Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями
Обосновано применение аппроксимационно-итеративного метода к слабонелинейным интегральным уравнениям с ограничениями.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175585 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.Ф. Мельничук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 89-111. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175585 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755852021-02-02T01:28:43Z Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. Обосновано применение аппроксимационно-итеративного метода к слабонелинейным интегральным уравнениям с ограничениями. We substantiate an approximation-iteration method for quasilinear integral equations. 2012 Article Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.Ф. Мельничук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 89-111. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175585 517.968 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Обосновано применение аппроксимационно-итеративного метода к слабонелинейным интегральным уравнениям с ограничениями. |
| format |
Article |
| author |
Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. |
| spellingShingle |
Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями Нелінійні коливання |
| author_facet |
Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. |
| author_sort |
Лучка, А.Ю. |
| title |
Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| title_short |
Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| title_full |
Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| title_fullStr |
Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| title_full_unstemmed |
Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| title_sort |
апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175585 |
| citation_txt |
Апроксимаційно-ітеративний метод для слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.Ф. Мельничук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 89-111. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT lučkaaû aproksimacíjnoíterativnijmetoddlâslabkonelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹzobmežennâmi AT melʹničukvf aproksimacíjnoíterativnijmetoddlâslabkonelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹzobmežennâmi |
| first_indexed |
2025-07-15T12:53:52Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:53:52Z |
| _version_ |
1837717555026853888 |
| fulltext |
УДК 517.968
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД
ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ОБМЕЖЕННЯМИ
А. Ю. Лучка, В. Ф. Мельничук
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
We substantiate an approximation-iteration method for quasilinear integral equations.
Обосновано применение аппроксимационно-итеративного метода к слабонелинейным инте-
гральным уравнениям с ограничениями.
У данiй статтi узагальнюються результати роботи [1], в якiй встановлено умови iснування
розв’язкiв слабконелiнiйних iнтегральних рiвнянь зi слабконелiнiйними обмеженнями та
обґрунтовано застосування до них iтерацiйного методу, i запропоновано застосовувати
для побудови наближених розв’язкiв вказаних задач апроксимацiйно-iтеративний метод
[2], окремим випадком якого є методи проекцiйно-iтеративного типу [3 – 7].
1. Об’єкт дослiдження. Будемо розглядати квазiлiнiйне iнтегральне рiвняння вигляду
y(t) = f(t) + u(t) +
b∫
a
K(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, y(s)) ds, t ∈ [a, b], (1)
i поставимо задачу: знайти такi функцiї y(t) та u(t) iз класу L2([a, b]),щоб справджувались
рiвняння (1) та обмеження
b∫
a
S(t)y(t) dt = α+ ε
b∫
a
E(t, y(t)) dt. (2)
Якщо вони iснують, то задачу вважатимемо сумiсною.
У данiй статтi дослiджується задача, керування в якiй має вигляд
u(t) = C(t)λ, (3)
де λ ∈ Rl — шуканий параметр.
Припускаємо, що заданi величини задовольняють наступнi умови:
1) f ∈ L2([a, b]);
2) елементи (1× l)-матрицi C(t) та (l× 1)-матрицi S(t) сумовнi з квадратом на вiдрiзку
[a, b];
3) ядра K(t, s) та H(t, s) сумовнi з квадратом в областi [a, b]× [a, b];
4) ε ∈ R — невiд’ємний параметр i α ∈ Rl;
c© А. Ю. Лучка, В. Ф. Мельничук, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1 89
90 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
5) функцiї F : [a, b] × R → R та E : [a, b] × R → R задовольняють умову Лiпшиця за
другою змiнною, тобто для будь-яких {ξ, η} ⊂ R
|F (t, ξ)− F (t, η)| ≤ q(t)|ξ − η|, (4)
|E(t, ξ)− E(t, η)| ≤ p(t)|ξ − η|, (5)
де {p, q} ⊂ L2([a, b]).
2. Допомiжна задача. При дослiдженнi задачi (1) – (3) важливу роль вiдiграє допомiжна
задача
y(t) = u(t) +
b∫
a
P (t)Q(s)y(s) ds+ z(t), (6)
b∫
a
S(t)y(t) dt = β, (7)
де елементи (1 × n)-матрицi P (t) та (n × 1)-матрицi Q(s) сумовнi з квадратом на вiдрiзку
[a, b], а z ∈ L2([a, b]) i β ∈ Rl задано довiльним чином.
Тут i далi припускаємо, що компоненти векторiв C(t) та P (t) в сукупностi лiнiйно не-
залежнi i такими ж є компоненти векторiв S(t) та Q(t).
За такої умови побудуємо розв’язок задачi (6), (7). Оскiльки ядро iнтегрального опе-
ратора iз (6) вироджене, то, врахувавши вигляд u(t) (3), задачу (6), (7) можна записати у
виглядi
y(t) = C(t)λ+ P (t)µ+ z(t), (8)
b∫
a
S(t)y(t) dt = β, µ =
b∫
a
Q(s)y(s) ds. (9)
Задовольнивши умови (9) з урахуванням (8), отримаємо систему лiнiйних алгебраїч-
них рiвнянь вiдносно векторiв λ та µ :
b∫
a
S(t)C(t) dtλ+
b∫
a
S(t)P (t) dtµ = β −
b∫
a
S(t)z(t) dt,
(10)
b∫
a
Q(t)C(t) dtλ+
b∫
a
Q(t)P (t) dt− I
µ = −
b∫
a
Q(t)z(t) dt,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 91
де I — одинична матриця в Rn.
