О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной
Розглядається крайова задача з даними на нехарактеристичних лiнiях, що перетинаються, для систем гiперболiчних рiвнянь iз мiшаною похiдною другого порядку. Методом уведення додаткових параметрiв встановлено iснування єдиного класичного розв’язку дослiджуваної задачi та запропоновано спосiб його знах...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175568 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной / А.Т. Асанова // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 3-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175568 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755682021-02-02T01:28:05Z О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной Асанова, А.Т. Розглядається крайова задача з даними на нехарактеристичних лiнiях, що перетинаються, для систем гiперболiчних рiвнянь iз мiшаною похiдною другого порядку. Методом уведення додаткових параметрiв встановлено iснування єдиного класичного розв’язку дослiджуваної задачi та запропоновано спосiб його знаходження. We consider a boundary-value problem with data located on non-characteristic intersecting lines for a system of hyperbolic equations with mixed second order derivative. The method of introducing additional parameters is used to establish existence of a unique classical solution of the problem under consideration. We give a method for finding this solution. 2012 Article О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной / А.Т. Асанова // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 3-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175568 517.956 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядається крайова задача з даними на нехарактеристичних лiнiях, що перетинаються, для систем гiперболiчних рiвнянь iз мiшаною похiдною другого порядку. Методом уведення додаткових параметрiв встановлено iснування єдиного класичного розв’язку дослiджуваної задачi та запропоновано спосiб його знаходження. |
| format |
Article |
| author |
Асанова, А.Т. |
| spellingShingle |
Асанова, А.Т. О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной Нелінійні коливання |
| author_facet |
Асанова, А.Т. |
| author_sort |
Асанова, А.Т. |
| title |
О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной |
| title_short |
О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной |
| title_full |
О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной |
| title_fullStr |
О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной |
| title_full_unstemmed |
О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной |
| title_sort |
о краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175568 |
| citation_txt |
О краевой задаче с данными на нехарактеристических пересекающихся линиях для систем гиперболических уравнений со смешанной производной / А.Т. Асанова // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 3-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT asanovaat okraevojzadačesdannyminaneharakterističeskihperesekaûŝihsâliniâhdlâsistemgiperboličeskihuravnenijsosmešannojproizvodnoj |
| first_indexed |
2025-07-15T12:52:59Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:52:59Z |
| _version_ |
1837717499526774784 |
| fulltext |
УДК 517.956
О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ С ДАННЫМИ
НА НЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ЛИНИЯХ
ДЛЯ СИСТЕМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
СО СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
А. Т. Асанова
Ин-т математики Республики Казахстан, М-во образования и науки
Республика Казахстан, 050010, Алматы, ул. Пушкина, 125
e-mail: anar@math.kz
anarasanova@list.ru
We consider a boundary-value problem with data located on non-characteristic intersecting lines for a
system of hyperbolic equations with mixed second order derivative. The method of introducing additional
parameters is used to establish existence of a unique classical solution of the problem under consideration.
We give a method for finding this solution.
Розглядається крайова задача з даними на нехарактеристичних лiнiях, що перетинаються,
для систем гiперболiчних рiвнянь iз мiшаною похiдною другого порядку. Методом уведення до-
даткових параметрiв встановлено iснування єдиного класичного розв’язку дослiджуваної зада-
чi та запропоновано спосiб його знаходження.
В треугольнике Ω̄, ограниченном отрезками x = t, x = −t, 0 ≤ t ≤ T, где T — положи-
тельное число, рассматривается нелокальная краевая задача для системы гиперболиче-
ских уравнений
∂2u
∂t∂x
= A(t, x)
∂u
∂x
+B(t, x)
∂u
∂t
+ C(t, x)u+ f(t, x), (1)
u(T, x) = ϕ(x), x ∈ [−T, T ], (2)
P2(t)
∂u(t, x)
∂t
∣∣∣∣
x=t
+ P1(t)
∂u(t, x)
∂x
∣∣∣∣
x=t
+ P0(t)u(t, x)
∣∣∣
x=t
+S2(t)
∂u(t, x)
∂t
∣∣∣∣
x=−t
+
+ S1(t)
∂u(t, x)
∂x
∣∣∣∣
x=−t
+ S0(t)u(t, x)
∣∣∣
x=−t
= ψ(t), t ∈ [0, T ], (3)
где (n × n)-матрицы A(t, x), B(t, x), C(t, x), P2(t), P1(t), P0(t), S2(t), S1(t), S0(t), вектор-
функции f(t, x), ψ(t) размерности n являются непрерывными в Ω̄ и [0, T ] соответственно,
функция ϕ(x) непрерывно дифференцируема на [−T, T ].
