Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии

Проанализированы три уравнения динамики плотности вихревых линий. Показано, что уравнение Вайнена дает значения времени развития вихревого клубка в случае постоянного противотока более корректно, чем другие альтернативные уравнения. В рамках системы уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентност...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автор:	Кондаурова, Л.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175756
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии / Л.П. Кондаурова // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 1. — С. 36-45. — Бібліогр.: 64 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-175756
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1757562021-02-03T01:29:55Z Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии Кондаурова, Л.П. Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Проанализированы три уравнения динамики плотности вихревых линий. Показано, что уравнение Вайнена дает значения времени развития вихревого клубка в случае постоянного противотока более корректно, чем другие альтернативные уравнения. В рамках системы уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности, полученной при феноменологическом подходе, найдены времена вскипания гелия от плотности теплового потока при использовании альтернативных уравнений динамики плотности вихревого клубка. В отличие от экспериментов, в которых наблюдаются различные зависимости времени вскипания tboil от плотности теплового потока Q (tboil ∝ Qn, −4 ≤ n ≤ −2), в данном случае получается только степенная зависимость с показателем степени n = −4. Получено распределение скорости нормальной компоненты вдоль канала, зависимость температуры от времени вблизи нагревателя. Проведено сравнение с численными и экспериментальными результатами, ранее полученными в литературе. Проаналізовано три рівняння динаміки щільності вихрових ліній. Показано, що рівняння Вайнена дає значення часу розвитку вихрового клубка у разі постійної протитечії коректніше, ніж інші альтернативні рівняння. У рамках системи рівнянь гідродинаміки надплинної турбулентності, яку отримано при феноменологічному підході, знайдено часи скипання гелію від щільності теплового потоку при використанні альтернативних рівнянь динаміки щільності вихрового клубка. На відміну від експериментів, в яких спостерігаються різні залежності часу скипання boil t від щільності теплового потоку Q (tboil ∝ Qn, −4 ≤ n ≤ −2), n в даному випадку виходить тільки степенева залежність з показником степені n = −4 . Отримано розподіл швидкості нормальної компоненти уздовж каналу, залежність температури від часу поблизу нагрівача. Проведено порівняння з чисельними і експериментальними результатами, які раніше отримані у літературі. In this paper we analyze three types of equations for dynamics of vortex lines density. It is shown that the Vinen equation is more correct gives the values of the vortex tangle development time in the case of constant counterflow than other alternative equations. In the framework of the system of equations of hydrodynamics superfluid turbulence obtained at the phenomenological approach, it was obtained the boiling times of helium as function from the density of the heat flux by using alternative equations of dynamics for vortex lines dencity. Unlike experiments in which different dependences of boiling time boil t from density of the heat flux Q (tboil ∝ Qn, −4 ≤ n ≤ −2), are observed, in this case we get only a power dependence with the order n = −4 . It is obtained the distribution of velocity of the normal component along the channel, the time dependence temperature near the heater. A comparison is made with the numerical results obtained earlier in the literature. 2018 Article Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии / Л.П. Кондаурова // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 1. — С. 36-45. — Бібліогр.: 64 назв. — рос. PACS: 67.25.dk, 47.37.+q, 03.75.Kk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175756 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы
spellingShingle	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Кондаурова, Л.П. Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии Физика низких температур
description	Проанализированы три уравнения динамики плотности вихревых линий. Показано, что уравнение Вайнена дает значения времени развития вихревого клубка в случае постоянного противотока более корректно, чем другие альтернативные уравнения. В рамках системы уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности, полученной при феноменологическом подходе, найдены времена вскипания гелия от плотности теплового потока при использовании альтернативных уравнений динамики плотности вихревого клубка. В отличие от экспериментов, в которых наблюдаются различные зависимости времени вскипания tboil от плотности теплового потока Q (tboil ∝ Qn, −4 ≤ n ≤ −2), в данном случае получается только степенная зависимость с показателем степени n = −4. Получено распределение скорости нормальной компоненты вдоль канала, зависимость температуры от времени вблизи нагревателя. Проведено сравнение с численными и экспериментальными результатами, ранее полученными в литературе.
format	Article
author	Кондаурова, Л.П.
author_facet	Кондаурова, Л.П.
author_sort	Кондаурова, Л.П.