Ввiвши позначення
Λ11 =
b∫
a
S(t)C(t) dt, Λ12 =
b∫
a
S(t)P (t) dt,
Λ21 =
b∫
a
Q(t)C(t) dt, Λ22 =
b∫
a
Q(t)P (t) dt− I, (11)
d1 = β −
b∫
a
S(t)z(t) dt, d2 = −
b∫
a
Q(t)z(t) dt, (12)
систему (10) можна записати у компактному виглядi(
Λ11 Λ12
Λ21 Λ22
) (
λ
µ
)
=
(
d1
d2
)
, (13)
де матрицi (11) мають розмiрностi l × l, l × n, n× l та n× n вiдповiдно.
Лема 1. Якщо матриця
Λ =
(
Λ11 Λ12
Λ21 Λ22
)
(14)
невироджена, то iснують такi функцiї r(t), h(t), Γ(t, s) та R(t, s), що розв’язок задачi
(6), (7) зображується формулами
u(t) = r(t)−
b∫
a
Γ(t, s)z(s) ds, (15)
y(t) = h(t) + z(t)−
b∫
a
R(t, s)z(s) ds. (16)
Доведення. Запишемо обернену матрицю ∆ = Λ−1 у виглядi
∆ =
(
∆11 ∆12
∆21 ∆22
)
, (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
92 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
де матрицi ∆11, ∆12, ∆21 та ∆22 мають розмiрностi l × l, l × n, n × l та n × n вiдповiдно.
Тодi iснує єдиний розв’язок системи (13), який визначається формулами
λ = ∆11d1 + ∆12d2,
µ = ∆21d1 + ∆22d2.
Отже, врахувавши позначення (12), отримаємо спiввiдношення
λ = ∆11β −∆11
b∫
a
S(t)z(t) dt−∆12
b∫
a
Q(t)z(t) dt,
µ = ∆21β −∆21
b∫
a
S(t)z(t) dt−∆22
b∫
a
Q(t)z(t) dt. (18)
Нехай
σ = ∆11β, τ = ∆21β, (19)
V (s) = ∆11S(s) + ∆12Q(s), W (s) = ∆21S(s) + ∆22Q(s). (20)
Тодi формули (18) наберуть вигляду
λ = σ −
b∫
a
V (s)z(s) ds, (21)
µ = τ −
b∫
a
W (s)z(s) ds. (22)
Пiдставивши (21), (22) у (3) i (8), отримаємо вiдповiдно формули
u(t) = C(t)
σ − b∫
a
V (s)z(s) ds
, (23)
y(t) = C(t)
σ − b∫
a
V (s)z(s) ds
+ P (t)
τ − b∫
a
W (s)z(s) ds
+ z(t). (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 93
Якщо ввести позначення
r(t) = C(t)σ, h(t) = C(t)σ + P (t)τ, (25)
Γ(t, s) = C(t)V (s), R(t, s) = C(t)V (s) + P (t)W (s), (26)
то, очевидно, формули (23) та (24) наберуть вигляду (15) i (16) вiдповiдно.
Зазначимо ще, що, ввiвши до розгляду матрицi
Π(t) = C(t)∆11, D(t) = C(t)∆11 + P (t)∆21 (27)
i використавши позначення (19), формулам (25) можна надати вигляду
r(t) = Π(t)β, h(t) = D(t)β. (28)
Використавши результати з роботи [7], неважко встановити наступнi твердження.
Лема 2. Якщо матриця Λ невироджена, то справджуються рiвностi
b∫
a
Γ(t, s)C(s) ds = C(t),
b∫
a
R(t, s)C(s) ds = C(t), (29)
b∫
a
S(t)R(t, s) dt = S(s),
b∫
a
Q(t)R(t, s) dt = Q(s) +W (s), (30)
b∫
a
S(t)D(t) dt = J,
b∫
a
Q(t)D(t) dt = ∆21, (31)
де J — одинична матриця в Rl.
Доведення. Спочатку зауважимо, що iз властивостi даної невиродженої матрицi Λ, її
оберненої ∆ та їхнiх структур (14), (17) очевидним чином випливає правильнiсть рiвнос-
тей
∆11Λ11 + ∆12Λ21 = J, ∆21Λ11 + ∆22Λ21 = 0, (32)
Λ11∆11 + Λ12∆21 = J, Λ11∆12 + Λ12∆22 = 0, (33)
Λ21∆11 + Λ22∆21 = 0, Λ21∆12 + Λ22∆22 = I. (34)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
94 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
На основi формул (20), (11) та (32) неважко встановити рiвностi
b∫
a
V (s)C(s) ds = J,
b∫
a
W (s)C(s) ds = 0. (35)
Справдi, маємо
b∫
a
V (s)C(s) ds =
b∫
a
(∆11S(s) + ∆12Q(s)) C(s) ds = ∆11Λ11 + ∆12Λ21 = J,
b∫
a
W (s)C(s) ds =
b∫
a
(∆21S(s) + ∆22Q(s)) C(s) ds = ∆21Λ11 + ∆22Λ21 = 0.
Використавши властивостi (35) та формули (26), отримаємо
b∫
a
Γ(t, s)C(s) ds = C(t)
b∫
a
V (s)C(s) ds = C(t) · J = C(t),
b∫
a
R(t, s)C(s) ds =
b∫
a
(C(t)V (s) + P (t)W (s))C(s) ds = C(t) · J + P (t) · 0 = C(t),
тобто властивостi (29) справджуються.
