О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича

Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв автономної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку в критичному випадку. Для побудови розв’язкiв нелiнiйної нетерової крайової задачi у критичному випадку запропоновано комбiновану iтерацiйну...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Чуйко, С.М., Бойчук, И.А., Пирус, О.Е.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2012
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175599
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича / С.М. Чуйко, И.А. Бойчук, О.Е. Пирус // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 274-289. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-175599
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1755992021-02-02T01:29:23Z О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича Чуйко, С.М. Бойчук, И.А. Пирус, О.Е. Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв автономної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку в критичному випадку. Для побудови розв’язкiв нелiнiйної нетерової крайової задачi у критичному випадку запропоновано комбiновану iтерацiйну схему, побудовану з використанням методу Ньютона – Канторовича i технiки найменших квадратiв. Ефективнiсть запропонованої технiки продемонстровано на прикладi аналiзу перiодичної задачi для рiвняння типу Льєнара. We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions of an autonomous Noether boundaryvalued problem for a system of ordinary second order differential equations in the critical case. For the construction of solutions of a nonlinear Noether boundary-valued problem in the critical case, we propose a scheme combining the Newton – Kantorovich method and the least squares technique. The effectiveness of the proposed method is demonstrated for the analysis of the periodic problem for a Lienard type equation. 2012 Article О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича / С.М. Чуйко, И.А. Бойчук, О.Е. Пирус // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 274-289. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175599 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв автономної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку в критичному випадку. Для побудови розв’язкiв нелiнiйної нетерової крайової задачi у критичному випадку запропоновано комбiновану iтерацiйну схему, побудовану з використанням методу Ньютона – Канторовича i технiки найменших квадратiв. Ефективнiсть запропонованої технiки продемонстровано на прикладi аналiзу перiодичної задачi для рiвняння типу Льєнара.
format	Article
author	Чуйко, С.М. Бойчук, И.А. Пирус, О.Е.
spellingShingle	Чуйко, С.М. Бойчук, И.А. Пирус, О.Е. О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича Нелінійні коливання
author_facet	Чуйко, С.М. Бойчук, И.А. Пирус, О.Е.
author_sort	Чуйко, С.М.
title	О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича
title_short	О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича
title_full	О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича
title_fullStr	О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича
title_full_unstemmed	О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича
title_sort	о приближенном решении автономной краевой задачи методом ньютона – канторовича
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175599
citation_txt	О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича / С.М. Чуйко, И.А. Бойчук, О.Е. Пирус // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 274-289. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT čujkosm opribližennomrešeniiavtonomnojkraevojzadačimetodomnʹûtonakantoroviča AT bojčukia opribližennomrešeniiavtonomnojkraevojzadačimetodomnʹûtonakantoroviča AT pirusoe opribližennomrešeniiavtonomnojkraevojzadačimetodomnʹûtonakantoroviča
