Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами
Получены условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений с использованием локальной линейной аппроксимации этих уравнений.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175587 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 112-126. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175587 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755872021-02-02T01:28:45Z Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами Слюсарчук, В.Ю. Получены условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений с использованием локальной линейной аппроксимации этих уравнений. We find conditions for existence of bounded solutions to nonlinear difference equations by using a local linear approximation of these equations. 2012 Article Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 112-126. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175587 517.988.6 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений с использованием локальной линейной аппроксимации этих уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами |
| title_short |
Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами |
| title_full |
Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами |
| title_fullStr |
Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами |
| title_full_unstemmed |
Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами |
| title_sort |
метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175587 |
| citation_txt |
Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко регулярними операторами / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 112-126. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû metodlokalʹnogolinijnogonabližennânelinijnihriznicevihoperatorivslabkoregulârnimioperatorami |
| first_indexed |
2025-07-15T12:53:59Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:53:59Z |
| _version_ |
1837717562529415168 |
| fulltext |
УДК 517.988.6
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ
НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ ОПЕРАТОРIВ
СЛАБКО РЕГУЛЯРНИМИ ОПЕРАТОРАМИ
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail: V.Ye.Slyusarchuk@NUWM.rv.ua
We find conditions for existence of bounded solutions to nonlinear difference equations by using a local
linear approximation of these equations.
Получены условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений с
использованием локальной линейной аппроксимации этих уравнений.
1. Основний об’єкт дослiджень. Нехай E — скiнченновимiрний банаховий простiр з нор-
мою ‖ · ‖E , X i Y — довiльнi банаховi простори i L(X,Y ) — банаховий простiр лiнiйних
неперервних операторiв A, що дiють iз простору X у простiр Y, з нормою ‖A‖L(X,Y ) =
= sup‖x‖X=1 ‖Ax‖Y .Позначимо через l∞(Z, X) банаховий простiр двостороннiх послiдов-
ностей x = (xn)n∈Z, де xn ∈ X, з нормою ‖x‖l∞(Z,X) = supn∈Z ‖xn‖X . Цей простiр будемо
позначати через M, якщо X = E.
Розглянемо рiзницевий оператор F , що дiє у просторi M i визначається формулою
(Fx)n = xn + fn(xn−1, . . . , xn−p),
де n ∈ Z, p ∈ N i вiдображення fn : Ep → E, n ∈ Z, задовольняють наступну умову.
Умова А. Вiдображення fn : Ep → E, n ∈ Z, неперервнi i для кожного числа r ∈
∈ (0,+∞)
sup
n∈Z,‖y1‖E6r,...,‖yp‖E6r
‖fn(y1, . . . , yp)‖E < +∞. (1)
Завдяки вимогам до вiдображень fn, n ∈ Z, оператор F є обмеженим, тобто цей опе-
ратор кожну обмежену множину вiдображає в обмежену множину. Оператор F є непе-
рервним, якщо вiдображення fn, n ∈ Z, рiвностепенево неперервнi на кожнiй множинi
{(y1, . . . , yp) : ‖y1‖E 6 r, . . . , ‖ym‖E 6 r} , r > 0.
Метою цiєї статтi є знаходження умов, за яких множина значень R(F) оператора F
збiгається з M. Зазначимо, що така задача для нелiнiйних рiзницевих рiвнянь є складною
(див., наприклад, [1 – 8]), яку розв’язати важко. Тому ми обмежимося розглядом лише до-
статнiх умов, що забезпечують виконання спiввiдношення R(F) = M i в деяких окремих
випадках збiгаються з необхiдними умовами виконання цього спiввiдношення.
В основу дослiджень оператора F у цiй статтi покладено метод, що використовує ло-
кальну лiнiйну апроксимацiю цього оператора слабко регулярними операторами. Випа-
c© В. Ю. Слюсарчук, 2012
112 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 113
док локального наближення нелiнiйних операторiв регулярними операторами для рiз-
ницевих рiвнянь розглядався автором у [9, 10], для диференцiальних i диференцiально-
функцiональних рiвнянь — у [11] i [12] вiдповiдно (детальний виклад цього методу та його
застосування наведено у [13]).
2. Формулювання основного твердження. Оскiльки у подальшому ми будемо викорис-
товувати слабко регулярнi оператори, то спочатку придiлимо увагу цим операторам.
Кожному елементу A = ((An,1, . . . , An,p))n∈Z простору l∞(Z, Lp(E,E)), де
Lp(E,E) = L(E,E)× . . .× L(E,E)︸ ︷︷ ︸
p разiв
,
поставимо у вiдповiднiсть лiнiйний неперервний оператор RA, що дiє у просторi M i ви-
значається формулою
(RAx)n = xn +
p∑
k=1
An,kxn−k, n ∈ Z. (2)
ОператорRA називають слабко регулярним, якщо
R(RA) = M, (3)
тобто для кожного y ∈ M рiвняння
RAx = y
має хоча б один розв’язок x ∈ M.
