Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи
Дослiджується нелiнiйна двоточкова крайова задача для систем звичайних диференцiальних рiвнянь при розбиттi iнтервалу та введеннi додаткових параметрiв. Побудовано систему рiвнянь вiдносно параметрiв, що дають можливiсть знайти початкове наближення розв’язку крайової задачi. Встановлено необхiднi та...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175890 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи / Д.С. Джумабаев, С.М. Темешева // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 435-446. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175890 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1758902021-02-03T01:27:00Z Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи Джумабаев, Д.С. Темешева, С.М. Дослiджується нелiнiйна двоточкова крайова задача для систем звичайних диференцiальних рiвнянь при розбиттi iнтервалу та введеннi додаткових параметрiв. Побудовано систему рiвнянь вiдносно параметрiв, що дають можливiсть знайти початкове наближення розв’язку крайової задачi. Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування iзольованого розв’язку розглядуваної задачi. By subdividing the interval and introducing additional parameters, we study a nonlinear two-point boundary-value problem for a system of ordinary differential equations. We construct a system of equations with respect to the parameters, which permits to find the initial approximation of the boundary-value problem. We find necessary and sufficient conditions for existence of an isolated solution of the considered problem. 2012 Article Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи / Д.С. Джумабаев, С.М. Темешева // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 435-446. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175890 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дослiджується нелiнiйна двоточкова крайова задача для систем звичайних диференцiальних рiвнянь при розбиттi iнтервалу та введеннi додаткових параметрiв. Побудовано систему рiвнянь вiдносно параметрiв, що дають можливiсть знайти початкове наближення розв’язку крайової задачi. Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування iзольованого розв’язку розглядуваної задачi. |
| format |
Article |
| author |
Джумабаев, Д.С. Темешева, С.М. |
| spellingShingle |
Джумабаев, Д.С. Темешева, С.М. Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи Нелінійні коливання |
| author_facet |
Джумабаев, Д.С. Темешева, С.М. |
| author_sort |
Джумабаев, Д.С. |
| title |
Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи |
| title_short |
Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи |
| title_full |
Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи |
| title_fullStr |
Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи |
| title_full_unstemmed |
Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи |
| title_sort |
необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175890 |
| citation_txt |
Необходимые и достаточные условия существования "изолированного" решения нелинейной двухточечной краевой задачи / Д.С. Джумабаев, С.М. Темешева // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 435-446. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT džumabaevds neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâizolirovannogorešeniânelinejnojdvuhtočečnojkraevojzadači AT temeševasm neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâizolirovannogorešeniânelinejnojdvuhtočečnojkraevojzadači |
| first_indexed |
2025-07-15T13:32:25Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:32:25Z |
| _version_ |
1837719984920330240 |
| fulltext |
УДК 517.9
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
„ИЗОЛИРОВАННОГО” РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДВУХТОЧЕЧНОЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Д. С. Джумабаев, С. М. Темешева
Ин-т математики М-ва образования и науки Республики Казахстан
Казахстан, 050010, Алматы, ул. Пушкина, 125
e-mail: dzhumabaev@list.ru
anar@math.kz
By subdividing the interval and introducing additional parameters, we study a nonlinear two-point boun-
dary-value problem for a system of ordinary differential equations. We construct a system of equations with
respect to the parameters, which permits to find the initial approximation of the boundary-value problem.
We find necessary and sufficient conditions for existence of an isolated solution of the considered problem.
Дослiджується нелiнiйна двоточкова крайова задача для систем звичайних диференцiальних
рiвнянь при розбиттi iнтервалу та введеннi додаткових параметрiв. Побудовано систему рiв-
нянь вiдносно параметрiв, що дають можливiсть знайти початкове наближення розв’язку кра-
йової задачi. Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування iзольованого розв’язку роз-
глядуваної задачi.
Рассматривается нелинейная двухточечная краевая задача для систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений
dx
dt
= f(t, x), t ∈ [0, T ], x ∈ Rn, (1)
g(x(0), x(T )) = 0, (2)
где f : [0, T ]× Rn → Rn, g : Rn × Rn → Rn непрерывны, ‖x‖ = maxi=1,n |xi|.
Через C([0, T ],Rn) обозначим пространство непрерывных функций x : [0, T ] → Rn с
нормой ‖x‖1 = maxt∈[0,T ] ‖x(t)‖.
Вопросы разрешимости и построения приближенных методов нахождения решения
задачи (1), (2) рассмотрены во многих работах [1 – 11]. Библиография и подробный ана-
лиз работ по основным группам методов исследования и решения краевых задач содер-
жится в монографии [11].
