Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу
Получены достаточные условия существования и единственности ограниченного на оси решения абстрактного линейного дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием аргумента в случае неограниченного операторного коэффициента....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175582 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу / Ю.В. Iльченко // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 55-64. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175582 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755822021-02-02T01:28:10Z Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу Iльченко, Ю.В. Получены достаточные условия существования и единственности ограниченного на оси решения абстрактного линейного дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием аргумента в случае неограниченного операторного коэффициента. We find sufficient conditions for existence and uniqueness of a solution bounded on the real axis of an abstract linear first order differential equation with delay in the argument for the case of an unbounded operator coefficient. 2012 Article Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу / Ю.В. Iльченко // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 55-64. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175582 517.98 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены достаточные условия существования и единственности ограниченного на оси решения абстрактного линейного дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием аргумента в случае неограниченного операторного коэффициента. |
| format |
Article |
| author |
Iльченко, Ю.В. |
| spellingShingle |
Iльченко, Ю.В. Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу Нелінійні коливання |
| author_facet |
Iльченко, Ю.В. |
| author_sort |
Iльченко, Ю.В. |
| title |
Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу |
| title_short |
Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу |
| title_full |
Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу |
| title_fullStr |
Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу |
| title_full_unstemmed |
Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу |
| title_sort |
обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175582 |
| citation_txt |
Обмежені розв’язки абстрактного диференціального рівняння спецiального вигляду з запiзненням аргументу / Ю.В. Iльченко // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 55-64. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT ilʹčenkoûv obmeženírozvâzkiabstraktnogodiferencíalʹnogorívnânnâspecialʹnogoviglâduzzapiznennâmargumentu |
| first_indexed |
2025-07-15T12:53:40Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:53:40Z |
| _version_ |
1837717542490079232 |
| fulltext |
УДК 517.98
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ АБСТРАКТНОГО
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ
СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ З ЗАПIЗНЕННЯМ АРГУМЕНТУ
Ю. В. Iльченко
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 7
We find sufficient conditions for existence and uniqueness of a solution bounded on the real axis of an
abstract linear first order differential equation with delay in the argument for the case of an unbounded
operator coefficient.
Получены достаточные условия существования и единственности ограниченного на оси реше-
ния абстрактного линейного дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием
аргумента в случае неограниченного операторного коэффициента.
1. Вступ та постановка задачi. Нехай (B, ‖ · ‖) — комплексний банахiв простiр iз нульо-
вим елементом ~0, I — одиничний оператор у просторi B, L(B) — простiр лiнiйних непе-
рервних операторiв, що дiють з простору B в B. Розглянемо диференцiальне рiвняння з
запiзненням аргументу вигляду
x′(t) = A1x(t) +A2x(t− 1) + y(t), t ∈ R, (1)
де x ∈ C1(R,B) — шукана функцiя, y ∈ C(R,B) — вiдома, A2 — лiнiйний оператор,
A2 : D(A2) → B, D(A2) ⊂ B, A1 ∈ L(B), A1 i A2 комутують мiж собою.
Вiдомо [1], що якщо A1 — нульовий оператор, а A2 — обмежений, то умова
{iteit| t ∈ R} ∩ σ(A2) = ∅
є необхiдною i достатньою для того, щоб рiвняння (1) мало для довiльної обмеженої
функцiї y ∈ C(R,B) єдиний обмежений розв’язок x ∈ C1(R,B). У цiй роботi знайде-
но умови iснування i єдиностi обмеженого розв’язку рiвняння (1) у випадку ненульового
оператора A1 ∈ L(B) та необмеженого оператора A2 : D(A2) → B, D(A2) ⊂ B.
2. Допомiжнi твердження.
Лема 1. Нехай рiвняння (1) має для довiльної обмеженої функцiї y ∈ C(R,B) єдиний
обмежений розв’язок x ∈ C1(R,B). Тодi
∀α ∈ R : iαeiα /∈ σ(eiαA1 +A2) (2)
i
sup
α∈R
‖(eiαA1 +A2 − iαeiαI)−1‖ < +∞. (3)
c© Ю. В. Iльченко, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1 55
56 Ю. В. IЛЬЧЕНКО
Якщо, додатково, для довiльної обмеженої функцiї y ∈ C(R,B) обмежений розв’язок
x ∈ C1(R,B) має обмежену похiдну, то
sup
α∈R
‖α(eiαA1 +A2 − iαeiαI)−1‖ < +∞. (4)
Доведення. Розглянемо спочатку випадок iснування розв’язкiв з обмеженою похiдною.