Множину всiх елементiв A = ((An,1, . . . , An,p))n∈Z, для кожного з яких операторRA :
M → M є слабко регулярним, позначимо через Gp. Множину всiх слабко регулярних
операторiв RA : M → M позначимо через WR(M). Якщо для RA крiм спiввiдношення
(3) виконується i спiввiдношення
kerRA = {0},
де kerRA — ядро оператора RA (kerRA = {x ∈ M : RAx = 0}), то оператор RA нази-
вають регулярним (у цьому випадку оператор RA має обернений неперервний оператор
R−1A за теоремою Банаха про обернений оператор [14]). Множину регулярних операторiв
RA : M → M позначатимемо через R(M). Очевидно, що
R(M) ⊂ WR(M)
i
WR(M) \R(M) 6= ∅.
Прикладом нерегулярного але слабко регулярного оператора при p = 1 є оператор
R : M → M, що визначається формулою
(Rx)n = xn +
(
1− 1
2
thn
)
xn−1, x ∈ M, n ∈ Z.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
114 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
НехайRA ∈ WR(M) \R(M). Для цього оператора kerRA 6= {0}. Оскiльки простiр E
скiнченновимiрний, то ядро kerRA оператораRA також буде скiнченновимiрним просто-
ром (див. у п. 3 теорему 2). Тому iснує доповняльний до kerLA пiдпростiр XRA
простору
M [15], тобто такий пiдпростiр, що M можна записати у виглядi прямої суми
M = kerRA+̇XRA
(4)
(норми у просторах kerRA i XRA
розглядаємо такi, як i в просторi M). Рiвнiсть (4) озна-
чає, що кожний вектор x ∈ M єдиним чином записується у виглядi
x = x1 + x2,
де x1 ∈ kerRA i x2 ∈ XRA
.
Розглянемо звуження RA|XRA
оператора RA на пiдпростiр XRA
. Цей оператор вза-
ємно однозначно вiдображає XRA
на M i тому має обернений неперервний оператор(
RA|XRA
)−1
: M → XRA
.
Основним результатом статтi є наступне твердження.
Теорема 1. Нехай виконується умова А. Якщо для кожного числа H > 0 iснують
такi число r > 0 i елемент A = ((An,1, . . . , An,p))n∈Z ∈ Gp, що
sup
n∈Z, ‖x1‖E6r,...,‖xp‖E6r
∥∥∥∥∥fn(x1, . . . , xp)−
p∑
k=1
An,kxk
∥∥∥∥∥
E
6
r
a
−H, (5)
де
a =
∥∥R−1A
∥∥
L(M,M)
, якщоRA ∈ R(M),∥∥∥∥(RA|XRA
)−1∥∥∥∥
L(M,M)
, якщоRA ∈ WR(M) \R(M),
то для кожного h ∈ M рiвняння
Fx = h (6)
має хоча б один розв’язок x ∈ M.
Цю теорему покладено в основу методу, за допомогою якого знаходять умови iсну-
вання обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь. Ми доведемо це твердження,
використавши ряд допомiжних результатiв.
Зазначимо, що при використаннi на практицi теореми 1 потрiбно знати норми опера-
торiв R−1A i
(
RA|XRA
)−1
або оцiнки зверху для цих норм. Наведемо деяку iнформацiю
про оператор R−1A , норма якого знаходиться легше, нiж норма оператора
(
RA|XRA
)−1
.
Нагадаємо, що операторR−1A можна записати за допомогою рiвностi
(
R−1A h
)
n
=
∑
m∈Z
Gn,mhm,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 115
в якiй h ∈ M i для Gn,m ∈ L(E,E), n,m ∈ Z, виконується спiввiдношення
sup
n∈Z
∑
m∈Z
‖Gn,m‖L(E,E) < +∞
(див. [16, 17]). Отже, для норми оператора L−1A справджується оцiнка
∥∥R−1A
∥∥
L(M,M)
6 sup
n∈Z
∑
m∈Z
‖Gn,m‖L(E,E),
яку можна використати в (5).
3. Допомiжнi твердження. Наведемо ряд результатiв про розмiрнiсть ядра оператора
RA i про c-неперервнi оператори, потрiбнi для доведення теореми 1.
3.1. Обґрунтування скiнченної розмiрностi ядра оператораRA. З’ясування розмiрнос-
тi ядра оператораRA є нетривiальним, оскiльки у спiввiдношеннi (2) оператори An,p, n ∈
∈ Z, можуть не мати обернених неперервних операторiв.
Теорема 2. Якщо dimE < ∞, то dimkerRA 6 pdimE.
Доведення. Для кожного числа m ∈ Z визначимо лiнiйнi неперервнi оператори Sm :
M → M i Tm : M → M за допомогою рiвностей
(Smx)n =
{
xn, якщо n ∈ {m− p,m− p+ 1, . . . ,m− 1},
0, якщо n ∈ Z \ {m− p,m− p+ 1, . . . ,m− 1},
(Tmx)n =
{
xn, якщо n ∈ Z ∩ [m,+∞),
0, якщо n ∈ Z ∩ (−∞,m),
де n ∈ Z i x — довiльний елемент простору M.
