О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии
Исследовано вихревое течение сверхтекучей жидкости между концентрическими цилиндрами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью. Получено общее выражение для свободной энергии жидкости с вихрями произвольной интенсивности. Исследована возможность появления вихрей, завихренность которых противоп...
Gespeichert in:
| Datum: | 1997 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
1997
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175613 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии / Т.И. Зуева // Физика низких температур. — 1997. — Т. 23, № 11. — С. 1162-1171. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175613 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1756132021-02-03T01:30:32Z О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии Зуева, Т.И. Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Исследовано вихревое течение сверхтекучей жидкости между концентрическими цилиндрами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью. Получено общее выражение для свободной энергии жидкости с вихрями произвольной интенсивности. Исследована возможность появления вихрей, завихренность которых противоположна по знаку угловой скорости (отрицательные вихри). Показа- но, что появление отрицательных вихрей в жидкости соответствует большим значениям свободной энергии, чем появление положительных вихрей. Вычислена сила трения, которая действует на вихрь со стороны нормальной компоненты, если вихрь выведен из положения равновесия. Найдена величина энергетического барьера, преодолеваемого вихрем при его переходе от одной стенки к другой. Показано, что, ввиду наличия энергетического барьера, вероятность появления вихрей велика только при угловых скоростях, намного превышающих расчетную угловую скорость. Получены параметрические уравнения огибающей семейства прямых, представляющих собой свободную энергию как функцию угловой скорости вращения сосуда при различном числе вихрей. Записано приближенное соотношение между угловой скоростью вращения сосуда и числом в появившихся при этой угловой скорости. Досліджено вихорову течію надплинної рідини між концентричними циліндрами, що обертаються з однаковою кутовою швидкістю. Отримано загальний вираз для вільної енергії рідини з вихорами довільної інтенсивності Досліджено можливість виникнення вихорів, завихореність яких протилежна за знаком кутовій швидкості (негативних вихорів). Показано, що виникнення негативних вихорів у рідині відповідає більшим значенням вільної енергії, ніж виникнення позитивних вихорів. Обчислено силу тертя, що діє на вихор з боку нормальної компоненти, якщо вихор виведено з стану рівноваги. Обчислено величину енергетичного бар’єра, який проходить вихор при переході від однієї стінки до іншої. Показано, що наявність енергетичного бар’єра приводить до того, що ймовірність з’явлення вихорів велика тільки при кутових швидкостях, набагато більших, ніж розрахункові. Отримано параметричні рівняння кривої, що огинає сім’ю прямих, які зображують вільну енергію як функцію кутової швидкості обертання посудини при різній кількості вихорів Виписано наближене співвідношення між кутовою швидкістю обертання посудини та кількістю вихорів, що зв'явилися при цій кутовій швидкості. This paper continues the investigation of superfluid flowing between two concentric cylinders rotating at equal angular velocities. The general expression for the free energy of superfluid with vortices which have arbitrary intensities is obtained. The possibility of vortices with negative (opposite to the sign of the angular velocity) vorticities is studied. It is shown that the negative vortices appear at a greater free energy than that of the positive vortices. The friction force which acts into the vortex from the normal component is calculated. The magnitude of the free energy maximum is calculated. It is shown that, due to the presence of the energy barrier, the probability of vortices appearance is great when the angular velocities are much higher than the calculated ones. The parametric equations for the envelope of the family of lines which describe the free energies as functions of the angular velocity co for different vortex numbers N are obtained. The approximate relation between the angular velocity of a rotating vessel and the number of vortices is derived. 1997 Article О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии / Т.И. Зуева // Физика низких температур. — 1997. — Т. 23, № 11. — С. 1162-1171. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 67.40.Vs http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175613 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы |
| spellingShingle |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Зуева, Т.И. О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии Физика низких температур |
| description |
Исследовано вихревое течение сверхтекучей жидкости между концентрическими цилиндрами,
вращающимися с одинаковой угловой скоростью. Получено общее выражение для свободной энергии
жидкости с вихрями произвольной интенсивности. Исследована возможность появления вихрей,
завихренность которых противоположна по знаку угловой скорости (отрицательные вихри). Показа-
но, что появление отрицательных вихрей в жидкости соответствует большим значениям свободной
энергии, чем появление положительных вихрей. Вычислена сила трения, которая действует на вихрь
со стороны нормальной компоненты, если вихрь выведен из положения равновесия. Найдена величина энергетического барьера, преодолеваемого вихрем при его переходе от одной стенки к другой.
Показано, что, ввиду наличия энергетического барьера, вероятность появления вихрей велика только
при угловых скоростях, намного превышающих расчетную угловую скорость. Получены параметрические уравнения огибающей семейства прямых, представляющих собой свободную энергию как
функцию угловой скорости вращения сосуда при различном числе вихрей. Записано приближенное
соотношение между угловой скоростью вращения сосуда и числом в появившихся при этой угловой скорости. |
| format |
Article |
| author |
Зуева, Т.И. |
| author_facet |
Зуева, Т.И. |
| author_sort |
Зуева, Т.И. |
| title |
О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии |
| title_short |
О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии |
| title_full |
О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии |
| title_fullStr |
О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии |
| title_full_unstemmed |
О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии |
| title_sort |
о критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
1997 |
| topic_facet |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175613 |
| citation_txt |
О критических скоростях вихреобразования во вращающемся гелии / Т.И. Зуева // Физика низких температур. — 1997. — Т. 23, № 11. — С. 1162-1171. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT zuevati okritičeskihskorostâhvihreobrazovaniâvovraŝaûŝemsâgelii |
| first_indexed |
2025-07-15T12:55:40Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:55:40Z |
| _version_ |
1837717669344706560 |
| fulltext |
$~3~KaH~3K~XTeMnepaTyp, 1997,T.23,N211,c. 1162-1171
0 Kpll1n'149CKlllX CKOpOCT51X Blt1Xpeo6pa30BaHl-151 BO
spall.latOLUeMc~ reni11111
T 111. 3yesa
<l>u3uKo-mexHutcecKuii uttcmumym llU3KUX me>inepamyp U't. 5. 11. Bepxutta ltAH YKpauHbl,
YKpau11a, 310164, z. XapbKOB, np. "1'ettuua, 47
CTaTbll noCTy1rnJia e pe11aKuH10 8 anpeJill 1997 r., nocJie nepcpa6oTKH 23 HIOHll 1997 r.
HccJiet10BaHO BHXpeeoe Te'!eHHe ceepxTeKy'leii JKHJIKOCTH MCJKJIY KOHUCllTPH'ICCKHMH UHJIHHJlp3MH,
epamaIOIUHMHCll c OJIHH3KOBOii yrJIOBOii CKOpOCTblO. IloJiy'leHo o6mee BblpaJKeHHC JIJlll ceo6011Hoii 3HeprnH
JKHJIKOCTH c BHXpllMH npOU360JlbllOU HHTeHCHBHOCTH. i1CCJICJIOB3Ha B03MOJKHOCTb fiOJ'!BJleHHll BHXpeil'
33BHXpeHHOCTb KOTOpblX npOTHBOilOJIOJKHa no 3HaKy yrnosoii CKOpOCTH (OTpHuaTCJlbHbJe BHXpH). IloKaaa
HO, '!TO nollBJieHHe OTPHUaTeJibHblX BHXpeil B JKHJIKOCTH COOTBeTCTByeT 60JiblllHM 3Hd'ICHHllM ceo6011Hoii
3HeprnH, 'ICM IlOllBJICHHC noJIOJK.llTCJlbllblX BHxpeii. Bbl'IHCJICHa CHJl3 TpeHHll, KOTOpal! 11eilcrnyeT Ha BHXpb
co CTOpOHbl HOpMaJibHOii KOMilOHeHTbl, eCJIH BHXpb Bb!BCJICH H3 f!OJIOJKeHHll paBHOBCCHll. Haiit1eHa BeJIH'IH-
113 3HepreTH'leCKoro 6apbepa, npeo11011esaeMoro BHxpeM npH ero nepexo11e OT OJIHOH cTeHKH K 11pyroii.
IloKa3aHo, '!TO, BBH.llY HaJIH'IHll :rnepreTH'ICCKOfO 6apbepa, eepOl!TllOCTb IlOllBJlCHHll BHXpeH BCJIHKa TOJlbKO
npH yrnOBblX CKOpOCTllX, HaMHOfO npeBbllll3IOmHx paC'lCTHYlO yrnoey!V CKOpOCTb. Ilo.~y'ICHbl napaMeTpH
'ICCKHe ypaBHCHHll orH6a10meii ceMeiicTsa npllMbIX, npe1lCTaBJ1ll10lll.HX co6oi1 ceo6o11Hy10 <111eprn10 KaK
<f>yHKUHIO yrnoeoii CKOpOCTH epameHHll cocy11a npH pa3JIH'IHOM 'IHCJie BHxn~r. 3an11caHO npH6JIHJKCllHOe
COOTHOlllCHHC MCJKJIY yr11oeoH CKOpOCTblO spameHHll cocyaa H 'IW.:,10M H
yrnoeoil CKOpOCTH .
