Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини
Розроблено пiдхiд до дослiдження нелiнiйних багатовимiрних динамiчних процесiв взаємодiї з потоком рiдини рухомих видовжених континуальних систем на базi нелiнiйної просторової теорiї пружностi в поєднаннi з методом порiвняння та з прямим методом Ляпунова. На цiй основi виведено рiзнi за внутрiшнi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2002 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175825 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини / К.С. Матвійчук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 41-57. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175825 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1758252021-02-03T01:28:16Z Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини Матвійчук, К.С. Розроблено пiдхiд до дослiдження нелiнiйних багатовимiрних динамiчних процесiв взаємодiї з потоком рiдини рухомих видовжених континуальних систем на базi нелiнiйної просторової теорiї пружностi в поєднаннi з методом порiвняння та з прямим методом Ляпунова. На цiй основi виведено рiзнi за внутрiшнiм змiстом узагальненi системи нелiнiйних рiвнянь руху заданих континуальних процесiв. Встановлено достатнi умови технiчної стiйкостi вiдповiдної просторової несамоспряженої крайової задачi, за допомогою якої характеризується динамiчна поведiнка дослiджуваних систем у потоцi рiдини. Using the nonlinear theory of elasticity in the space, together with the comparison method and the direct Lyapunov method, we elaborate an approach for studying nonlinear many-dimensional dynamical processes when moving prolate continuum systems interact with a fluid flow. On the basis of this approach, we derive some generalized nonlinear systems, wich differ in the assumptions, describing the motion of the given continuum systems. We find sufficient conditions for technical stability of the corresponding not self-adjoint boundary-value problem in the space and use it to characterize the dynamical behavior of the studied system in the fluid flow. 2002 Article Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини / К.С. Матвійчук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 41-57. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175825 531.36:534.1 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розроблено пiдхiд до дослiдження нелiнiйних багатовимiрних динамiчних процесiв взаємодiї з
потоком рiдини рухомих видовжених континуальних систем на базi нелiнiйної просторової теорiї пружностi в поєднаннi з методом порiвняння та з прямим методом Ляпунова. На цiй основi
виведено рiзнi за внутрiшнiм змiстом узагальненi системи нелiнiйних рiвнянь руху заданих континуальних процесiв. Встановлено достатнi умови технiчної стiйкостi вiдповiдної просторової несамоспряженої крайової задачi, за допомогою якої характеризується динамiчна поведiнка
дослiджуваних систем у потоцi рiдини. |
| format |
Article |
| author |
Матвійчук, К.С. |
| spellingShingle |
Матвійчук, К.С. Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини Нелінійні коливання |
| author_facet |
Матвійчук, К.С. |
| author_sort |
Матвійчук, К.С. |
| title |
Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини |
| title_short |
Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини |
| title_full |
Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини |
| title_fullStr |
Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини |
| title_full_unstemmed |
Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини |
| title_sort |
технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175825 |
| citation_txt |
Технічна стійкість нелінійних просторових динамічних станів континуальних систем при їх взаємодії з потоком рідини / К.С. Матвійчук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 41-57. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT matvíjčukks tehníčnastíjkístʹnelíníjnihprostorovihdinamíčnihstanívkontinualʹnihsistempriíhvzaêmodíízpotokomrídini |
| first_indexed |
2025-07-15T13:16:16Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:16:16Z |
| _version_ |
1837718964559413248 |
| fulltext |
УДК 531 . 36 : 534 . 1
ТЕХНIЧНА СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНИХ ПРОСТОРОВИХ
ДИНАМIЧНИХ СТАНIВ КОНТИНУАЛЬНИХ СИСТЕМ
ПРИ ЇХ ВЗАЄМОДIЇ З ПОТОКОМ РIДИНИ
К. С. Матвiйчук
Iн-т механiки НАН України
Україна, 02057, Київ, вул. Нестерова, 3
Using the nonlinear theory of elasticity in the space, together with the comparison method and the di-
rect Lyapunov method, we elaborate an approach for studying nonlinear many-dimensional dynamical
processes when moving prolate continuum systems interact with a fluid flow. On the basis of this approach,
we derive some generalized nonlinear systems, wich differ in the assumptions, describing the motion of
the given continuum systems. We find sufficient conditions for technical stability of the corresponding not
self-adjoint boundary-value problem in the space and use it to characterize the dynamical behavior of the
studied system in the fluid flow.
Розроблено пiдхiд до дослiдження нелiнiйних багатовимiрних динамiчних процесiв взаємодiї з
потоком рiдини рухомих видовжених континуальних систем на базi нелiнiйної просторової те-
орiї пружностi в поєднаннi з методом порiвняння та з прямим методом Ляпунова. На цiй основi
виведено рiзнi за внутрiшнiм змiстом узагальненi системи нелiнiйних рiвнянь руху заданих кон-
тинуальних процесiв. Встановлено достатнi умови технiчної стiйкостi вiдповiдної просторо-
вої несамоспряженої крайової задачi, за допомогою якої характеризується динамiчна поведiнка
дослiджуваних систем у потоцi рiдини.
У данiй роботi розвинуто метод дослiдження умов технiчної стiйкостi [1 – 29] багатови-
мiрних динамiчних процесiв з розподiленими параметрами, що описуються нелiнiйними
несамоспряженими крайовими задачами, в яких рiвняння руху є нелiнiйними диферен-
цiальними рiвняннями з частинними похiдними зi змiнними коефiцiєнтами. Зокрема, на
практицi до таких задач приводить широке застосування сильно видовжених пружних ци-
лiндричних систем, як суцiльних, так i порожнистих, зi змiнним поперечним перетином,
що взаємодiють iз зовнiшнiми або внутрiшнiми потоками рiдин або газiв [1 – 11].
1. Нелiнiйна крайова задача, що характеризує взаємодiю з потоком рiдини рухомої
видовженої пружної системи. Розглянемо довге пружне цилiндричне тiло зi змiнним по-
перечним перетином, поздовжня вiсь якого в початковому станi є прямолiнiйною. Нехай
таке тiло поздовжньо транспортується в iдеальнiй нестисливiй рiдинi протягом заданого
промiжку часу I1 = [t0,K] ⊂ I ≡ [t0,+∞), t0 ≥ 0, K = const > 0, вздовж горизон-
тальної прямолiнiйної траєкторiї з заданою швидкiстю ~v, v — її абсолютне значення. Для
зручностi позначимо задану пружну систему символом AB.
Вважаємо, що AB є однорiдним iзотропним тiлом, деформується геометрично нелi-
нiйно, а деформацiї, за припущенням, вважаються малими [2 – 4, 6].