first_indexed	2025-07-15T12:54:46Z
last_indexed	2025-07-15T12:54:46Z
_version_	1837717611735941120
fulltext	УДК 517.9 О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА – КАНТОРОВИЧА* С. М. Чуйко, И. А. Бойчук, О. Е. Пирус Славян. гос. пед. ун-т Украина, 84112, Славянск Донецкой обл., ул. Батюка, 19 We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions of an autonomous Noether boundary- valued problem for a system of ordinary second order differential equations in the critical case. For the construction of solutions of a nonlinear Noether boundary-valued problem in the critical case, we propose a scheme combining the Newton – Kantorovich method and the least squares technique. The effectiveness of the proposed method is demonstrated for the analysis of the periodic problem for a Lienard type equa- tion. Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв автономної нетерової крайо- вої задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку в критичному ви- падку. Для побудови розв’язкiв нелiнiйної нетерової крайової задачi у критичному випадку за- пропоновано комбiновану iтерацiйну схему, побудовану з використанням методу Ньютона – Канторовича i технiки найменших квадратiв. Ефективнiсть запропонованої технiки проде- монстровано на прикладi аналiзу перiодичної задачi для рiвняння типу Льєнара. 1. Постановка задачи. Исследуем задачу о построении решений [1 – 3] z(t, ε) : z(·, ε) ∈ C2[a, b(ε)], z(t, ·) ∈ C[0, ε0], b(·) ∈ C[0, ε0], автономной краевой задачи для системы уравнений второго порядка z′′ = Az +Bz′ + f + εZ(z, z′, ε), `z(·, ε) = α+ εJ(z(·, ε), z′(·, ε), ε). (1) Решения нетеровой (m 6= n) задачи (1) ищем в малой окрестности решения z0(t) : z0(·) ∈ C2[a, b∗], b∗ := b(0), порождающей задачи z′′0 = Az0 +Bz′0 + f, A,B ∈ Rn×n, f ∈ Rn, `z0(·) = α, α ∈ Rm. (2) Здесь Z(z, z′, ε) — нелинейная функция, непрерывно дифференцируемая по z и z′ в ок- рестности решения порождающей задачи и непрерывно дифференцируемая по малому параметру ε на отрезке [0, ε0]; `z(·, ε) — линейный и J(z(·, ε), ε) — нелинейный векторный функционалы `z(·, ε), J(z(·, ε), z′(·, ε), ε) : C[a, b(ε)] → Rm, причем второй функционал ∗ Выполнена при финансовой поддержке Фонда фундаментальных исследований Германии (DFG; номер регистрации GZ:436UKR 13/103/0-1) и Государственного фонда фундаментальных исследований Украины (номер государственной регистрации 0109U000381). c© С. М. Чуйко, И. А. Бойчук, О. Е. Пирус, 2012 274 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА – КАНТОРОВИЧА 275 непрерывно дифференцируем по z, z′ и по малому параметру ε в окрестности решения порождающей задачи и на отрезке [0, ε0]. Задача (2) является частным случаем неавтономной нетеровой краевой задачи, иссле- дованной в статье [4]. В критическом случае (PQ∗ 6= 0) при условии PQ∗ {α− `K[f ](·)} = 0 порождающая задача (2) имеет семейство решений [4] z0(t, cr) = Xr(t)cr +G[f ;α](t), Xr(t) = X(t)PQr , cr ∈ Rr. Здесь Q = `X(·) — (m × n)-матрица, rankQ = n1, n − n1 = r, PQ∗ — (m ×m)-матрица- ортопроектор PQ∗ : Rm → N(Q∗), X(t) — фундаментальная матрица однородной части дифференциальной системы (2); PQr — (n× r)-матрица, составленная из r линейно неза- висимых столбцов (n× n)-матрицы-ортопроектора PQ : Rn → N(Q); G[f ;α](t) = X(t)Q+ {α− `K[f ](·)}+K[f ](t) — обобщенный оператор Грина задачи (2),Q+− псевдообратная матрица по Муру – Пен- роузу [1],K[f ](t) — оператор Грина задачи Коши [4] для дифференциальной системы (2). Для упрощения выкладок предположим, что дифференциальная система (1) не содержит диссипативного членаBz′, либо его величина мала и слагаемоеBz′ может быть отнесено к нелинейности. В этом случае дифференциальная система (2) не содержит диссипатив- ного члена Bz′0, а оператор Грина задачи Коши принимает