f10llBHBlllHXCll npH 3TOH
.llocJiiJllKCHO BHXOpoey TC'liIO H3JlflJIHHHOi pit1HHH MiJK K(JHUCHTpH'IHHMH UHJ1i1111paMH, mo o6epT3IOTbCll
3 OJlll3KOBOIO KYTOBOIO lllBHJIKiCTIO. OTpHMaHO 33f3Jlbl1Hii BHpa3 JIJill BiJibHOi CHepril pit1HHH 3 BHXOpaMH
doeiAbHOi' iHTeHCHBHOCTi .llocJ1it1JKe110 MOJKJIHBiCTb BHHHK!lel!Hll BHXOpie, 33BHXOpe11iCTb llKHX npOTHJl{')i{·
Ha 3a 3HaKOM KYTOBiH lllBHJIKOCTi (11eraTHBHHX BHXOpie) .. noKa3aHO, mo BHHl!KHCHHll HeraTHBHHX B\1XOpie
y pit1HHi ei11noai11aE 6iJiblllHM 3Ha'leHHllM BiJibHOi t'Heprii, HiJK BHHHKHeHHll 003HTltBHHX BHXOpiH. 06'1HC
JICHO CHJIY TepTll, mo JliE 11a BHXOp 3 6oKy HOpMaJibHOi KOM!lOHC!ITH, llK!IW ;mxop BHBCl!eHO 3 CTaHy
piBHOBarn. 06'!HCJieHO BCJIH'IHHY eHepreTH'IHOfO 6ap'epa, HKHH npOXOl!lf'fb lJHXOp npH nepexoni BiJ.\ OJIHiei
CTiHKH JI() iHUJOi. IloKa3aHo, mo HallBHiCTb e11epreTH'IHOfO 6ap'epa npHBO,QHTb ;10 Toro, mo HMOBipHicTb
3°l1BJieHHll BHXOpiB eeJIHKa TiJibKH npH KYTOBHX lllBHl!KOCTllX, Ha6anno 6iJiblllHX, ttiJK po3paxyHKOBi.
0TpHMaHo napaMeTpH'lHi piBHllHHH KpHeoi, mo onmae ciM'IO npHMHX, l!Ki _3o6p3)1(yJOTb ei11b11y e11epri10 HK
cPYHKUiIO KYTOBOi UlBHJIKOCTi o6epTaHHll nocyJIHHH npl( pi3HiH KiJibKOCTi BHXvpie. BHnHCaHo 11a6JIHJKeHe
cnieeit1HomeHHH MiJK KyToeo10 IIIBHJ1KicT10 o6epTaHHll nocyt1HHH Ta Ki.%Kicnv BHxopie, mo 3B'llBHJIHCll
npH uiH KyToeii\ lllBHJIKOCTi.
PACS: 67.40.Vs
B 6oJibunrncrse pa6oT rro 11ccJie.n;osatt1110 s11xpeBh1x
cocro>iHHH so spamaromeMc>i csepxTeK)"IeM reJI1111
rrpe.n;rroJiaraeTCR (rro YMOJI'laHl1IO HJil1 BCKOJib3b)' 'ITO
B03HHKaIOlllHe IIpH HeKOTOpOH CKOpOCTl1 BpameHIDI
BHXp11 11MeIOT 3aBl1XpeHHOCTb Toro )Ke 3HaKa, 'ITO H
yrnoBM cKopocrb spamettH>i cocy.na. 3To 03Ha'laer,
'ITO UHPKYAAUHH soKpyr BHXp>i, orrpe.n;eJieHHlUI HaJJ.Jie
)Kal.UHM o6pa30M (cM.' HarrpHMep, [ 1])'
( 1)
<!:> T. ~. 3yeea, 1997
llOJIOJKHTeJibHa, eCJIH cocy.n BpamaeTCR IIpOTHB qaco
BOH CTpeJIKH [ .2]. EcJrn paccMaTpHBaeTrn .D;BH;)l(eHHe
B ABYCBH3HOH o6JiaCTH (a KOJibUe)' TO, KpOMe BHX
pej;f· B caMOH lKH.n;KocT11, B03HHKaeT UHpKyJI>iUH>i so
Kpyr BHyTpeHHero UHJil1H.D;pa (KBaHTOBaHHaH)'
KOTOpM npH He6oJiblllH:Xj CKOpocrn:x BpameHHH KOM
rre11cHpyeT pa3HHUY mrneHHblX CKOpOCTeH Ha BHelll
HeH H BHyTpeHHeH CTeHKe r 3]. 3ttaK 3TOH UHPKY JIH
UHH TO:>Ke OKa3b!BaeTCR paBHblM 3HaKy yr JIOBOH
cKopocTH, T.e . .D;JI51 spameHHH cocy.na rrponrn qaco
so:tt C'rpeJIKH
0 1<pumutlec1<ux c1<opocm.R.X euxpeo6pa3oeaH.UR. eo epaw,a10w,eMcR ze,wu
f vs · di = 27r'{L > 0 .
r=Rt
3ti:ech r = R 1 - BttyTpeHHHH pa,n;Hyc paccMaTpHBa
eMoro KOJibua; R2 - BHeUIHHii; (R 1 ~ r ~ R 2); L -
'IHCJIO KBaHTOB W:IPKYJIJlUHH, H3MepHeMOH B BeJIH'IH
Hax 27ry.
Me)K.ny TeM, B03HHKHoaeHHe UHPKYJIHUHH BOKpyr
BHYTpettttero UHJIHtt;:i:pa, corJiactto TeopeMe KeJihBH
Ha o coxpatteHHH UHPKYJIHUHH (cM. [4]), He MO)KeT
npoHCXOJJ:HTb caMo 110 ce6e: ecJIH UHPKYJIHUHJl ao
Kpyr BHYTpeHHero UHJIHH.npa B Ha<JaJibHblH MOMeHT
BpeMeHH 6hIJia paBHa ttymo, TO B paMKax MOti:eJIH
11.n;eaJibHOH )KHJJ:KOCTH, B KOTOpb!X Mbl HaXO)lHMCJl,
Otta MO)KeT H3MeHHTbCJl TOJibKO H3-3a B03HHKHOBe
HH.R B6JIH3H O)lHOH H3 CTeHOK 8UXpR c 11oc.11e.ny10meH:
aHHHrHJI.RUHeH ero Ha .npyroH: CTeHKe. IIpH 3TOM,
ecJJH BHXpb 06pa3yeTC.fl B6JIH3H BH.ympeHHeii CTeH
KH, 11pH OTpbIBe ero OT CTeHKH )lOJI)KHa B03HHKaTb
UHPKYJI.f!UHJl BOKpyr BHYTpettttero UHJIHtt;:i:pa, 11poTH
ao110Jio)KHa..R 110 3HaKy BHXpIO (TaKHM o6pa30M, cyM
MapHa..R UHPKYJIHUH.fl 110 JI1060My )KHJJ:KOMY KOHTYPY
coxpaHJleTCJl). EcJIH )Ke BHXpb oTpbrnaeTCJl OT eH.ew-
1teii CTeHKH, TO rrpH rrorallleHHH ero CBOHM H306pa
JKeHHeM Ha BHYTpetttteH: cTettKe B03HHKaeT UHPKYJIH
UH.fl mozo )l(.e 3HaKa, 'ITO H BHXpb, •011ycTHBlIIHHCJl!>
Ha BHyTpeHHHH UHJIHHJ:i:p. 3To 03Ha<JaeT, 'ITO UHPKY
JI.f!UH.fl MO)KeT COB11a,D;ll.Tb c HarrpaBJieHHeM BpameHHJl
cocy.na KaK rrpH OTpbIBe OT BHYTpettHe:li: CTeHKH
BllXp.R OTpHuaTeJibHOH HHTeHCHBHOCTH (corJiaCHO
orrpe.neJieHHIO 3HaKa BHXPJl .< 1))' TaK H 11pH OTpbIBe
OT BHelIIHeH CTeHKH IIOJIO)KHTeJibHOro BHXpJl.
TaKHM o6pa30M, B03HHKaeT npe.n110Jio)KettHe o B03-
MO)f(HOCTH cymecTBOBaHHJl BHxpeH: HHTeHCHBHOCTH c
npOTHBOIIOJIO)KHb!M yrJIOBOH CKOpOCTH 3HaKOM. I1c
XOM H3 3TOro rrpe.nrroJIO)KeHHJl, 110CTpOHM YTO'IHeH
HYIO TeopHIO BHXpeaoro )lBH)KeHHJl CBepxTeKyqeii
JKH)lKOCTH B KOJibuax rrpOH3BOJibHblX pa3MepoB.
Cso6o~aJ1 aueprnJ1 H ycJioBHJI pasuosecHJI
IlpH pellleHHH IIJ!OCKOH 3a,D;a'IH )lJIJl ¢YHKUHH TOKa
H.n;eaJibHOH )KHJJ:KOCTH B KOJibUe [ s] 6bIJIH IIOJiyqettbl
Bb!pa)KeHJrn )lJIJl tPYHKUHH TOKa '\jl(r, 0) H KOMIIJieKC
HO COIIP.fl)KeHHOH CKOpOCTH v(z) H;:i:eaJibHOH )KHJ:i:KOC
TH, co.nep)Kameii N BHxpe:li: npOU380JlbH.OU HHTeHCHB
HOCTll 'Yk ' paCIIOJIO)KeHHbIX B npoU380Jlb1lblX TO'IKax
zk = rk exp (i0k). IlpH 3TOM ace BHXpH rrpe.nnoJiara
JIHCb 6ecKOHe'IHO JlJlHHHblMH IIpJlMblMH HHT.f!MH' Bbl
T.f!HYTb!MH B)lOJib OCH BpameHH.fl KOJihua. Ha110MHHM
3TH Bbipa)KeHH.fl, HCKJIIO'IHB H3 HHX CJiaraeMble, o6y
CJIOBJieHHbie ttaJIH'IHeM UHPKY JIJlUHH BOKpyr BHYT
pettttero UH.'IHH,npa (rrOCKOJlhKY Mb! He HaKJia,llbIBaeM
Cl>l'131'1Kll Hl'13Kl'1XTeMneparyp, 1997, T. 23, N2 11
3apattee HHKaKHX orpaHH'leHHH Ha 3HaK tmxpH H He
11pe.n110JiaraeM Ha.riwrne IlHPKY Jrnu1u:1):
\jl(r, 0) = i yk In ;
1
+ i yk rl Re In a li In ;k J-
k=1 k=l )
(. zz k) 2T] r k r l
- Re In a 11 In 71." 1- -- In R. In R J ;
~ z k ) {l)l 1 1 J
(2)
N N
- i" 1" v(z) = - z L; Yh + z L; 'Yk )<'
k=l k=l
(3)
3.nech z = r exp (i0) - · KOMrrneKCHa.lf rrepeMeHHWI B
KOJibue; (r, 0) - 11omi:pttb1e Koop.n1maTbI TO'IKH; a 11 t;
- cwrna- H ,n3eTa-¢YHKUHH Be11epurrpacca f 6] c rrony-
11epHOJJ:aMH ro1 = 7t, ro2 = i In (R2/R1); T] = l;(ro1);
Zk = R 1 exp (i0k) .