Розглянемо випадок обтiкання рiдиною заданої системи в русi, розмiщеної несиметри-
чно вiдносно потоку рiдини. У цьому випадку результуюча гiдродинамiчна сила F скла-
дається з двох cкладових: Fc = (F1c, F2c, F3c) — динамiчна сила лобовогo опору, яка на-
правлена вздовж потоку, i Fp = (F1p, F2p, F3p) — пiдйомна сила, що направлена перпенди-
c© К. С. Матвiйчук, 2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 41
42 К.С. МАТВIЙЧУК
кулярно потоку. Введемо позначення:m(s) — маса одиницi довжини тiлаAB, залежна вiд
змiнної s, s— безрозмiрна скалярна координата довiльної точки недеформованої осьової
лiнiї тiла AB: s ∈ D ≡ [0, 1]; ρ — густина матерiалу, S(s) — площа довiльного попереч-
ного перетину, l — довжина, h — усереднена товщина тiла AB; q = (q1, q2, q3) — вектор
зовнiшнiх розподiлених сил, прикладених до системи; u(t, s) = [u1(t, s), u2(t, s), u3(t, s)] —
вектор перемiщень будь-якої точки осьової лiнiї системи з безрозмiрними компонентами;
ε = sl — розмiрна скалярна координата точок недеформованої осьової лiнiї системи; t —
безрозмiрна часова змiнна; τ — розмiрний час; ν — коефiцiєнт Пуассона; E — модуль
Юнга; G — модуль зсуву; Pm — сила ваги, що вiднесена до одиницi довжини системи AB;
PA — пiдйомна сила Архiмеда для тiлаAB; Ω — сила тяги рушiйної системи, що транспор-
тує систему AB у рiдинi. Вважаємо, що передня основа A тiла має шарнiрний тип закрi-
плення з рушiйною системою, а у хвостовiй основi B на систему зрiвноважуючим чином
вiдносно горизонталi дiє деяке тiло Π. Для Π позначимо: qπ, ρж , h̃, Vπ, FA = gρжVπ, ξC —
вiдповiдно його вага, густина матерiалу, деякий характерний лiнiйний параметр, об’єм,
сила Архiмеда, вiддаль мiж центром мас C тiла Π i точкою B, g — прискорення вiльного
падiння.
Для тiла AB введемо позначення: (~e1, ~e2, ~e3) — ортогональна система одиничних ве-
кторiв локальної системи координат поточної конфiгурацiї тiла; ~R = (R1, R2, R3) — го-
ловний вектор всiх зовнiшнiх сил, що дiють на задане тiло; ~Q— вектор внутрiшнiх зусиль
стержньового елемента dε тiла:
~Q = Q1~e1 +Q2~e2 +Q3~e3,
Q1 — осьове зусилля (розтягуюче або стискуюче);Q2, Q3 — перерiзуючi зусилля. Вектор
внутрiшнiх моментiв
~M = M1~e1 +M2~e2 +M3~e3,
де M1 — крутильний момент; M2,M3 — згинальнi моменти. Вектори ~Q, ~M статично еквi-
валентнi вектору вiдповiдних напружень [6, 8]. Для системи AB змiнного поперечного
перетину, оскiлькиm(ε) = m(ls), будемо вважати, що параметрm є функцiєю безрозмiр-
ної змiнної s : m(s). Крiм того, m(s) = m0(0)n0(s), де n0(s) — безрозмiрна функцiя
змiнної s, m0(0) = ρS0, S0 — площа фiксованого поперечного перетину, наприклад, у
початку вiдлiку координати ε. Звiдси площа довiльного поперечного перетину тiла AB
S(s) = S0n0(s).
У випадку, коли ~v — задана постiйна швидкiсть транспортування системи в рiдинi, а її
рух поздовжнiй, виберемо для AB вектор перемiщень ~U у виглядi [2, 5, 6, 11, 12]
U1 = W1 + α2η + α3ζ, U2 = W2 + β2η + β3ζ, U3 = W3 − β3η + β2ζ, (1)
де α2, α3, β2, β3 — дiйснi коефiцiєнти, що характеризують малi кути поворотiв i в загаль-
ному випадку залежнi вiд змiнної ε. Зображення вектора перемiщень ~U у виглядi (1) вiд-
повiдає гiпотезi плоских перетинiв, а саме: перетини, якi є перпендикулярними до осi за-
даного тiла до деформацiї, залишаються плоскими, aле вже не обов’язково перпендику-
лярними до осi пружного тiла. Це випливає з того, що при апроксимацiї (1) одержуємо
афiнне перетворення точок площини перетину, перпендикулярного до осi пружного тi-
ла до деформування, якi в результатi такого перетворення в поточнiй конфiгурацiї знову
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ТЕХНIЧНА СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНИХ ПРОСТОРОВИХ ДИНАМIЧНИХ СТАНIВ . . . 43
належать однiй площинi, а вiдрiзки прямих при цьому вiдображаються у вiдрiзки прямих
вiдповiдно. У вказаному випадку можна вважати, що для форми поперечного перетину
її змiни є несуттєвими, отже, дотичними напруженнями на вiдповiдних поверхнях можна
знехтувати. Вибором апроксимацiї (1) для тензора деформацiї забезпечується виконання
деформацiйних умов [2, 4, 6]: ε22 = ε33, ε23 = 0. Умова ε23 = 0 вiдповiдає тому факту, що
в поточнiй конфiгурацiї система ортiв ~ei, i = 1, 2, 3, є ортогональною. Використовуючи
перетворення (1) i нехтуючи величинами високого порядку малостi, знаходимо матрицю
переходу вiд базису ~ei, i = 1, 2, 3, до базису ~ei0, i = 1, 2, 3, незбуреного стану системи:
P̄1 =
~e1 ~e2 ~e3
~e10 1 +
∂W1
∂ε
α2 α3
~e20
∂W2
∂ε
1 + β2 β3
~e30
∂W3
∂ε
−β3 1 + β2
За допомогою матрицi P̄1 при заданiй швидкостi ~v отримуємо узагальнену систему
шести нелiнiйних диференцiальних рiвнянь вiдносно внутрiшнiх зусиль i вiдповiдно вну-
трiшнiх моментiв, що характеризують заданий процес, яка мiстить у собi певну внутрiш-
ню симетрiю:
m(ε)
∂2W1
∂τ2
=
∂
∂ε
[(
1 +
∂W1
∂ε
)
Q1
]
+
+
∂
∂ε
(α2Q2) +
∂
∂ε
(α3Q3) +
(
1 +
∂W1
∂ε
)
R1 + α2R2 + α3R3,
m(ε)
∂2W2
∂τ2
=
∂
∂ε
[(1 + β2)Q2] +
∂
∂ε
(
∂W2
∂ε
Q1
)
+
(2)
+
∂
∂ε
(β3Q3) +
∂W2
∂ε
R1 + (1 + β2)R2 + β3R3,
m(ε)
∂2W3
∂τ2
=
∂
∂ε
[(1 + β2)Q3] +
∂
∂ε
(
∂W3
∂ε
Q1
)
−
− ∂
∂ε
(β3Q2) +
∂W3
∂ε
R1 − β3R2 + (1 + β2)R3;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
44 К.С. МАТВIЙЧУК
ρ
∂l01
∂τ
=
∂
∂ε
[(
1 +
∂W1
∂ε
)
M1
]
+
∂
∂ε
(α2M2) +
∂
∂ε
(α3M3) +
+ α3Q2 − α2Q3 +
(
1 +
∂W1
∂ε
)
µ1 + α2µ2 + α3µ3,
ρ
∂l02
∂τ
=
∂
∂ε
[(1 + β2)M2] +
∂
∂ε
(
∂W2
∂ε
M1
)
+
∂
∂ε
(β3M3) + β3Q2−
(3)
− (1 + β2)Q3 +
∂W2
∂ε
µ1 + (1 + β2)µ2 + β3µ3,
ρ
∂l03
∂τ
=
∂
∂ε
[(1 + β2)M3] +
∂
∂ε
(
∂W3
∂ε
M1
)
− ∂
∂ε
(β3M2)+
+ (1 + β2)Q2 + β3Q3 +
∂W3
∂ε
µ1 − β3µ2 + (1 + β2)µ3,
l0i = Jiωi, i = 1, 2, 3, ~ω = (ω1, ω2, ω3).
