Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром
Розглянуто крайовi задачi для iнтегральних рiвнянь з виродженим ядром. За допомогою псевдооберненого оператора отримано умови iснування та зображення єдиного розв’язку вихiдного iнтегрального рiвняння, а також умови iснування та зображення розв’язку крайової задачi для цього рiвняння. Результати про...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175581 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 36-54. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175581 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755812021-02-02T01:29:11Z Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром Журавлев, В.Ф. Розглянуто крайовi задачi для iнтегральних рiвнянь з виродженим ядром. За допомогою псевдооберненого оператора отримано умови iснування та зображення єдиного розв’язку вихiдного iнтегрального рiвняння, а також умови iснування та зображення розв’язку крайової задачi для цього рiвняння. Результати проiлюстровано прикладами. We consider boundary-value problems for integral equations with degenerate kernels. By using the pseudoinverse operator, we find conditions for existence of a unique solution of the integral equation, as well as a representation for this solution. We also find conditions for existence of a solution of the boundaryvalue problem for this equation and give a representation of this solution. The results are illustrated with examples. 2012 Article Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 36-54. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175581 517.983 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглянуто крайовi задачi для iнтегральних рiвнянь з виродженим ядром. За допомогою псевдооберненого оператора отримано умови iснування та зображення єдиного розв’язку вихiдного iнтегрального рiвняння, а також умови iснування та зображення розв’язку крайової задачi для цього рiвняння. Результати проiлюстровано прикладами. |
| format |
Article |
| author |
Журавлев, В.Ф. |
| spellingShingle |
Журавлев, В.Ф. Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром Нелінійні коливання |
| author_facet |
Журавлев, В.Ф. |
| author_sort |
Журавлев, В.Ф. |
| title |
Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром |
| title_short |
Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром |
| title_full |
Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром |
| title_fullStr |
Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром |
| title_full_unstemmed |
Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром |
| title_sort |
краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175581 |
| citation_txt |
Краевые задачи для интегральных уравнений с вырожденным ядром / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 36-54. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT žuravlevvf kraevyezadačidlâintegralʹnyhuravnenijsvyroždennymâdrom |
| first_indexed |
2025-07-15T12:53:36Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:53:36Z |
| _version_ |
1837717538511781888 |
| fulltext |
УДК 517.983
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ
В. Ф. Журавлев
Житомир. нац. агроэкол. ун-т
Украина, 10008, Житомир, бульв. Старый, 7.
e-mail: vfz2008@ukr.net
We consider boundary-value problems for integral equations with degenerate kernels. By using the pseudo-
inverse operator, we find conditions for existence of a unique solution of the integral equation, as well as
a representation for this solution. We also find conditions for existence of a solution of the boundary-
value problem for this equation and give a representation of this solution. The results are illustrated with
examples.
Розглянуто крайовi задачi для iнтегральних рiвнянь з виродженим ядром. За допомогою псев-
дооберненого оператора отримано умови iснування та зображення єдиного розв’язку вихiдного
iнтегрального рiвняння, а також умови iснування та зображення розв’язку крайової задачi для
цього рiвняння. Результати проiлюстровано прикладами.
Исследование разрешимости и построение решений линейных краевых задач
(Lx)(t) = f(t), (1)
`x(·) = α, (2)
где L — линейный ограниченный оператор, ` — линейный ограниченный функционал,
зависят от разрешимости исходного операторного уравнения (1). Для большого числа
краевых задач в случае, когда оператор L является всюду разрешимым [1], получены
условия разрешимости и формулы для представления их решений [2 – 4]. Однако суще-
ствует большой круг краевых задач вида (1), (2), у которых оператор L не является всю-
ду разрешимым. Интегральные уравнения с вырожденным ядром как раз и относятся к
такого рода задачам. Интегральный оператор, задающий исходное уравнение, является
фредгольмовым [5, 6] с ненулевым ядром. Это значит, что оператор не имеет обратного,
а исходное уравнение разрешимо не при любой правой части [1]. Необратимость исход-
ного оператора вносит существенные трудности в исследование таких краевых задач.
Методы обобщенного обращения и псевдообращения фредгольмовых и нетеровых
операторов [4, 7] позволяют решить эту задачу. Рассмотрим применение этих методов
к задаче о нахождении критерия разрешимости и построении решений нормально раз-
решимых операторных уравнений и краевых задач для них в случае, когда оператор L
исходного уравнения является фредгольмовым с ненулевым ядром.