title	Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии
title_short	Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии
title_full	Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии
title_fullStr	Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии
title_full_unstemmed	Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии
title_sort	динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175756
citation_txt	Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии / Л.П. Кондаурова // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 1. — С. 36-45. — Бібліогр.: 64 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT kondaurovalp dinamikaplotnostivihrevyhlinijiprocessyteploperedačivsverhtekučemgelii
first_indexed	2025-07-15T13:08:56Z
last_indexed	2025-07-15T13:08:56Z
_version_	1837718503297122304
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 1, c. 36–45 Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии Л.П. Кондаурова Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, пр. Ак. Лаврентьева, 1, г. Новосибирск, 630090, Россия, Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск, 630090, Россия E-mail: louisa@ngs.ru Статья поступила в редакцию 24 августа 2017 г., опубликована онлайн 28 ноября 2017 г. Проанализированы три уравнения динамики плотности вихревых линий. Показано, что уравнение Вайнена дает значения времени развития вихревого клубка в случае постоянного противотока более кор- ректно, чем другие альтернативные уравнения. В рамках системы уравнений гидродинамики сверхтеку- чей турбулентности, полученной при феноменологическом подходе, найдены времена вскипания гелия от плотности теплового потока при использовании альтернативных уравнений динамики плотности вих- ревого клубка. В отличие от экспериментов, в которых наблюдаются различные зависимости времени вскипания boilt от плотности теплового потока Q ( boil nt Q∝ , 4 2n− ≤ ≤ − ), в данном случае получается только степенная зависимость с показателем степени = 4n − . Получено распределение скорости нор- мальной компоненты вдоль канала, зависимость температуры от времени вблизи нагревателя. Проведено сравнение с численными и экспериментальными результатами, ранее полученными в литературе. Проаналізовано три рівняння динаміки щільності вихрових ліній. Показано, що рівняння Вайнена дає значення часу розвитку вихрового клубка у разі постійної протитечії коректніше, ніж інші альтернативні рі- вняння. У рамках системи рівнянь гідродинаміки надплинної турбулентності, яку отримано при феноменоло- гічному підході, знайдено часи скипання гелію від щільності теплового потоку при використанні альтернатив- них рівнянь динаміки щільності вихрового клубка. На відміну від експериментів, в яких спостерігаються різні залежності часу скипання boilt від щільності теплового потоку Q boil( nt Q∝ , 4 2),n− ≤ ≤ − в даному випад- ку виходить тільки степенева залежність з показником степені = 4n − . Отримано розподіл швидкості норма- льної компоненти уздовж каналу, залежність температури від часу поблизу нагрівача. Проведено порівняння з чисельними і експериментальними результатами, які раніше отримані у літературі. PACS: 67.25.dk Вихри и турбулентность; 47.37.+q Гидродинамические аспекты сверхтекучести; квантовые жидкости; 03.75.Kk Динамические свойства конденсатов; коллективные и гидродинамические возбужде- ния, сверхтекучий поток. Ключевые слова: сверхтекучесть, вихревая структура, квантовая турбулентность. 1. Введение При температуре ниже точки фазового перехода Tλ поведение жидкого гелия становится необычным, с уникальными свойствами переноса тепла [1–9]. Суще- ствование квантовой турбулентности (вихревой клубок, состоящий из квантованных вихревых нитей с радиусом ядра 8 0 10a −≈ см и с циркуляцией скорости сверхтеку- чей компоненты 28 4= / = 9,997 10 м /с,Heh m −⋅κ где h — постоянная Планка, 4Hem — масса атома гелия) является одним из любопытных проявлений квантовых эффектов. Развитие вихревого клубка в сверхтекучем гелии приводит к разнообразным экзотическим явле- ниям. При исследовании квантовой турбулентности можно грубо выделить два направления. В первом слу- чае изучаются структура, статистические микроскопи- ческие и макроскопические свойства вихревого клубка при заданных внешних физических условиях. В другом случае структура вихревого клубка не рассматривает- ся, а вводится новая гидродинамическая переменная: плотность вихревого клубка ( )t (длина вихревых ни- тей в единичном объеме), которая является одной из © Л.П. Кондаурова, 2018 Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии главных характеристик квантовой турбулентности. В этом случае изучаются макроскопические свойства квантовой турбулентности на масштабах >>d l , где 1/21/ ( )l t — характерное межвихревое расстояние. Оба подхода при изучении квантовой турбулентности, несомненно, дополняют друг друга. Кроме актуальности чисто теоретического изучения свойств вихревой систе- мы, также на сегодняшний день остаются актуальными исследования и прикладных задач, например исследова- ние теплопереноса в сверхтекучем гелии. Так, в криоген- ной системе коллайдера LHC в ЦЕРНе охлаждают ди- польные и квадрупольные магниты до температуры 1,9 К (температура сверхтекучего гелия). Кроме того, сверх- мощные магниты и СКВИДы (сверхпроводящие кванто- вые интерферометры) нашли широкое применение. При создании сверхпроводящих устройств, для обеспечения безаварийной их работы, необходимо знать динамиче- ские характеристики, которые определяют скорость пе- рехода к аварийному режиму, которая, в свою очередь, во многом определяется характером развития квантовой турбулентности, как это показано в работе [10]. Изучению динамики вихревого клубка посвящено множество экспериментальных и теоретических работ, часть