Существенно нелинейным краевым задачам свойственно существование нескольких
решений. В связи с этим важное значение для приложений имеет изолированность ре-
шения. Это свойство решения в нелинейных задачах играет такую же роль, как един-
ственность в линейных задачах. При моделировании реальных процессов и построении
приближенных методов нахождения решения, как правило, требуется непрерывная за-
висимость решения от изменений правых частей дифференциальных уравнений и гра-
ничных условий. Однако изолированное решение, рассматриваемое как изолированный
элемент множества решений, вообще говоря, не обладает этим свойством.
c© Д. С. Джумабаев, С. М. Темешева, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 435
436 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА
Рассмотрим пример [10, с. 4]
dx
dt
= x2, t ∈ [0, 1], x(0) = x(1). (3)
Хотя задача (3) имеет изолированное решение x = 0, „возмущенная” краевая задача
dx
dt
= x2 + ε, t ∈ [0, 1], x(0) = x(1),
не имеет решения ни при каком ε > 0. В этом примере малое изменение правой ча-
сти дифференциального уравнения не только не обеспечивает малое изменение изоли-
рованного решения, но и не сохраняет свойство разрешимости задачи. Поэтому часто
рассматривается изолированное в более узком смысле решение задачи (1), (2).
Следующее определение является модификацией определения изолированности ре-
шения из [6, c. 792].
Определение. Решение x∗(t) задачи (1), (2) называется изолированным, если суще-
ствует число ρ0 > 0, при котором функции f(t, x) и g(v, w) соответственно вG∗1(ρ0) =
= {(t, x) : t ∈ [0, T ], ‖x − x∗(t)‖ < ρ0}, G∗2(ρ0, ρ0) = {(v, w) ∈ R2n : ‖v − x∗(0)‖ <
< ρ0, ‖w− x∗(T )‖ < ρ0} имеют равномерно непрерывные частные производные f ′x(t, x),
g′v(v, w), g′w(v, w) и линейная однородная двухточечная краевая задача
dy
dt
= f ′x(t, x∗(t))y, t ∈ [0, T ], y ∈ Rn, (4)
g′v(x
∗(0), x∗(T ))y(0) + g′w(x∗(0), x∗(T ))y(T ) = 0 (5)
имеет только тривиальное решение.
В [12] установлены условия непрерывной зависимости изолированного в смысле опре-
деления решения от изменения данных задачи (1), (2).
Для выяснения необходимых и достаточных условий существования изолированного
решения используем метод параметризации [12, 13].
Возьмем шаг h > 0 : Nh = T, N = 1, 2, . . . , и по нему выполним разбиение [0, T ) =
=
⋃N
r=1[(r−1)h, rh). Сужение функции x(t) на r-й интервал [(r−1)h, rh) обозначим через
xr(t) и задачу (1), (2) сведем к многоточечной краевой задаче
dxr
dt
= f(t, xr), t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N, (6)
g(x1(0), lim
t→T−0
xN (t)) = 0, (7)
где
lim
t→sh−0
xs(t) = xs+1(sh), s = 1, N − 1, (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ „ИЗОЛИРОВАННОГО” РЕШЕНИЯ . . . 437
— условия склеивания решения во внутренних точках разбиения интервала [0, T ].
ЧерезC([0, T ], h,RnN ) обозначим пространство систем функций x[t] = (x1(t), x2(t), . . .
. . . , xN (t)), где xr : [(r − 1)h, rh) → Rn непрерывны и имеют конечные левосторонние
пределы limt→rh−0 xr(t) при всех r = 1, N, с нормой
‖x[·]‖2 = max
r=1:N
sup
t∈[(r−1)h,rh)
‖xr(t)‖.
Очевидно, что C([0, T ], h,RnN ) является полным пространством.
Решением задачи (6) – (8) является система функций x[t] = (x1(t), x2(t), . . . , xN (t)) ∈
∈ C([0, T ], h,RnN ) с непрерывно дифференцируемыми на [(r − 1)h, rh) функциями xr(t),
r = 1, N, удовлетворяющими уравнениям (6) и равенствам (7), (8). При этом в началь-
ных точках интервала [(r − 1)h, rh) дифференциальному уравнению (6) удовлетворяет
правосторонняя производная функции xr(t), r = 1, N. Если x∗(t) — решение задачи (1),
(2), то система его сужений x∗[t] = (x∗1(t), x
∗
2(t), . . . , x
∗
N (t)) принадлежит пространству
C([0, T ], h,RnN ) и является решением задачи (6) – (8). Наоборот, если система функций
x̃[t] = (x̃1(t), x̃2(t), . . . , x̃N (t)) — решение задачи (6) – (8), то функция x̃(t), определяемая
равенствами x̃(t) = x̃r(t), t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N, x̃(T ) = limt→T−0 x̃N (t), является
решением задачи (1), (2).