IlpH IIOJiyqemrn Bblpa)KeHHH ,llJI.R CB06o,nHOH 3Hep
rHH 11pe.nnoJIO)KeHHC o HaJIH'IHH N BHxpeH: npOH3-
BOJibHo:li: HHTeHCHBHOCTH 6hIJIO 3aMeHeHo rrpe,nnOJIO
)KeHHeM 0 TOM, 'ITO BCe BHXpH HMeIOT oauHaKOBY10
HHTeHCHBHOCTb y, coana.na10my10 110 3HaKy co 3Ha
KOM yrnoao:li: cKopocTH apaulemrn cocy.na. 0.nttaKo
He COCTaBJIJleT oco6oro Tpy.na 110JIY'IHTb o6w,ee BbI
pa)KeHHe )lJIJl cao6o,nHoH: 3Hepnur caepxTeKy'leH
)J{J:l,l{KOCTH B KOJlbUe, co.nep)KameM N BHxpeBb!X
JIHHHli 11pOH3BOJibHOJ'i. ( KaK 110 BeHH'Il:llle' TaK 1:1 no
3HaKy) HHTeHCHBHOCTH 'Yk (He rrpe1'l!IOJiara51 HaJIH'IHR
UHpKy.'IJlUHH).
KaK 6b1JIO noJiy'leHo pa1we [7 L
N N
1 1
F N = FN,0 = 2 Ps 21t'lf2 L Yk - 2 P., 21t\j/1 L 'Yk -
k=1 k=1
N N
- ~ Ps 21t L 'l'jYj - Ps f vs · Vn d V + ~ Ps1t L ~ ·
j=1 V' k=1
3tta'lemrn tPYHKUHH TOKa '1'1 1:1 'V2 Ha BttyrpeHHCH
( r = R 1) H BHelIIJieH ( r = R 2) rpairnu;ax KOHhu;a
6hrnH ttaH:;:i:ettbI 11p11 110Hy'Iemrn Bbipa)f(emrn ,nJrn
tPYHKIJ;HH TOKa:
3tta'ICHl:!Jl tPYHKUHH TOKa 'l'j Ha rroaepxuocrnx BHX
peii (K0Topb1e npe.LJ.no.riara10Trn llHJIHlftJ:paMH c pa
.n;wycoM a) Bbl'lttc.imM H3 o6mero BL1pa1KeHHH wrn
1163
T. H. 3yeBa
cpyHKUl1l1 TOKa (2), IIOJIO.lKHB:: = 2j = rj exp (iOj) BO
Beex eJiaraeMbIX, KpoMe omwro, r,1e cr(i Jn (z1/zk))
rrpl1 k = j HMCeT oco6eHHOCTb. JiycTb B :noM CJiarae-
MOM z = z1 +a exp (icp), r.ne <p -- y10•;, ::r·~·.4H. Ll
BaeMbJH OT uettTpa B:ttxpR. Toni.a rro,1)"fat'M 'c '~' '
ttoeTbIO .no eJiaraeMbIX nopRJIKa a/ri )
r . . · z . z .z k \ )Tl r k r 1
\j/1 = L'Yk lnj_ +2,ykllRe:na[iln_}_J-Relncrliln-k-1-~lnR-ln-J{ \+ r
N 1 N
k=1 1 k~t - z k \ z k / (J)1 1 1 J
\ / k'#j
a
[
r · 1 2TJy r . . • . J J 2 J + "( In-;- - f;Re In cr 21 ln -R --- In -R .
1 · i 1 1 ro1 1
CBo6o,nHaR :rnepnrn rrpHHHMaeT BHJJ,
3To 11 eeTb o6mee Bblpa.lKeH11e JJ,JI5I eBo60JJ,HOH
::mcprn:tt eBepxTeKy'feH .lKl1JJ,KOCTl1 BO npama10m:ttxe51.
c yrnoBoH eKopocTbIO w KOJibuax, co.nep.lKam11x N
a11xpeil rrpo:tt3BOJihHOH l1HTctte11BHocT:tt Yk·
y CJIOBHe paBHOBeeH.H. B11XpeBOH e:tteTeMbI rrpe.ncraa
AAeTC5I B BHJJ,e 2N ypaBHCHl1H
<JF = 0 · <JF = 0 . 1 2 N or. ' ae ' ' l = ' , ... ' .
l l
3Tl1 ypaBHeHl15I TO)Ke He coeTaBJIRCT Tpy.na 3a
rr11eaTb, OJJ,HaKO B ,naJibHCHIUCM HaM IIOTpe6y10Te5I
TOJlbKO ypaBHeHl15I' COOTBCTCTByIOm11e BIIXpRM IIOJIO
.lKl1TeJibHOH 11 OTp11uaTCJlbHOH CJJ,11Hl1'IHOH l1HTeHCl1B
HOeT11 y, I103TOMY 3aIIH1UCM HMCHHO JTH ypaBHeH11R.
3aMeTHM, •no Bbipa.lKeHHe /l.Jl.H cno60JlllOH :rnepnm
(4) BO Bcex CJiaraeMblX, KpOMe OJ(HOJ'O, CO)lep.lKl1T
npou3eeae1me l1HTel!Cl1BHOCTCH yky (IIJIH -.(f). I1
TOJlbKO B eJiaraeMOM w(R~ - rj) MHO~HTeJib Y;~ CTOHT
B rrepBOH CTeneHII (11J111 BbIHeeeH 3a CK06KII, TaK 'ITO
OCTaeTCR qJieH BIIJJ,a (w/y) (R~ - rj), KaK 3TO 6b!JIO
HaHJJ,eHO ,ll,JIR eIICTCMbl OJ(HOKBaHTOBblX fIOJIO.lKHTCJib
HblX BIIxpeil (7]). TaKHM o6pa3oM, II3MeHeH11e 3HaKa
l1HTeHCIIBHOCTl1 OJJ,HOro HJIH HeCKOJlbKIIX BHxpeil rro
BJIIIReT TOJlbKO Ha 3HaK HCKOTOpblX rrepeKpeeTHblX
'fJieHOB (npl1 k °I' j) n eJiaraeMoro nporropul1oHaJib
Horo w, eeJIH N > 1, HJil1 TOJibKO noeJie,nttero eJiara
eMoro, eeJil1 N = 1 HJIH Bee B11xpu HMeIOT OJlIIHaKo
BhIH 3HaK.
Hae 11HTepecyeT HMeHHO 3TOT nocJieAHHH eJIYlfaH.
IlorrbnaeMrn orrpe,ll,eJil1Tb, KaKoro 3HaKa B11xp11 no-
1164
.HB./HiIOTe.H rrpl1 He60JiblUHX yrJIOBb!X CKOpOCT>lX Bpa
meHl1R eoey.na l1 rro'feMy.
Ilpe.nrroJIOiKHM, HMeeTCR KOJibUO, 3al10J1He1rnoe
CBepxTeKy'l.HM reJil1eM, KOTOpoc BpamaeTCH c TaKoii
MaJieHbKOH yr JIOBOH eKopOCTblO (J), q'fo B )KHJ.J.KOCTH
HeT Hl1KaKllX Bl1Xpeii, TaK 'ITO
Ilpl1 HeKOTopoM 3Haqemm yr JIOBOH c1-:opocr11 rn = <J\,
B ~OCTH B03HllKaeT Bl1Xpb. Ticw,lJKeM' 'rl () ;~ ,-,,;
BHXpb, IIORBAAID1Ul1HCJI B6JIH3l1 O,ll,HOH H;i CTCHCJK, OK;;-
3bIBaeTC.fI 1leycmoiittU6bt.M, KaKOH 6bI 3HaK OH HJ! HMf!l,
l1 raeHTeJI CBOHM l1306pa..lKeHl1eM OTHOeHTeJibHO JlP~'r01!
eTeHKH, B pe3yJihTaTe qero B03HttKaeT UHPKYJl}H\lrn
BOKpyr BHyrpeHHero U11Jil1HJJ,pa.
