Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту
С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных с кратной точкой поворота асимптотически приводится к интегрируемой системе уравнений....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175594 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту / I.Г. Ключник // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 178-193. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175594 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755942021-02-02T01:29:16Z Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту Ключник, I.Г. С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных с кратной точкой поворота асимптотически приводится к интегрируемой системе уравнений. Using a transformation matrix, a differential system with a small parameter at the partial derivatives terms and a multiple turning point is asymptotically reduced to an integrable system. 2012 Article Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту / I.Г. Ключник // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 178-193. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175594 517.928 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных с кратной точкой поворота асимптотически приводится к интегрируемой системе уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Ключник, I.Г. |
| spellingShingle |
Ключник, I.Г. Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту Нелінійні коливання |
| author_facet |
Ключник, I.Г. |
| author_sort |
Ключник, I.Г. |
| title |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту |
| title_short |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту |
| title_full |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту |
| title_fullStr |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту |
| title_full_unstemmed |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту |
| title_sort |
лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175594 |
| citation_txt |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту / I.Г. Ключник // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 178-193. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT klûčnikig linijnasistemadiferencialʹnihrivnânʹzkratnoûtočkoûzvorotu |
| first_indexed |
2025-07-15T12:54:25Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:54:25Z |
| _version_ |
1837717589576384512 |
| fulltext |
УДК 517.928
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З КРАТНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ
I. Г. Ключник
Кiровоград. держ. пед. ун-т iм. В. Винниченка
Україна, 25006, Кiровоград, вул. Шевченка, 1
e-mail: Klyuchnyk.I@mail.ru
Using a transformation matrix, a differential system with a small parameter at the partial derivatives terms
and a multiple turning point is asymptotically reduced to an integrable system.
С помощью матрицы преобразования система дифференциальных уравнений с малым парамет-
ром при части производных с кратной точкой поворота асимптотически приводится к интег-
рируемой системе уравнений.
У роботах [1 – 9] запропоновано методи формального спрощення для сингулярно збуре-
ної лiнiйної системи диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту. Лiнiйну систе-
му диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з точкою зворо-
ту першого порядку вперше розглянуто в [10], де запропоновано асимптотичний метод
її iнтегрування. В [11] розроблено асимптотичний метод iнтегрування системи лiнiйних
диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних (p + 2)-го порядку,
яка мiстить кратну точку звороту. У [12] для системи диференцiальних рiвнянь з малим
параметром при частинi похiдних з лiнiйним вiдхиленням аргументу i точкою звороту
одержано умови, при яких її розв’язки є розв’язками сингулярно збуреної системи дифе-
ренцiальних рiвнянь з малим параметром без вiдхилення аргументу. При цьому передба-
чається, що матрицi заданої системи диференцiальних рiвнянь мають асимптотичнi роз-
винення при |ε| ≤ ε0 з коефiцiєнтами, голоморфними при |x| ≤ x0. За допомогою отри-
маної системи доведено iснування i нескiнченну диференцiйовнiсть розв’язкiв початкової
системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних i лiнiйним
вiдхиленням аргументу за наявностi точки звороту.
У данiй статтi будемо розглядати систему лiнiйних диференцiальних рiвнянь з малим
параметром при частинi похiдних з кратною точкою звороту (p + m)-го порядку, m > 2,
для якої одержано асимптотичний метод iнтегрування.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь вигляду
y′ = A(x)y +A1(x)y1,
(1)
εy′1 = (B(x) + εB1(x))y1 + εB2(x)y,
де y ∈ Rp, y1 ∈ Rm, m — парне додатне число, A(x), A1(x), B1(x), B2(x) — матрицi
вiдповiдних порядкiв, голоморфнi при
|x| ≤ x0, (2)
c© I. Г. Ключник, 2012
178 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З КРАТНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 179
B(x) — матриця вигляду
B(x) = xqI1 +N, (3)
де q ≥ 2 — цiле число, таке, що ql не дiлиться на m, l = 1,m− 1; I1 — (m×m)-матриця з
єдиним ненульовим елементом {I1}m1 = 1, N — нiльпотентна клiтина Жордана. Будемо
вважати, що
trB1(x) = trA(x) ≡ 0. (4)
За допомогою перетворення
(
y
y1
)
= Φ(x, ε)
(
u
v
)
систему (1) зведемо до вигляду
u′ =
(
q−1∑
i=0
Ci(ε)x
i
)
v, (5)
εv′ = (B(x) + εB3(x, ε)) v + ε
(
q−1∑
i=0
Di(ε)x
i
)
u, (6)
де
Φ(x, ε) =
U(x) +
∞∑
n=1
εnUn(x)
∞∑
n=1
εnVn1(x)
∞∑
n=1
εnUn1(x) V (x) +
∞∑
n=1
εnVn(x)
, (7)
Ci(ε) =
∞∑
n=0
εnCin, Di(ε) =
∞∑
n=0
εnDin, B3(x, ε) =
∞∑
n=0
B3n(x)εn, (8)
Cin, Din, B3n(x) — матрицi розмiрностей p×m,m×p, m×m вiдповiдно, ненульовi елемен-
ти яких визначаються з рiвностей cijn = {Cin}j1, dijn = {Din}1j , bnr(x) = {B3n(x)}m,r,
j = 1, p, r = 1,m− 1, i = 0, q − 1.
