Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве
Отримано формулу для єдиного псевдооберненого оператора до нормально розв’язного, умови iснування та зображення єдиного розв’язку нормально розв’язних рiвнянь у гiльбертових просторах. Введено поняття односторонньо псевдообернених операторiв до нормально розв’язних, якi дiють у гiльбертових простора...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175593 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 165-177. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175593 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755932021-02-02T01:29:24Z Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве Журавлев, В.Ф. Отримано формулу для єдиного псевдооберненого оператора до нормально розв’язного, умови iснування та зображення єдиного розв’язку нормально розв’язних рiвнянь у гiльбертових просторах. Введено поняття односторонньо псевдообернених операторiв до нормально розв’язних, якi дiють у гiльбертових просторах, розглянуто методи їх побудови. We find a formula for a unique pseudoinverse operator to a normally solvable equation in a Hilbert space, as well as existence conditions and a representation of a single solution of the equation. We also introduce the notion of an operator that is one-sided pseudoinverse of a normally solvable operator acting on a Hilbert space. Methods for constructing such operators are also considered. 2012 Article Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 165-177. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175593 517.983 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Отримано формулу для єдиного псевдооберненого оператора до нормально розв’язного, умови iснування та зображення єдиного розв’язку нормально розв’язних рiвнянь у гiльбертових просторах. Введено поняття односторонньо псевдообернених операторiв до нормально розв’язних, якi дiють у гiльбертових просторах, розглянуто методи їх побудови. |
| format |
Article |
| author |
Журавлев, В.Ф. |
| spellingShingle |
Журавлев, В.Ф. Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве Нелінійні коливання |
| author_facet |
Журавлев, В.Ф. |
| author_sort |
Журавлев, В.Ф. |
| title |
Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве |
| title_short |
Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве |
| title_full |
Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве |
| title_fullStr |
Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве |
| title_full_unstemmed |
Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве |
| title_sort |
решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175593 |
| citation_txt |
Решение нормально разрешимых операторных уравнений в гильбертовом пространстве / В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 165-177. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT žuravlevvf rešenienormalʹnorazrešimyhoperatornyhuravnenijvgilʹbertovomprostranstve |
| first_indexed |
2025-07-15T12:54:21Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:54:21Z |
| _version_ |
1837717585296097280 |
| fulltext |
УДК 517.983
РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ОПЕРАТОРНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В. Ф. Журавлев
Житомир. нац. агроэкол. ун-т
Украина, 10008, Житомир, бульв. Старый, 7
e-mail: vfz2008@ukr.net
We find a formula for a unique pseudoinverse operator to a normally solvable equation in a Hilbert space,
as well as existence conditions and a representation of a single solution of the equation. We also introduce
the notion of an operator that is one-sided pseudoinverse of a normally solvable operator acting on a
Hilbert space. Methods for constructing such operators are also considered.
Отримано формулу для єдиного псевдооберненого оператора до нормально розв’язного, умови
iснування та зображення єдиного розв’язку нормально розв’язних рiвнянь у гiльбертових про-
сторах. Введено поняття односторонньо псевдообернених операторiв до нормально розв’яз-
них, якi дiють у гiльбертових просторах, розглянуто методи їх побудови.
Многие задачи теории обыкновенных дифференциальных и функционально-дифферен-
циальных уравнений сводятся к операторным уравнениям Lx = y с линейным ограни-
ченным нормально разрешимым оператором L. Такая запись позволяет отвлечься от
специфических и частных трудностей, присущих каждой конкретной задаче, применить
к их анализу методы теории операторов и функционального анализа и сосредоточиться
на изучении их общих закономерностей. В связи с этим возникают задачи построения
обобщенно-обратных и псевдообратных операторов к нормально разрешимым в бана-
ховых и гильбертовых пространствах.
Предварительные сведения. Пусть линейный ограниченный нормально разрешимый
оператор L действует из вещественного гильбертова пространства H1 в вещественное
гильбертово пространство H2, L : H1 → H2. Известно [1, 2], что оператор L− : H2 →
→ H1, удовлетворяющий свойствам
LL−L = L,
(1)
L−LL− = L−,
называется обобщенно-обратным к оператору L.
