Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп
We show that every automorphism of a diagonal limit of finite symmetric groups is locally inner.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1758 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп / Я.В. Лавренюк // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 22-25. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1758 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-17582008-09-03T12:01:45Z Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп Лавренюк, Я.В. Математика We show that every automorphism of a diagonal limit of finite symmetric groups is locally inner. 2007 Article Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп / Я.В. Лавренюк // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 22-25. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1758 512.54 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Лавренюк, Я.В. Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп |
| description |
We show that every automorphism of a diagonal limit of finite symmetric groups is locally inner. |
| format |
Article |
| author |
Лавренюк, Я.В. |
| author_facet |
Лавренюк, Я.В. |
| author_sort |
Лавренюк, Я.В. |
| title |
Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп |
| title_short |
Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп |
| title_full |
Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп |
| title_fullStr |
Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп |
| title_full_unstemmed |
Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп |
| title_sort |
автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1758 |
| citation_txt |
Автоморфізми індуктивних границь з діагональними зануреннями скінченних симетричних та знакозмінних груп / Я.В. Лавренюк // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 22-25. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT lavrenûkâv avtomorfízmiínduktivnihgranicʹzdíagonalʹnimizanurennâmiskínčennihsimetričnihtaznakozmínnihgrup |
| first_indexed |
2025-07-02T05:15:12Z |
| last_indexed |
2025-07-02T05:15:12Z |
| _version_ |
1836510938010746880 |
| fulltext |
2. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. – Киев: Наук. думка,
1992. – 280 с.
3. Сергиенко И.В., Скопецкий В. В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование про-
цессов в неоднородных средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 432 с.
4. Ленюк М.П. Температурнi поля в плоских кусково-однорiдних ортотропних областях. – Київ: Iн-т
математики НАН України, 1997. – 188 с.
5. Конет I.М. Стацiонарнi та нестацiонарнi температурнi поля в ортотропних сферичних областях. –
Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. – 209 с.
6. Конет I.М., Ленюк М.П. Стацiонарнi та нестацiонарнi температурнi поля в цилiндрично-кругових
областях. – Чернiвцi: Прут, 2001. – 312 с.
7. Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорiя рiвнянь математичної фiзики. – Київ: Либiдь, 2001. – 336 с.
8. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. – Москва: Мир, 1964. – 517 с.
9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – Москва: Наука,
1971. – 1108 с.
Надiйшло до редакцiї 26.10.2006Кам’янець-Подiльський державний унiверситет
УДК 512.54
© 2007
Я.В. Лавренюк
Автоморфiзми iндуктивних границь з дiагональними
зануреннями скiнченних симетричних та знакозмiнних
груп
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.О. Перестюком)
We show that every automorphism of a diagonal limit of finite symmetric groups is locally inner.
1. Будемо говорити, що занурення симетричних груп Sym(X1) → Sym(X2) дiагональне,
якщо кожна нетривiальна орбiта групи Sym(X1) на множинi X2 є природною. Дiагональне
занурення називається строго дiагональним, якщо немає тривiальних орбiт. Так само ви-
значається дiагональне занурення у випадку знакозмiнних груп. Дiагональною границею
скiнченних симетричних (знакозмiнних) груп називатимемо iндуктивну границю з дiаго-
нальними зануреннями скiнченних симетричних (знакозмiнних) груп, якщо вона не є фiнi-
тарною симетричною (знакозмiнною) групою.
У роботах [1, 2] дослiджувалися автоморфiзми дiагональних границь у випадку строго
дiагональних занурень для симетричних i знакозмiнних груп. Зокрема, було встановлено,
що кожен автоморфiзм iндуктивної границi iз строго дiагональними зануреннями скiнчен-
них симетричних груп є локально внутрiшнiм.
Iншi властивостi дiагональних границь скiнченних симетричних i знакозмiнних груп
можна знайти в [3].
У даному повiдомленнi дослiджуються автоморфiзми дiагональних границь загального
вигляду для скiнченних симетричних i знакозмiнних груп.
2. Нехай (T, v0) — локально скiнченне кореневе дерево з коренем v0. Для довiльних
вершин u, v дерева T (u, v ∈ V (T )) вiдстанню d(u, v) мiж u та v є довжина найкоротшого
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
шляху, що з’єднує їх. Для (T, v0) i невiд’ємного цiлого n > 0 рiвнем n (сферою радiуса n)
називається множина
Vn(T ) = {v ∈ V (T ) : d(v0, v) = n}.
Якщо валентнiсть вершини v ∈ Vn(T ) залежить лише вiд рiвня n, то дерево T є сферично
однорiдним. Сферичний iндекс сферично однорiдного дерева T — це послiдовнiсть Θ =
= (n0, n1, . . .), де n0 — валентнiсть кореневої вершини, а nm + 1 — валентнiсть довiльної
вершини з рiвня m.
Нехай (T, v0) є сферично однорiдним деревом зi сферичним iндексом Θ. Усi такi дерева
iзоморфнi дереву TΘ, множина вершин якого це множина всiх скiнченних послiдовностей
(i0, i1, . . . , im−1), де ik ∈ Xk = {1, 2, . . . , nk} i m > 0 — цiле. Ми також включаємо порожню
послiдовнiсть, що вiдповiдає випадку m = 0. Двi вершини будуть з’єднанi ребром тодi i лише
тодi, коли вони мають такий вигляд: (i0, . . . , im−1), (i0, . . . , im−1, im).