З (1), (5), (6) випливає, що Φ(x, ε) задовольняє диференцiальне рiвняння
εΦ′ + Φ
0 ε
(
q−1∑
i=0
Ci(ε)x
i
)
ε
(
q−1∑
i=0
Di(ε)x
i
)
B(x) + εB3(x, ε)
=
(
εA(x) εA1(x)
εB2(x) B(x) + εB1(x)
)
Φ. (9)
Пiдставляючи (7) у (9), отримуємо таку систему рiвнянь для коефiцiєнтiв розвинень (7):
U ′(x) +
∞∑
n=1
εnU ′n(x) +
( ∞∑
n=1
εnVn1(x)
) (
q−1∑
i=0
Di(ε)x
i
)
=
= A(x)U(x) +A(x)
∞∑
n=1
εnUn(x) +A1(x)
∞∑
n=1
εnUn1(x),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
180 I. Г. КЛЮЧНИК
∞∑
n=1
εnV ′n1(x) + U(x)
q−1∑
i=0
Ci(ε)x
i +
( ∞∑
n=1
εnUn(x)
) (
q−1∑
i=0
Ci(ε)x
i
)
+
∞∑
n=1
εn−1V ′n1(x)B(x)+
+
∞∑
n=1
εnVn1(x)B3(x, ε) = A(x)
∞∑
n=1
εnVn1(x) +A1(x)V (x) +A1(x)
∞∑
n=1
εnVn(x),
(10)
∞∑
n=1
εnU ′n1(x) + V (x)
q−1∑
i=0
Di(ε)x
i +
( ∞∑
n=1
εnVn(x)
) (
q−1∑
i=0
Di(ε)x
i
)
=
= B2(x)U(x) +B2(x)
∞∑
n=1
εnUn(x) +B(x)
∞∑
n=1
εn−1Un1(x) +B1(x)
∞∑
n=1
εnUn1(x),
εV ′(x) + ε
∞∑
n=1
εnV ′n(x) + ε
( ∞∑
n=1
εnUn1(x)
) (
q−1∑
i=0
Ci(ε)x
i
)
+
+ V (x)B(x) + εV (x)B3(x, ε) +
∞∑
n=1
εnVn(x)B(x) + ε
∞∑
n=1
εnVn(x)B3(x, ε) =
= εB2(x)
∞∑
n=1
εnVn1(x) +B(x)V (x) + εB1(x)V (x)+
+B(x)
∞∑
n=1
εnVn(x) + εB1(x)
∞∑
n=1
εnVn(x).
Зрiвнюючи в (10) коефiцiєнти при нульовому степенi ε i враховуючи (8), маємо
U ′(x) = A(x)U(x), (11)
U(x)
q−1∑
i=0
Ci0(ε)x
i + V11(x)B(x) = A1(x)V (x), (12)
V (x)
q−1∑
i=0
Di0(ε)x
i = B2(x)U(x) +B(x)U11(x), (13)
V (x)B(x) = B(x)V (x). (14)
Iз рiвнянь (11) i (14) знаходимо
U(x) = Ωx
0(A(x)), V (x) = q0m(x)I +
m−1∑
r=1
q0r(x)Bm−r(x), (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З КРАТНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 181
де Ωx
0(A(x)) — матрицант рiвняння (11), q0i(x), i = 1,m, — довiльнi голоморфнi в областi
(2) функцiї, I — одинична матриця.