Такой оператор определяется неоднозначно. Однако благодаря более совершенной
геометрии гильбертовых пространств — наличию в них скалярного произведения и, как
следствие, однозначного разложения их в прямые суммы ортогональных подпространств,
изоморфности взаимно сопряженных пространств — удается получить более тонкие ре-
зультаты по обобщенному обращению нормально разрешимых операторов в гильберто-
вых пространствах, а именно, из множества обобщенно-обратных операторов L− к опе-
ратору L удается выделить единственный, являющийся псевдообратным [3 – 5].
c© В. Ф. Журавлев, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 165
166 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Оператор L+ : H2 → H1, удовлетворяющий свойствам [3, 4]
LL+L = L,
L+LL+ = L+,
(2)
(LL+)∗ = LL+ = IH2 − PN(L∗),
(L+L)∗ = L+L = IH1 − PN(L),
называется псевдообратным к оператору L по Муру – Пенроузу. Здесь PN(L) : H1 →
→ N(L) и PN(L∗) : H2 → N(L∗) — ортопроекторы на нуль-пространства N(L) и N(L∗)
операторов L : H1 → H2 и ему сопряженного L∗ : H∗2 → H∗1 соответственно.
Известно [6], что пространство, сопряженное гильбертову, совпадает с ним с точно-
стью до изоморфизма, т. е. H∗1 = H1,H
∗
2 = H2. В [1, с. 139] показано, что поскольку нуль-
пространство N(L) ⊂ H1 и образ R(L) ⊂ H2 оператора L замкнуты, а любое замкнутое
подмножество гильбертова пространства дополняемо, то оператор L обобщенно обра-
тим и существуют ортопроекторы PN(L) : H1 → N(L), LPN(L) = 0 и PN(L∗) : H2 →
→ N(L∗), L∗PN(L∗) = 0, которые индуцируют разбиение H1 и H2 в прямые ортогональ-
ные суммы [7]
H1 = N(L)⊕R(L∗),
(3)
H2 = N(L∗)⊕R(L),
где N(L) = PN(L)H1, N(L∗) = PN(L∗)H2, R(L) = (IH2 − PN(L))H2, R(L∗) = (IH1 −
−PN(L))H1.
Постановка задачи. Рассмотрим вопрос об условиях существования и построения ре-
шений уравнения
Lx = y (4)
с линейным ограниченным нормально разрешимым оператором L : H1 → H2.
В работе ставятся следующие задачи. Построить односторонне псевдообратные опе-
раторы L+
r и L+
l и на их основе единственный псевдообратный оператор L+. С исполь-
зованием ортопроекторов и псевдообратного оператора L+ установить критерий разре-
шимости и формулы для представления решений уравнений с линейным ограниченным
нормально разрешимым оператором L.
Промежуточный результат. В условиях поставленной задачи для нуль-пространств
N(L) и N(L∗) возможны три случая:
1. Подпространство N(L) линейно изоморфно подпространству N1(L
∗) ⊂ N(L∗),
N(L) ∼= N1(L
∗).
Это значит, что существуют:
линейный ограниченный обратимый оператор J1 : N(L) → N1(L
∗) такой, что J1 ×
×N(L) = N1(L
∗), J−11 N1(L
∗) = N(L);
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 167
ортопроектор PN1(L∗) : H2 → H2, разбивающий подпространство N(L∗) в прямую
сумму замкнутых подпространств
N(L∗) = N1(L
∗)⊕N2(L
∗), (5)
гдеN1(L
∗) = PN1(L∗)H2, N2(L
∗) = PN2(L∗)H2, PN2(L∗) = PN(L∗)−PN1(L∗) — ортопроектор.
2. Подпространство N1(L) ⊂ N(L) линейно изоморфно подпространству N(L∗),
N1(L) ∼= N(L∗).
В этом случае существуют:
линейный ограниченный обратимый оператор J2 : N1(L) → N(L∗) такой, что J2 ×
×N1(L) = N(L∗), J−12 N(L∗) = N1(L);
ортопроектор PN1(L) : H1 → H1, разбивающий подпространство N(L) в прямую сум-
му замкнутых подпространств
N(L) = N1(L)⊕N2(L), (6)
где N1(L) = PN1(L)H1, N2(L) = PN2(L)H1, PN2(L) = PN(L) − PN1(L) — ортопроектор.
3. Подпространство N(L) линейно изоморфно подпространству N(L∗), N(L) ∼=
∼= N(L∗).
В этом случае существует линейный ограниченный обратимый оператор J3 : N(L) →
→ N(L∗) такой, что J3N(L) = N(L∗), J−13 N(L∗) = N(L).
