Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням

Для коливних резонансних систем iз запiзненням на скiнченному вiдрiзку i на пiвосi обґрунтовано метод усереднення за швидкими змiнними. Одержано оцiнки похибки методу, явно залежнi вiд малого параметра....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2002
Hauptverfasser:	Самойленко, А.М., Бігун, Я.Й.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2002
Schriftenreihe:	Нелінійні коливання
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175829
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням / А.М. Самойленко, Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 77-85. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-175829
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1758292021-02-03T01:27:00Z Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням Самойленко, А.М. Бігун, Я.Й. Для коливних резонансних систем iз запiзненням на скiнченному вiдрiзку i на пiвосi обґрунтовано метод усереднення за швидкими змiнними. Одержано оцiнки похибки методу, явно залежнi вiд малого параметра. A method of averaging in the phase variables is substantiated for oscillation resonance systems, with a delay, defined on a bounded interval or a semiaxis. Error estimates depending on the small parameter are obtained for the averaging method. 2002 Article Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням / А.М. Самойленко, Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 77-85. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175829 517.929.7 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Для коливних резонансних систем iз запiзненням на скiнченному вiдрiзку i на пiвосi обґрунтовано метод усереднення за швидкими змiнними. Одержано оцiнки похибки методу, явно залежнi вiд малого параметра.
format	Article
author	Самойленко, А.М. Бігун, Я.Й.
spellingShingle	Самойленко, А.М. Бігун, Я.Й. Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням Нелінійні коливання
author_facet	Самойленко, А.М. Бігун, Я.Й.
author_sort	Самойленко, А.М.
title	Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням
title_short	Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням
title_full	Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням
title_fullStr	Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням
title_full_unstemmed	Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням
title_sort	усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2002
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175829
citation_txt	Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням / А.М. Самойленко, Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 77-85. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT samojlenkoam userednennânelíníjnihkolivnihsistemviŝogonabližennâízzapíznennâm AT bígunâj userednennânelíníjnihkolivnihsistemviŝogonabližennâízzapíznennâm