IloJIBJieHHe BHxpn npott3B0.1bHOfO 3HaKa
3arrmneM Bbipa..lKettwe .zvrn CB06o.ll.H01':f :mcpnrn c:;epx -
TeKYlfeH iKHJJ,KOCTH B KOJibUe' CO,ll,epiK<llllCM OJlllH Bl!X pi.
ttHTeHeHBHOCTH -y B TO'!Ke z 1 = r 1 :
r1 a ( r1 j
F_1 = np/· t2 - In~+ Re In a l2i ln Rj r
2,, r I
'I I 2 1 ' (J) 2 2 I
+rot n "R; + -y<R2 - r1)J •.5•
3TO BbipaiKeHHe OTJIH'IaeTCR OT COOTBCTCTBy1muero
Bbipa)J(eHHR JJ,JIR Bl1Xp.R !10J1Q)Kl1Te.ribHOli lU!Tf'Hc'l!B
HOCTH +y mOJlblCO 3HaKOM rroe.7IC/~Hero 4.!lella. C"llfo
¢>11311Ka Hl13Kl1X TeMnepa·1yp, 1997, T. 23, N~ 11
0 1epumuv.eC1cUX c1eopocmsu: euxpeo6pa3oeaHua eo epaw,mow,e>1ca ze.11.uu
12
8
(.) ......
C\I
~ 4 (.)
..:
>
0
-4
0 R
1
0,4
_ .... - .....
----------------- I ---...
1,2
r1, CM
-Vn 1
I
I
Puc. 1. CKopocrn CBepXTeKyqeJI (v,) H HOpMaJibHOH (v.> KOM
notteHT KaK <l>YHKllHH noJIO>KeHHJI BHXpll r I . flpHBe,lleHHbie
UH<j>pbl COOTBeTCTBYKJT R1 = 0, 1 CM, R2 = 1,5 CM.
KO OKa3bIBaeTC.H' 'ITO HMeHHO 3TOT 'l:JieH HrpaeT pe
rnaromyro pOJib npH HCCJie,noBaHHH IlOBe,neHHR BHX
peBOH CHCTeMbJ. .l{JIR Toro 'l:TOObl 3TO IlOKa3aTb,
BepHeMCR K no,npo6HoMy aHaJIH3Y CHCTeMbI c 0,l(HHM
nollO)ICUmellbHbt.M BHxpeM, npoBe,neHHOMY HaMH B
pa60Te [7] KaK nepBbIH mar HCCJie,noBaHHR MHOro
BHXpeBOH CHCTeMbI, O,l(HaKO He BOrne.nrneMy B Hee
(BBH.ztY Toro, qTo cTaBHJiacb 6onee o6ma.H aa,naqa o
B03HJilKHOBeHHJil IJeJioro KOJibIJa BHXpeH:).
y CJIOBHe paBHOBeCHR BHXpR npOH3BOJibHOH HHTeH
CJilBHOCTH npHHHMaeT BH,ll
Tr:"+ - Im l; 21 In R - -- In](.=±- r 1 . 1 1 (. ~) ~ ~ ro
rt r 1 1 rot rt 1 'Y
(6)
BepXHHH JHaK OTBeqaeT noJIO)KHTeJibHOMy suxpro,
HH)KHHH - oTpHIJaTeJibHOMy. PaccMoTpHM no,npo6-
HO rpacpHKH cpyHKIJHH' aanHCaHHbIX B JieBOH H npa
BOH qacT.HX ypaBHeHHR (6) (,n.1r.11 ynpomeHHR yM
HO)KHB rrpe;:uiapJrreJibHO ypaBHeHHe Ha rt '# 0) ( puc.1).
JierKO BH,lleTb' 'ITO npH 'Y > 0 KOpeHb ypaBHeHHR
(6) rrpH JII060M <lJHKCHpoBaHHOM 3Ha'l:eHHH yrJIOBOH
CKOpocn/ BCero O.llifH, OH 6JIH30K K 3HaqeHHIO R2 H
HeycTOHt{JilB (KaK 6bIJIO ycTaHOBJieHo paHee); rrpH
y < 0 He MO)KeT cymecTBOBaTb 6onee O,llHOro KOpHH
ypasttemrn (6). 3TOT KopeHb Beer.Ila 6JIH30K K Rt ,
T.e. paBHOBeCHoe IIOJIO)KeHHe BHXp.H HaXO,l.lHTC.H 6JIH
)Ke K euympeHHeii cTeHKe KOJibIJa. HccJie,llyeM, ye-
TOHt{HBo JIH aTo noJIO)KeHHe paBHOBecu.11. Bb1qHcJIHM
BTopy10 BapHaIJHIO CB060,l.lHOH 3HeprHH (5):
y CJIOBHe IlOJIQ)f(HTeJJnHOCTH BTopoH: BapHaUHH
HMeeT BH,ll
1 ( r1) ( 't) 2 + Im l; 2i In Ir; - 2 Re I;' 2i In Ir; +
2T] ( '1) ro ') + - 1 - In .,., - - r: ~ 0 .
ro l'\t 'I t t . (8)
HaH,neM (ro/y) ~ H3 ycnosHR pasHoBeCHR (6) H
IlO,llCTaBHM B (8):
-Re I;' (2i In 2) + 21.. - ro ~ ~ O . (9)
Rt ro1 'Y 1
BbI'l:HCJIHM ,nsa rrepBbIX cnaraeMbIX, yqHTbIBaR BbI
pa)KeHHR ,llJIR 1;-cpyHKIJHH [6 J H IIOJ.lCTaBJIRR 3Haqe
HHR rronyrrepHO.llOB rot = 1t H ro2 = i In (R 2/R 1), a
TaK)Ke aHaMeHaTeJI.11 q = R 11R2 :
Re I;' [2i In ~1 )-21.. =
1 rot
1 ~... q2n r 1
- + 2 """' ----.2:-n nch2n In -R =
- 4 sh2 (ln r1/R1) 1 - q 1
n=1
q2TI Tl
2 nch 2n In -R- > 0.
1 - q n 1
r1=t
TaKHM o6paaoM, HepaBeHCTBO (9) He BbIIlOJIHReTc.H.
HU1cozoa: BHXpb OTpHIJaTeJibHOH HHTeHCHBHOCTH RB
JIReTCR Heycmou'l.U8bt.M (KaK HeycTOH'l:HBO soo6me
JII06oe t{HCJIO OTPHIJaTeJibHbIX BHXpeii, IlOCKOJibKY
J.lJIR rrpoHJBOJibHoro N Bee BbIKJia.ztKH coxpaH.HIOTc.11,
TOJibKO B Kaqecrne q HY)KHO 6paTb q = (Rt!Ri)"">.
11 Mbl rrpHXO,LlHM K npo6JieMe BbI6opa: rrpH MaJiblX
yrJIOBblX CKOpOCT.HX spameHH.H cocy,lla tteycTOHt{H
BbIMH .HBJI.HIOTC.H KaK rroJIO)KHTeJibHb1e, TaK H oTpHIJa-
3aMeTHM, qrn npH pewe11HH ypaetteHHll (6) c npaeoii qacThKJ, m:iJiyqe11ttoii H3 ycJiom-rn F
1
< F
0
, Kop11ell eoo6we 11eT, nocKoJibKY
npaeall qacTh e6JIH3H rpattHl.lhI r = R 2 pacTeT 6b1CTpee, qeM JieBaJI. 0.1t11aKo nollllTHO, qTo npH eCJIKOM <j>HKCHpoea11110M 311aqe11HH ro
KopeHb ecema HMeeTcH 11 011 6Jil130K K R2 . Ha pHc. t H3o6pa>Ke11 rpa<j>HK (ro/y)~ npH 311aqe11HH ro, 110J1yqe11110M H3 ycJioBHll
F 1.0 < FO,O e npe.1thl.1tyweM paccMotpeHHH [7].
<t>11311Ka11113Kl1XTeMnepaT)'p, 1997, T. 23, N211 1165
T. H. 3yeea
F ,,,.----------I ...... ,
1 ' ... ~ ... F (-1) ..... ..... ,, .. ,
' '
F(1)
...
\
f '
Puc. 2. Ka'lecrne1rnoc noBeJICHHe cB06o11aoii JtteprnH F KaK
cj>yHKl\HH llOJ[Q)l{CHHH BHXp.!! r1 ' JIJIB llOJl0)1{11TeJ1bHOro (F(l )) I{
OTpHUaTCJlbHOro (F(-1)) BHXpH.
TeJ!bHbie BHXpH, KaKHM H3 HHX OT,11,aeTCH rrpe,11,rrOtJTe
HHe H ITO'leMy? IlpH rrpe,11,bI,ll,YIIIeM paCCMOTpeHHH Mb!
