Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням
3a допомогою інтегральних многовидів повільних і швидких змінних одержано перетворення, яке розш,еплює лінійну сингулярно збурену систему із малим запізненням на повільну і швидку підсистеми. Використання цього перетворення дозволило дослідити задачу стійкості і встановити принцип зведення....
Gespeichert in:
| Datum: | 1998 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1998
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175805 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням / І.М. Черевко // Нелінійні коливання. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 139-144. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175805 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1758052021-02-03T01:26:35Z Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням Черевко, І.М. 3a допомогою інтегральних многовидів повільних і швидких змінних одержано перетворення, яке розш,еплює лінійну сингулярно збурену систему із малим запізненням на повільну і швидку підсистеми. Використання цього перетворення дозволило дослідити задачу стійкості і встановити принцип зведення. In this paper with the help of integral manifolds slow and fast variables was obtained a transformation that decomposes nonlinear singularly perturbed systems with small delay into slow and fast sybsystems. The use of this transformation permit us to investigate a problem of stability and establish reduction principle. 1998 Article Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням / І.М. Черевко // Нелінійні коливання. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 139-144. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175805 517.929 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
3a допомогою інтегральних многовидів повільних і швидких змінних одержано перетворення, яке розш,еплює лінійну сингулярно збурену систему із малим запізненням на повільну і швидку підсистеми. Використання цього перетворення дозволило дослідити задачу стійкості і встановити принцип зведення. |
| format |
Article |
| author |
Черевко, І.М. |
| spellingShingle |
Черевко, І.М. Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням Нелінійні коливання |
| author_facet |
Черевко, І.М. |
| author_sort |
Черевко, І.М. |
| title |
Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням |
| title_short |
Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням |
| title_full |
Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням |
| title_fullStr |
Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням |
| title_full_unstemmed |
Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням |
| title_sort |
інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1998 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175805 |
| citation_txt |
Інтегральні многовиди і декомпозиція нелінійних сингулярно збурених систем із запізненням / І.М. Черевко // Нелінійні коливання. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 139-144. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čerevkoím íntegralʹnímnogovidiídekompozicíânelíníjnihsingulârnozburenihsistemízzapíznennâm |
| first_indexed |
2025-07-15T13:14:58Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:14:58Z |
| _version_ |
1837718882940354560 |
| fulltext |
1 · 1998
© I.M. Черевко, 1998
УДК 517.929
ІНТЕГРАЛЬНІ МНОГОВИДИ I ДЕКОМПОЗИЦШ
НЕЛІНІЙНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ СИСТЕМ
ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
І.М . Черевко
Чернів. ун-т,
Україна, 274012, Чернівці, вул. Коцюбинського, 2
In this paper with the help of integral manifolds slow and fast variables was obtained a transformation
that decomposes nonlinear singularly perturbed systems with small delay into slow and fast sybsystems.
The use of this transformation permit us to investigate a problem of stability and establish reduction
principle.
3a допомогою інтегральних многовидів повільних і швидких змінних одержано перетворення,
яке розш,еплює лінійну сингулярно збурену систему із малим запізненням на повільну і швидку
підсистеми. Використання цього перетворення дозволило дослідити задачу стійкості і вста
новити принцип зведення.
Метод інтегральних многовидів, розвинутий М.М. Боголюбовим і Ю.О. Митропольсь-
ким, широко використовується для дослідження багатьох важливих задач якісної теорії
диференціальних рівнянь та їх застосувань. Він виявився зручним апаратом для до-
слідження сингулярно збурених диференціальних систем із запізненням [1 -5 ].
В даній роботі за допомогою інтегральних многовидів швидких та повільних змін-
них побудована заміна, яка розщеплює вихідну систему на дві підсистеми „блочно-
трикутного” вигляду і дозволяє звести задачу про стійкість нульового розв’язку до до-
слідження регулярно збуреної системи меншої розмірності.
Для лінійних сингулярно збурених систем із запізненням такі питання вивчались в [4,
5], а для сингулярно збурених звичайних диференціальних рівнянь — в [б, 7].
1. Розглянемо систему сингулярно збурених рівнянь з малим запізненням
dx ,
Έ = Μ ,* ,ν ,ε ) ,
s ^ = C(t)y + DyA +$eit,x,y,y^,e), (1)
д e t є R, X Є Rm, у , уд є Ωρ = {у є R, \у\ < р } , є > 0, (уд = y{t - єА), А > 0).
