)V + F (t), (1)
де det N(t) ≡ 0 (∀t ∈ R), причомуN(t) має r простих нулiв λ ≡ 0 (∀t ∈ R), (n×n)-матрицi
N(t), M(t) та вектор F (t) перiодичнi з перiодом T > 0, тобто N(t), M(t), F (t) ∈ C(R, T ).
Згiдно з [11], записуючи матрицю N(t) у виглядi
N(t) = S(t)diag {N1(t),Θ}S−1(t), (2)
де Θ — нульова (r × r)-матриця, N1(t), S(t) — невиродженi ((n − r) × (n − r)), (n × n)-
матрицi вiдповiдно, що мають таку ж гладкiсть, як i N(t), причому N1(t), S(t) ∈ C(R, T ),
та вводячи замiну
V (t) = S(t)
[
(C(t), D(t))+g(t) +
(
x1
y1
)]
, (3)
c© А. А. Чечель, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4 569
570 А. А. ЧЕЧЕЛЬ
де вектор
(
x1
y1
)
такий, що (C(t), D(t))
(
x1
y1
)
= 0, (C(t), D(t))+ — псевдообернена [12,
с. 34] до (C(t), D(t)) матриця, D(t) — (r × r)-матриця, C(t) — (r × (n − r))-матриця, g(t),
Fn−r(t) — n- та (n− r)-вимiрнi вектори вiдповiдно, де(
m1(t) m2(t)
C(t) D(t)
)
= S−1(t)M(t)S(t)− diag {N1(t),Θ}S−1(t)
dS(t)
dt
, (4)
[
Fn−r(t)
−g(t)
]
= S−1(t)F (t), (5)
C(t), D(t), g(t), Fn−r(t) ∈ C(R, T ), у випадку, коли detD(t) 6= 0 ∀t ∈ R, приходимо до
системи
dx1
dt
= A1(t)x1 + f1(t), (6)
де f1(t), A1(t) ∈ C(R, T ), ((n− r) × (n− r))-матриця A1(t) = A(t) − B(t)D(t)−1(t)C(t),
f1(t) = N−11 (t)Fn−r(t) + (A(t), B(t))(C(t), D(t))+g(t)− [C∗(t)Γ−1(t)g(t)]′.
Згiдно з [11] правильними є такi твердження.
Теорема 1. Нехай перiодична система (1) є такою, що матриця N(t) ∈ C(R, T ) має
r простих власних чисел λi ≡ 0, i = 1, r, a rank (C(t), D(t)) ≡ r, де C(t), D(t) ∈ C(R, T ).
Тодi при умовi, що detD(t) 6= 0 ∀t ∈ R, лiнiйна перiодична система диференцiальних
рiвнянь з виродженням (1) порядку n зводиться до перiодичної системи (6) диференцi-
альних рiвнянь без виродження порядку n− r.
Теорема 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то вироджена лiнiйна система (1)
має (n− r)-параметричну множину лiнiйно незалежних розв’язкiв вигляду
V (t) = Q(t)c+ V (t), (7)
де
Q(t) = S(t)
(
In−r
−D−1(t)C(t)
)
Ωt
t0(A1), (8)
V (t) = S(t)
(C(t), D(t))+g(t) +
(
In−r
−D−1(t)C(t)
)
Ωt
t0(A1)
t∫
t0
[
Ωτ
t0(A1)
]−1
f1(τ)dτ
, (9)
c — довiльний (n− r)-вимiрний сталий вектор, t0 ∈ R, Ωt
t0(A1) — матрицант вiдповiд-
ного до (6) однорiдного рiвняння.
Вiдповiдь на задачу про iснування перiодичних розв’язкiв системи (1) дає наступна
теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ВИРОДЖЕНИХ ЛIНIЙНИХ СИСТЕМ . . . 571
Теорема 3. Якщо виконуються умови теореми 2, а також[
In−r − (Q(T )−Q(0))(Q(T )−Q(0))+
]
(V (0)− V (T )) = 0, (10)
то вироджена лiнiйна система (1) має єдиний T -перiодичний розв’язок.
Доведення. Нехай V (t) — розв’язок системи (1). Для виконання спiввiдношення V (t+
+T ) = V (t), (t+ T ), t ∈ R, необхiдно i достатньо, щоб виконувалась рiвнiсть
V (T ) = V (0). (11)
За теоремою 2 розв’язок V (t) має вигляд (7). Пiдставляючи його в (11), маємо
(Q(T )−Q(0))c = V (0)− V (T ). (12)
Домножимо (12) на спряжену до Q(T )−Q(0) матрицю злiва:
(Q(T )−Q(0))∗(Q(T )−Q(0))c = (Q(T )−Q(0))∗(V (0)− V (T )), (13)
звiдки однозначно виражається вектор c :
c = (Q(T )−Q(0))+(V (0)− V (T )), (14)
де (Q(T )−Q(0))+ — псевдообернена до (Q(T )−Q(0)) матриця.
Але потрiбно врахувати, що рiвняння (10) є еквiвалентним рiвнянню (9) тiльки, якщо
виконується умова[
In−r − (Q(T )−Q(0))(Q(T )−Q(0))+
]
(V (0)− V (T )) = 0. (15)
Отже, при виконаннi умови (15) шуканий вектор c iснує i є єдиним. При цьому T -перiодич-
ний розв’язок системи (1) має вигляд
V(t) = Q(t)(Q(T )−Q(0))+(V (0)− V (T )) + V (t).