Функция u(t, x) ∈ C(Ω̄, Rn), имеющая частные производные
∂u(t, x)
∂x
∈ C(Ω̄, Rn),
∂u(t, x)
∂t
∈ C(Ω̄, Rn),
∂2u(t, x)
∂t∂x
∈ C(Ω̄, Rn), называется классическим решением задачи
c© А. Т. Асанова, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1 3
4 А. Т. АСАНОВА
(1) – (3), если она удовлетворяет системе (1) при всех (t, x) ∈ Ω̄ и выполнены краевые
условия (2), (3).
Соотношение (3) связывает значения искомой функции и ее производных на двух не-
характеристических пересекающихся линиях x = t и x = −t. Основным методом изу-
чения системы (1) является метод Римана [1], который позволяет получить достаточные
условия однозначной классической разрешимости задачи (1) – (3). В случае, когда коэф-
фициентами системы (1) являются непрерывные матрицы, применение метода Римана
становится затруднительным. В настоящей работе задача (1) – (3) исследуется с помощью
метода введения дополнительных параметров [2 – 4], распространяющего идею метода
параметризации [5, 6] на уравнения с частными производными. Ранее на основе этого
метода были получены необходимые и достаточные условия корректной разрешимости
краевой задачи с данными на характеристиках для системы гиперболических уравнений
со смешанной производной [7 – 9].
Метод введения дополнительных параметров позволяет наряду с установлением одно-
значной разрешимости задачи (1) – (3) предложить способ нахождения ее решения. При
этом от коэффициентов системы требуется только непрерывность на Ω̄, что дает воз-
можность расширить класс разрешимых краевых задач для систем гиперболических урав-
нений.
Изложим суть метода. Через µ(t) обозначим значение функции u(t, x) при x = 0 и
выполним замену u(t, x) = ũ(t, x) + µ(t). Тогда задача (1) – (3) преобразуется в эквива-
лентную краевую задачу с неизвестной функцией µ(t) :
∂2ũ
∂t∂x
= A(t, x)
∂ũ
∂x
+B(t, x)
∂ũ
∂t
+ C(t, x) ũ+ f(t, x) +B(t, x)µ̇(t) + C(t, x)µ(t), (4)
ũ(T, x) + µ(T ) = ϕ(x), x ∈ [−T, T ], (5)
ũ(t, 0) = 0, t ∈ [0, T ], (6)
P2(t)
∂ũ(t, t)
∂t
+ P1(t)
∂ũ(t, t)
∂x
+ S2(t)
∂ũ(t,−t)
∂t
+ S1(t)
∂ũ(t,−t)
∂x
+ P0(t)ũ(t, t)+
+ S0(t)ũ(t,−t) + [P2(t) + S2(t)]µ̇(t) + [P0(t) + S0(t)]µ(t) = ψ(t), t ∈ [0, T ]. (7)
Задачи (4) – (7) и (1) – (3) эквивалентны в том смысле, что если функция u(t, x) явля-
ется решением задачи (1) – (3), то пара (µ(t) = u(t, 0), ũ(t, x) = u(t, x) − u(t, 0)) будет
решением задачи (4) – (7), и наоборот, если (µ(t), ũ(t, x)) — решение задачи (4) – (7), то
функция µ(t) + ũ(t, x) будет решением задачи (1) – (3). Из (5) и (6) следует, что
