Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства
Доведено таку теорему. Нехай E i f : R × E → E — вiдповiдно довiльнi нескiнченновимiрний банахiв простiр i неперервне вiдображення. Для довiльних точки (t0, z0) ∈ R × E i числа ε > 0 знайдеться таке неперервне вiдображення g : R × E → E, що sup ||f(t, x) − g(t, x)|| ≤ ε i задача Кошi z`(t) =...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175831 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства / В.Е. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 86-89. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175831 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1758312021-02-03T01:27:30Z Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства Слюсарчук, В.Е. Доведено таку теорему. Нехай E i f : R × E → E — вiдповiдно довiльнi нескiнченновимiрний банахiв простiр i неперервне вiдображення. Для довiльних точки (t0, z0) ∈ R × E i числа ε > 0 знайдеться таке неперервне вiдображення g : R × E → E, що sup ||f(t, x) − g(t, x)|| ≤ ε i задача Кошi z`(t) = g(t, z(t)), z(t0) = z0, t ∈ (t0 − δ, t0 + δ), не має розв’язку для кожного δ > 0. We prove the following theorem. Let E and f : R × E → E be an infinite-dimensional Banach space and a continuous mapping, respectively. For an arbitary point (t0, z0) ∈ R × E and a number ε > 0 there exists a continuous mapping g : R × E → E such that. sup ||f(t, x) − g(t, x)|| ≤ ε and the Cauchy problem z`(t) = g(t, z(t)), z(t0) = z0, t ∈ (t0 − δ, t0 + δ), has no solutions for every δ > 0. 2002 Article Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства / В.Е. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 86-89. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175831 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Доведено таку теорему. Нехай E i f : R × E → E — вiдповiдно довiльнi нескiнченновимiрний
банахiв простiр i неперервне вiдображення. Для довiльних точки (t0, z0) ∈ R × E i числа ε > 0
знайдеться таке неперервне вiдображення g : R × E → E, що
sup ||f(t, x) − g(t, x)|| ≤ ε
i задача Кошi
z`(t) = g(t, z(t)), z(t0) = z0, t ∈ (t0 − δ, t0 + δ),
не має розв’язку для кожного δ > 0. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Е. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Е. Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Е. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Е. |
| title |
Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства |
| title_short |
Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства |
| title_full |
Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства |
| title_fullStr |
Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства |
| title_full_unstemmed |
Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства |
| title_sort |
плотность множества неразрешимых задач коши во множестве всех задач коши в случае бесконечномерного банахова пространства |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175831 |
| citation_txt |
Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае бесконечномерного банахова пространства / В.Е. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 86-89. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukve plotnostʹmnožestvanerazrešimyhzadačkošivomnožestvevsehzadačkošivslučaebeskonečnomernogobanahovaprostranstva |
| first_indexed |
2025-07-15T13:16:41Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:16:41Z |
| _version_ |
1837718990681538560 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ПЛОТНОСТЬ МНОЖЕСТВА НЕРАЗРЕШИМЫХ ЗАДАЧ КОШИ
ВО МНОЖЕСТВЕ ВСЕХ ЗАДАЧ КОШИ В СЛУЧАЕ
БЕСКОНЕЧНОМЕРНОГО БАНАХОВА ПРОСТРАНСТВА
В. Е. Слюсарчук
Ривнэн. техн. ун-т
Украина, 33000, Ривнэ, ул. Соборная, 11
e-mail: V. Ye. Slyusarchuk@RSTU.rv.ua
We prove the following theorem. Let E and f : R×E → E be an infinite-dimensional Banach space and
a continuous mapping, respectively. For an arbitary point (t0, z0) ∈ R × E and a number ε > 0 there
exists a continuous mapping g : R× E → E such that.
sup
(t,x)∈R×E
‖f(t, x)− g(t, x)‖ ≤ ε
and the Cauchy problem
z′(t) = g(t, z(t)), z(t0) = z0, t ∈ (t0 − δ, t0 + δ),
has no solutions for every δ > 0.