Нехай X1 = {x ∈ C1(R,B)|‖x‖∞+ ‖x′‖∞ < +∞}— комплексний банахiв простiр iз нор-
мою ‖x‖1 = ‖x‖∞ + ‖x′‖∞. Введемо оператор J : D(J) ⊂ X1 → C(R,B), що визнача-
ється за формулою
(Jx)(t) := x′(t)−A1x(t)−A2x(t− 1), t ∈ R,
x ∈ D(J) := {x ∈ X1| A2x ∈ C(R,B)}. За умовою цей оператор є бiєкцiєю, отже, за
теоремою Банаха має неперервний обернений, тому
∀ y ∈ C(R,B) ∃! xy ∈ C1(R,B) : x′y(t) = A1xy(t) +A2xy(t− 1) + y(t), t ∈ R,
∃ C > 0 ∀ y ∈ C(R,B) : ‖xy‖1 ≤ C‖y‖.
Розглянемо для довiльного елемента b ∈ B та довiльного числа α ∈ R функцiю
y(t) = eiαtb, t ∈ R. Виконавши у рiвняннi (1) замiну z(t) = e−iαtx(t), t ∈ R, отримає-
мо еквiвалентне рiвняння
z′(t) + (iαI −A1)z(t) = A2z(t− 1)e−iα + b, t ∈ R.
Довiльна функцiя g(t) := z(t+k), k ∈ R, тобто отримана зсувом iз функцiї z, є розв’яз-
ком цього рiвняння. Тому з єдиностi розв’язку випливає, що функцiя z є сталою.
Отже,
∀ b ∈ B ∃! z0 = −e−iαz(0) ∈ B : b = (iαI −A1 −A2e
−iα)z(0) = (eiαA1 +A2 − iαeiαI)z0,
тому виконується умова (2).
Крiм того,
‖α(eiαA1 +A2 − iαeiαI)−1b‖ = ‖
(
(eiαA1 +A2)(eiαA1 +A2 − iαeiαI)−1 − I
)
b‖ ≤
≤ ‖(eiαA1 +A2)xy‖∞ + ‖b‖ ≤ ‖y‖∞ + ‖x′y‖∞ + ‖b‖ ≤
≤ ‖xy‖1 + ‖y‖∞ + ‖b‖ ≤ (C + 1)‖y‖∞ + ‖b‖ = (C + 2)‖b‖.
Оскiльки α ∈ R є довiльним, то маємо
‖(eiαA1 +A2)z0‖ = ‖(eiαA1 +A2)(eiαA1 +A2 − iαeiαI)−1b‖ ≤ (C + 1)‖b‖,
тобто виконується умова (4). У випадку розв’язкiв, похiдна яких не обов’язково обмеже-
на, формули (2) та (3) встановлюються аналогiчно вищенаведеному, якщо простiр {x ∈
∈ C1(R,B)| ‖x‖∞ < +∞} розглядати з рiвномiрною нормою.
Лему 1 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ АБСТРАКТНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ . . . 57
Лема 2. Нехай виконується умова ‖A1‖ < π. Тодi якщо вiдстань мiж множинами
{z + iαeiα| |z| ≤ ‖A1‖, α ∈ R} та σ(A2) є додатною, то при кожному α ∈ R оператор
A2 + eiαA1 − iαeiαI є неперервно оборотним.
Доведення. З умови випливає, що
∃ε > 0 ∀z : |z| ≤ ‖A1‖+ ε, ∀α ∈ R : z + iαeiα /∈ σ(A2).
Розглянемо функцiю вiд оператора A1 :
(A2 + eiαA1 − iαeiαI)−1 = − 1
2πi
∫
Γ
(A2 + eiαλ− iαeiαI)−1(A1 − λI)−1 dλ,
де Γ — деяка крива, що пробiгається проти годинникової стрiлки та охоплює спектр опе-
ратора A1 таким чином, що
∀λ ∈ Γ : |λ| ≤ ‖A1‖+ ε.