µ(T ) = ϕ(0). (8)
Таким образом, при фиксированных µ̇(t), µ(t) в треугольнике ∆̄ получаем задачу Гурса с
условиями (6) и
ũ(T, x) = ϕ(x)− ϕ(0), x ∈ [−T, T ]. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ С ДАННЫМИ НА НЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ЛИНИЯХ . . . 5
Пусть ṽ(t, x) =
∂ũ(t, x)
∂x
, w̃(t, x) =
∂ũ(t, x)
∂t
, тогда из (6), (9) получаем ṽ(T, x) = ϕ′(x),
w̃(t, 0) = 0. Известно, что при фиксированных µ̇(t), µ(t) задача Гурса на Ω̄ эквивалентна
системе трех интегральных уравнений
ṽ(t, x) =
t∫
T
[A(τ, x)ṽ(τ, x) +B(τ, x)w̃(τ, x) + C(τ, x)ũ(τ, x)] dτ+
+
t∫
T
[f(τ, x) +B(τ, x)µ̇(τ) + C(τ, x)µ(τ)] dτ + ϕ′(x), (10)
w̃(t, x) =
x∫
0
[A(t, ξ)ṽ(t, ξ) +B(t, ξ)w̃(t, ξ) + C(t, ξ)ũ(t, ξ)] dξ+
+
x∫
0
[f(t, ξ) +B(t, ξ)µ̇(t) + C(t, ξ)µ(t)] dξ, (11)
ũ(t, x) =
t∫
T
dτ
x∫
0
[A(τ, ξ)ṽ(τ, ξ) +B(τ, ξ)w̃(τ, ξ) + C(τ, ξ)ũ(τ, ξ)] dξ+
+
t∫
T
dτ
x∫
0
[f(τ, ξ) +B(τ, ξ)µ̇(τ) + C(τ, ξ)µ(τ)] dξ + ϕ(x)− ϕ(0). (12)
Подставив в соотношение (11) вместо w̃(t, ξ) соответствующую правую часть и по-
вторив этот процесс ν, ν = 1, 2, . . . , раз, получим следующее представление для функции
w̃(t, x) :
w̃(t, x) = Gν(t, x, w̃) +Hν(t, x, ũ, ṽ) +Dν(t, x)µ̇(t) + Eν(t, x)µ(t) + Fν(t, x), (13)
где
Gν(t, x, w̃) =
x∫
0
B(t, ξ1) . . .
ξν−2∫
0
B(t, ξν−1)
ξν−1∫
0
B(t, ξν)w̃(t, ξν) dξν . . . dξ1,
Hν(t, x, ũ, ṽ) =
x∫
0
[A(t, ξ1)ṽ(t, ξ1) + C(t, ξ1)ũ(t, ξ1)] dξ1 + . . .
. . .+
x∫
0
B(t, ξ1) . . .
ξν−2∫
0
B(t, ξν−1)
ξν−1∫
0
[A(t, ξν)ṽ(t, ξν) + C(t, ξν)ũ(t, ξν)] dξν . . . dξ1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
6 А. Т. АСАНОВА
Dν(t, x) =
x∫
0
B(t, ξ1) dξ1 + . . . +
x∫
0
B(t, ξ1) . . .
ξν−1∫
0
B(t, ξν) dξν . . . dξ1,
Eν(t, x) =
x∫
0
C(t, ξ1) dξ1 + . . . +
x∫
0
B(t, ξ1) . . .
ξν−2∫
0
B(t, ξν−1)
ξν−1∫
0
C(t, ξν) dξν . . . dξ1,
Fν(t, x) =
x∫
0
f(t, ξ1) dξ1 + . . . +
x∫
0
B(t, ξ1) . . .
ξν−2∫
0
B(t, ξν−1)
ξν−1∫
0
f(t, ξν) dξν . . . dξ1.
Подставляя соответствующие выражения w̃(t, x) из правой части (13) при x = t, x = −t
в (7), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка,
не разрешенных относительно производной:
Qν(t)µ̇(t) = −Ẽν(t)µ(t)− H̃ν(t, ũ, ṽ)− G̃ν(t, w̃)− F̃ν(t), t ∈ [0, T ], (14)
где
Qν(t) = P2(t)[I +Dν(t, t)] + S2(t)[I +Dν(t,−t)],
Ẽν(t) = P0(t) + P2(t)Eν(t, t) + S0(t) + S2(t)Eν(t,−t),
H̃ν(t, ũ, ṽ) = P2(t)Hν(t, t, ũ, ṽ) + S2(t)Hν(t,−t, ũ, ṽ) + P1(t)ṽ(t, t)+
+ P0(t)ũ(t, t) + S1(t)ṽ(t,−t) + S0(t)ũ(t,−t),
G̃ν(t, w̃) = P2(t)Gν(t, t, w̃) + S2(t)Gν(t,−t, w̃), F̃ν(t) = P2(t)Fν(t, t) + S2(t)Fν(t,−t)− ψ(t).