Аналогiчно встановлюється правильнiсть спiввiдношень (30). Справдi, на основi фор-
мул (26), (20), (11) та (33), (34) маємо
b∫
a
S(t)R(t, s) dt =
b∫
a
S(t) (C(t)V (s) + P (t)W (s)) dt =
= Λ11(∆11S(s) + ∆12Q(s)) + Λ12(∆21S(s) + ∆22Q(s)) =
= (Λ11∆11 + Λ12∆21)S(s) + (Λ11∆12 + Λ12∆22)Q(s) =
= J · S(s) + 0 ·Q(s) = S(s),
b∫
a
Q(t)R(t, s) dt =
b∫
a
Q(t)C(t)V (s) dt+
b∫
a
Q(t)P (t)W (s) dt = Λ21V (s) + (Λ22 + I)W (s)) =
= W (s) + (Λ21∆11 + Λ22∆21)S(s) + (Λ21∆12 + Λ22∆22)Q(s) =
= W (s) + 0 ·Q(s) + I ·Q(s) = W (s) +Q(s).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 95
Аналогiчно встановлюється правильнiсть рiвностей (31). Так, використовуючи фор-
мули (27), (11), (33) i (34), отримуємо
b∫
a
S(t)D(t) dt =
b∫
a
S(t)(C(t)∆11 + P (t)∆21) dt = Λ11∆11 + Λ12∆21 = J,
b∫
a
Q(t)D(t) dt =
b∫
a
Q(t)(C(t)∆11 + P (t)∆21) dt = Λ21∆11 + (Λ22 + I)∆21 = ∆21.
Лема 3. Функцiя вигляду
y(t) = D(t)β + z(t)−
b∫
a
R(t, s)z(s) ds (36)
при будь-яких β ∈ Rl i z ∈ L2([a, b]) має властивостi
b∫
a
S(t)y(t) dt = β, (37)
b∫
a
Q(t)y(t) dt = ∆21β −
b∫
a
W (s)z(s) ds. (38)
Доведення. Правильнiсть спiввiдношень (37) та (38) безпосередньо випливає iз влас-
тивостей (30) i (31). Справдi, враховуючи зображення (36), маємо
b∫
a
S(t)y(t) dt =
b∫
a
S(t)D(t)β dt+
b∫
a
S(t)z(t) dt−
b∫
a
S(t)
b∫
a
R(t, s)z(s) ds dt =
= Jβ +
b∫
a
S(s)−
b∫
a
S(t)R(t, s) dt
z(s) ds = β,
b∫
a
Q(t)y(t) dt =
b∫
a
Q(t)D(t) dtβ +
b∫
a
Q(s)−
b∫
a
Q(t)R(t, s) dt
z(s) ds =
= ∆21β −
b∫
a
W (s)z(s) ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
96 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
3. Зведення задачi (1) – (3) до рiвнозначного iнтегрального рiвняння без обмежень.
Апроксимуємо ядро K(t, s) виродженим ядром P (t)Q(s) i виберемо матрицi P (t) та Q(s)
таким чином, щоб норма ядра
B(t, s) = K(t, s)− P (t)Q(s) (39)
була достатньо малою. Для цього можна використати рiзноманiтнi iснуючi апроксима-
цiйнi методи, зокрема проекцiйнi чи iнтерполяцiйнi.
Нехай
x(t) = f(t) +
b∫
a
B(t, s)y(s) ds, (40)
v(t) =
b∫
a
H(t, s)F (s, y(s)) ds, (41)
γ =
b∫
a
E(t, y(t)) dt. (42)
Тодi рiвняння (1) з урахуванням керування (3) та виразу (39) i обмеження (2) наберуть
вiдповiдно вигляду
y(t) = C(t)λ+
b∫
a
P (t)Q(s)y(s) ds+ x(t) + εv(t), (43)
b∫
a
S(t)y(t) dt = α+ εγ, (44)
тобто вигляду допомiжної задачi (6), (7), якщо покласти
z(t) = x(t) + εv(t), β = α+ εγ. (45)
За припущення, що матриця Λ, яка визначається формулою (14), невироджена, iснує
єдний розв’язок задачi (43), (44). Цей розв’язок, використавши формули (16), (21) та по-
значення (27), (45), (19), можна записати у виглядi
y(t) = D(t)α+ x(t)−
b∫
a
R(t, s)x(s) ds+ ε
D(t)γ + v(t)−
b∫
a
R(t, s)v(s) ds
, (46)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 97
λ = ∆11(α+ εγ)−
b∫
a
V (s)(x(s) + εv(s)) ds. (47)
Пiдставимо тепер вирази (40) – (42) у праву частину формули (46) i виконаємо несклад-
нi перетворення, в результатi чого отримаємо спiввiдношення
y(t) = D(t)α+ f(t)−
b∫
a
R(t, s)f(s) ds+
b∫
a
B(t, s)y(s) ds−
b∫
a
R(t, ξ)
b∫
a
B(ξ, s)y(s) ds dξ+
+ ε
D(t)
b∫
a
E(s, y(s)) ds+
b∫
a
H(t, s)F (s, y(s)) ds −
−
b∫
a
R(t, ξ)
b∫
a
H(ξ, s)F (s, y(s)) ds dξ
, (48)
яке можна трактувати як iнтегральне рiвняння вiдносно невiдомої функцiї y(t).
Ввiвши позначення
g(t) = D(t)α+ f(t)−
b∫
a
R(t, ξ)f(ξ) dξ, (49)
M(t, s) = B(t, s)−
b∫
a
R(t, ξ)B(ξ, s) dξ, (50)
N(t, s) = H(t, s)−
b∫
a
R(t, ξ)H(ξ, s) dξ, (51)
Ω(t, s, y(s)) = D(t)E(s, y(s)) +N(t, s)F (s, y(s)), (52)
рiвняння (48) запишемо у компактному виглядi
y(t) = g(t) +
b∫
a
M(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
Ω(t, s, y(s)) ds. (53)
Отже, дослiдження iснування розв’язкiв задачi (1) – (3) звелося до задачi iснування
розв’язкiв iнтегрального рiвняння (53).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
98 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
Теорема 1. Якщо матриця Λ невироджена, то розв’язок задачi (1) – (3) iснує тодi i
тiльки тодi, коли iснує розв’язок iнтегрального рiвняння (53).
