Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач
Топологiчний пiдхiд застосовується до дослiдження квазiлiнiйних параболiчних крайових задач. Дослiджуваний клас задач зведено до операторного рiвняння з оператором, який задовольняє умову (S)+. Одержано теореми розв’язностi та наведено приклад застосування даного пiдходу у випадку параболiчного р...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175840 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач / І.Б. Романенко, А.В. Заблодська // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 369-379. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175840 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1758402021-02-03T01:30:18Z Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач Романенко, І.Б. Заблодська, А.В. Топологiчний пiдхiд застосовується до дослiдження квазiлiнiйних параболiчних крайових задач. Дослiджуваний клас задач зведено до операторного рiвняння з оператором, який задовольняє умову (S)+. Одержано теореми розв’язностi та наведено приклад застосування даного пiдходу у випадку параболiчного рiвняння другого порядку. A topological approach is used to study quasilinear parabolic boundary-value problems. The class of problems under the investigation is reduced to an operator equation with an operator that satisfies condition (S)+. We obtain theorems on existence of a solution and, as an example, apply this approach to a second order parabolic equation. 2002 Article Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач / І.Б. Романенко, А.В. Заблодська // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 369-379. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175840 519.944 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Топологiчний пiдхiд застосовується до дослiдження квазiлiнiйних параболiчних крайових задач.
Дослiджуваний клас задач зведено до операторного рiвняння з оператором, який задовольняє
умову (S)+. Одержано теореми розв’язностi та наведено приклад застосування даного пiдходу
у випадку параболiчного рiвняння другого порядку. |
| format |
Article |
| author |
Романенко, І.Б. Заблодська, А.В. |
| spellingShingle |
Романенко, І.Б. Заблодська, А.В. Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач Нелінійні коливання |
| author_facet |
Романенко, І.Б. Заблодська, А.В. |
| author_sort |
Романенко, І.Б. |
| title |
Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач |
| title_short |
Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач |
| title_full |
Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач |
| title_fullStr |
Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач |
| title_full_unstemmed |
Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач |
| title_sort |
застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175840 |
| citation_txt |
Застосування топологічних методів до квазілінійних параболічних крайових задач / І.Б. Романенко, А.В. Заблодська // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 3. — С. 369-379. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT romanenkoíb zastosuvannâtopologíčnihmetodívdokvazílíníjnihparabolíčnihkrajovihzadač AT zablodsʹkaav zastosuvannâtopologíčnihmetodívdokvazílíníjnihparabolíčnihkrajovihzadač |
| first_indexed |
2025-07-15T13:17:16Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:17:16Z |
| _version_ |
1837719026908790784 |
| fulltext |
УДК 519. 944
ЗАСТОСУВАННЯ ТОПОЛОГIЧНИХ МЕТОДIВ
ДО КВАЗIЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
I. Б. Романенко, А. В. Заблодська
Київ. нац. ун-т. iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. акад. Глушкова, 2, корп. 6
A topological approach is used to study quasilinear parabolic boundary-value problems. The class of
problems under the investigation is reduced to an operator equation with an operator that satisfies condi-
tion (S)+. We obtain theorems on existence of a solution and, as an example, apply this approach to a
second order parabolic equation.
Топологiчний пiдхiд застосовується до дослiдження квазiлiнiйних параболiчних крайових задач.
Дослiджуваний клас задач зведено до операторного рiвняння з оператором, який задовольняє
умову (S)+. Одержано теореми розв’язностi та наведено приклад застосування даного пiдходу
у випадку параболiчного рiвняння другого порядку.
Вступ. У данiй роботi розглядаються квазiлiнiйнi параболiчнi задачi вигляду
L̃[u] =
∂u
∂t
−
∑
|α|=2m
aα(x, t, u,D1u, . . . ,D2m−1u)Dαu−
− F (x, t, u,D1u, . . . ,D2m−1u) = f(x, t), (x, t) ∈ QT , (1)
B̃j [u] = Gj(x, t, u, . . . ,D
mju) = gj(x, t), (x, t) ∈ ST , j = 1,m, (2)
u(x, 0) = h(x), x ∈ Ω, (3)
у скiнченному цилiндрi QT з межею ST та основою Ω. Задача вивчається за допомогою
теорiї ступеня вiдображення. З цiєю метою вона спочатку зводиться до операторного рiв-
няння з неперервним обмеженим оператором, який задовольняє умову (S)+. Використа-
ння для таких операторiв теорiї ступеня вiдображення дозволило отримати результати
про розв’язнiсть дослiджуваної задачi та твердження про збiжнiсть послiдовностi гальор-
кiнських наближень розв’язку.