Розглянемо натуральне число ν = p dimE.
Зафiксуємо довiльнi x(1), . . . ,x(ν+1) ∈ kerRA. Припустимо, що x(1), . . . ,x(ν+1) лiнiйно
незалежнi. Покажемо, що iснує таке число n0 ∈ Z, що елементи Tn0x
(1), . . . , Tn0x
(ν+1)
також є лiнiйно незалежними.
Припустимо, що Tmx(1), . . . , Tmx(ν+1) — лiнiйно залежнi елементи для кожногоm ∈ Z.
Тодi iснують числа c(1)m , . . . , c
(ν+1)
m , m ∈ Z, для яких
ν+1∑
k=1
∣∣∣c(k)m ∣∣∣ = 1, m ∈ Z, (7)
i
∑ν+1
k=1 c
(k)
m Tmx(k) = 0, m ∈ Z. Iз урахуванням того, що
∑ν+1
k=1 c
(k)
m Tmx(k) = Tm
∑ν+1
k=1 c
(k)
m x(k),
на пiдставi лiнiйностi операторiв Tm, m ∈ Z, отримуємо
Tm
ν+1∑
k=1
c(k)m x(k) = 0, m ∈ Z. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
116 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Завдяки (7) iснують числа c(1), . . . , c(ν+1) i послiдовнiсть цiлих вiд’ємних чисел mq, q ∈
∈ N, для яких limq→∞mq = −∞,
∑ν+1
k=1
∣∣c(k)∣∣ = 1 i limq→∞ c
(k)
mq = c(k), k = 1, ν + 1. Тому
згiдно з (8) limq→∞ Tmq
∑ν+1
k=1 c
(k)x(k) = 0. Звiдси випливає рiвнiсть
∑ν+1
k=1 c
(k)x(k) = 0, що
суперечить лiнiйнiй незалежностi елементiв x(1), . . . ,x(ν+1).
Отже, iснування числа n0 ∈ Z, для якого елементи Tn0x
(1), . . . , Tn0x
(ν+1) є лiнiйно не-
залежними у випадку лiнiйно незалежних x(1), . . . ,x(ν+1), доведено.
Далi розглянемо елементи Sn0+p x
(1), . . . ,Sn0+p x
(ν+1). Цi елементи лiнiйно залежнi,
оскiльки вони є елементами пiдпростору Sn0+pM простору M, dimSn0+pM = p dimE i
ν + 1 > dimSn0+pM. Тому iснують числа a(1), . . . , a(ν+1), для яких
∑ν+1
k=1
∣∣a(k)∣∣ 6= 0, та-
кi, що
∑ν+1
k=1 a
(k)Sn0+p x
(k) = 0. На пiдставi означення оператора RA i його лiнiйностi,
а також того, що x(1), . . . ,x(ν+1) — елементи ядра оператора RA, виконується рiвнiсть∑ν+1
k=1 a
(k)Tn0x
(k) = 0, що суперечить лiнiйнiй незалежностi Tn0x
(1), . . . , Tn0x
(ν+1).
Отже, припущення, що елементи x(1), . . . ,x(ν+1) ядра оператора RA лiнiйно незалеж-
нi, є хибним.
Теорему 2 доведено.
3.2. Локально збiжнi послiдовностi i c-неперервнi оператори. Позначимо через Pm, де
m ∈ Z, лiнiйний неперервний оператор, що дiє у просторi M i визначається рiвнiстю
(Pmx)n =
{
xn, якщо |n| 6 m,
0, якщо |n| > m.
Послiдовнiсть (xk)k≥1 елементiв простору M називатимемо локально збiжною до x ∈
∈ M при k → ∞ i позначатимемо
xk
loc., M−−−−→ x при k → ∞,
якщо supk∈N ‖xk‖M < +∞ i limk→∞ ‖Pm(xk − x)‖M = 0 для кожного числа m ∈ N.
Очевидним є наступне твердження.
Лема 1. Для кожної обмеженої послiдовностi (xk)k>1 елементiв простору M iснують
такi елемент x ∈ M i зростаюча пiдпослiдовнiсть (kl)l>1 послiдовностi натуральних
чисел, що
xkl
loc., M−−−−→ x при l → ∞
i
‖x‖M 6 sup
k>1
‖xk‖M.
Оператор H : M −→ M називається c-неперервним, якщо для довiльних x ∈ M i
xk ∈ M, k ∈ N, для яких
xk
loc., M−−−−→ x при k → ∞,
виконується спiввiдношення
Hxk
loc., M−−−−→ Hx при k → ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 117
Поняття c-неперервного оператора (на мовi „ε, δ”) уведено до розгляду Е. Мухамадi-
євим [18]. Вивчення цих понять було продовжено в [19 – 24] та iнших роботах.
Прикладами c-неперервних операторiв є оператори F , RA, Sm, Tm i Pm. Також
c-неперервним є оператор R−1A у випадку регулярного оператора RA, що випливає з на-
ступного твердження.
Теорема 3 [17, 20]. Нехай лiнiйний неперервний i c-неперервний оператор A : M →
→ M має обернений неперервний оператор A−1. Тодi оператор A−1 є c-неперервним.