вид K[f ](t) = X(t) t∫ a Y (s)f ds, Y (t) := V −1(t) ( O In ) . Здесь V (t) — нормальная фундаментальная матрица системы V ′(t) = ( O In A 0 ) V (t), V (a) = I2n. В качестве фундаментальной матрицыX(t) однородной части дифференциальной систе- мы (2) используем блок матрицы V (t) : V (t) = ( X(t) X ′(t) ) . В критическом случае задача (1) существенно отличается от аналогичных неавтономных краевых задач; в отличие от последних правый конец b(ε) промежутка [a, b(ε)] неизвестен. Выполняя в задаче (1) замену переменной [2, 3] t = a+ (τ − a) (1 + εβ(ε)), b(ε) = b∗ + ε(b∗ − a)β(ε), β(ε) ∈ C[0, ε0], β(0) = β∗, приходим к задаче об отыскании решения z(τ, ε) ∈ C2[a, b∗], C[0, ε0] системы уравнений z′′ = Az + f + ε [ Z(z, z′, ε) + β(ε)(2 + εβ(ε))(Az + f + εZ(z, z′, ε)) ] , (3) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 276 С. М. ЧУЙКО, И. А. БОЙЧУК, О. Е. ПИРУС удовлетворяющих краевому условию `z(·, ε) = α+ ε [ J̃(z(·, ε), z′(·, ε), ε) + β(ε)(2 + εβ(ε))(α+ εJ̃(z(·, ε), z′(·, ε), ε)) ] . (4) Здесь `z(·, ε) — линейный и J̃(z(·, ε), ε) — нелинейный векторные функционалы `z(·, ε), J̃(z(·, ε), ε) : C[a, b∗] → Rm. Решение задачи (3), (4) ищем в виде z(τ, ε) = z0(τ, cr) + x(τ, ε). Для нахождения возмуще- ния x(τ, ε) : x(·, ε) ∈ C2[a, b∗], x(τ, ·) ∈ C[0, ε0] получаем задачу x′′ = Ax+ ε [ Z(z0 + x, z′0 + x′, ε) + β(2 + εβ)(Az + f + εZ(z, z′, ε)) ] , (5) `x(·, ε) = ε [ J̃(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε) + + β(ε)(2 + εβ(ε))(α+ εJ̃(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε)) ] . Обозначая через PQ∗d (d × m)-мерную матрицу, составленную из d := m − n линейно независимых строк матрицы-ортопроектора PQ∗ , ϕ0(c ∗) = 2αβ∗ + J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0), f0(s, c ∗) = 2β∗ [Az0(s, c ∗ r) + f ] + Z(z0(s, c ∗ r), z ′ 0(s, c ∗ r), 0) аналогично [2, 3], приходим к необходимому условию разрешимости задачи (5). Лемма. Если краевая задача (1) в критическом случае (PQ∗ 6= 0) имеет решение, при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, c ∗ r), то вектор (c∗r , β ∗) ∈ Rr+1 удовлетворяет уравнению [2] F (c∗r , β ∗) = PQ∗d {ϕ0(c ∗)− `K[f0(s, c ∗)](·)} = 0. (6) Предположим, что уравнение (6) имеет действительный корень (c∗r , β ∗) ∈ Rr+1. 2. Достаточное условие существования решения. Для нахождения решения задачи (3), (4) разлагаем функцию Z(z, z′, ε) в окрестности порождающего решения z0(τ, c ∗ r), его производной z′0(τ, c ∗ r) и точки ε = 0 : Z(z0(τ, c ∗ r) + x(τ, ε), z′0(τ, c ∗ r) + x′(τ, ε), ε) = Z(z0(τ, c ∗ r), z ′ 0(τ, c ∗ r), 0)+ +A1(τ)x(τ, ε) +A2(τ)x′(τ, ε) + εA3(z0(τ, c ∗ r))+ +R1(z0(τ, c ∗ r) + x(τ, ε), z′0(τ, c ∗ r) + x′(τ, ε), ε), где A1(τ) = Z ′z(z0(τ, c ∗ r), z ′ 0(τ, c ∗ r), 0), A2(τ) = Z ′z′(z0(τ, c ∗ r), z ′ 0(τ, c ∗ r), 0), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА – КАНТОРОВИЧА 277 A3(τ) = Z ′ε(z0(τ, c ∗ r), z ′ 0(τ, c ∗ r), 0). Аналогично, используя непрерывную дифференцируемость (в смысле Фреше) по пер- вым двум аргументам функционала J(z0(·, c∗r) +x(·, ε), z′0(·, c∗r) +x′(·, ε), ε) и непрерывную дифференцируемость (в смысле Фреше) по третьему аргументу, выделяем линейные час- ти этого функционала [5] `1x(·, ε) := J̃ ′z(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0), `2x ′(·, ε) := J̃ ′z′(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0), ε · `3(z0(·, c∗r)) := ε · J̃ ′ε(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) в окрестности точек x = 0, x′ = 0 и ε = 0 : J̃(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε) = J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) + `1x(·, ε) + `2x ′(·, ε)+ + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε). С учетом разложений нелинейностей задача (5) принимает вид x′′ = Ax+ ε {β(ε)(2 + εβ(ε))(Az + f) + (1 + εβ(ε)(2 + εβ(ε))) × × [Z(z0(τ, c ∗ r), z ′ 0(τ, c ∗ r), 