З використанням необхiдних припущень i спiввiдношень рiвняння (2), (3) дають мо-
жливiсть отримати рiзноманiтнi спрощенi математичнi моделi заданого динамiчного про-
цесу. У випадку змiнної швидкостi ~v транспортування системи в рiдинi отримуємо подiбно
до (2), (3) бiльш складну систему рiвнянь, яка мiстить суттєвi вирази, залежнi вiд вектора
~v та його похiдних [2, 4, 6]. Вiдповiднi викладки не будемо наводити. Проте нижче ви-
конаємо необхiднi перетворення над системою (2), (3) для отримання нелiнiйної несамо-
спряженої крайової задачi заданого процесу, поданої у перемiщеннях. У зв’язку з цим для
компонент векторiв ~Q, ~M одержимо їхнi вирази через перемiщення точок поперечних
перетинiв заданої системи.
Скориставшись спiввiдношеннями зв’язку в загальному виглядi, запишемо спiввiдно-
шення для зусиль Qi, i = 1, 2, 3, через перемiщення точок осьової лiнiї системи AB [1 – 8]:
Q1 =
ES(ε)
(1 + ν)(1− 2ν)
[
(1− ν)
{
∂W1
∂ε
+
+
1
2
[(
∂W1
∂ε
)2
+
(
∂W2
∂ε
)2
+
(
∂W3
∂ε
)2]}
+ β2 +
1
2
(β22 + β23)
]
,
(4)
Q2 = S(ε)G
[(
1 +
∂W1
∂ε
)
α2 + (1 + β2)
∂W2
∂ε
− β3
∂W3
∂ε
]
,
Q3 = S(ε)G
[(
1 +
∂W1
∂ε
)
α3 + (1 + β2)
∂W3
∂ε
+ β3
∂W2
∂ε
]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ТЕХНIЧНА СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНИХ ПРОСТОРОВИХ ДИНАМIЧНИХ СТАНIВ . . . 45
Моменти обчислюються за формулами [1 – 7, 11]:
M1 = −GIp
[
(1 + β2)
∂β3
∂ε
− β3
∂β2
∂ε
]
,
M2 =
1− ν
(1 + ν)(1− 2ν)
EI2
[
(1 + β2)
∂2W3
∂ε2
+ α3
∂2W1
∂ε2
+ β3
∂2W2
∂ε2
]
, (5)
M3 = − 1− ν
(1 + ν)(1− 2ν)
EI3
[
(1 + β2)
∂2W2
∂ε2
+ α2
∂2W1
∂ε2
− β3
∂2W3
∂ε2
]
,
Ip — полярний момент iнерцiї: Ip =
∫
s
(η2 + ζ2)dηdζ; I2 — момент iнерцiї поперечного
перетину тiла AB вiдносно осi ~e2 : I2 =
∫
s
ζ2dηdζ; I3 — момент iнерцiї поперечного пе-
ретину тiла AB вiдносно осi ~e3 : I3 =
∫
s
η2dηdζ. Виконаємо необхiднi спрощення. Далi
iнерцiю обертальних рухiв вважаємо незначною. Тодi лiвими частинами рiвнянь (3) не-
хтуємо i вiдповiдно до цього покладаємо ~µα = 0, µ10 = 0; вважаємо, що µ20, µ30 — сталi
величини, маючи на увазi, що вектор ~µ = ~µα + ~µ0 (~µ0 = (µ10, µ20, µ30)) задано аналогiчно
[6]. Припускаючи, що в довiльному перетинi заданої системи AB змiщення у всiх трьох
просторових напрямках однаковi, покладаємо
α2 = α3 = β2 = β3 = 0. (6)
Умова (6) означає перехiд до вiдповiдних спiввiдношень внутрiшнiх зусиль i моментiв пру-
жного тiла, поданих через перемiщення точок його осьової лiнiї. Крiм того, за необхiднi-
стю з першої умови (5) для внутрiшнього крутильного моменту системи випливає умова
M1 = 0.