Отметим, что условия склеивания решения (8) и дифференциальные уравнения (6)
обеспечивают и непрерывность производных решения в точках разбиения t = sh, s =
= 1, N − 1.
Вводя параметры λr=̂xr((r− 1)h) и на каждом r-м интервале производя замену функ-
ций ur(t) = xr(t)− λr, получаем краевую задачу с параметрами
dur
dt
= f(t, λr + ur), t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N, (9)
ur((r − 1)h) = 0, r = 1, N, (10)
g(λ1, λN + lim
t→T−0
uN (t)) = 0, (11)
λs + lim
t→sh−0
us(t)− λs+1 = 0, s = 1, N − 1. (12)
Решением задачи (9) – (12) является пара (λ∗, u∗[t]) с элементами λ∗ = (λ∗1, λ
∗
2, . . . , λ
∗
N ) ∈
∈ RnN , u∗[t] = (u∗1(t), u
∗
2(t), . . . , u
∗
N (t)) ∈ C([0, T ], h,RnN ). Если (λ∗, u∗[t]) — решение за-
дачи (9) – (12), то функция x∗(t), определяемая равенствами x∗(t) = λ∗r + u∗r(t), t ∈ [(r −
−1)h, rh), r = 1, N, x∗(T ) = λ∗N + limt→T−0 u
∗
N (t), будет решением задачи (1), (2). Пусть
x̃(t) — решение задачи (1), (2). Тогда пара (λ̃, ũ[t]) с элементами λ̃ = (λ̃1, λ̃2, . . . , λ̃N ) ∈
∈ RnN , ũ[t] = (ũ1(t), ũ2(t), . . . , ũN (t)), где λ̃r = x̃((r − 1)h), ũr(t) = x̃(t) − x̃((r − 1)h),
t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N, будет решением задачи (9) – (12).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
438 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА
При фиксированном значении параметра λr задача Коши (9), (10) эквивалентна не-
линейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода
ur(t) =
t∫
(r−1)h
f(τ, λr + ur(τ)) dτ, t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N. (13)
Из (13), определив limt→rh−0 ur(t), r = 1, N, и подставив их в (11), (12), получим систему
нелинейных уравнений относительно λr :
h g
λ1, λN +
Nh∫
(N−1)h
f(τ, λN + uN (τ)) dτ
= 0, (14)
λs +
sh∫
(s−1)h
f(τ, λs + us(τ)) dτ − λs+1 = 0, s = 1, N − 1. (15)
Систему уравнений (14), (15) запишем в виде
Q1,h(λ, u) = 0, λ ∈ RnN . (16)
Условие A. Существует h > 0 : Nh = T такое, что система нелинейных уравнений
Q1,h(λ, 0) = 0 имеет решение λ(0) = (λ
(0)
1 , λ
(0)
2 , . . . , λ
(0)
N ) ∈ RnN , задача Коши
dur
dt
= f(t, λ(0)r + ur), ur((r − 1)h) = 0, t ∈ [(r − 1)h, rh),
имеет решение u(0)r (t) при всех r = 1, N и система функций
u(0)[t] = (u
(0)
1 (t), u
(0)
2 (t), . . . , u
(0)
N (t)) ∈ C([0, T ], h,RnN ).
Возьмем числа ρλ > 0, ρu > 0, ρx > 0 и составим множества
S(λ(0), ρλ) =
{
λ = (λ1, λ2, . . . , λN ) ∈ RnN : ‖λ− λ(0)‖ = max
r=1,N
‖λr − λ(0)r ‖ < ρλ},
S(u(0)[t], ρu) = {u[t] ∈ C([0, T ], h,RnN ) : ‖u[·]− u(0)[·]‖2 < ρu},
G0
1(ρx) = {(t, x) : t ∈ [0, T ], ‖x− λ(0)r − u(0)r (t)‖ < ρx, t ∈ [(r − 1)h, rh),
r = 1, N, ‖x− λ(0)N − lim
t→T−0
u
(0)
N (t)‖ < ρx, t = T},
G0
2(ρλ, ρx) = {(v, w) ∈ R2n : ‖v − λ(0)1 ‖ < ρλ, ‖w − λ
(0)
N − lim
t→T−0
u
(0)
N (t)‖ < ρx}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ „ИЗОЛИРОВАННОГО” РЕШЕНИЯ . . . 439
Условие B. Функции f, g соответственно в G0
1(ρx), G0
2(ρλ, ρx) имеют равномерно
непрерывные частные производные f ′x, g
′
v, g
′
w и выполняются неравенства
‖f ′x(t, x)‖ ≤ L(t), ‖g′v(v, w)‖ ≤ L1, ‖g′w(v, w)‖ ≤ L2,
где L(t) — непрерывная на [0, T ] функция, L1, L2 — постоянные.