Доведення. Нехай y∗(t) — розв’язок рiвняння (53), тобто справджується рiвнiсть
y∗(t) = g(t) +
b∫
a
M(t, s)y∗(s) ds+ ε
b∫
a
Ω(t, s, y∗(s)) ds. (54)
Згiдно з формулами (40) – (42) знайдемо
x∗(t) = f(t) +
b∫
a
B(t, s)y∗(s) ds, (55)
v∗(t) =
b∫
a
H(t, s)F (s, y∗(s)) ds, (56)
γ∗ =
b∫
a
E(t, y∗(t)) dt (57)
i побудуємо, врахувавши (46), (47), функцiю
w(t) = D(t)α+ x∗(t)−
b∫
a
R(t, s)x∗(s) ds+ ε
D(t)γ∗ + v∗(t)−
b∫
a
R(t, s)v∗(s) ds
(58)
та параметр
λ∗ = ∆11(α+ εγ∗)−
b∫
a
V (s)(x∗(s) + εv∗(s)) ds. (59)
Встановимо, що
w(t) = y∗(t). (60)
Для цього достатньо пiдставити вирази (55) – (57) у праву частину формули (58) i повто-
рити тi самi вкладки, що й при встановленнi рiвняння (53). В результатi отримаємо
w(t) = g(t) +
b∫
a
M(t, s)y∗(s) ds+ ε
b∫
a
Ω(t, s, y∗(s)) ds. (61)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 99
Спiвставляючи формули (54) та (61), переконуємось у правильностi рiвностi (60).
Зазначимо, що вигляд (58) функцiї w(t) аналогiчний вигляду (36), а тому, як стверджу-
ється в лемi 3, з урахуванням формул (45), (60) та (57) справджуються спiввiдношення
b∫
a
S(t)y∗(t) dt = α+
b∫
a
E(t, y∗(t)) dt, (62)
b∫
a
Q(t)y∗(t) dt = ∆21(α+ εγ∗)−
b∫
a
W (s)(x∗(s) + εv∗(s)) ds. (63)
Далi, на основi рiвностей (59), (63) i позначень (26), (27) отримуємо
C(t)λ∗ + P (t)
b∫
a
Q(s)y∗(s) ds = (C(t)∆11 + P (t)∆21) (α+ εγ∗)−
−
b∫
a
(C(t)V (s) + P (t)W (s))(x∗(s) + εv∗(s)) ds =
= D(t)(α+ εγ∗)−
b∫
a
R(t, s)(x∗(s) + εv∗(s)) ds. (64)
Тепер майже очевидним є той факт, що функцiї y(t) = y∗(t) та u(t) = C(t)λ∗ — це
розв’язок задачi (1), (2). Справдi, по-перше, функцiя y∗(t), як видно iз спiввiдношення (62),
задовольняє обмеження (2), а по-друге, використавши формули (39), (56), (55), (64), (58)
та (60), будемо мати
f(t) + C(t)λ∗ +
b∫
a
K(t, s)y∗(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, y∗(s)) ds = C(t)λ∗ + f(t)+
+
b∫
a
B(t, s)y∗(s) ds+
b∫
a
P (t)Q(s)y∗(s) ds+ εv∗(s) = x∗(t) + εv∗(t)+
+D(t)(α+ εγ∗)−
b∫
a
R(t, s)(x∗(s) + εv∗(s)) ds = w(t) = y∗(t).
Таким чином, якщо iснує розв’язок iнтегрального рiвняння (53), то задача (1) – (3) є
сумiсною.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
100 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
Навпаки, нехай (y(t), λ) — розв’язок задачi (1) – (3), тобто правильними є рiвностi
y(t) = f(t) + C(t)λ+
b∫
a
K(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, y(s)) ds, (65)
b∫
a
S(t)y(t) dt = α+ ε
b∫
a
E(t, y(t)) dt. (66)
Побудуємо вектор
µ =
b∫
a
Q(s)y(s) ds (67)
i встановимо, що при
z(t) = x(t) + εv(t), β = α+ γ, (68)
де x(t), v(t) i γ визначаються формулами (40) – (42), в яких y(t) замiнено на y(t), система
лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (13) має єдиний розв’язок
λ = λ, µ = µ, (69)
Справдi, по-перше, оскiльки при використаннi позначень (39) та (67) маємо
b∫
a
K(t, s)y(s) ds = P (t)µ+
b∫
a
B(t, s)y(s) ds,
то iз спiввiдношень (65) та (68) очевидним чином випливає
y(t) = z(t) + C(t)λ+ P (t)µ, (70)
а по-друге, на основi формул (11), (12), (66) – (68) та (70) маємо
d1 = α+ εγ −
b∫
a
S(t)(y(t)− C(t)λ− P (t)µ) dt =
= α+ εγ −
b∫
a
S(t)(y(t) dt+ Λ11λ+ Λ12µ = Λ11λ+ Λ12µ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 101
d2 = −
b∫
a
Q(t)(y(t)− C(t)λ− P (t)µ) dt = −µ+ Λ21λ+ (Λ22 + I)µ = Λ21λ+ Λ22µ.
Отже, система (13) набирає вигляду(
Λ11 Λ12
Λ21 Λ22
) (
λ− λ
µ− µ
)
=
(
0
0
)
.
Звiдси, оскiльки за умовою матриця Λ невироджена, випливає правильнiсть спiввiдношен-
ня (69).
