О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью

Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування розв’язкiв iз степеневою асимптотикою двочленних диференцiальних рiвнянь з експоненцiальною нелiнiйнiстю.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2002
Автори:	Евтухов, В.М., Шинкаренко, В.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2002
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175834
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью / В.М. Евтухов, В.Н. Шинкаренко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 306-325. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-175834
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1758342021-02-03T01:29:42Z О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью Евтухов, В.М. Шинкаренко, В.Н. Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування розв’язкiв iз степеневою асимптотикою двочленних диференцiальних рiвнянь з експоненцiальною нелiнiйнiстю. We find necessary and sufficient conditions for binomial differential equations with exponential nonlinearity to possess solutions that have power asymptotics 2002 Article О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью / В.М. Евтухов, В.Н. Шинкаренко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 306-325. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175834 517.925.518 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування розв’язкiв iз степеневою асимптотикою двочленних диференцiальних рiвнянь з експоненцiальною нелiнiйнiстю.
format	Article
author	Евтухов, В.М. Шинкаренко, В.Н.
spellingShingle	Евтухов, В.М. Шинкаренко, В.Н. О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью Нелінійні коливання
author_facet	Евтухов, В.М. Шинкаренко, В.Н.
author_sort	Евтухов, В.М.
title	О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью
title_short	О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью
title_full	О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью
title_fullStr	О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью
title_full_unstemmed	О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью
title_sort	о решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2002
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175834
citation_txt	О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью / В.М. Евтухов, В.Н. Шинкаренко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 306-325. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT evtuhovvm orešeniâhsostepennojasimptotikojdifferencialʹnyhuravnenijsékponencialʹnojnelinejnostʹû AT šinkarenkovn orešeniâhsostepennojasimptotikojdifferencialʹnyhuravnenijsékponencialʹnojnelinejnostʹû
first_indexed	2025-07-15T13:16:54Z
last_indexed	2025-07-15T13:16:54Z
_version_	1837719003980627968
fulltext	УДК 517. 925. 518 О РЕШЕНИЯХ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В. М. Евтухов Одес. нац. ун-т Украина, 65026, Одесса, ул. Дворянская, 2 В. Н. Шинкаренко Одес. эконом. ун-т We find necessary and sufficient conditions for binomial differential equations with exponential nonlineari- ty to possess solutions that have power asymptotics. Встановлено необхiднi i достатнi умови iснування розв’язкiв iз степеневою асимптотикою двочленних диференцiальних рiвнянь з експоненцiальною нелiнiйнiстю. 1. Формулировка основных результатов. Рассматривается дифференциальное уравнение( \|y(n−1)\|λ−1y(n−1) )′ = α0 p(t) e σy, (1) где α0 ∈ {−1, 1}, σ, λ ∈ R\{0}, p : [a, ω[−→]0,+∞[ ,−∞ < a < ω ≤ +∞, — непрерывная функция. При n = 2 такого вида уравнение появляется при изучении распределения электро- статического потенциала в цилиндрическом объеме низкотемпературной плазмы. В этом частном случае вопрос об асимптотике его решений исследовался в работах [1 – 5]. В на- стоящей статье некоторые из результатов этих работ распространяются на общий слу- чай n ≥ 2. При этом удается получить результаты при более слабых ограничениях на коэффициент p. Легко видеть, что каждое решение y уравнения (1), определенное в некоторой левой окрестности ω, либо имеет одно из свойств P iω, i ∈ {0, 1, . . . , n− 1}: lim t↑ω y(i)(t) = ci 6= 0, lim t↑ω y(k)(t) = { либо 0; либо ±∞ при k = i+ 1, . . . , n− 11, либо свойство Pω: lim t↑ω y(n−1)(t) 6= 0, lim t↑ω