Лiнiйнi та квазiлiнiйнi задачi для рiвняння другого порядку вивчались у роботi [1]. Лi-
нiйнi задачi для систем параболiчних задач високого порядку було вивчено у роботi [2],
де отримано апрiорнi оцiнки їх розв’язку. Вивченню властивостей параболiчних задач
присвячено також монографiї [3 – 6]. У роботi [7] дослiджуються квазiлiнiйнi параболi-
чнi задачi для рiвнянь високого порядку з граничною умовою першого роду. Методом
дослiдження у роботi [7] слугував принцип нерухомої точки. У данiй роботi суттєво ви-
користовуються результати робiт [8, 9]. Зокрема, в нiй застосовано методику зведення
параболiчних задач до операторних рiвнянь, запропоновану у роботi [9], а також твер-
дження з теорiї ступеня, сформульованi i доведенi у роботi [8].
c© I. Б. Романенко, А. В. Заблодська, 2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3 369
370 I. Б. РОМАНЕНКО, А. В. ЗАБЛОДСЬКА
Постановка задачi та формулювання основних припущень. Нехай n, m — натуральнi,
a p, T — додатнi числа. Для обмеженої областi Ω ⊂ Rn iз гладкою межею ∂Ω позначимо
QT := Ω× (0, T ), ST := ∂Ω× (0, T ) i розглянемо загальну нелiнiйну параболiчну крайову
задачу (1) – (3).
Розв’язок задачi (1) – (3) буде розглядатись у просторi W (2m,1)
p (QT ) (див. [10]). Будемо
вважати, що для чисел p, n, m виконано нерiвностi
p > n+ 2m, mj ≤ 2m− 1, j = 1,m, (4)
а межа ∂Ω областi Ω задовольняє умову
∂Ω ∈ C2m. (5)
Введемо позначення
aαβ(x, t, ξ) :=
∂
∂ξβ
aα(x, t, ξ), Fβ(x, t, ξ) :=
∂
∂ξβ
F (x, t, ξ),
|α| = 2m, |β| ≤ 2m− 1, ξ = {ξβ ∈ R : |β| ≤ 2m− 1},
Gjβ(x, t, ζ) :=
∂
∂ζβ
Gj(x, t, ζ), |β| ≤ mj ,
ζ = {ζβ ∈ R : |β| ≤ mj}, j = 1,m,
та умови:
F1) функцiї aα(x, t, ξ), F (x, t, ξ) мають усi неперервнi частиннi похiднi вигляду Dα
xD
β
ξ
до другого порядку включно, F (x, t, 0) ≡ 0;
F2) iснує неперервна функцiя ν : R+ → R+ така, що для довiльних ξ ∈ RM(2m−1), η ∈
∈ Rn виконується нерiвнiсть
(−1)m+1
∑
|α|=2m
aα(x, t, ξ)ηα ≥ ν(|ξ|)|η|2m;
G1) при кожному фiксованому j функцiяGj(x, t, ζ) має усi неперервнi частиннi похiднi
вигляду Dα
xD
β
η до порядку 2m−mj + 1 включно, Gj(x, t, 0) ≡ 0.