При доведеннi леми 1 встановлено, що розв’язок системи (13) має вигляд (21), (22), а
тому, використовуючи його i формули (68), (69), маємо
λ = ∆11(α+ εγ)−
b∫
a
V (s)(x(s) + εv(s)) ds, (71)
µ = ∆21(α+ εγ)−
b∫
a
W (s)(x(s) + εv(s)) ds. (72)
Замiнивши у формулi (70) λ та µ виразами (71), (72) i використавши при цьому позна-
чення (26), (27), остаточно отримаємо рiвнiсть
y(t) = D(t)α+ x(t)−
b∫
a
R(t, s)x(s) ds+ ε
D(t)γ + v(t)−
b∫
a
R(t, s)v(s) ds
,
яка рiвнозначна, як це зазначалося вище, рiвностi
y(t) = g(t) +
b∫
a
M(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
Ω(t, s, y(s)) ds. (73)
Отже, перша компонента y(t) розв’язку задачi (1) – (3), про що свiдчить рiвнiсть (73),
є розв’язком iнтегрального рiвняння (53).
Теорема 2. За умови теореми 1 iнтегральне рiвняння (53) i задача (1) – (3) мають
однакову кiлькiсть розв’язкiв, зокрема одночасно вони мають єдинi розв’язки.
Доведення. Правильнiсть твердження теореми ґрунтується на тому фактi, що задача
(1) – (3) не може мати розв’язкiв (y(t), λ) та (y(t), λ∗), у яких λ 6= λ∗, оскiльки в проти-
лежному випадку, як встановлено при доведеннi теореми 1, буде правильним зображен-
ня (71), використавши яке, будемо мати λ = λ∗. Отже, з огляду на теорему 1 кожно-
му розв’язку (y(t), λ) задачi (1) – (3) вiдповiдає тiльки один розв’язок y(t) рiвняння (53), i,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
102 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
навпаки, кожному розв’язку y∗(t) рiвняння (53) вiдповiдає лише один розв’язок (y∗(t), λ∗)
задачi (1) – (3), до того ж λ∗ обчислюється за формулою (59).
Таким чином, задача (1) – (3) рiвнозначна iнтегральному рiвнянню (53).
4. Достатнi умови iснування єдиного розв’язку. Дослiдженню нелiнiйних iнтеграль-
них рiвнянь присвячено чимало робiт, в яких висвiтлюються як проблеми теорiї, зокре-
ма питання iснування розв’язкiв, так i рiзноманiтнi наближенi методи. При встановленнi
достатнiх умов iснування та єдиностi розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь широко використову-
ється принцип Банаха стискуючих вiдображень. Застосуємо його до iнтегрального рiвнян-
ня (53). Для цього потрiбно встановити достатнi умови, при виконаннi яких iнтегральний
оператор, що визначається правою частиною рiвняння (53), є оператором стиску.
Спершу зазначимо, що за умови невиродженостi матрицi Λ (14) iз умов 1 – 5 випливає,
що, по-перше, iснує функцiя
Ω(t, s, ξ) = D(t)E(s, ξ) +N(t, s)F (s, ξ), (74)
яка задовольняє умову Лiпшиця за третьою змiнною, оскiльки, використавши нерiвностi
(4), (5) та зображення (74), очевидним чином будемо мати
|Ω(t, s, ξ)− Ω(t, s, η)| ≤ T (t, s)|ξ − η| ∀{ξ, η} ⊂ R, (75)
де
T (t, s) = |D(t)p(s)|+ |N(t, s)q(s)|, (76)
а по-друге, iснують додатнi сталi ν та ζ, зокрема мiнiмальнi, такi, що для довiльної функцiї
w(t) iз L2([a, b]) виконуються нерiвностi
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
M(t, s)w(s) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ ν2
b∫
a
|w(s)|2 ds, (77)
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
T (t, s)w(s) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ ζ2
b∫
a
|w(s)|2 ds. (78)
Тепер неважко встановити, що оператор (Ay)(t), який є правою частиною рiвняння
(53), задовольняє умову Лiпшиця, тобто
‖Ay −Az‖ ≤ ρ‖y − z‖ ∀{y, z} ⊂ L2([a, b]), (79)
де ‖ · ‖— норма в L2([a, b]) i
ρ = ν + εζ. (80)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 103
Справдi, оскiльки
(Ay)(t)− (Az)(t) =
b∫
a
M(t, s)(y(s)− z(s)) ds+ ε
b∫
a
(Ω(t, s, y(s))− Ω(t, s, z(s)) ds, (81)
а на основi нерiвностей (75) та (78) маємо
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
(Ω(t, s, y(s))− Ω(t, s, z(s))) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
T (t, s)(y(s)− z(s)) ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ ζ2‖y − z‖2,
(82)
то iз формули (81) i нерiвностей (77), (82) нерiвнiсть (79) випливає очевидним чином.
Як вiдомо, за умови ρ < 1 оператор A є оператором стиску, отже, рiвняння (53) має
єдиний розв’язок, а згiдно з теоремою 2 за цiєї умови iснує єдиний розв’язок задачi (1) –
(3). Таким чином, має мiсце наступна теорема.
Теорема 3. Якщо матриця Λ невироджена i виконується умова ρ < 1, де ρ визнача-
ється формулою (80), то iснує єдиний розв’язок задачi (1) – (3).
5. Приклад. Проiлюструємо деякi теоретичнi твердження на простому прикладi
y(t) = u(t)− 13
√
t+
1∫
0
(
15
√
ts+ 21
)
y(s) ds+ ε
1∫
0
(
√
ts+ 5) cos(π
√
sy(s)) ds, (83)
1∫
0
5ty(t) dt = 4 + ε
1∫
0
sin(π
√
ty(t)) dt, u(t) = 6λ, t ∈ [0, 1]. (84)
Для цього зведемо задачу (83), (84) до iнтегрального рiвняння (53).