Позначимо через PH тиск рiдини на систему AB на глибинi H . При дiї зовнiшнього
потоку iз-за змiнностi поперечного перетину S заданого тiла та внаслiдок його деформа-
цiї з’являються кривизна i додатковi розподiленi сили [2, 4 – 6, 8]. Тому в рiвняннях руху в
базисi ~ei0, i = 1, 2, 3, враховуючи змiннiсть перетину S(ε), при спрощеннях залишаємо до-
данок−PH
∂S
∂ε
∂2 ~W
∂ε2
, пов’язаний з внутрiшнiми зусиллями пружного тiла AB. У скалярних
рiвняннях руху, записаних в одержаних iз (2) шляхом спрощень перемiщеннях, доданками
високого порядку малостi нехтуємо. При цьому iз (3) знаходимо спiввiдношення зв’яз-
ку мiж Qi i Mi, i = 1, 2, 3. В результатi замiсть шести рiвнянь типу (2), (3) отримуємо
три рiвняння руху в перемiщеннях точок осьової лiнiї заданої системи. Одночасно вра-
ховано припущення, що поперечнi рухи тут слабко впливають на поздовжнi змiщення в
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
46 К.С. МАТВIЙЧУК
системi. Переходячи до безрозмiрних змiнних, отримуємо крайову задачу в перемiщен-
нях, яка описує заданий динамiчний процес поздовжнього транспортування в рiдинi на
заданiй глибинi довгого пружного тiла зi змiнним поперечним перетином:
∂2u1
∂t2
=
∂2u1
∂s2
− P (1)
H
∂2u1
∂s2
+
1
n0
∂n0
∂s2
∂u1
∂s
+ f1,
∂2u2
∂t2
= −∂
4u2
∂s4
− P (2)
H
∂2u2
∂s2
+ a1
∂
∂s
(
∂u1
∂s
∂u2
∂s
)
+ a2
∂n0
∂s
∂u1
∂s
∂u2
∂s
+ a3
∂u2
∂s
+ f2, (7)
∂2u3
∂t2
= −∂
4u3
∂s4
− P (3)
H
∂2u3
∂s2
+ b1
∂
∂s
(
∂u1
∂s
∂u3
∂s
)
+ b2
∂n0
∂s
∂u1
∂s
∂u3
∂s
+ b3
∂u3
∂s
+ f3
з граничними
ui(t, s)
∣∣∣
s=0
= 0, i = 1, 2, 3,
∂2u2
∂s2
∣∣∣
s=0
=
∂2u3
∂s2
∣∣∣
s=0
= 0,
∂u1
∂s
∣∣∣
s=1
= −c1
∂2u1
∂t2
∣∣∣
s=1
+ c2,
∂2u2
∂s2
∣∣∣
s=1
= 0,
∂3u2
∂s3
∣∣∣
s=1
= n
∂2u2
∂t2
∣∣∣
s=1
, (8)
∂2u3
∂s2
∣∣∣
s=1
= n1(gρжVπ − qπ),
∂3u3
∂s3
∣∣∣
s=1
= n2
∂2u3
∂t2
∣∣∣
s=1
−n3(gρжVπ − qπ)
i початковими
ui(t, s)
∣∣∣
t=t0
= ki(s),
∂ui(t, s)
∂t
∣∣∣
t=t0
= gi(s), i = 1, 2, 3, (9)
умовами, де безрозмiрний час у першому рiвняннi t = τ l
√
m/TSδ, у другому t = τ l2
√
m/EI3δ,
у третьому t = τ l2
√
m/EI2δ; коефiцiєнти системи рiвнянь мають вигляд
P
(1)
H = PH
∂n0
∂s
1
En0
, P
(2)
H = PH
∂n0
∂s
S0l
2
EI3δ
, P
(3)
H = PH
∂n0
∂s
S0l
2
EI2δ
,
a1 =
S0n0lh
I3
, a2 =
S0lh
I3
, a3 =
l3
EI3δ
R1, b1 =
S0n0lh
I2
,
b2 =
S0lh
I2
, b3 =
l3
EI2δ
R1, f1 =
l2
ES0n0hδ
R1, f2 =
l4
EI3hδ
R2, (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ТЕХНIЧНА СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНИХ ПРОСТОРОВИХ ДИНАМIЧНИХ СТАНIВ . . . 47
f3 =
l4
EI2hδ
R3, R1 = Ω− q1 − F1, R2 = q2 + F2, R3 = PA − Pm + q3 + F3,
δ = (1− ν)[(1 + ν)(1− 2ν)]−1, Fi = Fic + Fip, i = 1, 2, 3.
Коефiцiєнти для граничних умов такi:
c1 =
qπl
δgT 2ESB
, c2 =
R1l
δEhSB
, n =
qπl
3
δgT 2I3B
, n1 =
l2h̃ξC
δEI2Bh
,
(11)
n2 =
qπl
3
δgT 2I2B
, n3 =
l3
δEI2Bh
,
T — деякий характерний промiжок часу для тiла Π. Величини з iндексом B вiдповiдають
поперечному перетину заданого тiла в точцi B.
Припускаємо, що при заданих функцiях gi(s), ki(s), i = 1, 2, 3, якi задовольняють не-
обхiднi умови узгодженостi на границi тiла AB, для крайової задачi (7) – (9) iснує одно-
значний розв’язок у класi неперервних по t, s функцiй, що мають неперервнi похiднi по
t, s необхiдного порядку [1, 3, 5, 9 – 11, 13].
Граничнi умови (8) отримано таким чином. У мiсцi переднього поперечного перетину
A вiдносно напрямку руху пружного тiла AB граничнi умови вiдповiдають шарнiрному
закрiпленню тiла з рушiйною системою в точцi A. У перетинi B з системою AB тiло-
стабiлiзатор Π має з’єднання по площинi, перпендикулярнiй до осi заданої системи. При-
пускаємо, що Π має двi площини симетрiї, якi проходять через орти (~e1, ~e3) i (~e1, ~e2), або
через орти (~e10, ~e30) i (~e10, ~e20), оскiльки тiло Π вважається жорстким. Крiм цього, при-
пускаємо, що його центр мас C знаходиться на лiнiї перетину цих площин. Позначимо
цю лiнiю BK, при цьому координата ξc = BC. Закон руху точки C набирає вигляду
~xC(t) = (~e1 − ~e10)ξC + ~W (l, t).
Звiдси сила iнерцiї поступального руху тiла Π
~Jπ = −qπ
g
d2~xC
dt2
= −qπ
g
∂2 ~W
∂t2
∣∣∣
s=1
.
Силами iнеpцiї обертальних рухiв i кутами повороту для Π нехтуємо. Виходячи iз умов
задачi для Π, пiсля вiдповiдного зображення в системi координат ~ei0, i = 1, 2, 3, можли-
вих моментних навантажень робимо висновок про можливiсть покласти рiвними нулю
крутильний M1π i згинальний M3π моменти для тiла Π. Отже, застосовуючи принцип Да-
ламбера для тiла Π, проектуючи одержанi граничнi рiвняння для зусиль i моментiв на ба-
зис ~ei0, i = 1, 2, 3, i переходячи до безрозмiрних величин, отримуємо граничнi умови (8).