Для (x, t) ∈ ST , ξ ∈ RM(2m−1), ζ = {ξβ : |β| ≤ mj} (для j ∈ 1, . . . ,m), η — одиничного
вектора зовнiшньої нормалi до ∂Ω у точцi x, δ – довiльного вектора з дотичної до ∂Ω у
точцi x площини, комплексного τ та дiйсного q означимо
L(x, t, ξ, δ + τη, q) := q − (−1)m
∑
|α|=2m
aα(x, t, ξ)(δ + τη)α,
Bj(x, t, ζ, δ + τη) :=
∑
|β|=mj
Gjβ(x, t, ζ)(δ + τη)β, j = 1,m.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3
ЗАСТОСУВАННЯ ТОПОЛОГIЧНИХ МЕТОДIВ ДО КВАЗIЛIНIЙНИХ . . . 371
Якщо q ≥ −ν̃|δ|2m, 0 < ν̃ < ν(|ξ|) та |q| + |δ| > 0, то L(x, t, ξ, δ + τη, q) як полiном вiд τ
має m коренiв τ+
s з додатною дiйсною частиною, а решту — з вiд’ємною [2]. Позначимо
L+(x, t, ξ, δ, τ, q) :=
m∏
s=1
(τ − τ+
s )
та вимагатимемо виконання такої умови (умови Лопатинського):
G2) для довiльної точки (x, t) ∈ ST , довiльного ξ ∈ RM(2m−1) та δ — довiльного
вектора з дотичної до ∂Ω у точцi x площини при виконаннi умов q ≥ −ν̃|δ|2m, 0 < ν̃ <
< ν(|ξ|) та |q| + |δ| > 0 полiноми Bj вiд τ лiнiйно не залежнi за модулем полiнома L+
вiд τ .
Hехай для функцiй у правих частинах задачi (1) – (3) мають мiсце включення
f ∈ Lp(QT ), gj ∈ W
(
2m−mj− 1
p
,1−
mj
2m
− 1
2mp
)
p (ST ), j = 1,m,
(6)
h ∈ W
(
2m,− 2m
p
)
p (Ω)
та умови узгодженостi
C) Gj(x, 0, h, . . . , Dmjh) = gj(x, 0), x ∈ Ω, j = 1,m.
Зведення дослiджуваної задачi до задачi з однорiдними початковими умовами. Стан-
дартним чином (див. [9]) можна побудувати функцiю v ∈ W
(2m,1)
p (QT ), що задовольняє
умову
v(x, 0) = h(x), x ∈ Ω. (7)
За допомогою замiни u1 = u− v вiд задачi (1) – (3) можна перейти до задачi
∂u1
∂t
−
∑
|α|=2m
a(1)
α (x, t, u1, D
1u1, . . . , D
2m−1u1)Dαu1−
− F (1)(x, t, u1, D
1u1, . . . , D
2m−1u1) = f (1)(x, t), (x, t) ∈ QT , (8)
G
(1)
j (x, t, u1, . . . , D
mju1) = g
(1)
j (x, t), (x, t) ∈ ST , j = 1,m, (9)
u1(x, 0) = 0, x ∈ Ω, (10)
де
a(1)
α (x, t, u1, D
1u1, . . . , D
2m−1u1) =
= aα(x, t, u1 + v,D1(u1 + v), . . . , D2m−1(u1 + v)),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3
372 I. Б. РОМАНЕНКО, А. В. ЗАБЛОДСЬКА
F (1)(x, t, u1, D
1u1, . . . , D
2m−1u1) =
=
∑
|α|=2m
(
aα(x, t, u1 + v,D1(u1 + v), . . . , D2m−1(u1 + v))−
− aα(x, t, v,D1v, . . . , D2m−1v)
)
Dαv+
+ F (x, t, u1 + v,D1(u1 + v), . . . , D2m−1(u1 + v))−
− F (x, t, v,D1v, . . . , D2m−1v),
f (1)(x, t) = f(x, t)− L̃[v],
G
(1)
j (x, t, u1, . . . , D
mju1) = Gj(x, t, u1 + v, . . . ,Dmju1 + v)− B̃j [v],
g(1)
j
(x, t) = gj(x, t)− B̃j [v], j = 1,m.
Крiм умов F1), F2), G1), G2) для задачi (8) – (10) будуть розглядатись такi умови:
F3) функцiї aα(x, t, ξ), F (x, t, ξ) мають усi неперервнi частиннi похiднi по змiнних ξβ до
другого порядку включно, F (x, t, 0) ≡ 0;
F4) оператори
{aα(·, ·, u,D1u, . . . ,D2m−1u), aαβ(·, ·, u,D1u, . . . ,D2m−1u),
Fβ(·, ·, u,D1u, . . . ,D2m−1u)} : W (2m,1),0
p (QT ) → W
(
1, 1
2m
)
p (QT )
неперервнi та обмеженi;
G3) при кожному фiксованому j функцiяGj(x, t, ζ) має усi неперервнi частиннi похiднi
по змiнних ηβ до порядку 2m−mj + 1 включно, Gj(x, t, 0) ≡ 0;
G4) оператори
Gjβ(·, ·, u, . . . , Dmju) : W
(
2m− 1
p
,1− 1
2mp
)
,0
p (ST ) → W
(
2m−mj− 1
p
,1−
mj
2m
− 1
2mp
)
p (ST )
неперервнi та обмеженi.