из которых будет описана ниже. Недавно в работе [11] предложено еще одно уравнение для ( )t . В итоге на сегодняшний день для зависимости роста плотности вихревого клубка от скорости противотока =ns n s−v v v ( ,n sv v — скорости нормальной и сверхтекучей компо- нент соответственно) существует три типа зависимо- стей: 3( ) \| \|nst  v , 2( ) \| \|nst  v , ( ) \| \| .nst  v Целью дан- ной работы является попытка разобраться в том, а какая из них наиболее адекватно описывает динамику вихре- вого клубка. Во-первых, как согласуются между собой времена развития вихревой системы от некоторого фо- нового значения fon до значения плотности вихревого клубка в стационарном состоянии st , согласно уравне- ниям, содержащим упомянутые выше зависимости. Да- лее, полученные значения этих времен сравнить с ре- зультатами, полученными в работе [12], в которой была исследована динамика вихревых петель, а также раз- личные свойства вихревого клубка в стационарном со- стоянии в рамках метода вихревой нити с использова- нием полного уравнения Био–Савара. Во-вторых, в рамках системы уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности, полученной при феноменологическом подходе [13], определить зависимости времени вскипа- ния гелия от подаваемой на нагреватель плотности теп- лового потока = s nsQ Tρ σ v ( sρ — плотность сверхтеку- чей компоненты, T — температура гелия, σ — удельная теплоемкость) при использовании различных уравнений динамики плотности вихревого клубка. Затем опреде- лить, насколько эти полученные зависимости соотносятся с экспериментальными данными. Дело в том, что в раз- личных экспериментах (см., например, [14–18]) наблю- даются различные зависимости времени вскипания boilt от плотности теплового потока Q boil( nt Q∝ , 4 2).n− ≤ ≤ − 2. Гидродинамика сверхтекучего гелия и уравнения динамики плотности вихревого клубка Гидродинамика сверхтекучего гелия построена в терминах двухжидкостной модели [19,20], суть кото- рой состоит в том, что в сверхтекучем гелии могут су- ществовать одновременно два движения: нормальное и сверхтекучее. Каждое из этих движений связано со своей эффективной массой. Сумма этих масс равна полной истинной массе жидкости. Сверхтекучее дви- жение — это потенциальное, безэнтропийное движе- ние, в нем отсутствует сдвиговая вязкость, движущей силой для него является градиент химического потен- циала. При подведении к нагревателю постоянного теплового потока в объеме жидкого гелия возникает встречное движение нормальной и сверхтекучей ком- понент гелия. При этом нормальная компонента дви- жется от нагревателя, унося с собой энергию, т.е. воз- никает противоток, развивается внутренняя конвекция. Отметим еще раз, что тепло переносится только нор- мальной компонентой, при этом полный поток массы = 0n n s sρ +ρ ≅j v v ( nρ — плотность нормальной ком- поненты). Сопротивлением нормальному движению является сдвиговая вязкость, которая очень мала. В жидкости устанавливается разность температур, которая пропорциональна тепловому потоку. В эксперименте Гортера–Меллинка [21] было обнаружено, что при пре- вышении некоторого значения теплового потока ли- нейная зависимость градиента температуры сменяется кубической зависимостью. Понятно, что резкое повы- шение градиента температуры связано с появлением дополнительного сопротивления нормальному движе- нию. Сейчас известно, что это сопротивление связано с развитием хаотического клубка квантованных вихревых нитей (квантовой турбулентности). Согласно теории Фейнмана и Онзагера [22], условие незавихренности мо- жет нарушаться на очень тонких трубках, вокруг которых происходит циркуляционное движение сверхтекучей компоненты. Очевидно, что по мере развития вихревого клубка сопротивление нормальному движению увеличи- вается, соответственно теплоотвод ухудшается, что мо- жет привезти к перегреву жидкости и к дальнейшему ее вскипанию (см., например, монографию [16]). При наличии вихревого клубка модель Ландау– Тисса [19,20] была расширена многими исследовате- лями [13,23–26]. В полученные уравнения гидродина- мики инкорпорировано уравнение динамики вихревых нитей. Очевидно, что это динамическое уравнение для плотности вихревых нитей является очень важным для понимания и описания турбулентных процессов в сверх- текучем гелии. Впервые уравнение для эволюции плот- ности вихревого клубка было получено Вайненом [27] в соответствии с процессом, описанным Фейнманом [22]. Фейнман предположил, что кинетическая энергия ос- новного потока передается в увеличение энергии вих- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 1 37 Л.П. Кондаурова ревых нитей. Участки вихревой нити, двигаясь со скоро- стью, отличной от локальной скорости движения сверх- текучей компоненты, испытывают силу Магнуса, на- правленную перпендикулярно тангенциальному вектору скорости. Вследствие этого изменяется кривизна и, сле- довательно, длина рассматриваемого участка. В зависи- мости от ориентации нити, ее кривизны, а также скоро- сти противотока nsv возможно как растяжение данного элемента, так и его сокращение. Фейнман предположил, что тенденция к росту длины преобладает, т.е. в сред- нем происходит увеличение длины вихрей. По мере роста длины вихревые нити все плотнее заполняют объем жидкости, и в игру вступают процессы, связан- ные с их взаимодействием. Взаимодействие вихрей, возникающее в результате пересечения нитей, Фейн- ман предложил описать моментальной реконнекцией (перезамыканием). В результате реконнекций возмож- ны как слияние мелких петель в большие, так и, напро- тив, дробление больших вихрей на более меньшие вихри. Далее Фейнманом было сделано следующее предположение, что в среднем осуществляется дробле- ние вихревых петель, т.