Легко перевiрити, що якщоA i B— c-неперервнi оператори, то для довiльних чисел α,
β ∈ R оператори αA+βB iAB також є c-неперервними. Також легко перевiрити, що якщо
збiжна послiдовнiсть (Ak)k≥1 c-неперервних елементiв простору L(M,M) збiгається до
оператора A ∈ L(M,M), тобто
lim
k→∞
‖Ak −A‖L(M,M) = 0,
то оператор A є c-неперервним. Отже, множина A всiх c-неперервних елементiв банахо-
вої алгебри L(M,M) є банаховою пiдалгеброю цiєї алгебри.
При дослiдженнi нелiнiйних операторiв, що дiють у просторi M, потрiбно мати на ува-
зi, що нi c-неперервнiсть не випливає з неперервностi, нi неперервнiсть не випливає iз
c-неперервностi (див. [6]).
4. Доведення теореми 1. Розглянемо у просторi M замкнену кулю BR = {x : ‖x‖M 6
6 R} радiуса R iз центром у точцi 0.
Доведемо твердження, з якого випливатиме теорема 1.
Лема 2. Нехай виконується умова А. Якщо для деяких чисел H > 0, r > 0 i елемента
A = ((An,1, . . . , An,p))n∈Z ∈ Gp справджується нерiвнiсть (5) i h ∈ BH , то рiвняння (6)
має хоча б один розв’язок x ∈ Br.
Доведення. Для кожного m ∈ N розглянемо рiзницеве рiвняння
(RAx)n = (Pm(A− G)x)n + hn, n ∈ Z, (9)
деA i G— рiзницевi оператори, що дiють у просторi M i визначаються спiввiдношеннями
(Ax)n =
p∑
k=1
An,kxn−k, n ∈ Z,
i
(Gx)n = fn(xn−1, . . . , xn−p), n ∈ Z.
Це рiвняння у випадку регулярного оператораRA (випадок А) рiвносильне рiвнянню
xn =
(
R−1A (Pm(A− G)x+ h)
)
n
, n ∈ Z.
У випадку нерегулярного оператораRA, але слабко регулярного оператораRA (випадок
Б) рiвняння (9) у просторi XRA
рiвносильне рiвнянню
xn =
((
RA|XRA
)−1
(Pm(A− G)x+ h)
)
n
, n ∈ Z.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
118 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Також розглянемо c-неперервний оператор Wm, що дiє у просторi M i визначається
формулою
(Wmx)n = (Pm(A− G)x+ h)n , n ∈ Z.
Завдяки означенню операторiв Pm, A, G i умовi А оператор Wm є цiлком неперервним.
Тому цiлком неперервними є оператори R−1A Wm (у випадку А) i
(
RA|XRA
)−1
Wm (у ви-
падку Б).
Зазначимо, що
R−1A Wm Br ⊂ Br
(у випадку А) i
(RA)−1 |XRA
Wm Br ⊂ Br
(у випадку Б). Справдi, якщо ‖y‖M 6 r i ‖h‖M 6 H, то згiдно з нерiвнiстю (5) у випадку А∥∥R−1A Wmy
∥∥
M
6
∥∥R−1A
∥∥
L(M,M)
‖Wmy‖M 6 a sup
n∈Z, ‖y‖M6r
‖(Pm(A− G)y + h)n‖E 6
6 a
(
sup
‖y‖M6r
‖(A− G)y‖E + ‖h‖M
)
6 a
((r
a
−H
)
+H
)
= r.
Аналогiчно у випадку Б∥∥∥∥(RA|XRA
)−1
Wmy
∥∥∥∥
M
6
∥∥∥∥(RA|XRA
)−1∥∥∥∥
L(M,M)
‖Wmy‖M 6
6 a sup
n∈Z, ‖y‖M6r
‖(Pm(A− G)y + h)n‖E 6 a
((r
a
−H
)
+H
)
= r.
Тому за теоремою Шаудера про нерухому точку [25] для кожного m ∈ N оператори
R−1A Wm i
(
RA|XRA
)−1
Wm мають у кулi Br хоча б одну нерухому точку.
Отже, рiвняння (9) для кожного m ∈ N має хоча б один розв’язок x ∈ Br. Позначимо
один iз цих розв’язкiв через xm. Тодi
(RAxm)n = (Pm(A− G)xm)n + hn, n ∈ Z. (10)
За лемою 1 iснують такi елемент z ∈ Br i зростаюча пiдпослiдовнiсть (ml)l>1 послiдовнос-
тi натуральних чисел, що
xml
loc., M−−−−→ z при l → ∞.
Тому на пiдставi (10) при m = ml та c-неперервностi операторiвRA, A i G
RAz = (A− G)z+ h.
Ця рiвнiсть збiгається з рiвнiстю
Fz = h.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 119
Отже, рiвняння (6) має хоча б один розв’язок x ∈ Br.
Лему 2 доведено.
Очевидно, що твердження теореми 1 випливає з леми 2.