Коректнiсть зведення задачi (1) – (3) до задачi (8) – (10) обґрунтовується такими двома
лемами (наводяться без доведення).
Лема 1. Hехай для задачi (1) – (3) виконано умови (4) – (6), F1) ,F2), G1), G2) та умови
узгодженостi C), а u ∈ W (2m,1)
p (QT ) — розв’язок крайової задачi (1) – (3). Тодi:
i) функцiї a(1)
α (x, t, ξ), F (1)(x, t, ξ) задовольняють умови F2) (з деякою функцiєю ν(1),
можливо, вiдмiнною вiд ν), F3), F4), а функцiї G(1)
j (x, t, ζ) задовольняють умови G2), G3),
G4);
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3
ЗАСТОСУВАННЯ ТОПОЛОГIЧНИХ МЕТОДIВ ДО КВАЗIЛIНIЙНИХ . . . 373
ii) для функцiй u1(x, t), f (1)(x, t), g
(1)
j (x, t) виконано включення
u1 ∈ W (2m,1),0
p (QT ), f (1) ∈ Lp(QT ),
g
(1)
j ∈ W
(
2m−mj− 1
p
,1−
mj
2m
− 1
2mp
)
,0
p (ST ), j = 1,m.
Лема 2. Hехай виконано умови леми 1, а u1 ∈ W
(2m,1),0
p (QT ) — розв’язок крайо-
вої задачi (8) – (10). Тодi функцiя u(x, t) = u1(x, t) + v(x, t) — розв’язок крайової задачi
(1) – (3).
3вeдення однорiдної квазiлiнiйної задачi до нелiнiйного операторного рiвняння. От-
же, замiсть задачi (1) — (3) можна аналiзувати розв’язнiсть задачi
L̃[u] =
∂u
∂t
−
∑
|α|=2m
aα(x, t, u,D1u, . . . ,D2m−1u)Dαu−
− F (x, t, u,D1u, . . . ,D2m−1u) = f(x, t), (x, t) ∈ QT , (11)
B̃j [u] = Gj(x, t, u, . . . ,D
mju) = gj(x, t), (x, t) ∈ ST , j = 1,m, (12)
u ∈ W (2m,1),0
p (QT ), (13)
де функцiя F задовольняє умови F2) –F4), функцiї Gj задовольняють умови G2) –G4), а
для функцiй f, gj справедливi умови
f ∈ Lp(QT ), gj ∈ W
(
2m−mj− 1
p
,1−
mj
2m
− 1
2mp
)
,0
p (ST ), j = 1,m. (14)
Задачi (11) – (13) спiвставимо нелiнiйний оператор, який означимо за допомогою рiв-
ностi
〈
Au, φ
〉
:=
1
p
d
ds
[∥∥∥L̃[u+ sφ]− f
∥∥∥p
p,QT
+
+
m∑
j=1
(∥∥∥B̃j [u+ sφ]− gj
∥∥∥(2m−mj− 1
p
,1−
mj
2m
− 1
2mp
)
p,ST
)p ]∣∣∣∣∣
s=0
. (15)
У формулi (15) {u, φ} ∈ W
(2m,1),0
p (QT ), а пiд
〈
Au, φ
〉
розумiється дiя функцiонала Au на
функцiю φ.
Основнi властивостi оператора, означеного за допомогою (15), наведено у теоремi 1.
Теорема 1. Hехай для задачi (11) – (13) виконано умови (4), (5), (14), F2) –F4),G2) –G4).
Тодi:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3
374 I. Б. РОМАНЕНКО, А. В. ЗАБЛОДСЬКА
i) для довiльної фiксованої функцiї u ∈ W
(2m,1),0
p (QT ) Au є лiнiйним неперервним
функцiоналом над простором W
(2m,1),0
p (QT );
ii) оператор A обмежений, неперервний та задовольняє умову (S)+ на W (2m,1),0
p (QT ).