Соотношения (10) – (12) и (14) с условием (8) позволяют найти решение задачи (1) –
(3) в треугольнике Ω̄.
Таким образом, процесс нахождения неизвестных функций в методе введения допол-
нительного параметра разбивается на две части:
1) нахождение введенных дополнительных параметров µ̇(t), µ(t) из соотношений (14)
с условием (8);
2) нахождение неизвестных функций ũ(t, x), ṽ(t, x), w̃(t, x) из системы интегральных
уравнений (10) – (12).
Если известны функции µ̇(t), µ(t), то, решая систему интегральных уравнений (10) –
(12), находим функции ũ(t, x), ṽ(t, x), w̃(t, x) и, суммируя µ(t) + ũ(t, x), получаем решение
исходной задачи. Если известны функции ũ(t, x), ṽ(t, x), w̃(t, x), то, решая уравнение (14)
при условии (8), находим µ̇(t) µ(t) и, снова суммируя µ(t) + ũ(t, x), получаем решение
задачи (1) – (3).
Поскольку неизвестными являются как функции µ̇(t), µ(t), так и функции ũ(t, x), ṽ(t, x),
w̃(t, x), применяется итерационный метод, и решение функциональных соотношений (10) –
(12), (14) с условием (8) находится как пределы последовательностей {µ̇(k)(t)}, {µ(k)(t)},
{ũ(k)(t, x)}, {ṽ(k)(t, x)}, {w̃(k)(t, x)}, определяемых следующим способом.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ С ДАННЫМИ НА НЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ЛИНИЯХ . . . 7
Шаг 0. Предполагая в правой части (14) µ(t) = ϕ(0), ũ(t, x) = ϕ(x) − ϕ(0), ṽ(t, x) =
= ϕ′(x), w̃(t, x) = 0, из уравнения (14) находим µ̇(0)(t). Используя условия (8), получаем
функции µ(0)(t) : µ(0)(t) = ϕ(0)+
∫ t
T
µ̇(0)(τ)dτ.Из системы интегральных уравнений (10) –
(12), где µ(t) = µ(0)(t), µ̇(t) = µ̇(0)(t), определяем функции ũ(0)(t, x), ṽ(0)(t, x), w̃(0)(t, x).
Шаг 1. Из уравнения (14), где в правой части µ(t) = µ(0)(t), ũ(t, x) = ũ(0)(t, x), w̃(t, x) =
= w̃(0)(t, x), ṽ(t, x) = ṽ(0)(t, x), находим µ̇(1)(t). Вновь используя условия (8), получаем
µ(1)(t) = ϕ(0) +
∫ t
T
µ̇(1)(τ)dτ и из систем интегральных уравнений (10) – (12), где µ(t) =
= µ(1)(t), µ̇(t) = µ̇(1)(t), определяем функции ũ(1)(t, x), w̃(1)(t, x), ṽ(1)(t, x). И т. д.
Следующее утверждение обеспечивает осуществимость и сходимость предложенно-
го способа нахождения решения, а также существование единственного классического
решения задачи (1) – (3).
Теорема. Пусть при некотором ν, ν = 1, 2, . . . , (n× n)-матрица Qν(t) обратима для
всех t ∈ [0, T ] и выполняются следующие неравенства:
a) ‖[Qν(t)]−1‖ ≤ γν(t), γν(t) — положительная, непрерывная по t ∈ [0, T ] функция,
b) qν(t) = γν(t) (‖P2(t)‖+ ‖S2(t)‖)
[
eβT −
∑ν
i=0
(βT )i
i!
]
≤ χ < 1, где β = max
(t,x)∈Ω̄
‖B(t, x)‖,
χ — постоянная.