Доведено таку теорему. Нехай E i f : R × E → E — вiдповiдно довiльнi нескiнченновимiрний
банахiв простiр i неперервне вiдображення. Для довiльних точки (t0, z0) ∈ R × E i числа ε > 0
знайдеться таке неперервне вiдображення g : R× E → E, що
sup
(t,x)∈R×E
‖f(t, x)− g(t, x)‖ ≤ ε
i задача Кошi
z′(t) = g(t, z(t)), z(t0) = z0, t ∈ (t0 − δ, t0 + δ),
не має розв’язку для кожного δ > 0.
Пусть E — произвольное банахово пространство. В случае dimE = ∞ А. Н. Годунов [1]
построил пример непрерывного отображения F : R×E → E, для которого задача Коши
x′(t) = F (t, x(t)), x(0) = 0, t ∈ (−δ, δ), (1)
не имеет решения для каждого δ > 0.
Цель статьи — показать, что множество задач Коши с таким свойством плотно во
множестве всех задач Коши.
Теорема. Пусть E и f : R × E → E — соответственно произвольные бесконечно-
мерное банахово пространство и непрерывное отображение. Для произвольных точки
(t0, z0) ∈ R×E и числа ε > 0 найдется такое непрерывное отображение g : R×E → E,
что
sup
(t,x)∈R×E
‖f(t, x)− g(t, x)‖ ≤ ε (2)
c© В. Е. Слюсарчук, 2002
86 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПЛОТНОСТЬ МНОЖЕСТВА НЕРАЗРЕШИМЫХ ЗАДАЧ КОШИ ВО МНОЖЕСТВЕ ВСЕХ ЗАДАЧ КОШИ . . . 87
и задача Коши
z′(t) = g(t, z(t)), z(t0) = z0, t ∈ (t0 − δ, t0 + δ), (3)
не имеет решения для каждого δ > 0.
Доказательство. Возможны два случая: 1) задача Коши (3) не имеет решения для
каждого δ > 0; 2) задача Коши (3) имеет решение y(t) для некоторого δ > 0. В первом
случае теорема справедлива при g = f .
Рассмотрим второй случай. На основании непрерывности y, f и F найдутся числа
γ1, γ2 ∈ (0, δ), для которых
‖y(t)− z0‖ ≤
γ1
2
(4)
и
‖f(t, x)− f(t0, z0)‖+ ‖F (t− t0, x− z0)− F (0, 0)‖ ≤ ε
6
, (5)
если |t− t0| ≤ γ2 и ‖x− z0‖ ≤ γ1.
Введем непрерывные отображения ν : E → [0, 1], µ : R → [t0−γ2, t0 +γ2], ŷ : R → E,
f̂ : R× E → E, F̂ : R× E → E, f̆ : R× E → E и F̆ : R× E → E с помощью равенств
ν(x) =
1, если ‖x‖ ≤ ε
6
;
2− 6
ε
‖x‖, если
ε
6
< ‖x‖ ≤ ε
3
;
0, если ‖x‖ > ε
3
,
µ(t) =
t0 − γ2, если t < t0 − γ2;
t, если |t− t0| ≤ γ2;
t0 + γ2, если t > t0 + γ2,
ŷ(t) = y(µ(t)),
f̂(t, x) = f(µ(t), x),
F̂ (t, x) = F (µ(t)− t0, x),
f̆(t, x) = ν(f̂(t, x)− f(t0, z0))f̂(t, x) + [1− ν(f̂(t, x)− f(t0, z0))]f(t0, z0)
и
F̆ (t, x) = ν(F̂ (t, x)− F (0, 0))F̂ (t, x) + [1− ν(F̂ (t, x)− F (0, 0))]F (0, 0).