Для визначення q0i(x), i = 1,m, використаємо систему рiвнянь, що одержується з (10)
в результатi прирiвнювання коефiцiєнтiв при першому степенi ε :
U ′1(x) + V11(x)
q−1∑
i=0
Di0(ε)x
i = A(x)U1(x) +A1(x)U11(x), (16)
V ′11(x) + U(x)
q−1∑
i=0
Ci1(ε)x
i + U1(x)
q−1∑
i=0
Ci0(ε)x
i + V21(x)B(x)+
+ V11(x)B30(x) = A(x)V11(x) +A1(x)V1(x), (17)
U ′11(x) + V (x)
q−1∑
i=0
Di1(ε)x
i + V1(x)
q−1∑
i=0
Di0(ε)x
i =
= B2(x)U1(x) +B(x)U21(x) +B1(x)U11, (18)
V ′(x) + V (x)B30(x) + V1(x)B(x) = B1(x)V (x) +B(x)V1(x). (19)
Для iснування розв’язку рiвняння (19) необхiдно i достатньо виконання умов
tr ((V ′(x) + V (x)B30(x)−B1(x)V (x))Bk(x)) ≡ 0, k = 0,m− 1, (20)
де B0 = I. Пiдставляючи в умови (20) функцiї V (x) i V ′(x) з (15) i враховуючи спiввiдно-
шення
tr ((Bn−r(x))′Bk(x)) = (n− r)tr (Bn−r−1+k(x)B′(x)),
маємо
q′0m(x) trBk(x) +
m−1∑
r=1
trBm−r+k(x)q′0r(x) = q0m(x)tr(B1(x)Bk(x))+
+
m−1∑
r=1
q0r(x) tr (B1(x)Bm−r+k(x))− (q0m(x) tr (B30(x)Bk(x))+
+
m−1∑
r=1
q0r(x) tr (Bm−r(x)B30(x)Bk(x))+
+
m−1∑
r=1
q0r(x)(m− r) tr (Bm−r−1+k(x)B′(x))), k = 0,m− 1. (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
182 I. Г. КЛЮЧНИК
Можна довести виконання наступних спiввiдношень:
trBj(x) =
0, якщо 1 ≤ j ≤ m− 1,
mxq, якщо j = m,
0, якщо m < j ≤ 2m− 2,
(22)
tr (Bj(x)B′(x)) =
0, якщо 1 ≤ j ≤ m− 2,
qxq−1, якщо j = m− 1,
0, якщо m ≤ j ≤ 2m− 2,
(23)
tr (B30(x)Bj(x)) =
{
b0,m−j , якщо 0 ≤ j ≤ m− 1,
xqb0,m, якщо j = m,
(24)
tr (Br(x)B30(x)Bk(x)) = tr (B30(x)Br+k(x)), r, k = 0,m− 1,
tr (B30(x)Bm+j(x)) = xqtr (B30(x)Bj(x)), j = 0,m− 2, (25)
tr (B1(x)Bm+i(x)) = xqtr (B1(x)Bi(x)), i = 0,m− 2.
Враховуючи спiввiдношення (22), умови (21) запишемо у виглядi матричного рiвняння
S(x)q′0(x) = T (x)q0(x), (26)
де q0(x) —m-вимiрний вектор з елементами q0i(x), i = 1,m, а ненульовi елементи матрицi
S(x) i елементи матрицi T (x) визначаються за формулами
{S(x)}21 = {S(x)}32 = . . . = {S(x)}m,m−1 = mxq, {S(x)}1m = m,
{T (x)}kr = tr ((m− r)Bm−r+k−2
0 (x)B′0(x)−Bm−r
0 (x)B30(x)Bk−1
0 (x) +B1(x)Bm−r+k−1
0 (x)),
k = 1,m, r = 1,m.
Помноживши обидвi частини рiвняння (26) злiва на матрицю B(x) i використавши
спiввiдношення (23) – (25), дiстанемо
B(x)S(x)q′0(x) = B(x)T (x)q0(x),
де
B(x)S(x) = mxqI, (27)
B(x)T (x) =
−(m− 1)qxq−1 am−1(x)− b01(x) . . . a1(x)− b0,m−1(x)
xq(a1(x)− b0,m−1(x)) −(m− 2)qxq−1 . . . a2(x)− b0,m−2(x)
. . . . . . . . .
xq(am−2(x)− b02(x)) xq(am−3(x)− b03(x)) . . . am−1(x)− b01(x)
xq(am−1(x)− b01(x)) xq(am−2(x)− b02(x)) . . . 0
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З КРАТНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 183
aj(x) = tr (B1(x)B′(x)), j = 0,m− 1, b0i = {B30(x)}mi, i = 1,m− 1.
Покладемо
b0i(x) =
q−2∑
r=0
b0irx
r, i = 1,m− 1,
де b0i0 = am−i(0), b0ir =
a
(r)
m−i(0)
r!
, r = 1, q − 2, i = 1,m− 1, a
(r)
m−1(0) — r-та похiдна функцiї
am−i(x) у точцi x = 0. Тодi одержимо
am−i(x)− b0i(x) = xq−1ki(x), i = 1,m− 1, ki(x) =
∞∑
r=q−1
xr−q+1a
(r)
m−i(0)
r!
. (28)
Врахувавши (27) i (28), рiвняння (26) запишемо у виглядi
xq′0(x) = H(x)q0(x), (29)
де H(x) =
1
m
B(x)T (x). Згiдно з (28) матриця H(x) має вигляд
H(x) =
1
m
−(m− 1)q k1(x) . . . km−2(x) km−1(x)
xkm−1(x) −(m− 2)q . . . km−3(x) km−2(x)
. . . . . . . . . . . . . . .
xk2(x) xk3(x) . . . −q k1(x)
xk1(x) xk2(x) . . . xkm−1 0
. (30)
Iз (30) випливає, що матриця H(0) має власнi значення λi = −(m− i)q
m
, i = 1,m. Оскiль-
ки q(m − i) не дiлиться на m, то з [1] випливає, що система (29) має ненульовий голо-
морфний в областi (2) розв’язок, який залежить вiд значень q0m(0). Поклавши q0m(0) =
= 1, однозначно визначимо розв’язок q0(x) рiвняння (29). Пiдставивши знайдену функ-
цiю V (x) у виглядi (15) у рiвняння (12), (13), одержимо рiвняння для визначення Ci0, Di0,
i = 0, q − 1, U11(x), V11(x).Помноживши обидвi частини (12) справа на матрицюBm−1(x),
а (13) злiва на Bm−1(x), дiстанемо
xqV11(x) = F (x), xqU11(x) = G(x), (31)
де
F (x) = A1(x)V (x)B(x)− U(x)
(
q−1∑
i=0
Ci0x
i
)
B(x),
G(x) = B(x)V (x)
q−1∑
i=0
Di0x
i −B(x)B2(x)U(x).