Вершина v дерева T лежить пiд вершиною w, якщо шлях, що з’єднує вершину v з ко-
ренем, мiстить вершину w. Ми позначатимемо символом Tv повне пiддерево дерева T , що
складається з усiх вершин, якi лежать нижче вiд v з коренем v. Кiнець кореневого дерева —
це нескiнченний шлях без повторень з початком у коренi. Ми позначатимемо символом ∂T
множину всiх кiнцiв (границю) дерева T .
Зафiксуємо деяку нескiнченну строго спадну послiдовнiсть додатних чисел λ = {λn}
∞
n=1,
яка збiгається до 0. Ми можемо ввести природну ультраметрику на ∂T , поклавши ρ(x1, x2) =
= λn, де n — довжина найбiльшої спiльної частини кiнцiв x1 i x2. У результатi дiстаємо
компактний ультраметричний простiр, який позначатимемо (∂T, λ), чи просто ∂T .
Тепер визначимо дiї дiагональних границь скiнченних симетричних i знакозмiнних груп
на метричних просторах, якi будуються за допомогою кореневих дерев.
Зафiксуємо послiдовнiсть сферичних iндексiв Θ(i) = (ni, ni+1, . . .) та послiдовнiсть не-
вiд’ємних цiлих чисел {ki}, i > 0. Для зручностi надалi будемо вважати, що n0 = 1 i k0 > 1.
Також ми обмежимо розгляд сферичних iндексiв умовою ni > 2 для всiх i > 1. Розглянемо
лiс Tχ, який складається з об’єднання ki екземплярiв дерев TΘ(i) для всiх i:
Tχ =
⋃
i>0
⋃
ki
TΘ(i).
Границя ∂Tχ лiсу Tχ визначається як об’єднання границь дерев:
∂Tχ =
⋃
i>0
⋃
ki
∂TΘ(i).
Метрику на границi ∂Tχ вводимо таким чином: якщо x1 ∈ ∂TΘ(i), x2 ∈ ∂TΘ(j), то
ρ(x1, x2) = λn+min{i,j},
де n — довжина найбiльшої спiльної частини кiнцiв x1 i x2.
Розбиття на рiвнi визначимо в Tχ рiвнiстю:
Vn(Tχ) =
n⋃
i=0
Vn−i(TΘ(i)).
За таких домовленостей матимемо, що для довiльних v1, v2 з Vn(Tχ) кореневi дерева Tv1
та Tv2
є iзоморфними сферично-однорiдними деревами.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 23
Тому ми можемо визначити групу S(∂Tχ, n) тих гомеоморфiзмiв ∂Tχ, якi лише пере-
ставляють кулi ∂Tv (v ∈ Vn(Tχ)), тобто не змiнюють вiдповiднi координати вiдповiдних
шляхiв. Очевидно, що S(∂T, n) збiгається з симетричною групою Sym(Vn(Tχ)) i S(∂T, n) 6
6 S(∂T, k) для n 6 k. Група S(∂Tχ) < Homeo ∂Tχ визначається як об’єднання пiдгруп
S(∂T, n), n ∈ N.
Визначимо також пiдгрупу A(∂T ) групи S(∂T ), як об’єднання знакозмiнних пiдгруп
A(∂T, n) = Alt (Vn(Tχ)) 6 S(∂T, n), n ∈ N.
Нехай V — пiдмножина Vi(Tχ) для i > 0 i нехай H — один iз символiв S або A. Розгляне-
мо пiдгрупу, що складається з усiх гомеоморфiзмiв ∂Tχ, якi дiють тривiально за межами
∂(V ) =
⋃
v∈V
∂Tv . Ми будемо позначати цю пiдгрупу — H(∂(V )). Група H(∂(V )) є iндуктив-
ною границею зi строго дiагональними зануреннями скiнченних симетричних (вiдповiдно
знакозмiнних) груп.
3. Нехай Tχ — побудований вище лiс, тобто виконуються всi встановленi ранiше обме-
ження.
Лема 1. Централiзатори пiдгруп S(∂Tχ, n) та A(∂Tχ, n) збiгаються, якщо |Vn| > 4.
Твердження 1. Нехай H означає S або A. Розглянемо автоморфiзм α ∈ AutHχ. То-
дi для довiльного натурального n iснує таке натуральне k > n, що звуження α|H(∂T,n)
належить до InnS(∂T, k).
Схема доведення. Оскiльки Hχ має тривiальний центр, то рiзнi гомеоморфiзми
з Homeo ∂T , якi нормалiзують Hχ, iндукують рiзнi автоморфiзми Hχ. За теоремою 1 [4]
такими автоморфiзмами вичерпуються всi автоморфiзми групи Hχ. Тому, дозволяючи собi
певну вiльнiсть у термiнологiї, ототожнюватимемо групу автоморфiзмiв Hχ та нормалi-
затор Hχ в Homeo ∂Tχ. Нехай гомеоморфiзм α ∈ Homeo ∂Tχ є автоморфiзмом групи Hχ.