Тогда существует единственное классическое решение задачи (1) – (3).
Доказательство. В силу условия а) при фиксированных µ(t), ũ(t, x), w̃(t, x), ṽ(t, x) функ-
ция µ̇(t) определяется единственным образом из уравнения (14):
µ̇(t) = −[Qν(t)]−1
{
Ẽν(t)µ(t) + H̃ν(t, ũ, ṽ) + G̃ν(t, w̃) + F̃ν(t)
}
, t ∈ [0, T ].
При фиксированных µ(t) ∈ C([0, T ], Rn), µ̇(t) ∈ C([0, T ], Rn) система интегральных урав-
нений (10) – (12) имеет единственное решение ũ(t, x), w̃(t, x), ṽ(t, x), где ũ, w̃, ṽ принадле-
жат C(Ω̄, Rn), и при предположениях относительно данных задачи справедливы оценки
max
x∈[−T,T ]
‖w̃(t, x)‖ ≤
[
eβT − 1
]
‖µ̇(t)‖+
+ TeβT max
x∈[−T,T ]
‖C(t, x)‖ ‖µ(t)‖+ TeβT max
x∈[−T,T ]
‖f(t, x)‖+
+ TeβT max
{
max
x∈[−T,T ]
‖A(t, x)‖, max
x∈[−T,T ]
‖C(t, x)‖
}{
max
x∈[−T,T ]
‖ũ(t, x)‖+ max
x∈[−T,T ]
‖ṽ(t, x)‖
}
,
(15a)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
8 А. Т. АСАНОВА
max
x∈[−T,T ]
‖ũ(t, x)‖+ max
x∈[−T,T ]
‖ṽ(t, x)‖ ≤
{
max
x∈[−T,T ]
‖ϕ′(x)‖+ max
x∈[−T,T ]
‖ϕ(x)− ϕ(0)‖+
+ (1 + T )
t∫
T
[
1 + βTeβT
]
max
x∈[−T,T ]
‖f(τ, x)‖dτ + (1 + T )
t∫
T
βTeβT ‖µ̇(τ)‖dτ+
+ (1 + T )
t∫
T
[
1 + βTeβT
]
max
x∈[−T,T ]
‖C(τ, x)‖ ‖µ(τ)‖dτ
}
×
× exp
{
(1 + βTeβT )
t∫
T
max
{
max
x∈[−T,T ]
‖A(τ, x)‖, max
x∈[−T,T ]
‖C(τ, x)‖
}
dτ
}
. (15b)
Из интегрального уравнения (11) с помощью неравенства Беллмана – Гронуолла для
разностей последовательных приближений w̃(m)(t, x)− w̃(m−1)(t, x) получаем оценку
max
x∈[−T,T ]
‖w̃(m)(t, x)− w̃(m−1)(t, x)‖ ≤
[
eβT − 1
]
‖µ̇(m)(t)− µ̇(m−1)(t)‖+
+ TeβT max
{
max
x∈[−T,T ]
‖A(t, x)‖, max
x∈[−T,T ]
‖C(t, x)‖
}
×
×
[
max
x∈[−T,T ]
‖ṽ(m)(t, x)− ṽ(m−1)(t, x)‖+ max
x∈[−T,T ]
‖ũ(m)(t, x)− ũ(m−1)(t, x)‖
]
+
+ TeβT max
x∈[−T,T ]
‖C(t, x)‖ ‖µ(m)(t)− µ(m−1)(t)‖, (16a)
Для разностей µ(m)(t) − µ(m−1)(t), ũ(m)(t, x) − ũ(m−1)(t, x), w̃(m)(t, x) − w̃(m−1)(t, x), m =
= 1, 2, . . . , с учетом неравенств (15), (16a) справедливы оценки
‖µ(m)(t)− µ(m−1)(t)‖ ≤
t∫
T
‖µ̇(m)(τ)− µ̇(m−1)(τ)‖dτ, (16b)
max
x∈[−T,T ]
||ṽ(m)(t, x)− ṽ(m−1)(t, x)||+ max
x∈[−T,T ]
||ũ(m)(t, x)− ũ(m−1)(t, x)|| ≤
≤ a0(t)
t∫
T
||µ̇(m)(τ)− µ̇(m−1)(τ)||dτ, (16c)
где
a0(t) = ea1(t)(1 + T )
[
βTeβT + a2(t)
]
, a2(t) =
[
1 + βTeβT
] t∫
T
max
x∈[−T,T ]
‖C(τ, x)‖dτ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ С ДАННЫМИ НА НЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ЛИНИЯХ . . . 9
a1(t) = (1 + T ) (1 + βTeβT )
t∫
T
max
{
max
x∈[−T,T ]
‖A(τ, x)‖, max
x∈[−T,T ]
‖C(τ, x)‖
}
dτ.