5. Обширнiсть множини рiвнянь, до яких застосовна теорема 1. Покажемо, що мно-
жина нелiнiйних рiзницевих рiвнянь, до яких застосовна теорема 1, є достатньо широкою
множиною.
Теорема 4. Для кожних чисел Hm > 0, m > 1, для яких limm→∞Hm = +∞, i елемен-
тiв A(m) =
((
A
(m)
n,1 , A
(m)
n,2 , . . . , A
(m)
n,p
))
m>1
∈ Gp, m > 1, iснують вiдображення gn : Ep →
→ E, n ∈ Z, що задовольняє умову А, i числа rm > 0, m > 1, для яких виконується
спiввiдношення
sup
n∈Z, ‖x1‖E6rm,...,‖xm‖E6rm
∥∥∥∥∥gn(x1, . . . , xm)−
p∑
k=1
A
(m)
n,k xk
∥∥∥∥∥
E
6
rm
am
−Hm, m > 1, (11)
де
am =
∥∥∥R−1
A(m)
∥∥∥
L(M,M)
, якщо RA(m) ∈ R(M),∥∥∥∥(RA(m) |XR
A(m)
)−1∥∥∥∥
L(M,M)
, якщо RA(m) ∈ WR(M) \R(M).
Доведення. Розглянемо довiльну послiдовнiсть додатних чисел rm, m > 1, для якої
r1 > 1 i rm+1 > rm + 3, m > 1 (значення rm уточнимо пiзнiше). Для кожного m > 1
визначимо вiдображення
ω1,m : {x ∈ M : rm 6 ‖x‖M 6 rm + 1} → [0, 1]
i
ω2,m : {x ∈ M : rm + 1 6 ‖x‖M 6 rm + 2} → [0, 1]
за допомогою рiвностей
ω1,m(x) = rm
∥∥∥∥∥
(
rm + 1
‖x‖M
− 1
)2
x
∥∥∥∥∥
M
i
ω1,m(x) = (rm + 2)
∥∥∥∥∥
(
rm + 1
‖x‖M
− 1
)2
x
∥∥∥∥∥
M
.
Очевидно, що вiдображення ω1,m i ω2,m неперервнi,
ω1,m(x) = 1, якщо ‖x‖M = rm, (12)
ω2,m(x) = 1, якщо ‖x‖M = rm + 2, (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
120 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
ω1,m(x) = ω2,m(x) = 0, якщо ‖x‖M = rm + 1, (14)
i
R(ω1,m) = R(ω2,m) = [0, 1]. (15)
Вiдображення gn : Ep → E, n ∈ Z, i числа rm, m > 1, визначимо таким чином.
Спочатку розглянемо вiдображення g(1)n : Ep → E, n ∈ Z, що визначаються спiввiд-
ношенням
g(1)n (x1, . . . , xp) =
p∑
k=1
A
(1)
n,kxk, n ∈ Z.
Очевидно, що для кожного числа r > 0
sup
n∈Z, ‖x1‖E6r,...,‖xp‖E6r
∥∥∥∥∥g(1)n (x1, . . . , xp)−
p∑
k=1
A
(1)
n,kxk
∥∥∥∥∥
E
= 0.
Виберемо число r1 > 1 так, щоб
r1
a1
−H1 > 0.
Далi розглянемо вiдображення g(2)n : Ep → E, n ∈ Z, що визначаються спiввiдношенням
g(2)n (x1, . . . , xp) =
g
(1)
n (x1, . . . , xp), якщо ‖xl‖E 6 r1, l = 1, p,
ω1,1(x)g
(1)
n (x1, . . . , xp), якщо r1 < ‖xl‖E 6 r1 + 1, l = 1, p,
ω2,1(x)
p∑
k=1
A
(2)
n,kxk, якщо r1 + 1 < ‖xl‖E 6 r1 + 2, l = 1, p,
p∑
k=1
A
(2)
n,kxk, якщо ‖xl‖E > r1 + 2, l = 1, p.
Для g(2)n (x1, . . . , xp) виконується умова А на пiдставi неперервностi ω1,1 i ω2,1, спiввiдно-
шень (12) – (15) та того, що A(l) ∈ Gp, l = 1, 2. Легко перевiрити, що
sup
n∈Z,x1∈E,...,xp∈E
∥∥∥∥∥g(2)n (x1, . . . , xp)−
p∑
k=1
A
(2)
n,kxk
∥∥∥∥∥
E
< +∞.
Тому iснує таке число r2 > r1 + 3, що виконується нерiвнiсть
sup
n∈Z, ‖x1‖E6r2,...,‖xp‖E6r2
∥∥∥∥∥g(2)n (x1, . . . , xm)−
p∑
k=1
A
(2)
n,kxk
∥∥∥∥∥
E
6
r2
a2
−H2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 121
Далi визначимо вiдображення g(3)n : Ep → E, n ∈ Z, за допомогою спiввiдношення
g(3)n (x1, . . . , xp) =
g
(2)
n (x1, . . . , xp), якщо ‖xl‖E 6 r2, l = 1, p,
ω1,2(x)g
(2)
n (x1, . . . , xp), якщо r2 < ‖xl‖E 6 r2 + 1, l = 1, p,
ω2,2(x)
p∑
k=1
A
(3)
n,kxk, якщо r2 + 1 < ‖xl‖E 6 r2 + 2, l = 1, p,
p∑
k=1
A
(3)
n,kxk, якщо ‖xl‖E > r2 + 2, l = 1, p.