Нехай n = 1 i Q(s) = 1, а
P (t) =
1∫
0
(15
√
ts+ 21) ds = 10
√
t+ 21.
Тодi допомiжна задача для даного прикладу має вигляд
y(t) = 6λ+ (10
√
t+ 21)µ+ z(t), (85)
1∫
0
5ty(t) dt = β,
1∫
0
y(t) dt = µ. (86)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
104 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
Для визначення невiдомих параметрiв λ та µ, пiдставивши (85) у (86) i виконавши вiд-
повiднi обчислення, отримаємо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
30λ+ 145µ = 2β − 10
1∫
0
tz(t) dt,
(87)
18λ+ 80µ = −3
1∫
0
z(t) dt.
Система (87) має єдиний розв’язок
λ =
1
42
−32β +
1∫
0
(160s− 87)z(s) ds
,
(88)
µ =
1
35
6β +
1∫
0
(15− 30s) z(s) ds
,
а пiдставивши (88) у (85), отримаємо
y(t) =
2
35
(
30
√
t− 17
)
β + z(t)− 2
7
1∫
0
(
7s+
(
5
√
t− 4
)
(6s− 3)
)
z(s) ds. (89)
Зазначимо, що для даного прикладу, по-перше, згiдно з формулою (39) маємо
B(t, s) = 5
√
t(3
√
s− 2), (90)
а по-друге, з урахуванням позначень (40) – (42) формули (45) наберуть вигляду
z(t) = −13
√
t+
1∫
0
5
√
t
(
3
√
s− 2
)
y(s) ds+ ε
1∫
0
(
√
ts+ 5) cos(π
√
sy(s)) ds, (91)
β = 4 +
1∫
0
sin(π
√
ty(t)) dt. (92)
Пiдставивши вирази (91), (92) у формулу (89) i виконавши нескладнi обчислення, отри-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 105
маємо iнтегральне рiвняння
y(t) =
1
7
(9
√
t+ 4) +
3
7
1∫
0
(
5
√
t− 4
)
(3
√
s− 2) y(s) ds+
+
ε
35
1∫
0
(
(60
√
t− 34) sin(π
√
sy(s)) + (15
√
t− 12)s cos(π
√
sy(s)
)
ds. (93)
Таким чином, задача (83), (84) звелась, як стверджується в теоремi 1, до рiвнозначного
iнтегрального рiвняння (93).
Розглянемо питання iснування єдиного розв’язку iнтегрального рiвняння (93). Для
цього досить знайти сталi ν та ζ, точнi чи їхнi оцiнки зверху в нерiвностях (77) i (78).
На основi порiвняльного аналiзу формул (16), (28) i (53), (52) з формулами (89) та (93)
вiдповiдно приходимо до висновку, що
D(t) =
2
35
(30
√
t− 17), R(t, s) =
2
7
(7s+ (5
√
t− 4)(6s− 3)), (94)
M(t, s) =
3
7
(5
√
t− 4)(3
√
t− 2), N(t, s) =
3
35
(5
√
t− 4) s. (95)
При цьому зауважимо, що цi вирази можна безпосередньо знайти, якщо виконати певнi
обчислення за формулами (26), (27), (50) та (51).
Оскiльки для даного прикладу
E(t, ξ) = sin(π
√
tξ), F (t, ξ) = cos(π
√
tξ),
то для цих функцiй умови (4), (5) виконуються i в них
p(t) = q(t) = π
√
t. (96)
Отже, використовуючи формули (76), (94) – (96), маємо
T (t, s) =
2π
35
|30
√
t− 17|
√
s+
3π
35
∣∣∣5√t− 4
∣∣∣ s√s. (97)
Як вiдомо, мiнiмальними додатними сталими ν та ζ в нерiвностях (77), (78) є нор-
ми iнтегральних операторiв, ядра яких визначаються формулами (50) та (56) вiдповiдно.
Оскiльки точне значення норм можна знайти лише у виняткових випадках, широко ви-
користовуються рiзнi їхнi оцiнки зверху.
З огляду на явнi вигляди (95) та (97) ядер згаданих операторiв обчислимо величини
ν =
3
7
1∫
0
1∫
0
(5
√
t− 4)2 (3
√
s− 2)2 ds dt
1
2
=
√
33
14
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
106 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
ζ =
2π
35
1∫
0
1∫
0
(30
√
t− 17)2s ds dt
1
2
+
3π
35
1∫
0
1∫
0
(5
√
t− 4)2s3 ds dt
1
2
=
=
√
118
35
π +
√
66
140
π =
π
140
(
4
√
118 +
√
66
)
i зазначимо, що ν — це норма, а ζ — лише оцiнка норми вiдповiдних конкретних опера-
торiв. Отже, формула (80) набере вигляду
ρ =
√
33
14
+
πε
140
(
4
√
118 +
√
66
)
.
Якщо справджується умова
ε <
10
(
14−
√
33
)
4
√
118 +
√
66
, (98)
то, очевидно, виконується нерiвнiсть ρ < 1, а згiдно з теоремою 3 при цiй умовi задача
(83), (84) має єдиний розв’язок.