Обозначим расширения операторов Ji, i = 1, 2, 3, на пространство H1 через PN1(L∗) :
H1 → N1(L
∗) ⊆ N(L∗), а через PN1(L) : H2 → N1(L) ⊆ N(L) расширения операторов
J−1i , i = 1, 2, 3, на пространство H2. В случае 3N1(L
∗) ≡ N(L∗), N1(L) ≡ N(L) и поэтому
PN1(L∗) ≡ PN(L∗), а PN1(L) ≡ PN(L).
Лемма 1. Оператор L = L + PN1(L∗) на подпространстве H2 N2(L
∗) имеет огра-
ниченный обратный
L
−1
l,r =
{
(L+ PN1(L∗))
−1
l — левый, если N(L) ∼= N1(L
∗) ⊂ N(L∗),
(L+ PN(L∗))
−1
r — правый, если N(L) ⊃ N1(L) ∼= N(L∗).
Общий вид односторонне обратных операторов L
−1
l0,r0 задается формулой
L
−1
l0,r0 =
{
L
−1
l (IH2 − P̃N2(L∗)) — левый, если N(L) ∼= N1(L
∗) ⊂ N(L∗),
(IH1 − P̃N2(L))L
−1
r — правый, если N(L) ⊃ N1(L) ∼= N(L∗),
где P̃N2(L∗) : H2 → N2(L
∗) и P̃N2(L) : H1 → N2(L) — произвольные бесконечномерные
ограниченные проекторы.
Доказательство. Пусть N(L) изоморфно подпространству N1(L
∗) ⊂ N(L∗).
Покажем, что оператор L = L + PN1(L∗) имеет ограниченный левый обратный. По-
скольку подпространства R(L) и R(PN1(L∗)) = N1(L
∗) замкнуты, из (3) и (5) следует, что
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
168 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
R(L) = R(L) ∪ N1(L
∗) замкнуто. А так как любое замкнутое подпространство гильбер-
тового пространства дополняемо, для существования левого обратного оператора L
−1
l
необходимо и достаточно показать [1], что
N(L) = N(L+ PN1(L∗)) = {0}.
Пусть существует x0 ∈ H1, x0 6= 0, такое, что
(L+ PN1(L∗))x0 = Lx0 + PN1(L∗)x0 = 0. (7)
Из (7) имеем
Lx0 ∈ R(L), PN1(L∗)x0 ∈ N1(L
∗).
Подпространства R(L) и N(L∗) взаимно дополняют одно другое и R(L)
⋂
N(L∗) = 0,
N1(L
∗) ⊂ N(L∗). Следовательно, R(L)
⋂
N1(L
∗) = {0}, откуда следует, что они имеют
только один общий элемент — нулевой, т. е. Lx0 = 0, PN1(L∗)x0 = 0. Это значит, что
x0 ∈ N(L) и x0 ∈ N(PN1(L∗)) ⊂ R(L∗). А поскольку N(L) и R(L∗) — взаимно дополня-
ющие подпространства, из (3) имеем N(L) ∩ R(L∗) = {0}. Отсюда следует, что x0 = 0.
Полученное противоречие доказывает, что N(L) = {0}.
Таким образом, оператор L+ PN1(L∗) имеет левый обратный.
Поскольку образ R(L) = R(L)⊕N1(L
∗) оператора L не совпадает со всем пространс-
твом H2, нельзя говорить об ограниченности оператора L
−1
l на всем пространстве H2.
Так как подпространство H2 N2(L
∗) замкнуто, оно само является пространством. Опе-
ратор L осуществляет взаимно однозначное соответствие пространств H1 и H2 N2(L
∗).
Поэтому по теореме Банаха [8] ограниченность оператора L
−1
l обеспечивается только
если рассматривать его действие из пространства H2 N2(L
∗) на пространство H1.
Левый обратный оператор L
−1
l не определяется однозначно. Использовав результа-
ты [1], запишем совокупность левых обратных операторов в общем видеL
−1
l0 =L
−1
l PR(L),
где PR(L) — произвольный ограниченный проектор на образ оператора L. Как следует
из (5), такое свойство имеет проектор IH2 − P̃N2(L∗), т. е. R(IH2 − P̃N2(L∗)) = R(L), где
P̃N2(L∗) : H2 → N2(L
∗) — произвольный бесконечномерный ограниченный проектор,
который можно построить в общем виде, использовав лемму А. Собчика [9]. Отсюда
следует, что семейство левых обратных операторов имеет представление
L
−1
l0 = L
−1
l (IH2 − P̃N2(L∗)).