Для g(3)n (x1, . . . , xp) виконується умова А на пiдставi неперервностi ω1,2 i ω2,2, спiввiдно-
шень (12) – (15) та того, що для g(2)n (x1, . . . , xp) виконується умова А i A(3) ∈ Gp. Очевид-
но, що
sup
n∈Z, x1∈E,...,xm∈E
∥∥∥∥∥g(3)n (x1, . . . , xm)−
p∑
k=1
A
(3)
n,kxk
∥∥∥∥∥
E
< +∞.
Тому iснує таке число r3 > r2 + 3, що виконується нерiвнiсть
sup
n∈Z, ‖x1‖E6r3,...,‖xm‖E6r3
∥∥∥∥∥g(3)n (x1, . . . , xm)−
p∑
k=1
A
(3)
n,kxk
∥∥∥∥∥
E
6
r3
a3
−H3.
Аналогiчним чином визначаємо вiдображення gn : R × Em → E, n > 4, i числа
rn > rn−1 + 3, n > 4.
Зазначимо, що вiдображення g(m)
n : Ep → E, n ∈ Z, визначаються за допомогою
спiввiдношення
g(m)
n (x1, . . . , xp) =
=
g
(m−1)
n (x1, . . . , xp), якщо ‖xl‖E 6 rm−1, l = 1, p,
ω1,n−1(x)g
(m−1)
n (x1, . . . , xp), якщо rm−1 < ‖xl‖E 6 rm−1 + 1, l = 1, p,
ω2,n−1(x)
p∑
k=1
A
(m)
n,k xk, якщо rm−1 + 1 < ‖xl‖E 6 rm−1 + 2, l = 1, p,
p∑
k=1
A
(m)
n,k xk, якщо ‖xl‖E > rm−1 + 2, l = 1, p.
Завдяки спiввiдношенню
sup
n∈Z,x1∈E,...,xm∈E
∥∥∥∥∥g(m)
n (x1, . . . , xp)−
p∑
k=1
A
(m)
n,k xk
∥∥∥∥∥
E
< +∞
iснує таке число rm > rm−1 + 3, що виконується нерiвнiсть
sup
n∈Z, ‖x1‖E6rm,...,‖xp‖E6rm
∥∥∥∥∥g(m)
n (x1, . . . , xp)−
p∑
k=1
A
(m)
n,k xk
∥∥∥∥∥
E
6
rm
am
−Hm. (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
122 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Вiдображення gn : Ep → E, n ∈ Z, визначимо за допомогою формули
gn(x1, . . . , xp) =
g
(1)
n (x1, . . . , xp), якщо ‖xl‖E 6 r1, l = 1, p,
g
(2)
n (x1, . . . , xp), якщо r1 < ‖xl‖E 6 r2, l = 1, p,
g
(3)
n (x1, . . . , xp), якщо r2 < ‖xl‖E 6 r3, l = 1, p,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g
(m)
n (x1, . . . , xp), якщо rm−1 < ‖xl‖E 6 rm, l = 1, p,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Для gn, очевидно, виконуються спiввiдношення (11) i умова А, оскiльки
gn(x1, . . . , xp) = g(m)
n (x1, . . . , xp),
якщо ‖xl‖E 6 rm, l = 1, p (спiввiдношення (11) випливає iз спiввiдношення (16)).
Теорему 4 доведено.
6. Застосування теореми 1. Наведемо застосування теореми 1 до дослiдження лiнiйних
i нелiнiйних рiзницевих рiвнянь.
6.1. Випадок лiнiйних рiзницевих рiвнянь. Зафiксуємо довiльний елемент
Q = ((Qn,1, . . . , (Qn,p))n∈Z ∈ l∞(Z, Lp(E,E)).
Розглянемо лiнiйне рiзницеве рiвняння
xn +
p∑
k=1
Qn,kxn−k = hn,
де h ∈ M, та вiдповiдний рiзницевий операторRQ : M → M, що визначається рiвнiстю
(RQx)n = xn +
p∑
k=1
Qn,kxn−k.
Cправджується наступне твердження.
Теорема 5. Для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i послiдовнiсть
A = ((An,1, . . . , An,p))n∈Z ∈ Gp, що
sup
n∈Z, ‖x1‖E6r, ... ,‖xp‖E6r
∥∥∥∥∥
p∑
k=1
(Qn,k −An,k)xk
∥∥∥∥∥
E
6
r∥∥R−1A
∥∥
L(M,M)
−H, (17)
тодi i тiльки тодi, коли рiзницевий операторRQ є слабко регулярним.