Припустимо, що для системи (1) виконуються умови:
1) функції / , g — неперервні, рівномірно обмежені і задовольняють умову Ліпшіца по
X, у, уд із сталою L;
2) матричні функції С{і), D(t) рівномірно обмежені і всі корені λ,· = λ,·(ί), і = 1,2,...,
характеристичного рівняння
Det ( \Е - С - De~XA) = 0
задовольняють умову Re λ,·(ί) < 2μ < 0 для t £ R.
140 Нелінійні коливання, 1998, №1
Нехай С = С[—εΔ , 0] — простір неперервних функцій ψ: [εΔ, 0] —і Rn з нормою \φ\ =
= sup \ψ{θ)\. Через Хі позначимо елемент простору С, що задається при кожному t
-εΑ<θ<0
функцією xt{0) = x(t + θ), - ε Δ < θ < 0.
Позначимо через Y (t , s) фундаментальну матрицю рівняння
£^ = C (t,y ) + D(t)yA , (2)
що задовольняє початкову умову Y (t, s) = | ^ ^ , а через T (t,s) — оператор зсуву
за розв’язками рівняння (2). Система (1) еквівалентна системі інтегро-диференціальних
рівнянь [8]
dx .
t
yt = T (t,a )y (7 + J T (t,s)Y 0g(s,x (s),ys,e)ds, (3)
де yt = y{t + θ), - ε Δ < Θ < 0, Y0 = I ^ 0 = ο εΔ ’ °^’ ’ ^ s ’ *(*)> Vs' ε) = æ(s)> У*(°)>
У s ( -εΔ ) , ε).
Інтеграл в (3) для кожного Θ Є [—εθ, 0] розуміємо як інтеграл в Rn.
2. Означення. Множину точок М С R х R m х С будемо називати інтегральним
многовидом системи (3), якщо для довільної точки (to, хо, уо) Є М виконується умова
(t, x(t), г/t) Є М для всіх t Є R, де (x(t), yt ) — розв ’язок системи (3) з початковою
умовою (t0, х0, yto).
При виконанні умов 1, 2 і достатньо малих ε система (1) має інтегральний многовид
повільних змінних [1 - 3]
у = eh(t, χ ,ε) , (4)
де h — неперервна, обмежена функція і задовольняє умову Ліпшіца по х із сталою І.
Якщо функції / , g, (С + D )-1 рівномірно обмежені для t Є R разом із своїми частин-
ними похідними по всіх аргументах до п + 1 порядку включно, то функція h буде п раз
неперервно диференційовною і ї ї похідні обмежені та задовольняють умову Ліпшіца по х.
В цьому випадку можна побудувати асимптотичний розклад інтегрального многовиду
eh = eh i(t,x ) + . . . + enhn(t,x) + hn+i(t,x ,e ) , hn+1 = 0 (εη+1).
Коефіцієнти розкладу hi можуть бути знайдені із рівняння
Ch + DhA + g(t , x,eh,ehA) = ε ^ + e ^ f ( t , x , e h , e ) .
Інтегральний многовид (4) стійкий в тому розумінні, що будь-який розв’язок системи
(1), що задовольняє умови ж(і0) = хо, y(t) = <p(t), t Є [ίο - εΔ , ί0] (Μ < Ρ), буде притягу-
ватись до многовиду (4) за експоненціальним законом [1 -3 ].
На інтегральному многовиді (4) система рівнянь (1) зводиться до рівняння
^ = f ( t ,u ,e h (t,u ,e ) ,e ) , (5)
яке регулярно залежить від малого параметра ε, і, крім того, не містить запізнення
аргументу.
Нехай для системи (1) крім умов 1, 2 виконується умова:
3) функції / , g неперервно диференційовні і їхні частинні похідні обмежені та задо-
вольняють умову Ліпшіца по х, у, уд.