З вищевикладеного випливає, що (A2−(−eiαλ+iαeiα)I)−1 iснує для довiльного λ ∈ Γ,
тодi (A2 + eiαA1 − iαeiαI) є неперервно оборотним оператором.
Лему 2 доведено.
Нехай ‖A1‖ < π. Позначимо через Un, n ≥ 1, обмеженi зв’язнi вiдкритi множини,
об’єднання яких є множиною C \ {iteit − z| t ∈ R, |z| ≤ ‖A1‖+ 2δ}, де δ ∈
(
0;
1
2
)
фiксо-
ване, пронумерованi у порядку вiддалення вiд нуля, через Γn, n ≥ 1, їхнi межi. Додатково
введемо наступнi позначення: Vn, n ≥ 1, — обмеженi зв’язнi вiдкритi частини, на якi кри-
ва {iteit : t ∈ R} розбиває множину C, Ωn, n ≥ 1, — їхнi межi, а Ω′n, n ≥ 1, — кривi, що
пробiгаються проти годинникової стрiлки та обмежують областi
⋃n
k=1 Vk, n ≥ 1 вiдповiд-
но. Тодi Un ⊂ Vn i нескладно перевiрити, що
r := inf
n≥3
(
inf
z∈Ω′
n
|z|
n
)
> 0, l := sup
n≥1
|Ω′n|
n
< +∞. (5)
Тут |Ω′n|— довжина кривої Ω′n.
Лема 3. Нехай виконується умова
σ(A2) ∩ {iαeiα − z| |z| ≤ ‖A1‖, α ∈ R} = ∅. (6)
Тодi iснує послiдовнiсть проекторiв {Pn : n ≥ 1} у банаховому просторi B така,
що:
1) PjPk = PkPj = 0, j 6= k;
2) при кожному n ∈ N пiдпростiр Bn = PnB є iнварiантною множиною для опера-
тора A2;
3) при кожному n ∈ N звуження A2,n оператора A2 на пiдпростiр Bn = PnB є обме-
женим оператором зi спектром σn = σ(A2) ∩ Vn;
4) якщо виконується умова (4), то
∑∞
k=1A
−1
2 Pk = A−1
2 , якщо додатково величина
εn := supz∈Ω′
n
‖A2(A2 − zI)−1‖ → 0, n → ∞, то
∑∞
k=1 Pk = I.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
58 Ю. В. IЛЬЧЕНКО
Доведення. Покладемо
Pn := − 1
2πi
∫
Ωn
(A2 − λI)−1dλ, n ∈ N.
Тодi твердження 1 – 3 леми випливають з результатiв [3, с. 445]. Оскiльки при великих
n ∈ N виконуються рiвнiсть
A−1
2 −A
−1
2
n∑
k=1
Pk = A−1
2
1
2πi
∫
Ω′
n
(λ−1I + (A2 − λI)−1)dλ
=
= A−1
2
1
2πi
∫
Ω′
n
A2λ
−1(A2 − λI)−1dλ
i нерiвнiсть (4), то для великих за модулем α ∈ R має мiсце рiвнiсть
(A2 − iαeiαI)−1 = (A2 + eiαA1 − iαeiαI)−1
∞∑
n=0
(eiαA1)n(A2 + eiαA1 − iαeiαI)−n.
Тому
∃K > 0 ∀α ∈ R : ‖A2(A2 − iαeiαI)−1‖ ≤ K.
Отже, маємо
∥∥∥∥∥A−1
2 −
n∑
k=1
A−1
2 Pk
∥∥∥∥∥ =
1
2π
∥∥∥∥∥∥∥
∫
Ω′
n
A2λ
−2(A2 − λI)−1dλ
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
K
2πn2r2
nl → 0, n → ∞.
Якщо εn → 0, n → ∞, то
∥∥∥∥∥I −
n∑
k=1
Pk
∥∥∥∥∥ =
1
2π
∥∥∥∥∥∥∥
∫
Ω′
n
A2λ
−1(A2 − λI)−1 dλ
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
εn
2πnr
nl → 0, n → ∞.