YTBep)K,11,aJJH, 1uo ecJJH ycTOHtJHBbJX pememrii: ypaa
HeHHH dF /dr1 HeT, TO :rnepreTHtJeCKH BblfO,ll,HbIM
CtJHTaeTCH ITOHBJ!eHHe UHPKYJIHUHH BOKpyr BHyTpeH
Hero UHJIHH,11,pa. IlpaBOMepHO JIH TaKoe yTBep)K,11,e·
HHe7
PaccMOTpHM Bbipa)KeHHe ,ll,JIH cao60,11,ttoi\: 3tteprnH
(5). IloCKOJ!bKY rrpH mo6oM 3HaKe BHXpeH BTOpaH
BapHaUHH cso60,11,HOH 3HeprHH OTPHI.laTeJ!bHa, KO
peHb HBJJHeTCH MaKCHMYMOM. Ha npasoM KOHUe
(rrpH r 1 = R2) 3HatJeHHH cpyHKUHH TOKa F1 , cooT
BeTCTBy10meii ITOJIO)KHTeJ!bHOMY BHXpIO, H cpyHKUHH
TOKa F _, ' COOTBeTCTBYIOIIIeH OTPHUaTeJ!bHOMY BHX
pIO, coarra,11,aIOT (pHC. 2). Ha JJeBOM KOHI.(e (rrpH
r
1
= R 1) pa3HOCTb 3HatJeHHH cso60JlHbIX 3HeprHi1
F
1
HF _1 pastta
F_, - Fl= 7t P5T [
2
; ( (R~ - RT)]· (10)
A6coJJIOTHbie 3HatJeHH5l 3THX BeJJHtJHH MOJKHO rro
JJYtJHTb, ecJJH BbI'IHCJIHTb rrpe,11,eJJbI F 1 H F _ 1 rrpu
r1 ~ R 1,2 , rroJJaraH r1 = R 2 - £ HJJH r 1 = R 1 + £ u
paCKJ!a,ll,bIBaH CHrMa-cpyHKUHH no MaJIOMY rrapaMeT
py £. 3TH rrpe,11,eJibl OKa3bIBalOTCH paBHb!MH
.2{1 2£ R2 w 2 2} F \ "' 7tp y .,., + In - + In - - - (R. - R ) 1 _ _ s L. a R 1 y 2 1
'1- R2 E
(11)
Ha npasoM KOHUe 3HatJeH11e F_1 = F 1 , Ha ,1eaoM
OTJ!HtJaeTCH 3HaKOM IIOCJ!e,ll,Hero tJJieHa. 3aMeTHM,
1166
'HO F = 0 np11 r 1 = R 2 , ecJJH rroJJO)KHTb £ = a/2 H
npette6pe'lb cJJaraeMbIM 1 /2. 0,11,ttaKo CJJe,11,yeT rro
MHHTh, 'ITO TO'IHOCTb IlOJIYtJeHHbIX cpopMyJI (B rrpe
He6pew:emrn OTKJJOHeHJrnMH cpopMbl H,11,pa BHXpH OT
UHJIHHtJ;pH'IeCKOH) CHJibHO yxy,11,maeTCH B6JIH3H CTe
HOK, TaK 'ITO 3TH 3Ha1-1emrn CB060,ll,HOH 3HeprHH
JJHUib c HaTH)KKOH MO)KHO Ha3BaTb npe,11,eJJaMH. XoTH
113 Bhip<nKemrn ( 11) rrpu Tex )Ke npe,11,rroJJO)KeHHHX
OTHOCllTCJibHO £ IlOJI)''laeM
A aTo ,,. ecTb CB060,nHaJ1 3Hepr11:H )KH:,11,KOCTH: rrpH
HaJIH'lHH o,nHoro KBaHTa UHPKYJJHUIHI (cM. [7] H:JJH
HmKe (12)). TaKHM o6pa30M, np11 onyCKaHHH BHXpH
Ha BHYTpeHHHH UHJIHH,ll,p CB060,11,Ha5! 3HeprnH (c He
K\)TOfOH TOtJHOCTbIO) npespamaeTCH B CB060AHYIO
3Hepi .j!Q CBepxTeKy'leti )KH,ll,KOCTH 6e3 Bllxpeti, HO
np11 1-c<c.l!H'IHH UHPKYJIHUllH.
Cxt~MaTH'lecK11e rpacp11K11 cso6o,nHoli 3HeprH:H 1130-
6pa)Kl:'FbI Ha p11:c. 2.
PeaJJbHhie 3HatJeHl1H MaKc11MyMa 3Hepnm 11Me10T
IlOpH,ll,OK BeJ!ll'lllHbl T - 1 o··B ( 6oJJee ,ll,eTaJ!bHO Mbl
oueHHM 3TOT MaKCllMYM HH:)Ke). EcJJH B c11J1y KaKux
JI1160 rrpwmH (rn,npo,ll,HHaMH'leCKOH HeycTOH'lllBOC
TH' TeTIJIOBbIX tPJ1YKTya1i11H:' MeXaHH:tJeCKllX BH6pa
lll1H H T.Il. [2]) B11Xpb OTOpBaJICH OT CTeHKll ll
OKa3aJICH B IIOJIO)KeHim HeycTOHtJHBOfO paBHOBecirn,
TO rrpH OTKJIOHemm ero OT 3TOro IIOJJO)KeHH:.H B03HH:
KaeT nrna, BbIBO,ll,HIIIaH ero 113 paBHOBecttoro rroJJo
)KeHHJI.
IloKa)!(eM, 'ITO BeJIH'IHHa 3TOH CHJ!bl rrporropu11:0-
HaJibHa BTopoii Bap11aum1 CB06o,nHOH 3HeprnH (8).
Bocno.Clb3yeMcH Bbipa)Kett11:eM ,ll,JJH CHJJbI TpeHHH, KO
Top2J1 .ud\crnyeT Ha BHXpH co CTOpOHbl HOpMaJ!bHOH
KOMllOHCHTbl H npHBOJlHT HX B IlOJ!O)KeHHe paBHOBe
CHJI, ecm1 3TO IIOJIO)KeHHe ycTOH'lHBO, llJ!H BbIBO,ll,llT
HX 113 p:iBHOBenrn B npoTH:BHOM cJJytJae. YpastteHHe
JlBH)i{eHlrn i-H BHXpesoif HllTH, BbIBeJJ;eHHOH H3 paB
HOBec1rn, HMeeT Bll,ll, [2]
3,necb Ori - OTKJJOHeHHe i-if s11xpeaoii HH:TH OT
rroJJoJKeHHH paBHOBecmi:; s3 Ko3cpcpHUHeHT
o6beMHOH BH3KOCTH; vs,e - CKOpOCTb, C03,ll,aBaeMaH
B cep.uueairne BHXpH BCeMH OCTaJ!bHbIMH BH:XpHMH H
H306pa)KeHHHMH ( T.e. C:ij:OpOCTb CaMOfO BHXpH); e
2
--- opT OCH. nepneH,ll,HKYJIHpHOH _IIJIOCKOCTll KOJ!bUa
(oc11 apameHHH). BbitJHCJIHH 3TH Bbipa)KeHHH B u11-
mrn,npH'IeCKHX KOOp,ll,HHaTaX' IIOJJyqaeM ,ll,JIH O,ll,HOH
BHXpeBOH HllTH OJJ;HO CKaJJHpHoe ypaBHeHHe (pa,n11-
a.11bHa5! COCTaBJHIIOIUaH):
<!>"131-!Ka H"13KlllX TeMneparyp, 1997, T. 23, N2 11
r
)
'I
- .1 lw c; ( ~z in r' ! + ~~_ri
r1 R1 I rrri.
! )
Ui 7 1 · r?,
)
B noJIO)l(emui fJ<ll:lHOlHX 11>! r 1 "· r ap<rnJ..;i Y.aC:TL
paBtta HYJ!!O. fipH (1 = r1 ·+ Or
1
MO>Kli<J m.1;:)''il1!b
ypaBHettHe t(J:H 5r I , 11pn!le,.'.J;JI pa.J:JO)f(CHJ1e 5CC:.\
qJiettoB no MaJioMy napaMeTpy br 1.: ' 1
,. R r' ( . ! ;i l\1 2T] ( - L e~ ,. 21 o -.- 1- ·---,"'Y i i
RI ··r·· I \. )j 0 \ \,
J1en<0 B.H]..(CTb, 'fl'} Bb!pa:>Kt'>fiiC cl KBaJ\P3THb1X
cKo6Kax -- HTOpa51 BapmHurn cnc61·n.Hol1 :meprm1
(7) (c TO'HH"'Tb!O ;LO pa::l'fCpHOf<l MlffiJ!<l1Tem1). I<aK
6bIJIO lIOKa:JJ.HO Bb!llle, 3Ta .1Je.·1l1"Hl!la BCl'l'/l.a nTpH!\a
TeJibHa K3K ,llJ151 110JIO:>IC1TeJ!bHbJX, 1 ;J_ff (! IUHI OTpm~a
TeJibHbIX Httxpeil:. TaKHM o6pa:mM, Bome;~ettHbJe 1n
paBHOBecm1 BHxpw BcerJl.a y1~a,1;iioTCH en: Pn;1m1<eHH1J
paBHOBeCJ.Ul.
TI pH 3TOM no.nmKHTeJlbHbll'.:i !H-IX pi. •. CTOpBaB ii.fr!HCH
OT BHeurndi CTeHKl1 H npornewrmii 3HCpreTH'-iCCKl1H
6apbep, nptt6JJmKaf'.TCH :'< Bttyrpem1eil CTCHKe H CJU{
BaeTCH co CBOHM H306pa>f<.('!!HCM a O'rpttU.<!T'::'JibHbJH
BHXpb, 0Tpb!Ba.51CL fJT ;rny1p;.:;Hhdf ,.,.el!Kli, Cl<1Tl>IBa
eTCH K BHeJJIHeH rpamf!W 011 'id.KO, cur JCaCJct• '.:(;<n
HOllleHIHO ( 1()), CB060..'(Ha5! :mepr•,!J-! [' 1 npH r l '·' R 1
MettbWe, 'JCM cBo6o;~Ha5r rnq_:..Jl1}I F.: llpH r: '" 1:: 2
3ro 03Ha'!aeT, 'iT1.; orpbrH 0! BlVIHHd\ CTCHi<H FU.'cP
lKHTeJibHOl'O BliXpH .mep<.emu•.ff,~!(-,, :'i-:1.~l;'C f!Ui;}'JC-i.
qeM flOHBJieHHe OTpHl(J.TCJILhOf,) Blr!Xp:if .Y cr;·rperr
Heif CTeHKH. l?eayJ1b rar T3l(l.)f(J iHphlBa --· 1'03HHKHO
BeHne ~HPKYJIJJl-tHH !lOKj)y!' lifiYtP 'H'iero :ch,ifl!l,Llj)3.