Согласно этим равенствам и (5)
sup
t,x∈R×E
‖f̆(t, x)− f(t0, z0)‖ ≤
ε
3
(6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
88 В. Е. СЛЮСАРЧУК
и
sup
t,x∈R×E
‖F̆ (t, x)− F (0, 0)‖ ≤ ε
3
. (7)
Поэтому непрерывное отображение g : R× E → E:
g(t, x) = f(t, x)− f̆(t, x) + f̆(t, ŷ(t))+
+
ε
ε+ 3‖F (0, 0)‖
F̆
(
ε(t− t0)
ε+ 3‖F (0, 0)‖
+ t0, x− ŷ(t)
)
(8)
удовлетворяет соотношению (2). Действительно, на основании (6), (7) и (8)
‖f(t, x)− g(t, x)‖ ≤ ‖ − f̆(t, x) + f̆(t, ŷ(t))‖+
+
∥∥∥∥ ε
ε+ 3‖F (0, 0)‖
F̆
(
ε(t− t0)
ε+ 3‖F (0, 0)‖
+ t0, x− ŷ(t)
)∥∥∥∥ ≤
≤ ‖f̆(t, x)− f(t0, z0)‖+ ‖f̆(t, ŷ(t))− f(t0, z0)‖+
+
ε
ε+ 3‖F (0, 0)‖
∥∥∥∥F̆ ( ε(t− t0)
ε+ 3‖F (0, 0)‖
+ t0, x− ŷ(t)
)
− F (0, 0)
∥∥∥∥+
+
ε
ε+ 3‖F (0, 0)‖
‖F (0, 0)‖ ≤
≤ ε
3
+
ε
3
+
ε
ε+ 3‖F (0, 0)‖
(ε
3
+ ‖F (0, 0)‖
)
= ε,
если (t, x) ∈ R× E.
Предположим, что задача Коши (3) имеет решение u(t) для построенного отображе-
ния g и некоторого δ = γ3 ∈ (0, γ2). Не ограничивая общности, можно считать, что для
t ∈ (t0 − γ3, t0 + γ3)
‖u(t)− z0‖ ≤
γ1
2
. (9)
Рассмотрим функцию x̃(t) = u(t)− ŷ(t). На основании (4) и (9) получаем
‖x̃(t)‖ ≤ γ1 (10)
для t ∈ (t0 − γ3, t0 + γ3). Согласно (4), (9), (10) и определениям отображений ν, µ, ŷ, f̆ и F̆
для t ∈ (t0 − γ3, t0 + γ3)
ŷ(t) = y(t),
f̆(t, x̃(t) + y(t)) = f(t, x̃(t) + y(t)),
f̆(t, ŷ(t)) = f(t, y(t))
и
F̆
(
ε(t− t0)
ε+ 3‖F (0, 0)‖
+ t0, x̃(t)
)
= F
(
ε(t− t0)
ε+ 3‖F (0, 0)‖
, x̃(t)
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПЛОТНОСТЬ МНОЖЕСТВА НЕРАЗРЕШИМЫХ ЗАДАЧ КОШИ ВО МНОЖЕСТВЕ ВСЕХ ЗАДАЧ КОШИ . . . 89
Тогда
u′(t) = x̃′(t) + y′(t) = g(t, x̃(t) + y(t)) =
= f(t, x̃(t) + y(t))− f̆(t, x̃(t) + y(t)) + f̆(t, ŷ(t))+
+
ε
ε+ 3‖F (0, 0)‖
F̆
(
ε(t− t0)
ε+ 3‖F (0, 0)‖
+ t0, x̃(t) + y(t)− ŷ(t)
)
=
= f(t, y(t)) +
ε
ε+ 3‖F (0, 0)‖
F
(
ε(t− t0)
ε+ 3‖F (0, 0)‖
, x̃(t)
)
и
x̃′(t) =
ε
ε+ 3‖F (0, 0)‖
F
(
ε(t− t0)
ε+ 3‖F (0, 0)‖
, x̃(t)
)
для t ∈ (t0 − γ3, t0 + γ3), поскольку y′(t) = f(t, y(t)), если t ∈ (t0 − γ3, t0 + γ3).
Очевидно, что x̃(t0) = 0, и задача Коши (1) для δ = γ3ε(ε+ 3‖F (0, 0)‖)−1 имеет реше-
ние
x(t) = x̃
(
ε+ 3‖F (0, 0)‖
ε
t+ t0
)
,
что противоречит свойствам отображения F . Следовательно, для построенного отобра-
жения g задача Коши (3) не имеет решения для каждого δ > 0.
Теорема доказана.
1. Годунов А.Н. О теореме Пеано в банаховых пространствах // Функцион. анализ и его прил. — 1975. —
9, вып. 1. — С. 59 – 60.
Получено 27.10.2001
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
|