Лему 3 доведено.
Позначимо через γ межу круга з центром у точцi (0; 0), радiусом ‖A1‖+δ та напрямком
обходу проти годинникової стрiлки, де δ було визначено вище, S := {z ∈ C| |z| = 1}.
Лема 4. Нехай δ <
π
√
e
2
. Тодi мають мiсце наступнi твердження:
1) ∃L > 0 ∀n ≥ 1 ∀λ ∈ Γn ∀µ ∈ γ ∀z ∈ S : |1− zeµ+λz| ≥ L;
2) ∃L1 > 0 ∀n ≥ 1 ∀λ ∈ Γn ∀µ ∈ γ ∀z ∈ S ∀θ ∈ [0, 1] :
∣∣∣ e(µ+λz)θ1−zeµ+λz
∣∣∣ ≤ L1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ АБСТРАКТНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ . . . 59
Доведення. Введемо позначення µz−1 + λ := reiα, η := µz−1 + λ, z := eiϕ, R := ‖A1‖,
r > 0, α ∈ R, ϕ ∈ R. Оскiльки точки λ лежать на кривiй Γn, а µ є точками кривої γ, то
точки вигляду µz−1 + λ не належать {iteit − w| |w| < δ}, тобто
∀t ∈ R ∀w ∈ C |w| < δ : reiα 6= iteit − w.
З огляду на те, що при rk = α − π
2
+ 2πk або rk = α +
π
2
+ 2πk, k ∈ Z, маємо
rke
iα = irke
irk або −rkeiα = −irke−irk вiдповiдно, звiдси отримуємо
∀k ∈ Z : r /∈
(
α− π
2
+ 2πk − δ, α− π
2
+ 2πk + δ
)
(7)
i
∀k ∈ Z : r /∈
(
α+
π
2
+ 2πk − δ, α+
π
2
+ 2πk + δ
)
. (8)
Тепер запишемо
|1−zeµ+λz|=
∣∣∣1− eiϕ+rei(α+ϕ)
∣∣∣= ((1− er cos(α+ϕ))2+2er cos(α+ϕ)(1−cos(ϕ+ r sin(α+ ϕ)))
)1/2
i знайдемо оцiнки для доданкiв у правiй частинi рiвностi. Припустимо, що виконується
умова
|1− er cos(α+ϕ)| < ε, ε ∈ (0, 1).
Тодi
−ε
r
≤ ln(1− ε)
r
< cos(α+ ϕ) <
ln(1 + ε)
r
≤ ε
r
,
звiдки
∃ C1 > 0 ∃l ∈ Z : −C1ε
r
≤ α+ ϕ+
π
2
+ 2πl ≤ C1ε
r
,
або
−C1ε
r
≤ π
2
− α− ϕ+ 2πl ≤ C1ε
r
.
Крiм того,
1− ε2
2r2
≤ sin(α+ ϕ) ≤ 1 або − 1 ≤ sin(α+ ϕ) ≤ −1 +
ε2
2r2
.
Отже, оскiльки
|r + r sin(α+ ϕ)| ≤ ε2
2r
i |α+
π
2
+ ϕ+ 2πl| ≤ C1ε
r
або
|r − r sin(α+ ϕ)| ≤ ε2
2r
i | − α+
π
2
− ϕ+ 2πl| ≤ C1ε
r
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
60 Ю. В. IЛЬЧЕНКО
то, використавши (7) та (8), отримаємо, що:
а) при | sin(α+ ϕ)− 1| < ε мають мiсце наступнi нерiвностi:
|ϕ+ r sin(α+ ϕ)− 2πl| =
∣∣∣(r − α+
π
2
)
− (r − r sin(α+ ϕ))−
(π
2
− α− ϕ+ 2πl
)∣∣∣ ≥
≥ |r − α+
π
2
| − |r − r sin(α+ ϕ)| −
∣∣∣π
2
− α− ϕ+ 2πl
∣∣∣ ≥
≥ δ − ε2
2r
− C1ε
r
;
б) при | sin(α+ ϕ) + 1| < ε виконується
|ϕ+ r sin(α+ ϕ)− 2πl| =
∣∣∣(π
2
+ α− r
)
− (−r − r sin(α+ ϕ))−
(π
2
+ α+ ϕ+ 2πl
)∣∣∣ ≥
≥
∣∣∣π
2
+ α− r
∣∣∣− | − r − r sin(α+ ϕ)| −
∣∣∣π
2
+ α+ ϕ+ 2πl
∣∣∣ ≥
≥ δ − ε2
2r
− C1ε
r
.