Пусть теперь N(L∗) изоморфно подпространству N1(L) ⊂ N(L). Покажем, что опе-
ратор L = L + PN(L∗) имеет ограниченный правый обратный. Поскольку N(L) допол-
няемо в H1, в силу равенств (3) и (6) подпространство N(L) дополняемо в H1. Таким
образом, для доказательства существования правого обратного оператора необходимо и
достаточно показать, что [1]
R(L) = R(L+ PN1(L∗)) ≡ H2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 169
Поскольку N(L∗) изоморфно N1(L) ⊂ N(L), то PN1(L∗) ≡ PN(L∗) : H1 → N(L∗). По
определению операторов L и PN(L∗) для произвольного элемента x ∈ H1 имеем
Lx = Lx+ PN(L∗)x,
где Lx ∈ R(L), а PN(L∗)x ∈ N(L∗). Так как подпространства R(L) и N(L∗) взаимно до-
полняют одно другое в гильбертовом пространстве H2, то R(L) ≡ H2.
Таким образом, оператор L+ PN1(L∗) имеет правый обратный.
Оператор L осуществляет взаимно однозначное соответствие пространств H1 N2(L)
и H2, поэтому правый обратный оператор L
−1
r по теореме Банаха [8] ограничен.
Правый обратный оператор также не определяется однозначно. Использовав резуль-
таты [1], запишем совокупность правых обратных операторов в общем видеL
−1
r0 =PN(L)×
×L −1r , гдеPN(L) — произвольный проектор, имеющий свойствоN(PN(L)) = N(L).Из (6)
следует, что такое свойство имеет проектор IB1 − P̃N2(L), т. е. N(IB1 − P̃N2(L)) = N(L),
где P̃N2(L) : H1 → N2(L) — произвольный бесконечномерный ограниченный проектор,
который строится в общем виде с использованием леммы А. Собчика [9]. Тогда общее
представление левых обратных операторов таково:
L
−1
r0 = (IH1 − P̃N2(L))L
−1
r .
Лемма доказана.
Замечание 1. ЕслиL— нетеров оператор (indL = dim kerL−dim kerL∗ = s−k < ∞),
то лемма 1 переходит в лемму 2.4 из [10, с. 66].
Для случая 3, когда подпространствоN(L) изоморфноN(L∗), имеет место следующее
утверждение.
Лемма 2. Оператор L = L+ PN(L∗) имеет ограниченный обратный
L
−1
= (L+ PN(L∗))
−1
.
Доказательство. ЕслиN(L) изоморфноN(L∗), тоN1(L) ≡ N(L), аN1(L
∗) ≡ N(L∗).В
этом случае существуют и левый, и правый обратный операторы к оператору L, а значит,
существует единственный ограниченный обратный оператор L
−1
.
Лемма доказана.
Замечание 2. Если нормально разрешимый оператор L действует из гильбертова про-
странства H в себя и N(L) изоморфно N(L∗), то он называется приводимо-обратимым.
В этом случае доказанная лемма переходит в теорему 1.6 из [11, с. 28].
Замечание 3. Если оператор L фредгольмов (indL = 0), то лемма 2 переходит в
известную лемму Шмидта [8, c. 231].
Рассмотрим некоторые соотношения, связывающие „косые” проекторыPN(L),PN(L∗),
ортопроекторы PN(L), PN(L∗), линейные операторы PN1(L), PN1(L∗) и операторы L
−1
l0,r0 .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
170 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Лемма 3. Ортопроекторы PN(L), PN(L∗) и операторы PN1(L), PN1(L∗) удовлетворя-
ют соотношениям
PN(L∗)PN1(L∗) = PN1(L∗)PN(L) = PN1(L∗),
(8)
PN(L)PN1(L) = PN1(L)PN(L∗) = PN1(L).
Доказательство. Докажем первое из соотношений (8). Пусть x ∈ H1, тогдаPN1(L∗)x ∈
∈ N1(L
∗) ⊂ N(L∗) и, значит, PN(L∗)PN1(L∗)x = PN1(L∗) x, так как PN(L∗)N(L∗) = N(L∗).
Следовательно, PN(L∗)PN1(L∗) = PN1(L∗).
Пусть x ∈ N(L), тогда PN(L)x = x.Подействовав оператором PN1(L∗) на обе части по-
следнего равенства, получим PN1(L∗)PN(L)x = PN1(L∗)x. Следовательно, PN1(L∗)PN(L) =
= PN1(L∗).
Второе из соотношений (8) доказывается аналогично.
Заметим, что лемма 3 имеет место, если ортопроекторы PN(L), PN(L∗) заменить на
„косые” проекторы PN(L), PN(L∗).