Для дальнейшого изложения необходима следующая теорема о разрешимости нели-
нейного операторного уравнения
F (x) = 0, x ∈ X. (17)
Здесь F :X → Y, X, Y — банаховы пространства с нормами ‖ · ‖X , ‖ · ‖Y соответственно,
S(x0, ρ) = {x ∈ X : ‖x − x0‖X < ρ}, L(X,Y ) — пространство линейных ограниченных
операторов Λ : X → Y с индуцированной нормой.
Теорема A [12, c. 41]. Пусть выполнены следующие условия:
1) производная Фреше F ′(x) равномерно непрерывна в S(x0, ρ);
2) F ′(x) ограниченно обратима и ‖(F ′(x))−1‖L(Y,X) ≤ γ, γ − const, для всех x ∈
∈ S(x0, ρ);
3) γ ‖F (x0)‖Y < ρ.
Тогда существует число α0 ≥ 1 такое, что для любого α ≥ α0 последовательность
{x(m+1)}, m = 0, 1, 2, . . . , определяемая итерационным процессом
x(0) = x0, x(m+1) = x(m) − 1
α
(F ′(x(m)))−1 F (x(m)),
содержится в S(x0, ρ), сходится к решению x∗ уравнения (17), принадлежащему S(x0, ρ),
и справедлива оценка
‖x∗ − x0‖X ≤ γ ‖F (x0)‖Y .
Приэтом любое решение (17) в S(x0, ρ) изолировано.
По заданной паре (λ(0), u(0)[t]), где
λ(0) = (λ
(0)
1 , λ
(0)
2 , . . . , λ
(0)
N ) ∈ RnN , u(0)[t] = (u
(0)
1 (t), u
(0)
2 (t), . . . , u
(0)
N (t)) ∈ C([0, T ], h,RnN ),
равенствами x(0)(t) = λ
(0)
r +u
(0)
r (t), t ∈ [(r−1)h, rh), r= 1, N, x(0)(T ) = λ
(0)
N +limt→T−0 u
(0)
N (t)
определим на [0, T ] кусочно-непрерывную функцию x(0)(t) и введем функциональный шар
S(x(0)(t), ρx) =
{
x(t) ∈ C([0, T ],Rn) : max
t∈[0,T ]
‖x(t)− x(0)(t)‖ < ρx
}
.
Теорема 1. Пусть существуют h > 0 :Nh = T, ρλ > 0, ρu > 0, ρx > 0, при которых
выполняются условия A, B, (nN × nN)-матрица Якоби
∂Q1,h(λ, u)
∂λ
обратима для всех
(λ, u[t]) ∈ S(λ(0), ρλ)× S(u(0)[t], ρu) и имеют место неравенства∥∥∥∥∥
(
∂Q1,h(λ, u)
∂λ
)−1∥∥∥∥∥ ≤ γ1(h), (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
440 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА
q1(h) = γ1(h) max(1, hL2) max
r=1,N
exp
rh∫
(r−1)h
L(τ) dτ
−1−
rh∫
(r−1)h
L(τ) dτ
< 1, (19)
γ1(h)
1− q1(h)
‖Q1,h(λ(0), u(0))‖ < ρλ, (20)
γ1(h)
1− q1(h)
‖Q1,h(λ(0), u(0))‖ max
r=1,N
exp
rh∫
(r−1)h
L(τ) dτ
− 1
< ρu, (21)
ρλ + ρu ≤ ρx. (22)
Тогда задача (1), (2) в S(x(0)(t), ρx) имеет изолированное решение.
Доказательство. Выполнив разбиение интервала [0, T ] с заданным шагом h> 0 :Nh=
= T, от задачи (1), (2) перейдем к эквивалентной краевой задаче с параметрами (9) – (12).