y(k)(t) = { либо 0; либо ±∞ при k = 0, 1, . . . , n− 1. Ниже приводятся полученные для уравнения (1) результаты о существовании и асим- птотике при t ↑ ω решений со свойствами P iω, i = 0, 1, . . . , n − 1. Они формулируются 1 При i = n− 1 второе условие лишнее. c© В. М. Евтухов, В. Н. Шинкаренко, 2002 306 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 О РЕШЕНИЯХ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 307 отдельно для каждого из случаев ω = +∞ и ω < +∞. Относящиеся к случаю ω < +∞ теоремы могут быть использованы и для описания асимптотики сингулярных решений уравнения (1) (по поводу определений сингулярных решений см. монографию И.Т. Кигу- радзе и Т. А. Чантурия [6, с. 262], гл. III, § 11). Теорема 1. Пусть ω = +∞. Если выполняется условие p0n−1 = lim inf t→+∞ ln p(t) tn−1 > −∞, (2) то уравнение (1) не имеет решений со свойством Pn−1+∞ , для которых σ cn−1 (n− 1)! > −p0n−1. (3) Если же p1n−1 = lim sup t→+∞ ln p(t) tn−1 < +∞, (4) то для любой постоянной cn−1 6= 0, удовлетворяющей неравенству σ cn−1 (n− 1)! < −p1n−1, (5) существуют решения со свойством Pn−1+∞ уравнения (1), причем для каждого из них при t → +∞ имеют место асимптотические представления y(k)(t) = n−k∑ j=1 cn−jt n−k−j (n− k − j)! + + α0\|cn−1\|1−λ λ t∫ +∞ tn−k∫ +∞ · · · t2∫ +∞ p(t1) exp σ n∑ j=1 cn−jt n−j 1 (n− j)!  dt1 . . . dtn−k[1 + o(1)], (6) k = 0, 1, . . . , n− 1, где c0, c1, . . . , cn−2 — некоторые постоянные. Теорема 2. Пусть ω = +∞. Если для некоторого i ∈ {1, 2, . . . , n − 2} выполняется условие p0i = lim inf t→+∞ ln p(t) ti > −∞ при λ > 0 , p1i = lim sup t→+∞ ln p(t) ti < +∞ при λ < 0 , (7) то уравнение (1) не имеет решений со свойством P i+∞, для которых σci i! > −p0i при λ > 0 , σci i! < −p1i при λ < 0 . (8) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 308 В. М. ЕВТУХОВ, В. Н. ШИНКАРЕНКО Если же p1i = lim sup t→+∞ ln p(t) ti < +∞ при λ > 0 , p0i = lim inf t→+∞ ln p(t) ti > −∞ при λ < 0 , (9) то для любой постоянной ci 6= 0, удовлетворяющей неравенству σci i! < −p1i при λ > 0 , σci i! > −p0i при λ < 0 , (10) существуют решения со свойством P i+∞ уравнения (1), причем для каждого из них при t → +∞ имеют место асимптотические представления y(k)(t) = i−k∑ j=0 ci−j t i−k−j (i− k − j)! + + µi t∫ +∞ tn−k∫ +∞ · · · t3∫ +∞ ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A p(t1) exp σ i∑ j=0 ci−jt i−j 1 (i− j)!  dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k[1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , i, y(k)(t) = µi t∫ +∞ tn−k∫ +∞ · · · t3∫ +∞ ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A p(t1) exp σ i∑ j=0 ci−jt i−j 1 (i− j)!  dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k[1 + o(1)], k = i+ 1, . . . , n− 2, y(n−1)(t) = µi ∣∣∣∣∣∣ t∫ A p(t1) exp σ i∑ j=0 ci−jt i−j 1 (i− j)!  dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ [1 + o(1)], (11) где c0, c1, . . . , ci−1 — некоторые постоянные, µi = α0 sign t∫ A p(τ) exp σ i∑ j=0 ci−jτ i−j (i− j)!  dτ , A = { +∞ при λ > 0; a при λ < 0. Теорема 3. Для существования решений со свойствомP0 +∞ уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие +∞∫ a +∞∫ tn · · · +∞∫ t3 ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A p(t1)dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn < +∞, (12) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 О РЕШЕНИЯХ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 309 где A =  +∞, если ∞∫ a p(τ)dτ < ∞; a , если ∞∫ a p(τ)dτ = ∞. Более того, для каждого такого решения при t ↑ +∞ имеют место асимптотические представления y(t) = c0 + µ0 t∫ +∞ tn−1∫ +∞ · · · t3∫ +∞ ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A p(t1)dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−1[1 + o(1)], y(k)(t) = µ0 t∫ +∞ tn−k∫ +∞ · · · t3∫ +∞ ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A p(t1)dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k[1 + o(1)], k = 1, . . . , n− 2 , (13) y(n−1)(t) = µ0 ∣∣∣∣∣∣ t∫ A p(t1)dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ [1 + o(1)], где µ0 = α0 e σ λ c0 sign t∫ A p(τ)dτ. Замечание 1. Теорема 3 остается справедливой и в случае, когда в условии P0 +∞ по- стоянная c0 = 0, т. е. для решений со свойством P+∞, которые удовлетворяют условию lim t→+∞ y(t) = 0. Далее, сформулируем теоремы, относящиеся