first_indexed	2025-07-15T13:16:33Z
last_indexed	2025-07-15T13:16:33Z
_version_	1837718981915443200
fulltext	УДК 517 . 929 . 7 УСЕРЕДНЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ ВИЩОГО НАБЛИЖЕННЯ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ А. М. Самойленко Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ 4, вул Терещенкiвська, 3 e-mail: sam@imath.kiev.ua Я. Й. Бiгун Чернiв. нац. ун-т Україна, 58012, Чернiвцi, вул.Унiверситетська, 28 e-mail: bigun@math.chdu.cv.ua A method of averaging in the phase variables is substantiated for oscillation resonance systems, with a delay, defined on a bounded interval or a semiaxis. Error estimates depending on the small parameter are obtained for the averaging method. Для коливних резонансних систем iз запiзненням на скiнченному вiдрiзку i на пiвосi обґрунтова- но метод усереднення за швидкими змiнними. Одержано оцiнки похибки методу, явно залежнi вiд малого параметра. Проблема обґрунтування методу усереднення для багаточастотних систем звичайних ди- ференцiальних рiвнянь вищого наближення дослiджувалась в [1 – 3]. Асимптотичнi на- ближення для розв’язкiв систем iз повiльно змiнним обмеженим запiзненням у резонан- сному випадку побудовано в [4, 5]. Метод усереднення для систем вищого наближення iз m, m ≥ 1, частотами, залежними вiд „повiльного часу” τ = εt (ε — малий додатний параметр), обґрунтовано в [6]. У данiй роботi розглядається система з повiльними i швидкими змiнними вищого на- ближення, вектор частот якої залежить i вiд повiльних змiнних. Одержано оцiнку похиб- ки методу усереднення, яка ґрунтується на оцiнках вiдповiдних осциляцiйних iнтегралiв [7]. Метод оцiнок осциляцiйних iнтегралiв для дослiдження коливних резонансних систем, запропонований у [8], набув свого розвитку в [2]. 1. Постановка задачi i припущення. Нехай D — обмежена область в Rn, ε ∈ (0, ε0], L = const > 0, τ ∈ [0, L] = I , функцiї λ, σ, τ : I → I , причому λ(τ) ≤ τ , σ(τ) ≤ τ i θ(τ) ≤ τ ; r ≥ 0 i m ≥ 1 — цiлi числа. Розглянемо систему, яку називають [2, 3] системою вищого наближення: dx dτ = r∑ ν=0 ενX(ν)(τ, x, xλ) + εr+1X(τ, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε), (1) dϕ dτ = ω(τ, x, xσ) ε + r∑ ν=0 εν−1Y (ν)(τ, x, xλ) + εrY (τ, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε). c© А. М. Самойленко, Я. Й. Бiгун, 2002 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 77 78 А.М. САМОЙЛЕНКО, Я.