Решение последней найдем методом последовательных приближений. За начальное при-
ближение возьмем пару (λ(0), u(0)[t]) из условия A и первое приближение по параметру
определим из системы нелинейных уравнений
Q1,h(λ, u(0)) = 0, λ ∈ RnN . (23)
Из условия B и неравенства (22) следует, что матрица Якоби
∂Q1,h(λ, u)
∂λ
является произ-
водной Фреше по λ оператора Q1,h(λ, u) и равномерно непрерывна в S(λ(0), ρλ) ×
×S(u(0)[t], ρu).Поскольку условия теоремы обеспечивают выполнение всех предположе-
ний теоремы A, существует решение λ(1) системы уравнений (23) и справедлива оценка
‖λ(1) − λ(0)‖ ≤ γ1(h)‖Q1,h(λ(0), u(0))‖.
Функцию u
(1)
r (t) найдем, решив задачу Коши
dur
dt
= f(t, λ(1)r + ur), ur((r − 1)h) = 0, t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N.
Из условия B, неравенств (21), (22) следует существование u(1)r (t) и оценка
‖u(1)r (t)− u(0)r (t)‖ ≤
exp
t∫
(r−1)h
L(τ) dτ
− 1
‖λ(1)r − λ(0)r ‖ (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ „ИЗОЛИРОВАННОГО” РЕШЕНИЯ . . . 441
для всех t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N. Подставляя найденные функции u(1)r (t), r = 1, N, в
(16), получаем систему уравнений для нахождения второго приближения по параметру.
Вновь используя теорему A, находим λ(2) и оценку
‖λ(2) − λ(1)‖ ≤ γ1(h)‖Q1,h(λ(1), u(1))‖.
Отсюда, используя неравенства (24), получаем
‖λ(2) − λ(1)‖ ≤ γ1(h)‖Q1,h(λ(1), u(1))−Q1,h(λ(1), u(0))‖ ≤ γ1(h) max(1, hL2)×
× max
r=1,N
rh∫
(r−1)h
∥∥f(τ, λ(1)r + u(1)r (τ)
)
− f
(
τ, λ(0)r + u(0)r (τ)
)∥∥dτ ≤
≤ q1(h)‖λ(1) − λ(0)‖.
Продолжая этот процесс, находим
λ(k) = (λ
(k)
1 , λ
(k)
2 , . . . , λ
(k)
N ) ∈ RnN , u(k)[t] = (u
(k)
1 (t), u
(k)
2 (t), . . . , u
(k)
N (t)) ∈ C([0, T ], h,RnN )
и устанавливаем оценки
‖λ(k) − λ(k−1)‖ ≤ q1(h)‖λ(k−1) − λ(k−2)‖, k = 1, 2, . . . , (25)
‖u(k)r (t)− u(k−1)r (t)‖ ≤
exp
t∫
(r−1)h
L(τ) dτ
− 1
‖λ(k)r − λ(k−1)r ‖,
(26)
k = 1, 2, . . . , t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N.
Поскольку q1(h) < 1, из (25), (26), в силу неравенств (20), (21), следует, что
(λ(k), u(k)[t]) ∈ S(λ(0), ρλ)× S(u(0)[t], ρu), k = 0, 1, 2, . . . ,
и при k → ∞ сходится к решению задачи с параметрами — паре (λ∗, u∗[t]), принадлежа-
щей S(λ(0), ρλ)× S(u(0)[t], ρu). Тогда, в силу неравенства (22), функция
x∗(t) =
λ∗r + u∗r(t) при t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N,
λ∗N + lim
t→T−0
u∗N (t) при t = T,
принадлежит S(x(0)(t), ρx) и является решением задачи (1), (2).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
442 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА
Обратимость матрицы Q∗1(h) =
∂Q1,h(λ∗, u∗)
∂λ
и неравенства (18), (19), согласно теоре-
ме 1 из [13, с. 54], обеспечивают однозначную разрешимость линеаризованной краевой
задачи
dy
dt
= f ′x(t, x∗(t))y + ϕ(t), t ∈ [0, T ], y ∈ Rn, (27)
g′v(x
∗(0), x∗(T ))y(0) + g′w(x∗(0), x∗(T ))y(T ) = d, (28)
где ϕ(t) ∈ C([0, T ],Rn), d ∈ Rn. Отсюда следует изолированность в смысле определения
решения x∗(t).
Теорема 1 доказана.
Следующее утверждение показывает, что условия теоремы 1 не только достаточны,
но и необходимы для существования изолированного в смысле определения решения.