6. Апроксимацiйно-iтеративний метод. Висвiтлимо суть апроксимацiйно-iтеративного
методу. Для цього спочатку вибираємо певним чином матрицi P (t) та Q(s) i будуємо за
формулою (39) функцiюB(t, s).Нехай наближення (yk−1(t), uk−1(t)) вже побудоване, тодi
знаходимо
xk(t) = f(t) +
b∫
a
B(t, s)yk−1(s) ds, (99)
vk(t) =
b∫
a
H(t, s)F (s, yk−1(s)) ds, (100)
γk =
b∫
a
E(t, yk−1(t)) dt (101)
i наступне наближення визначаємо iз задачi
yk(t) = uk(t) +
b∫
a
P (t)Q(s)yk(s) ds+ xk(t) + εvk(t), (102)
b∫
a
S(t)yk(t) dt = α+ εγk, (103)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 107
в якiй
uk(t) = C(t)λk. (104)
Початкове наближення знаходимо iз задачi (102) – (104) при k = 0 i довiльно заданих
функцiях x0(t), v0(t) i векторi γ0.
За умови, що матриця Λ, яка визначається формулою (14), невироджена, метод (99) –
(104) рiвнозначний методу послiдовних наближень щодо iнтегрального рiвняння (53).
Справдi, оскiльки задача (102) – (104) має вигляд задачi (43), (44), розв’язок якої зобра-
жається формулами (46), (47), то, враховуючи їх i позначення (26), (27), маємо
yk(t) =D(t)α+xk(t)−
b∫
a
R(t, s)xk(s) ds+ε
D(t)γk+vk(t)−
b∫
a
R(t, s)vk(s) ds
, (105)
uk(t) = Π(t)α−
b∫
a
Γ(t, s)xk(s) ds+ ε
Π(t)γk −
b∫
a
Γ(t, s)vk(s) ds
. (106)
Якщо пiдставити вирази (99) – (101) у (105), (106), використати позначення (49) – (52) i
ввести новi
η(t) = Π(t)α−
b∫
a
Γ(t, s)f(s) ds, (107)
Φ(t, s) = −
b∫
a
Γ(t, ξ)B(ξ, s) dξ, Ψ(t, s) = −
b∫
a
Γ(t, ξ)H(ξ, s) dξ, (108)
Θ(t, s, ξ) = Π(t)E(s, ξ) + Ψ(t, s)F (s, ξ), (109)
то отримаємо
yk(t) = g(t) +
b∫
a
M(t, s)yk−1(s) ds+ ε
b∫
a
Ω(t, s, yk−1(s)) ds, (110)
uk(t) = η(t) +
b∫
a
Φ(t, s)yk−1(s) ds+ ε
b∫
a
Θ(t, s, yk−1(s)) ds. (111)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
108 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
Отже, дослiдження апроксимацiйно-iтеративного методу (99) – (104) звелося до дослiд-
ження методу послiдовних наближень (110) щодо iнтегрального рiвняння (53), достатнi
умови збiжностi якого широко вiдомi.
Зазначимо, що функцiя (109) iснує за умови, коли матриця Λ невироджена, i, як це
випливає iз нерiвностей (4), (5), задовольняє умову Лiпшиця
|Θ(t, s, ξ)−Θ(t, s, η)| ≤ L(t, s)|ξ − η| ∀{ξ, η} ⊂ R (112)
з функцiєю
L(t, s) = |Π(t)p(s)|+ |Ψ(t, s)q(s)| . (113)
Беручи до уваги нерiвнiсть (112), як i при отриманнi нерiвностi (79), встановлюємо,
що iнтегральний оператор (Uy)(t), який визначається правою частиною спiввiдношення
(111), задовольняє умову Лiпшиця
‖Uy − Uz‖ ≤ ω‖y − z‖ ∀{y, z} ⊂ L2([a, b]) (114)
з константою ω = χ + εθ, де χ та θ — норми чи їхнi оцiнки зверху лiнiйних iнтегральних
операторiв, ядра яких мають вигляд (108) та (113), тобто виконуються нерiвностi, анало-
гiчнi нерiвностям (77), (78).
Теорема 4. Якщо матриця Λ, що визначається формулою (14), невироджена i вико-
нується умова ρ < 1, де ρ знаходиться за формулою (80), то iснує єдиний розв’язок
(y∗(t), u∗(t)) задачi (1) – (3) i послiдовнiсть {yk(t), uk(t), k ≥ 0}, побудована за апрокси-
мацiйно-iтеративним методом (99) – (104), збiгається за нормою в L2([a, b]) до цього
розв’язку, тобто
lim
k→∞
yk(t) = y∗(t), lim
k→∞
uk(t) = u∗(t). (115)
Правильними є оцiнки похибки
‖ y∗ − yk ‖≤ ρk ‖ y∗ − y0 ‖, (116)
‖ y∗ − yk ‖≤
ρm
1− ρ
‖ yk−m+1 − yk−m ‖, 1 ≤ m ≤ k, (117)
‖ u∗ − uk ‖≤ ω ‖ y∗ − yk ‖, (118)
де ω — величина, що фiгурує в нерiвностi (114).
Доведення. За умови ρ < 1, як вiдомо, iснує єдиний розв’язок y∗(t) iнтегрального
рiвняння (53) i послiдовнiсть {yk(t), k ≥ 0}, побудована за формулою (110), збiгається до
цього розв’язку, тобто правильним є перше спiввiдношення (115), а також справджуються
нерiвностi (116) та (117).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 109
Згiдно з теоремою 3 задача (1) – (3) має єдиний розв’язок (y∗(t), u∗(t)), до того ж
u∗(t) = C(t)λ∗. Якщо в цьому спiввiдношеннi замiнити параметр λ∗ його значенням, яке
отримаємо при пiдстановцi виразiв (55) – (57) у формулу (59), i використати позначення
(107) – (109), то одержимо
u∗(t) = η(t) +
b∫
a
Φ(t, s)y∗(s) ds+ ε
b∫
a
Θ(t, s,∗ (s)) ds. (119)
Iз формул (111), (119) та (114) очевидним чином випливає правильнiсть оцiнки (118),
викорисовуючи яку та перше спiввiдношення (115), переконуємось, що ‖uk−u∗‖ → 0 при
k → ∞, а отже, правильним є i друге спiввiдношення (115).