Для разности µ̇(m+1)(t)− µ̇(m)(t) имеем оценку
‖µ̇(m+1)(t)− µ̇(m)(t)‖ ≤ γν(t)
(
b0(t) ‖µ(m)(t)− µ(m−1)(t)‖+
+ b1(t)
[
max
x∈[−T,T ]
‖ṽ(m)(t, x)− ṽ(m−1)(t, x)‖+ max
x∈[−T,T ]
‖ũ(m)(t, x)− ũ(m−1)(t, x)‖
]
+
+ ( ‖P2(t)‖+ ‖S2(t)‖)
t∫
0
β . . .
ξν−2∫
0
β
ξν−1∫
0
β‖w̃(m)(t, ξν)− w̃(m−1)(t, ξν)‖dξν . . . dξ1
)
,
где
b0(t) = ‖P0(t)‖+ ‖S0(t)‖+ (‖P2(t)‖+ ‖S2(t)‖)
ν−1∑
i=0
(βT )i
i!
T max
x∈[−T,T ]
‖C(t, x)‖,
b1(t) = (‖P2(t)‖+ ‖S2(t)‖)
ν−1∑
i=0
(βT )i
i!
T max
[
max
x∈[−T,T ]
‖A(t, x)‖ max
x∈[−T,T ]
‖C(t, x)‖
]
+
+ max{‖P1(t)‖, ‖P0(t)‖, ‖S1(t)‖, ‖S0(t)‖}.
Тогда с учетом вышеприведенных оценок получим
‖µ̇(m+1)(t)− µ̇(m)(t)‖ ≤ χ‖µ̇(m)(t)− µ̇(m−1)(t)‖+ b2(t)
t∫
T
‖µ̇(m)(τ)− µ̇(m−1)(τ)‖ dτ, (17)
где
b2(t) = γν(t){b0(t) + b1(t)a0(t) + (‖P2(t)‖+ ‖S2(t)‖)
ν∑
i=1
(βT )i
i!
TeβT×
×
(
max
x∈[−T,T ]
‖C(t, x)‖+ max
{
max
x∈[−T,T ]
‖A(t, x)‖, max
x∈[−T,T ]
‖C(t, x)‖
})
.
Согласно нулевому и первому шагу алгоритма имеем следующие оценки:
‖µ̇(0)(t)‖ ≤ γν(t)
{
b0(t)‖ϕ(0)‖+ b1(t)
(
max
x∈[−T,T ]
‖ϕ′(x)‖+ max
x∈[−T,T ]
‖ϕ(x)− ϕ(0)‖
)
+
+ (‖P2(t)‖+ ‖S2(t)‖)
ν−1∑
i=0
(βT )i
i!