Теорема 2. Краевая задача (1), (2) имеет изолированное решение тогда и только
тогда, когда существуют h > 0 : Nh = T, ρλ > 0, ρu > 0, ρx > 0, при которых
выполняются условия A, B, матрица Якоби
∂Q1,h(λ, u)
∂λ
обратима для всех (λ, u[t]) ∈
∈ S(λ(0), ρλ)× S(u(0)[t], ρu) и имеют место неравенства (18) – (22).
Доказательство. Необходимость. Пусть x∗(t) — „изолированное” решение задачи
(1), (2). Тогда по определению существует число ρ0 > 0 и функции f, g соответствен-
но в G∗1(ρ0), G
∗
2(ρ0, ρ0) имеют равномерно непрерывные частные производные f ′x, g
′
v, g
′
w.
Поэтому найдутся числа L0, L1, L2 такие, что
‖f ′x(t, x)‖ ≤ L0, ‖g′v(v, w)‖ ≤ L1, ‖g′w(v, w)‖ ≤ L2
для всех (t, x) ∈ G∗1(ρ0), (v, w) ∈ G∗2(ρ0, ρ0).
Промежуток [0, T ] разобьем на равные части с шагом h = T/N и рассмотрим экви-
валентную многоточечную краевую задачу с параметрами. Пара (λ∗, u∗[t]) с элемента-
ми λ∗ = (λ∗1, λ
∗
2, . . . , λ
∗
N ) ∈ RnN , u∗[t] = (u∗1(t), u
∗
2(t), . . . , u
∗
N (t)) ∈ C([0, T ], h,RnN ), где
λ∗r = x∗((r − 1)h), u∗r(t) = x∗(t) − x∗((r − 1)h) при t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N, будет
решением задачи (9) – (12). Найдется число M > 0 такое, что ‖ẋ∗‖1 ≤ M, и для каждого
r = 1, N справедлива оценка
‖u∗r(t)‖ = ‖x∗(t)− x∗((r − 1)h)‖ ≤ sup
t∈[(r−1)h,rh)
‖ẋ∗(t)‖h ≤ M h, t ∈ [(r − 1)h, rh). (29)
Из существования только тривиального решения однородной задачи (4), (5) следует
однозначная разрешимость линеаризованной задачи (27), (28). Тогда согласно теореме
4 [13, с. 61] существует h0 > 0, при котором для всех h ∈ (0, h0] : Nh = T матрица
Q∗1(h) =
∂Q1,h(λ∗, u∗)
∂λ
обратима и ‖(Q∗1(h))−1‖ ≤ γ1/h, где γ1 — постоянная, не зависящая
от h.Выберем число ε > 0 так, чтобы выполнялось неравенство εγ1 ≤ 1/4, и использовав
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ „ИЗОЛИРОВАННОГО” РЕШЕНИЯ . . . 443
равномерную непрерывность f ′x(t, x), g′v(v, w), g′w(v, w), найдем ρ∗λ > 0, ρ∗u > 0 такие, что
ρ∗λ + ρ∗u = ρ∗ ∈ (0, ρ0] и
1
h
∥∥∥∥∂Q1,h(λ, u)
∂λ
−
∂Q1,h(λ∗, u∗)
∂λ
∥∥∥∥ ≤ ε
для всех (λ, u[t]) ∈ S(λ∗, ρ∗λ)× S(u∗[t], ρ∗u). Применяя теорему о малых возмущениях огра-
ниченно обратимых операторов [14, c. 142], убеждаемся, что матрица Якоби
∂Q1,h(λ, u)
∂λ
ограниченно обратима и ∥∥∥∥∥
(
∂Q1,h(λ, u)
∂λ
)−1∥∥∥∥∥ ≤ 4
3
γ1/h
для всех (λ, u[t]) ∈ S(λ∗, ρ∗λ)× S(u∗[t], ρ∗u).
Выберем h1 ∈ (0, h0] так, чтобы выполнялись неравенства
Mh1 ≤ ρ∗u/2, (30)
4γ1L0
3
Mh1 max(1, h1L2) < ρ∗λ/2, (31)
4γ1L0
3
Mh1 max(1, h1L2)(e
h1L0 − 1) < ρ∗u/2. (32)
Если u[t] ∈ S(0, ρ∗u/2), то в силу (29), (30)
‖u[·]− u∗[·]‖2 ≤ ‖u[·]‖2 + ‖u∗[·]‖2 ≤ ρ∗u/2 + ρ∗u/2 = ρ∗u,
и, следовательно, S(0, ρ∗u/2) ⊂ S(u∗[t], ρ∗u).