Лемма 4. Ортопроекторы PN(L), PN(L∗) и „косые” проекторы PN(L), PN(L∗) удовле-
творяют соотношениям
PN(L)PN(L) = PN(L), PN(L)PN(L) = PN(L),
(9)
PN(L∗)PN(L∗) = PN(L∗), PN(L∗)PN(L∗) = PN(L∗).
Доказательство. Докажем первое соотношение из (9). Пусть x0 = PN(L)x ∀x ∈ H1,
а PN(L)x0 = x0 ∀x0 ∈ N(L). Тогда, подставив вместо x0 его значение PN(L)x в последнее
равенство, получим
PN(L)PN(L)x = PN(L)x ∀x ∈ H1.
Второе соотношение доказывается аналогично.
Выше было отмечено, что пространства H∗i , i = 1, 2, совпадают с пространствами Hi,
i = 1, 2, с точностью до изоморфизма. Сопряженные пространства H∗i — это пространст-
ва вектор-строк y∗, x∗. Проектор PN(L∗) (L∗PN(L∗) = 0) действует на вектор-строку y∗ ∈
∈ H∗2 по правилу y∗P∗N(L∗), а ортопроектор PN(L∗), с учетом его самосопряженности — по
правилу y∗PN(L∗). Тогда соотношение, аналогичное первому, будет иметь вид
y∗PN(L∗)P∗N(L∗) = y∗P∗N(L∗).
Применив операцию сопряжения к обеим частям последнего равенства, получим тре-
тье соотношение из (9).
Четвертое соотношение доказывается аналогично.
Лемма даказана.
Далее установим некоторые свойства операторов L
−1
l0,r0 и L.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 171
Лемма 5. Оператор L
−1
l0,r0 удовлетворяет соотношениям
LL
−1
l0,r0 = IH2 − PN(L∗),
(10)
L
−1
l0,r0L = IH1 − PN(L),
где IH1 и IH2 — тождественные операторы в пространствах H1 и H2 соответствен-
но, PN(L) : H1 → N(L), PN(L∗) : H2 → N(L∗) — некоторые ограниченные проекторы.
Доказательство. Из определения правого обратного оператора L
−1
r0 следует, что если
он существует, то [1]
LL
−1
r0 = IH2 ,
L
−1
r0 L = IH2 − PN2(L),
где PN2(L) — некоторый ограниченный проектор на подпространство N2(L) ⊂ N(L). А
если существует левый обратный оператор L
−1
l0 , то
LL
−1
l0 = IH1 − PN2(L∗),
L
−1
l0 L = IH1 ,
где PN2(L∗) — некоторый ограниченный проектор на подпространство N2(L
∗) ⊂ N(L∗).
Поскольку PN(L∗) PN1(L∗) = PN1(L∗) и LPN2(L) = 0, PN(L∗)L = 0, подействовав справа
оператором L на обе части первого соотношения из (10), получим тождество
L = LIH1 = LL
−1
l0 L ≡ (IH2 − PN(L∗))L = (IH2 − PN(L∗))(L+ PN1(L∗)) =
= L− PN(L∗)L+ PN1(L∗) − PN(L∗)PN1(L∗) = L+ PN1(L∗) − PN1(L∗) = L,
доказывающее это соотношение.
Далее, так как LPN(L) = 0 иPN(L∗)L = 0, подействовав слева оператором L на второе
соотношение из (10), получим тождество
L = L+ PN(L∗)L = (IH2 − PN(L∗))L = LL
−1
l0,r0L ≡ L(IH1 − PN(L)) = L,
которое доказывает это соотношение.
Лемма доказана.
Доказанные леммы позволяют предложить конструкции односторонне псевдо-
обратных операторов к нормально разрешимому.
Левый и правый псевдообратные операторы к нормально разрешимому оператору.
Определение 1. Оператор L+
r : H2 → H1, удовлетворяющий условиям
LL+
r L = L,
L+
r LL
+
r = L+
r , (11)
(LL+
r )∗ = LL+
r = IH2 − PN(L∗),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
172 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
называется правым псевдообратным оператором к нормально разрешимому операто-
ру L.
Определение 2. Оператор L+
l : H2 → H1, удовлетворяющий условиям
LL+
l L = L,
L+
l LL
+
l = L+
l , (12)
(L+
l L)∗ = L+
l L = IH1 − PN(L),
называется левым псевдообратным оператором к нормально разрешимому операто-
ру L.