Постановка задачи. Рассмотрим линейную краевую задачу
(Lx)(t) = f(t), t ∈ [a, b], (3)
c© В. Ф. Журавлев, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 36
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 37
`x(·) = α, (4)
где L : Ln2 [a, b] → Ln2 [a, b] — интегральный оператор Фредгольма второго рода с вырож-
денным ядром
(Lx)(t) ≡ x(t)−Ψ(t)
b∫
a
Φ(s)x(s) ds, (5)
` = col (`1, `2, . . . , `k) : Ln2 [a, b] → Rk — k-мерный векторный функционал, действую-
щий из пространства суммируемых с квадратом на промежутке [a, b] функций Ln2 [a, b] в
k-мерное векторное пространство Rk. Столбцы (n × m)-мерной матрицы Ψ(t), строки
(m × n)-мерной матрицы Φ(t), векторы x(t) и f(t) принадлежат гильбертову пространс-
тву Ln2 [a, b]. Ставится задача: найти условия разрешимости и формулы для представления
решений операторного уравнения (3) и краевой задачи (3), (4) с помощью псевдообрат-
ного оператора L+ к оператору L.
Предварительные сведения. Известно [5], что интегральный оператор (5) является
фредгольмовым (dimN(L) = dimN(L∗) = s < ∞). Изложим в общем виде один из
способов построения оператора, псевдообратного к фредгольмовому, действующего из
вещественного гильбертового пространства H1 в вещественное гильбертово простран-
ство H2.
Пусть (x1(t), x2(t)) =
∫ b
a
x∗1(t)x2(t) dt — скалярное произведение n-мерного вектора-
столбца x1(t) на n-мерный вектор-столбeц x2(t) в пространстве H1, где ∗ — операция
транспонирования. Тогда по формуле (X(t), x(t)) =
∫ b
a
X∗(t)x(t) dt определим скаляр-
ное произведение (n×r)-мерной матрицыX(t) на n-мерный вектор-столбец x(t), резуль-
татом которого будет r-мерный вектор-столбец констант, а по формуле (X(t), Y (t)) =
=
∫ b
a
X∗(t)Y (t) dt — скалярное произведение (n ×m)-мерной матрицы X(t) на (n ×m)-
мерную матрицу Y (t), результатом которого будет (m×m)-мерная постоянная матрица.
Пусть {fi}si=1 — базис нуль-пространства N(L) оператора L, а {ϕj}sj=1 — базис нуль-
пространства N(L∗) оператора L∗, сопряженного к оператору L. Из базисных векторов
нуль-пространств N(L) и N(L∗) составим (n× s)-мерные матрицы
X(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fs(t)),
Y (t) = (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕs(t))
∗.
По формулам (3.4) [4, c. 62] построим ортопроекторы PN(L) : H1 → N(L) и PN(L∗) :
H2 → N(L∗) :
(PN(L)x)(t) = X(t)α−1(X∗(t), x(t))H1 , (6)
(PN(L∗)y)(t) = Y (t)β−1(Y ∗(t), y(t))H2 , (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
38 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
где (·, ·)Hi , i = 1, 2, — скалярное произведение в пространствах H1 и H2 соответственно,
α−1 и β−1 — матрицы, обратные к симметрическим матрицам Грама
α = (X∗(t), X(t))H1 , β = (Y ∗(t), Y (t))H2 .
Если базисы нуль-пространств N(L) и N(L∗) ортонормированы, то матрицы α и β
будут единичными.
Введем в рассмотрение операторы
(PN(L∗)x)(t) = Y (t)α−1(X∗(t), x(t))H1 , PN(L∗) : H1 → N(L∗),
(8)
(PN(L)y)(t) = X(t)β−1(Y ∗(t), y(t))H2 , PN(L) : H2 → N(L).
Оператор PN(L∗) является расширением на пространство H1 оператора, который осу-
ществляет изоморфизм N(L) на N(L∗), а PN(L) — оператор, являющийся расширением
оператора, обратного изоморфному, на пространство H2.
Лемма 1. Оператор L = L+ PN(L∗) имеет ограниченный обратный L
−1
.
Доказательство леммы аналогично приведенному в [4].
С помощью леммы 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 1. Оператор
L+ = L
−1 − PN(L) (9)
является ограниченным псевдообратным оператором к ограниченному фредгольмову
оператору L.
Доказательство теоремы сводится к проверке соотношений, определяющих единствен-
ный псевдообратный оператор [7].
Формула (9) для представления единственного псевдообратного оператора к фред-
гольмовому в гильбертовом пространстве позволяет решить задачу об условиях разре-
шимости и представлении общего решения интегрального уравнения второго рода с вы-
рожденным ядром.