При h ∈ (0, h1] : Nh = T рассмотрим систему нелинейных уравнений
Q1,h(λ, 0) = 0, λ ∈ RnN . (33)
Поскольку матрица Якоби
∂Q1,h(λ, 0)
∂λ
равномерно непрерывна в S(λ∗, ρ∗λ), оценка∥∥∥∥∥
(
∂Q1,h(λ, 0)
∂λ
)−1∥∥∥∥∥ ≤ 4
3
γ1/h
справедлива для всех λ ∈ S(λ∗, ρ∗λ) и в силу (29), (31)
4γ1
3h
‖Q1,h(λ∗, 0)‖ =
4γ1
3h
‖Q1,h(λ∗, 0)−Q1,h(λ∗, u∗)‖ ≤ 4γ1
3h
max(1, hL2)×
× max
r=1,N
rh∫
(r−1)h
‖f(τ, λ∗r)− f(τ, λ∗r + u∗r(τ))‖ dτ ≤
≤ 4γ1L0
3
Mhmax(1, hL2) < ρ∗λ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
444 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА
согласно теореме A система уравнений (33) имеет решение λ(0) ∈ S(λ∗, ρ∗λ) и
‖λ(0) − λ∗‖ ≤ 4γ1L0
3
Mhmax(1, hL2). (34)
Функцию u
(0)
r (t) — решение задачи Коши (9), (10) при λr = λ
(0)
r , r = 1, N, найдем
методом последовательных приближений:
u(0,0)r (t) = u∗r(t),
u(0,m+1)
r (t) =
t∫
(r−1)h
f(τ, λ(0)r +u(0,m)
r (τ)) dτ, m = 0, 1, 2, . . . , t ∈ [(r−1)h, rh), r = 1, N.
Из неравенств
‖u(0,1)r (t)− u(0,0)r (t)‖ = ‖u(0,1)r (t)− u∗r(t)‖ =
∥∥∥∥∥∥∥
t∫
(r−1)h
f(τ, λ(0)r + u∗r(τ)) dτ −
−
t∫
(r−1)h
f(τ, λ∗r + u∗r(τ)) dτ
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
t∫
(r−1)h
L0 dτ‖λ(0)r − λ∗r‖,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
‖u(0,m+1)
r (t)− u(0,m)
r (t)‖ ≤
t∫
(r−1)h
L0‖u(0,m)
r (τ)− u(0,m−1)r (τ)‖ dτ,
‖u(0,m+1)
r (t)− u∗r(t)‖ ≤
m+1∑
j=1
(L0(t− (r − 1)h))j
j!
‖λ(0)r − λ∗r‖, t ∈ [(r − 1)h, rh), r = 1, N,
следует, что функциональная последовательность {u(0,m+1)
r (t)} при m → ∞ равномерно
на [(r − 1)h, rh) сходится решению u
(0)
r (t) задачи (9), (10) при λr = λ
(0)
r для всех r = 1, N.
При этом u(0)[t] = (u
(0)
1 (t), u
(0)
2 (t), . . . , u
(0)
N (t)) ∈ C([0, T ], h,RnN ) и
‖u(0)[·]− u∗[·]‖2 ≤
4γ1L0
3
Mhmax(1, hL2)(e
hL0 − 1). (35)
Таким образом, имеет место условие A и оценки (34), (35).
Теперь возьмем ρλ = ρ∗λ/2, ρu = ρ∗u/2, ρx = ρλ + ρu и выберем h2 ∈ (0, h1] так, чтобы
выполнялись неравенства
4γ1
3h2
max(1, h2L2)(e
h2L0 − 1− h2L0) ≤
1
3
, (36)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ „ИЗОЛИРОВАННОГО” РЕШЕНИЯ . . . 445
2γ1L0Mh2 max(1, h2L0)
(
4γ1L0
3
max(1, h2L2)(e
h2L0 − 1) + 1
)
< ρλ, (37)
2γ1L0Mh2 max(1, h2L0)
(
4γ1L0
3
max(1, h2L2)(e
h2L0 − 1) + 1
)
(eh2L0 − 1) < ρu. (38)
Если λ ∈ S(λ(0), ρλ), u[t] ∈ S(u(0)[t], ρu), то на основании (31), (32), (34), (35) получаем
‖λ− λ∗‖ ≤ ‖λ− λ(0)‖+ ‖λ(0) − λ∗‖ < ρλ +
4γ1L0
3
Mhmax(1, hL2) < ρ∗λ,
‖u[·]− u∗[·]‖2 ≤ ‖u[·]− u(0)[·]‖2 + ‖u(0)[·]− u∗[·]‖2 <
< ρu +
4γ1L0
3
Mhmax(1, hL2)(e
hL0 − 1) < ρ∗u,
т. е. S(λ(0), ρλ) ⊂ S(λ∗, ρ∗λ), S(u(0)[t], ρu) ⊂ S(u∗[t], ρ∗u) при всех h ∈ (0, h2]. Поэтому в
G0
1(ρx), G0
2(ρλ, ρx) выполняется условие B.