Матрицю C00 будемо знаходити з рiвностi F (0) = 0, з якої випливає, що
C00B(0) = A1(0)V (0)B(0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
184 I. Г. КЛЮЧНИК
З покоординатного запису останнього рiвняння знайдемо
{C00}j1 = {A1(0)V (0)}j1, {C00}jn = 0, j = 1, p, n = 2,m.
З явного вигляду матрицi F (x) знайдемо i-ту похiдну матрицi F (x) у виглядi
diF (x)
dxi
= (A1(x)V (x))(i)B(x) +
i−1∑
k=0
Ck
i (A1(x)V (x))(k)B(i−k)(x)−
−
q−1∑
j=0
xjU(x)Cj0
(i)
B(x)−
i−1∑
k=0
Ck
i
q−1∑
j=0
xjU(x)Cj0
(k)
B(i−k)(x), (32)
де B(k)(x) — k-та похiдна матрицi B(x), Ck
i — число сполук з i елементiв по k. Записавши
i-ту похiдну добутку степеневої функцiї i матрицi U(x) та виконавши перенумерування, а
потiм згрупувавши доданки при xj : окремо при j = 0, q − 1− i i j = q − i, q − 1, одержи-
мо q−1∑
j=0
xjU(x)Cj0
(i)
=
q−1∑
j=0
xjU (i)(x)Cj0+
+
i∑
k=1
q−1∑
j=k
Ck
i j(j − 1) . . . (j − k + 1)xj−kU (i−k)(x)Cj0
=
=
q−1∑
j=0
xjU (i)(x)Cj0 +
i∑
k=1
q−1−k∑
j=0
Ck
i (j + k)(j + k − 1) . . . (j + 1)xjU (i−k)(x)Cj+k,0 =
=
q−1−i∑
j=0
(
U (i)(x)Cj0 +
i∑
k=1
Ck
i (j + k)(j + k − 1) . . . (j + 1)U (i−k)(x)Cj+k,0
)
xj+
+
i−1∑
s=0
xq−i+s
(
U (i)(x)Cq−i+s,0 +
i−1−s∑
k=1
Ck
i (q − i+ s+ k)(q − i+ s+ k − 1)× . . .
. . .× (q − i+ s+ 1)U (i−k)(x)Cq−i+s+k,0
)
.
Пiдставивши знайдену похiдну в (32) i поклавши в одержанiй рiвностi x = 0, а також
використавши те, що B(s)(0) = 0 при s ≥ 1, дiстанемо
diF (0)
dxi
= i!
(
di(A1(x)V (x))
dxi
|x=0B(0)−
i−1∑
k=0
1
(i− k)!
U (i−k)(0)Ck0B(0)− U(0)Ci0B(0)
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З КРАТНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 185
Матрицi Ci0, i = 1, q − 1, будемо знаходити з рiвностi
diF (0)
dxi
= 0. Використавши
значення
diF (0)
dxi
, будемо мати
Ci0B(0) =
di(A1(x)V (x))
dxi
∣∣∣∣
x=0
B(0)−
i−1∑
k=0
1
(i− k)!
U (i−k)(0)Ck0B(0).
З покоординатного запису останнього рiвняння знайдемо Ci0, i = 1, q − 1 :
{Ci0}j1 =
{
di(A1(x)V (x))
dxi
|x=0 −
i−1∑
k=0
1
(i− k)!
U (i−k)(x)Ck0
}
j1
,
{Ci0}jn = 0, j = 1, p, n = 2,m.
Матрицi D00, Di0, i = 1, β − 1, будемо знаходити вiдповiдно з рiвностей G(0) = 0,
diG(0)
dxi
= 0. Використавши явний вигляд матрицi G(x) i знайшовши
diG(0)
dxi
, одержимо
рiвняння
B(0)V (0)D00 = B(0)B2(0)U(0),
B(0)Di0 = B(0)
i−1∑
k=0
1
(i− k)!
V (i−k)(0)Dk0 −B(0)
di(B2(x)U(x))
dxi
∣∣∣∣
x=0
,
з покоординатного запису яких дiстанемо Di0, i = 0, q − 1 :
{D00}mj = {B2(0)U(0)}mj , {D00}nj = 0,
{Di0}mj =
{
i−1∑
k=0
1
(i− k)!
V (i−k)(0)Dk0 −
di(B2(x)U(x))
dxi
∣∣∣∣
x=0
}
mj
,
{Di0}nj = 0, j = 1, p, n = 1,m− 1.
Завдяки вибору Ci0, Di0, i = 0, q − 1, матрицi F (x) i G(x) можна подати у виглядi
F (x) = xqF̃ (x), G(x) = xqG̃(x),
де F̃ (x) =
∑∞
k=q
F (k)(0)
k!
xk−q, G̃(x) =
∑∞
k=q
G(k)(0)
k!
xk−q. Тодi з рiвнянь (31) знайдемо
V11(x) = F̃ (x), U11(x) = G̃(x).