Критерий разрешимости интегральных уравнений с вырожденным ядром. Псевдо-
обратный оператор к интегральному. Предположим, что однородное уравнение
(Lx)(t) ≡ x(t)−Ψ(t)
b∫
a
Φ(s)x(s) ds = 0 (10)
имеет нетривиальные решения, т. е. уравнение (3) не является всюду разрешимым [1].
Найдем условия разрешимости и общий вид решения уравнения (3) при сделанных выше
предположениях.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 39
Для построения псевдообратного оператора к интегральному оператору L построим
базисы ядер N(L) и N(L∗) операторов L и L∗ соответственно. Для этого найдем общие
решения однородного уравнения (10) и сопряженного ему
(L∗y)(t) ≡ y(t)− Φ∗(t)
b∫
a
Ψ∗(s)y(s) ds = 0. (11)
Найдем базисы нуль-пространств операторов L и L∗. Для этого необходимо решить
однородные уравнения (10), (11). Решение этих уравнений будем искать в виде
x(t) = Ψ(t) c,
(12)
y(t) = Φ∗(t) d,
где c = col [c1, c2, . . . , cm], d = col [d1, d2, . . . , dm].
Подставив (12) в (10) и (11) соответственно, получим алгебраические системы отно-
сительно c и d :
D c = 0,
(13)
D∗d = 0,
где D = A− E (D∗ = A∗ − E),
A =
b∫
a
Φ(t)Ψ(t) dt
— (m×m)-мерная постоянная матрица.
Пусть PN(D) : Rm → N(D) и PN(D∗) : Rm → N(D∗) — ортопроекторы [4] на нуль-
пространства N(D) и N(D∗) матриц D и D∗ соответственно.
Алгебраические системы (13) имеют ненулевые решения тогда и только тогда, когда
PN(D) 6= 0, что необходимо влечет за собой и PN(D∗) 6= 0. Эти условия эквивалентны
условию detD = 0, что мы и предполагаем.
Пусть rankD = m− r (rankD∗ = m− r). Тогда (m×m)-мерные матрицы-ортопроек-
торы PN(D) и PN(D∗) имеют по r линейно независимых столбцов, из которых составим
(n× r)-мерные матрицы PNr(D) и PNr(D∗) соответственно.
С помощью этих матриц общие решения систем (13) можно представить в виде [4]
c = PNr(D)cr,
(14)
d = PNr(D∗)dr,
где cr ∈ Rr и dr ∈ Rr — произвольные r-мерные постоянные векторы.
Подставив (14) в (12), получим общие решения однородных интегральных уравнений
(10) и (11)
x(t) = Xr(t)cr,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
40 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
y(t) = Yr(t)dr,
гдеXr(t) = Ψ(t)PNr(D) и Yr(t) = Φ∗(t)PNr(D∗) — (n×r)-мерные фундаментальные матри-
цы, столбцы которых составляют базисы нуль-пространств N(L) и N(L∗) операторов L
и L∗.
По формулам (7), (8) построим ортопроектор PN(L∗), операторы PN(L) и PN(L) :
(PN(L∗)y)(t) = Yr(t)β
−1
b∫
a
Y ∗
r (s)y(s) ds, PN(L∗) : Ln2 [a, b] → N(L∗),
(PN(L∗)x)(t) = Yr(t)α
−1
b∫
a
X∗
r (s)x(s) ds, PN(L∗) : Ln2 [a, b] → N(L∗),
(PN(L)y)(t) = Xr(t)β
−1
b∫
a
Y ∗
r (s)y(s) ds, PN(L) : Ln2 [a, b] → N(L).
Здесь α−1 и β−1 — матрицы, обратные к (r×r)-мерным симметрическим матрицам Грама
α =
b∫
a
X∗
r (t)Xr(t) dt, β =
b∫
a
Y ∗
r (t)Yr(t) dt.
Тогда по лемме 1 оператор
(
L+ PN(L∗)
)
x(t) ≡ x(t)−Ψ(t)
b∫
a
Φ(s)x(s) ds+ Yr(t)β
−1
b∫
a
X∗
r (s)x(s) ds
имеет ограниченный обратный, т. е. интегральное уравнение
([L+ PN(L∗)]x) (t) = f(t) (15)
разрешимо при любой правой части.