Аналогiчно одержимо
|ϕ+ r sin(α+ ϕ) + 2πk| ≥ δ − ε2
2r
− C1ε
r
, k ∈ Z.
Використавши рiвнiсть 1 − cosx = 2 sin2 x
2
, а також отриману вище та нерiвнiсть sinx ≥
2
π
x, x ∈
[
0;
π
2
]
, будемо мати
2er cos(α+ϕ)(1− cos(ϕ+ r sin(α+ ϕ))) ≥ 4
π2e
(
δ − ε2
2r
− C1ε
r
)2
.
З викладеного вище випливає
|1− zeηz| ≥ min
{
ε;
2
π
√
e
(
δ − ε2
2r
− C1ε
r
)}
≥ min
{
ε;
2δ
π
√
e
− (1 + 2C1)
ε
πr
√
e
}
.
При виконаннi умови
(πr
√
e+ 1 + 2C1)
ε
πr
√
e
− 2δ
π
√
e
= 0
отримана оцiнка буде оптимальною, тобто
ε =
2δr
πr
√
e+ 1 + 2C1
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ АБСТРАКТНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ . . . 61
Отже, маємо
|1− zeηz| ≥ ε i lim
r→∞
ε =
2δ
π
√
e
.
Звiдси випливає виконання пункту 1 леми.
Далi оцiнимо функцiю
eµ+λz
1− zeµ+λz
. Розглянемо такi випадки:
1) er cos(α+ϕ) ≥ 2, тодi
(
1− er cos(α+ϕ)
)2 ≥ (er cos(α+ϕ)
2
)2
i
∣∣∣∣ eηzθ
1− zeηz
∣∣∣∣ ≤ 2er cos(α+ϕ)
er cos(α+ϕ)
= 2;
2) er cos(α+ϕ) < 2, тодi за п. 1 леми∣∣∣∣ eηzθ
1− zeηz
∣∣∣∣ ≤ erθ cos(α+ϕ)
L
≤ 2
L
.
Лему 4 доведено.
3. Основнi результати. Наступна теорема для рiвняння (1) встановлює необхiдну умо-
ву iснування та єдиностi обмеженого розв’язку x ∈ C1(R;B) з обмеженою похiдною для
довiльної обмеженої функцiї y ∈ C(R;B).
Теорема 1. Якщо рiвняння (1) має для довiльної обмеженої функцiї y ∈ C(R;B) єди-
ний обмежений розв’язок x ∈ C1(R;B) з обмеженою похiдною, то оператор A2 є обме-
женим i виконуються умови (2) та (4).
Доведення. Припустимо, що спектр оператораA2 є необмеженим, тодi iснує послiдов-
нiсть його точок {βk : k ≥ 1}, βk ∈ σ(A2) така, що
∀ C > 0 ∃n0 ≥ 1 ∀k ≥ n0 : |βk| > C.
Згiдно з лемою 1 iснує R > 0 таке, що для всiх λ1 ∈ σ(A1), α ∈ R та βk ∈ σ(A2),
k ≥ 1, виконується ∣∣α(eiαλ1 + βk − iαeiα)−1
∣∣ ≤ R. (9)
Очевидно також, що
∀k ≥ 1 ∃α ∈ R : |βk − iαeiα| ≤ π.