Й. БIГУН Тут x, xλ ∈ D, ϕ,ϕθ ∈ Rm, xλ(τ) = x(λ(τ)), xσ(τ) = x(σ(τ)). Вектор-функцiя A = [X(τ, x, z, u, v, ε), Y (τ, x, z, u, v, ε)] 2π-перiодична за змiнними uν , vν , ν = 1, . . . ,m, Y 0(τ, x, z) ≡ 0. Вiдповiдна (1) усереднена за швидкими змiнними на кубi перiодiв система набирає вигляду dx dτ = r∑ ν=0 ενX(ν)(τ, x, xλ) + εr+1X0(τ, x, xλ, ε), (2) dϕ dτ = ω(τ, x, xσ) ε + r∑ ν=0 εν−1Y (ν)(τ, x, xλ) + εrY0(τ, x, xλ, ε). Введемо такi позначення: A(ν) = [X(ν), Y (ν)], ν = 0, 1, . . . , r; A0 = [X0, Y0], C lx,z(G, a) — простiр неперервно диференцiйовних за змiнними x, z до порядку l включно функцiй для кожного ε ∈ (0, ε0] в областi G = I ×D ×D × Rm × Rm × (0, ε0], обмежених разом iз частинними похiдними в цiй областi сталою a > 0. Якщо x ∈ Rn, то ‖x‖ = \|x1\|+ · · ·+ \|xn\|. Нехай виконуються такi умови: 1◦. Для кожного ε ∈ (0, ε0] вектор-функцiї A, A(ν), A0 ∈ C1 u(G, a1), ω ∈ Cpτ,x,xσ(G1, a2), де u = (τ, x, z, ϕ, ϕθ), G1 = I ×D ×D, p — деяке цiле число, p ≥ 2m− 1. 2◦. Функцiї λ ∈ C1(I, a3), σ ∈ Cp(I, a3), θ ∈ Cp+1(I, a3), ∣∣∣∣dλ(τ) dτ ∣∣∣∣ ≥ a−14 > 0, τ ∈ I. Будемо вважати, що аналогiчнi нерiвностi iз сталою a4 виконуються i для функцiй σ(τ) i θ(τ). 3◦. Iснує єдиний розв’язок системи першого наближення для повiльних змiнних dξ dτ = X(0)(τ, ξ, ξλ), τ ∈ I, (3) ξ(0) = x0 ∈ D, який належить областi D разом iз деяким ρ-околом. 4◦. Для коефiцiєнтiв Фур’є вектор-функцiї A(τ, x, z, u, v, ε) вздовж розв’язку системи першого наближення (3) справджується нерiвнiсть ∑ ‖k‖+‖l‖6=0 [ sup G2 ‖Akl‖+ ( ‖k‖+ a4‖l‖ )−1( sup G2 ∥∥∥∥∥∂Akl∂τ ∥∥∥∥∥+ + sup G2 ∥∥∥∥∥∂Akl∂x ∥∥∥∥∥+ a3 sup G2 ∥∥∥∥∥∂Akl∂xλ ∥∥∥∥∥ )] ≤ a5, G2 = I × (0, ε0]. 5◦. На промiжку I визначено матрицю (V T (τ)V (τ))−1V T (τ). Тут V (τ) — (p × 2m)- вимiрна матриця з елементами Vij(τ) = di−1 dτ i−1 (ωj(τ, ξ(τ), ξ(σ(τ)))), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 УСЕРЕДНЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ ВИЩОГО НАБЛИЖЕННЯ .. . 79 Vim+j(τ) = di−1 dτ i−1 ( ωj ( θ(τ), ξθ(τ), ξθ(σ(τ)) )dθ dτ ) , j = 1, . . . ,m, i = 1, . . . , p+ 1. Покажемо, що при виконаннi зазначених умов для досить малого ε0 > 0 справджу- ється оцiнка η(τ, ε) ≡ ‖x(τ, ε)− x(τ, ε)‖+ ε‖ϕ(τ, ε)− ϕ(τ, ε)‖ ≤ c1ε q ∀ (τ, ε) ∈ I × (0, ε0], (4) де c1 = const > 0, q = r + 1 + 1/p, x(0, ε) = x(0, ε), ϕ(0, ε) = ϕ(0, ε). 2. Система першого наближення. Для системи (2) iснує τ1(ε) ∈ (0, L] таке, що для будь- якого ε ∈ (0, ε0] на пiвiнтервалi [0, τ1) визначено розв’язок [x(τ, ε), ϕ(τ, ε)]. За умовою 1◦ для ε0 ≤ 0, 5 i x(0, ε) = ξ(0) ‖x(τ, ε)− ξ(τ)‖ ≤ a1 τ∫ 0 (‖x(s, ε)− ξ(s)‖+ ‖xλ(s, ε)− ξλ(s)‖)ds+ 2a1τε ≤ ≤ a1(1 + a4) τ∫ 0 ‖x(s, ε)− ξ(s)‖ds+ 2a1τε. Звiдси на пiдставi нерiвностi Гронуолла одержуємо ‖x(τ, ε)− ξ(τ)‖ ≤ c2ε, (5) де c2 = 2a1L exp[a1(1 + a4)L]. Якщо ε0 = min(0, 5; ε1), де 2c2ε1 ≤ ρ, то τ ≥ L i для будь-яких (τ, ε) ∈ I × (0, ε0] розв’язок x(τ, ε) належить D разом iз ρ/2-околом. 