Доведення теореми аналогiчне доведенню теореми 1 з [10].
3адачi (11) – (13) можна поставити у вiдповiднiсть операторне рiвняння
Au = 0, u ∈ W (2m,1),0
p (QT ), (16)
оператор у якому означений за допомогою (15).
Теорема 2. Hехай для задачi (11) – (13) виконано умови (4), (5), (14), F2) –F4),G2) –G4).
Функцiя u ∈ W
(2m,1),0
p (QT ) є розв’язком задачi (11) – (13) тодi й лише тодi, коли вона є
розв’язком рiвняння (16).
Доведення теореми аналогiчне доведенню теореми 2 з [10].
Отже, дослiдження крайової задачi (11) – (13) можна звести до дослiдження оператор-
ного рiвняння (16).
Виконання для оператора A, означеного за допомогою (15), умови (S)+ дозволяє за-
проваджувати для нього таку цiлочислову характеристику, як ступiнь вiдображення.
Теорема 3. Hехай для задачi (11) – (13) виконано умови (4), (5), (14), F2) –F4), G2) –
G4), а оператор A означений за допомогою рiвностi (15). Тодi для довiльної скiнченної
вiдкритої множини D з простору W (2m,1),0
p (QT ) такої, що
Au 6= 0, u ∈ ∂D,
можна коректно означити ступiнь вiдображення Deg (A,D, 0).
Розв’язнiсть дослiджуваних задач. Використання апрiорних оцiнок, отриманих у ро-
ботах [1, 2, 11], методiв теорiї ступеня вiдображення [8] та схем доведень з роботи [9] до-
зволило отримати для задач (1) – (3) та (11) – (13) твердження про розв’язнiсть, наведенi
у данiй частинi роботи.
Теорема 4. Hехай для задачi (11) – (13) виконано умови (4), (5), (14), F2) –F4),G2) –G4).
Тодi розв’язок задачi (11) – (13) єдиний, якщо вiн iснує.
Наслiдок 1. Hехай для задачi (1) – (3) виконано умови (4) – (6), F1), F2), G1), G2) та
умови узгодженостi C). Тодi розв’язок задачi (1) – (3) єдиний, якщо вiн iснує.
Теорема 5. Hехай для задачi (11) – (13) виконано умови (4), (5), (14), F2) –F4),G2) –G4),
а K — деяке додатне число.
Тодi iснує додатне число T0, залежне вiд K, але не залежне безпосередньо вiд функцiй
у правiй частинi задачi, таке, що задача (11) – (13) має розв’язок u ∈ W
(2m,1),0
p (QT ) при
0 < T < T0, якщо
‖f‖p,QT
≤ K, ‖gj‖
(
2m−mj− 1
p
,1−
mj
2m
− 1
2mp
)
p,ST
≤ K, j = 1,m. (17)
Наслiдок 2. Hехай для задачi (1) – (3) виконано умови (4), (5), (6), F1), F2), G1), G2),
C), а K — деяке додатне число.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3
ЗАСТОСУВАННЯ ТОПОЛОГIЧНИХ МЕТОДIВ ДО КВАЗIЛIНIЙНИХ . . . 375
Тодi iснує додатне число T0, залежне вiд K, але не залежне безпосередньо вiд функцiй
у правiй частинi задачi, таке, що задача (1) – (3) має розв’язок u ∈ W
(2m,1)
p (QT ) при
0 < T < T0, якщо
‖f‖p,QT
≤ K, ‖gj‖
(
2m−mj− 1
p
,1−
mj
2m
− 1
2mp
)
p,ST
≤ K, j = 1,m,
(18)
‖h‖
(
2m− 2m
p
)
p,Ω ≤ K.