Для нахождения решения этого уравнения запишем (15) в виде
(Lx)(t) = [(L+ PN(L∗))x](t) ≡ x(t)−Ψ1(t)
b∫
a
Φ∗
1(s)x(s) ds = f(t), (16)
где Ψ1(t) = [Ψ(t),−Yr(t)α−1] — (n × (m + r))-мерная матрица, составленная из матриц
Ψ(t) и −Yr(t)α−1, а Φ1(t) = [Φ∗(t), Xr(t)] — (n × (m + r))-мерная матрица, составленная
из матриц Φ(t) и X∗
r (t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 41
Следуя [5], решение уравнения (16) можно записать в виде
x(t) = ((L+ PN(L∗)f)(t) ≡ f(t) + Ψ1(t)M
−1
b∫
a
Φ∗
1(s)f(s) ds, (17)
где M−1 — ((m+ r)× (m+ r))-мерная матрица, обратная к матрице M = I −B,
B =
b∫
a
Φ∗
1(t)Ψ1(t) dt.
Тогда согласно теореме 1 оператор, псевдообратный к оператору L, будет иметь вид
(L+f)(t) = ((L+ PN(L∗))
−1 − PN(L))f)(t) =
= f(t) + Ψ1(t)M
−1
b∫
a
Φ∗
1(s)f(s) ds−Xr(t)β
−1
b∫
a
Y ∗
r (s)f(s) ds. (18)
Используя свойства построенного псевдообратного оператора L+ и тот факт, что ор-
топроекторы PN(L) и PN(L∗) индуцируют разбиение гильбертова пространства Ln2 [a, b] в
прямые суммы взаимно ортогональных подпространств Ln2 [a, b] = N(L)⊕R(L∗),Ln2 [a, b] =
= N(L∗)⊕R(L), легко доказать следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть rankD = m−r, r 6= 0. Тогда интегральное уравнение Фредгольма с
вырожденным ядром (3) разрешимо для тех и только тех f(t) ∈ Ln2 [a, b], для которых
(PN(L∗)f)(t) = Yr(t)β
−1
b∫
a
Y ∗
r (s)f(s) ds = 0, (19)
и при этом имеет r-параметрическое семейство решений вида
x(t) = Xr(t) cr + (L+f)(t), (20)
первое слагаемое в котором есть общее решение соответствующего однородного урав-
нения, а второе слагаемое (L+f)(t) — единственное частное решение (18) уравнения (3),
ортогональное к любому решению однородного уравнения (10), cr ∈ Rr — произволь-
ный r-мерный вектор-столбец констант.
Решения уравнения (3), если они существуют, в дальнейшем будем записывать в виде
x(t) = Xr(t)cr + f(t) + Ψ2(t)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds, (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
42 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
где Ψ2(t) = [Ψ1(t)M
−1,−Xr(t)β
−1] — (n × (m + 2r))-мерная матрица, составленная из
матриц Ψ1(t)M
−1 и Xr(t)β
−1, Φ2(t) = [Φ1(t), Yr(t)] — (n × (m + 2r))-мерная матрица,
составленная из матриц Φ1(t) и Yr(t).
Условие разрешимости (19) вследствие линейной независимости столбцов матрицы
Yr(t)β
−1 эквивалентно условию
b∫
a
Y ∗
r (s)f(s) ds = 0.
Линейные краевые задачи для интегральных уравнений второго рода с вырожденным
ядром. Найдем решения уравнения (3), удовлетворяющие краевым условиям (4).
Задачу (3), (4) будем рассматривать в предположении, что соответствующая однород-
ная краевая задача
(Lx)(t) = 0,
(22)
`x(·) = 0
имеет нетривиальные решения. В условиях теоремы 2 для того чтобы уравнение (3) име-
ло решения, удовлетворяющие условиям (4), необходимо и достаточно, чтобы алгебраи-
ческая система
Qcr = α− `
f(·) + Ψ2(·)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds
, (23)
которая получается подстановкой решения (21) интегрального уравнения (3) в краевые
условия (4), была разрешима относительно cr. Здесь Q = `Xr(·) — (k × r)-мерная посто-
янная матрица.
Пусть Q+− единственная (r × k)-мерная псевдообратная матрица [4, 7] к матрице Q,
PN(Q) : Rr → N(Q) — (r × r)-мерная матрица-ортопроектор; PN(Q∗) : Rk → N(Q∗) —
(k × k)-мерная матрица-ортопроектор.
Обозначим через PNρ(Q) (k × ρ)-мерную матрицу, столбцы которой — ρ линейно не-
зависимые столбцы матрицы PN(Q) (ρ = k − n1, n1 = rankQ); PNd(Q∗) — (d × r) -мерная
матрица, строки которой — d линейно независимые строки матрицы PN(Q∗) (d = r−n1).