HMe!OU{eH TOT iKe 3!!~\li., TiO ll yn!t:Ha>l CKOpOCT!;
spameHHH cocy:i.a. I<iKHM ,,6f1i1.:u~!. Hee r:v ;J.bJJJ.Y
IIIHe HCCJJC;J.OBamrn. ( (')l.f ! '/ I'• G'.. r:uoTUi p, CliJJC H jj
Ka"IecTse cBo6o.nHca 3Hepnm MO>Kl-W i\r •10M>J<.1-,,,;.rr::o
Bbipa)l(eHHe, II0.11)' :CHHOl' p.1!fCC
(j)
-- L (H; -- .HJ+
y -- '
R'l.
+ 2LN In --- - N In _2
r r, 1 I
!' ~' \_
• f I . I , : + i\i Re n CT ! 2i .i1 _R ___ I+
' 2 )
2 N
r . ., ,
Tl I 2 i 1 i (JJ - )J '; i
-f --- 111 1 ··---1-- -· N \N.~ -- r.J·_.
(J) I<') y 2 l . ( 12)
~ t\. .. ) ;
O:i.ttaKo nptt l-13Ml"HUJ!Hl nanpa;rneB:rn ll\><iIW~HIUl
cocy:i.a Kaj)THHa rc•!cH~1n u;,~;::n.w.~.'~: ::11 <'d.rrncc r1;.y,
"--. (N,L)
\~(0,1)
~<\(0,2)
\(0,3)
\~ (0,4)
~,(0,5)
~(0,6)
·(2,6~(1,6)
J ·-·- ---'-'--'-...!..---'---'
0 15 30
fl)/ y
0 1;c J. )il':<io""'''lHta'I U30(JH\HM ;,Hepnrn f = F/1r'(-ps KaK
•.py11.><u.i;i <u/"'f up'I h.t.J.'!l1'1Hh!X 31ia'le!l1H1x L H N a1rn KOJihUa
p;,:3M('IJ'1MH R. ~ U,1 ""'· R? = 1.5 CM.
o6pau.((.:HHOH l::.«:mHKillO'l BHXpll OTplU.(aTeJibHOH HH
TeHLlffHIOCTH 11 UHPl\_Y.iLllUHH CKopoCTH BOKpyr BHYT
pe;-rner o u11;, HH.llP"- UKJ.JbrnaeTcH TO)Ke 01·pHuaTeJib
ttoii:. ~he ;;•:HO !1'..l BhlpaJKCHll51 ;J.JlH CB060.l.(HOH
'JHepn-tH, HCCJ< .. O/lbKY HOCJIC;J.Hee CJlaraeMOe B HeM
(1w-rov>t m;1.Jf'T ;i :noM paccMoTpeHHH Be:i,ymy10
j)OJ!b) 3aBrlCJ!T OT orrmoUJ.e1tUR w/y. IlOJIHbIH •Beep
::niepn:rih· "OCrBe-fCTBY!Omm':f KaK ITO.IIOJKIITCJ!bHbIM, TaK
11 orp1u,;•:ruHufoJM CKOj)C<.'.TRM Bpamemm, :ttMeer Blf,11;,
,1 .... : :;6p;1,)!\,c}th. iii }j,. .,>~1r . .3, J1.3 Karoporo HCHO, 'ITO rrpH
Hpau.(einrn •:c-:y:to, :; ;,::o.nnr;rn-mro cBepxTeK)"iHM rCJIH
,,1 ! , Bn:r.a..~ p1;;i; u.aKJ i r;ax;·JJ1. lfMemume TO )f(e narrpaB
. J'FHe (J;,;u;), 'ifC ,, :_,\G[IO'."'" .'.lpam,~1urn cocy:i.a.
'.::'ln.~prt' ~1-1'1('.(0\ in-1 6ap&eµ i\aK tPYHKl~HJI yr JIOBOii
CKOpOCTH
i.)b11HC 6i.J)J() ;~\ 1 Kt1>$dHO, '-{'iO oTpL1B nOJIOJKHTeJibHO
··:-, l':!Xp.>i ')! !ii't;1Iffell (;'f('HKH yMeHbIIJaeT CB06o:i.tty10
e>Hc·~i· iun. ,·),r~h:11·:'.) ;:vrn roro, '-!T06bl m1xpb oKa3aJJc51
fJG.iilUH ;;.HVT!.}i' ,.,pf! CTfHKli, eMy Heo6X04HMO npe
Oi.l,U)JCTh .;lWP' 1·"il1'H~CKl1H 6aµbep' Bb!COTa KOTOporo
p;Hrna .rna'-lei:PJJ cBo6o;~uni1 :rnepnm B TO'IKe MaKCH
MyMa. }l;rn Bbl'-!HC.'IeHlfJl :noro :ma'l:eHJ-tH tteo6xo.l.(tt
MO JHan. naBHoRe.::mw no;10)f(eHwe BHXpR r 1 ( r.e.
pemem<e yDaBc:!!~HlUI (6)) 11 BeJ!l!'{HHy yrJIOBOH CKO
pocrn. npH ;;.nropott ,nm· BHXpb noHBJ151eTCR. CJJO)f(
HO'.'.'' b 3<iKJ!H!'i1tt'TCH l:l TOM' 'ITO KOpeHb ypaBHeH1151
(CJ '.
1
Ht' ·"t.ip:i::-Kac rt.>J atta.111TttqecKH 'iepe3 napaMeT
Pb' '1;JlblU R 1 H R. 2 , a npe.n.CTaBJIHeT co6oi:i: perne-
1me c110:>11li:i·1) ypal'.w::mrn, CO/.(ep)Karuero 6ecKoHe'l:
Hoie p5iil.'•! rfr r'.po ... te H Hhlp;rncemie ,n:JIH cBo6o.n.ttott
:!Hcprn.o (,._~\ 1.')1) Knlff'-IHO, nptt 'IHCJieHttbIX pac
''"';·'i :rr<> rr::.-.~w,,:-; ,_, niwo;:1,o;rnMa, HO TO'l:Hble aHa-
1167
T. H. 3yeea
JIHTH'ieCKlfe Bbrpa)f(eHH.R IIOJIY'iHTb B o6meM CJiy'!ae
He y.n:aeTC.R.
0.n:HaKO B p.si:.n:e rrpe.n:eJibHbIX CJiyqaeB MQ)f(HO IIOJiy
'iHTb rrp116JI11)f(eHHbre Bbipa)f(emrn .n;JI.si: r 1 11 cso6o.n:
HOH 3Hepr1111' KOTOpbre 6oJiee Har Jl.R,ll;HbI H 113 KOTO
pbIX MO)f(HO H3BJie'!b IIOJie3HYIO HHcpopMaIU1IO.
B qacTHOCTH, .n:JI.si: KOJieu c MaJibIM BHYTpennHM
pam1ycoM (6y.neM Ha3b!BaTb HX <<IIIHpOKHMH~) MO)f(
HO HattTH rrp116J1H)l(em10e Bbrpa)f(em1e ,AJI.R caMoro
CJIO)f(HOfO '!JieHa B CB06o.n:HOH :mepnm
Pac'!eTbI rroKa3bIBaIOT, '!To tlJI.R TaKHX KOJieu rrep
BbIH BHXpb nO.RB.'l.ReTC.R B6.'IH3H BHerntteii: CTeHKH
farn BepHO ,ll;JI.R KO.'leU, y KOTOpbIX R1/R2 < 0,05).
Tor.n:a BeJIH'iHHa /... = R 2 - r1 MaJia n MO)f(HO BBecni
MaJibIH napaMeTp E = /...,/R2 . ITposoa.si: pa3JJO)f(eHHe
ITO 3TOMY napaMeTpy Bcex Bbipa)l(eHl1H, BXO,Tl.RIUHX B
S H B CBo6o.n.ttyIO :rneprnIO, noJiy'laeM
2<01
S=ln--+ln
7t01 (0)
2q1/4 [~ - R2 r6 - R6 r10 - RIO l 1 2 2 1 ·2 6 1 2
= In -- + In R - q ~<i;:? + q 5;::? - · · ·
e;(O) 2r1 1t2 1 R2 1
2q1/4
In -- +In 2e + ln (1 - 3q2 + Sq6 + ... ) .
e;(O)
Y 'iHTb!Ba.R pa3JIO)f(eHHe no q ,ll;Jl.R 0j (Q) [ 6], rrpe,n
CTaBJI.ReM s B BH,Ae
S = In 2c. + O(E) ,
. { 2R2e..fe co 2 }
F 1 == rry2p5 In a - y R22e . ( 13)
B cJIY1iae yJKUX KOlleu, (2d = R2 - R 1 << R 2) JHa
MeHaTeJib q He MaJI. 0.n:HaKO MO)f(HO BOCnOJib30BaT:bC.R
COOTHOIIIeHHeM 0.IJ:HOpo.ll:HOCTH .ll:AA cr-cpyttKL(HH [6]
( <irrepesopa'!HBattHe noJIYnep110.n;oB~, KOTopoe y)f(e npo
BO.n;HJIOCb rrpH HCCJie.n:oBaHIIH Y3KHX KOJieu B pa60Te [7]):
q = "{::'] = ox{ In (:,!R,!)