Включимо крайову задачу (11) – (13) у параметричну сiм’ю задач
L̃τ [u] =
∂u
∂t
−
∑
|α|=2m
aα,τ (x, t, u,D1u, . . . ,D2m−1u)Dαu−
− Fτ (x, t, u,D1u, . . . ,D2m−1u) = τf(x, t), (x, t) ∈ QT , (19)
B̃j,τ [u] = Gj,τ (x, t, u, . . . , Dmju) = τgj(x, t), (x, t) ∈ ST , j = 1,m, (20)
u ∈ W (2m,1),0
p (QT ), (21)
де
aα,τ (x, t, ξ) := aα(τ, x, t, ξ), τ ∈ [0, 1], (x, t) ∈ QT , ξ ∈ RM(2m−1),
Fτ (x, t, ξ) := F (τ, x, t, ξ), τ ∈ [0, 1], (x, it) ∈ QT , ξ ∈ RM(2m−1),
Gj,τ (x, t, ξ) := Gj(τ, x, t, ζ), τ ∈ [0, 1], (x, t) ∈ ST , ζ ∈ RM(mj), j = 1,m.
Припустимо, що для |α| ≤ 2m
aα(x, t, ξ) = aα,1(x, t, ξ),
F (x, t, ξ) = F1(x, t, ξ), Gj(x, t, ζ) = Gj,1(x, t, ζ),
де aα(x, t, ξ), F (x, t, ξ), Gj(x, t, ζ) — функцiї з лiвої частини рiвняння та крайових умов
задачi (11) – (13).
Теорема 6. Hехай функцiї aα,τ (x, t, ξ), Fτ (x, t, ξ) та усi їх похiднi по змiнних ξβ до дру-
гого порядку включно неперервнi за сукупнiстю змiнних τ ∈ [0, 1], (x, t) ∈ QT , ξ ∈
∈ RM(2m−1), а Fτ (x, t, 0) ≡ 0.
Припустимо, що для кожного фiксованого τ ∈ [0, 1] функцiї aα,τ (x, t, ξ), Fτ (x, t, ξ)
задовольняють умови F2), F4).
Hехай при кожному фiксованому j ∈ 1, . . . ,m функцiя Gj,τ (x, t, ζ) та усi її похiднi по
змiнних ζβ до порядку 2m−mj + 1 включно неперервнi за сукупнiстю змiнних τ ∈ [0, 1],
(x, t) ∈ ST , ζ ∈ RM(mj), а Gj,τ (x, t, 0) ≡ 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3
376 I. Б. РОМАНЕНКО, А. В. ЗАБЛОДСЬКА
Припустимо, що для кожного фiксованого j ∈ 1, . . . ,m, τ ∈ [0, 1] функцiя Gj,τ задо-
вольняє умови G2), G4).
Hехай виконано умови (4), (5), (14).
Будемо припускати, що iснує стала R = R(f, g1, . . . , gm), не залежна вiд τ та така,
що при довiльному фiксованому τ ∈ [0, 1] для розв’язку uτ задачi (19) – (21) справедлива
апрiорна оцiнка
‖uτ‖(2m,1)
p,QT
≤ R. (22)
Тодi задача (11) – (13) має єдиний розв’язок u ∈ W (2m,1),0
p (QT ).
Доведення теореми наведено в [11] (теорема 6.4.4).
Збiжнiсть гальоркiнських наближень. Ще одним результатом застосування тополо-
гiчних методiв до квазiлiнiйних параболiчних задач є побудова та доведення сильної збiж-
ностi послiдовностi гальоркiнських наближень розв’язку.
Означення 1. Hехай {vk}∞k=1 — повна система функцiй у просторiW (2m,1),0
p (QT ). При-
пустимо, що для крайової задачi (11) – (13) виконано умови теореми 5. Для натураль-
ного K назвемо K-наближеним розв’язком крайової задачi (11) – (13) функцiю uK таку,
що uK =
K∑
k=1
c
(K)
k vk(x, t) та
〈
AuK, vk
〉
= 0, k = 1,K, де c
(K)
k — дiйснi числа, оператор
A означений за допомогою рiвностi (15).
Означення 2. Будемо говорити, що крайова задача (11) – (13) має обмежену послiдов-
нiстьK-наближених розв’язкiв, коли iснує натуральнеK0 таке, що для кожногоK ≥ K0
задача (11) – (13) має K-наближений розв’язок uK(x, t), а послiдовнiсть {uK}∞K=K0
обме-
жена у просторi W (2m,1),0
p (QT ).
Теорема 7. Hехай для задачi (11) – (13) виконано умови теореми 5. Крайова задача
(11) – (13) має розв’язок u0 ∈ W (2m,1),0
p (QT ) тодi й лише тодi, коли для неї iснує обмеже-
на послiдовнiсть K-наближених розв’язкiв {uK}∞K=K0
. При цьому послiдовнiсть uK силь-
но збiгається до u0 у W (2m,1),0
p (QT ).