Алгебраическая система (23) разрешима тогда и только тогда, когда выполнено усло-
вие [2, 4]
PNd(Q∗)
α− `[f(·) + Ψ2(·)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds]
= 0
и при этом имеет ρ-параметрическое семейство решений
cr = PNρ(Q)cρ −Q+
α− `
f(·) + Ψ2(·)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds
, cρ ∈ Rρ. (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 43
Подставив (24) в общее решение (21) уравнения (3), получим общее решение краевой
задачи (3), (4):
x(t) = Xr(t)PNρ(Q)cρ +Xr(t)Q
+α−Xr(t)Q
+`
f(·) + Ψ2(·)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds
+ f(t)+
+ Ψ2(t)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds = Xρ(t)cρ + f(t)+
+Xr(t)Q
+[α− `f(·)] + [Ψ2(t)−Xr(t)Q
+`Ψ2(·)]
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s)ds.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть rankQ = n1 ≤ min(k, r). Тогда соответствующая (3), (4) однород-
ная краевая задача (22) (f(t) = 0) имеет ρ = r − n1 и только ρ линейно независимых
решений.
Неоднородная краевая задача (3), (4) разрешима для тех и только тех f(t) и α, ко-
торые удовлетворяют r + d линейно независимым условиям
b∫
a
Y ∗
r (s)f(s) ds = 0,
PNd(Q∗)
α− `
f(·) + Ψ2(·)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds
= 0,
и при этом имеет ρ-параметрическое семейство решений
x(t) = Xρ(t)cρ + f(t) + Ψ2(t)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds,
гдеXρ(t) = Xr(t)PNρ(Q) — (n×ρ)-мерная фундаментальная матрица краевой задачи (3),
(4); f(t) = f(t)−Xr(t)Q
+`f(·); Ψ2(t) = Ψ2(t)−Xr(t)Q
+`Ψ2(·).
Пусть rankQ = r. Тогда необходимо выполнение неравенства k ≤ r. В этом случае
краевая задача (3), (4) переопределена и для нее имеет место следующая теорема.
Теорема 4. Пусть rankQ = r. Тогда соответствующая (3), (4) однородная краевая
задача (22) не имеет решений, кроме тривиального.
Неоднородная краевая задача (3), (4) разрешима для тех и только тех f(t) и α, ко-
торые удовлетворяют r + d линейно независимым условиям
b∫
a
Y ∗
r (s)f(s) ds = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
44 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
PNd(Q∗)
α− `
f(·) + Ψ2(·)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds
= 0, d = k − r,
и при этом имеет единственное решение
x(t) = f(t) + Ψ2(t)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds,
где f(t) = f(t)−Xr(t)Q
+`f(·), Ψ2(t) = Ψ2(t)−Xr(t)Q
+`Ψ2(·).
Действительно, так как rankQ = r, то PN(Q) = PNρ(Q) = 0, Xρ(t) = Xr(t)PNρ(Q) ≡ 0
и из теоремы 3 следует утверждение теоремы 4.
Пусть rankQ = k. Тогда k ≥ r. В этом случае краевая задача (3), (4) недоопределена
и для нее имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Пусть rankQ = k. Тогда соответствующая (3), (4) однородная краевая
задача (22) имеет ρ = r − k и только ρ линейно независимых решений.
Неоднородная краевая задача (3), (4) разрешима для тех и только тех f(t), которые
удовлетворяют r линейно независимым условиям
b∫
a
Y ∗
r (s)f(s) ds = 0,
и при этом имеет ρ-параметрическое семейство решений
x(t) = Xρ(t)cρ + f(t) + Ψ2(t)
b∫
a
Φ∗
2(s)f(s) ds,
где Xρ(t) = Xr(t)PNρ(Q) — (n × ρ)-мерная фундаментальная матрица, f(t) = f(t) −
−Xr(t)Q
+`f(·), Ψ2(t) = Ψ2(t)−Xr(t)Q
+`Ψ2(·).
Поскольку rankQ = k, то PN(Q∗) = PNd(Q∗) = 0, и из теоремы 3 следует утверждение
теоремы 5.
В случае периодической краевой задачи (3), (4) справедливо следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть элементы вектора-столбца f(t) и матриц Φ(t), Ψ(t) являются
периодическими по T функциями и rankQ = n1 ≤ min(k, r). Тогда соответствующая
(3), (4) однородная краевая задача имеет ρ = r − n1 и только ρ линейно независимых
периодических решений.