е. процессы перезамыканий при- водят к таким же каскадным процессам, которые на- блюдаются в классической турбулентности. Когда масштаб малых колец становится порядка межатомных расстояний, что является конечной стадией каскада, энергия вихрей (первоначально почерпнутой из основ- ного движения) вырождается в тепловое возбуждение. В результате Вайненом было получено следующее вы- ражение для динамики плотности вихревых линий: 3/2 2 gen dec = = \| \| .V ns V d d d dt dt dt    − α −β           v (1) Первое слагаемое в правой части уравнения описы- вает увеличение плотности вихревых нитей, второе опи- сывает ее уменьшение. Понимая важность полученного выражения в связи с использованием его для будущих приложений, а также в связи с неопределенностью от- носительно строгости теоретического подхода, кото- рый привел его к этому уравнению, Вайнен провел ряд экспериментов, чтобы поддержать свою феноменоло- гическую модель и определил коэффициенты =Vα 1 / 2 ;nB= χ ρ ρ 2= / 2 .Vβ χ κ π Здесь 1 2,χ χ — безразмер- ные феноменологические параметры, B — коэффици- ент Холла–Вайнена, = n sρ ρ +ρ — плотность жидкости. Первая попытка получить количественное описание вихревого клубка в противотоке гелия II принадлежит Шварцу [28]. Шварц ввел функцию распределения полной длины линии ( , , )R tλ θ и получил кинетическое уравнение для λ. Здесь R — локальный радиус кривиз- ны, θ — угол между локальным касательным вектором и скоростью противотока nsv . Шварц в рамках метода вихревой нити использовал так называемое локально- индуцированное приближение, когда индуцированная скорость вихревой точки от вихревого клубка опреде- ляется только прилегающими сегментами линии, и получил макроскопическое уравнение для ( )t , исходя из первых принципов, т.е. из динамических уравнений движения: 3/2 2 2 2= \| \| ,l ns d I c dt α −α   v (2) где ( )tot= / ,ˆl IIc I l r d′ ′′× ξ∫ s s 1/2= 1/l  , tot — полная длина нитей, ÎIr — единичный вектор, параллельный ,nsv  1/2 2 = / ,c S  2 2 2 tot= \| \| = 1/ \| \| , c S d′′ ′′〈 〉 ξ∫s s ,′ ′′s s — локальный тангенциальный вектор и вектор локальной кривизны соответственно, параметр ξ (длина дуги) пробегает значения от 0 до полной длины вихре- вых нитей. Уравнения (1) и (2) имеют одинаковую форму. Заме- тим, что в соответствии с теорией Шварца уменьшение длины вихревых нитей обусловлено силой трения. Уменьшение длины вихревых нитей в соответствии с теорией Фейнмана–Вайнена обусловлено дроблением большого вихря на меньшие вихри, т.е. такими же кас- кадными процессами, как в классической турбулентно- сти. В реальности, естественно, присутствуют оба про- цесса. Многими авторами были получены модернизиро- ванные уравнения динамики плотности вихревых ни- тей (см., например, [11,29–31]). Все уравнения в случае однородной гомогенной турбулентности и постоянной скорости противотока имеют один из следующих воз- можных видов: 3/2 2= \| \| ,ns d dt α −β   v (3) 1 2 2 alt= \| \| ,ns d dt α −β   v (4) 2 3 1/2 2 alt= \| \| .ns d dt α −β   v (5) Напомним, уравнения (3), (4) впервые предложены были Вайненом [27], уравнение (5) — в работе [11]. В стационарной ситуации все эти уравнения имеют один и тот же вид 1/2 st= 0 = \| \|,ns d dt ⇒ γ   v (6) где 1/2 1/31 2 alt alt= = = .    α αα γ       β β β    (7) Из уравнения (7) получаем следующие связи между коэффициентами: 38 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 1 Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии = ,α γβ (8) 1 2 alt = ,α γ β (9) 2 3 alt = .α γ β (10) Из уравнения (1) получаем, что 1 2= / ,nBγ π ρ χ κρχv из уравнения (2) 2 2= / .s lI cγ Зависимость 1/2 st от \| \|nsv (см. уравнение (6)) под- тверждена в многочисленных экспериментах и теоре- тических работах. Результаты были получены при раз- личных значениях температуры невозмущенного гелия и скорости противотока. Эксперименты были проведе- ны в трубках, которые имели различные геометрические размеры, форму и были изготовлены из разных мате- риалов: металлические круглые [32–34], стеклянные круглые [35–38], металлические прямоугольные [39–44], стеклянные прямоугольные [45–47]. Полученные зна- чения γ в этих экспериментах отличаются друг от дру- га. Впервые систематизация экспериментов приведена в [48], где было определено, что существует несколько турбулентных состояний. Два состояния турбулентно- сти T-I, T-II наблюдаются в узких трубках малого диа- метра (круглые или квадратные). Только одно состоя- ние турбулентности Т-III наблюдается в широких трубках, а также в трубках, у которых отношение попе- речных размеров очень большое (близко к геометрии двух параллельных пластин). В таких трубках плотность нитей имеет, по существу, то же значение, что и в со- стоянии Т-II. Причины различия значений γ анализи- руются в работе [49]. В этой работе делается вывод, что состояние T-I соответствует случаю, когда сверх- текучая компонента жидкости является турбулентной, а течение нормальной компоненты жидкости является ламинарным. В состоянии T-II движения сверхтекучей и нормальной компонент являются турбулентными. В расчетных работах, например [12,50–54], можно найти подтверждение зависимости (6). Численные ис- следования проводились в рамках метода вихревой нити с использованием полного уравнения Био–Савара и в локально-индуцированном приближении. 3. Оценка времени развития вихревого клубка В прикладных задачах очень важно знать, как быстро вихревой клубок развивается, поскольку с увеличением плотности клубка ухудшается теплопередача. Оценим это время. Проинтегрируем уравнения (3), (4), (5), соот- ветственно получаем следующие значения этих инте- гралов: ___________________________________________________ end ini 1/2 1/2 2 ln( )ln( ) 2= ,ns ns ns ns t  β −αβ − −  α α αβ      v v v v (11) ( ) end ini 2 2 1 alt 2 2 ln / ( ) = , ns ns t γ − βγ    v v (12) end ini 1/2 2 2 1/2 1/2 2 alt 2 2 1/2 ln( ) 2 ln(\| ( ) \|)2= arctg . 