Доведення теореми наведено у [11] (теорема 6.6.2). Як приклад застосування даної
методики розглянемо випадок крайової задачi
L̃[u] =
∂u
∂t
− a24u+ ρ(u) = f(x, t), (x, t) ∈ QT , (23)
u = 0, (x, t) ∈ ST , (24)
u(x, 0) = h(x), x ∈ Ω. (25)
Будемо розглядати розв’язок задачi (23) – (25) у соболєвському просторi W (2,1)
p (QT ). Не-
хай виконано умови:
i) p > n+ 2,
ii) межа областi Ω задовольняє включення ∂Ω ∈ C2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3
ЗАСТОСУВАННЯ ТОПОЛОГIЧНИХ МЕТОДIВ ДО КВАЗIЛIНIЙНИХ . . . 377
Припустимо, що функцiя ρ задовольняє такi умови:
ρ1) функцiя ρмає усi неперервнi частиннi похiднi по змiннiй u першого порядку, ρ(0) ≡
≡ 0;
Нехай для функцiй у правих частинах задачi (23) – (25) мають мiсце включення:
g1) f ∈ Lp(QT ), h ∈ C2 та умови узгодженостi;
g2) h |∂Ω= 0, x ∈ ∂Ω.
За допомогою замiни u = h(x) + u1 вiд задачi (23) – (25) можна перейти до задачi
∂u1
∂t
− a24u1 + ρ1(u1) = f1(x, t), (x, t) ∈ QT , (26)
u1 = 0, (x, t) ∈ ST , (27)
u1 |t=0= 0, x ∈ Ω, (28)
де
f1) f1 = f − L̃[h], f1 ∈ Lp(QT );
u1) u1(x, t) задовольняє включення u1 ∈ W (2,1),0
p (QT );
ρ1) функцiя ρ1(u) має усi неперервнi частиннi похiднi по змiннiй u першого порядку,
ρ(0) ≡ 0.
Задачi (26) – (28) спiвставимо нелiнiйний оператор, який означимо за допомогою рiв-
ностi
〈
Au, φ
〉
:=
d
ds
[∥∥∥∂(u+ sφ)
∂t
− a24[u+ sφ] + ρ1(u+ sφ)− f1
∥∥∥p
p,QT
+
+
(∥∥[u+ sφ]
∥∥(2− 1
p
,1− 1
2p
)
p,ST
)p ]∣∣∣∣∣
s=0
. (29)
У формулi (29) {u, φ} ∈ W
(2,1),0
p (QT ), а пiд
〈
Au, φ
〉
розумiємо дiю функцiонала Au на
функцiю φ.
Згiдно з теоремою 1 оператор A, означений за допомогою рiвностi (29), має такi вла-
стивостi:
1) для довiльної фiксованої функцiї u ∈ W (2,1),0
p (QT )A є нелiнiйним неперервним фун-
кцiоналом над простором W
(2,1),0
p (QT );
2) оператор Au обмежений , неперервний та задовольняє умову (S)+ на W (2,1),0
p (QT ).
Задачi (26) – (28) можна поставити у вiдповiднiсть операторне рiвняння
Au = 0, u ∈ W (2,1),0
p (QT ), (30)
оператор у якому означений за допомогою (29). Згiдно з теоремою 2 рiвняння (29) еквi-
валентне задачi (26) – (28). Записаний бiльш детально оператор A, означений у формулi
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3
378 I. Б. РОМАНЕНКО, А. В. ЗАБЛОДСЬКА
(29), має вигляд
〈
Au, φ
〉
:=
∫
QT
ψp
[
∂u
∂t
− a24u+ ρ(u)− f
][
∂φ
∂t
− a24φ+ ρ(φ)
]
dxdt+
+
T∫
0
dt
2π∫
0
2π∫
0
ψp
(
∂u
∂ϕ
− ∂u
∂γ
)(
∂φ
∂ϕ
− ∂φ
∂γ
)
dϕdγ
|ϕ− γ|p
+
+
T∫
0
dt
2π∫
0
ψp[u]φdϕ+
T∫
0
dt
2π∫
0
ψp
(
∂u
∂ϕ
)
∂φ
∂ϕ
dϕ+
+
2π∫
0
dϕ
T∫
0
T∫
0
ψp[u(ϕ, t)− u(ϕ, τ)]φ(ϕ, t)− φ(ϕ, τ)
dtdτ
|t− τ |p−
1
2
, (31)
де ψp(s) = s|s|p−2.