T max
x∈[−T,T ]
‖f(t, x)‖+ ‖ψ(t)‖
}
= d1(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
10 А. Т. АСАНОВА
‖µ(0)(t)‖ ≤
t∫
T
d1(τ) dτ = d2(t),
max
x∈[−T,T ]
‖ṽ(0)(t, x)‖+ max
x∈[−T,T ]
‖ũ(0)(t, x)‖ ≤
{
max
x∈[−T,T ]
‖ϕ′(x)‖+ max
x∈[−T,T ]
‖ϕ(x)− ϕ(0)‖+
+ (1 + T )βeβT
t∫
T
d1(τ)dτ + (1 + T )
[
1 + βTeβT
] t∫
T
max
x∈[−T,T ]
‖C(τ, x)‖ d2(τ)dτ+
+ (1 + T )
[
1 + βTeβT
] t∫
T
max
x∈[−T,T ]
‖f(τ, x)‖ dτ
}
ea1(t) = d3(t), (18)
max
x∈[−T,T ]
‖w̃(0)(t, x)‖ ≤
[
eβT − 1
]
d1(t)+
+ TeβT
(
max
{
max
x∈[−T,T ]
‖A(t, x)‖, max
x∈[−T,T ]
‖C(t, x)‖
})
d3(t)+
+ TeβT max
x∈[−T,T ]
‖C(t, x)‖d2(t) + TeβT max
x∈[−T,T ]
‖f(t, x)‖ = d4(t),
‖µ̇(1)(t)− µ̇(0)(t)‖ ≤ γν(t)
(
b0(t) [d2(t) + ‖ϕ(0)‖]+
+ b1(t)
[
d3(t) + max
x∈[−T,T ]
‖ϕ′(x)‖+ max
x∈[−T,T ]
‖ϕ(x)− ϕ(0)‖
]
+ βTd4(t)
)
= d(t).
Для функции Θm(t) = ‖µ̇(m+1)(t)− µ̇(m)(t)‖ на основе (17) установим неравенство
Θm(t) ≤ χm
m∑
j=0
m!
(m− j)! · j!
1
j!
t∫
T
b1(τ)dτ
j
max
t∈[0,T ]
d(t) ≤
≤
m∑
j=0
m!
(m− j)! · j!
χm−j
1
j!
(
H̄1
χ
)j
H̄2, (19)
где H̄1 =
∫ T
0
b2(τ)dτ, H̄2 = maxt∈[0,T ] d(t). Используем следствие теоремы Теплица [10,
c. 325] — предельное соотношение п. 60 [10, с. 327] при a = 0. Поскольку χ ∈ (0, 1),
выберем число θ ∈ (0, (1−χ)/χ).Согласно этому утверждению, если zm =
1
k!
(
H̄1
θχ
)m
→
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ С ДАННЫМИ НА НЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ЛИНИЯХ . . . 11
→ 0 и θ = const (θ > 0), то и z̃m =
1
(1 + θ)m
∑m
j=0
m!
(m− j)! · j!
θj
1
j!
(
H̄1
θχ
)j
→ 0 при
m → ∞. Нетрудно убедиться, что limm→∞ zm = 0. Тогда существует число H̄3 > 0,
ограничивающее последовательность z̃m, и из (19) получаем основную оценку
Θm(t) ≤ χm(1 + θ)m z̃m H̄2 ≤ χ̃m H̄2 H̄3, где χ̃ = χ(1 + θ) < 1.
Отсюда следует равномерная сходимость ряда
∑∞
m=1 Θm(t) при t ∈ [0, T ], обеспечиваю-
щая равномерную сходимость последовательностей µ̇(m)(t) к непрерывной на t ∈ [0, T ]
функции µ̇∗(t). Из неравенства (16b) вытекает равномерная сходимость последователь-
ности µ(m)(t) к функции µ∗(t) ∈ C([0, T ], Rn). На основе оценок (16c), (16a) имеем рав-
номерную относительно (t, x) ∈ Ω̄ сходимость последовательностей ũ(m)(t, x), w̃(m)(t, x),
ṽ(m)(t, x) соответственно к функциям ũ∗(t, x), w̃∗(t, x), ṽ∗(t, x), принадлежащим C(Ω̄, Rn).
Очевидно, что функция u∗(t, x), получаемая как сумма функций µ∗(t)+ ũ∗(t, x), принадле-
жит C(Ω̄, Rn) и является классическим решением задачи (1) – (3).