Застосуємо апроксимацiйно-iтеративний метод (99) – (104) до задачi (83), (84). В цьо-
му випадку наближенi розв’язки знаходимо iз задачi
yk(t) = uk(t) +
1∫
0
(10
√
t+ 21)yk(s) ds+ xk(t) + εvk(t), (120)
1∫
0
5 tyk(t) dt = 4 + εγk, uk(t) = 6λk, (121)
в якiй з урахуванням формули (90)
xk(t) = −13
√
t+
1∫
0
5
√
t
(
3
√
s− 2
)
yk−1(s) ds, (122)
vk(t) =
1∫
0
(
√
ts+ 5) cos(π
√
syk−1(s)) ds, (123)
γk =
1∫
0
sin(π
√
syk−1(s)) ds. (124)
Покладемо ε = 10−2 i зазначимо, що в цьому випадку умова (98) виконується, тобто
задача (83), (84) має єдиний розв’язок
y∗(t) = 2
√
t, u∗(t) = −28, (125)
в чому можна переконатися, виконавши вiдповiднi обчислення.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
110 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
Нехай x0(t) = −13
√
t, v0(t) = 0 i γ0 = 0, тодi для знаходження початкового наближен-
ня отримаємо задачу
y0(t) = u0(t)− 13
√
t+
1∫
0
(10
√
t+ 21)y0(s) ds,
1∫
0
5sy0(s) ds = 4, u0(t) = 6λ0,
розв’язавши яку, матимемо
y0(t) =
1
7
(9
√
t+ 4), u0(t) = −29
3
7
. (126)
Для побудови першого наближення використовуємо формули (122) – (124) при k = 1
i, виконавши обчислення з точнiстю до 10−5, отримаємо
x1(t) = −11, 92857
√
t, v1(t) = −0, 75348− 0, 06620
√
t, γ1 = −0, 58570.
Тодi задача (120), (121) набере вигляду
y1(t) = u1(t) +
1∫
0
(10
√
t+ 21)y1(s) ds− 11, 92923
√
t− 0, 00753,
1∫
0
5ty1(t) dt = 3, 99941, u1(t) = 6λ1,
а розв’язавши її, будемо мати перше наближення
y1(t) = 1, 74361
√
t+ 0, 20488, u1(t) = −28, 50056. (127)
Продовжуючи цей процес далi, можна отримати друге i вищi наближення, зокрема
y2(t) = 1, 90832
√
t+ 0, 07334, u2(t) = −28, 18069, (128)
y3(t) = 1, 96723
√
t+ 0, 02621, u3(t) = −28, 06463. (129)
Наскiльки вiдхиляються побудованi наближення вiд точного розв’язку задачi (83),
(84), видно iз порiвняння формул (125) – (129).
7. Окремi випадки. Якщо в апроксимацiйно-iтеративному методi вважати P (t)Q(s) =
= 0, то вiн вироджується в iтерацiйний метод, суть якого висвiтлено в [1].
Нехай матриця Q(s) задана, а матриця P (t) визначається з умови
b∫
a
(K(t, s)− P (t)Q(s))X(s) ds = 0, (130)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
АПРОКСИМАЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 111
або, навпаки, матриця P (t) задана, а матриця Q(s) знаходиться з умови
b∫
a
Υ(t) (K(t, s)− P (t)Q(s)) dt = 0. (131)
Якщо (1×n)-матрицю X(s) чи (n× 1)-матрицю Υ(t) пiдiбрано таким чином, що рiвняння
(130) чи (131) має лише єдиний розв’язок, то в цих випадках апроксимацiйно-iтеративний
метод збiгається iз проекцiйно-iтеративними методами, застосуванням яких до iнтеграль-
них, диференцiальних чи iнтегро-диференцiальних рiвнянь та їх систем з обмеженнями
присвячено низку праць, зокрема [3 – 7].
1. Лучка А. Ю., Мельничук В. Ф. Iтерацiйний метод для квазiлiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмежен-
нями // Нелiнiйнi коливання. — 2011. — 14, № 14. — C. 496 – 506.
2. Лучка А. Ю. Загальний пiдхiд до побудови методiв апроксимацiйно-iтеративного типу // Вiсн. держ.
ун-ту «Львiв. полiтехнiка». — 2000. — № 3. — С. 212 – 216.
3. Лучка А. Ю. Интегральные уравнения с ограничениями и методы их решения // Кибернетика и систем.
анализ. — 1996. — № 3. — С. 82 – 96.
4. Лучка А. Ю. Методи розв’язування рiвнянь з обмеженнями i проекцiйно-iтеративний метод Ю. Д. Со-
колова // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 11. — С. 1501 – 1509.
5. Лучка А. Ю. Методи дослiдження систем диференцiальних рiвнянь з обмеженнями // Диференцiальнi
рiвняння i нелiнiйнi коливання: Пр. Укр. мат. конгр. (Київ, 2002 р.). — 2002. — С. 43 – 59.
6. Лучка А. Ю., Нестеренко О. Б. Методи розв’язування крайових задач для слабконелiнiйних iнтегро-
диференцiальних рiвнянь з параметрами та обмеженнями // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 5. —
С. 672 – 679.
7. Лучка А. Ю., Ферук В. А. Побудова наближених розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь з пара-
метрами та обмеженнями // Нелiнiйнi коливання. — 2010. — 13, № 3. — С. 361 – 378.
Одержано 18.11.10,
пiсля доопрацювання — 09.03.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15,N◦ 1
|