Проте через громiздкiсть вiдповiднi математичнi викладки пропускаємо. Граничнi умови
(8) виявились неоднорiдними, зi складною структурою. Це пов’язано з неконсервативнi-
стю заданої системи. Вони вiдображають суть того, що у хвостовому граничному перети-
нi заданої системи зрiвноважуючим чином дiє тiло-стабiлiзатор пiд час транспортування
системи в рiдинi. Крайова задача (7) – (9) є нелiнiйною i несамоспряженою.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
48 К.С. МАТВIЙЧУК
У випадку розгляду в’язкого середовища, в якому рухається задана система AB, у рiв-
няннях руху системи суттевими є i тi доданки, якi залежать вiд швидкостi ~w = (w1, w2, w3)
руху в’язкої рiдини [2 – 7]. Пiсля належних перетворень у такому випадку отримуємо кра-
йову задачу, де рiвняння руху мають вигляд
∂2u1
∂t2
=
∂2u1
∂s2
− (P
(1)
H + w̃2
1)
∂2u1
∂s2
+
1
n0
∂n0
∂s
∂u1
∂s
+ f1,
∂2u2
∂t2
= − ∂4u2
∂s4
− (P
(2)
H + w̃2
2)
∂2u2
∂s2
+ a1
∂
∂s
(
∂u1
∂s
∂u2
∂s
)
+
+ a2
∂n0
∂s
∂u1
∂s
∂u2
∂s
+ a3
∂u2
∂s
+ f2, (12)
∂2u3
∂t2
= − ∂4u3
∂s4
− (P
(3)
H + w̃2
3)
∂2u3
∂s2
+ b1
∂
∂s
(
∂u1
∂s
∂u3
∂s
)
+
+ b2
∂n0
∂s
∂u1
∂s
∂u3
∂s
+ b3
∂u3
∂s
+ f3,
з граничними умовами вигляду (8) i початковими умовами (9). Тут поряд iз заданими вище
позначеннями
w̃1 = w1
1√
ES0n0δ
, w̃2 = w2
l√
EI3δ
, w̃3 = w3
l√
EI2δ
.
У випадку, коли задане тiло зi змiнним поперечним перетином рухається у в’язкiй рiдинi
на такiй глибинi H , впливом якої можна знехтувати, в рiвняннях руху (12) пропустимо
члени типу — P
(i)
H
∂2ui
∂s2
, i = 1, 2, 3, як такi, що не є суттєвими для даного динамiчного
процесу.
Оскiльки сформульованi крайовi задачi виявились несамоспряженими, то в явному
виглядi точний розв’язок таких задач знайти надто проблематично. Тому в подальшому
розглядi для дослiдження поведiнки систем, що описуються заданими крайовими задача-
ми, застосуємо такi методи, що не потребують визначення роз’язкiв цих задач в явному
виглядi.
2. Умови технiчної стiйкостi динамiчних станiв взаємодiючого з потоком рiдини ру-
хомого видовженого тiла. Системи рiвнянь вказаних процесiв є суттєво нелiнiйними та
мiстять залежнi вiд аргументiв t, s коефiцiєнти. Для визначення умов технiчної стiйкостi
таких процесiв ефективним є застосування методу диференцiальних нерiвностей на базi
прямого методу Ляпунова [8 – 28].
Розглянемо той рух заданої пружної системи в потоцi рiдини, що характеризується
безрозмiрною крайовою задачею (7) – (9) при заданих спiввiдношеннях (10), (11). Для до-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ТЕХНIЧНА СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНИХ ПРОСТОРОВИХ ДИНАМIЧНИХ СТАНIВ . . . 49
слiдження властивостей технiчної стiйкостi вказаної системи задамо векторний функцiо-
нал вигляду [8 – 13, 15, 19 – 28]
V [u1, u2, u3, t] = {V1[u1, t], V2[u2, t], V3[u3, t]} ,
V1[u1, t] =
1∫
0
ds
[(
∂u1
∂s
)2
− (ṽ1 + F̃1)
(
∂u1
∂s
)2
+
(
∂u1
∂t
)2
]
,
(13)
V2[u2, t] =
1∫
0
ds
[(
∂2u1
∂s2
)2
− (ṽ2 + F̃2)
(
∂u2
∂s
)2
+
(
∂u2
∂t
)2
]
,
V3[u3, t] =
1∫
0
ds
[(
∂2u3
∂s
)2
− (ṽ3 + F̃3)
(
∂u3
∂s
)2
+
(
∂u3
∂t
)2
]
,
де при змiнних основних параметрах процесу позначено
ṽ1 = sup
t,s
mvl2
δESh
, ṽ2 = sup
t,s
mvl3
δEI3
, ṽ3 = sup
t,s
mvl3
δEI2
, F̃k = sup
t,s
(P
(k)
H + fk). (14)
Введемо до розгляду вiдповiдну векторну мiру [11,15]
ρ(u) = {ρ1(u1), ρ2(u2), ρ3(u3)} , ρ1(u1) = sup
s
(u1)
2 +
1∫
0
ds
[(
∂u1
∂s
)2
+
(
∂u1
∂t
)2
]
,
(15)
ρj(uj) = sup
s
(uj)
2 + sup
s
(
∂uj
∂s
)2
+
1∫
0
ds
[(
∂2uj
∂s2
)2
+
(
∂uj
∂t
)2
]
, j = 2, 3.
Для компонент вектор-функцiї (13) при невiд’ємних величинах (1− (ṽk + F̃k)), k = 1, 2, 3,
справедливими є оцiнки знизу
V1[u1, t] ≥
1
2
[1− (ṽ1 + F̃1)]ρ1(u1), Vi[ui, t] ≥
1
3
[1− (ṽi + F̃i)]ρi(ui), i = 2, 3. (16)
Функцiонали Vk[uk, t] (13), згiдно з (16), є додатно означеними вiдносно мiри ρ(u) при ви-
конаннi умов
0 < ṽk + F̃k < 1, k = 1, 2, 3. (17)
Величини µk = 1 − (ṽk + F̃k), k = 1, 2, 3, мають змiст малого додатного параметра:
µk ∈ (0, 1]. Задамо з їхньою допомогою скiнченний промiжок часу I1, протягом якого
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
50 К.С. МАТВIЙЧУК
розглянемо динамiчну поведiнку вихiдного процесу, що характеризується системою рiв-
нянь (7) – (9):
I1 = [t0, Lµ̄
−1], µ̄−1 = max{µ−11 , µ−12 , µ−13 }, K = Lµ̄−1, (18)
L = const > 0 — наперед задана стала величина, пов’язана з характеристикою надiйностi
системи.