Безпосередньою перевiркою можна переконатися, що знайденi з рiвнянь (31) матрицi
Ci0, Di0, V11(x), U11(x), i = 0, q − 1, є розв’язками рiвнянь (12), (13).
Таким чином, знайдено коефiцiєнти розвинень (7), (8) при ε в нульовому степенi.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
186 I. Г. КЛЮЧНИК
Для знаходження коефiцiєнтiв розвинень (7), (8) при ε у першому степенi маємо сис-
тему рiвнянь (16) – (19). З рiвняння (16), поклавши U1(0) = 0, знайдемо матрицю U1(x) у
виглядi
U1(x) =
x∫
0
Ωx
t (A(t))
(
A1(t)U11(t)− V11(t)
q−1∑
i=0
Di0t
i
)
dt. (33)
Запишемо рiвняння (19) у виглядi
B(x)V1(x)− V1(x)B(x) = F1(x), (34)
де F1(x) = V ′(x) + V (x)B30(x)−B1(x)V (x), trF1(x) ≡ 0, trF1(x)B(x) ≡ 0.
Загальний розв’язок цього рiвняння визначається за формулою
V1(x) = q1m(x)I +
m−1∑
r=1
q1r(x)Bm−r(x) +W1(x), (35)
де W1(x) — його частинний розв’язок.
Зрiвнюючи коефiцiєнти в останньому рiвняннi (10) при другому степенi параметра ε,
отримуємо
B(x)V2(x)− V2(x)B(x) = V ′1(x)−B1(x)V1(x) + (V (x)B31(x) + F2(x)), (36)
де F2(x) = U11(x)
∑q−1
i=0 Ci0x
i + V1(x)B30(x)−B2(x)V11(x).
З умови iснування розв’язку рiвняння (36)
tr ((V ′1(x)−B1(x)V1(x))Bk(x)) = −tr ((V (x)B31(x) + F2(x))Bk(x)), k = 0,m− 1,
маємо систему рiвнянь для визначення q1i(x), i = 1,m :
S(x)q′1(x) = T (x)q1(x) + f(x), (37)
де q1(x) — m-вимiрний вектор з компонентами q1i(x), i = 1,m, а компоненти вектора
f(x) визначаються за формулами {f(x)}k = fk−1(x) − tr (V (x)B31(x)Bk−1(x)), fk−1(x) =
= −tr (W1(x)Bk−1(x)) + tr (B1(x)W1(x)Bk−1(x))− tr (F2(x)Bk−1(x)), k = 1,m.
Завдяки голоморфностi fk−1(x), q0i(x) i вибору q0m(0) = 1 цi функцiї можна подати у
виглядi
fk−1(x) =
q−2∑
s=0
f
(s)
k−1(0)
s!
xs + xq−1f̃k−1(x), k = 1,m,
q0m(x) = 1 +
q−2∑
s=1
q
(s)
0m(0)
s!
+ xq−1q̃0m(x), (38)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З КРАТНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 187
q0i(x) =
q−2∑
s=0
q
(s)
0i (0)
s!
+ xq−1q̃0i(x), i = 1,m− 1.
Використавши спiввiдношення
tr (V (x)B31(x)Bj(x)) =
m−j∑
s=1
b1s(x)q0,s+j(x) + xq
m−1∑
s=m−j+1
b1s(x)q0,s−m+j(x), j = 0,m− 1,
компоненти вектора f(x) запишемо таким чином:
{f(x)}k = fk−1(x)−
m−k∑
s=1
b1s(x)q0,s+k−1(x)− b1,m−k+1(x)q0m(x)−
− xq
m−1∑
s=m−k+2
b1s(x)q0,s−m+k−1(x), k = 1,m. (39)
Покладемо
b1,m−k+1(x) =
q−2∑
i=0
xib1,m−k+1,i, k = 2,m, (40)
де b1,m−k+1,i, k = 2,m, i = 0, q − 2, визначаються за формулами
b1,m−k+1,i =
f
(i)
k−1(0)
i!
−
i−1∑
r=0
q
(i−r)
0m (0)b1,m−k+1,r
(i− r)!
−
−
m−k∑
s=1
(
i∑
r=0
q(i−r)0,s+k−1(0)b1sr
(i− r)!
)
, k = 2,m, i = 0, q − 2. (41)
Пiдставляючи (38), (40) у (39), а потiм використовуючи (41), одержуємо рiвнiсть
{f(x)}k = xq−1s̃k(x), k = 2,m, (42)
де
s̃k(x) = f̃k−1(x)−
m−k+1∑
s=1
q−2∑
r=1
q−2∑
n=r
q(n)0,s+k−1(0)b1,s,q−r−n
n!
+q̃0,s+k−1(x)b1s(x)
, k = 2,m.
Домножаючи систему (37) злiва на матрицю B(x) i враховуючи (42), маємо
xq′1(x) = H(x)q1(x) + F̃ (1)(x), (43)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
188 I. Г. КЛЮЧНИК
де F̃ (1)(x) — голоморфна вектор-функцiя, елементи якої
{F̃ (1)(x)}i = s̃i+1(x), {F̃ (1)(x)}m = x{f(x)}1, i = 1,m− 1.