6 33 ns ns ns ns ns ns t   + γ + γ + γ − γ  + −   βγ γ        v v v v v v (13) ______________________________________________ Интегралы (11), (12), (13) расходятся в верхнем пределе при end st= ,  т.е. t , 1 altt , 2 altt →∞. Вблизи st увеличение плотности вихревого клубка  происходит значительно медленнее. Кроме того, в работе [12] по- лучено, что в стационарном состоянии плотность вих- ревого клубка флуктуирует возле некоторого среднего значения ave , соответствующего st ave=  . Поэтому, не теряя общности, будем определять время развития вихревого клубка до своего стационарного значения как время достижения end st= 0,99  от некоторого фоно- вого значения ini fon=  . Вайненом [39] была найдена также эмпирическая зависимость для времени развития вихревого клубка до равновесного значения: 3/2= ( ) ,a T Q−τv v (14) значения параметра ( )a Tv были определены в зависи- мости от температуры .T В работе [12] было показано, что значение st не за- висит от начального значения фоновой плотности вих- ревого клубка. Для этой цели в данной работе были проведены расчеты динамики  при температуре = 1,6 КT и скорости противотока 1,0 см/с,ns =v но при различных начальных условиях. Один из расчетов проведен при значении –2 fon = 1131 см , что соответ- ствует конфигурации вихревого клубка, состоящего из 20 колец одинакового радиуса, хаотично расположен- ных в пространстве. В другом случае вычисления были проведены при значении 3 –2 fon = 4, 2 10 см ,⋅ что соот- ветствуют одной из конфигураций вихревого клубка, полученной в стационарном режиме при 1,3 КT = и 1,0 см/с.ns =v При температуре = 1,6 К,T согласно полученным результатам в [12], 4 –2 st = 1,3 10 см ,⋅ 2114,09 c/см .γ ≈ При данной температуре 2= 5,36 10−α ⋅ (термодинамические данные брались из работы [55]), 2= 4,69 см /с.β Определим при этих па- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 1 39 Л.П. Кондаурова раметрах времена развития вихревого клубка из выра- жений (11)–(14): при значении –2 fon = 1131 см 1 2 alt alt= 2,75 c, = 1,11 c, = 0,62 c, 2,60 c 11,14 c;t t t ≤ τ ≤v (15) при значении 3 –2 fon = 4, 2 10 см⋅ 1 2 alt alt= 1,98 c, = 0,96 c, = 0,60 c.t t t (16) Для наглядного сравнения полученных времен с рас- четными данными [12] на рис. 1 концы синих длинных стрелок показывают на горизонтальной оси получен- ные значения времен (15), концы зеленых коротких стрелок — (16). На этом же рисунке приведены времен- ные зависимости плотности вихревого клубка из [12]. Очевидно, что значения времен t и τv наиболее адекват- но согласуются с результатами работы [12] (см. рис. 1). Аналогичные вычисления проведены были нами и при температуре = 1,3 КT 2( 72,0 c/см )γ ≈ и скорости противотока = 1 см/с.nsv Были получены следующие значения времен развития вихревого клубка из выра- жений (11)–(14) при значении –2 fon = 1131 см : 1 2 alt alt= 10,09 c, = 4,51 c, = 2,72 c.t t t (17) На рис. 2, как и на рис. 1, концы стрелок показывают на горизонтальной оси полученные значения времен (17). На этом же рисунке для наглядности сравнения приведена временная зависимость плотности вихревого клубка из [12]. Очевидно, что значение времени t и в этом случае наиболее адекватно согласуется с результатами рабо- ты [12] (см. рис. 2). Заметим, что выражение (13) дает сильно заниженные времена развития вихревого клубка. Согласно полученным выражениям (11)–(13), мы определили времена развития квантовой турбулентно- сти при температурах 1,3, 1,6, 1,9 К и скоростях проти- вотока 0,4 см/c 1,2 см/c.< <nsv Полученные результа- ты представлены на рис. 3 в зависимости от плотности теплового потока Q . Видно, что при различных значениях температуры од- на и та же скорость противотока реализуется при различ- ных значениях плотности теплового потока. На рис. 4 полностью приведены зависимости для t и 2 altt от Q ( 1 altt от Q не приведена, чтобы не загромождать рисунок). Видно, что значения t и 2 altt при одной и той же плотно- сти теплового потока и температуре жидкости сильно отличаются друг от друга. Напомним, что чем быстрее развивается клубок, тем быстрее тормозится нормальное движение, что может привести к более быстрому вскипа- нию жидкости. Определим зависимость отношения этих времен от температуры и скорости противотока. На рис. 5 приведены эти зависимости. Заметим (см. рис. 5), что при повышении температуры отношения умень- шаются, при повышении Q ( )nsv — увеличиваются. Как можно видеть на рисунке, эти времена могут отли- чаться на порядок. Рис. 1. (Онлайн в цвете) Эволюция плотности вихревого клубка. Концы синих длинных стрелок показывают на гори- зонтальной оси полученные значения времен (15), концы зеленых коротких стрелок — (16). Синяя сплошная линия и зеленая штриховая линия — расчетные кривые из [12]. Рис. 2. Эволюция плотности вихревого клубка при T = 1,3 К, скорости противотока 1,0 см/с и значении –2 fon = 1131 см . Концы стрелок показывают на горизонтальной оси получен- ные значения времен (17). Линия — расчетная кривая из [12]. Рис. 3. (Онлайн в цвете) Зависимости времени развития кван- товой турбулентности при температурах жидкости 1,3 К (ли- нии черного цвета), 1,6 К (линии красного цвета), 1,9 К (линии синего цвета) от значений плотности теплового потока, соот- ветствующих скоростям противотока 0, 4 см/c 1, 2 см/c.