Розглянемо групу X(∂(Vn)). Це у випадку S(∂(Vn)) найбiльша група, що дiє нетривiаль-
но на множинi ∂(Vn), або у випадку A(∂(Vn)) — її комутант. В обох випадках її образом
пiд дiєю α є H(∂(Vn)α). Оскiльки ж ∂(Vn)α є компактом, то iснує таке натуральне m > n
i пiдмножина V ⊆ Vm, що ∂(Vn)α = ∂(V ).
Далi, оскiльки α зберiгає мiру (див. [5]), то S(∂T,m) мiстить такий елемент g, що
g(∂(Vn)) = ∂(V ). Звiдси звуження гомеоморфiзму αg−1 на H(∂(Vn)) є автоморфiзмом цiєї
групи. За твердженням 1 з [1] iснує таке k > m, що звуження αg−1 на X(∂T, n) збiгається
з дiєю деякого елемента з S(∂T, k).
Користуючись цим твердженням, можна довести такi теореми.
Теорема 1. Для довiльного Tχ кожен автоморфiзм групи Sχ є локально внутрiшнiм.
Теорема 2. Нехай H позначає або S або A, m ∈ N. Якщо φ — деякий iзоморфiзм гру-
пи Hχ1
на групу Hχ2
, то звуження φ на H(χ1,m) буде дiагональним зануренням H(χ1,m)
в H(χ2, n) для деякого n ∈ N.
Теорема 3. Нормалiзатор N(Aχ) пiдгрупи Aχ в Homeo(∂Tχ) збiгається з нормалiза-
тором N(Sχ) групи Sχ в Homeo(∂Tχ).
Схема доведення. Нехай a ∈ Homeo(∂Tχ) нормалiзує Aχ, а α — автоморфiзм Aχ,
що iндукується a. З твердження 2 випливає, що α|S(∂Tχ,n) ∈ InnS(∂Tχ, k). Це включення
та лема 1 забезпечують належнiсть гомеоморфiзму a до NHomeo(∂Tχ)(Sχ). Тому нормалiза-
тор Aχ мiститься в нормалiзаторi Sχ. З iншого боку, Aχ є комутантом Sχ. Звiдси N(Sχ)
є пiдгрупою N(Aχ). Таким чином, N(Aχ) = N(Sχ).
Центалiзатори цих груп в Homeo(∂Tχ) тривiальнi. Тому одержуємо як наслiдок
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Теорема 4. Для довiльного Tχ група автоморфiзмiв групи Aχ iзоморфна групi авто-
морфiзмiв групи Sχ.
1. Lavrenyuk Ya.V., Sushchansky V. I. Automorphisms of homogeneous symmetric groups and hierarchomor-
phisms of rooted trees // Algebra and Discrete Mathematics. – 2003. – 2, No 4. – P. 33–49.
2. Lavrenyuk Y.V., Sushchansky V. I. Notes to “automorphisms of homogeneous symmetric groups and hi-
erarchomorphisms of rooted trees” // Ibid. – 2005. – 4, No 2. – P. 70–72.
3. Лавренюк Я.В. Класифiкацiя iндуктивних границь з дiагональними зануреннями скiнченних симет-
ричних та знакозмiнних груп // Доп. НАН України. – 2005. – № 9. – С. 24–27.
4. Rubin M. On the reconstruction of topological spaces from their groups of homeomorphisms // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1989. – 312, No 2. – P. 487–538.
5. Nekrashevych V. Self-similar groups. AMS: Mathematical Surveys and Monographs. – 2005. – Vol. 117. –
231 p.
Надiйшло до редакцiї 13.09.2006Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
УДК 512.4
© 2007
Ю.Г. Леонов
Критерий промежуточного роста самоподобных групп
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.С. Самойленко)
A new method for the upper estimation of growth for some infinite groups of the automorphisms
of trees is investigated. A criterion which distinguishes when a group has exponential growth
or subexponential is established.
В 1968 г. Дж. Милнор [1] поставил вопрос о существовании групп, у которых функция
роста растет быстрее любой степенной функции и медленнее показательной. Такие группы
называются группами промежуточного роста.
Напомним, что функция роста конечно порожденной группы G с системой порождаю-
щих S определяется соотношением
γ(n) = #{g ∈ G; l(g) 6 n},
где l(g) — длина элемента g относительно S.
Будем говорить, что функция f1(n) растет не быстрее, чем f2(n): f1(n) � f2(n), если най-
дется c > 0 такое, что f1(n) 6 f2(cn), для любых n ∈ N. Если f1(n) � f2(n) и f2(n) � f1(n),
то функции эквивалентны: f1(n) ∼ f2(n). Функции роста одной и той же конечно порож-
денной группы при различных конечных системах порождающих эквивалентны.
В работе [2] Р.И. Григорчук показал, что группа из [3] Gr имеет промежуточный рост,
тем самым ответив на вопрос Милнора. Исследуя функции роста группы, мы часто можем
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 25
|