Неравенство (18) выполняется с постоянной γ1(h) =
4
3
γ1/h. Тогда q1(h) =
=
4γ1
3h
max(1, hL2)(e
hL0 − 1− hL0), и в силу (36) q1(h) ≤ 1
3
при h ∈ (0, h2].
Принимая во внимание оценки
‖u(0)[·]‖2 ≤ ‖u(0)[·]− u∗[·]‖+ ‖u∗[·]‖ ≤ Mh
(
4γ1L0
3
max(1, hL2)(e
hL0 − 1) + 1
)
,
‖Q1,h(λ(0), u(0))‖ = ‖Q1,h(λ(0), u(0))−Q1,h(λ(0), 0)‖ ≤ max(1, hL2)hL0‖u(0)[·]‖2
и неравенства (37), (38), получаем следующее:
γ1(h)‖Q1,h(λ(0), u(0))‖
1− q1(h)
≤ 2γ1L0Mhmax(1, hL0)
(
4γ1L0
3
max(1, hL2)(e
hL0 − 1) + 1
)
< ρλ,
γ1(h)
1− q1(h)
‖Q1,h(λ(0), u(0))‖(ehL0 − 1) ≤
≤ 2γ1L0Mhmax(1, hL0)
(
4γ1L0
3
max(1, hL2)(e
hL0 − 1) + 1
)
(ehL0 − 1) < ρu.
Таким образом, при выборе ρλ = ρ∗λ/2, ρu = ρ∗u/2, ρx = ρλ + ρu все условия теоремы 1
выполняются для любого h ∈ (0, h2] :Nh = T.
Теорема 2 доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
446 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, С. М. ТЕМЕШЕВА
Теоремы, доказанные в настоящей работе, отличаются от аналогичных утверждений
[12] условием A. При выполнении этого условия метод последовательных приближений,
примененный при доказательстве теоремы 1, позволяет найти изолированное решение
задачи (1), (2). Если задача (1), (2) имеет изолированное в смысле определения решение
x∗(t), то всегда найдутся шаги h > 0 : Nh = T и число ρλ > 0, при которых система
уравнений (33) имеет решение λ(0) ∈ S(λ∗, ρλ), где λ∗ = (λ∗1, λ
∗
2, . . . , λ
∗
N ) ∈ RnN , λ∗r =
= x∗((r − 1)h), r = 1, N.
1. Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. — Киев: Наук. думка, 1963.
— Ч. 1.
2. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. — М.: Мир, 1968.
3. Keller H. B. Numerical methods for two-point boundary-value problems. — Blaisdell: Walthan, 1968.
4. Roberts S. M., Shipman J. S. Two-point boundary-value problems: shooting methods. — New York: Elsevier,
1972.
5. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Физматгиз, 1973.
6. Keller H. B., White A. B. Difference methods for boundary value problems in ordinary differential equations
// SIAM J. Numer. Anal. — 1975. — 12, № 5. — P. 791 – 802.
7. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред.
Дж. Холла, Дж. Уатта. — М.: Мир, 1979.
8. Монастырный П. И. О связи изолированности решений со сходимостью методов пристрелки // Диф-
ференц. уравнения. — 1980. — 16, № 4. — C. 732 – 740.
9. Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986.
10. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Соврем.
проб. математики. Новейшие достижения / Итоги науки и техники. — ВИНИТИ. — 1987. — 30.
11. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования решений краевых за-
дач. — Киев: Наук. думка, 1986.
12. Джумабаев Д. С., Темешева С. М. Метод параметризации решения нелинейных двухточечных краевых
задач // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2007. — 47, № 1. — С. 39 – 63.
13. Джумабаев Д. С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного
дифференциального уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 1989. — 29, № 1. —
С. 50 – 66.
14. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.
Получено 31.03.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
|