Зробимо в системі (3) заміну х — и+ υ, у = 2 + ε/ι(ί, х ,ε), дe u e розв’язком рівняння
(5). Нові змінні задовольняють систему рівнянь
du
^ = Fx{ t,u ,v ,zu é), (6)
t t
zt = T (t,a )za + J T (t,s)Y 0G (s ,u ,v ,z s,e)ds + ε J T (t, s) F2(s, u ,v, zs,e)ds,
о о
Де
F = f ( t , u ,sh(t, u, ε),ε),
Fi = f ( t , и + V, z + eh(t, и + υ, ε), ε) - /(£, и, eh(t, и, ε), ε),
G = g(t, и + υ, z + eh(t, ω + υ ,ε), ε) - g(i, и + v,eh(t, и + υ ,ε),ε),
F2 = — U)£) u + и, 2 + ε/ϊ(ί, и + υ ,ε),ε) - f ( t , и + v,eh(t, и + υ ,ε),ε)].
Теорема 1. Нехай виконуються умови 1 — 3. Тоді при достатньо малих ε існує
інтегральний многовид швидких змінних системи (6), який можна зобразити у вигляді
υ = ε # (i, и, Zi,£). f (7)
Функція H{t, и , Ζί,ε) — рівномірно неперервна по всіх аргументах і задовольняє умови
\H(t, и, ζ ,ε)\ < α\ζ\,
IH(t, и, ζ ,ε) - H (t , и, ζ ,ε)\ < b\z — ζ\,
lH ( t,u ,z ,e) - H ( t , û , z , £) \< c \ z \ \ u - û \ , (8)
де a, b, с > 0, t Є R, и, й Є Rm, z, z Є Ωρ .
Доведення теореми 1 проводиться за схемою Боголюбова - Митропольського [1], як
в [3, 6].
3. На інтегральному многовиді швидких змінних (7) система (3) зводиться до системи
рівнянь
Нелінійні коливання, 1998, №1 141
di = F (t,u ,s) ,
zt = T {t,a )z(T + J T{t,s)\Y0G (s ,u ,eH (s ,u ,v , ζ3,ε),ε)+
-KF2(s, u,eH (s, и, zs,e),e)]ds. (9)
Нехай (w, z) — розв’язок системи (9), тоді маємо співвідношення для вихідних і нових
змінних
X = и + εΗ {ί, и, ζ ,ε), у = ζ + eh{t, χ ,ε). (10)
Розглянемо розв’язок {x(t),yt) системи (3) з початковими даними (io, ^о, yt0) Є
Є R X R m X С . Покажемо, що існує такий розв’язок (u(i), Zt) системи (9) з початко-
вими даними (ίο, и о, zto), що для всіх ί > ίο виконуються співвідношення
x(t) = u (t)+ sH (t,u ( t) ,z t,e), y{t) = Zt + eh{t,x(t),e). (11)
Згідно з теоремою про єдиність розв’язку достатньо показати, що співвідношення
(11) мають місце для ί = ίο· Підставимо ί = ίο в (11). Тоді
хо = и0 + εΗ ( ί0,η0,ζ ίο,ε), yto = zto + ε/ι(ί0, æ0,e). (12)
Покажемо, що система рівнянь (12) має єдиний розв’язок відносно гщ, zto при фіксо-
ваних yto, хо. Із рівностей (12) маємо
zto = Уіо -eh (to ,zo ,e ) , (13)
uq = x0 - є Н {to, uq, yto - ε Λ ( ί0,* 0,ε ),ε). (14)
Розглянемо в Rm кулю 5, що визначається нерівністю
|«о~*о | < \УІ0 - e h { t0,x 0,e)\,
1 породжене рівнянням (14) відображення
и0 = Р{и0,є ) = х0 - ε # ( ί0, «о, yto - ε/ι(ίο, χο ,ε),ε).
Із властивостей функції Н випливає, що при достатньо малих ε відображення Р відо-
бражає кулю S в себе і є стислим. Тому воно має єдину нерухому точку в 5, яка є
розв’язком рівняння (14). Отже, справедлива така теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1 — 3. Тоді для достатньо малих ε система
(3) за допомогою заміни (10) зводиться до вигляду (9). Для розв ’язків системи (3) з
початковими даними (ίο, хо, У<0) існує єдиний розв’язок системи (9) з початковими
даними (io, uq, zt0) такий, що виконується співвідношення (11). Початкові значення
(мо, Zf0) однозначно визначаються із рівнянь (13), (Ц )·
Розглянемо тепер задачу про стійкість розв’язків системи (3). При виконанні умови
2 справедлива оцінка для фундаментальної матриці У (ί, s) [9]
ІУ (ί, s) I < К е - ^ * —\
142 Нелінійні коливання, 1998, №1
де t > s, К > 0.