Неоднородная краевая задача (3), (4) имеет периодические решения для тех и толь-
ко тех f(t), которые удовлетворяют условиям
T∫
0
Y ∗
r (s)f(s) ds = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 45
PNd(Q∗)
f(0)− f(T ) + [Ψ2(0)−Ψ2(T )]
T∫
0
Φ∗
2(s)f(s) ds
= 0,
и при этом имеет ρ-параметрическое семейство периодических решений
x(t) = Xρ(t)cρ + f(t) + Ψ2(t)
T∫
0
Φ∗
2(s)f(s) ds,
где Xρ(t) = Xr(t)PNρ(Q) — (n × ρ)-мерная фундаментальная матрица, f(t) = f(t) −
−Xr(t)Q
+[f(0)− f(T )], Ψ2(t) = Ψ2(t)−Xr(t)Q
+[Ψ2(0)−Ψ2(T )].
Пример 1. В качестве иллюстрации предложенного выше алгоритма построения ре-
шений линейных краевых задач для интегральных уравнений Фредгольма второго рода
рассмотрим краевую задачу
(Lx)(t) = x(t)−
(
0 0 t− 1
1 0 0
) 2∫
0
0 s− 1
2
1 0
3s
2
0
x(s) ds = f(t), (25)
`x(·) = x(0)− x(2) = 0, (26)
где x(t) = col (x1(t), x2(t)) и f(t) = col (f1(t), f2(t)) принадлежат пространству L2
2[0, 2],
t ∈ [0, 2].
Оператор L∗, сопряженный оператору L, имеет вид
(L∗y)(t) = y(t)−
0 1
3t
2
t− 1
2
0 0
2∫
0
0 1
0 0
s− 1 0
y(s) ds.
Найдем базисы ядер kerL и kerL∗ операторов L и L∗. Для этого решим однородные
уравнения
(Lx)(t) = 0,
(27)
(L∗y)(t) = 0.
Решения будем искать в виде
x(t) =
(
0 0 t− 1
1 0 0
)
c,
(28)
y(t) =
0 1
3t
2
t− 1
2
0 0
d.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
46 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Подставив (28) в (27), получим относительно c ∈ R3 и d ∈ R3 алгебраические систе-
мы
(E −A) c = 0,
(29)
(E −A∗) d = 0,
где
A =
2∫
0
0 1
0 0
t− 1 0
0 1
3t
2
t− 1
2
0 0
dt =
1 0 0
0 0 0
0 0 1
.
Тогда D = D∗ =
0 0 0
0 1 0
0 0 0
, PN(D) = PN(D∗) =
1 0 0
0 0 0
0 0 1
.
Поскольку rankD = 1, r = 2 и PNr(D) = PNr(D∗) =
1 0
0 0
0 1
, решения алгебраичес-
ких уравнений (29) будут иметь вид
c = PNr(D)cr, cr ∈ R2,
d = PNr(D∗)dr, dr ∈ R2.
Соответственно, общие решения уравнений (27) запишутся следующим образом:
x(t) = Xr(t)cr =
(
0 t− 1
1 0
)
cr,
y(t) = Yr(t)dr =
0
3t
2
t− 1
2
0
dr,
где
Xr(t) =
(
0 0 t− 1
1 0 0
)
PNr(D), Yr(t) =
0 1
3t
2
t− 1
2
0 0
PNr(D∗).
Таким образом, столбцы матрицXr(t) и Yr(t) составляют базисы соответственно нуль-
пространств N(L) и N(L∗) операторов L и L∗.
По формулам (7), (8) построим операторы
(PN(L∗)y)(t) =
0
t
4
6t− 3
7
0
2∫
0
0 s− 1
2
3s
2
0
y(s) ds,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 47
(PN(L∗)x)(t) =
0
9t
4
2t− 1
4
0
2∫
0
(
0 1
s− 1 0
)
x(s) ds,
(PN(L)y)(t) =
0
t− 1
6
6
7
0
2∫
0
0 s− 1
2
3s
2
0
y(s) ds.
Оператор (Lx)(t) = (L+ PN(L∗))x(t) будет иметь вид
(Lx)(t) = x(t)−
0 0 t− 1 0
9t
4
1 0 0
−2t+ 1
4
0
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1
s− 1
2
0 0 1 0
∗
x(s) ds.