к случаю ω < +∞. Теорема 4. Пусть ω < +∞. Тогда для существования решений со свойством Pn−1ω уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ω∫ a p(τ)dτ < +∞. Более того, для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические представления y(k)(t) = n−1∑ m=k cm(t− ω)m−k (m− k)! + α0 e σc0 \|cn−1\|1−λ λ t∫ ω tn−k∫ ω · · · t2∫ ω p(t1)dt1dt2 . . . dtn−k[1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , n− 1 , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 310 В. М. ЕВТУХОВ, В. Н. ШИНКАРЕНКО где c0, c1, . . . , cn−2 — некоторые постоянные. Теорема 5. Пусть ω < +∞. Тогда для существования решений со свойством P iω, i ∈ ∈ {0, 1, . . . , n−2}, уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ω∫ b tn−i∫ An−i−1 · · · t3∫ A2 ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A1 p(t1)dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−i < +∞, где пределы интегрирования An−k, k = i+ 1, . . . , n− 1, выбраны следующим образом: A1 =  a, если ω∫ a p(τ) dτ = +∞; ω, если ω∫ a p(τ) dτ < +∞, An−k =  b, если ω∫ b tn−k∫ An−k−1 · · · t3∫ A2 ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A1 p(t1)dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k = ±∞; ω, если ω∫ b tn−k∫ An−k−1 · · · t3∫ A2 ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A1 p(t1)dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k = const , k = i+ 1, . . . , n− 2, b — произвольное число из промежутка ]a, ω[. Более того, для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические представления y(k)(t) = i∑ m=k cm(t− ω)m−k (m− k)! + + µi t∫ ω tn−k∫ ω . . . tn−i+1∫ ω tn−i∫ An−i−1 tn−i−1∫ An−i−2 · · · t3∫ A2 ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A1 p(t1)dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k[1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , i , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 О РЕШЕНИЯХ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 311 y(k)(t) = µi t∫ An−k tn−k∫ An−k−1 · · · t3∫ A2 ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A1 p(t1)dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k[1 + o(1)], k = i+ 1, . . . , n− 2 , y(n−1)(t) = µi ∣∣∣∣∣∣ t∫ A1 p(t1)dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ [1 + o(1)], где c0, c1, . . . , ci−1 — некоторые постоянные, µi = α0 e σ c0 λ sign t∫ A1 p(τ)dτ . Замечание 2. Теорема 5 при i = 0 остается справедливой и в случае, когда в условии P0 ω постоянная c0 = 0. В этом случае она касается решений со свойством Pω, которые удовлетворяют условию lim t↑ω y(t) = 0. 2. Доказательства теорем. При доказательстве теорем из первого пункта нам потре- буется одно вспомогательное утверждение о существовании исчезающих при t ↑ ω ре- шений системы дифференциальных уравнений вида dzi dt = ϕ′i−1(t) ϕi−1(t) [zi+1 − zi], i = 1, . . . , n− 1, dzn dt = ϕ′n−1(t) ϕn−1(t) [ f(t) + n∑ i=1 hi(t)zi + g(t)Z(t, z1, z2, . . . , zn) ] , (14) где ϕi−1 : [α, ω[−→ R \ {0} i = 1, . . . , n, — непрерывно дифференцируемые функции, f, g : [α, ω[−→ R, hi : [α, ω[−→ R, i = 1, . . . , n, и Z : [α, ω[×Rn b −→ R — непрерывные функции, Rn b = {(z1, . . . , zn) ∈ Rn : \|zi\| ≤ b, i = 1, . . . , n}, причем Z(t, 0, . . . , 0) = 0 при t ∈ [α, ω[. Лемма 1. Пусть функция Z имеет на множестве [α, ω[×Rn b частные производные по переменным z1, . . . , zn и такова, что ∂Z(t, z1, . . . , zn) ∂zi −→ 0, i = 1, . . . , n, при \|z1\|+ . . .+ \|zn\| → 0 равномерно по t ∈ [α, ω[. Пусть, кроме того, выполняются условия lim t↑ω ϕi−1(t) = { либо 0; либо ±∞, i = 1, . . . , n, lim t↑ω f(t) = 0, lim t↑ω hi(t) = 0, i = 1, . . . , n− 1, lim t↑ω hn(t) = const 6= 0, lim t↑ω g(t) = const. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 312 В. М. ЕВТУХОВ, В. Н. ШИНКАРЕНКО Тогда система дифференциальных уравнений (14) имеет по крайней мере одно решение (zi) n i=1 : [t0, ω[−→ Rn b , t0 ∈ [α, ω[, стремящееся к нулю при t ↑ ω. Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из следствия 2.4 рабо- ты [7]. Доказательство теоремы 1. Допустим, что уравнение (1) имеет решение y : [t0,+∞[−→ −→ R, t0 ∈ [a,+∞[, со свойством Pn−1+∞ . Тогда y(k)(t) ∼ cn−1t n−k−1 (n− k − 1)! , k = 0, 1, . . . , n− 1, при t → +∞, (15) где cn−1 — некоторая отличная от нуля постоянная, и поэтому в силу (1) получаем y(n)(t) = α0 \|cn−1\|1−λ λ p(t)[1 + o(1)] exp { σ cn−1 t n−1 (n− 1)! [1 + o(1)] } при t → +∞ , или y(n)(t) = = α0 \|cn−1\|1−λ λ [1 + o(1)] exp { tn−1 [ ln p(t) tn−1 + σcn−1 (n− 1)! + o(1) ]} при t → +∞ . (16) Отсюда в случае выполнения условий (2) и (3) следует, что y(n−1)(t) −→ ±∞ при t −→ +∞, но это противоречит (15) при k = n − 1. Значит, при условии (2) уравнение (1) не име- ет решений со свойством Pn−1+∞ , для которых постоянная cn−1 удовлетворяет неравен- ству (3). Если же выполняются условия (4) и (5), то из (16) для y получаем асимптотические представления вида y(k)(t) = n−k∑ j=1 cn−jt n−k−j (n− k − j)! + + α0\|cn−1\|1−λ λ t∫ +∞ tn−k∫ +∞ · · · t2∫ +∞ p(t1) exp { σ cn−jt n−1 1 (n− 1)! [1 + o(1)] } dt1 . . . dtn−k[1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , n− 1, где c0, c1, . . . , cn−2 — некоторые постоянные. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 О РЕШЕНИЯХ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 313 Принимая их во внимание, в силу (1) имеем y(n)(t) = α0 \|cn−1\|1−λ λ p(t)[1 + o(1)] exp  n∑ j=1 cn−jt n−j (n− j)!  при t → +∞ . Отсюда с учетом (4) и (5) получаем представления (6). Таким образом, установлено, что если уравнение (1) при выполнении условия (4) име- ет решение со свойством Pn−1+∞ , для которого постоянная cn−1 удовлетворяет неравенству (5), то это решение допускает асимптотические представления (6). Допустим теперь, что выполняется условие (4), и выясним вопрос о фактическом существовании решений уравнения (1), допускающих асимптотические представления вида (6). Выберем произвольным образом постоянную cn−1 6= 0, удовлетворяющую неравен- ству (5), и постоянные c0, c1, . . . , cn−2 ∈ R. После этого уравнение (1) с помощью преоб- разования y(k)(t) = n−k∑ j=1 cn−jt n−k−j (n− k − j)! + α0\|cn−1\|1−λ λ ϕk(t)[1 + zk+1(t)], k = 0, 1, . . . , n− 1, (17) где ϕk(t) = t∫ +∞ tn−k∫ +∞ · · · t2∫ +∞ p(t1) exp σ n∑ j=1 cn−jt n−j 1 (n− j)!  dt1 . . . dtn−k, (18) сведем к системе дифференциальных уравнений z′k = ϕ′k−1(t) ϕk−1(t) [zk+1 − zk], k = 1, . . . , n− 1, z′n = ϕ′n−1(t) ϕn−1(t) [f(t) + h1(t)z1 + hn(t)zn + g(t)Z(t, z1, zn)] , (19) в которой f(t) = g(t)− 1, g(t) = ∣∣∣∣1 + α0 \|cn−1\|1−λϕn−1(t) λ cn−1 ∣∣∣∣1−λ exp [α0 σ\|cn−1\|1−λϕ0(t) λ ] , h1(t) = α0 σ\|cn−1\|1−λ λ g(t)ϕ0(t), hn(t) = α0(1− λ)\|cn−1\|1−λg(t)ϕn−1(t) λ cn−1 + α0 \|cn−1\|1−λϕn−1(t) − 1, Z(t, z1, zn) = ∣∣∣∣1 + α0\|cn−1\|1−λϕn−1(t)zn λ cn−1 + α0 \|cn−1\|1−λϕn−1(t) ∣∣∣∣1−λ exp [α0 σ\|cn−1\|1−λ λ ϕ0(t)z1 ] − − 1− α0 σ\|cn−1\|1−λϕ0(t) λ z1 − α0(1− λ)\|cn−1\|1−λϕn−1(t) λ cn−1 + α0 \|cn−1\|1−λϕn−1(t) zn. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 314 В. М. ЕВТУХОВ, В. Н. ШИНКАРЕНКО В силу условий (4) и (5) функции ϕk, k = 0, 1, . . . , n − 1, из (18) отличны от нуля на про- межутке [a,+∞[ и удовлетворяют условиям lim t→+∞ ϕk(t) = 0, k = 0, 1, . . . , n. (20) Поэтому в (19) lim t→+∞ f(t) = 0, lim t→+∞ g(t) = 1, lim t→+∞ h1(t) = 0, lim t→+∞ hn(t) = −1. С учетом (20) подберем число t0 > a настолько большим, чтобы α0\|cn−1\|1−λϕn−1(t) λ cn−1 + α0 \|cn−1\|1−λϕn−1(t) < 1 при t ≥ t0. Тогда будем иметь ∂Z(t, z1, zn) ∂zi −→ 0, i = 1, n, при \|z1\|+ \|zn\| −→ 0 равномерно по t ∈ [t0,+∞[. Значит, для системы (19) на множестве [t0,+∞[×Rn 1 выполнены все условия лем- мы 1. Согласно этой лемме система дифференциальных уравнений (19) имеет хотя бы одно решение (zk) n k=1 : [t1,+∞[−→ Rn 1 , t1 ≥ t0, стремящееся к нулю при t → +∞. Это- му решению в силу замен (17) соответствует решение y : [t1,+∞[−→ R уравнения (1), допускающее при t → +∞ асимптотические представления (6). Теорема доказана. Доказательство теоремы 2. Предположим, что уравнение (1) имеет решение y : [t0,+∞[−→ R, t0 ∈ [a,+∞[, со свойством P i+∞, где i ∈ {1, . . . , n − 2}. Тогда для этого решения y(k)(t) ∼ ci t i−k (i− k)! , k = 0, 1, . . . , i, при t → +∞, (21) lim t→+∞ y(k)(t) = 0, k = i+ 1, . . . , n− 1, где ci — некоторая отличная от нуля вещественная постоянная. Поэтому из (1) следует ∣∣∣y(n−1)(t)∣∣∣λ−1 y(n−1)(t) = α0 t∫ A0 p(τ) exp ( σ ci τ i i! [1 + o(1)] ) dτ при t → +∞, где A0 =  t0, если +∞∫ t0 p(τ) exp ( σ ci τ i i! [1 + o(1)] ) dτ = +∞; +∞, если +∞∫ t0 p(τ) exp ( σ ci τ i i! [1 + o(1)] ) dτ < +∞. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 О РЕШЕНИЯХ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 315 Отсюда находим y(n−1)(t) = µ ∣∣∣∣∣∣ t∫ A0 p(τ) exp ( σ ci τ i i! [1 + o(1)] ) dτ ∣∣∣∣∣∣ 1 λ , (22) где µ = sign α t∫ A0 p(τ) exp ( σ ci τ i i! [1 + o(1)] ) dτ  . Поскольку при τ → +∞ p(τ) exp ( σ ci τ i i! [1 + o(1)] ) = exp ( τ i [ ln p(τ) τ i + σ ci i! + o(1) ]) , (23) в случае выполнения условий (7), (8) представление (22) противоречит (21) при k = = n − 1. Следовательно, при выполнении условия (7) уравнение (1) не имеет решений со свойством P i+∞, для которых постоянная ci удовлетворяет неравенству (8). Если же выполняется условие (9) и постоянная ci удовлетворяет неравенству (10), то ввиду (23) A0 = { t0 при λ < 0; +∞ при λ > 0 и для любых k ∈ {0, 1, . . . , n− 2} и ty > t0 +∞∫ ty +∞∫ tn−k . . . +∞∫ t3 ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A0 p(t1) exp ( σ ci t i 1 i! [1 + o(1)] ) dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k < +∞. Поэтому из (22) с учетом того, что y является решением со свойством P i+∞ уравнения (1), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 316 В. М. ЕВТУХОВ, В. Н. ШИНКАРЕНКО при t → +∞ получаем асимптотические представления y(k)(t) = i−k∑ j=0 ci−j t i−k−j (i− k − j)! + + µ t∫ +∞ tn−k∫ +∞ · · · t3∫ +∞ ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A0 p(t1) exp ( σci t i 1 i! [1 + o(1)] ) dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k, k = 0, 1, . . . , i, y(k)(t) = = µ t∫ +∞ tn−k∫ +∞ · · · t3∫ +∞ ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A0 p(t1) exp ( σci t i 1 i! [1 + o(1)] ) dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k, k = i+ 1, . . . , n− 2, y(n−1)(t) = µ ∣∣∣∣∣∣ t∫ A0 p(t1) exp ( σci t i 1 i! [1 + o(1)] ) dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ , где c0, c1, . . . , ci−1 — некоторые вещественные постоянные. Подставляя теперь найден- ное для y(t) представление в правую часть уравнения (1) и повторяя приведенные выше рассуждения, получаем уточнения этих асимптотических представлений в виде (11). Тем самым показано, что если уравнение (1) при выполнении условия (9) имеет ре- шения со свойством P i+∞, для которых постоянная ci удовлетворяет неравенству (10), то каждое из них допускает при t → +∞ асимптотические представления (11). Значит, оста- ется лишь выяснить вопрос о фактическом существовании решений с представлениями (11) уравнения (1). Допустим, что выполняется условие (9). Выбрав произвольным образом постоянную ci 6= 0, удовлетворяющую неравенству (10), а также постоянные c0, c1, . . . , ci−1 ∈ R, урав- нение (1) с помощью преобразования y(k)(t) = i−k∑ j=0 ci−j t i−k−j (i− k − j)! + µiϕk(t)[1 + zk+1(t)], k = 0, 1, . . . , i, y(k)(t) = µiϕk(t)[1 + zk+1(t)], k = i+ 1, . . . , n− 1, (24) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 О РЕШЕНИЯХ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 317 где ϕk(t) = t∫ +∞ tn−k∫ +∞ · · · t3∫ +∞ ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A p(t1) exp σ i∑ j=0 ci−jt i−j 1 (i− j)!  dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k, k = 0, 1, . . . , n− 2, ϕn−1(t) = ∣∣∣∣∣∣ t∫ A p(t1) exp σ i∑ j=0 ci−jt i−j 1 (i− j)!  dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ , сведем к системе дифференциальных уравнений z′k = ϕ′k−1(t) ϕk−1(t) [zk+1 − zk], k = 1, . . . , n− 1, z′n = ϕ′n−1(t) ϕn−1(t) [f(t) + h1(t)z1 + hn(t)zn + g(t)Z(t, z1, zn)] , (25) в которой f(t) = g(t)− 1, g(t) = eσµiϕ0(t), h1(t) = σµig(t)ϕ0(t), hn(t) = −1 + (1− λ)g(t), Z(t, z1, zn) = \|1 + zn\|1−λeσµiϕ0(t)z1 − 1− (1− λ)zn − σµiϕ0(t)z1. Здесь в силу условий (9), (10) и указанного выбора предела интегрирования A ϕ0(t) → 0 при t → +∞, и поэтому lim t→+∞ hn(t) = −λ 6= 0, lim t→+∞ f(t) = 0, lim t→+∞ h1(t) = 0, lim t→+∞ g(t) = 1. Кроме того, ∂Z(t, z1, zn) ∂zi −→ 0 при \|z1\|+ \|zn\| −→ 0 равномерно по t ∈ [t0,+∞[, где t0 ∈ [a,+∞[. Следовательно, для системы уравнений (25) выполнены условия лем- мы 1. На основании этой леммы система дифференциальных уравнений (25) имеет хотя бы одно решение (zi) n i=1 : [t0,+∞[−→ Rn, t0 ∈ [a,+∞[, стpемящееся к нулю пpи t → → +∞. В силу замен (24) ему соответствует pешение y уравнения (1), допускающее пpи t → +∞ асимптотические представления (11). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 318 В. М. ЕВТУХОВ, В. Н. ШИНКАРЕНКО Доказательство теоремы 3. Пусть y : [t0,+∞[−→ R, t0 ∈ [a,+∞[, — решение урав- нения (1) со свойством P0 +∞. Тогда в силу (1) ∣∣∣y(n−1)(t)∣∣∣λ−1 y(n−1)(t) = α0 e σ c0 t∫ A p(τ)dτ [1 + o(1)] при t → +∞ , где c0 — некоторая вещественная постоянная,A указано в формулировке теоремы. Отсю- да следует sign y(n−1)(t) = α0 sign t∫ A p(τ)dτ и поэтому y(n−1)(t) = µ0 ∣∣∣∣∣∣ t∫ A p(τ) dτ ∣∣∣∣∣∣ 1 λ [1 + o(1)] при t → +∞, где µ0 = α0 e σc0sign t∫ A p(τ) dτ . Данное представление, очевидно, не противоречит опре- делению решения со свойством P0 +∞ лишь в случае, когда выполняется условие (12). При этом из него вытекают асимптотические представления (13). Таким образом, остается лишь выяснить вопрос о фактическом существовании при выполнении условия (12) решений со свойством P0 +∞ уравнения (1), для которых имеют место асимптотические представления (13). Выберем произвольным образом вещественную постоянную c0 и, предположив выпол- ненным условие (12), сведем уравнение (1) с помощью замен y(t) = c0 + µ0ϕ0(t)[1 + z1(t)], (26) y(k)(t) = µ0ϕk(t)[1 + zk+1(t)], k = 1, . . . , n− 1, где ϕk(t) = t∫ +∞ tn−k∫ +∞ · · · t3∫ +∞ ∣∣∣∣∣∣ t2∫ A p(t1) dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ dt2 . . . dtn−k, k = 0, . . . , n− 2, ϕn−1(t) = ∣∣∣∣∣∣ t∫ A p(t1) dt1 ∣∣∣∣∣∣ 1 λ , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 О РЕШЕНИЯХ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 319 к системе дифференциальных уравнений z′k = ϕ′k−1(t) ϕk−1(t) [zk+1 − zk], k = 1, . . . , n− 1, z′n = ϕ′n−1(t) ϕn−1(t) [f(t) + h1(t)z1 + hn(t)zn + g(t)Z(t, z1, zn)] , в которой f(t) = g(t)− 1, g(t) = eµ0ϕ0(t), h1(t) = µ0g(t)ϕ0(t), hn(t) = −1 + (1− λ)g(t), Z(t, z1, zn) = \|1 + zn\|1−λeµ0ϕ0(t)z1 − 1− (1− λ)zn − µ0ϕ0(t)z1. Эта система дифференциальных уравнений является точно такой же, как и рассмотрен- ная при доказательстве теоремы 2 система (25). Поэтому на основании леммы 1 она име- ет хотя бы одно решение (zi) n i=1 : [t0,+∞[−→ Rn, t0 ∈ [a,+∞[, стpемящееся к нулю пpи t → +∞, которому в силу замен (26) соответствует pешение y уравнения (1), допускаю- щее пpи t → +∞ асимптотические представления (13). Доказательства теорем 4, 5 проводятся аналогично предыдущим с тем лишь отли- чием, что здесь ввиду условия lim t↑ω (t − ω) = 0 не возникает необходимости повторного уточнения получаемых на первом этапе доказательства асимптотических представлений для решений со свойствами P iω, i ∈ {0, 1, . . . , n− 1}. 3. Случай степенного коэффициента p(t). В качестве примера, иллюстрирующего полученные выше результаты, рассмотрим при t ∈]0,+∞[ дифференциальное уравнение( \|y(n−1)\|λ−1y(n−1) )′ = a tγeσy, (27) где a, λ, σ ∈ R \ {0}, γ ∈ R. Поскольку в данном случае для любого i ∈ {1, . . . , n− 1} lim t→+∞ ln p(t) ti = lim t→+∞ ln \|a\|+ γ ln t ti = 0, из теорем 1 – 3 непосредственно вытекают следующие утверждения. Следствие 1. Для любой постоянной cn−1, удовлетворяющей неравенству σcn−1 < 0, и любых ck ∈ R, k = 1, . . . , n − 2, уравнение (27) имеет решение со свой- ством Pn−1+∞ , допускающее при t → +∞ асимптотические представления y(k)(t) = n−k∑ j=1 cn−j t n−k−j (n− k − j)! + µn−1kt γ−(n−k)(n−2) exp σ n∑ j=1 cn−j t n−j (n− j)!  [1 + o(1)], (28) k = 0, 1, . . . , n− 1, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 320 В. М. ЕВТУХОВ, В. Н. ШИНКАРЕНКО где µn−1k = a (−1)n−k\|cn−1\|1+k−n−λ λ ∣∣∣∣(n− 2)! σ ∣∣∣∣n−k . Более того, решений со свойством Pn−1+∞ , отличных от допускающих представления (28), уравнение (27) не имеет. Следствие 2. Для каждого i ∈ {1, . . . , n − 2} и любых постоянных ck ∈ R, k = = 1, . . . , i, где σλci < 0, уравнение (27) имеет решение со свойством P i+∞, допускающее при t → +∞ асимптотические представления y(k)(t) = i−k∑ j=0 ci−j t i−k−j (i− k − j)! + µikt γ−(i−1)[1+λ(n−k−1)] λ exp σ λ i∑ j=0 ci−j t i−j (i− j)!  [1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , i, y(k)(t) = µikt γ−(i−1)[1+λ(n−k−1)] λ exp σ λ i∑ j=0 ci−j t i−j (i− j)!  [1 + o(1)], k = i+ 1, . . . , n− 1, где µik = (−1)n−k[sign(aλ)]\|a\| 1 λ \|λ\|n−k−1 ∣∣∣∣(i− 1)! ciσ ∣∣∣∣ 1λ+n−k−1 . Более того, решений со свойством P i+∞, отличных от решений такого вида, уравнение (27) не имеет. Следствие 3. Для существования решений уравнения(27), удовлетворяющих усло- вию lim t→+∞ y(t) = c0 = const, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравен- ство λ[γ + 1 + λ(n− 1)] < 0. Более того, каждое такое решение допускает при t → +∞ асимптотические пред- ставления y(t) = c0 + µ00t γ+1+λ(n−1) λ [1 + o(1)], y(k)(t) = µ0kt γ+1+λ(n−k−1) λ [1 + o(1)], k = 1, . . . , n− 1, где µ0k = (−1)n−ke σc0 λ \|λ\|n−k−1 sign(aλ) n−k−1∏ j=1 \|γ + 1 + λj\| ∣∣∣∣ a γ + 1 ∣∣∣∣ 1λ . Далее заметим, что уравнение (27) наряду с решениями, заданными на полуоси [t0,+ + ∞[⊂]0,∞[, может также допускать сингулярные решения второго рода. Определе- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 О РЕШЕНИЯХ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 321 ние такого класса решений дано в монографии И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [6, с. 262] (гл. 3, § 11). В случае уравнения (27) решение y, заданное на некотором конечном про- межутке [t0, ω[⊂]0,+∞[ (]ω, t0] ⊂ [0,+∞[), называется сингулярным решением второго рода при t ↑ ω (соответственно при t ↓ ω), если lim sup t↑ω \|y(n−1)(t)\| = +∞ (lim sup t↓ω \|y(n−1)(t)\| = +∞). Теорема 5 позволяет для любого ω ∈]0,+∞[ решить вопрос о существовании сингу- лярных решений второго рода при t ↑ ω уравнения (27), которые имеют свойство P iω, где i ∈ {0, 1, . . . , n− 2}. Следствие 4. Для существования сингулярных решений второго рода при t ↑ ω, ω ∈]0,+∞[, уравнения (27), имеющих свойство P iω, i ∈ {0, 1, . . . , n − 2}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство λ(n− i− 1) < −1. (29) Если при этом либо i = n − 2, либо 0 ≤ i < n − 2 и − 1 λ /∈ {1, . . . , n − i − 2}, то каждое такое решение допускает при t ↑ ω асимптотические представления y(k)(t) = i∑ m=k cm(t− ω)m−k (m− k)! + µik(ω − t) 1 λ +n−k−1[1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , i , y(k)(t) = µik(ω − t) 1 λ +n−k−1[1 + o(1)], k = i+ 1, . . . , n− 1 , где c0, c1, . . . , ci−1 — некоторые постоянные, µik = (−1)n−k(sign a) [\|a\|ωγeσc0 ] 1 λ n−k−1∏ j=1 [ 1 λ + j ]−1 . Если же 0 ≤ i < n− 2 и 1 λ = −s при некотором s ∈ {1, . . . , n− i− 2}, то каждое такое решение допускает при t ↑ ω асимптотические представления y(k)(t) = i∑ m=k cm(t− ω)m−k (m− k)! + µis (t− ω)n−s−k−1 ln(ω − t) (n− k − s− 1)! [1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , i , y(k)(t) = µis (t− ω)n−k−s−1 ln(ω − t) (n− k − s− 1)! [1 + o(1)], k = i+ 1, . . . , n− s− 1 , y(k)(t) = −µis(s− n+ k)! (ω − t)n−s−1−k [1 + o(1)], k = n− s, . . . , n− 1, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 322 В. М. ЕВТУХОВ, В. Н. ШИНКАРЕНКО где c0, c1, . . . , ci−1 — некоторые постоянные, µis = (sign a)\|a\| 1 λ [ωγeσc0 ] 1 λ (s− 1)! . Теперь заметим, что вопрос о существовании сингулярных решений второго рода при t ↓ ω уравнения (27) может быть сведен с использованием преобразования y(t) = z(τ), t− ω = ω − τ, (30) к вопросу о существовании сингулярных решений второго рода при τ ↑ ω дифференциаль- ного уравнения ( \|z(n−1)\|λ−1z(n−1) )′ = (−1)na [2ω − τ ]γ eσz. (31) При этом решения уравнения (27), которые соответствуют решениям со свойством P iω, i ∈ {0, 1, . . . , n− 1}, уравнения (31), будем называть решениями со свойством P iω+. В случае ω > 0 коэффициент уравнение (31) при τ ↑ ω стремится к отличной от нуля постоянной (−1)naωγ , т. е. имеет место случай, описанный следствием 4. Поэтому если в формулировке этого следствия заменить a на (−1)na, t на τ и y(k)(t) на z(k)(τ), а затем учесть преобразование (30), то получим следующее утверждение. Следствие 5. Для существования сингулярных решений второго рода при t ↓ ω, ω ∈]0,+∞[, уравнения (27), имеющих свойство P iω+, i ∈ {0, 1, . . . , n − 2}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство (29). Если при этом либо i = n − 2, либо 0 ≤ i < n − 2 и − 1 λ /∈ {1, . . . , n − i − 2}, то каждое такое решение допускает при t ↓ ω асимптотические представления y(k)(t) = i∑ m=k (−1)mcm(t− ω)m−k (m− k)! + µik(t− ω) 1 λ +n−k−1[1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , i , y(k)(t) = µik(t− ω) 1 λ +n−k−1[1 + o(1)], k = i+ 1, . . . , n− 1 , где c0, c1, . . . , ci−1 — некоторые постоянные, µik = (sign a) [\|a\|ωγeσc0 ] 1 λ n−k−1∏ j=1 [ 1 λ + j ]−1 . Если же 0 ≤ i < n− 2 и 1 λ = −s при некотором s ∈ {1, . . . , n− i− 2}, то каждое такое решение допускает при t ↓ ω асимптотические представления y(k)(t) = i∑ m=k (−1)mcm(t− ω)m−k (m− k)! + µis (t− ω)n−s−k−1 ln(t− ω) (n− k − s− 1)! [1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , i , y(k)(t) = µis (t− ω)n−k−s−1 ln(t− ω) (n− k − s− 1)! [1 + o(1)], k = i+ 1, . . . , n− s− 1 , y(k)(t) = −µis(s− n+ k)! (ω − t)n−s−1−k [1 + o(1)], k = n− s, . . . , n− 1, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 О РЕШЕНИЯХ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 323 где c0, c1, . . . , ci−1 — некоторые постоянные, µis = (−1)s−1(sign a)\|a\| 1 λ [ωγeσc0 ] 1 λ (s− 1)! . С использованием преобразования (30) и теорем 4, 5 легко решается вопрос о суще- ствовании решений со свойствами P i+0, i = 0, 1, . . . , n− 1 уравнения (27). Следствие 6. Для существования решений со свойством Pn−1+0 уравнения (27) необхо- димо и достаточно, чтобы γ > −1. При этом каждое такое решение допускает при t ↓ 0 асимптотические представления y(k)(t) = n−1∑ m=k (−1)mcmtm−k (m− k)! + a eσc0 \|cn−1\|1−λ tγ+n−k λ n−k∏ j=1 (j + γ) [1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , n− 1 , где c0, c1, . . . , cn−2 — некоторые постоянные. Следствие 7. Для существования решений со свойством P i+0, i ∈ {0, 1, . . . , n − 2}, уравнения (27) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство γ + 1 λ > i+ 1− n. При этом если −γ + 1 λ /∈ {0, 1, . . . , n − i − 2}, то каждое такое решение допускает при t ↓ 0 асимптотические представления y(k)(t) = i∑ m=k (−1)mcmtm−k (m− k)! + sign ( a γ + 1 ) ∣∣∣∣ a γ + 1 ∣∣∣∣ 1λ eσc0λ t γ+1 λ +n−k−1 n−k−1∏ j=1 ( γ + 1 λ + j ) [1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , i , y(k)(t) = sign ( a γ + 1 ) ∣∣∣∣ a γ + 1 ∣∣∣∣ 1λ eσc0λ t γ+1 λ +n−k−1 n−k−1∏ j=1 ( γ + 1 λ + j ) [1 + o(1)], k = i+ 1, . . . , n− 1 , где c0, c1, . . . , ci−1 — некоторые постоянные. Если же γ = −1, то для любого такого решения при t ↓ 0 имеют место асимптотические представления y(k)(t) = i∑ m=k (−1)mcmtm−k (m− k)! − (sign a)\|a\| 1 λ e σc0 λ tn−k−1\| ln t\| 1 λ (n− k − 1)! [1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , i , y(k)(t) = −(sign a)\|a\| 1 λ e σc0 λ tn−k−1\| ln t\| 1 λ (n− k − 1)! [1 + o(1)], k = i+ 1, . . . , n− 1 , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 324 В. М. ЕВТУХОВ, В. Н. ШИНКАРЕНКО а если γ + 1 λ = −s, где s ∈ {1, . . . , n − i − 2}, то асимптотические представления вида y(k)(t) = i∑ m=k (−1)mcmtm−k (m− k)! + (−1)s(sign a) ∣∣∣∣ a γ + 1 ∣∣∣∣ 1λ eσc0λ tn−s−k−1 ln t (s− 1)!(n− s− k − 1)! [1 + o(1)], k = 0, 1, . . . , i , y(k)(t) = (−1)s(sign a) ∣∣∣∣ a γ + 1 ∣∣∣∣ 1λ eσc0λ tn−s−k−1 ln t (s− 1)!(n− s− k − 1)! [1 + o(1)], k = i+ 1, . . . , n− s− 1 , y(k)(t) = (−1)n−k(sign a) ∣∣∣∣ a γ + 1 ∣∣∣∣ 1λ eσc0λ tn−s−k−1 n−k−1∏ j=1 (s− j) [1 + o(1)], k = n− s, . . . , n− 1 , где c0, c1, . . . , ci−1 — некоторые постоянные. Более того, все такие решения являются сингулярными решениями второго рода при t ↓ 0 тогда и только тогда, когда выпол- няется одно из следующих двух условий: γ = −1, λ > 0; γ + 1 λ < 0. 1. Евтухов В.М., Дрик Н.Г. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных диф- ференциальных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. — 1989. — 133, N◦ 1. — С. 29 – 32. 2. Дpик H.Г. Асимптотика pешений одного нелинейного диффеpенциального ypавнения втоpого поpяд- ка в особом слyчае // Дифференц. ypавнения. — 1989. — 25, N◦ 1. — С. 1071 – 1072. 3. Евтухов В.М., Дрик Н.Г. Асимптотические представления решений одного нелинейного дифферен- циального уравнения второго порядка // Repts Enlarged Session Sem. I.N. Vekua Inst. Appl. Math. — 1992. — 7, N◦ 3. — P. 39 – 42. 4. Дpик H.Г. Асимптотическое поведение pешений одного класса нелинейных диффеpенциальных ypав- нений втоpого поpядка: Дис ... . канд. физ.-мат. наyк. — Одесса, 1992. 5. Evtukhov V.M., Drik N.G. Asymptotic behavior of solutions of a second order nonlinear differential equation // Georg. Math. J. — 1996. — 3, N◦ 2. — P. 101 – 120. 6. Кигypадзе И.Т., Чантypия Т.А. Асимптотические свойства pешений неавтономных обыкновенных диффеpенциальных ypавнений. — М.: Hаyка, 1990. — 430 с. 7. Евтухов В.М. Асимптотическое представление решений неавтономных обыкновенных дифференци- альных уравнений: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1998. Получено 14.05.2002 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3

О решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экпоненциальной нелинейностью

Репозитарії

Схожі ресурси