Для оператора зсуву T (t,s) і фундаментальної матриці Y (t, s) має місце співвідно-
шення
Τ{ί,σ)φ(θ) = Υ ( ί + θ,σ)ψ{0) + | J Y (t + Θ, s + eA)C(s - εΑ )φ(β - a)ds.
σ -εΔ
Тому
\Τ (ί,σ )φ \< (15)
де Κι = K e2ßA + sup(C(i))e2̂ , t > σ.
Із другого рівняння системи (9), враховуючи властивості функцій h, / , g, маємо
\zt\ < Κ ι ε ~ ^ ~ σ\ ζ σ \ + J Κι e - ^ - ^ L z s d s .
Використовуючи нерівність Гронуолла, для достатньо малих ε одержуємо
Zi < 2Κι \ζ σ \ t > σ. (16)
Із співвідношень (11) випливає, що розв’язок (x (t) ,y t) системи (3) можна зобразити у
вигляді
*(*) = и(і) + Фі(і),
yt = εΙι(ί,η ,ε) + φ2(ί), (17)
де (u(t), eh(t, π (ί),ε)) — розв’язок на інтегральному многовиді (4), ψι = eH(t, u(t), zt, ε),
ф2 = zt + eh(t,u(t) + sH (t,u (t), zt , ε) - eh(t, u (t),s).
Для функцій фі, ф2, враховуючи властивості h, Н і нерівність (16), маємо оцінки
\φι(ί)\ < 2εαΙ<ι \ζσ \ t > σ,
(18)
ІФііФ) I < 2/ ί ι (1 + ε2αΙ) \ζσ\ t > σ.
Нехай f ( t , 0,0, ε) = 0, g = (t , 0, 0, ε) = 0, тоді h(t, 0, ε) = 0, F(t, 0, ε) = 0. Із зображення
(11) та оцінок (18) випливає така теорема.
Теорема 3. Нехай виконуються умови 1 — 3. Тоді нульовий розв’язок системи (3)
стійкий (асимптотично стійкий, нестійкий) тоді і тільки тоді, коли стійкий (асим-
птотично стійкий, нестійкий) нульовий розв ’язок рівняння (5) на інтегральному мно-
говиді повільних змінних.
Остання теорема — це принцип зведення для систем вигляду (1). Вона дозволяє
звести вихідну сингулярно збурену систему із запізненням (1) до системи меншої роз-
мірності (5), яка є регулярною і не містить запізнення аргументу.
Нелінійні коливання, 1998, №1 143
1. Митропольский Ю .А ., Фодчук В.И . Об устойчивых интегральных многообразиях для одного класса
сингулярно возмущенных систем с запаздыванием / /Укр. мат. журн. - 1968. - 20 , N -6. - Р. 791-801.
2. Фодчук В.И ., Черевко И.М. К теории интегральных многообразий сингулярно возмущенных
дифференциально-разностных уравнений //Там же. - 1982. - 34 , N -6. - С. 725-731.
3. Митропольский Ю .А ., Фодчук В.И ., Клевчук И.И. Интегральные многообразия, устойчивость и
бифуркация решений сингулярно возмущенных дифференциально-функциональных уравнений //Там
же. - 1986. - 38 , N -3. - С. 335-340.
4. Фридман Э.М. Декомпозиция линейных оптимальных сингулярно возмущенных систем с последей-
ствием //Автоматика и телемеханика. - 1980. - N-11. - С. 73-83.
5. Черевко І.М. Розщеплення лінійних сингулярно збурених диференціально-різницевих систем //Допов.
НАН України. - 1997. - № 6 . - С. 42-45.
6. Гольдштейн В.М ., Соболев В .А . Качественный анализ сингулярно возмущенных систем. - Новоси-
бирск: Наука, 1988. - 153 с.
7. Воропаева Н .В ., Соболев В .А . Конструктивный метод расщепления нелинейных сингулярно возму-
щенных дифференциальных систем //Дифференц. уравнения. - 1995. - 31, N -4. - С. 569-578.
8. Хейл Дж . Теория функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1984. - 421 с.
9. Халанай А . Периодические и почти периодические решения некоторых сингулярно возмущенных си-
стем с запаздыванием //R ev . roum. math, pures et appl. - 1963. - N - 2. - P. 285-292.
Одержано 10.02.98
144 Нелінійні коливання, 1998, №l
|