Тодi∣∣α(eiαλ1 + βk − iαeiα)−1
∣∣ =
∣∣iαeiα(eiαλ1 + βk − iαeiα)−1
∣∣ =
=
∣∣(eiαλ1 + βk)(e
iαλ1 + βk − iαeiα)−1 − 1
∣∣ ≥ C − ‖A1‖
π + ‖A1‖
− 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
62 Ю. В. IЛЬЧЕНКО
Отримали суперечнiсть з нерiвнiстю (9). Отже, спектр оператора A2 є обмеженим. Якщо
Γ — деяка крива, що охоплює цей спектр i мiстить всерединi точку 0, σ(A2) ⊂
⊂ {z ∈ C| |z| < N}, то маємо− 1
2πi
∫
Γ
A2(A2 − λI)−1dλ
x = A2
− 1
2πi
∫
Γ
(A2 − λI)−1 dλ
x=
=A2
1
2πi
∫
Γ
λ−1dλ− 1
2πi
A2
∫
Γ
λ−1(A2 − λI)−1 dλ
x=
=A2
1
2πi
∫
Γ
λ−1 dλ− 1
2πi
A2
∫
|λ|=N
λ−1(A2 − λI)−1dλ
x =
=A2(I −O)x = A2x, x ∈ B.
Звiдси випливає, що A2 = − 1
2πi
∫
Γ
A2(A2 − λI)−1dλ — обмежений оператор.
Теорему 1 доведено.
Наступна теорема для рiвняння (1) встановлює достатнi умови iснування та єдиностi
обмеженого розв’язку x ∈ C1(R;B) з обмеженою похiдною для певного класу обмеже-
них функцiй y ∈ C(R;B).
Теорема 2. Нехай y ∈ C(R,B) — обмежена функцiя i виконуються умови:
1) ∃δ ∈
(
0;
π
√
e
2
)
: σ(A2) ∩ {iαeiα − z| |z| ≤ ‖A1‖+ δ, α ∈ R} = ∅,
2) supn∈N
∫
Γn
‖(A2,n − λI)−1‖|dλ| < +∞, де A2,n — оператори з леми 3,
3)
∞∑
n=1
n2‖Pny‖∞ < +∞.
Тодi рiвняння (1) має єдиний обмежений розв’язок x ∈ C1(R,B), що має обмежену
похiдну.
Доведення. З комутовностi A1, A2 випливає комутовнiсть A1, A2,n, Pn
∃δ ∈
(
0;
π
√
e
2
)
∀n∈ N : σ(A2,n) ∩ {iαeiα − z| |z| ≤ ‖A1‖+ δ, α ∈ R} = ∅.
Вiдомо [1], що при кожному n ∈ N iснує єдиний обмежений розв’язок xn ∈ C1(R, B)
рiвняння
x′n(t) = A1xn(t) +A2,nxn(t− 1) + Pny(t), t ∈ R,
до того ж цей розв’язок можна подати у виглядi
xn(t) =
t∫
t−1
[
e(A1+A2,nM)(t−s) (I −MeA1+A2,nM
)−1
Pny
]
(s) ds, t ∈ R,
де (Mx)(t) := x(t− 1), t ∈ R, x ∈ C(R,B).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ АБСТРАКТНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ . . . 63
Розглянемо функцiю Ψn(z, θ) := e(A1+A2,nz)θ(I−zeA1+A2,nz)−1, z ∈ S = {z ∈ C||z|= 1},
θ ∈ [0; 1]. Маємо
Ψn(z, θ) = − 1
4π2
∫
γ
∫
Γn
e(µ+λz)θ(1− zeµ+λz)−1(A2,n − λI)−1(A1 − µI)−1 dλ dµ.
Знайдемо другу похiдну функцiї Ψn(z, θ) :
(Ψn)′z(z, θ) = A2,nθe
(A1+A2,nz)θ(I − zeA1+A2,nz)−1+
+ e(A1+A2,nz)(zA2,n + I)eA1+A2,nz(I − zeA1+A2,nz)−2 =
= A2,nθΨn(z, θ) + (zA2,n + I)Ψn(z, θ)Ψn(z, 1), z ∈ S, θ ∈ [0, 1],
(Ψn)′′z(z, θ) = A2,nθ(Ψn)′z(z, θ) +A2,nΨn(z, θ)Ψn(z, 1)+
+ (zA2,n + I) ((Ψn)′z(z, θ)Ψn(z, 1) + Ψn(z, θ)(Ψn)′z(z, 1)),
(Ψn)′′z(z, θ) = − θ2
4π2
∫
γ
∫
Γn
e(µ+λz)θλ2(1− zeµ+λz)−1(A2,n − λI)−1(A1 − µI)−1 dλ dµ−
− θ2
4π2
∫
γ
∫
Γn
e(µ+λz)(θ+1)(λ+ (zλ+ 1)λ(θ + 1))(1− zeµ+λz)−2×
× (A2,n − λI)−1(A1 − µI)−1 dλ dµ−
− θ2
4π2
∫
γ
∫
Γn
e(µ+λz)(θ+2)(zλ+ 1)2(1− zeµ+λz)−3(A2,n − λI)−1(A1 − µI)−1 dλ dµ.