Очевидно, що нерiвнiсть (17) рiвносильна нерiвностi
sup
n∈Z, ‖x1‖E61, ... ,‖xp‖E61
∥∥∥∥∥
p∑
k=1
(Qn,k −An,k)xk
∥∥∥∥∥
E
6
1∥∥R−1A
∥∥
L(M,M)
− H
r
. (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 123
Тут i в теоремi 5RA — оператор, що визначаєтся рiвнiстю (2).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i
елемент A ∈ Gp, що виконується нерiвнiсть (17). Тодi згiдно з теоремою 1 для оператора
RQ виконується спiввiдношення
R(RQ) = M.
Отже, операторRQ є слабко регулярним.
Достатнiсть. Нехай операторRQ є слабко регулярним. Тодi Q є елементом множи-
ни Gp. Зафiксуємо довiльне число H > 0 i виберемо таке число r > 0, щоб
r∥∥∥R−1Q
∥∥∥
L(M,M)
−H > 0.
Поклавши A = Q, отримаємо нерiвнiсть (17).
Теорему 5 доведено.
Наслiдок 1. Рiзницевий оператор RQ є слабко регулярним тодi i тiльки тодi, коли
iснує елемент A = ((An,1, . . . , (An,p))n∈Z ∈ Gp, для якого
sup
n∈Z, ‖x1‖E61, ..., ‖xp‖E61
∥∥∥∥∥
p∑
k=1
(Qn,k −An,k)xk
∥∥∥∥∥
E
<
1∥∥R−1A
∥∥
L(M,M)
. (19)
Доведення. Нехай для деякого A = ((An,1, . . . , An,p))n∈Z ∈ Gp виконується нерiв-
нiсть (19). Зафiксуємо довiльне число H > 0 i виберемо таке число r > 0, щоб
1∥∥R−1A
∥∥
L(M,M)
− sup
n∈Z, ‖x1‖E61, ..., ‖xp‖E61
∥∥∥∥∥
p∑
k=1
(Qn,k −An,k)xk
∥∥∥∥∥
E
>
H
r
.
Тодi справджуватиметься нерiвнiсть (18), а отже, i нерiвнiсть (17). Тому за теоремою 5
операторRQ є слабко регулярним.
Навпаки, якщо оператор RQ є слабко регулярним, то на пiдставi теореми 5 для кож-
ного H > 0 iснують r > 0 i A = ((An,1, . . . , An,p))n∈Z ∈ Gp, для яких виконуватиметься
нерiвнiсть (17), а отже, i нерiвнiсть (18). Iз (18) випливає (19).
Наслiдок 1 доведено.
Зазначимо, що наведенi умови слабкої регулярностi рiзницевих операторiв є новими.
6.2. Малi на нескiнченностi збурення лiнiйних рiзницевих рiвнянь. Наведемо ще одне
твердження, яке можна отримати за допомогою теореми 1.
Розглянемо рiзницеве рiвняння
xn +
p∑
k=1
An,kxn−k + fn(xn−1, . . . , xn−p) = hn, (20)
де A = ((An,1, . . . , An,p))n∈Z ∈ l∞(Z, L(E,E)), fn : Ep → E, n ∈ Z, — неперервнi вiдобра-
ження, що задовольняють спiввiдношення (1), i h = (hn)n∈Z ∈ M.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
124 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Використаємо лiнiйний операторRA, що визначається формулою (2).
Окремим випадком теореми 1 є наступне твердження.
Теорема 6. Нехай операторRA є слабко регулярним i
lim
r→+∞
sup
n∈Z, ‖xi‖E6r, i=1,p
‖fn(x1, . . . , xp)‖E
r
<
1∥∥R−1A
∥∥
L(M,M)
. (21)
Тодi рiвняння (20) для кожної послiдовностi h = (hn)n∈Z ∈ M має хоча б один
розв’язок x = (xn)n∈Z ∈ M.
Справдi, завдяки умовам теореми для кожного числа H > 0 iснує таке число r > 0,
що виконується спiввiдношення
sup
n∈Z, ‖xi‖E6r, i=1,p
‖fn(x1, . . . , xp)‖E 6
r∥∥R−1A
∥∥
L(M,M)
−H,
аналогiчне нерiвностi (5). Тому на пiдставi теореми 1 справджується твердження теоре-
ми 6.
Наслiдок 2. Нехай RA — слабко регулярний оператор i fn : Ep → E, n ∈ Z, —
неперервнi вiдображення, для яких
sup
n∈Z, (x1,...,xp)∈Ep
‖fn(x1, . . . , xp)‖E < +∞.
Тодi рiзницеве рiвняння (20) для кожної послiдовностi h = (hn)n∈Z ∈ M має хоча б
один розв’язок x = (xn)n∈Z ∈ M.
Зауваження 1. У теоремi 6 нерiвнiсть (21) не можна покращити навiть у випадку лi-
нiйного рiзницевого рiвняння (20), що пiдтверджується наступним прикладом.
Приклад 1. Для рiзницевого рiвняння
xn +
1
2
xn−1 + µxn−1 = hn, (22)
де µ ∈ R, оператор (Rx)n = xn +
1
2
xn−1 є регулярним,
∥∥R−1∥∥
L(l∞(Z,R),l∞(Z,R)) = 2 i спiв-
вiдношення (21) має вигляд
|µ| < 1
2
.