0) +A1(τ)x(τ, ε) +A2(τ)x′(τ, ε) + εA3(z0(τ, c ∗ r))+ + R1(z0(τ, c ∗ r) + x(τ, ε), z′0(τ, c ∗ r) + x′(τ, ε), ε)] } , `x(·, ε) = εαβ(ε)(2 + εβ(ε)) + ε(1 + εβ(ε)(2 + εβ(ε)))× × [ J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) + `1x(·, ε) + `2x ′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε) ] . Введем (d×m)-матрицу Bβ := F ′β(c∗r , β ∗) = 2PQ∗d {α− `K[Az0(τ, c ∗ r) + f ](·)} . Для нахождения функции β(ε) приходим к уравнению Bβ · β(ε) = −PQ∗d { εαβ2(ε) + (1 + εβ(ε)(2 + εβ(ε))) × × [J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) + `1x(·, ε) + `2x ′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r))+ + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε) ] − `K {2βAx(τ, ε) + + εβ2[Az(τ, ε) + f ] + (1 + εβ(2 + εβ))[Z(z0(τ, c ∗ r), z ′ 0(τ, c ∗ r), 0) +A1(τ)x(τ, ε)+ +A2(τ)x′(τ, ε) + εA3(z0(τ, c ∗ r)) +R1(z(τ, ε), z ′(τ, ε), ε)] } (·) } . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 278 С. М. ЧУЙКО, И. А. БОЙЧУК, О. Е. ПИРУС Пусть PB∗β — матрица-ортопроектор: Rd → N(B∗β).При условии PB∗βPQ∗d = 0 по мень- шей мере одно из решений задачи (3), (4) определяет операторная система z(τ, ε) = Xr(τ)(c∗r + cr(ε)) + εG {β(ε)(2 + εβ(ε))(Az + f) + (1 + εβ(ε) (2 + εβ(ε)))× × [ Z(z0(τ, c ∗ r), z ′ 0(τ, c ∗ r), 0) +A1(τ)x(τ, ε) +A2(τ)x′(τ, ε) + + εA3(z0(τ, c ∗ r)) +R1(z(τ, ε), z ′(τ, ε), ε) ] , αβ(ε)(2 + εβ(ε))+ + (1 + εβ(2 + εβ))[J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) + `1x(·, ε)+ + `2x ′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε)] } (τ), (7) β(ε) = −B+ β PQ∗d { εαβ2(ε) + (1 + εβ(2 + εβ)) [ J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) + + `1x(·, ε) + `2x ′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z(·, ε), z′(·, ε), ε) ] − − `K { 2β(ε)Ax(τ, ε) + εβ2(ε)[Az(τ, ε) + f ] + + (1 + εβ(ε)(2 + εβ(ε))) [ Z(z0(τ, c ∗ r), z ′ 0(τ, c ∗ r), 0) +A1(τ)x(τ, ε) + + A2(τ)x′(τ, ε) + εA3(z0(τ, c ∗ r)) +R1(z(τ, ε), z ′(τ, ε), ε) ]} (·) } . Для нахождения этого решения в статье [6] предложена итерационная схема с линей- ной сходимостью, построенная по методу наименьших квадратов. Целью данной статьи является построение итерационной техники по методу Ньютона с квадратичной сходи- мостью. Обозначим ψ(β(ε), z(τ, ε)) = −B+ β PQ∗d { εαβ2(ε) + (1 + εβ(ε)(2 + εβ(ε))) [ J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) + + `1x(·, ε) + `2x ′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z0(·, c∗r)+ + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε) ] − `K { 2βAx(τ, ε) + εβ2[Az(τ, ε) + f ] + + (1 + εβ(2 + εβ)) [ Z(z0(τ, c ∗ r), z ′ 0(τ, c ∗ r), 0) +A1(τ)x(τ, ε) +A2(τ)x′(τ, ε) + + εA3(z0(τ, c ∗ r)) +R1(z(τ, ε), z ′(τ, ε), ε) ]} (·) } , g(z(τ, ε)β(ε)) = Xr(τ)(c∗r + cr(ε)) + εG {β(ε)(2 + εβ(ε))(Az + f) + + (1 + εβ(ε)(2 + εβ(ε))) [ Z(z0(s, c ∗ r), z ′ 0(s, c ∗ r), 0) +A1(s)x(s, ε) + +A2(s)x ′(s, ε) + εA3(z0(s, c ∗ r)) +R1(z(s, ε), z ′(s, ε), ε) ], αβ(ε)(2 + εβ(ε)) + (1 + εαβ(2 + εβ)) [ J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) + + `1x(·, ε) + `2x ′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z0(·, c∗r)+ +x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε) ]} (τ). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА – КАНТОРОВИЧА 279 Для построения решения второго уравнения системы (7) введем оператор Ψ(β(ε), z(τ, ε))(ε) := β(ε) + ψ{β(ε), z(τ, ε)}(ε) : C[0, ε0] → C[0, ε0]. Предположим, что для вектор-функций x(τ, ε) ∈ C2[a, b], C[0, ε0], ‖x(τ, ε)‖ ≤ q имеют место неравенства ‖Ψ (β∗, g (z0(s, c ∗ r), β ∗)) (ε)‖ ≤ γ1,∥∥∥[Ψ′β (β∗, g (z0(s, c ∗ r), β ∗)) ]−1 (ε) ∥∥∥ ≤ γ2,∥∥∥Ψ′′β2 (β(ε), g (z(s, ε), β(ε))) (ε) ∥∥∥ ≤ γ3. Согласно теореме Ньютона – Канторовича [5, c. 680, 682] при условиях PB∗0 PQ∗d = 0 и 2γ1γ2γ3 < 1 для построения по меньшей мере одного из решений операторной системы (7) применима итерационная схема zk+1(τ, ε) = g(zk(τ, ε), βk(ε))(τ), z0(τ, ε) := z0(τ, c ∗ r), β0(ε) := β∗, k = 0, 1, 2, . . . , (8) βk+1(ε) = βk(ε)− [ 1− ∂Ψ (βk(ε), zk+1(τ, ε)) ∂β ]−1 [βk(ε)−Ψ (βk(ε), zk+1(τ, ε))] . Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема. В критическом случае (PQ∗ 6= 0) для корня (c∗r , β ∗) ∈ Rr+1 уравнения F (c∗) = 0 при условии PB∗βPQ ∗ d = 0 задача (1) имеет по меньшей мере одно решение, при ε = 0 обращающееся в порождающее z0(τ, c∗r). Для построения решения задачи (1) в случае 2γ1γ2γ3 < 1 применима итерационная схема (8). 3. Периодическая задача для уравнения Льенара. Исследуем далее задачу о нахожде- нии решения автономной периодической краевой задачи y′′ + y = ε · Y (y, ε) · y′, y(0, ε)− y(T1(ε), ε) = 0, y′(0, ε)− y′(T1(ε), ε) = 0. (9) Решение задачи (9) ищем в малой окрестности решения порождающей задачи y′′0 + y0 = 0, y0(0)− y0(2π) = 0, y′0(0)− y′0(2π) = 0. Здесь Y (y, ε) — нелинейная скалярная функция, непрерывно дифференцируемая по y в малой окрестности решения порождающей задачи и непрерывно дифференцируемая по ε на отрезке [0, ε0]. Любое решение z(t, ε) задачи (9) существует наряду с серией решений z(t+ h, ε). Зафиксируем начало отсчета независимой переменной таким образом, чтобы решение порождающей задачи стало однопараметрическим, например, y0(t) = ĉ · cos t, ĉ ∈ R1. Для задачи (9) имеет место критический случай. Для произвольной функции f(t) ∈ C[0, 2π] периодическая задача y′′0 + y0 = f(t), y0(0)− y0(2π) = 0, y′0(0)− y′0(2π) = 0 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 280 С. М. ЧУЙКО, И. А. БОЙЧУК, О. Е. ПИРУС разрешима тогда и только тогда, когда 2π∫ 0 [ cos s − sin s ] f(s) ds = 0, и при соответствующей фиксации начала отсчета независимой переменной имеет общее решение вида y0(t, ĉ) = ĉ · cos t+ g[f(s)] (t), ĉ ∈ R1; g[f(s)](t) := t∫ 0 sin(t− s)f(s) ds. Замена переменной t = τ(1 + εβ(ε)) приводит к задаче о нахождении 2π-периодических решений уравнения y′′(τ, ε) + (1 + εβ(ε))2 y(τ, ε) = ε(1 + εβ(ε))Y (y(τ, ε), ε) y′(τ, ε). (10) Условие разрешимости периодической задачи для уравнения (10) 2π∫ 0 ( cos s − sin s )[ (1 + εβ(ε))Y (y(s, ε), ε) y′(s, ε)− β(ε)(2 + εβ(ε)) y(s, ε) ] ds = 0 приводит к уравнению для порождающих амплитуд F (ĉ, β) := 2π∫ 0 ( cos s − sin s ) (Y (y0(s, ĉ), 0) y′0(s, ĉ)− 2β y0(s, ĉ)) ds = 0. Предположим, что уравнение для порождающих амплитуд имеет простой (detB0 6= 0) действительный корень (ĉ∗, β∗) ∈ R2; здесь B0 := ∂F (ĉ, β) ∂(ĉ, β) ∣∣∣∣∣ ĉ=ĉ∗ β=β∗ . В этом случае периодическая задача (9) имеет единственное решение [2, 3], следователь- но, в достаточно малой окрестности точек y(t, ε) = y0(t, ĉ ∗) и ε = 0 уравнение Ω(y(·, ε), ε)β(ε) = ω(y(·, ε), β(ε)) имеет единственное решение β(ε) = Ω+(y(·, ε), ε)ω(y(·, ε)β(ε)). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА – КАНТОРОВИЧА 281 Здесь Ω(y(·, ε), ε) := 2π∫ 0 ( cos s − sin s ) [εY (y(s, ε), ε) y′(s, ε)− 2y(s, ε)] ds, ω(y(·, ε), β(ε)) := 2π∫ 0 ( cos s − sin s ) [Y (y(s, ε), ε) y′(s, ε)− εβ2(ε)y(s, ε)] ds. Таким образом, задача о нахождении 2π-периодических решений уравнения (10) приво- дит к операторной системе y(τ, ε) = ĉ∗ cos τ + εg(y(τ, ε), β(ε))(τ), β(ε) = Ω+(y(·, ε), ε)ω(y(·, ε), β(ε)), где g(y(s, ε), β(ε))(τ) := g[(1 + εβ(ε))Y (y(s, ε), ε) y′(s, ε)− β(ε)(2 + εβ(ε))y(s, ε)](τ) + c(ε) cos τ. Введем оператор Φ(β(ε), y(s, ε))(ε) := β(ε)− Ω+(y(·, ε), ε)ω(y(·, ε), β(ε)) : C[0, ε0] → C[0, ε0]. Предположим, что для функций x(τ, ε) ∈ C2[0, T ], C[0, ε0], ‖x(τ, ε)‖ ≤ q имеют место неравенства ‖Φ(β∗, g(y0(s, ĉ ∗), β∗))(ε)‖ ≤ µ1,∥∥∥[Φ′β(β∗, g(y0(s, ĉ ∗), β∗)) ]−1 (ε) ∥∥∥ ≤ µ2, ∥∥∥Φ′′β2(β(ε), g(y(s, ε), β(ε)))(ε) ∥∥∥ ≤ µ3. Согласно теореме Ньютона – Канторовича [5, c. 680, 682] при условиях detB0 6= 0 и 2µ1µ2µ3 < 1 для построения решения периодической задачи для уравнения Льенара при- менима итерационная схема yk+1(τ, ε) = g(yk(s, ε), βk(ε))(τ), y0(τ, ε) := y0(τ, ĉ ∗), β0(ε) := β∗, k = 0, 1, 2, . . . , βk+1(ε) = βk(ε)− [ 1− ∂Φ(βk(ε), yk+1(s, ε)) ∂β ]−1 [βk(ε)− Φ(βk(ε), yk+1(s, ε))] . На практике для построения решения периодической задачи для уравнения Льенара бо- лее эффективна гибридная итерационная схема, сочетающая достоинства метода Нью- тона и техники наименьших квадратов. Положим Y ′ε (y0(τ, ĉ ∗), ε) ≡ 0. Разложим функцию Y (y, ε) в окрестности точек x = 0 и ε = 0 : Y (y0(τ, ĉ ∗)+x(τ, ε), ε) = Y (y0(τ, ĉ ∗), 0) +A1(y0(τ, ĉ ∗))x(τ, ε) +R(y0(τ, ĉ ∗) + x(τ, ε), ε), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 282 С. М. ЧУЙКО, И. А. БОЙЧУК, О. Е. ПИРУС где A1(y0(τ, ĉ ∗)) := Y ′y(y0(τ, ĉ ∗), 0). Первое приближение y1(τ, ε) = y0(τ, ĉ ∗) + x1(τ, ε) к решению 2π-периодической задачи для уравнения (10) ищем как 2π-периодическое ре- шение уравнения x′′1(τ, ε) + x1(τ, ε) = ε(1 + εβ∗) { Y (y0(τ, ĉ ∗), 0) [y′0(τ, ĉ ∗) + x′1(τ, ε)] + + A1(y0(τ, ĉ ∗))y′0(τ, ĉ ∗)x1(τ, ε) } − − [ y′′0(τ, ĉ∗) + (1 + εβ∗)2 y0(τ, ĉ ∗) ] − εβ∗(2 + εβ∗)x1(τ, ε). (11) Пусть { ϕ(j)(t) }∞ j=0 ∈ C2[0, 2π] — система линейно независимых 2π-периодических скалярных функций. Приближение к решению 2π-периодической задачи для уравнения (11) ищем в виде x1(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) = ϕ1(τ)c1(ε), ϕ1(τ) := [ ϕ (1) 1 (τ)ϕ (2) 1 (τ) . . . ϕ (µ1) 1 (τ) ] , c1(ε) ∈ Rµ1 . В случае det [Γ(F1(·, ε))] 6= 0, Γ(F1(·, ε)) := 2π∫ 0 F∗1 (τ, ε)F1(τ, ε) dτ находим вектор c1(ε) = − [Γ(F1(·ε))]−1 2π∫ 0 F∗1 (τ, ε) { ε(1 + εβ∗)Y (y0(τ, ĉ ∗), 0) y′0(τ, ĉ ∗) − − [ y′′0(τ, ĉ∗) + (1 + εβ∗)2 y0(τ, ĉ ∗) ]} dτ. Здесь F1(τ, ε) = (1 + εβ∗) [ εA1(y0(τ, ĉ ∗))y′0(τ, ĉ ∗)− (1 + εβ∗) ] ϕ1(τ)+ + ε(1 + εβ∗)Y (y0(τ, ĉ ∗), 0)ϕ′1(τ)− ϕ′′1(τ). При условии c1(ε) ∈ C[0, ε0], 2µ1(ε0)µ2(ε0)µ3(ε0) < 1 первое приближение β1(ε) ∈ C[0, ε0] к функции β(ε) определим как β1(ε) = β∗ − [ 1− ∂Φ(β∗, y1(s, ε))(ε) ∂β ]−1 [β∗ − Φ(β∗, y1(s, ε))(ε)] . Продолжая рассуждения, предположим, что найдено приближение xk(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) + . . .+ ξk(τ, ε), ξk(τ, ε) = ϕk(τ) ck(ε), ck(ε) ∈ Rµk , k = 1, 2, . . . , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА – КАНТОРОВИЧА 283 к решению 2π-периодической задачи для уравнения (10) и приближение βk(ε) к функции β(ε). Следующее приближение ищем в виде xk+1(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) + . . .+ ξk+1(τ, ε), ξk+1(τ, ε) = ϕk+1(τ)ck+1(ε), ck+1(ε) ∈ Rµk+1 . Предположим, что найденное приближение yk(τ, ε) ≈ y0(τ, ĉ ∗) + xk(τ, ε) принадлежит области определения функции Y (y, ε). Разлагаем функцию Y (y(τ, ε), ε) в окрестности то- чек ξk+1(τ, ε) = 0 и ε = 0 : Y (yk(τ, ε) + ξk+1(τ, ε), ε) = Y (yk(τ, ε), 0) +A1(yk(τ, ε))ξk+1(τ, ε) +R(yk(τ, ε) + ξk+1(τ, ε), ε), где A1(yk(τ, ε)) := Y ′y(yk(τ, ε), 0). При условии det [Γ(Fk+1(·, ε))] 6= 0, Γ(Fk+1(·, ε)) = 2π∫ 0 F∗k+1(τ, ε)Fk+1(τ, ε) dτ находим вектор ck+1(ε) = − [Γ(Fk+1(·, ε))]−1 2π∫ 0 F∗k+1(τ, ε)× × { ε(1 + εβk(ε))Y (yk(τ, ε), 0) y′k(τ, ε)− (1 + εβk(ε)) 2 yk(τ, ε)− y′′k(τ, ε) } dτ. Здесь Fk+1(τ, ε) = (1 + εβk(ε)) [ εA1(yk(τ, ε))y ′ k(τ, ε)− (1 + εβk(ε)) ] ϕk+1(τ)+ + ε(1 + εβk(ε))Y (yk(τ, ε), 0)ϕ′k+1(τ)− ϕ′′k+1(τ). В случае ck+1(ε) ∈ C[0, ε0], 2µ1(ε0)µ2(ε0)µ3(ε0) < 1 приближение βk+1(ε) к функции β(ε) определим как βk+1(ε) = βk(ε)− [ 1− ∂Φ(βk(ε), yk+1(s, ε)) ∂β ]−1 [βk(ε)− Φ(βk(ε), yk+1(s, ε))] . Таким образом, доказано следующее утверждение. Следствие. Для каждого простого (detB0 6= 0) корня (ĉ∗, β∗) ∈ R2 уравнения для порождающих амплитуд задача (10) имеет единственное 2π-периодическое решение y(τ, ε) = y0(τ, ĉ ∗) + x(τ, ε), x(·, ε) ∈ C2[0, T ], x(τ, ·) ∈ C[0, ε0], ‖x(τ, ε)‖ ≤ q, при ε = 0 обращающееся в порождающее y0(τ, ĉ∗). При условии 2µ1(ε0)µ2(ε0)µ3(ε0) < 1, ck(ε) ∈ C[0, ε0], det [Γ(Fk(·, ε))] 6= 0, k ∈ N, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 284 С. М. ЧУЙКО, И. А. БОЙЧУК, О. Е. ПИРУС это решение можно определить с помощью итерационного процесса x1(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) = ϕ1(τ) c1(ε), c1(ε) = − [Γ(F1(·, ε))]−1 2π∫ 0 F∗1 (τ, ε)× × { ε(1 + εβ∗)Y (y0(τ, ĉ ∗), 0)y′0(τ, ĉ ∗)− [y′′0(τ, ĉ∗) + (1 + εβ∗)2y0(τ, ĉ ∗)] } dτ, β1(ε) = β∗ − [ 1− ∂Φ(β∗, y1(s, ε))(ε) ∂β ]−1 [β∗ − Φ(β∗, y1(s, ε))(ε)] , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xk+1(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) + . . .