Означення 1. Динамiчний процес, який описується крайовою задачею (7) – (9), на-
зивається технiчно стiйким на обмеженому промiжку часу I1 за заданою векторною
мiрою ρ(u) (15), якщо вздовж збуреного розв’язку u(t, s) задачi (7) – (9) для вектора
V [u, t] з заданими згiдно з (13) додатно означеними вiдносно мiри ρ(u) компонентами
Vk[uk, t], k = 1, 2, 3, справджуються умови
Vk[uk(t, s), t] ≤ Pk(t), t ∈ I1, k = 1, 2, 3,
як тiльки в початковий момент t0 ∈ I1 справедливi нерiвностi
Vk[u
0
k(s), t0] ≤ bk, t0 ∈ I1, k = 1, 2, 3, (19)
для величин
V1[u
0
1(s), t0] =
1∫
0
ds
[(
∂k1(s)
∂s
)2
− (ṽ1 + F̃1)
(
∂k1(s)
∂s
)2
+ (g1(s))
2
]
,
(20)
Vi[u
0
i (s), t0] =
1∫
0
ds
[(
∂2ki(s)
∂s2
)2
− (ṽi + F̃i)
(
∂ki(s)
∂s
)2
+ (gi(s))
2
]
, i = 2, 3,
де означенi в областi I1 обмеженi функцiї Pk(t), k = 1, 2, 3, задовольняють умови
0 < Pk(t) ≤ Ck, Ck = const > 0, Pk(t0) ≥ bk, bk = const > 0, k = 1, 2, 3,
i при цьому функцiї Pk(t), k = 1, 2, 3, та сталi Ck, bk, k = 1, 2, 3, I1 наперед заданi.
Означення 2. Динамiчний процес (7) – (9) називається технiчно стiйким вiдносно ве-
кторної мiри ρ(u) на нескiнченному промiжку часу I , якщо умови означення 1 справед-
ливi у випадку будь-якого значення K ≤ +∞.
Якщо при цьому вздовж розв’язку задачi (7) – (9) справедливi умови
lim
t→+∞
Vk[uk(t, s), t] = 0, k = 1, 2, 3,
то динамiчний процес (7) – (9) називається асимптотично технiчно стiйким вiдносно
векторної мiри ρ(u).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ТЕХНIЧНА СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНИХ ПРОСТОРОВИХ ДИНАМIЧНИХ СТАНIВ . . . 51
Означення 3. Динамiчний процес (7) – (9) називається технiчно нестiйким на обме-
женому або нескiнченному промiжку часу при заданих сталих bk i функцiях Pk(t), якщо
при виконаннi умов (19) для розв’язку u(t, s) задачi (7) – (9) знайдеться момент часу
t1 ∈ I1 або t1 ∈ I, t1 > t0, такий, для якого виконується хоча б одна iз нерiвностей
Vk[uk(t1, s), t1] > Ck, k = 1, 2, 3.
Обчислимо покомпонентно повну похiдну по t вектор-функцiї (13) в силу системи
(7) – (9):
dV1[u1, t]
dt
= 2
{
∂u1
∂t
(t, 1)
[
c2 − c1
∂2u1
∂t2
(t, 1)
]
−
1∫
0
ds
[
(ṽ1 + F̃1)
∂u1
∂s
∂u1
∂t∂s
+
+
(
P
(1)
H
∂2u1
∂s2
− n−10
∂u1
∂s
∂n0
∂s
− f1
)
∂u1
∂t
]}
,
dV2[u2, t]
dt
= − 2n
∂u2
∂t
(t, 1)
∂2u2
∂t2
(t, 1) + 2
1∫
0
ds
{
∂u1
∂t
[
a1
∂
∂s
(
∂u1
∂s
∂u2
∂s
)
−
− P 2
H
∂2u2
∂s2
+ a2
∂n0
∂s
∂u1
∂s
∂u2
∂s
+ a3
∂u2
∂s
+ f2
]
− (ṽ2 + F̃2)
∂u2
∂s
∂2u2
∂t∂s
}
, (21)
dV3[u3, t]
dt
= − 2
[(
n1
∂2u3
∂t∂s
(t, 1) + n3
∂u3
∂t
(t, 1)
)
(gρжVπ − qπ)− n2
∂u3
∂t
(t, 1)
∂2u3
∂t2
(t, 1)
]
+
+ 2
1∫
0
ds
{
∂u3
∂t
[
b1
∂
∂s
(
∂u1
∂s
∂u3
∂s
)
− P 3
H
∂2u3
∂s2
+
+ b2
∂n0
∂s
∂u1
∂s
∂u3
∂s
+ b3
∂u3
∂s
+ f3
]
− (ṽ3 + F̃3)
∂u3
∂s
∂2u3
∂t∂s
}
.
Правi частини виразiв (21) для зручностi позначимо вiдповiдно через M1(t, λ1),
M2(t, λ2), M3(t, λ3), де параметри
λ1 = (c1, c2, ṽ1, F̃1, P
(1)
H , f1), λ2 = (n, a1, a2, a3, ṽ2, F̃2, P
(2)
H , f2),
λ3 = (n1, n2, n3, b1, b2, b3, ṽ3, F̃3, P
(3)
H , f3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
52 К.С. МАТВIЙЧУК
характеризують дослiджувану систему, що описується крайовою задачею (7) – (9). Роз-
глянемо вздовж розв’язку ui(t, s), i = 1, 2, 3, задачi (7) – (9) функцiї
Φ̄1(t, λ1) = M1(t, λ1)−
µ1
2(µ1 + t)2
ρ1(u1(t, s)),
Φ̄i(t, λi) = M1(t, λi)−
µi
3(µ+ t)2
ρi(ui(t, s)), i = 2, 3.
Теорема 1. Нехай справджуються такi умови:
1) крайова задача (7) – (9) в скiнченному промiжку часу I1, наперед заданому згiдно з
(18), має однозначний розв’язок з зазначеними вище властивостями;
2) для заданих у вiдповiдностi з (13), (14) функцiоналiв Vi[ui(t, s), t], i = 1, 2, 3, справе-
дливi умови
0 < ṽi + F̃i < 1, i = 1, 2, 3;
3) в областi I1 заданi i iснують невiд’ємнi iнтегровнi функцiї Φi(t), i = 1, 2, 3, змiнної
t, для яких вздовж розв’язку ui(t, s), i = 1, 2, 3, системи (7) – (9) справджуються нерiвно-
стi
| Φ̄i(t, λi) |≤ Φi(t), i = 1, 2, 3, t ∈ I1;
4) в областi G = {t, yi, µi : t ∈ I1, | yi |< +∞, µi ∈ (0, 1), i = 1, 2, 3} для тривимiр-
ної задачi Кошi порiвняння
dyi
dt
=
1
(µi + t)2
[yi + σi(t)], σi(t) =
t∫
t0
Φi(τ)dτ, i = 1, 2, 3, t ∈ I1, (22)
yi(t) = y0i ≥ Vi[u
0
i (s), t0], i = 1, 2, 3, t0 ∈ I1, (23)
де величини Vi[u
0
i (s), t0], i = 1, 2, 3, заданi рiвностями (20), iснує єдиний неперервний
розв’язок
y(t) = {y1(t, t0, y01), y2(t, t0, y
0
2), y3(t, t0, y
0
3)},
(24)
yi(t, t0, y
0
i ) = exp
[
− 1
µi + t
] t∫
t0
exp
[
1
µi + τ
]
Φi(τ)d(τ)+
+y0i exp
[
1
µi + t0
]
exp
[
− 1
µi + t
]
− σi(t), i = 1, 2, 3;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ТЕХНIЧНА СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНИХ ПРОСТОРОВИХ ДИНАМIЧНИХ СТАНIВ . . . 53
5) справджується система нерiвностей
t∫
t0
Φi(τ)exp
[ 1
µi + τ
]
d(τ) ≤ Mi(µi + Lµ̄−1)2
{
exp
[ 1
µi + t0
]
−
−exp
[ 1
µi + Lµ̄−1
]}
, t0, t ∈ I1, i = 1, 2, 3, (25)
де Mi — наперед заданi додатнi сталi величини.