Теорему доведено.
3. Лiнiйнi крайовi задачi. Критерiй розв’язностi. Розглянемо задачу про необхiднi та
достатнi умови розв’язностi та структуру множини розв’язкiв з простору n-вимiрних не-
перервно диференцiйовних вектор-функцiй V (t) ∈ C[a, b] лiнiйної неоднорiдної крайової
задачi вигляду
N(t)V̇ = M(t)V + F (t), t ∈ [a, b], (16)
lV = α, α ∈ Rn, (17)
де V (t), F (t) − n-вимiрнi вектори, N(t), M(t) − (n × n)-вимiрнi матрицi, detN(t) = 0
(∀t ∈ [a, b]), N(t), M(t) ∈ C[a, b], l — лiнiйний функцiонал такий, що l : C[a, b] → Rn. В
залежностi вiд конкретного вигляду функцiоналa отримаємо рiзнi крайовi задачi.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
572 А. А. ЧЕЧЕЛЬ
Згiдно з [13], подаючи матрицю N(t) у виглядi
N(t) = S(t)diag {N1(t),Θ}S−1(t),
де N1(t), S(t) — невиродженi ((n − r) × (n − r))-, (n × n)-матрицi вiдповiдно, що мають
таку ж гладкiсть, як N(t), Θ — нульова (r × r)-матриця, та вводячи замiну
V (t) = S(t)
[
(C(t), D(t))+g(t) +
(
x1
y1
)]
,
де вектор
(
x1
y1
)
такий, що (C(t), D(t))
(
x1
y1
)
= 0, D(t) — (r × r)-матриця, C(t) —
(r × (n− r))-матриця, g(t), Fn−r(t) — (r × 1)- та ((n− r)× 1)-стовпцi вiдповiдно, причому(
m1(t) m2(t)
C(t) D(t)
)
= S−1(t)M(t)S(t)− diag {N1(t),Θ}S−1(t)
dS(t)
dt
,
[
Fn−r(t)
−g(t)
]
= S−1(t)F (t)
при умовi, що rank (C(t), D(t)) = r i detD(t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b], загальний розв’язок системи
(16) записуємо у виглядi
V (t) = Q(t)c+ V (t), (18)
де
Q(t) = S(t)
(
In−r
−D−1(t)C(t)
)
Ωt
t0(A1),
V (t) = S(t)
(C(t), D(t))+g(t) +
(
In−r
−D−1(t)C(t)
)
Ωt
t0(A1)
t∫
t0
[
Ωτ
t0(A1)
]−1
f1(τ)dτ
,
c — довiльний (n− r)-вимiрний сталий вектор, t0 ∈ [a, b], Ωt
t0(A1) — матрицант.
Але для того щоб розв’язок (18) системи (16) був розв’язком крайової задачi (16), (17),
необхiдним є виконання крайової умови (17).
Тому, пiдставивши (18) в (17), отримаємо алгебраїчну вiдносно c ∈ Rn−r систему
Rc+ lV = α,
де (n× (n− r))-матриця R = lQ.
Використавши теорему 3. 9 [9, с. 92], визначимо умови розв’язностi крайової задачi
(16), (17) та значення константи c ∈ Rn−r, при якому розв’язок (18) диференцiальної
системи (16) є розв’язком крайової задачi, що розглядається.
Для цього побудуємо ортопроектори PR = In−r −R+R та PR∗ = In−RR+ матриць R
та спряженої до неї R∗ вiдповiдно, де псевдообернена матриця R+ = (R∗R+ In−r)
−1R∗.
Вiдповiдь на поставлену задачу дає наступна теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ВИРОДЖЕНИХ ЛIНIЙНИХ СИСТЕМ . . . 573
Теорема 4. Якщо система (16) є такою, що вироджена матриця N(t) має r простих
власних чисел λi ≡ 0, i = 1, r, rank (C(t), D(t)) = r i det D(t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b], то крайова
задача (16), (17) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли вектор V ∈ C[a, b] задовольняє
умову
PR∗
r
[α− lV ] = 0
i при цьому задача має єдиний розв’язок
V(t) = Q(t)R+(t)[α− lV ] + V (t).
1. Еременко В. А. О некоторых свойствах периодических матриц // Укр. мат. журн. — 1980. — 32, № 1. —
С. 19 – 36.
2. Еременко В. А. О редукции линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матри-
цей при производных // Укр. мат. журн. — 1980. — 32, № 2. — С. 168 – 174.
3. Шлапак Ю. Д. Периодические решения линейной системы дифференциальных уравнений с вырожден-
ной матрицей при производной // Укр. мат. журн. — 1975.— 27, № 1. — С. 137 – 140.
4. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
5. Зубов В. М. К теории существования решений краевых задач для систем дифференциальных уравне-
ний // Дифференц. уравнения. — 1970. — 7, № 4. — С. 632 – 633.
6. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. — М.: На-
ука, 1981. — 142 с.
7. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М.: Наука, 1964. — 368 с.
8. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных урав-
нений. — Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. — 352 с.
9. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с.
10. Бойчук О. А., Шегда Л. М. Виродженi нетеровi крайовi задачi // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10,
№ 3. — С. 303 – 312.
11. Чечель А. А. Розв’язування лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з виродженнями // Нелiнiйнi ко-
ливання. — 2009. — 12, № 2. — С. 273 – 278.
12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
Одержано 10.10.08,
пiсля доопрацювання — 04.03.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
|