< <nsv 40 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 1 Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии 4. Оценка времени вскипания сверхтекучего гелия В работе [10] исследовалось влияние квантовой турбулентности на процессы теплопередачи и времена вскипания в сверхтекучем гелии при ступенчатом теп- ловыделении на плоском нагревателе, расположенном на одном из торцов длинного канала. В экспериментах получены различные степенные зависимости времени вскипания от теплового потока boil = ,nt aQ где показа- тель степени изменяется от –2 до –4. Значения же boilt в различных экспериментах отличаются на порядок (см., например, [17,56–63]). В работе [10] показано, что пока- затель степени может изменяться в зависимости от зна- чения остаточной турбулентности в объеме жидкости (см. рис. 1 в [10]). У нас есть три динамических уравне- ний для плотности вихревых линий (3)–(5). Возможно ли получить аналогичные зависимости времени вскипа- ния от плотности теплового потока, подаваемого на нагреватель, при различных значениях остаточной (фоновой) плотности вихревого клубка, используя, например, уравнение (5). В работе [10] численное исследование было прове- дено в рамках гидродинамики сверхтекучей турбу- лентности (ГСТ) [13], которая объединяет «обычную» двухскоростную гидродинамику сверхтекучего гелия и макроскопическую теорию вихревого клубка. Напом- ним, что при построении гидродинамики возникают вопросы, касающиеся возможности описания гидроди- намических явлений в присутствии вихревого клубка, при попытке выйти за рамки однородной и стационар- ной ситуации. Действительно, при построении ГСТ плотности вихревых нитей ( )t придают полевой смысл, т.е. вводят зависимость от координаты: ( ) ( , ).t t→ r  При этом скорость изменения ( )t должна меняться по правилу div( ),L d d v dt dt → +    (18) где Lv — дрейфовая скорость клубка. Таким образом, уже в стационарном, но неоднородном случае, в тео- рии появляется некая новая переменная, связанная со структурой вихревого клубка. Очевидно, в рамках фе- номенологической теории Вайнена невозможно опре- делить Lv , если только не прибегать к некоторым до- полнительным предположениям. Итак, уравнение Вайнена с учетом (18) приобретает следующий вид: 3/2 2div( ) = \| \| .L ns d a dt + −β    v vv v (19) Система уравнений ГСТ является достаточно гро- моздкой. Даже в простых случаях не удается найти аналитические решения. Единственная возможность ее разрешения — это проведение численных моделирова- ний. Для этого исходные уравнения гидродинамики сверхтекучей турбулентности были упрощены. Были получены уравнения ГСТ с точностью до членов вто- рого порядка малости по отклонениям от равновесных значений. Эти уравнения учитывают нелинейные эф- фекты. Полагая 0= ′σ σ + σ , 0=T T T ′+ ( 0T — темпера- тура невозмущенного жидкого гелия; 0σ — энтропия на единицу массы при температуре 0T ; ,T ′ ′σ — откло- нения от равновесных значений), используя известные соотношения 2( , , ) = ( , ) 1/ 2 ( / ) / ,ns ns np T p T Tσ σ + ∂ ρ ρ ∂v v = / ( / ) ,n ns nsd dT dp dµ −σ + ρ− ρ ρ v v получаем систему уравнений в предположении отсут- ствия потока массы ( = = 0,n n s sρ +ρj v v что выполня- лось при проведении большинства экспериментов): Рис. 4. (Онлайн в цвете) Зависимости времени развития квантовой турбулентности от плотности теплового потока при различных значениях температуры жидкости. Рис. 5. (Онлайн в цвете) Зависимости отношений времен развития квантовой турбулентности 1 alt/t t и 2 alt/t t от плотно- сти теплового потока при различных значения температуры жидкости. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 1 41 Л.П. Кондаурова 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 ( ) 1 =s n n s TT n ns s ns ns T n T s T TT iT T T t T x T x x    ′ ′ρ σ ρ+ρ ∂ρ ρ σ σ σ σ ∂ρ ∂ σ ρ∂ ∂ ′ + − + + − − − −    ∂ ρ σ ρρ ∂ ∂ ρ σ ρ σ ∂ ∂ ρσ σ     v v v 2 20 0 0 0 1 0 1 ( ),TT s n T s ns ns T T T i T x T T β  σ σ ρ ∂ρ ′− σ ρ − −σ + α + ε β ρσ σ ∂ ρσ   v v (20) 3/20 0 0 1 0 3 = , \| \| ns s s n ns n ns ns T ns T n n n s n s ns TT t T x T x βρε α    ∂ ρ σ ρ ∂ρ ∂ σ ∂ρ ραρ ∂′+ − + σ + σ − − −    ∂ ρ σ ρρ ∂ ∂ ρ ρ ∂ ∂ ρ ρ ρ        v v v v v v (21) 2 3/2 2 1 κ = \| \| . 2 2 n ns n n ns n ns ns i B t x x x ρ ∂ ρ ρ ρ χ∂ ∂ − − − + χ − ∂ ρ ∂ ρ ∂ ρ ρ π      v v v v (22) ______________________________________________ В этих уравнениях использованы следующие обозна- чения: 2 2 2 2 2 1 = / , = / , = κ / 2 , = κ , = / , T TT s n S T T Aβ σ ∂σ ∂ σ ∂ σ ∂ β χ π ε ρ α ρ ρ β α t — время, x — координата вдоль канала, µ — химиче- ский потенциал, A — константа Гортера–Меллинка; = 0,1,2i соответственно для случаев плоской, цилиндри- ческой и сферической геометрий нагревателя, когда изу- чаются одномерные случаи. В уравнении (22) учтено, согласно измерениям Вайнена [39] и полученным резуль- татам в работе [12], что дрейфовая скорость вихревого клубка мала, т.е. скорость вихревой нити близка к скоро- сти жидкости: = .L sv v Система уравнений (20)–(22) чис- ленно решалась методом распада разрыва [64], второго порядка точности. В данной работе мы используем эту систему уравне- ний, заменив в ней уравнение (22) на альтернативные уравнения динамики плотности вихревых линий (4), (5), придав при этом ( )t полевой смысл, как это описано выше (см. уравнение (19)), а именно в одномерном слу- чае и плоского нагревателя: 1 2 2 alt= \| \| ,n ns n ns nst x x ρ ∂ ρ∂ ∂ − − α −β ∂ ρ ∂ ρ ∂      v v v (23) 2 3 1/2 2 alt= \| \| .n ns n ns nst x x ρ ∂ ρ∂ ∂ − − α −β ∂ ρ ∂ ρ ∂      v v v (24) Расчеты были проведены при следующих начальных и граничных условиях: в невозмущенный гелий при заданной температуре жидкости 0 = 1,4 КT на нагрева- тель, расположенный на одном из торцов длинного ка- нала, подается тепловой поток в виде ступенчатого им- пульса бесконечной длительности. В результате были получены значения времени вскипания в зависимости от плотности теплового потока. При этой температуре и остаточной плотности вихревых линий – fon 2= 10 см0 в работе [10] было получено, что начальная часть кри- вой описывается следующей зависимостью: 2,1 boil =t aQ− . Сравнение этой кривой с полученными результатами при использовании уравнений (23), (24), которые опи- сываются зависимостью 3,9 boil =t bQ− (эти кривые не- различимы), приведено на рис. 6. Здесь a и b — неко- торые коэффициенты пропорциональности. Как видно на рис. 6, полученные значения времени вскипания существенно меньше по сравнению с результатами работы [10]. В этом случае, естественно, следует ожидать боль- шее торможение нормального движения, что приводит к более раннему нагреву жидкости в канале. На рис. 7 приведены полученные значения скорости нормальной компоненты = /n ns sρ ρv v вдоль канала. На рис. 8 при- ведены зависимости температуры вблизи нагревателя от времени. Понятно, что при увеличении остаточной плотности вихревых нитей зависимость времени вскипания от плотности теплового потока будет такой же (см. также работу [10]), т.