Система рiвнянь (43) має голоморфний розв’язок в областi (2) такий, що q1m(0) = 0.
Матрицi V21(x), U21(x), Ci1, Di1, i = 0, q − 1, однозначно визначаються з рiвнянь (17) i
(18), якщо в них пiдставити знайденi функцiї U1(x), V1(x) з формул (33), (35).
Можна довести, що за вказаним алгоритмом однозначно визначаються довiльнi ко-
ефiцiєнти розвинень (7), (8) i коефiцiєнти розвинень (7) є голоморфними функцiями в
областi (2).
Розглянемо (7) при ε = 0. Враховуючи явний вигляд (15) матрицi V (x), приходимо до
висновку, що похiдна вiд визначника цiєї матрицi має вигляд (detV (x))′ =
∑m
j=1 Ĩj , де Ĩj
— визначник матрицi V (x), по j-му рядку якого взято похiдну.
Запишемо рiвняння (26) покоординатно:
mq′0m(x) = xq−1
m−1∑
r=1
km−r(x)q0,r(x),
(44)
mxqq′0,j−1(x) = xq−1
xq j−2∑
r=1
xkj−r−1(x)q0r(x) +
m∑
r=j
km−r+j−1(x)q0,r(x)
+
+ xq−1(xa0(x)− (m− j + 1)q)q0,j−1(x), j = 2,m.
В одержаних визначниках Ĩj виконаємо наступнi перетворення при x 6= 0. А саме, у ви-
значнику Ĩj , j = 1,m− 1, j-й рядок помножимо на mx i скористаємося (44). В одержа-
ному визначнику i-й рядок при i = 1, j − 1 помножимо на −xqkj−i(x), а i-й рядок при
i = j + 1,m — на −kj+m−i(x) i додамо до j-го рядка, а потiм запишемо цей визначник у
виглядi суми двох визначникiв. У визначнику Ĩm m-й рядок помножимо на m i скористає-
мося (44). В одержаному визначнику j-й рядок помножимо на−xq−1km−j(x), j = 1,m− 1,
i додамо до m-го рядка. В результатi дiстанемо
Ĩj =
a0(x)
m
detV (x) +
1
mx
detLj , Ĩm =
a0(x)
m
detV (x) +
1
m
detLm, (45)
де
j = 1,m− 1, {Lj}ki = {V (x)}ki, k = 1,m, k 6= j,
{Lj}ji =
{
(j − i)xq0,j−i(x), i = 1, j,
(j − i)q0,j+m−i, i = j + 1,m,
{Lm}mi = (m− i)q0,m−i(x), i = 1,m.
Пiдставивши (45) у (detV (x))′ i врахувавши, що
∑m
j=1 detLj = 0, одержимо рiвнiсть
(detV (x))′ = (trB1(x)) detV (x). Таким чином, det Φ0(x) ≡ 1 для кожного x з областi (2).
За допомогою замiни u = V (ε)ω систему (5), (6) зводимо до вигляду
ω′1 =
q−1∑
i=0
ci1(ε)x
iv1, ω′j = −
q−1∑
i=0
xi
q−1∑
k=0, k 6=i
γkj(ε)ci1(ε)
v1, j = 2, p, (46)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З КРАТНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 189
εv′ = (B0(x) + εB3(x, ε))v + ε
(
q−1∑
i=0
Di(ε)x
i
)
V (ε)ω, (47)
де cij = {Ci(ε)}j1, j = 1, p; V (ε) — (p× p)-матриця з дiагональними елементами, рiвними
одиницi, у якiй {V (ε)}j1 =
∑q−1
i=0 γij(ε), j = 2, p, γij(ε) =
cij(ε)
ci1(ε)
за умови, що ci1(ε) 6= 0.
Пiдсумовуючи наведенi викладки, можемо сформулювати таку теорему.
Теорема. Нехай матрицi у правiй частинi системи рiвнянь (1) голоморфнi в облас-
тi (2). Тодi iснують формальнi ряди (7), (8), коефiцiєнти яких голоморфнi в областi
(2), такi, що det Φ0(x) ≡ 1 i формальне перетворення з матрицею замiни вигляду (7)
приводить систему (1) до системи (46), (47).
Розглянемо систему рiвнянь (46), (47). Iз (46) знаходимо
ω1 = ω
(0)
1 +
q−1∑
i=0
ci1(ε)
x∫
0
tiv1(t) dt, (48)
ωj = ω
(0)
j −
q−1∑
i=0
x∫
0
tiv1(t) dt
q−1∑
k=0
k 6=i
γkj(ε)ci1(ε)
, j = 2, p,
де ω(0)
j , j = 1, p, — довiльнi сталi.
Використовуючи зображення (8) для матрицi B3(x, ε), явний вигляд B3n(x) та змiню-
ючи порядок пiдсумовування, матрицю B3(x, ε) подамо у виглядi
B3(x, ε) =
q−2∑
i=0
B3i(ε)x
i, (49)
де B3i(ε) =
∑∞
n=0 ε
nB3ni, B3ni =
B
(i)
3n(0)
i!