Естественно, что оператор, являющийся и левым, и правым псевдообратным одно-
временно, будет псевдообратным в смысле Мура – Пенроуза.
Конструкции односторонне псевдообратных операторов дают следующие теоремы.
Теорема 1. Оператор
L+
r = L
−1
l0,r0(IH2 − PN(L∗)) =
{
L
−1
l0 (IH2 − PN(L∗)), если N(L) ∼= N1(L
∗) ⊂ N(L∗),
L
−1
r0 (IH2 − PN(L∗)), если N(L) ⊃ N1(L) ∼= N(L∗),
является ограниченным правым псевдообратным к нормально разрешимому операто-
ру L.
Доказательство. Проверим выполнение свойств (11). Пусть для определенности
N(L) ⊃ N1(L) ∼= N(L∗). Из леммы 1 следует, что существует правый обратный опе-
ратор L
−1
r0 .
Сначала проверим выполнение третьего условия из (11):
LL+
r = LL
−1
r0 (IH2 − PN(L∗)) = (IH2 − PN(L∗))(IH2 − PN(L∗)) =
= IH2 − PN(L∗) − PN(L∗) + PN(L∗)PN(L∗) = IH2 − PN(L∗) =
= (IH2 − PN(L∗))
∗ = (LL+
r )∗,
так как в силу четвертого соотношения из (9) имеем PN(L∗)PN(L∗) = PN(L∗).
Далее проверим выполнение первого и второго условий из (11):
LL+
r L = (IH2 − PN(L∗))L = L− PN(L∗)L = L,
так как PN(L∗)L = 0, и
L+
r LL
+
r = L+
r (IH2 − PN(L∗)) = L+
r − L
−1
r0 (IH2 − PN(L∗))PN(L∗) =
= L+
r − L
−1
r0 (PN(L∗) − PN(L∗)) = L+
r ,
поскольку P 2
N(L∗) = PN(L∗).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 173
Легко проверить, что четвертое условие из (2) не выполняется. Действительно,
L+
r L = L
−1
r0 (IH2 − PN(L∗))L = L
−1
r0 L = IH1 − PN(L),
так как в силу леммы 5 имеем L
−1
r0 L = IH1−PN(L), где PN(L) : H1 → N(L) — некоторый
проектор.
Ограниченность правого псевдообратного оператора L+
r следует из ограниченности
операторов L
−1
l0,r0 и IH2 − PN(L∗).
Теорема 2. Оператор
L+
l = (IH1 − PN(L))L
−1
l0,r0 =
{
(IH1 − PN(L))L
−1
l0 , если N(L) ∼= N1(L
∗) ⊂ N(L∗),
(IH1 − PN(L))L
−1
r0 , если N(L) ⊃ N1(L) ∼= N(L∗),
является левым псевдообратным к нормально разрешимому оператору L.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.
Оператор, псевдообратный к линейному ограниченному нормально разрешимому. Те-
оремы 1, 2 позволяют предложить формулу для псевдообратного оператора к нормально
разрешимому в гильбертовом пространстве.
Теорема 3. Оператор
L+ = L+
l (IH2 − PN(L∗)) = (IH1 − PN(L))L
+
r (13)
является единственным ограниченным псевдообратным к нормально разрешимому
оператору L.
Доказательство. Проверим выполнение свойств (2), определяющих псевдообратный
оператор. Пусть для определенности N(L) ∼= N1(L
∗) ⊂ N(L∗). Это значит, что в силу
леммы 1 существует левый обратный оператор L
−1
l0 .
Поскольку
L(IH1 − PN(L)) = L, (IH2 − PN(L∗))L = L, PN(L∗)L = 0,
имеем равенство
LL+L = L(IH1 − PN(L))L
−1
l0 (IH2 − PN(L∗))L = LL
−1
l0 L = (IH2 − PN(L∗))L = L,
доказывающее первое свойство.
Так как по лемме 5LL
−1
l0 = IH2−PN(L∗), а по лемме 4PN(L∗)PN(L∗) = PN(L∗), получим
равенство
L+LL+ = L+L(IH1 − PN(L))L
−1
l0 (IH2 − PN(L∗)) = L+LL
−1
l0 (IH2 − PN(L∗)) =
= L+(IH2 − PN(L∗))(IH2 − PN(L∗)) = L+(IH2 − PN(L∗) − PN(L∗) + PN(L∗)) = L+,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
174 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
которое доказывает второе свойство.