+ ξk+1(τ, ε), ξk+1(τ, ε) = ϕk+1(τ)ck+1(ε), (12) ck+1(ε) = − [Γ(Fk+1(·, ε))]−1 2π∫ 0 F∗k+1(τ, ε){ε(1 + εβk(ε))× × Y (yk(τ, ε), 0) y′k(τ, ε)− (1 + εβk(ε)) 2 yk(τ, ε)− y′′k(τ, ε)} dτ, βk+1(ε) = βk(ε)− [ 1− ∂Φ(βk(ε), yk+1(s, ε))(ε) ∂β ]−1 × × [βk(ε)− Φ(βk(ε), yk+1(s, ε))(ε)], . . . , k = 1, 2, . . . . С учетом замены независимой переменной итерационная схема (12) определяет прибли- женное решение периодической задачи для уравнения Льенара (9). Пример. Итерационная схема (12) применима для построения периодического реше- ния уравнения Ван дер Поля [2, 10 – 12] y′′ + y = ε (1− y2) y′, частного случая уравнения Льенара. Условия доказанного следствия в данном случае выполнены. Уравнение для поро- ждающих амплитуд имеет простой действительный корень ĉ∗ = 2, β∗ = 0. Положим, например, ϕ1(τ) = [sin τ sin 3τ sin 5τ sin 7τ cos τ cos 5τ cos 7τ ]. Матрица Грама, соответствующая порождающему решению y0(t, ĉ ∗) = 2 cos t, det[Γ ( F1(·, ε) ) ] ≈ 4 057 816 381 784 064π7ε4 + 2 143 386 517 635 072π7ε6 + . . . 6= 0 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА – КАНТОРОВИЧА 285 невырождена. Предложенная итерационная процедура определяет функцию ξ1(τ, ε) = ε sin τ − sin 3τ 4 + ε2 ( −3 cos τ 128 − 5 96 cos 5τ ) + + ε3 −397 sin τ + 297 sin 3τ + 100 sin 5τ + 70 sin 7τ 9 216 + + ε4 4 293 cos τ + 9 196 cos 5τ + 2 380 cos 7τ 884 736 + + ε5 197 173 sin τ − 138 573 sin 3τ − 58 600 sin 5τ − 46 366 sin 7τ 21 233 664 + + ε6 −5 867 397 cos τ − 4 460 092 cos 5τ − 1 576 804 cos 7τ 2 038 431 744 + + ε7 −147 152 989 sin τ+116 416 989 sin 3τ+30 736 000 sin 5τ+25 022 662 sin 7τ 48 922 361 856 , а также первое приближение β1(ε) = ε 16 − 17ε3 3 072 + 40 781ε5 28 311 552 − 13 979ε7 20 897 579 к функции β(ε). Матрица Грама, соответствующая первому приближению y1(τ, ε), det[Γ ( F1(·, ε) ) ] ≈ 4 057 816 381 784 064π7ε4+2 143 386 517 635 072π7ε6 + . . . 6= 0 невырождена. Положим ϕ1(τ) = ϕ2(τ). Предложенная итерационная процедура опреде- ляет функцию ξ2(τ, ε) = 3 128 ε2 cos τ+ε3 ( 41 1 024 sin τ− 21 1 024 sin 3τ − 5 768 sin 5τ+ 7 1 536 sin 7τ ) + + ε4 ( − 3 787 589 824 cos τ− 473 73 728 cos 5τ− 7 8 192 cos 7τ ) + + ε5 ( − 65 663 4 718 592 sin τ+ 15 181 1 572 864 sin 3τ+ 395 147 456 sin 5τ+ 487 1 179 648 sin 7τ ) + + ε6 ( − 13 786 913 243 024 443 cos τ+ 5 399 155 1 138 742 666 cos 5τ+ 1 938 002 2 560 428 281 cos 7τ ) + ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 286 С. М. ЧУЙКО, И. А. БОЙЧУК, О. Е. ПИРУС + ε7 ( − 9 009 047 249 230 597 sin τ+ 84 430 978 3 627 550 289 sin 3τ− − 1 817 844 2 810 321 573 sin 5τ− 1 854 818 1 720 405 007 sin 7τ ) + + ε8 ( 17 284 649 496 497 510 cos τ+ 11 564 805 1 549 162 486 cos 5τ− 572 747 5 213 617 729 cos 7τ ) + + ε9 ( 14 502 929 522 989 888 sin τ− 14 718 563 669 621 228 sin 3τ− 1 438 656 1 577 943 161 sin 5τ− 4 842 238 1 980 404 069 sin 7τ ) + + ε10 ( − 9 692 105 797 934 848 cos τ− 6 818 500 865 183 731 cos 5τ− 12 590 253 29 454 573 767 cos 7τ ) , а также второе приближение β2(ε) = ε 16 − 5 ε3 3 072 − 30 343 ε5 28 311 552 − 12 343 254 ε7 1 476 900 065 + 13 824 881 ε9 2 020 507 543 + 1 728 959 ε11 12 523 369 468 к функции β(ε). Положим ϕ3(τ) = [sin τ sin 3τ sin 5τ sin 7τ sin 9τ cos τ cos 5τ cos 7τ cos 9τ ]. Предложенная итерационная процедура определяет функцию ξ3(τ, ε) = 101 65 536 ε4 cos τ + 19 373 326 813 ε6 cos τ − 5 433 110 210 ε8 cos τ− − 5 89 722 ε10 cos τ − 301 142 781 ε6 cos 5τ − 648 89 003 