Зручнiсть обрання базису простору W (2,1),0
p (QT ) фактично визначає зручнiсть набли-
женогo розв’язання рiвняння (30), а отже, задачi (26) – (28) у випадку конкретно заданої
областi.
Розглянемо, зокрема, випадок, коли область Ω — коло у просторi R2 радiуса l.
Оберемо повну систему простору W (2,1),0
p (QT ) у виглядi
vn,m,k =
{
tm Jn
(
µ
(n)
k
l
r
)
cosϕn
}k≥1
m,n≥0
,
{
tm Jn
(
µ
(n)
k
l
r
)
sinϕn
}k≥1
m,n≥0
, (32)
uK =
K∑
m,n≥0,k≥1
tm Jn
(
µ
(n)
k
l
r
)
(Amnk cosϕn+Bmnk sinϕn) , (33)
де Jn
(
µ
(n)
k
l
r
)
— функцiя Бесселя першого роду n-го порядку.
Завдяки тому, що функцiя Бесселя на межi областi Ω перетворюється в 0, з формули
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3
ЗАСТОСУВАННЯ ТОПОЛОГIЧНИХ МЕТОДIВ ДО КВАЗIЛIНIЙНИХ . . . 379
(31) дiя оператора A, означеного за допомогою (30), набуває вигляду
〈
AuK , vnmk
〉
:=
∫
QT
ψp
[∂( K∑
m,n≥0,k≥1
cmnkvmnk
)
∂t
− a24
(
N∑
m,n≥0,k≥1
cmnkvmnk
)
+
+
ρ
(
K∑
m,n≥0,k≥1
cmnkvmnk
)
− f
][
∂vmnk
∂t
− a24vmnk + ρ(vmnk)
]
dxdt.
(34)
Розв’язування системи нелiнiйних рiвнянь
〈
AuK
〉
= 0 з невiдомими cmnk можна замiнити
процедурою мiнiмiзацiї функцiонала (34):
N∑
m,n≥0,k≥1
(〈AuK , vmnk〉)2 −→ min .
1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения парабо-
лического типа. — М.: Hаука, 1967. — 736 с.
2. Солонников В.А. Об оценках в Lp решений эллиптических и параболических систем // Тр. Мат. ин-та
АH СССР. — 1967. — 102. — С. 137 – 160.
3. Худяев С.И. Первая краевая задача для нелинейных параболических уравнений // Докл. АH СССР. —
1963. — 149, N◦ 3. — С. 535 – 538.
4. Кружков С.H., Кастро А., Лопес М. Оценки шаудеровского типа и теоремы существования решений
основных задач для линейных и нелинейных параболических уравнений // Там же. — 1975. — 220,
N◦ 2. — С. 277 – 280.
5. Soltanov K., Sprekels J. Nonlinear equations in nonreflexive Banach spaces and strongly nonlinear differenti-
al equations // Adv. in Math.Sci. and Appl. — 1999. — 9, N◦ 2. — P. 939 – 972.
6. Крылов H.В. Hелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. — М.: Hа-
ука, 1985. — 376 с.
7. Amann H. Linear and quasilinear parabolic problems. Vol I. Abstract linear theory. — Basel: Burkhäuser
Verlag, 1995. — 335 p.
8. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. — М.: Hаука,
1990. — 448 с.
9. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. A global approach to fully nonlinear parabolic problems // Trans. Amer. Math.
Soc. — 2000. — 352. — P. 4603 – 4640.
10. Романенко I.Б. Зведення загальних нелiнiйних параболiчних крайових задач до операторних рiвнянь
// Hелiнiйнi коливання. — 2000. — 3, N◦ 3. — С. 400 – 413.
11. Романенко I.Б. Топологiчнi характеристики загальних нелiнiйних параболiчних задач: Дис. ... канд.
фiз.-мат. наук. — Київ, 2001. — 157 с.
Одержано 13.06.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 3
|