3. Обґрунтування методу усереднення на I . Теорема 1. Нехай виконуються умови 1◦ – 4◦. Тодi iснує ε0 > 0 таке, що для будь-яких (τ, ε) ∈ I × (0, ε0] справджується оцiнка (4). Доведення. Iз неперервностi правих частин (1) випливає, що iснує τ2(ε) > 0 таке, що для будь-яких (τ, ε) ∈ (0, τ2)× (0, ε0] iснуc cдиний розв’язок [x(τ, ε), ϕ(τ, ε)] системи (1). Iз систем (1) i (2), враховуючи (5), для τ ∈ (0, τ2] одержуємо η(τ, ε) ≤ (1 + a4) ( a2 + a1 r∑ ν=0 εν ) τ∫ 0 ‖x(s, ε)− x(s, ε)‖ds+ + εr+1 τ∫ 0 ‖A(s, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε)−A(s, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε)‖ds+ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 80 А.М. САМОЙЛЕНКО, Я.Й. БIГУН + εr+1 τ∫ 0 ‖A(s, x, xλ, ϕ, ϕθ, ε)−A(s, ξ, ξλ, ϕ, ϕθ, ε)‖ds+ + εr+1 τ∫ 0 ‖A0(s, x, xλ, ε)−A0(s, ξ, ξλ, ε)‖ds+ + εr+1 ∑ ‖k‖+‖l‖6=0 τ∫ 0 ‖Akl(s, ξ, ξλ, ε) exp[i(k, ϕ) + i(k, ϕθ)]ds‖ ≤ ≤ (2a1 + a2)(1 + a4) τ∫ 0 η(s, ε)ds+ 4a1c2Lε r+2 + εr+1 ∑ ‖k‖+‖l‖6=0 ‖Ikl(τ, ε)‖. (6) Тут Ikl — осциляцiйний iнтеграл вигляду Ikl(τ, ε) = τ∫ 0 Fkl(s, ε) exp { i ε s∫ 0 γkl(z)dz } ds. Вектор-функцiя Fkl(s, ε) = Akl(s, ξ(s), ξλ(s), ε) exp { − i ε s∫ 0 γkl(z)dz + i(k, ϕ(τ, ε)) + i(l, ϕ0(τ, ε)) } , γkl(s) = (k, ω(s, ξ(s), ξσ(s))) + (l, ω(θ(s), ξθ(s), ξθ(σ(s)))). Виконання спiввiдношення γkl(s) = 0, ‖k‖+‖l‖ 6= 0, є умовою резонансу в точцi s ∈ I . Наявнiсть резонансiв у системi значно ускладнюc ı̈ı̈ дослiдження [1 – 3]. Умови 1◦, 2◦ i 4◦ дають змогу скористатись для Ikl оцiнкою [7] ‖Ikl(s, ε)‖ ≤ c3ε 1/p ( sup I×(0,ε0] ‖Fkl(s, ε)‖+ + (‖k‖+ a4‖l‖)−1 sup I×(0,ε0] ∥∥∥∥dFkl(s, ε)ds ∥∥∥∥ ) , (τ, ε) ∈ [0, τ2)× (0, ε0]. На пiдставi умов 1◦, 2◦ одержуємо ‖Fkl(τ, ε)‖ ≤ sup G2 ‖Akl(τ, ξ(τ), ξ(λ(τ))‖, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 УСЕРЕДНЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ ВИЩОГО НАБЛИЖЕННЯ .. . 81∥∥∥∥∥ dFkldtau (τ, ε) ∥∥∥∥∥ ≤ sup G2 ∥∥∥∥∥∂Akl∂τ ∥∥∥∥∥+ a1 ( sup G2 ∥∥∥∥∥∂Akl∂x ∥∥∥∥∥+ a3 sup G2 ∥∥∥∥∥∂Akl∂xλ ∥∥∥∥∥ ) + + 1 ε sup G2 ‖Akl‖ [∥∥∥∥∥(k, ω(τ, x, xσ)− ω(τ, ξ, ξσ))+ + (l, ωθ(τ, x, xσ)− ω(τ, ξ, ξσ)) dθ dτ ∥∥∥∥∥+ + ∥∥∥∥∥ ( k, r−1∑ ν=0 ενY (ν)(τ, x, xλ) + εrYθ(τ, x, x, ε) )∥∥∥∥∥+ + ∥∥∥∥∥ ( l, r−1∑ ν=0 ενY (ν−1) 0 (τ, x, xλ) + εr+1(Y0(τ, x, xλ, ε))θ dθ dτ )∥∥∥∥∥ ] ≤ ≤ sup G2 ∥∥∥∥∥∂Akl∂τ ∥∥∥∥∥+ a1 ( sup G2 ∥∥∥∥∥∂Akl∂x ∥∥∥∥∥+ a3 sup G2 ∥∥∥∥∥∂Akl∂xλ ∥∥∥∥∥ ) + + 2a1a2(1 + c2)[‖k‖+ a3‖l‖]. Враховуючи умову 4◦, маємо∑ ‖k‖+‖l‖6=0 ‖Ikl‖ ≤ c3ε 1/p ∑ ‖k‖+‖l‖6=0 [(1 + 2a1a2(1 + c2)) sup G2 ‖Akl‖+ + (1 + a1)(‖k‖+ a4‖l‖)−1 ( sup G2 ∥∥∥∥∂Akl∂τ ∥∥∥∥+ sup G2 ∥∥∥∥∂Akl∂x ∥∥∥∥+ a3 sup G2 ∥∥∥∥∂Akl∂xλ ∥∥∥∥) ≤ ≤ a5c3(1 + 2a1a2(1 + c2))ε 1/p ≡ c4ε 1/p. Нарештi, iз (6) на пiдставi нерiвностi Гронуолла одержуємо потрiбну оцiнку η(τ, ε) ≤ εq(c4 + 4a12Lε p−1 p ) exp[(2a1 + a2)(1 + a4)L] ≤ 2c4ε q, якщо ε ≤ ε2 = (4a1c2L/c4) p/(1−p). Крiм того, якщо ε0 ≤ ε3 = (ρ/4c4) 1/q, то τ2 ≥ L, тому нерiвнiсть (4) справджуcться для τ ∈ I . Отже, теорему доведено. 4. Усереднення на пiвосi. Як i для випадку багаточастотної системи [2], яка описується звичайними диференцiальними рiвняннями, чи системи першого наближення iз запiзне- нням [7], покажемо, що для повiльних змiнних виконується оцiнка, аналогiчна (4), i для R+ = [0,∞). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 82 А.М. САМОЙЛЕНКО, Я.Й. БIГУН Доведемо спочатку лему. Лема. Нехай вектор-функцiя F (x) = (F1(x), . . . , Fk(x))T визначена в областi S ⊂ ⊂ Rn, F ⊂ C2(S) i k∑ α=1 sup x∈S ∥∥∥∥ ∂2F ∂x∂xα (x) ∥∥∥∥ ≤ a6. (7) Тодi для x, x+ ∆ ∈ S для вектор-функцiї r(x) = F (x+ ∆)− F (x)− ∂F (x) ∂x ∆ викону- ється нерiвнiсть ‖r(x)‖ ≤ 1 2 a6k‖∆‖2. (8) Доведення. Справдi, ‖r(x)‖ = k∑ α=1 \|rα(x)\| ≤ 1 2 ∑ ν ∑ α ∑ β ∣∣∣∣ ∂2Fν ∂xα∂xβ (x+ θν∆)∆α∆β ∣∣∣∣ ≤ ≤ 1 2 ∑ α \|∆α\| ∑ β \|∆β\| ∑ ν max ν ∣∣∣∣ ∂2Fν ∂xα∂xβ (x+ θν∆) ∣∣∣∣ ≤ ≤ 1 2 k‖∆‖ ∑ α \|∆α\|max β ∣∣∣∣ ∂2Fν0∂xα∂xβ (x+ θν0∆) ∣∣∣∣ ≤ ≤ 1 2 k‖∆‖2 ∑ α ∥∥∥∥ ∂2Fν ∂xα∂x (x+ θν0∆) ∥∥∥∥ ≤ ≤ 1 2 k‖∆‖2 ∑ α sup x∈S ∥∥∥∥ ∂2F ∂xα∂x (x) ∥∥∥∥ ≤ 1 2 ka6‖∆‖2. Лему доведено. Нехай x 0(τ, ε) = x(τ, 0, x0, ε) — розв’язок усередненого рiвняння (2), x(0, 0, x0, ε) = = x0. Вiдповiдне рiвняння у варiацiях набирає вигляду dv dτ = A1(τ, ε)v +A2(τ, ε)vλ, (9) де Aα(τ, ε) = r+1∑ ν=0 εν ∂X(ν) ∂uα (τ, x 0(τ, ε), x 0 λ (τ, ε)), α = 1, 2, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 УСЕРЕДНЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ ВИЩОГО НАБЛИЖЕННЯ .. . 83 X(ν)(τ, u1, u2) ≡ X(ν)(τ, x, xλ), X(r+1)(τ, u1, u2, ε) ≡ X0(τ, u1, u2, ε). Теорема 2. Нехай функцiı̈ у правих частинах систем (1) i (2) задовольняють такi умови: 1) для τ ∈ R+ виконуються умови 1◦, 2◦ i 4◦; 2) на R+ iснуc cдиний розв’язок системи (2), причому x = x 0(τ, ε) належить D разом iз деяким ρ-околом; 3) функцiя Кошi C(τ, s) [9] лiнiйноı̈ системи (9) задовольняc оцiнку ‖C(τ, s, ε)‖ ≤ Be−γ(τ−s), τ ≥ s ≥ 0, (10) де 2B > 1 i γ > 0 — не залежнi вiд ε сталi; 4) функцiı̈ diων(τ, ξ(τ), ξσ(τ)) dτ i i di dθ θ(τ), i = 0, 1, . . . , p , ν = 1, . . . ,m , рiвномiрно непе- рервнi на R+ i норма матрицi (V TV )−1V T , обчислена вздовж розв’язку ξ = ξ(τ), обме- жена на R+; 5) X(ν) ∈ C2 u(G1), u = [u1, u2], i 2n∑ α=0 sup G1 ∥∥∥∥∥∂2X(ν) ∂u∂uα ∥∥∥∥∥ ≤ a6; 6) sup τ∈R+ (τ − λ(τ)) ≤ a7. Тодi для досить малого ε > 0, всiх τ ∈ R+ i ε ∈ (0, ε0] справджуcться нерiвнiсть ‖x(τ, ε)− x 0(τ, ε)‖ ≤ c5ε q. (11) Доведення. Нехай ε0 ≤ ε4, 4c1ε q 4 ≤ ρ. На пiдставi теореми 1 розв’язок системи (1) iснуc на деякому максимальному пiвiнтервалi [0, τ3(ε)), τ3 > L. Подамо пiвiнтервал [0, τ3) у виглядi [0, τ3) = N⋃ ν=0 Iν , де Iν = [νL, (ν + 1)L], ν = 0, 1, . . . , N , N ≥ 1, IN = [NL, τ3), L = const > 0. Позначимо через x(τ, x0, ϕ0, ε) компоненту розв’язку системи (1), x(0, x0, ϕ0, ε) = x0, τν = νL, а через x(τ, τν , xν , ε) — розв’язок першого iз рiвнянь (2) для τ ∈ Iν , x(s, τν , xν , ε) = = x(s, x0, ϕ0, ε), s ∈ Iν−1 ∩ [λ(τν), τν ]. Введемо замiну x(τ, τν , xν , ε) = x 0(τ, ε) + z(τ, ε), τ ≥ τν . Для z(τ, ε) маcмо рiвняння dz dτ = A1(τ, ε)z +A2(τ, ε)zλ +R(τ, z, zλ, ε), де R(τ, z, zλ, ε) = r+1∑ ν=0 ενRν , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 84 А.