Тодi динамiчнi процeси, що характеризуються крайовою задачею (7) – (9), є технi-
чно стiйкими вiдносно векторної мiри ρ(u) при всiх значеннях t ∈ I1.
Доведення. Використовуючи умови 1 – 3 теореми 1, вздовж розв’язку крайової задачi
(7) – (9) для (21) одержуємо систему нерiвностей
dVi[ui(t, s), t]
dt
≤ 1
(µi + t)2
Vi[ui(t, s), t] + Φ̄i(t, λi), i = 1, 2, 3. (26)
Вздовж розв’язку задачi (7) – (9) розглядаємо систему функцiй
zi(t) = Vi[ui(t, s), t]− σi(t), i = 1, 2, 3.
Оцiнки (26) породжують систему нерiвностей
dzi(t)
dt
≤ 1
(µi + t)2
[zi(t) + σi(t)], i = 1, 2, 3. (27)
Iз (27) випливає задача Кошi порiвняння вигляду (22), (23), яка, за припущенням, пiдпо-
рядкована умовi 4 теореми 1. За теоремою про диференцiальнi нерiвностi iз (27), (22),
(23) для функцiй zi(t) i розв’язкiв (24) одержуємо систему нерiвностей [12, 18]
zi(t) ≤ yi(t, t0, y
0
i ), i = 1, 2, 3, t ∈ I1.
Звiдси для компонент Vi, i = 1, 2, 3 (13), знаходимо оцiнки
Vi[ui(t, s), t] ≤ yi(t, t0, y
0
i ) + σi(t), i = 1, 2, 3, t ∈ I1.
Враховуючи вигляд розв’язку (24) задачi (22), (23), остаточно вздовж розв’язку крайової
задачi (7) – (9) отримуємо систему нерiвностей [12, 18 – 26]
Vi[ui(t, s), t] ≤ Pi(t),
Pi(t) ≡ exp
[
− 1
µi + t
] t∫
t0
exp
[
1
µi + t
]
Φi(τ)dτ + y0i exp
[
1
µi + t0
]
, (28)
t0, t ∈ I1, i = 1, 2, 3,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
54 К.С. МАТВIЙЧУК
оскiльки маємо yi(t, t0, y0i ) + σ(t) ≤ Pi(t), i = 1, 2, 3, t0, t ∈ I1. Iз умови 5 теореми 1
знаходимо систему оцiнок
Pi(t) ≤ Ci, Ci ≡
{
Mi
(
µi + Lµ̄−1
)2
+ y0i
}
exp
[
1
µi + t0
]
. (29)
Зауважимо при цьому, що один iз можливих виборiв константMi може бути обумовлений
виконанням умов | Mi(t, λi) |≤ Mi, i = 1, 2, 3.
Таким чином, iз нерiвностей (23), (28), (29) випливає справедливiсть теореми 1.
Теорема 2. Нехай умови 1 – 4 теореми 1 справедливi на будь-якому промiжку I1 ⊆ I i
виконуються умови
exp
[
− 1
µi + t
]
≥
t∫
t0
exp
[
1
µi + t
]
Φi(τ)dτ ∀Ii ⊆ I,
(
µi + Lµ̄−1
)2 ≥ 1, i = 1, 2, 3.
Тодi динамiчнi процеси, якi характеризуються крайовою задачею (7) – (9), є технi-
чно стiйкими вiдносно векторної мiри ρ(u) на нескiнченному промiжку часу I .
Доведення теореми 2 аналогiчне доведенню теореми 1 з незначними вiдмiнностями,
оскiльки в цьому випадку в областi I виконуються нерiвностi
Pi(t) ≤ y0i exp
[
1
µi + t0
]
+ 1 ≤ Ci, t0, t ∈ I, i = 1, 2, 3.
Теорема 3. Нехай додатково до умов теореми 2 в областi I виконується умова
збiжностi
yi(t, t0, y
0
i ) + σi(t) → 0 при t → +∞, i = 1, 2, 3.
Тодi вихiднi динамiчнi процеси (7) – (9) вiдносно векторної мiрi ρ(u) є асимптотично
технiчно стiйкими.
Справдi, в цьому випадку разом з аргументацiєю, наведеною при доведеннi теорем
1 i 2,
Vi(t) → 0, t → +∞, i = 1, 2, 3.
Одержанi достатнi умови технiчної стiйкостi заданих динамiчних процесiв характери-
зують залежнiсть просторового руху в потоцi рiдини довгого пружного тiла вiд основних
параметрiв процесiв, а саме, таких, як швидкiсть поздовжнього транспортування видов-
женої системи в рiдинi, тиск у рiдинi на фiксованiй глибинi, розподiленi i гiдродинамiчнi
сили.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ТЕХНIЧНА СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНИХ ПРОСТОРОВИХ ДИНАМIЧНИХ СТАНIВ . . . 55
Знайденi умови технiчної стiйкостi вихiдних динамiчних процесiв (7) – (9) порушую-
ться, якщо швидкiсть руху заданої системи, зовнiшнi сили, що дiють на систему, будуть
задовольняти систему нерiвностей
ṽi + F̃i ≥ 1, i = 1, 2, 3, (30)
оскiльки в цьому випадку умова додатної означеностi (17) для функцiонала (13) не вико-
нується. Але цього недостатньо для нестiйкостi процесу. Вихiдний процес буде технiчно
нестiйким на скiнченному або нескiнченному iнтервалi часу, якщо вiдповiдно в цих обла-
стях мажоранти Pi(t) в оцiнках (28) задовольняють умови
Pi(t) → +∞, i = 1, 2, 3. (31)
Зокрема, умова (31) виконується при t0 = 0 i довiльних t ≥ 0, коли µi → 0, i = 1, 2, 3.