е. мы не получим зависимости, наблю- даемые в экспериментах. Нет возможности сравнить полученные результаты с экспериментальными дан- ными, так как в них не измерялась остаточная плот- ность вихревых нитей. Однако можно утверждать, что различные полученные зависимости времени вскипа- ния от плотности теплового потока (см. [10]) обязаны Рис. 6. (Онлайн в цвете) Зависимость времени вскипания от плотности теплового потока. 42 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 1 Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии также различным значениям fon . И мы видим, что использование уравнений (23), (24) не приводит к по- добным результатам. 5. Заключение В данной работе рассмотрены три уравнения для динамики плотности вихревых линий (3), (4), (5), кото- рые на сегодняшний день представлены в литературе, в случае однородной гомогенной турбулентности и постоянной скорости противотока. Из полученных вы- ражений (11), (12), (13) для значения интегралов опре- делены зависимости времени развития квантовой тур- булентности t , 1 altt , 2 altt от остаточной плотности вихревого клубка fon до st . Вычисления были про- ведены для значений температур невозмущенного ге- лия 1,3, 1,6, 1,9 К и для различных значений скоростей противотока nsv (плотности теплового потока Q). Проведено сравнение полученных результатов с ре- зультатами работы [12], в которой в рамках метода вихревой линии получена динамика плотности вихре- вых линий. Полученные результаты показали, что уравнение (3) дает близкие значения времен развития квантовой турбулентности к полученным в работе [12]. Альтернативные уравнения (4), (5) дают существенно заниженные значения. Уравнение динамики плотности вихревых линий очень важно при решении прикладных задач. В рамках системы уравнений гидродинамики сверхтекучей тур- булентности, полученной при феноменологическом подходе, в работе [10], проведено численное модели- рование теплопереноса в канале при подаче постоян- ного значения плотности теплового потока Q на пло- ский нагреватель, расположенный на одном из торцов канала. В этой работе было показано, что при исполь- зовании уравнения (22) получаются различные зави- симости времени вскипания гелия boilt от Q при раз- личных значениях остаточной плотности вихревых линий fon . Подобные зависимости наблюдаются в экспериментах: boil nt Q∝ , где показатель степени из- меняется от = 2n − до = 4n − . Проведены расчеты с использованием уравнений (23), (24). Полученные ре- зультаты описываются только зависимостью с = 4n − , т.е. в этих случаях плотность вихревого клубка быстро развивается, достигая своего стационарного значения. Проведено сравнение полученных результатов с дан- ными работы [10]. Показано, что в случае применения уравнений (23), (24) скорость нормальной компоненты существенно заторможена (см. рис. 7), что приводит к более быстрому росту температуры вблизи нагревателя (см. рис. 8), а следовательно, к более быстрому вски- панию жидкости. Отметим, уравнение (22) получено при малых, но закритических плотностях теплового потока. Каким оно должно быть при больших значениях Q , вопрос на сегодняшний день остается открытым. Технические возможности очень быстро развиваются, естественно, можно ожидать, что в обозримом будущем этот вопрос будет решен. Работа выполнена при поддержке гранта Россий- ского научного фонда, проект № 14-29-00093. 1. W.H. Keesom and A.P. Keesom, Physica 3, 359 (1936). 2. W.H. Keesom, A.P. Keesom, and B.F. Saris, Physica 5, 281 (1938). 3. П.Л. Капица, ДАН СССР 18, 21 (1938). 4. П.Л. Капица, ЖЭТФ 11, 1 (1941). Рис. 7. (Онлайн в цвете) Распределение скорости нормальной компоненты = / ( )n ns s s nρ ρ + ρv v вдоль канала при темпера- туре невозмущенной жидкости 0 = 1, 4 КT , мощности тепло- вого потока 2Вт/= 4 см ,Q значении остаточной плотности вихревых линий – fon 2= 10 см0 . Рис. 8. (Онлайн в цвете) Зависимости температуры вблизи нагревателя от времени при температуре невозмущенной жидкости 0 = 1, 4 КT , мощности теплового потока 2Вт= 4 /смQ и значении остаточной плотности вихревых линий – fon 2= 10 см0 . Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 1 43 Л.П. Кондаурова 5. J. Wilks and D.S. Betts, An Introduction to Liquid Helium, Clarendon Press, Oxford (1987). 6. F. London, Nature 141, 643 (1938). 7. R.J. Donnelly, Quantized Vortices in Helium II, Cambridge University Press, Cambridge (1991). 8. Quantized Vortex Dynamics and Superfluid Turbulence, C.F. Barenghi et al. (eds.), Lecture Notes in Physics, No. 571, Springer, Berlin (2001). 9. A.F. Annett, Superconductivity, Superfluids and Condensates, Oxford University Press, Oxford (2004). 10. L. Kondaurova, V. Efimov, and A. Tsoi, J. Low Temp. Phys. 187, 80 (2017). 11. D. Khomenko, L. Kondaurova, V.S. L'vov, P. Mishra, A. Pomyalov, and I. Procaccia, Phys. Rev. B 91, 180504 (2015). 12. L. Kondaurova, V. L'vov, A. Pomyalov, and I. Procaccia, Phys. Rev. B 89, 014502 (2014). 13. S. Nemirovskii and V. Lebedev, Sov. Phys. JETP 4, 1729 (1983); J. Low Temp. Phys. 113, 591 (1998). 14. Ruzhu Wang, Adv. Cryog. Eng. 41, 233 (1996). 