По формуле (17) построим оператор L
−1
, обратный к оператору L :
(L
−1
f)(t) = f(t)−
0 0 t− 1 0
9t
4
1 0 0
−2t+ 1
4
0
M−1×
×
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1
s− 1
2
0 0 1 0
∗
f(s) ds,
где M−1 =
9
23
0 0 −1
2
0
0 1 −1
2
0 0
0 0 − 5
12
0 −3
2
12
23
0 0 0 0
0 0 −1
9
0 0
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
48 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Тогда, следуя (18), оператор L+ запишем в виде
(L+f)(t) = ((L
−1 − PN(L))f)(t) =
= f(t)−
0 0
−2t+ 5
12
0
−3(t− 1)
2
0
1− t
6
−6(t− 2)
23
0 0 −1
2
0
−6
7
0
×
×
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0 s− 1
2
0
∗
f(s) ds. (30)
При условии
(PN(L∗)f)(t) =
0
t
4
6t− 3
7
0
2∫
0
0
s− 1
2
3s
2
0
f(s) ds = 0 (31)
общее решение уравнения (25) таково:
x(t) = Xr(t)cr + (L+f)(t) =
(
0 t− 1
1 0
)
cr + (L+f)(t), cr ∈ R2,
где (L+f)(t) имеет представление (30).
С учетом того, что f(t) = col (f1(t), f2(t)), условие (31) можно записать в более прос-
том виде
2∫
0
0
s− 1
2
3s
2
0
(
f1(s)
f2(s)
)
ds =
2∫
0
s− 1
2
f2(s)
3s
2
f1(s)
ds = 0.
Найдем теперь условия разрешимости и общий вид решения краевой задачи (23), (25).
Подставив общее решение интегрального уравнения (25) в краевые условия (26), по-
лучим алгебраическое уравнение
Qcr = −(L+f)(0) + (L+f)(2) (32)
для определения константы cr.
Для этой задачи имеем
Q = Xr(0)−Xr(2) =
(
0 −2
0 0
)
, Q+ =
(
0 0
−1
2
0
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 49
PN(Q) =
(
1 0
0 0
)
, PN(Q∗) =
(
0 0
0 1
)
.
Поскольку rankQ = 1, а ρ = 1, то PNρ(Q) =
(
1
0
)
, PNρ(Q∗) =
(
0 1
)
. Уравнение
(32) разрешимо при выполнении условия
PNρ(Q∗){f(0)− f(2) + (L+f)(0)− (L+f)(2)} = 0,
которое с учетом того, что PNρ(Q∗) =
(
0 1
)
, f(t) = col (f1(t), f2(t)), примет вид
(
0 1
)
(
f1(0)
f2(0)
)
−
(
f1(2)
f2(2)
)
+
0 0
1
3
0 3 0 0
12
23
0 0 0 0 0 0
×
×
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0
−1
2
0
∗(
f1(s)
f2(s)
)
ds
= 0.
После преобразований получим
f2(0)− f2(2) +
6
23
2∫
0
(s− 1)f2(s) ds. (33)
При выполнении условия (33) уравнение (32) имеет решение вида
cr =
(
1
0
)
cρ −Q+
f(0)− f(2) +
0 0
1
3
0 3 0 0
12
23
0 0 0 0 0 0
×
×
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0 s− 1
2
0
∗
f(s) ds
, cρ ∈ R1.
Таким образом, задача (25), (26) разрешима при выполнении условий (31) и (33) имеет
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
50 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
общее решение вида
x(t) =
(
0
1
)
cρ +
1− t
2
0
0 0
{f(0)− f(2)}+ f(t)+
+
0 0
1
4
0 0 0
1− t
6
6(2− t)
23
0 0 0
3(1− t)
2
−6
7
0
×
×
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0 s− 1
2
0
∗
f(s) ds.
Пример 2. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (25) с краевыми условиями
`x(·) =
2∫
0
0
1
2
3t
2
0
0
t
2
x(t) dt = α. (34)
Краевая задача (25), (34) переопределена. Решение будем искать, используя теоре-
му 4.
Подставив решение уравнения (25) в краевые условия (34), получим алгебраическое
уравнение относительно cr :
Qcr = α− `L+f(·) = α−
2∫
0
0
1
2
3s
2
0
0
s
2
f(s) ds−
−Ψ2
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0 s− 1
2
0
∗
f(s) ds, (35)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 51
где
Q = `Xr(·) =
2∫
0
0
1
2
3t
2
0
0
t
2
(
0 t− 1
1 0
)
dt,
Ψ2 = `Ψ2(·) =
2∫
0
0
1
2
3t
2
0
0
t
2
0 0
−2t+ 5
12
0
−3(t− 1)
2
0
1− t
6
−6(t− 2)
23
0 0 −1
2
0
−6
7
0
dt=
=
6
23
0 0 −1
2
0 −6
7
0
0 0
7
12
0 −3
2
0 −2
3
− 4
23
0 0 −1
2
0 −6
7
0
.