, i = 0, q − 2.
Пiдставляючи (48), (49) у (47), знаходимо
εmv
(m)
1 = xqv1 +
m−1∑
s=1
(
q−2∑
i=0
εsxibsi(ε)v
(s−1)
1
)
+ ε
q−1∑
i=0
µi(ε)x
i+
+ ε
q−1∑
j=0
(
q−1∑
i=0
m
(j)
i (ε)xi
) x∫
0
tjv1(t) dt, (50)
де
bsi(ε) = {B3i(ε)}ms, d̃i(ε) = (di(ε), di2(ε) . . . dip(ε)), dis(ε) = {Di(ε)}ms, s = 1, p,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
190 I. Г. КЛЮЧНИК
ω(0) =
ω
(0
1
. . .
ω
(0)
p
, µi(ε) = d̃i(ε)ω
(0), di(ε) = di1(ε) +
p∑
s=2
q−1∑
k=0
γks(ε)dis(ε),
m
(j)
i (ε) = cj1(ε)
di(ε)− p∑
s=2
q−1∑
k=0
k 6=j
γks(ε)
dis(ε)
, i = 0, q − 1, j = 0, q − 1.
Знайдемо частинний розв’язок рiвняння (50), поклавши
v1(0) = 0, v′1(0) = 0, . . . , v
(m−1)
1 (0) = 0. (51)
Взявши v1(x) у виглядi степеневого ряду
v1(x) =
∞∑
n=m
vnx
n, (52)
для коефiцiєнтiв цього ряду одержимо рiвняння
vm =
λm−1
m!
, vm+1 =
λm−1
(m+ 1)!
, λ =
1
ε
, (53)
vn =
λm
n(n− 1) . . . (n−m+ 1)
vn−m−q + εµn−m(ε) + ε
n−m−1∑
j=0
n−m−1∑
i=0
m
(j)
i (ε)vn−m−1−i−j
n−m− i
+
+
m−1∑
s=2
n−m∑
i=0
εsbsi(ε)vn−m+s−1−i(n−m+ s− 1− i) . . . (n−m+ 1− i)+
+ ε
n−m∑
i=0
b1i(ε)vn−m−i
)
, n ≥ m+ 2, (54)
де µi(ε) = 0 при i > q − 1, bsi(ε) = 0 при i > q − 2, m
(j)
i = 0 при j > q − 1 чи i > q − 1.
Рiвнiсть (54) запишемо таким чином:
vn =
n∑
j=2
Aj
nvn−j +An−mµn−m(ε), n ≥ m+ 2, (55)
де
Aj
n =
λm−1bjn(n−m)!
n!
, An−m =
λm−1(n−m)!
n!
, (56)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З КРАТНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 191
bjn = b1,j−m(ε)+
m−2∑
s=1
εsbs+1,j−m+s(ε)(n−j)(n−j−1) . . . (n−j− (s−1))+
n−m−1∑
l=0
m
(l)
j−l−1−m(ε)
n− j + l + 1
при j 6= m+ q i j = 2, n,
bm+q
n = λ+ b1q(ε) +
m−2∑
s=1
εsbs+1,q+s(ε)(n−m− q)(n−m− q − 1) . . . (n−m− q − (s− 1))+
+
n−m−1∑
l=0
m
(l)
q−l−1(ε)
n+ l + 1−m− q
.
Використавши (51), (53), (55), виразимо vn через vm i vm+1. Тодi
vn =
1∑
s=0
∑
i
∑
j1+...+ji=n−(m+s)
j1...ji≥2
Aj1
n A
j2
n−j1 . . . A
ji
n−j1−...−ji−1
vm+s+
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−m
j1...ji≥2
Aj1µj1(ε)Aj2
n . . . Aji
n−j2−...−ji−1
. (57)
Пiдставивши у (57) значення Aj
n, Aj , vm, vm+1 з формул (53), (56), розв’язок (52) рiвняння
(50) одержимо у виглядi
v1(x) =
λm−1xm
m!
(
1 +
x
m+ 1
)
+
+
∞∑
n=m+2
(
1∑
s=0
∑
i
∑
j1+...+ji=n−(m+s)
j1...ji≥2
bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
(m+ s)!n!
×
× (n−m)!(n−m− j1)! . . . (n−m− j1 − . . .− ji−1)!λ(i+1)(m−1)
(n− j1)! . . . (n− j1 − . . .− ji−1)!
+
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−m
j1...ji≥2
j1!µj1(ε)bj2n b
j3
n−j2 . . . b
ji
n−j2−...−ji−1
λi(m−1)
(j1 +m)!n!
×
× (n−m)!(n−m− j2)! . . . (n−m− j2 − . . .− ji−1)!
(n− j2)! . . . (n− j2 − . . .− ji−1)!