При µ =
1
2
рiвняння (22) не для кожної обмеженої правої частини має обмежений розв’я-
зок, оскiльки оператор (Sx)n = xn + xn−1 не є регулярним.
Зауваження 2. c-Неперервний оператор F : M → M, що визначається формулою
(Fx)n = fn(xn−1, . . . , xn−p), n ∈ Z,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 125
де fn — вiдображення, що й у рiвняннi (20), може бути розривним у кожнiй точцi простору
M. Це пiдтверджується наступним прикладом.
Приклад 2. Будемо вважати, що p = 1 iE = R. c-Неперервний операторF : l∞(Z,R) →
→ l∞(Z,R), визначимо спiввiдношенням
(Fx)n = ωn−1 ({(n− 1)xn−1}} , n ∈ Z,
де {(n−1)xn−1}— дробова частина числа (n−1)xn−1 i ωn : R → R — перiодична функцiя
з перiодом 1, що на промiжку (0, 1] подається рiвнiстю
ωn(t) =
1, якщо 0 < t 6
|n|+ 1
|n|+ 2
,
1− (|n|+ 2)
(
t− |n|+ 1
|n|+ 2
)
, якщо
|n|+ 1
|n|+ 2
< t 6 1.
(23)
Очевидно, що для кожного n ∈ Z функцiя ωn({nx}) неперервна на R. Зафiксуємо довiль-
ний елемент z = (zn)n∈Z ∈ l∞(Z,R).Кожному дiйсному числу δ поставимо у вiдповiднiсть
елемент zδ = (zn + δ)n∈Z ∈ l∞(Z,R). Використовуючи (23) та рiвнiсть
lim
δ→0
‖Fzδ − Fz‖l∞(Z,R) = lim
δ→0
sup
n∈Z
|ωn({nzn + nδ})− ωn({nzn})|,
отримуємо
1
2
6 lim
δ→0
‖Fzδ − Fz‖l∞(Z,R) 6 1.
Звiдси випливає, що операторF не є неперервним у точцi z = (zn)n∈Z.Завдяки довiльнос-
тi вибору z цей оператор є розривним у всiх точках простору l∞(Z,R).
1. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М.: Мир, 1971. — 311 с.
2. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. — Киев.: Наук. думка, 1972. —
246 с.
3. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. —
Киев: Наук. думка, 1986. — 280 с.
4. Дороговцев А. Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и
стохастических динамических систем. — Киев: Вища шк., 1992. — 319 с.
5. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В. Елементи математичної теорiї еволюцiйних рiвнянь у банахових
просторах // Працi Iн-ту математики НАН України. Математика та її застосування. — 2008. — 72. —
496 с.
6. Слюсарчук В. Ю. Оборотнiсть нелiнiйних рiзницевих операторiв. — Рiвне: Нац. ун-т вод. госп-ва та
природокористування, 2006. — 233 с.
7. Слюсарчук В. Е. Слабо нелинейные возмущения нормально разрешимых функционально-дифферен-
циальных и дискретных уравнений // Укр. мат. журн. — 1987. — 39, № 5. — С. 660 – 662.
8. Слюсарчук В. Ю. Теорема про нерухому точку для c-цiлком неперервних операторiв у просторах обме-
жених на злiченнiй групi функцiй // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2008. — Вип. 421. —
С. 105 – 108.
9. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь // Наук. вiсн.
Чернiв. ун-ту. Математика. — 2009. — Вип. 454. — С. 88 – 94.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
126 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
10. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних
рiзницевих рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 3. — С. 109 – 115.
11. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 11. — C. 1541 – 1556.
12. Слюсарчук В. Е. Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений // Мат. сб. — 2010. — 201, № 8. — С. 103 – 126.
13. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї нелiнiйних рiвнянь. — Рiвне: Вид-во
Нац. ун-ту вод. госп-ва та природокористування, 2011. — 342 с.
14. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1968. — 496 с.
15. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
16. Слюсарчук В. Е. Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем // Укр. мат. журн. —
1983. — 35, № 1. — С. 109 – 115.
17. Слюсарчук В. Е. О представлении ограниченных решений линейных дискретных уравнений // Укр.
мат. журн. — 1987. — 39, № 2. — С. 210 – 215.
18. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269 – 274.
19. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных
уравнений // Мат. заметки. — 1981. — 30, № 3. — С. 443 – 460.
20. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов //
Мат. сб. — 1981. — 116 (158), № 4 (12). — С. 483 – 501.
21. Слюсарчук В. Е. Интегральное представление c-непрерывных линейных операторов // Докл. АН
УССР. Сер. А. — 1981. — № 8. — С. 34 – 37.
22. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат.
сб. — 1986. — 130 (172), № 1 (5). — C. 86 – 104.
23. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. — 1987. — 42, № 2. — С. 262 – 267.
24. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных функ-
ционально-дифференциальных операторов // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 2. — С. 201 – 205.
25. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.: Мир, 1977. — 233 с.
Одержано 16.06.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
|