MaJI .n:a)f(e .ll:Jl.R ,AOBOJibHO <llIIHpOKHX~ KOJiel( (HanpH
Mep, OH HMeeT nop.si:.n:oK 10-3 .IJ:Jl.R OTHOIIIeHH.R pa.n:11y
COB R 2/R 1 - 5); p.si:.n:, qepe3 KOTOpbrtt Bbrpa)f(aeTc.si:
cr-cpyttKL(H.R, 6yaeT CXO,TlHTbCR HaCTOJibKO 6bICTpo,
'!TO MO)f(HQ orpaHH'iHTbC.R TOJibKO nepBbIM ero 'iJie
HOM. BbI'IHCJI.R.R 3TOT p.si:a, noJiyqaeM rrp116JIH)f(eHHoe
Bbipa)f(eHHe ,TlJI.R CB06oattoii: 3HeprHH
+ln
1168
7t In (r 1/R2)
sin-----
ln (R/R 1)
Bepnoe ,AJI.R Bcex KOJieu, ,ll,JI.R KOTOpbIX MaJIO q2 .
0TCIO,ll,a MO)f(HO 3JieMeHTapHO Bbl'iHCJIHTb co;y, npH
KOTopoM F 1 o6paruaeTC.R B HYJib.
113 MalIIHHHbIX pac'!eTOB c;1e.n.yeT' '!TO B JII060M
cJiyqae KopeHb 6oJibille, '!eM R = (R 1 + R2)/2. 3rn
03Ha'!aeT' '!TO' KaK H ,ll;JI.R IIIHpOKHX KO JI el('
r1 = R 2 - A.. BeJIH'IHHa /... .llJIR Y3KHX KoJieu 6JIH3Ka K
d. I1o3TOMY OTH01IIem1e E = /.../R2 TO)!(e MaJIO H BCe
BeJUf'!HHbI MO)!(HO pa3JIO)f(HTb no MaJIOMY napaMeTpy
E. IToJiyqaeM
. 7t ln (r1/R2) . 7t In (1 - E)
Sill "" S Ill
ln (R2/R1) ln (1 - 2£)
1t ( E \ 7t2E12
"' sin 2 1 - j j "' 1 -1{) .
Tor.n:a cso6o.n;Ha.R 3Heprtt.si: npHHHMaeT BH.ll.
CJiaraeMbIM nop.si:aKa E, Boo61ue roBop.si:, MO)l(HO
npeHe6pe1ib, H 3HepreTn'iecKH,H 6apbep Bbrpa.1HTCR
COBCeM npOCTbIM COOTHOIIIeHHeM
(14)
TaKHM o6pa30M, KaK a.ru1 Y3KHX, TaK H ,TlJI.R rnttpo
KHX KOHeu OCHOBHOH BK,'Ia,ll, B CB060t1HYlD :mepnuo
.n:aeT JIOrapucpM OTHOCHTeJibHO 6oJiblIIOH BeJIWJHHbI
(2R2 ..fe )/a (B CJiyqae nmpoKHX Koneu a '-!HCJIHTene
.n:o6aBJI.ReTC.R MaJibIH MHO)f(HTenb E). 3a C'!eT Ma,10ro
a B 3HaMeHaTene ::JTOT norapucpM HMeeT nop.si:aoK 20,
Tor.n.a 3HepreTH'ieCKHH 6apbep B pa3MCpHbIX Be!IH'!H-
¢>H3HKa HH3KHX TeMneparyp, 1997, T. 23, N2 11
0 Kpumu'lecKux nwpocmax euxpeo6pa3oeaHuR eo epaw,mou:,PMCR zemw
--------------------------------
H3X paBeH op11Mep1m 2 -1 o- 7 ~!pr ( 1Ip11'!eM OKa:!bIBaeT
CJ1, 'HO OH f10'!Tll He 33BHOIT OT BHyTpurnero pa;'{Hy
ca np11 cp11Kc11pmiattttuM m1ermreM pa.l(11ycc).
lb Bb1p;nKrn11l1 ( U) 11 ( 14) .nen<o HaXO.UHTCH
yfJloBaH cKopocTb, 11p11 KOTopmi :rnepreTw1ecKatt 6a-
pbep 06pan1aerrn B HyJrh:
')R r-
w 1 '- 2 \IP
- = -- Jn----
y 2£ a
(ivrn w11pm01x KOjlCU c 'IC)lyeT .l(06aBHTb £ B 'Il1CJIH-
TeJih JiorapwqJMa).
XoTH np11 CTporoM paccMOTpemrn ttp1rno y'mTbI
BaTb, •no KO[lCHb ypam!CIIH5l ( 6) ;{aBl!CHT OT (J) ( c
pocro~1 (!) OH IIp116JI11J!ClCTC5l K 1rneumctt CTeHKe)' 11
npH Ka'JCCTBCHHOM paCCMOTpC!!Hli MOiK!lO BH)lCTb,
'!TO 8C.~M'll11!3 yr JIOBO!l c:<opucn1' rrpH KOTOpoif HC'!e-
3aeT attcpren1<JecKHH 6apbep, HaMHOl'O rrpeBbilllaeT
TY pacqcn1y10 c1<opucTb u>0 nrm I<OTopoi1 oKa3brnaeT
rn BbirO,:IllhiM no.lls11ett11e nepsoro ( ueycTOH'lJrnoro)
BllXp5l. '.':'ho o:rna•ueT' 'lTO BCp05lTHOCTb 11051.BJICHHR
BllXpH np11 w :::.: rn0 MaJJa.
O!ICHHTb :ny BepcmTHOCTb MOJKHO. Bbl'lHCJIJIB ae
JIH'lHHY
( F 1 ) 21tr1
p = exp l-~ 1-a- -
' )
3AeCb F
1
BbICOTa npeo)lf.L'ICBaeMoro 3ttepren1-
'lCCKoro 6apbepa; T - TeMnepaTVpa [ 10]. Mttm1rn
TCJ1b rqrn CJKCrIOHeHTe onpe1~c1rneTC5l 'l3CTOToi1 y._1a
poB o IIDTel!l~HaJibHhIH 6apbep, u Ka•1ecrne KOTopo:ii
MO)!(I!() B35lTb OTHOlllCHl1e )!J1!1Hbl OKpy)!<HOCTll, Ha
KOTOpoi1 HaXO/LHTCR 1rnxpb' K pa;111ycy BHXpR'
flocKOJ1h1'.Y F 1 - 10-7 3pr, npn T"" 1K BeJm'lHHa
p :::_ exp (-10-9)' 'lTO Ha MHOrCJ nop5!.l(KOB MeHbme
BTOporo MH0)!(!1TCJI5l B Bbipa)!(emrn .l(J!H p ( paJIHYC
BllXp5l HMCCT 110p5!,UOI: 1 o-·8 CM). TaKHM o6pa;mM,
Bep05lTl!OCTb II05lBJiemrn HHXpR npu (J) = (1)0 npaKTH
'!CCKll pa a Ha 1-1y mu. Pea11b110 !(Hp Ky JIRUH5! BOKpyr
BHYTPCHHero UHJJmi;i:pa no:rnHKaeT np11 cKopocTRX,
H3MHOro npeBb!W3lOlilHX (J)o -
l1p11 yseJI11'lCHl1l' yrnoaoii CKOpOCTH BblCOTa 6apbe
pa F 1 p1enhmaeTc11. Ho nocKOJibKY BKJI3.l! OT BTopo
ro cJiaraeMoro, nponopunoH<tJlbHOro ro, ueae1mK no
cpaB1ie1111JO c ncpBbJM CJ1araeMbIM, F1 CTaHOBHTCH
paBHbIM ttymo 11pH yrJIOBh!X CKOpOCTRX rop;t3J(O
60JlbillllX (J)O . fI peBblUICllHC pea,1bHblX yr;10BblX CKO
pOCTeii lOC ' npll KOTOJJblX llOJ'lBJl5lCTC51. rrepBb!H
BHXpb, Ha,'( pac•JCTHblMH Wo 110;1/!\.l!O 6blTb 3H3'll1-
TCJ!bHbIM npHMei>llO B 100 pa:i (c~1. Ta61111uy). H
xorn a6co.ruoTH"M1 JJCJill'll1Ha yL1oaoii CKOfJOCTH BCC
paBHO OCTaCTCR O'lCllb MaJJO~I. BCpO.HTilO, :ny pa3HH
IIY MO)!(Ho 06Hapy:>K11TI, !I<cnepHMCHTaJJbHO.
<l>1>131>1Ka Hl>l3KHX TeMnepa;-yp, 1997, T. 23, N~ 11
Ta6JIHUa
YnroHi"t' CKopocTH, ~ipH KOTOpb1n: l!OHBJIHl'TCH 11epBbIH BHXpb
RI , CM (1)0 , ,. We ' c-1
1.10 4,7 10-s 4,7 10-3
1,20 4,4·1tr5 6,310-3
1.30 4,1-10-5 9,5· 10-3
1,35 3,9· 10-S 1,3-10-2
1,40 j 8·10 s 1,9 10-2
1,45 :J,610'5 3,8 10-2
[J pH Mc~ a H He: BHL'UJHHH P<l!IHYC R2 = 1,5 CM.