)
xn. (58)
Розглянемо однорiдне рiвняння
εmv
(m)
1 = xqv1 +
m−1∑
s=1
(
q−2∑
i=0
εsxibsi(ε)v
(s−1)
1
)
+ ε
q−1∑
j=0
(
q−1∑
i=0
m
(j)
i (ε)xi
) x∫
0
tjv1(t) dt. (59)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
192 I. Г. КЛЮЧНИК
Знайдемоm лiнiйно незалежних розв’язкiв цього рiвняння: k-й лiнiйно незалежний розв’я-
зок рiвняння (59) шукаємо у виглядi ряду
v1(x) = vkx
k +
∞∑
n=m
vnx
n, k = 0,m− 1, (60)
задаючи такi початковi умови:
v1(0) = 0, v′1(0) = 0, . . . , v
(k−1)
1 (0) = 0, v
(k)
1 (0) = 1, v
(k+1)
1 (0) = 0, . . . , v
(m−1)
1 (0) = 0, (61)
k = 0,m− 1.
Пiдставивши (60) у (59), для коефiцiєнтiв vn ряду (60) одержимо рiвняння
vm =
λm−1bm+k
m
m!
, vm+1 =
λm−1bm+1−k
m+1
(m+ 1)!
,
(62)
vn =
n∑
j=2
Aj
nvn−j , n ≥ m+ 2, k = 0,m− 1.
З (62), (61) отримуємо спiввiдношення
vn =
1∑
s=0
∑
i
∑
j1+...+ji=n−(m+s)
j1...ji≥2
Aj1
n A
j2
n−j1 . . . A
ji
n−j1−...−ji−1
vm+s+
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−k
j1...ji−1≥2
ji≥m+2−k
Aj1
n A
j2
n−j1 . . . A
ji
n−j1−...−ji−1
, k = 0,m− 1. (63)
Пiдставивши в (63) значення Aj
n, vm, vm+1 з (56), (62), розв’язок (60) рiвняння (59) дiста-
немо у виглядi
v1(x) =
xk
k!
+
λm−1xm
m!
(
bm−km +
bm+1−k
m+1 x
m+ 1
)
+
+
∞∑
n=m+2
(
1∑
s=0
∑
i
∑
j1+...+ji=n−(m+s)
j1...ji≥2
bm−k+s
m+s bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
(m+ s)!n!
×
× (n−m)!(n−m− j1)! . . . (n−m− j1 − . . .− ji−1)!λ(i+1)(m−1)
(n− j1)! . . . (n− j1 − . . .− ji−1)!
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ЛIНIЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З КРАТНОЮ ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ 193
+
∑
i
∑
j1+...+ji=n−k
j1...ji−1≥2
ji≥m+2−k
bj1n b
j2
n−j1 . . . b
ji
n−j1−...−ji−1
λi(m−1)
n!
×
× (n−m)!(n−m− j1)! . . . (n−m− j1 − . . .− ji−1)!
(n− j1)! . . . (n− j1 − . . .− ji−1)!
)
xn. (64)
Iз розв’язкiв (58), (64) рiвнянь (50), (59) при k = 0,m− 1 отримаємо загальний розв’язок
рiвняння (50), а отже, i загальний розв’язок системи рiвнянь (46), (47).
Таким чином, у данiй статтi запропоновано асимптотичний метод iнтегрування лiнiй-
ної системи диференцiальних рiвнянь вигляду (1).
1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. —
М.: Мир, 1968. — 464 с.
2. Wasow W. Linear turning point theory. — New York Ins.: Springer, 1985. — 243 p.
3. Lee R. Y. On uniform simplification of linear differential equation in a full neighborhood of a turning point
// J. Math. Anal. and Appl. — 1969. — 27. — P. 501 – 510.
4. Hanson R. J. Reduction theorems for systems of ordinary differential equations with a turning point // J.
Math. Anal. and Appl. — 1966. — 16. — P. 280 – 301.
5. Hanson R. J., Russell D. L. Classification and reduction of second order systems at a turning point // J. Math.
and Phys. — 1967. — 46. — P. 74 – 92.
6. Sibuya Y. Uniform simplification in a full neighborhood of a transition point // Mem. Amer. Math. Soc. —
1974. — 149. — P. 3 – 106.
7. Kohno M., Ohkohchi S., Kohmoto T. On full uniform simplification of even order linear differential equations
with a parameter // Hiroshima Math. J. — 1979. — 9. — P. 747 – 767.
8. Nishimoto T. On an extension theorem and its application for turning point problems of large order // Kodai
Math. Sem. Rep. — 1973. — 25. — P. 458 – 489.
9. Turritin H. L. Stokes multipliers for asymptotic solutions of a central differential equation // Trans. Amer.
Math. Soc. — 1950. — 68. — P. 304 – 329.
10. Самойленко А. М. Об асимптотическом интегрировании одной системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром при части производных // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 11. —
С. 1505 – 1516.
11. Ключник I. Г. Асимптотичнi розв’язки системи диференцiальних рiвнянь з кратною точкою звороту //
Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 11. — C. 1516 – 1530.
12. Ключник I. Г., Завiзiон Г. В. Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi
похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту // Укр. мат. вiсн. — 2010. — 7, № 3. — С. 331 – 354.
Одержано 20.04.11,
пiсля доопрацювання — 04.11.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
|