15. S.W. Van Sciver, Cryogenics 19, 385 (1979). 16. Steven W. Van Sciver, Helium Cryogenics, International Cryogenics Monograph Series (2012). 17. S.K. Nemirovskii and A.N. Tsoi, Cryogenics 29, 985 (1989). 18. M.V. Schwerdtner, G. Stamm, A.N. Tsoi, and D.W. Schmidt, Cryogenics 32, 775 (1992). 19. Л.Д. Ландау, ЖЭТФ 14, 112 (1944). 20. L. Tisza, J. Phys. Radium 1, 164 (1940); ibid. 1, 350 (1940); Phys. Rev. 72, 838 (1947). 21. C.J. Gorter and L.H. Mellink, Physica 15, 285 (1949). 22. R.P. Feynman, Progr. Low Temp. Phys. I, 17 (1955). 23. H.E. Hall and W.F. Vinen, Proc. R. Soc. London A Math Phys. Sci. 238, 215 (1956). 24. I.L. Bekarevich and I.M. Khalatnikov, Sov. Phys. JETP 13, 643 (1961). 25. K. Yamada, S. Kashiwamura, and K. Miyake, Physica B 154, 318 (1989). 26. J. Gerst, Physica A 183, 279 (1992). 27. W.F. Vinen, Proc. R. Soc. London, Ser. A 240, 128 (1957); Proc. R. Soc. London, Ser. A 242, 493 (1957). 28. K.W. Schwarz, Phys. Rev. Lett. 38, 551 (1977); Phys. Rev. B 18, 245 (1978); Phys. Rev. Lett. 49, 283 (1982); Phys. Rev. B 38, 2398 (1988). 29. S.K. Nemirovskii, Phys. Rev. B 57, 5972 (1998). 30. T. Lipniacki, Phys. Rev. B 64, 214516 (2001). 31. D. Jou, M.S. Mongiovi, and M. Sciacca, Phys. D 240, 249 (2011). 32. V.P. Peshkov and V.J. Tkachenko, Sov. Phys. JETP 14, 1019 (1962). 33. C.E. Chase, Phys. Rev. 127, 361 (1962). 34. R.K. Childers and J.T. Tough, Phys. Rev. B 13, 1040 (1976). 35. P.E. Demotakis and J.E. Broadwell, Phys. Fluids 16, 1787 (1973). 36. D.F. Brever and D.O. Edwards, J. Low Temp. Phys. 43, 327 (1981). 37. R.A. Ashton, L.B. Opatowsky, and J.T. Tough, Phys. Rev. Lett. 46, 658 (1981). 38. K.P. Martin and J.T. Tough, Phys. Rev. B 27, 1788 (1983). 39. W.F. Vinen, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A 240, 114 (1957). 40. C.F. Barenghi, K. Park, and R.J. Donnelly, Phys. Lett. A 84, 435 (1981). 41. D.D. Awschalom, F. P. Milliken, and K. W. Schwarz, Phys. Rev. Lett. 53, 1372 (1984). 42. T.V. Chagovets and L. Skrbek, Phys. Rev. Lett. 100, 215302 (2008); J. Low Temp. Phys. 153, 162 (2008). 43. S. Babuin, M. Stammeier, E. Varga, M. Rotter, and L. Skrbek, Phys. Rev. B 86, 134515 (2012). 44. A. Marakov, J. Gao, W. Guo, S.W. Van Sciver, G.G. Ihas, D.N. McKinsey, and W.F. Vinen, Phys. Rev. B 91, 94503 (2015). 45. D.R. Ladner and J.T. Tough, Phys. Rev. B 17, 1455 (1978). 46. L.B. Opatowsky and J.T. Tough, Phys. Rev. B 24, 5420 (1981). 47. J.D. Henberger and J.T. Tough, Phys. Rev. B 25, 3123 (1982). 48. J.T. Tough, Superfluid turbulence, Progress in Low Temperature Physics, North–Holland Publ. Co., (1982), Vol. VIII. 49. D.J. Melotte and C.F. Barenghi, Phys. Rev. Lett. 80, 4181 (1998). 50. A.T.M. de Waele and R.G.K.M. Aarts, Phys. Rev. Lett. 72, 482 (1994); Phys. Rev. Lett. 72, 482 (1994). 51. R.G.K.M. Aarts and A.T.A.M. de Waele, Phys. Rev. B 50, 510069 (1994). 52. Luiza P. Kondaurova, Vladimir A. Andryuschenko, and Sergey K. Nemirovskii, J. Low Temp. Phys. 150, 415 (2008). 53. H. Adachi, S. Fujiyama, and M. Tsubota, Phys. Rev. B 81, 104511 (2010). 54. A. Baggaley, J. Low Temp. Phys. 168, 18 (2012); ibid. 168, 18 (2012). 55. J. Maynard, Phys. Rev. B 14, 3869 (1976). 56. Y. Katsuka, M. Murakami, T. Iida, and T. Shimazaki, Cryogenics 38, 631 (1995). 57. Iida, M. Muralami, T. Shimazaki, and H. Nagai, Cryogenics 36, 943 (1996). 58. Y. Katsuki, M. Murakami, T. Iida, and T. Shamazaki, Cryogenics 35, 631 (1995). 59. G. Stamm, M.V. Schwerdtner, and A.N. Tsoi, Cryogenics 32, 304 (1992). 60. P. Zhang, M. Murakami, and R.Z. Wang, Phys. Lett. A 264, 492 (2000). 61. Yu. Fillipov, V. Miklyaev, and I. Sergeev, J. Eng. Phys. Thermophys. 54, 950 (1988). 62. S.R. Breon, and Van Sciver, Cryjgenics 26, 682 (1986). 63. B. Danilchenko, and V. Poroshin, Cryogenics 23, 546 (1983). 64. Численное решение многомерных задач газовой динамики С.К. Годунова (ред.), Наука, Москва (1976). Dynamics of vortex lines density and heat transfer processes in superfluid helium L.P. Kondaurova In this paper we analyze three types of equations for dynamics of vortex lines density. It is shown that the Vinen equation is more correct gives the values of the vortex tangle development time in the case of con- 44 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 1 Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии stant counterflow than other alternative equations. In the framework of the system of equations of hydrody- namics superfluid turbulence obtained at the phenom- enological approach, it was obtained the boiling times of helium as function from the density of the heat flux by using alternative equations of dynamics for vortex lines dencity. Unlike experiments in which different dependences of boiling time boilt from density of the heat flux Q ( boil nt Q∝ , 4 2n− ≤ ≤ − ) are observed, in this case we get only a power dependence with the order = 4n − . It is obtained the distribution of veloci- ty of the normal component along the channel, the time dependence temperature near the heater. A com- parison is made with the numerical results obtained earlier in the literature. PACS: 67.25.dk Vortices and turbulence; 47.37.+q Q Hydrodynamic aspects of superfluidity; quantum fluids; 03.75.Kk Dynamic properties of conden- sates; Collective and hydrodynamic excita- tions, superfluid flow. Keywords: superfluidity, vortex structure, quantum turbulence. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2018, т. 44, № 1 45 1. Введение 2. Гидродинамика сверхтекучего гелия и уравнения динамики плотности вихревого клубка 3. Оценка времени развития вихревого клубка 4. Оценка времени вскипания сверхтекучего гелия 5. Заключение

Динамика плотности вихревых линий и процессы теплопередачи в сверхтекучем гелии

Репозитарії

Схожі ресурси