Проверим выполнение третьего и четвертого свойств:
LL+ = L(IH1 − PN(L))L
−1
l0
(IH2 − PN(L∗)) = LL −1l0
(IH2 − PN(L∗)) =
= (IH2 − PN(L∗))(IH2 − PN(L∗)) = IH2 − PN(L∗) = (LL+)∗,
L+L = L+
l (IH1 − PN(L∗))L = L+
l L = IH1 − PN(L) = (L+L)∗,
так как L+
l — левый псевдообратный оператор.
Ограниченность псевдообратного оператора L+ следует из ограниченности односто-
ронне псевдообратных операторов L+
r , L
+
l и ортопроекторов IH1 − PN(L), IH2 − PN(L∗).
Теорема доказана.
Замечание 4. Если L− : H2 → H1 — некоторый обобщенно-обратный оператор,
удовлетворяющий свойствам (1), то используя конструкцию, аналогичную (13), можно
доказать, что оператор
L+ = (IH1 − PN(L))L
−(IH2 − PN(L∗))
будет единственным псевдообратным оператором к нормально разрешимому операто-
ру L.
С помощью предложенной в теореме 3 конструкции псевдообратного оператора L+
можно решить вопрос о записи в явном виде общего решения линейного операторного
уравнения (4) с линейным ограниченным нормально разрешимым оператором L.
Теорема 4. Пусть L : H1 → H2 — нормально разрешимый оператор. Уравнение (4)
разрешимо для тех и только тех y ∈ H2, для которых выполнено условие
PN(L∗)y = 0. (14)
и при этом имеет семейство решений, представимое в виде прямой ортогональной сум-
мы
x = x̃+ x̄ = PN(L)x̂+ L+ y, (15)
в которой первое слагаемое x̃ — общее решение соответствующего однородного урав-
нения Lx = 0, а второе x̄ — единственное частное решение неоднородного оператор-
ного уравнения (4), x̂ — произвольный элемент пространства H1.
Доказательство. Из соотношений (3) следует, что общее решение уравнения (4) пред-
ставляет собой прямую ортогональную сумму общего решения x̃ соответствующего (4)
однородного уравнения Lx = 0 и единственного частного решения x̄ = L+y неоднород-
ного уравнения (4). Из определения ортопроектора на нуль-пространство N(L) опера-
тора L следует, что общее решение однородного уравнения Lx = 0 можно записать в
виде
x̃ = PN(L)x̂.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 175
Поскольку линейное операторное уравнение (4) является нормально разрешимым,
для его разрешимости [8] необходимо и достаточно, чтобы y был ортогонален любо-
му вектору из нуль-пространства N(L∗) сопряженного оператора L∗. Так как R(L) =
= N(PN(L∗)), а R(L) и N(L∗) взаимно ортогональны и дополняют одно другое в про-
странстве H2, это условие эквивалентно условию (14), выполнение которого гарантиру-
ет принадлежность элемента y образу R (L) оператора L.
Подставив решение (15) в исходное уравнение (4) с учетом третьего соотношения из
(2) и условия (14), получим
Lx = LPN(L)x̂+ LL+y = LL+y = (IH2 − PN(L∗)) y = IH2y − PN(L∗)y = IH2y = y,
так как LPN(L) = 0.
Теорема доказана.
Если условие (14) не выполняется, т. е. y не принадлежит образу R(L) оператора L,
то операторное уравнение (4) не имеет решения. В этом случае задача (4) некорректна и
имеет так называемое псевдорешение [12], которое минимизирует норму невязки ‖Lx −
−y‖H2 .
Пример. Найдем условия разрешимости и общий вид решения операторного уравне-
ния
Qx = y, (16)
в котором линейный матричный оператор
Q =
1 −1 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 1 −1 0 0 . . .
0 0 0 0 0 0 . . .
0 0 0 0 1 −1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
действует из вещественного гильбертова пространства l2 числовых последовательностей
x = col (ξ(1), ξ(2), ξ(3), . . . , ξ(i), . . .), для которых
∑∞
i=1(ξ
(i))2 < ∞, в вещественное гильбер-
тово пространство l2 числовых последовательностей y = col (η(1), η(2), η(3), . . . , η(j), . . .),
для которых
∑∞
j=1(η
(j))2 < ∞.