Оскiльки
A2,n = − 1
2πi
∫
Γn
λ(A2,n − λI)−1dλ,
то з умови 2 теореми та (5) випливає, що ‖A2,n‖ = O(n), n → ∞, а додатково з леми 4 i з
умови 2 теореми одержимо
sup
θ∈[0,1]
‖Ψn(·, θ)‖ = O(1), n → ∞,
sup
θ∈[0,1]
‖(Ψn(·, θ))′′z‖ = O(n2), n → ∞.
В роботi [4] показано, що
∃C > 0 : ‖Ψn(M)‖ ≤ C
√
‖Ψn‖∞‖Ψ′′n‖∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
64 Ю. В. IЛЬЧЕНКО
тому
‖A2,nxn‖∞ ≤ ‖Ψn(M)A2,n‖ ‖Pny‖∞ = O(n2) · ‖Pny‖∞, n → ∞.
Покладемо
x :=
∞∑
n=1
xn.
Оскiльки з умови 3 теореми випливає рiвномiрна збiжнiсть ряду
∑∞
n=1A2xn, то iснує
обмежена функцiя A2x ∈ C(R,B), i функцiя x задовольняє рiвняння (1).
Покажемо, що побудований розв’язок єдиний. Припустимо, що iснує такий розв’язок
z рiвняння (1), що x 6= z. Тодi функцiя g(t) := x(t)− z(t) задовольняє однорiдне рiвняння,
що вiдповiдає (1), тобто
g′(t) = A1g(t) +A2g(t− 1), t ∈ R.
Подiявши на отримане рiвняння оператором Pn, n ∈ N, одержимо
Png
′(t) = PnA1g(t) + PnA2g(t− 1), t ∈ R.
Одержанi рiвняння розглядаються на просторах Bn, де всi оператори будуть обмеже-
ними, i згiдно з [1] матимемо єдинiсть розв’язку, а отже, Png(t) = 0, n ∈ N. Тепер будемо
розглядати функцiю g(t) на всьому просторi (B, ‖ · ‖). Подiємо на функцiю g оператором
A−1
2 i використаємо рiвнiсть
∑∞
k=1A
−1
2 Pk = A−1
2 , яка буде мати мiсце, враховуючи лему 3:
A−1
2 g(t) =
∞∑
k=1
A−1
2 Pkg(t) = 0.
З останнього випливає, що функцiя g(t) := x(t)− z(t) дорiвнює нулю на всьому прос-
торi (B, ‖ · ‖), а отже, розв’язок єдиний.
Теорему 2 доведено.
4. Висновки. В роботi отримано необхiднi умови iснування та єдиностi обмеженого на
осi розв’язку з обмеженою похiдною абстактного лiнiйного диференцiального рiвняння
першого порядку для довiльної обмеженої функцiї та достатнi умови для певного класу
обмежених функцiй.
1. Чайковський А. В. Про iснування та єдинiсть обмежених розв’язкiв диференцiальних рiвнянь зi зсува-
ми аргументу в банаховому просторi // Доп. НАН України. — 2000. — № 8. — С. 33 – 37.
2. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 536 c.
3. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 c.
4. Чайковський А. В. Функцiї вiд оператора зсуву та їх застосування до рiзницевих рiвнянь // Укр. мат.
журн. — 2010. — 62, № 10. — С. 1408 – 1419.
Одержано 27.05.11,
пiсля доопрацювання — 16.09.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
|