Докажем единственность решения задачи (1) – (3). Пусть существуют два классиче-
ских решения u∗(t, x) и u∗∗(t, x).Тогда соответствующие им пары (µ∗(t)+ũ∗(t, x)), (µ∗∗(t)+
+ũ∗∗(t, x)) будут решениями краевой задачи с параметром (4) – (7), и аналогично (17) для
разности µ̇∗(t)− µ̇∗∗(t) справедлива оценка
‖µ̇∗(t)− µ̇∗∗(t)‖ ≤ 1
1− χ
t∫
T
b2(τ)‖µ̇∗(τ)− µ̇∗∗(τ)‖dτ. (20)
Из (20) с помощью неравенства Гронуолла – Беллмана имеем ‖µ̇∗(t)−µ̇∗∗(t)‖ = 0 и в силу
соотношений
µ∗(t) = ϕ(0) +
t∫
T
µ̇∗(τ)dτ, µ∗∗(t) = ϕ(0) +
t∫
T
µ̇∗∗(τ) dτ
получим µ∗(t) = µ∗∗(t). Аналогично (15с) устанавливается неравенство
max
x∈[−T,T ]
‖ṽ∗(t, x)− ṽ∗∗(t, x)‖+ max
x∈[−T,T ]
‖ũ∗(t, x)− ũ∗∗(t, x)‖ ≤ a0(t)
t∫
T
‖µ̇∗(τ)− µ̇∗∗(τ)‖dτ,
откуда следует, что ũ∗(t, x) = ũ∗∗(t, x) при всех (t, x) ∈ ∆̄.
Теорема доказана.
Рассмотрим задачу из работы [11], которая решалась методом Римана. Соотношение
(3) имеет вид
u(t, t) + u(t,−t) = ψ(t), t ∈ [0, T ]. (3′)
Относительно вектор-функции ψ(t) предполагается, что она непрерывно дифференци-
руема на [0, T ]. Продифференцируем (3′) по переменной t :
∂u(t, t)
∂t
+
∂u(t, t)
∂x
+
∂u(t,−t)
∂t
− ∂u(t,−t)
∂x
= ψ̇(t), t ∈ [0, T ],
т. е. P2(t) = I, P1(t) = I, S2(t) = I, S1(t) = −I, P0(t) = 0, S0(t) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
12 А. Т. АСАНОВА
Возьмем ν = 1. Матрица Q1(t) имеет вид
Q1(t) = 2
I +
1
2
t∫
0
B(t, ξ)dξ +
1
2
−t∫
0
B(t, ξ)dξ
.
Если предположить, что β T < 1, то матрица Q1(t) будет обратима для всех t ∈ [0, T ] и
для ее обратной справедлива оценка
‖[Q1(t)]−1‖ ≤ 1
2
1
1− βT
.
Тогда имеет место следующее утверждение.
Следствие. Пусть справедливы предположения относительно исходных данных за-
дачи (1) – (3′) и выполняются неравенства
β T < 1, q1(t) =
1
1− βT
[
eβT − 1− βT
]
< 1.
Тогда существует единственное классическое решение задачи (1), (2), (3′).
1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 c.
2. Джумабаев Д. С., Асанова А. Т. Метод параметризации применительно к полупериодической краевой
задаче для гиперболического уравнения // Изв. МОН РК, НАН РК. Сер. физ.-мат. — 2001. — № 1. —
C. 17 – 23.
3. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Однозначная разрешимость краевой задачи с данными на характери-
стиках для систем гиперболических уравнений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2002.
— 42, № 11. — C. 1673 – 1685.
4. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи для систем
гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 10. — C. 1343 – 1354.
5. Джумабаев Д. С. Метод параметризации решения краевых задач для обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений // Вестн. АН КазССР. — 1988. — № 1. — С. 48 – 52.
6. Джумабаев Д. С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 1989. — 29, № 1. —
C. 50 – 66.
7. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Критерий корректной разрешимости краевой задачи для системы ги-
перболических уравнений // Изв. МОН РК, НАН РК. Сер. физ.-мат. — 2002. — № 3. — C. 20 – 26.
8. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. О корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для систем
гиперболических уравнений // Докл. РАН. — 2003. — 391, № 3. — C. 295 – 297.
9. Асанова А. Т., Джумабаев Д. С. Корректная разрешимость нелокальных краевых задач для систем ги-
перболических уравнений // Дифференц. уравнения. — 2005. — 41, № 3. — C. 337 – 346.
10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. — М.: Наука, 1969.
— Т. 2. — 800 c.
11. Нахушев А. М. Методика постановки корректных краевых задач для линейных гиперболических урав-
нений второго порядка на плоскости // Дифференц. уравнения. — 1970. — 6, № 2. — С. 192 – 195.
Получено 11.06.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
|