Проверим, является ли оператор Q ограниченным в этом пространстве:
‖Q‖l2 = sup
x∈l2,x 6=0
‖Qx‖l2
‖x‖l2
= sup
x∈l2,x 6=0
sup
j∈N
|η(j)|
sup
i∈N
|ξ(i)|
= sup
x∈l2,x 6=0
sup
j∈N
(|ξ(1) − ξ(2)|, 0, |ξ(3) − ξ(4)|, 0, . . .)
sup
i∈N
|ξ(i)|
≤
≤ sup
x∈l2,x 6=0
sup
j∈N
(|ξ(1)|+ |ξ(2)|, 0, |ξ(3)|+ |ξ(4)|, 0, . . .)
sup
i∈N
|ξ(i)|
≤ 2
sup
j∈N
|ξ(j)|
sup
i∈N
|ξ(i)|
= 2,
так как supi∈N (|ξ(i)|+ |ξ(i+1)|) ≤ 2 supi∈N (|ξ(i)|, |ξ(i+1)|). Оператор Q : l2 → l2 ограничен.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
176 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Ортопроекторы PN(Q) и PN(Q∗) имеют вид
PN(Q) = diag
1
2
1
2
1
2
1
2
,
1
2
1
2
1
2
1
2
, . . .
,
PN(Q∗) = diag
{(
0 0
0 1
)
,
(
0 0
0 1
)
, . . .
}
,
а псевдообратный оператор Q+ имеет вид
Q+ = diag
1
2
0
−1
2
0
,
1
2
0
−1
2
0
, . . .
.
По теореме 4 операторное уравнение (16) имеет ограниченное решение для тех и
только тех y ∈ l2, y = col (η(1), η(2), η(3), . . .), которые удовлетворяют условию
PN(Q∗)y =
0 0 0 0 . . .
0 1 0 0 . . .
0 0 0 0 . . .
0 0 0 1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
η(1)
η(2)
η(3)
η(4)
. . .
η(i)
. . .
=
0
η(2)
0
η(4)
. . .
η(2k)
. . .
= 0. (17)
Условие разрешимости (17) будет выполнено, например, для векторов y ∈ l2, y =
= col (η(1), 0, η(3), 0, η(5), 0, . . .)
Для таких векторов операторное уравнение (16) имеет ограниченное на R(Q) реше-
ние x ∈ l2 вида
x = PN(Q)x̂+Q+y =
1
2
1
2
0 0 0 . . .
1
2
1
2
0 0 0 . . .
0 0
1
2
1
2
0 . . .
0 0
1
2
1
2
0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ξ̂(1)
ξ̂(2)
ξ̂(3)
ξ̂(4)
. . .
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 177
+
1
2
0 0 0 . . .
−1
2
0 0 0 . . .
0 0
1
2
0 . . .
0 0 −1
2
0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
η(1)
0
η(3)
0
. . .
=
1
2
(ξ̂(1) + ξ̂(2) + η(1))
1
2
(ξ̂(1) + ξ̂(2) − η(1))
1
2
(ξ̂(3) + ξ̂(4) + η(3))
1
2
(ξ̂(3) + ξ̂(4) − η(3))
. . .
,
где x̂ = col (ξ̂1, ξ̂2, ξ̂3, . . . , ξ̂i, . . .) — произвольный элемент гильбертова пространства l2,
вектор col
(
1
2
(ξ̂(1) + ξ̂(2)),
1
2
(ξ̂(1) + ξ̂(2)),
1
2
(ξ̂(3) + ξ̂(4)),
1
2
(ξ̂(3) + ξ̂(4)), . . .
)
— общее реше-
ние однородного уравнения Qx = 0, вектор col
(
η(1)
2
,−η
(1)
2
,
η(3)
2
,−η
(3)
2
, . . .
)
— един-
ственное частное решение операторного уравнения (16).
1. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов.
— Кишинев: Штиинца, 1973. — 426 с.
2. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalised inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
3. Moore E. H. On the reciprocal of the general algebraic matrix (Abstract) // Bull. Amer. Math. Soc. — 1920.
— № 26. — P. 394 – 395.
4. Penrose R. A Generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1955. — 51, № 3. — P. 406 –
413.
5. Пытьев Ю. П. Псевдообратный оператор. Свойства и применения // Мат. сб. Нов. сер. — 1982. — 118,
№ 1. — C. 19 – 49.
6. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 587 с.
7. Садовничий В. А. Теория операторов. — 2-е изд. — М.: Изд-во Мос. гос. ун-та, 1986. — 368 с.
8. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
9. Sobczyk A. Projections in Minkowski and Banach spaces // Duke Math. J. — 1941. — № 8. — P. 78 – 106.
10. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с.
11. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем. — Киев:
Наук. думка, 1978. — 218 с.
12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
Получено 30.03.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
|