М. САМОЙЛЕНКО, Я.Й. БIГУН Rν = X(ν)(τ, z + x 0, zλ + x 0 λ )−X(τ, x 0, x 0 λ )− ∂X(ν) ∂u1 (τ, x 0, x 0 λ )z − ∂X(ν) ∂u2 (τ, x 0, x 0 λ )zλ. На пiдставi леми, умови 5 i ε ∈ (0, ε0] маcмо ‖R‖ ≤ 1 2 n‖[z, zλ]‖2 r+1∑ ν=0 εν 2n∑ α=1 sup Gρ2 ∥∥∥∥∥∂2X(ν) ∂u∂uα (τ, u1, u2) ∥∥∥∥∥ ≤ a6n‖[z, zλ]‖2. (12) Оцiнка (12) i умова 3 дають змогу скористатись також оцiнкою [9] (теорема 1) ‖z(τ, ε)‖ ≤ c6e (−γ(τ−τν)) max [λ(τν),τν ] ‖z(s, ε)‖, τ ≥ τν , (13) де c6 = B(1 + a7)e a7γ . Виберемо L = γ−1 ln(2c6). На промiжку I0 маcмо max ‖x(τ, x0, ϕ0, ε)−x 0(τ, ε)‖ ≤ c1ε q. Для τ ∈ Iν , ν = 1, . . . , N + 1, враховуючи оцiнки (4), (13) та вибiр L, одержуємо max τ∈Iν ‖x(τ, x0, ϕ0, ε) − x 0(τ, ε)‖ ≤ ≤ max τ∈Iν ‖x(τ, x0, ϕ0, ε)− x(τ, τν , xν , ε)‖+ + c6e −γL‖x(τν , τν , xν , ε)− x 0(τν , ε)‖ ≤ ≤ c1εq + c6e −γL max τ∈Iν−1 ‖x(τ, x0, ϕ0, ε)− x(τ, τν−1, xν−1, ε)‖ ≤ ≤ c1εq N∑ ν=0 (c6e −γL)ν ≤ 2c1ε q. Зауважимо, що аналогiчно доводиться той факт, що розв’язок системи першого на- ближення знаходиться у 2c2ε-околi усередненого розв’язку x 0(τ, ε), коли τ ∈ R+ i ε ∈ ∈ (0, ε0], ε0 ≤ ε5 = ε1/2. Нехай ε = min ν=1,...,5 εν . Тодi розв’язок x(τ, x0, ϕ0, ε) належить D разом iз (ρ/4)-околом для всiх τ ∈ R+, ε ∈ (0, ε0], i для нього виконуcться оцiнка (11) iз сталою c5 = 2c1. 1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. — 504 с. 2. Самойленко А.М., Петришин Р.I. Багаточастотнi коливання нелiнiйних систем. — Київ: Iн-т матема- тики НАН України, 1998. — 340 с. 3. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука, 1979. — 432 с. 4. Медведев Г.Н. Высшие приближения метода усреднения при расчете некоторых систем дифферен- циальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Весн. Моск. ун-та. Сер. 3. — 1966. — N◦ 4. — С. 110 – 115. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 УСЕРЕДНЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ ВИЩОГО НАБЛИЖЕННЯ .. . 85 5. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. — М.: Наука, 1969. — 288 с. 6. Бiгун Я.Й. Усереднення в коливних резонансних системах вищого наближення з запiзненням // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту: Зб. наук. пр. Математика. — 2000. — Вип. 76. — С. 11 – 16. 7. Бигун Я.И., Самойленко А.М. Обоснование принципа усреднения для многочастотных систем с за- паздыванием // Дифференц. уравнения. — 1999. — 35, N◦ 1. — С. 7 – 14. 8. Самойленко А.М. К вопросу обоснования метода усреднения для многочастотных колебательных си- стем // Там же. — 1987. — 23, N◦ 2. — С. 267 – 278. 9. Азбелев Н.В., Малыгина В.В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с по- следействием // Изв. вузов. Математика. — 1994. — N◦ 6. — С. 20 – 27. Одержано 04.12.2001 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1

Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням

Institution

Ähnliche Einträge