CooTHomeHHe M:eJKti:Y yr Jiouoli cKopocTbIO u
KOJIH'leCTBOM uuxpeit
CeMettcTBO npRMbIX, M3o6pa)!(eHHoe aa pwc. 3,
3aBHCMT, soo6me roaopR, OT Tpex napaMeTpoB: r1,
L 11 N. 01-1uaKo B cJiy'lae, Kor1-1a 'HiCJIO awxpeii
)J.OCT3TO'IHO BeJIHKO, paBHOBecttoe ITOJIO)!{eHHe BHX
peaoi1 uenO'IKH H3XO.l(HTC51. npaKTH'leCKH nocepe,rJ,HHe
3a3opa .u11R KoJieu mo6blx pa3Mepoa, T.e.
a yrJIOBaR CKOpOCTb aparr<eHl-151. cocy,ila CB51.33Ha c
'IHCJIOM BHXpei1 ll '!HC.IIOM KBaHTOB UHpKymIUHH rrpo
CTbIM COOTHOl!IeHHeM [ 8]
( 15)
Tipn noJiyu.eHlrn 3Toro Bbipa)!(eHMR 6bIJIH OT6porne
HhI 'lJJeHbl
2N
( r1)
lR2
l
I.
J
Mo)!( HO ouemnh qucJio swxpen N, npu KOTopoM
3TH qJJeHbl na MHOfO rropR,UKOB MeHbllie OCTaBJieH
HbIX 'lJieaoa ( L + N /2). TI pH 4JuKrnpoaaHHOM 3Ha
qeHHH pa,,ri,11yca BHenrnero UUJIHHtJ.pa R2 = 1,5 CM
OT6porneHHbie 'lJieHbI HMeIOT I10p51..ll0K 1 o-3 ,l!JI.H CJie
AYIOmHX nap 3Ha<J:ettnfl BHVTpettttero pa,,ri,wyca 11 qwc
J1a BHXpei1:
0,1 0,3 0,5
N ~ 12
1,0
~ 28
1,2
~ 50
TI p11 6oJJbWHX R 1 0•1enh 6oJJblllHM cTaHOBHTC.H
'lHCJIO KBaHTOB UHpKy.'151UH11 BOKpyr BHyTpeHHero
UHJIHH.llpa L, TaK 'ITO peaJibHbie 3Ha'leHHR N, rrpH
1169
T. H. 3yeea
KOTOpb!X BepHa cpopMy JI a ( 15)' HaMHOfO MeHbll!e
3anwcaHHbIX.
l1cnoJib3YH Bb1pa)l(e1me .u:mi: r 1 w cooTHOll!eHwe
( 15), MO)l(HO c,u:eJiaTb ceMeikrno JrnHwii F NL oiJHo
napaMemputieCKUM (xoT.fl 3Tli JiliHlili y)l(e .;e 6y.a:yT
npHMb!Mli) Ii IIOITbITaThC.fl HaHTli orw6a10W:YIO 3TOro
ceMeiAcrna. L{Jrn ~~Toro npe)l(.u:e Bcero Hai\:,a:eM np11-
6JI1i)l(eHHoe Bb1pa)l(e1rne .Ii.JI.fl CJiaraeMoro, co.nep:JKa
mero cr-cpyHK1urn:
SN = Re In er 2i In R + - ln2 R = In N + Re In = In --- +
[
r1 l 2T] [r1 l 2 01 (iN ln (r1/R1) 2
1 w1 1 e; (O) Ne; (O)
[
~ r1] 2 r1 1 r1
+In 2q1/4 L (-1)nqn(n+I) sh N(2n+1) In R =In N +In sh N In R =In N + N In R.
1 1 1
n=O
Tor.u:a
F = rrf-ps { (-L(R~ - Rf) - N(R~ - rT) J ~ +
I R2 R2 aN R1R2 r11 l
+ 1 L 2 In -R + 2LN In - - N In - + N 2 In ~ + N 2 In 'Tl"' ~
·L 1 r1 r1 r1 n1_J
( 16)
2
ITo.a:cTaBJI.fl.fl L = (w/y)r1 - N /2 w rpynnwpyH qJieHbI no CTerreHHM w/y, rroJI.}"!aeM
2 r 2 2 ? l
F NL = - - rr R~ - RT - r1 In -R - - N I~ +? - TT + ~ In ~I + -4 In -R - N In - . (
(l)J [ R2] (I) I R1 R2 11 N
2
R2 aN
' Y 1 Y L L. - ' r>.1 Il.2 J 1 r 1
(17)
HanOMHliM, qrn cao60,a:Hy10 3Hepm10 ( 17) cJie.u:yeT
paccMaTpliBaTb KaK cpyHKUHIO w/y, T.e. B KaqecTBe
apryMeHTa x 6paTb w/y, a B Ka'!ecrne y 6paTb F N L.
L!JIH noJiyqeHH.fl ypaBHeHH.fl orn6a10mei1 npo,a:Hcpq;e
peHuwpyeM no rrapaMeTpy N [9]:
r 2 2 2 l w 1 R 1 R2 . r 1
-12 + T - rf + r1 In R R I =
Y L 1 2 J
N R2 aN = - In - - In - - 1 2 R1 r 1
( 18)
BMeCTe c ypaBHeHweM ( 17) ::irn Bbipa)l(eime rrpe.u:
CTaBJI.fleT co6oi1 ypaBHeHHe orn6a10mei1 o,u:Honapa
MeTpHqecKoro ceMeHCTBa KpHBbIX F N,L. XoTH rroJiy
ql{Tb 3TO ypaBHeHHe B .fIBHOM BH,U:e He y.u:aeTC.fl
(HeJib3.fl B aHaJIHTHqecKOM BH,U:e HCKJIJOqHTb N)' 3a
MeTHM, qTQ COOTHOIIIeHHe ( 18) MO)l(HQ paccMaTpH
BaTb KaK .ll,OBOJ!bHO rrpocTyIO CB.fl3b Me)l(.u:y qHCJ!OM
BHxpeM: H yrnoaoii cKopocTbIO Bpamemrn cocy.n.a:
3a.n,aBaH qttcJio BHxpeM: N, MO)l(HO onpe.n,eJIHTb yr JIO
BYIO CKOpOCTb, KOTOpoM: COOTBeTCTByeT 3TO qHCJIO
BHxpeM:, H Hao6opoT. ToqHOCTb ::iToro Bbipa)l(eHH.fl
onpe,u:eJI.fleTC.fl nopH.U:KOM OT6pollleHHbIX qJieHOB B
Bbipa)l(eHli.fIX ( 15) H ( 16).
1170
Aarnp 6Jiaro.u:apHT M. E. Tapanoaa 3a 11;nepectth1e
BOIIpOCbI Ha ceMHHape Kacpe,a:pbr MeXaHHKH, KOTOpbie
IIOCJIY)f(HJIH CTHMY JIOM ,llJ!.fl HaIIHCamrn ,a:aHHOH pa6o
Tbl, a TaK)l(e C. l1. illeB'IeHKO 3a o6cy)l(.u:eHHe pa6o
Tf>I H ITOJie3HbJe 3aMeqaHH.fl.
1. P. M11JJH-TOMC'OH, TeopemutteCKflJI wapoauHCLMU1W, M11p,
MocKBa ( 1964).
'2. C. narrepMaH, ruapoOuHa,'tU1W C6epxmeKytteu >KU01wcmu,
M11p, MocKBa, (1978).
3. R. ]. Donnelly and M M. La Mar, ]. Fluid Mech., 186,
162 (1988).
4. JI. Ll- J1a11.uay, E. M. Jimtiumu, ruapoouHaMUKa, HayKa,
MocKBa (1986), ui.16.
5. A . .ll. TKJnuoe, T. 11. 3yena, Mam. rjJuJw<a, aHaAuJ u
WOMempUR 1, 529 (1994).
6. Cnpa60'IHUK no cnel{ua,1bHblM ¢y11Kl{URM c ¢opMyAaMu, zpa
rjJuKaMu u MameMamutteCKUMU ma6Aul{llMl1. M. A6paMoBHl.1
11 H. Cmra11 (pe.u.), HayKa, MornBa ( 1979).
7. A. ,ll. TKJnuon, T. H. 3yeea, <!JHT 20, 1116 ( 1994).
8. T. H. 3yeea, <lJHT 22, 1100 (1996).
9. r. M. <!>ttXTClffOJlbl..l, Kypc au¢¢epeuu,ua/lb110l0 u UHmez
pa!lbHOlO uc'IUCJ1e11UR, Hayka, MoCKea (1969), T.1, c.542.
10. ,ll. P. T1111n11, ,ll)f<. TttJJJJH, C6epxmeKyt1ecmb u ceepxnpo110-
ou.At0Cmb, Mttp, MocKBa (1977).
ct>vi31-1Ka H1'13K1'1X TeMneparyp, 1997, T. 23, NQ 11
'O
[
l-
0 Kpumu'l.ecK.ux cK.opocmsix euxpeo6pa3oeaHua eo epaw,mow,e.Mcsi zeAuu
On critical velocities of vortex formation in
rotating helium
T. I. Zueva
This paper continues the invP,stigation of super
fluid flowing between two concentric cylinders ro
tating at equal angular velocities. The general ex
pression for the free energy of superfluid with
vortices which have arbitrary intensities is obtained.
The possibility of vortices with negative (opposite to
the sign of the angular velocity) vorticities is stud
ied. It is shown that the negative vortices appear at
a greater free energy than that of the positive vor-
<l>MaHKa HM3Kl-IX reMneparyp, 1997, T. 23, N2 11
tices. The friction force which acts into the vortex
from the normal component is calculated. The mag
nitude of the free energy maximum is calculated. It
is shown that, due to the presence of the energy
barrier, the probability of vortices appearance is
great when the angular velocities are much higher
than the calculated ones. The parametric equations
for the envelope of the family of lines which de
scribe the free energies as functions of the angular
velocity ro for different vortex numbers N are ob
tained. The approximate relation between the angu
lar velocity of a rotating vessel and the number of
vortices is derived._
1171
|