ε8 cos 5τ+ + 1 541 140 291 ε10 cos 5τ − 3 55 934 ε6 cos 7τ + 2 31 467 ε8 cos 7τ+ + 59 140 495 ε10 cos 7τ + 61 20 480 ε4 cos 9τ − 51 107 809 ε6 cos 9τ− − ε8 18 035 cos 9τ + ε10 293 867 cos 9τ + 986 401 461 ε5 sin τ + 4 349 111 350 ε7 sin τ− − 3 240 85 351 ε9 sin τ − 148 68 973 ε5 sin 3τ − 2 813 109 512 ε7 sin 3τ+ + 2 201 69 913 ε9 sin 3τ − 5 79 608 ε7 sin 5τ + 46 50 211 ε9 sin 5τ+ + 54 108 779 ε5 sin 7τ + 17 57 396 ε7 sin 7τ + 251 102 335 ε9 sin 7τ− − 76 120 037 ε5 sin 9τ + 3 89 837 ε7 sin 9τ + 2 92 313 ε9 sin 9τ, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА – КАНТОРОВИЧА 287 а также третье приближение β3(ε) = ε 16 − 5ε3 3 072 − 129ε5 264 805 + ε7 55 669 + 322ε9 113 355 − 7ε11 48 701 к функции β(ε). Итак, найдено третье приближение y3(τ, ε) к решению периодической задачи для уравнения Ван дер Поля. Примем для определенности ε0 = 1, 0; при этом ‖Φ(β∗, y1(·, ε))(·)‖ ≤ µ1 ≈ 0, 0577 377. Поскольку ω′β(y1(·, ε), β∗) = 0, µ2 = ∥∥Φ′β(β∗, y1(·, ε))(·) ∥∥ = ∥∥∥[Φ′β(β∗, y1(·, ε))(·) ]−1∥∥∥ = 1. Аналогично ∥∥∥Φ′′β2(β(ε), y(s, ε))(·) ∥∥∥ ≤ µ3 ≈ 1, 06 177. Таким образом, для ε0 = 1, 0 условие сходимости 2µ1(ε0)µ2(ε0)µ3(ε0) ≈ 0, 122 609 < 1 итерационной схемы (12) выполнено. Для оценки точности найденных первых трех при- ближений к решению периодической задачи для уравнения Ван дер Поля, полученных с помощью схемы (12), определим невязки (k = 1, 2, 3) ∆k(ε) := ∥∥y′′k(τ, ε) + (1 + εβk(ε)) 2 yk(τ, ε)− ε (1 + εβk(ε)) (1− y2k(τ, ε)) y′k(τ, ε) ∥∥ C[0;2π] , а также невязку приближения, полученного в статье [12]: ∆a(ε) := ∥∥y′′a(τ, ε) + (1 + εβa(ε)) 2 ya(τ, ε)− ε (1 + εβa(ε)) (1− y2a(τ, ε)) y′a(τ, ε) ∥∥ C[0;2π] . При ε = 0, 1 имеем ∆1(0, 1) ≈ 0, 000 399507, ∆2(0, 1) ≈ 0, 0000 247 583, ∆3(0, 1) ≈ 8, 68 717 · 10−7. Для ε = 0, 01 невязки меньше: ∆1(0, 01) ≈ 3, 81 303 · 10−7,∆2(0, 01) ≈ 2, 39 377 · 10−9,∆3(0, 01) ≈ 8, 97 377 · 10−12. Заметим, что точность найденного нами третьего приближения выше точности прибли- жений ya(τ, ε), βa(ε) к периодическому решению уравнения Ван дер Поля ∆a(0, 1) ≈ 0, 000 202, ∆a(0, 01) ≈ 2, 01 398 · 10−8, полученного в статье [12]. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 288 С. М. ЧУЙКО, И. А. БОЙЧУК, О. Е. ПИРУС 1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. — Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV + 317 p. 2. Бойчук А. А., Чуйко С. М. Автономные слабонелинейные краевые задачи // Дифференц. уравнения. — 1992. — 28, № 10. — С. 1668 – 1674. 3. Чуйко С. М., Бойчук И. А. Автономная нетерова краевая задача в критическом случае // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 3. — C. 405 – 416. 4. Шовкопляс Т. В. Критерiй розв’язностi лiнiйної крайової задачi для системи другого порядку // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 6. — С. 861 – 864. 5. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 744 с. 6. Чуйко С. М., Старкова О. В. О приближенном решении автономных краевых задач методом наимень- ших квадратов // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 4. — С. 556 – 573. 7. Чуйко С.М. О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов // Нелiнiйнi коливання. — 2008. — 11, № 4. — C. 554 – 573. 8. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965. — 408 с. 9. Каудерер Г. Нелинейная механика. — М.: Изд-во иностр. лит., 1961. — 778 с. 10. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с. 11. Ван дер Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. — М.: Связьиздат, 1935. — 42 с. 12. Andersen C. M., Geer J. F. Power expansion for the frequency and period of limit cycle of the Van der Pol equation // SIAM J. Appl. Math. — 1982. — 42. — P. 678 – 693. Получено 03.11.11 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2

О приближенном решении автономной краевой задачи методом Ньютона – Канторовича

Репозитарії

Схожі ресурси