Як випливає iз означення величин µi, i = 1, 2, 3, це можливо при прямуваннi швидкостi v
руху пружного тiлаAB у рiдинi до деякого свого критичного значення vкр; аналогiчне має
мiсце для швидкостi руху рiдини i зовнiшнiх сил, що дiють на задане пружне тiло; або всi
названi величини зростають одночасно. У даному випадку критична швидкiсть vкр руху
пружного тiла в iдеальнiй рiдинi визначається за допомогою нерiвностей (30):
vкр =
[
3ES0n0hI2I3δ − I2I3
(
l2R1 + S0hδPH
∂n0
∂s
)
−
− S0n0I2
(
l4R2 + PHS0l
2h
∂n0
∂s
)
−
− S0n0I3
(
l4R3 + PHS0l
2h
∂n0
∂s
)]
[ml2(I2I3 + lS0n0hI2 + lS0n0hI3)]
−1. (32)
Легко переконатись, що теореми 1 – 3 справедливi у випадку динамiчних процесiв, якi
характеризуються крайовими задачами типу (12), (8), (9) при врахуваннi взаємодiї заданої
пружної системи змiнного перетину з в’язкою рiдиною.
У випадку руху заданого тiла в потоцi в’язкої рiдини для vkp маємо
vкр =
[
3ES0n0hI2I3δ − I2I3
(
l2R1 + w2
1h+ S0hδPH
∂n0
∂s
)
−
− S0n0I2
(
l4R2 + w2
2l
2h+ PHS0l
2h
∂n0
∂s
)
−
− S0n0I3
(
l4R3 + w2
3l
2h+ S0hl
2PH
∂n0
∂s
)]
[ml2(I2I3 + lS0n0hI2 + lS0n0hI3)]
−1. (33)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
56 К.С. МАТВIЙЧУК
Iз (32), (33) випливає явна залежнiсть критичної шквидкостi vкр руху пружного тiла
AB у потоцi рiдини вiд iнших основних параметрiв вихiдного процесу. Змiна останнiх
приводить до певних змiн критичної швидкостi руху системи в рухомiй рiдинi. Аналогi-
чно знаходимо критичнi значення iнших параметрiв, якi характеризують дослiджуваний
процес.
Таким чином, при русi довгого пружного тiла змiнного перетину в потоцi рiдини зi
швидкiстю, яка не перевищує критичного значення vкр, що визначається у вiдповiдностi
з (32) або (33), динамiчний процес (7) – (9) або (12), (8), (9) є технiчно стiйким згiдно з
наведеними означеннями.
1. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1935.—
364 с.
2. Новожилов В.В. Теория упругости. — Л.: Судпромгиз, 1958. — 370 с.
3. Савiн Г.М., Парасюк О.С. Пружно-пластичнi задачi з бiгармонiчним пластичним станом //Допов. АН
УРСР. — 1947. — N◦4. — С. 53 – 56.
4. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформированных тел. — Киев: Наук. думка, 1971. — 276 с.
5. Вознюк А.В., Коломиец В.Г. Применение асимптотических методов нелинейной механики для иссле-
дования одночастотных колебаний стержней переменного сечения // Мат. физика. — 1969. — Вып. 6.
— С. 66 – 72.
6. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. — М.: Машиностроение, 1982. — 280 с.
7. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жид-
кость. — Киев: Наук. думка, 1990. — 296 с.
8. Leipholz H. Stability of elastic systems. — The Netherlands: Sijhoff et Noordhoff, 1980. — 475 p.
9. Зубов В.И. Устойчивость движения. — М.: Высш. шк., 1973. — 271 с.
10. Кореневский Д.Г. Устойчивость решений детерминированных и стохастических дифференциально-
разностных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1992. — 147 с.
11. Мовчан А.А. О прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости упругих систем //Прикл. математика
и механика. — 1959. — 23, N◦3. — С. 483 – 494.
12. Szarski J. Differential inequalities. — Warszawa: PWN, 1967. — 256 p.
13. Байрамов Ф.Д. О технической устойчивости систем с распределенными и сосредоточенными параме-
трами //Изв. вузов. Авиац. техника. — 1975. — N◦2. — С. 19 – 24.
14. Кириченко Н.Ф. Некоторые задачи устойчивости и управляемости движения. — Киев: Изд-во Киев.
ун-та, 1972. — 212 с.
15. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. — Новосибирск: Наука,
1987. — 232 с.
16. Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Исследование задач по практической устойчивости и стабилизации
движения //Механика твердого тела. — 1975. — N◦6. — С. 15 – 24.
17. Каменков Г.И. Об устойчивости на конечном интервале времени // Прикл. математика и механика. —
1953. — 17, вып. 5. — С. 529 – 540.
18. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем.
— Новосибирск: Наука, 1980. — 481 с.
19. Матвийчук К.С. О методе сравнения для дифференциальных уравнений, близких к гиперболическим
//Дифференц. уравнения. — 1984. — 20, N◦11. — С. 2009 – 2011.
20. Матвийчук К.С. Техническая устойчивость параметрически возбуждаемых распределенных процес-
сов //Прикл. математика и механика. — 1986. — 50, вып. 2. — С. 210 – 218.
21. Матвийчук К.С. Техническая устойчивость нелинейных параметрически возбуждаемых распреде-
ленных процессов //Дифференц. уравнения. — 1986. — 22, N◦11. — С. 2001 – 2004.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ТЕХНIЧНА СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНИХ ПРОСТОРОВИХ ДИНАМIЧНИХ СТАНIВ . . . 57
22. Матвийчук К.С. О технической устойчивости движения панелей в газовом потоке //Прикл. механика
и техническая физика. — 1988. — N◦6. — С. 93 – 99.
23. Матвийчук К.С. Об условиях технической устойчивости динамического процесса, характеризующе-
го вращение твердого тела на вертикальном упругом стержне //Прикл. механика. — 1990. — 26, N◦5.
— С. 96 – 102.
24. Матвийчук К.С. Техническая теория устойчивости параметрически возбуждаемых панелей в газовом
потоке //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1990. — N◦4. — С. 122 – 131.
25. Матвийчук К.С. Техническая устойчивость процесса движения двух связанных платформ, несущих
перемещающиеся маховики //Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1993. — N◦6. — С. 3 – 10.
26. Матвийчук К.С. Об условиях технической устойчивости управляемых процессов с распределенными
параметрами //Укр. мат. журн. —1997. — 49, N◦10. — С. 1337 – 1344.
27. Пустовойтов Н.А. О приближенных методах построения функций Ляпунова //Проблемы аналити-
ческой механики, устойчивости и управления движением. — Новосибирск: Наука, 1991. — С. 99 – 104.
28. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. — Киев: Наук. думка, 1981. — 412 с.
29. Матвийчук К.С. Исследование технической устойчивости нелинейных параметрически возбуждае-
мых систем с распределенными параметрами // Сиб. мат. журн. — 1999. — 40, N◦6. — С. 1289 – 1301.
Одержано 06.01.2000
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
|