Для данной краевой задачи имеем
Q =
1 0
0 1
1 0
, Q+ =
( 1
2
0
1
2
0 1 0
)
,
PN(Q) = 0, PN(Q∗) =
1
2
1 0 −1
0 0 0
−1 0 1
.
Поскольку rankQ = 2, а ρ = 2, то PNρ(Q) = 0, PNd(Q∗) =
1
2
(
1 0 −1
)
. Уравнение
(35) разрешимо при выполнении условия
PNd(Q∗)
α− `
f(·) + Ψ2(·)
2∫
0
Φ∗
2(s)f(s) ds
= 0,
которое с учетом того, что PNd(Q∗) =
1
2
(
1 0 −1
)
, f(t) = col (f1(t), f2(t)), α =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
52 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
= col (α1, α2, α3), примет вид
(
1 0 −1
)
α1
α2
α3
− 2∫
0
0
1
2
3s
2
0
0
s
2
(
f1(s)
f2(s)
)
ds −
−
6
23
0 0 −1
2
0 −6
7
0
0 0
7
12
0 −3
2
0 −2
3
− 4
23
0 0 −1
2
0 −6
7
0
×
×
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0 s− 1
2
0
∗(
f1(s)
f2(s)
)
ds
= 0.
После преобразований получим
α1 − α3 +
13
46
2∫
0
(s− 1)f2(s) ds = 0. (36)
При выполнении условия (36) уравнение (35) имеет единственное решение вида
cr = Q+
α−
2∫
0
0
1
2
3s
2
0
0
s
2
f(s) ds −
− Ψ2
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0 s− 1
2
0
∗
f(s)ds
.
Таким образом, краевая задача (25), (34) разрешима при выполнении условий (31) и (36)
имеет единственное решение вида
x(t) =
(
0 t− 1 0
1
2
0
1
2
)α−
2∫
0
0
1
2
3s
2
0
0
s
2
f(s) ds −
− Ψ2
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0 s− 1
2
0
∗
f(s) ds
+ (L+f)(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 53
Пример 3. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (25) с краевыми условиями
`x(·) =
(
−1 2
)
x(0) +
(
1 −2
)
x(2) = α, α ∈ R1. (37)
Краевая задача (25), (37) недоопределена. Решение будем искать, используя теоре-
му 5.
Подставив решение уравнения (25) в краевые условия (37), получим алгебраическое
уравнение относительно cr :
Qcr = α− `L+f(·) = α− f−
−Ψ2
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0 s− 1
2
0
∗
f(s) ds, (38)
где
Q = `Xr(·) =
(
−1 2
)
Xr(0) +
(
1 −2
)
Xr(2) =
(
0 2
)
,
f =
(
−1 2
)
f(0) +
(
1 −2
)
f(2),
Ψ2 = `Ψ2(·) =
(
−1 2
)
Ψ(0) +
(
1 −2
)
Ψ(2) =
(
24
23
0
1
3
0 −3 −24
7
−1
3
)
.
Для данной краевой задачи имеем
Q+ =
0
1
2
, PN(Q) =
(
1 0
0 0
)
, PN(Q∗) = 0.
Поскольку rankQ = 1, ρ = 1, d = 0, то PNρ(Q) =
(
1
0
)
, PNd(Q∗) = 0.
Так как PNd(Q∗) = 0, уравнение (38) разрешимо при любой правой части и имеет одно-
параметрическое (cρ ∈ R1) семейство решений вида
cr =
(
1
0
)
cρ +Q+
α− f −Ψ2
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0 s− 1
2
0
∗
f(s)ds
.
Таким образом, краевая задача (25), (37) разрешима при выполнении условия (31) и имеет
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
54 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
общее решение вида
x(t) =
(
0
1
)
cρ +
t− 1
2
0
×
×
α− f −Ψ2
2∫
0
0 1
3s
2
0 s− 1 0
3s
2
s− 1
2
0 0 1 0 s− 1
2
0
∗
f(s) ds
+ (L+f) (t).
1. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
2. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — Киев: Наук. думка, 1990. — 96 с.
3. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф. Построение решений краевых задач для дифференциальных систем с
запаздыванием в критических случаях // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1990. — № 6. — C. 3 – 6.
4. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с.
5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1988. — 512 с.
6. Samoilenko A. M., Boichuk A. A., Krivosheya S. A. Boundary-value problem for linear systems of integro-
differential equations with degenerate kernel // Ukr. Mat. Zh. — 1996. — 48, № 11. — S. 1576 – 1579.
7. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalised inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
Получено 30.03.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
|